专题3.2 导数与函数的单调性（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题3.2 导数与函数的单调性（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　导数与函数单调性的关系（含充要条件辨析） 4 知识点2　利用导数求单调区间的一般步骤 5 知识点3　含参函数的单调性讨论 6 知识点4　已知单调性求参数范围 7 知识点5　函数单调性的应用 8 四、重难点培优 10 重难点培优01　求函数的单调区间　★★ 10 重难点培优02　含参函数的单调性讨论（一次型·二次型）　★★★ 11 重难点培优03　含参函数的单调性讨论（指数型·对数型）　★★★ 12 重难点培优04　已知单调性求参数范围（"在区间上单调"与"单调区间为"的区别）　★★★ 14 重难点培优05　利用单调性比较大小　★★ 15 重难点培优06　利用单调性解不等式（构造函数）　★★★★ 16 重难点培优07　构造函数法证明不等式（作差、作商、同构）　★★★★ 17 重难点培优08　导数与单调性的交汇创新问题　★★★ 19 五、过关检测 21 一、单选题 21 二、多选题 22 三、填空题 23 四、解答题 23 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 导数与函数单调性的关系 理解 （）与单调递增（减）的关系，明确"充分不必要"的层次，掌握 且不恒为 的等价刻画 利用导数求单调区间 掌握"定义域优先—求导—解不等式—定区间"的一般步骤，规范书写，会用因式分解快速定号 含参函数的单调性讨论 能按导函数零点的存在性、个数与大小关系分类，覆盖一次型、二次型、指数型与对数型载体 已知单调性求参数范围 正确区分"在区间 上单调"与"单调区间为 "，熟练运用分离参数法与含参分类法 函数单调性的应用 会利用单调性比较大小、解不等式、证明不等式，掌握构造函数（作差、作商、同构）的通性通法 近三年高考真题对"导数与函数的单调性"板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 已知函数最大值求参数，由单调性定位极值点 ★★ 2026 全国二卷 T19 含参函数单调性、恒成立与最值（压轴） ★★★★ 2026 天津卷 T20 导数综合：切线、单调性、恒成立求参数最大值 ★★★★ 2025 全国一卷 T8 构造函数比较大小（指数、对数交汇） ★★★ 2025 全国二卷 T10 奇函数的单调性与极大值点判定 ★★★ 2025 全国二卷 T18 对数型函数极值点、零点与单调性证明（压轴） ★★★★ 2025 上海卷 T19 含参对数型函数存在极大值，求参数范围 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T10 三次函数的单调区间、极值与大小比较 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T11 含参三次函数的单调性、零点与对称性 ★★★★ 2024 全国甲卷·文 T20 含参对数型函数的单调性讨论 ★★★ 2024 北京卷 T20 对数型函数的单调区间与切线几何意义（压轴） ★★★★ 考情分析 函数的单调性是导数最核心的应用之一，也是每年高考的必考内容。近三年统计显示，本板块在选填题与解答题中均有稳定考查：选填题多以"利用导数求（判断）单调区间、比较大小、由最值求参数"为载体，如 2026 年全国一卷第 6 题、2025 年全国一卷第 8 题、2024 年新课标Ⅰ卷第 10 题；解答题则常以"含参函数讨论单调性"作为第一问，并顺势延伸到极值、零点、恒成立与不等式证明，如 2025 年全国二卷第 18 题、2026 年天津卷第 20 题。命题的显著趋势是"含参数化"与"结构化"：命题者偏爱以 、 与二次函数的组合为载体，考查分类讨论的完备性；同时借"同构、构造"等技巧考查数学抽象与逻辑推理素养。依据《中国高考评价体系》对"综合性、创新性"的要求，预测 2027 年高考仍会以"含参讨论"与"构造函数"为两条主线，其中"已知单调性求参数范围"与"利用单调性证明不等式"是拉开分差的关键。 复习目标 1．厘清 （）与单调递增（减）的充分、必要层次，掌握 且不恒为 的等价刻画； 2．熟练"定义域优先、求导、解不等式、定区间"四步法，规范书写单调区间，杜绝用并集符号连接； 3．掌握含参函数单调性讨论的分类标准：导函数零点是否存在、是否落在定义域内、多个零点谁大谁小； 4．辨明"在区间上单调"与"单调区间为"两类参数问题的差异，系统掌握比较大小、解不等式、证不等式的构造函数通法。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　导数与函数的单调性知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　导数与函数单调性的关系（含充要条件辨析） 设函数 在区间 内可导，由导数与单调性的关系可得： ①若在 上 ，则 在 上单调递增；若 ，则 在 上单调递减； ②上述结论的反面不成立： 在 上单调递增，未必有 ，例如 在 上单调递增，但 。 因此， 是 单调递增的充分不必要条件。严格意义下的等价刻画（充要条件）为： 在区间 上单调递增 在 上恒成立，且 在 的任意子区间上不恒为 ； 在区间 上单调递减 在 上恒成立，且 在 的任意子区间上不恒为 。 条件 结论 层次 在 上恒成立 在 上单调递增 充分不必要 在 上单调递增 在 上恒成立（且不恒为 ） 充要（严格递增的刻画） 在 上恒成立 在 上为常函数 不增不减 【方法技巧】 1．"求单调性"用区间法：令 得增区间，令 得减区间，不必再过问 的零点； 2．"证明单调性"用恒成立法：证明 （）且不恒为 是证明递增（减）的标准动作； 3．"由单调性求参数"要警惕""与""的差别：区间上单调只需 恒成立，别把 误写成 而丢掉端点。 【易错清单】 1． 只是单调递增的充分条件，由函数单调递增推不出 ，两者不可等同； 2．若在区间 上 且等号仅在有限个点处成立，则 仍严格递增，不要因"存在 "就否定严格单调； 3．单调区间一定生在定义域内，求导之前先写定义域，否则易把不在定义域内的区间纳入答案。 知识点2　利用导数求单调区间的一般步骤 求可导函数 的单调区间，一般遵循"四步走"： 第一步 定定义域——写出 的定义域，求单调区间必须在定义域内进行； 第二步 求导数——求出 ，并尽量通分、因式分解，把含参因子与定号因子分离； 第三步 解不等式——令 解得增区间，令 解得减区间； 第四步 定区间——把解集写成区间，多个区间用"，"或"和"连接，不能用并集符号""连接单调区间。 函数 导数 单调递增区间 单调递减区间 和 【方法技巧】 1．导函数尽量化为"积或商"的形式再定号，因式分解后每个因子的符号一目了然； 2．导数中含 时记住 恒成立，分子（或分母）的符号只由多项式决定；含 时须先锁定 ； 3．多个零点把定义域"分段"讨论符号，如 需按 、、 三段定号。 【易错清单】 1．先求定义域再求导，如 的单调区间只能落在 内； 2．单调区间不能用并集""连接，如增减区间应写作 和 ，不可写成 ； 3．界点处函数是否有定义决定区间开闭，界点处函数有定义通常写闭（如 ），无定义则写开。 知识点3　含参函数的单调性讨论 含参函数单调性讨论的核心是对导函数零点进行分类，常见载体可归为三类： 一次型：（或可化为该形式），按 、、 以及零点与定义域的位置讨论； 二次型：令 得二次方程，按判别式 的符号、两根的大小关系、根与定义域端点的位置关系三层讨论； 指数对数型：常化为 、 等形式，由 、 的定义域先定号，再对含参零点分类。 讨论套路可概括为：定义域 → 求导并因式分解 → 求导函数零点 → 比较零点与定义域端点、比较零点之间的大小 → 逐段定号 → 分段写结论。 参数位置 分类标准 型 按 的正负、零点 与定义域的位置关系 型 按 的符号、 与 的大小、根与定义域端点的大小 型 按 、（零点 与 比较）讨论 【方法技巧】 1．讨论前先把导函数因式分解，把"含参因子"与"定号因子"分离，可大幅减少讨论量； 2．分类的每条分界线都要找全：零点是否存在（）、零点是否落在定义域内、多个零点谁大谁小，三者缺一不可； 3．讨论要"闭环"：每个小类都要给出完整的单调区间结论，最后汇总表述，做到不重不漏。 【易错清单】 1．忘记 的情形，导致讨论不全，如 必须先讨论 ； 2．忽略定义域对零点的限制，如 中零点 必须与 比较； 3．两根相等（）的情形要单独讨论，此时导函数恒非负（或恒非正），函数在定义域上单调。 知识点4　已知单调性求参数范围 由单调性求参数，关键是区分两类不同的语言： "在区间 上单调（递增）"：只要求 在 上恒成立（且不恒为 ），此时 只需是单调区间的子集； "单调区间为 "（或" 是单调递增区间"）：则 恰为 的解集，须满足 的端点处 且两侧变号。 求参数常用两条路径： 分离参数法：由 得 （或 ），转化为 （或 ）； 含参分类法：直接对含参导函数分类讨论，令其在 上不变号，反推参数范围。 语言 等价条件 陷阱 在 上单调递增 对 恒成立 只需是单调区间的子集 单调递增区间为 的解集恰为 的端点须使 在 上不单调 存在 使 在 内有变号零点 【方法技巧】 1．"恒成立"优先分离参数，把参数与变量分到不等式两侧，再用最值（或端点）定范围，避免繁琐分类； 2．若最值取不到，要检验端点是否可取等，如 恒成立而 取不到时， 可取到该最值； 3．"单调区间为 "要验证"充分性"：不仅要有 在 上恒成立，还要保证 之外的区间上 。 【易错清单】 1．把"在 上单调递增"当成"单调递增区间恰为 "，是最高频的失分点，须补做"完备性"验证； 2．分离参数后忘检验端点，如 在开区间上恒成立时，端点处允许取等号； 3．"在 上不单调"等价于 在 内有变号零点，不能简单理解为" 在 内有解"。 知识点5　函数单调性的应用 单调性是"比较大小、解不等式、证明不等式"的共同工具，核心是把待比较（待证）的量放进同一个函数中，借助 的单调性脱去函数符号。常见三类： 比较大小：若两数的结构相同，构造函数 ，把两数化为 、，再由 与 的大小及 的单调性完成比较； 解不等式：形如 的不等式，先化为 、 落在 的同一单调区间内，再由单调性的"保序"性质得 （或 ），注意定义域对 、 的限制； 证明不等式：常用作差构造（证 ，转化为求 的最值）与同构构造（把两边化为同一结构后借助单调性比较）。 应用 关键动作 注意 比较大小 构造同构函数 必须在所讨论区间上单调 解不等式 把不等式化为 先确认 、 落在同一单调区间 证不等式 作差得 或用最值 的最值必须可求（或进一步求导） 【方法技巧】 1．同构是"比较大小"的最快通道：把两边的式子整理成"同一函数在两点处的取值"，如把 与 都看成 的两个函数值； 2．解不等式"三看"：看 的单调区间、看自变量是否落在同一区间、看定义域的限制； 3．证不等式"一构造、二求导、三定最值"：构造 ，证明 即得结论。 【易错清单】 1．脱去函数符号时必须"保序"：若 递减，则 等价于 ，方向不能颠倒； 2．用单调性比较大小前，必须先确认两数都在同一单调区间内，否则要先通过变形"化归"； 3．证不等式只证 不够，还需 的初值 ，否则不能推出 。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　求函数的单调区间　★★ 【例1-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T10·高考真题）设函数 ，则（　　） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【例1-2】（2024·北京卷·T20·高考真题）设函数 ，当 时， 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式1-6】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． 和 C． D． 重难点培优02　含参函数的单调性讨论（一次型·二次型）　★★★ 【例2-1】（2024·新课标Ⅱ卷·T11·高考真题）设函数 ，则（　　） A．当 时， 有三个零点 B．当 时， 是 的极大值点 C．存在 ，使得 为曲线 的对称轴 D．存在 ，使得点 为曲线 的对称中心 【例2-2】（2026·江苏·南京师大附中·高三模拟）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 在 上单调递增 C．当 时， 在 上单调递减 D． 在 上不可能单调 【变式2-1】设函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递减 B．当 时， 在 上单调递减 C．当 时， 在 上单调递增 D．存在 ，使 在 上单调递增 【变式2-2】设函数 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】设函数 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】设函数 ，则 的单调递增区间为（　　） A． B． 和 C． D． 【变式2-5】设函数 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式2-6】设函数 ，则 在 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 重难点培优03　含参函数的单调性讨论（指数型·对数型）　★★★ 【例3-1】（2025·上海卷·T19·高考真题）已知函数 。若 在 上存在极大值，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2024·全国甲卷·文·T20·高考真题）已知函数 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】当 时，函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　已知单调性求参数范围（"在区间上单调"与"单调区间为"的区别）　★★★ 【例4-1】（2026·全国一卷·T6·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·山东·青岛·高三模拟）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】若函数 的单调递减区间恰为 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【变式4-4】若函数 的单调递增区间恰为 和 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【变式4-5】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　利用单调性比较大小　★★ 【例5-1】（2025·全国一卷·T8·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·浙江·杭州二中·高三模拟）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】设 ，，，则 由大到小的顺序为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】已知 ，则（　　） A． B． C． D． 与 的大小关系不确定 【变式5-5】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　利用单调性解不等式（构造函数）　★★★★ 【例6-1】（2026·湖北·武汉·高三调研）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 。若 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·安徽·合肥·高三调研）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【例6-3】（2026·四川·成都·高三模拟）已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】已知 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】已知偶函数 在 上单调递减，，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　构造函数法证明不等式（作差、作商、同构）　★★★★ 【例7-1】（2026·浙江·宁波·高三调研）已知函数 ，则（　　） A． 对任意 成立，当且仅当 时取等号 B． 对任意 成立 C． 在 上单调递减 D． 的最小值为 【例7-2】（2026·河北·石家庄·高三质检）已知 ，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【例7-3】（2025·湖南·长沙一中·高三模拟）若 ，则（　　） A． B． C． D． 与 的大小关系不确定 【变式7-1】当 时，下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】下列不等式对任意 恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　导数与单调性的交汇创新问题　★★★ 【例8-1】（2026·广东·广州·高三调研）已知函数 在 上单调递增，，则下列结论正确的是（　　） A．，且 的最小值为 B．，且 的最小值为 C．，且 的最小值为 D．，且 的最大值为 【例8-2】（2025·江苏·南京·高三模拟）已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】若函数 在 上有极值点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】已知函数 ，，则（　　） A． 对任意 成立，且 对任意 成立 B． 对任意 成立 C． 对任意 成立 D． 与 均在各自定义域上单调递增 【变式8-5】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】（2026·全国一卷·T6·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 3．【巩固】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】若函数 在 上单调递增，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】设函数 ，则（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减 C． 是 的极小值点 D． 在 上单调递增 10．【进阶】（2025·全国二卷·T10·高考真题）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则（　　） A． B．当 时， C． 当且仅当 D． 是 的极大值点 11．【培优】已知函数 ，则（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 D． 12．【培优】已知函数 ，则（　　） A． 的最小值为 B． 在 上单调递增 C． 在 上单调递增 D． 对任意 恒成立 三、填空题 13．【巩固】函数 的单调递减区间为 ______． 14．【进阶】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ______． 15．【进阶】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ______． 16．【培优】已知函数 ，则不等式 的解集为 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的单调区间； (2) 若 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围． 18．【培优】已知函数 ． (1) 当 时，求 的单调区间； (2) 若 在 上单调递减，求实数 的取值范围． 19．【培优】已知函数 ． (1) 求 的单调区间与最小值； (2) 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 20．【培优】已知函数 ． (1) 求 的单调区间与最大值； (2) 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 导数与函数的单调性（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　导数与函数单调性的关系（含充要条件辨析） 4 知识点2　利用导数求单调区间的一般步骤 5 知识点3　含参函数的单调性讨论 6 知识点4　已知单调性求参数范围 7 知识点5　函数单调性的应用 8 四、重难点培优 10 重难点培优01　求函数的单调区间　★★ 10 重难点培优02　含参函数的单调性讨论（一次型·二次型）　★★★ 13 重难点培优03　含参函数的单调性讨论（指数型·对数型）　★★★ 16 重难点培优04　已知单调性求参数范围（"在区间上单调"与"单调区间为"的区别）　★★★ 19 重难点培优05　利用单调性比较大小　★★ 22 重难点培优06　利用单调性解不等式（构造函数）　★★★★ 25 重难点培优07　构造函数法证明不等式（作差、作商、同构）　★★★★ 29 重难点培优08　导数与单调性的交汇创新问题　★★★ 32 五、过关检测 36 一、单选题 36 二、多选题 38 三、填空题 40 四、解答题 41 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 导数与函数单调性的关系 理解 （）与单调递增（减）的关系，明确"充分不必要"的层次，掌握 且不恒为 的等价刻画 利用导数求单调区间 掌握"定义域优先—求导—解不等式—定区间"的一般步骤，规范书写，会用因式分解快速定号 含参函数的单调性讨论 能按导函数零点的存在性、个数与大小关系分类，覆盖一次型、二次型、指数型与对数型载体 已知单调性求参数范围 正确区分"在区间 上单调"与"单调区间为 "，熟练运用分离参数法与含参分类法 函数单调性的应用 会利用单调性比较大小、解不等式、证明不等式，掌握构造函数（作差、作商、同构）的通性通法 近三年高考真题对"导数与函数的单调性"板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 已知函数最大值求参数，由单调性定位极值点 ★★ 2026 全国二卷 T19 含参函数单调性、恒成立与最值（压轴） ★★★★ 2026 天津卷 T20 导数综合：切线、单调性、恒成立求参数最大值 ★★★★ 2025 全国一卷 T8 构造函数比较大小（指数、对数交汇） ★★★ 2025 全国二卷 T10 奇函数的单调性与极大值点判定 ★★★ 2025 全国二卷 T18 对数型函数极值点、零点与单调性证明（压轴） ★★★★ 2025 上海卷 T19 含参对数型函数存在极大值，求参数范围 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T10 三次函数的单调区间、极值与大小比较 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T11 含参三次函数的单调性、零点与对称性 ★★★★ 2024 全国甲卷·文 T20 含参对数型函数的单调性讨论 ★★★ 2024 北京卷 T20 对数型函数的单调区间与切线几何意义（压轴） ★★★★ 考情分析 函数的单调性是导数最核心的应用之一，也是每年高考的必考内容。近三年统计显示，本板块在选填题与解答题中均有稳定考查：选填题多以"利用导数求（判断）单调区间、比较大小、由最值求参数"为载体，如 2026 年全国一卷第 6 题、2025 年全国一卷第 8 题、2024 年新课标Ⅰ卷第 10 题；解答题则常以"含参函数讨论单调性"作为第一问，并顺势延伸到极值、零点、恒成立与不等式证明，如 2025 年全国二卷第 18 题、2026 年天津卷第 20 题。命题的显著趋势是"含参数化"与"结构化"：命题者偏爱以 、 与二次函数的组合为载体，考查分类讨论的完备性；同时借"同构、构造"等技巧考查数学抽象与逻辑推理素养。依据《中国高考评价体系》对"综合性、创新性"的要求，预测 2027 年高考仍会以"含参讨论"与"构造函数"为两条主线，其中"已知单调性求参数范围"与"利用单调性证明不等式"是拉开分差的关键。 复习目标 1．厘清 （）与单调递增（减）的充分、必要层次，掌握 且不恒为 的等价刻画； 2．熟练"定义域优先、求导、解不等式、定区间"四步法，规范书写单调区间，杜绝用并集符号连接； 3．掌握含参函数单调性讨论的分类标准：导函数零点是否存在、是否落在定义域内、多个零点谁大谁小； 4．辨明"在区间上单调"与"单调区间为"两类参数问题的差异，系统掌握比较大小、解不等式、证不等式的构造函数通法。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　导数与函数的单调性知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　导数与函数单调性的关系（含充要条件辨析） 设函数 在区间 内可导，由导数与单调性的关系可得： ①若在 上 ，则 在 上单调递增；若 ，则 在 上单调递减； ②上述结论的反面不成立： 在 上单调递增，未必有 ，例如 在 上单调递增，但 。 因此， 是 单调递增的充分不必要条件。严格意义下的等价刻画（充要条件）为： 在区间 上单调递增 在 上恒成立，且 在 的任意子区间上不恒为 ； 在区间 上单调递减 在 上恒成立，且 在 的任意子区间上不恒为 。 条件 结论 层次 在 上恒成立 在 上单调递增 充分不必要 在 上单调递增 在 上恒成立（且不恒为 ） 充要（严格递增的刻画） 在 上恒成立 在 上为常函数 不增不减 【方法技巧】 1．"求单调性"用区间法：令 得增区间，令 得减区间，不必再过问 的零点； 2．"证明单调性"用恒成立法：证明 （）且不恒为 是证明递增（减）的标准动作； 3．"由单调性求参数"要警惕""与""的差别：区间上单调只需 恒成立，别把 误写成 而丢掉端点。 【易错清单】 1． 只是单调递增的充分条件，由函数单调递增推不出 ，两者不可等同； 2．若在区间 上 且等号仅在有限个点处成立，则 仍严格递增，不要因"存在 "就否定严格单调； 3．单调区间一定生在定义域内，求导之前先写定义域，否则易把不在定义域内的区间纳入答案。 知识点2　利用导数求单调区间的一般步骤 求可导函数 的单调区间，一般遵循"四步走"： 第一步 定定义域——写出 的定义域，求单调区间必须在定义域内进行； 第二步 求导数——求出 ，并尽量通分、因式分解，把含参因子与定号因子分离； 第三步 解不等式——令 解得增区间，令 解得减区间； 第四步 定区间——把解集写成区间，多个区间用"，"或"和"连接，不能用并集符号""连接单调区间。 函数 导数 单调递增区间 单调递减区间 和 【方法技巧】 1．导函数尽量化为"积或商"的形式再定号，因式分解后每个因子的符号一目了然； 2．导数中含 时记住 恒成立，分子（或分母）的符号只由多项式决定；含 时须先锁定 ； 3．多个零点把定义域"分段"讨论符号，如 需按 、、 三段定号。 【易错清单】 1．先求定义域再求导，如 的单调区间只能落在 内； 2．单调区间不能用并集""连接，如增减区间应写作 和 ，不可写成 ； 3．界点处函数是否有定义决定区间开闭，界点处函数有定义通常写闭（如 ），无定义则写开。 知识点3　含参函数的单调性讨论 含参函数单调性讨论的核心是对导函数零点进行分类，常见载体可归为三类： 一次型：（或可化为该形式），按 、、 以及零点与定义域的位置讨论； 二次型：令 得二次方程，按判别式 的符号、两根的大小关系、根与定义域端点的位置关系三层讨论； 指数对数型：常化为 、 等形式，由 、 的定义域先定号，再对含参零点分类。 讨论套路可概括为：定义域 → 求导并因式分解 → 求导函数零点 → 比较零点与定义域端点、比较零点之间的大小 → 逐段定号 → 分段写结论。 参数位置 分类标准 型 按 的正负、零点 与定义域的位置关系 型 按 的符号、 与 的大小、根与定义域端点的大小 型 按 、（零点 与 比较）讨论 【方法技巧】 1．讨论前先把导函数因式分解，把"含参因子"与"定号因子"分离，可大幅减少讨论量； 2．分类的每条分界线都要找全：零点是否存在（）、零点是否落在定义域内、多个零点谁大谁小，三者缺一不可； 3．讨论要"闭环"：每个小类都要给出完整的单调区间结论，最后汇总表述，做到不重不漏。 【易错清单】 1．忘记 的情形，导致讨论不全，如 必须先讨论 ； 2．忽略定义域对零点的限制，如 中零点 必须与 比较； 3．两根相等（）的情形要单独讨论，此时导函数恒非负（或恒非正），函数在定义域上单调。 知识点4　已知单调性求参数范围 由单调性求参数，关键是区分两类不同的语言： "在区间 上单调（递增）"：只要求 在 上恒成立（且不恒为 ），此时 只需是单调区间的子集； "单调区间为 "（或" 是单调递增区间"）：则 恰为 的解集，须满足 的端点处 且两侧变号。 求参数常用两条路径： 分离参数法：由 得 （或 ），转化为 （或 ）； 含参分类法：直接对含参导函数分类讨论，令其在 上不变号，反推参数范围。 语言 等价条件 陷阱 在 上单调递增 对 恒成立 只需是单调区间的子集 单调递增区间为 的解集恰为 的端点须使 在 上不单调 存在 使 在 内有变号零点 【方法技巧】 1．"恒成立"优先分离参数，把参数与变量分到不等式两侧，再用最值（或端点）定范围，避免繁琐分类； 2．若最值取不到，要检验端点是否可取等，如 恒成立而 取不到时， 可取到该最值； 3．"单调区间为 "要验证"充分性"：不仅要有 在 上恒成立，还要保证 之外的区间上 。 【易错清单】 1．把"在 上单调递增"当成"单调递增区间恰为 "，是最高频的失分点，须补做"完备性"验证； 2．分离参数后忘检验端点，如 在开区间上恒成立时，端点处允许取等号； 3．"在 上不单调"等价于 在 内有变号零点，不能简单理解为" 在 内有解"。 知识点5　函数单调性的应用 单调性是"比较大小、解不等式、证明不等式"的共同工具，核心是把待比较（待证）的量放进同一个函数中，借助 的单调性脱去函数符号。常见三类： 比较大小：若两数的结构相同，构造函数 ，把两数化为 、，再由 与 的大小及 的单调性完成比较； 解不等式：形如 的不等式，先化为 、 落在 的同一单调区间内，再由单调性的"保序"性质得 （或 ），注意定义域对 、 的限制； 证明不等式：常用作差构造（证 ，转化为求 的最值）与同构构造（把两边化为同一结构后借助单调性比较）。 应用 关键动作 注意 比较大小 构造同构函数 必须在所讨论区间上单调 解不等式 把不等式化为 先确认 、 落在同一单调区间 证不等式 作差得 或用最值 的最值必须可求（或进一步求导） 【方法技巧】 1．同构是"比较大小"的最快通道：把两边的式子整理成"同一函数在两点处的取值"，如把 与 都看成 的两个函数值； 2．解不等式"三看"：看 的单调区间、看自变量是否落在同一区间、看定义域的限制； 3．证不等式"一构造、二求导、三定最值"：构造 ，证明 即得结论。 【易错清单】 1．脱去函数符号时必须"保序"：若 递减，则 等价于 ，方向不能颠倒； 2．用单调性比较大小前，必须先确认两数都在同一单调区间内，否则要先通过变形"化归"； 3．证不等式只证 不够，还需 的初值 ，否则不能推出 。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　求函数的单调区间　★★ 【解题技巧】求单调区间"四步定音"：先定定义域，再求导（通分、因式分解），然后解 与 ，最后把解集写成区间。含 的导数记住 恒成立，定号只需看多项式；含 的导数先锁定 。多个零点要按零点把定义域分段定号，决不漏段。 【注意事项】三个高频坑：①忽略定义域，把不在定义域内的区间写进答案；②用并集""连接单调区间，如 被误当作单调区间；③解 时对因式符号判断不全，把"积为正"误当成"两因子均正"。牢记：单调区间之间用"，"或"和"连接，不用并集。 【例1-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T10·高考真题）设函数 ，则（　　） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】ACD 【解题思路】先对 求导、因式分解，求出增、减区间，再逐项用单调性判断。 【解答过程】 的定义域为 。。 令 ，得 或 ；令 ，得 。 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减。 对 A： 处导数由正变负， 处导数由负变正，故 是极小值点，A 正确； 对 B：当 时，，即 ，而 在 上单调递增，故 ，B 错误； 对 C：当 时，，而 在 上单调递减，故 ，即 ，所以 ，C 正确； 对 D：，因 ，故差 。当 时，，，故差大于 ，即 ，D 正确。 故选 ACD。 【例1-2】（2024·北京卷·T20·高考真题）设函数 ，当 时， 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先定定义域，再求导并通分，解 得减区间。 【解答过程】 的定义域为 。 当 时，，则 。 令 ，得 ，结合 知 ； 令 ，得 。 所以 在 上单调递减，在 上单调递增。 故选 A。 【变式1-1】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导、因式分解，解 得减区间。 【解答过程】。 令 ，得 ，即 。 所以 的单调递减区间为 。故选 B。 【变式1-2】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】定义域为 ，求导后解 。 【解答过程】 的定义域为 。。 令 ，得 ，即 。 所以 的单调递增区间为 。故选 C。 【变式1-3】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导得 ，由 只判断 的符号。 【解答过程】。因 恒成立，故 。 所以 的单调递减区间为 。故选 B。 【变式1-4】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】定义域为 ，求导通分后解 。 【解答过程】 的定义域为 。。 因 、，故 。 所以 的单调递减区间为 。故选 A。 【变式1-5】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】定义域为 ，求导得 ，解 。 【解答过程】 的定义域为 。。 令 ，得 。所以 的单调递减区间为 。故选 D。 【变式1-6】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． 和 C． D． 【答案】B 【解题思路】求导得 ，解 ，注意区间之间用"和"连接。 【解答过程】。令 ，得 或 。 所以 的单调递增区间为 和 。故选 B。 重难点培优02　含参函数的单调性讨论（一次型·二次型）　★★★ 【解题技巧】一次型与二次型的通法：先把导函数因式分解，露出含参因子，再按"零点是否存在—零点是否在定义域内—零点谁大谁小"三步分类。一次型按最高次项系数的正负与零分类；二次型按判别式 的符号、两根大小、根与定义域端点的位置分类。可用"特值代入法"快速检验讨论是否遗漏（如取 、、 处于两根相等处）。 【注意事项】含参讨论最容易"漏类"：①漏掉最高次项系数为零（）的情形；②漏掉两根相等（）的情形；③漏掉零点恰落在定义域端点（如 ）的情形。另外， 与 时开口方向不同， 的解集形式完全不同，务必分清。 【例2-1】（2024·新课标Ⅱ卷·T11·高考真题）设函数 ，则（　　） A．当 时， 有三个零点 B．当 时， 是 的极大值点 C．存在 ，使得 为曲线 的对称轴 D．存在 ，使得点 为曲线 的对称中心 【答案】AD 【解题思路】先求导并因式分解得 ，按 的正负确定单调性，再逐项判断。 【解答过程】，令 ，得 或 。 对 A：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减。极大值 ，极小值 ，由零点存在定理知 在 、、 上各有一个零点，故有三个零点，A 正确； 对 B：当 时， 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故 是极小值点，B 错误； 对 C：三次函数图象不具备对称轴，C 错误； 对 D：取 ，则 ，其图象关于点 中心对称，故存在 使 对应的点为对称中心，D 正确。 故选 AD。 【例2-2】（2026·江苏·南京师大附中·高三模拟）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 在 上单调递增 C．当 时， 在 上单调递减 D． 在 上不可能单调 【答案】A 【解题思路】求导得 ，按 与 分类讨论符号。 【解答过程】 的定义域为 。。 当 时，，故 ，从而 在 上恒成立， 单调递增，A 正确，C 错误； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 。故 先增后减，不单调，B、D 错误。 故选 A。 【变式2-1】设函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递减 B．当 时， 在 上单调递减 C．当 时， 在 上单调递增 D．存在 ，使 在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】求导得 ，按 与 分类定号。 【解答过程】 的定义域为 。。 当 时，，故 恒成立， 单调递减，A 正确； 当 时，令 ，得 ；令 ，得 。故 在 上递减，在 上递增，B、C 正确； 无论 （递减）还是 （先减后增）， 都不能在 上整体递增，D 错误。 故选 ABC。 【变式2-2】设函数 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】定义域为 ，求导通分后解 。 【解答过程】 的定义域为 。。 因 ，故 ，。 所以 的单调递减区间为 。故选 B。 【变式2-3】设函数 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导通分，分子可因式分解为 ，再比较两根大小定号。 【解答过程】 的定义域为 。。 因 ，故 ，。 所以 的单调递减区间为 。故选 A。 【变式2-4】设函数 ，则 的单调递增区间为（　　） A． B． 和 C． D． 【答案】B 【解题思路】求导得 ，比较两根 与 的大小后定号。 【解答过程】，令 ，得 或 。 因 ，故 ， 或 。 所以 的单调递增区间为 和 。故选 B。 【变式2-5】设函数 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导得 ，比较两根 与 的大小后定号。 【解答过程】，令 ，得 或 。 因 ，故 ，。 所以 的单调递减区间为 。故选 C。 【变式2-6】设函数 ，则 在 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先减后增 D．先增后减 【答案】A 【解题思路】求导得 ，由 判断符号。 【解答过程】。因 、，故 恒成立。 所以 在 上单调递增。故选 A。 重难点培优03　含参函数的单调性讨论（指数型·对数型）　★★★ 【解题技巧】指数、对数型含参讨论的"拆因子、比零点"策略：把导函数化为"（或 ）乘一个一次或二次因式"的形式，再讨论含参因式的零点与定义域端点的位置。典型地， 型的题，定义域 使"零点 与 谁大"成为分类主线索； 型的题，由 直接归结为比较 与 。 【注意事项】指数、对数型讨论的陷阱集中在"定义域限制"与"多重零点"：①忘记 要求 ，把负零点也当作有效零点；②含参数零点与端点 、 的大小未分类，导致漏掉"两零点均在定义域内"或"仅一个零点在定义域内"的情形；③参数使两根相等时未单独处理，此时导函数不变号、函数整体单调。特别提醒：若函数在 上"存在极大值"，则导函数必须先正后负，需分类讨论参数的临界值。 【例3-1】（2025·上海卷·T19·高考真题）已知函数 。若 在 上存在极大值，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导并因式分解得 ，讨论 、、、 四类，寻找"导数先正后负"的参数范围。 【解答过程】 的定义域为 。 。 ①当 时，对 有 ，故 ，， 在 处取极小值，无极大值； ②当 时，比较 与 ： 若 ，则 ， 在 上单调递增，无极大值； 若 ，则 ， 或 ， 在 处取极大值； 若 ，则 ， 或 ， 在 处取极大值。 综上， 在 上存在极大值当且仅当 且 ，即 。 故选 C。 【例3-2】（2024·全国甲卷·文·T20·高考真题）已知函数 ，则 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】定义域为 ，求导通分得 ，由 解 。 【解答过程】 的定义域为 。。 因 ，故 ，。 所以 的单调递减区间为 。故选 A。 【变式3-1】当 时，函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导得 ，由 的单调性解 。 【解答过程】。因 ，故 。 所以 的单调递减区间为 。故选 B。 【变式3-2】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】定义域为 ，求导得 ，解 。 【解答过程】 的定义域为 。。 令 ，得 。所以 的单调递减区间为 。故选 C。 【变式3-3】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导得 ，由 只判断 的符号。 【解答过程】。 因 恒成立，故 。 所以 的单调递减区间为 。故选 A。 【变式3-4】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】定义域为 ，求导通分，由分子恒正判断符号。 【解答过程】 的定义域为 。。 因 、，故 ， 在 上恒成立。 所以 的单调递增区间为 。故选 D。 【变式3-5】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】定义域为 ，求导通分得 ，解 。 【解答过程】 的定义域为 。。 因 ，故 。 所以 的单调递减区间为 。故选 B。 【变式3-6】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】定义域为 ，求导通分得 ，解 。 【解答过程】 的定义域为 。。 因 ，故 。 所以 的单调递增区间为 。故选 D。 重难点培优04　已知单调性求参数范围（"在区间上单调"与"单调区间为"的区别）　★★★ 【解题技巧】两类语言两种解法：①"在区间 上单调递增"只需 在 上恒成立（且不恒为 ），用分离参数化为 ，取 ；②"单调递增区间恰为 "则 的解集必须正好是 ，须由 的两零点反解参数。恒成立问题记住"能分离就分离，不能分离就分类"，分离后务必回到端点验证是否可取等号。 【注意事项】参数范围的边界值最易出错：①"在 上单调"与"单调区间为 "混淆，前者宽松（子集即可），后者严格（恰为）；②分离参数后取值区间的开闭判断错误，如 恒成立而 取不到时， 可取到该最小值；③用 求参后没有回代检验，可能出现 在 上恒为 （函数为常函数）的反例。 【例4-1】（2026·全国一卷·T6·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求导并确定函数的单调区间，得最大值点 ，再由最大值等于 解出 。 【解答过程】 的定义域为 。 。 因 恒成立，故 ，。 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值在 处取得。 由 ，得 ，即 。 故选 B。 【例4-2】（2026·山东·青岛·高三模拟）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"在区间上单调递增"等价于 恒成立，分离参数求最值。 【解答过程】。由 在 上单调递增，知 对 恒成立， 即 对 恒成立。因 时 ，故只需 ，此时 且等号仅在 无限接近 时取到趋势，不恒为 。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【变式4-1】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由 恒成立分离参数，得 ，求 在 上的最小值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 由 在 上单调递增，知 对 恒成立，即 对 恒成立。 设 ，则 对 成立，故 在 上单调递增，。 所以只需 （此时 在 上恒成立），即 。故选 B。 【变式4-2】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 在 上恒成立分离参数，求 在该区间上的最小值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 由 在 上单调递增，知 对 恒成立，即 对 恒成立。 因 时 ，故只需 （此时 ，等号仅在 处取到，不恒为 ）。 所以 。故选 A。 【变式4-3】若函数 的单调递减区间恰为 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"单调递减区间恰为 "意味着 的解集恰为 ，故 与 恰为 的两根。 【解答过程】。由题意， 的解集恰为 ，故 和 是 的两根。 将 代入得 ；此时 ，令 得 ，与题意相符（验证端点： 处 ， 时 ）。 所以 。故选 A。 【变式4-4】若函数 的单调递增区间恰为 和 ，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"单调递增区间恰为 和 "意味着 的解集恰为这两段，故 、 为 的两根。 【解答过程】。由题意， 与 是 的两根。 由韦达定理，两根之积 ，即 。 验证：此时 ， 的解集为 ，与题意相符。 所以 。故选 A。 【变式4-5】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 在 上恒成立，转化为求 的最小值。 【解答过程】。由 在 上单调递增，知 对一切 恒成立，即 恒成立。 因 ，其下确界为 （当 时 ），故只需 。 当 时 恒成立， 严格递增，符合题意。 所以 。故选 A。 重难点培优05　利用单调性比较大小　★★ 【解题技巧】比较大小的"同构定音"三步：①观察两式结构是否相同；②不同则通过变形（取对数、除以 、移项）使两边化为同一函数 在两点的函数值；③判断 的单调性，由自变量的位置比较函数值。常备几个"母函数"： 在 上增、 上减， 在 上增、 上减， 在 上减、 上增。 【注意事项】比较大小的两个陷阱：①构造函数后忘记交代其单调区间，直接比较自变量，导致"跨界"比较出错；②取对数、作商时忽略取值范围，如 只在 时有意义，作商比较时须保证两式同号。特别地，涉及 的比较，务必先判断自变量与 的大小关系。 【例5-1】（2025·全国一卷·T8·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设公共值为 ，把 表示成 的指数函数，再取 的特殊值逐项排除。 【解答过程】设 ，则 ，，， 故 ，，。 取 ：，，，此时 ，A 可能； 取 ：，，，此时 ，C 可能； 取 ：，，，此时 ，D 可能。 只有 无法实现。故选 B。 【例5-2】（2026·浙江·杭州二中·高三模拟）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】三个数具有同一结构 ，构造 ，研究其单调性后比较函数值。 【解答过程】构造函数 ，则 ，，。 ，令 得 ，令 得 。 故 在 上单调递增，在 上单调递减， 的最大值为 。 因 ，故 ，即 ； 因 ，故 ，即 ； 再比较 与 ：，成立，故 。 综上 。故选 B。 【变式5-1】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】同构 ，注意 恰为最大值，再比较 、 与 的位置。 【解答过程】令 ，则 ，，。 由 知 在 上递增，在 上递减，故 为最大值； 因 且 均大于 ，故 ，即 ；因 ，故 ，即 。 综上 。故选 B。 【变式5-2】设 ，，，则 由大到小的顺序为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】同构 ， 为最大值，再比较 与 （两者都在递增段上）。 【解答过程】令 ，则 ，，。 由 知 在 上单调递增，在 上单调递减，故 为最大值。 因 ，故 ，即 。 综上 。故选 A。 【变式5-3】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先把三式同构为 的形式，再比较 在 、、 处的取值。 【解答过程】注意到 ，，。 令 ，则 ，，，比较 等价于比较 。 由 知 在 上单调递增，在 上单调递减， 故 最大；又 ，故 。 所以 。故选 C。 【变式5-4】已知 ，则（　　） A． B． C． D． 与 的大小关系不确定 【答案】A 【解题思路】两边取对数，把指数比较转化为 的函数值比较。 【解答过程】 与 均为正数，取对数后比较 与 。 令 ，则 ，当 时 ，故 在 上单调递增。 因 ，故 ，即 。 因 ，两边同乘 得 ，即 。 所以 。故选 A。 【变式5-5】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用切线放缩 （）与 判断 、、 的大小。 【解答过程】设 ，则 ， 在 上单调递减。 故 ，即 ，所以 。 设 ，则 ， 在 上单调递增， 故 ，即 ，所以 。 综上 。故选 B。 重难点培优06　利用单调性解不等式（构造函数）　★★★★ 【解题技巧】解抽象函数不等式的"构造—定单调—比自变量"三步法：①根据 与 的关系式构造辅助函数（ 构造 ， 构造 ，含 构造 ）；②用导数判断 的单调性；③把原不等式化为 ，脱去 得 。活用奇偶性"翻译"区间内外的大小关系是处理偶函数、奇函数不等式的关键。 【注意事项】解不等式三个易错点：①脱去函数符号时方向搞反，若 递减，，不等号方向必须随单调性翻转；②忽略定义域限定，如含 时须先保证 ；③偶函数不等式未化为" 与 比较"，直接按单调区间比较会丢解。牢记：偶函数在 上的单调性，决定其图象在 上的"对称"增减规律。 【例6-1】（2026·湖北·武汉·高三调研）已知定义在 上的函数 的导函数为 ，且满足 。若 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 构造 ，判断 递减，把 化为 。 【解答过程】构造 ，则 。 因 ，故 在 上恒成立， 在 上单调递减。 又 ，故 。 由 递减得 ，即解集为 。故选 C。 【例6-2】（2025·安徽·合肥·高三调研）已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由偶函数性质把 转化为 ，再解绝对值不等式。 【解答过程】因 是偶函数，故 ，且 在 上单调递减、在 上单调递增。 当且仅当 ，即 ，解得 。 所以解集为 。故选 A。 【例6-3】（2026·四川·成都·高三模拟）已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断 的奇偶性与单调性，再由奇函数性质把 化为 脱去 。 【解答过程】，故 为奇函数；，故 在 上单调递增。 。 脱去 得 ，解得 。故解集为 。故选 A。 【变式6-1】已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 单调递增，把 脱去 得 。 【解答过程】由 知 在 上单调递增。 ，解得 。故解集为 。故选 A。 【变式6-2】已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先定定义域并判断 递增，再把 脱去 ，同时保证定义域。 【解答过程】 的定义域为 ，，故 在 上单调递增。 需先满足定义域 ，此时等价于 ，即 ，解得 。 故解集为 。故选 A。 【变式6-3】已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 构造 ，判断 递增，把 化为 。 【解答过程】构造 ，则 。 因 ，故 ， 在 上单调递增。 又 ，故 ， 由 递增得 。故解集为 。故选 C。 【变式6-4】已知 在 上单调递增，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由定义域保证 ，再脱去 得 。 【解答过程】 的定义域为 ，故须 。 由 在 上单调递增，， 解得 。故解集为 。故选 A。 【变式6-5】已知偶函数 在 上单调递减，，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由偶函数性质把 转化为 ，再解绝对值不等式。 【解答过程】因 是偶函数，故 ， 当且仅当 （因 在 上递减， 离原点越远函数值越小）。 解得 或 ，即 或 。 故解集为 。故选 A。 重难点培优07　构造函数法证明不等式（作差、作商、同构）　★★★★ 【解题技巧】证明不等式的三条通道：①作差构造——把不等式移项为 ，对 求导、定单调、求 的最值（或初值），由"最小值大于 "得证；②作商构造——当两式同号时比较 与 ；③同构构造——把两边整理成同一函数 在两点的取值，再由 的单调性得证。常见的"母函数"有 ，，。 【注意事项】证不等式的三类失分：①只证了 就下结论，缺少" 的初值"这一环，实际须由 与单调性共同推出；②作商时忽略分母的正负号，作商比较必须以两式同号为前提，否则不等号方向出错；③同构时构造函数与自变量范围不匹配，如 在 上递减、在 上递增，跨过 的比较大小时不能直接套用单调性。此外，由 、 作出的"切线放缩"是证题利器，但只给出""或""方向，取等条件必须交代清楚。 【例7-1】（2026·浙江·宁波·高三调研）已知函数 ，则（　　） A． 对任意 成立，当且仅当 时取等号 B． 对任意 成立 C． 在 上单调递减 D． 的最小值为 【答案】A 【解题思路】作差构造 ，求导、定单调、求最小值，判断符号。 【解答过程】令 ，则 。 令 得 ，令 得 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增。 所以 ，且等号当且仅当 时成立。 故 对任意 成立，A 正确，B、D 错误； 并非单调递减，C 错误。 故选 A。 【例7-2】（2026·河北·石家庄·高三质检）已知 ，则下列不等式恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对 A、B 作差构造 并判断单调性；对 C、D 用切线放缩排除。 【解答过程】令 ，则 。 故 在 上单调递增，，即 ，A 正确，B 错误； 由 知 C 错误；由 知 D 错误。 故选 A。 【例7-3】（2025·湖南·长沙一中·高三模拟）若 ，则（　　） A． B． C． D． 与 的大小关系不确定 【答案】B 【解题思路】两边取对数把指数比较同构为 的函数值比较。 【解答过程】 与 均为正数，比较 与 。 因 ，比较 与 等价于比较 与 。 令 ，则 ，故 在 上单调递增。 因 ，故 ，即 ，两边同乘正数 得 。 所以 ，即 。故选 B。 【变式7-1】当 时，下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作差构造 ，求导判断其在 上递增。 【解答过程】令 ，则 。 故 在 上单调递增，，即 ，A 错误，B 正确； 由 B 正确及 （ 时）知 ，C 错误；由 知 D 错误。 故选 B。 【变式7-2】下列不等式对任意 恒成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对 A、B 用 的切线放缩；对 C、D 分别判断取等条件是否成立。 【解答过程】令 ，则 ，在 上 ，，即 ，A 正确，B 错误； 令 ，则 ，在 上递增、 上递减，，即 ，取等仅在 ，故 C 错误； 令 ，则 ，在 处取最小值 ，故 ，取等仅在 ，故 D 错误。 故选 A。 【变式7-3】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】作差构造 ，求其最小值，确定取等点后写解集。 【解答过程】令 ，则 。 令 得 ，令 得 ，故 ，等号仅在 处成立。 所以 对一切 且 成立，解集为 。故选 C。 【变式7-4】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导、定单调、求极小值即得最小值。 【解答过程】。令 得 ，令 得 ，故 在 处取最小值。 ，所以最小值为 。故选 A。 【变式7-5】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导、定单调、求极大值即得最大值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 令 得 ，令 得 ，故 在 处取最大值。 ，所以最大值为 。故选 A。 重难点培优08　导数与单调性的交汇创新问题　★★★ 【解题技巧】交汇创新题"拆分—归位"法：把题目拆成"导数与单调性""参数范围""函数最值"等模块，逐个用通法解决后拼装答案。常见交汇形式有：①单调性与最值联结——由"最大值""恒成立"反解参数；②单调性与不等式联结——由单调性脱去函数符号；③单调性与数列、不等式放缩联结——用单调性给出数列不等式的界。处理"已知单调性求参数"再叠加"求最值"的双问结构时，先由单调性锁定参数的临界值，再代入验证最值。 【注意事项】交汇题的两个隐蔽陷阱：①把"存在极值点"当成"导数有零点"，须同时保证零点两侧导数变号（导函数在零点处变号），否则只是"驻点"；②多个条件叠加时未取交集，如" 在 上单调递增"与" 有最小值"两个结论应分别求出各自的参数范围，再合成最终答案，而非简单相加。此外，恒成立问题中"端点最值"与"内点最值"要分清，端点取不到时要特别留意。 【例8-1】（2026·广东·广州·高三调研）已知函数 在 上单调递增，，则下列结论正确的是（　　） A．，且 的最小值为 B．，且 的最小值为 C．，且 的最小值为 D．，且 的最大值为 【答案】A 【解题思路】由 单调递增求出 的范围，再由 求导求最小值。 【解答过程】。由 在 上单调递增，知 恒成立，故 。 对 ，。令 得 ，令 得 ，故 在 处取最小值。 ，所以 的最小值为 。 结合 ，故选 A。 【例8-2】（2025·江苏·南京·高三模拟）已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用 与 两条放缩夹逼，比较 与 、 与 。 【解答过程】记 ，则 ，，。 令 ，则 ，故 ，即 ，所以 。 令 ，则 ，故 ，即 ，所以 。 综上 。故选 A。 【变式8-1】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 恒成立转化为二次函数最小值非负。 【解答过程】。由 在 上单调递增，知 恒成立， 故 的最小值 满足 ，即 （此时 ，等号仅在 处取到，不恒为 ）。 所以 。故选 A。 【变式8-2】若函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"不单调"等价于 在 内有变号零点，分离参数求零点所在范围。 【解答过程】 的定义域为 ，。 在 上不单调，等价于 在 内有变号零点，即 在 内有解且两侧变号。 因 时 ，且 随 增大而由正变负，故 。 所以 。故选 A。 【变式8-3】若函数 在 上有极值点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"有极值点"等价于 在 内有变号零点。 【解答过程】。 在 上有极值点，等价于 在 内有变号零点，即 在 内有解且两侧变号。 因 时 ，且 在零点（）两侧由负变正，故 。 所以 。故选 A。 【变式8-4】已知函数 ，，则（　　） A． 对任意 成立，且 对任意 成立 B． 对任意 成立 C． 对任意 成立 D． 与 均在各自定义域上单调递增 【答案】A 【解题思路】分别作差构造并求导，判断两函数在各自定义域上的最小值。 【解答过程】对 ，，在 上递减、 上递增，，故 恒成立，B 错误； 对 ，，在 上递减、 上递增，，故 恒成立，C 错误； 两函数均非定义域上的单调函数，D 错误； 与 均在 A 中给出，A 正确。 故选 A。 【变式8-5】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，求右侧函数的最大值。 【解答过程】由 且 ，得 对 恒成立。 令 ，则 。 令 得 ，令 得 ，故 在 处取最大值 。 所以只需 ，即 。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导、因式分解，解 得减区间。 【解答过程】。令 ，得 。 所以单调递减区间为 。故选 A。 2．【巩固】（2026·全国一卷·T6·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导确定最大值点 ，由最大值等于 解出 。 【解答过程】。因 ，故 ，， 所以 在 处取最大值。由 ，得 。故选 B。 3．【巩固】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】定义域为 ，求导判断符号。 【解答过程】 的定义域为 ， 恒成立。 所以单调递增区间为 。故选 C。 4．【巩固】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导得 ，由 只判断 的符号。 【解答过程】。因 恒成立，故 。 所以单调递增区间为 。故选 A。 5．【进阶】若函数 在 上单调递增，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 恒成立分离参数，求 的最小值。 【解答过程】 对 恒成立，即 对 恒成立。 由基本不等式 ，当且仅当 即 时取等号， 故 的最小值为 ，所以 的最大值为 。故选 A。 6．【进阶】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】同构 ，在 上单调递减，比较 处的函数值。 【解答过程】令 ，则 ，，。 ，当 时 ，故 在 上单调递减。 因 ，故 ，即 。故选 A。 7．【进阶】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由偶函数性质把 转化为 。 【解答过程】因 是偶函数，故 ，且 在 上单调递增。 当且仅当 ，解得 或 。 所以解集为 。故选 B。 8．【进阶】已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造 ，判断 递增，把不等式化为 。 【解答过程】构造 ，则 ，故 在 上单调递增。 又 ，，由 递增得 。 所以解集为 。故选 C。 二、多选题 9．【进阶】设函数 ，则（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减 C． 是 的极小值点 D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】求导得 ，确定单调区间与极值点后逐项判断。 【解答过程】，令 得 。 的解集为 ， 的解集为 。 故 在 和 上递增、 上递减，A、B 正确； 处导数由负变正，故 是极小值点，C 正确； 在 上不单调，D 错误。 故选 ABC。 10．【进阶】（2025·全国二卷·T10·高考真题）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则（　　） A． B．当 时， C． 当且仅当 D． 是 的极大值点 【答案】ABD 【解题思路】利用奇函数性质判断 A、B，再对 部分求导定单调性，结合奇偶性判断 C、D。 【解答过程】因 是定义在 上的奇函数，故 ，A 正确； 当 时，，故 ，由 得 ，B 正确； 当 时，，在 上 ，在 上 ， 故 在 处取极小值，，故 不能"当且仅当 "成立，C 错误； 由 是极小值点及奇函数图象关于原点对称，知 是极大值点，D 正确。 故选 ABD。 11．【培优】已知函数 ，则（　　） A． 在 上单调递增 B． 在 上单调递减 C． 的最大值为 D． 【答案】ABC 【解题思路】求导得 ，确定单调区间与最大值后逐项判断。 【解答过程】 的定义域为 ，。 令 得 ，令 得 ，故 在 上递增、 上递减，A、B 正确； 最大值 ，C 正确； 因 ，故 ，D 错误。 故选 ABC。 12．【培优】已知函数 ，则（　　） A． 的最小值为 B． 在 上单调递增 C． 在 上单调递增 D． 对任意 恒成立 【答案】ACD 【解题思路】求导得 ，确定单调区间与最小值后逐项判断。 【解答过程】。令 得 ，令 得 ， 故 在 上单调递减、 上单调递增，B 错误，C 正确； 最小值 ，A 正确；由最小值 知 恒成立，D 正确。 故选 ACD。 三、填空题 13．【巩固】函数 的单调递减区间为 ______． 【答案】 【解题思路】定义域为 ，求导通分后解 。 【解答过程】 的定义域为 ，。 令 ，结合 得 ，故单调递减区间为 。 14．【进阶】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】由 恒成立，令二次函数判别式不大于 。 【解答过程】。由 在 上单调递增，知 恒成立， 需 ，解得 。 所以 的取值范围是 。 15．【进阶】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】由 恒成立，转化为 恒成立。 【解答过程】 对一切 恒成立，即 恒成立。 因 ，其下确界为 ，故只需 （此时 恒成立，不恒为 ）。 所以 的取值范围是 。 16．【培优】已知函数 ，则不等式 的解集为 ______． 【答案】 【解题思路】求 的单调性，确定 的最小值恰在 处取得，据此写解集。 【解答过程】 的定义域为 ，。 在 上递减、 上递增，故 ，等号仅在 处成立。 所以 的解集为 。 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的单调区间； (2) 若 在区间 上单调递减，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 ；(2) ． 【解题思路】(1) 求导、因式分解，解不等式得单调区间；(2) 由 是减区间 的子集列不等式组。 【解答过程】(1) 。 令 得 或 ；令 得 。 所以 的单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。 (2) 由 在 上单调递减，知 是 的子集， 故 且 ，解得 。 所以实数 的取值范围为 。 18．【培优】已知函数 ． (1) 当 时，求 的单调区间； (2) 若 在 上单调递减，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ；(2) ． 【解题思路】(1) 代入 求导通分后定号；(2) 由 在 上恒成立分离参数。 【解答过程】(1) 当 时，，定义域为 ，。 令 得 ，令 得 。 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 (2) 。由 在 上单调递减，知 对 恒成立，即 对 恒成立。 因 时 ，故只需 （此时 在 上恒成立）。 所以实数 的取值范围为 。 19．【培优】已知函数 ． (1) 求 的单调区间与最小值； (2) 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，最小值为 ；(2) ． 【解题思路】(1) 求导、定单调、求极小值；(2) 由恒成立分离参数得 ，求右侧函数的最小值。 【解答过程】(1) 。令 得 ，令 得 。 所以 的单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，最小值 。 (2) 由 且 ，得 对 恒成立。 令 ，则 。 令 得 ，令 得 ，故 在 处取最小值 。 所以只需 ，即实数 的取值范围为 。 20．【培优】已知函数 ． (1) 求 的单调区间与最大值； (2) 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，最大值为 ；(2) ． 【解题思路】(1) 求导、定单调、求极大值即最大值；(2) 由恒成立分离参数得 ，求右侧函数的最大值。 【解答过程】(1) 的定义域为 ，。 令 得 ，令 得 。 所以 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 ，最大值 。 (2) 由 且 ，得 对 恒成立。 令 ，则 。 令 得 ，令 得 ，故 在 处取最大值 。 所以只需 ，即实数 的取值范围为 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $