专题3.2 导数与函数的单调性讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖单调性与导数关系、不含参及含参函数单调性研究、单调性应用等内容，按知识梳理、题型突破、课后作业逻辑架构，通过考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生系统构建解题框架。 讲义采用分层教学策略，含参函数单调性讨论中引导学生分析导函数有效部分分类突破，培养数学思维，比较大小题型结合导数判断与数学语言表达，提升应用能力，真题训练贴近高考，助力学生高效突破难点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

专题3.2 导数与函数的单调性 知识梳理 1.函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 2.利用单调性研究函数单调性 函数（不含参） 函数（含参） 求单调区间的步骤 求的定义域 求的定义域 求 求（导函数中有分母通分） 令，解不等式，求单调增区间 确定导函数有效部分，记为 令，解不等式，求单调减区间 确定导函数有效部分的类型 结论 通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 由单调性讨论参数范围 已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增恒成立. ②已知在区间上单调递减恒成立. 已知函数在区间上 存在单调区间 存在单调增区间令在上有解 存在单调减区间令在上有解 已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点） 常用结论 (1)“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分不必要条件． (2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零． 【题型1 利用导数研究不含参数函数的单调性】 规律与方法： 导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 （1）求函数的定义域 (2)求f′(x)． (3)确认f′(x)在(a，b)内的符号． (4)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数. 【例1】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 2.（2026高三·全国·专题练习）如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D 3.（25-26高二下·河南·阶段检测）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【题型2 利用导数研究含参数函数的单调性】 【例2】已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)，讨论f(x)的单调性． 跟踪训练 1.（2026·陕西咸阳·三模）已知函数 2.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数．讨论的单调性； 3.（2025·重庆·三模）已知函数 ．讨论函数 的单调性； 【题型3 与导数有关的函数的单调性的应用】 【例3】已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)在(－1，1)上为单调减函数，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的值； (4)若函数f(x)在区间(－1，1)上不单调，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 跟踪训练 1.（25-26高二下·重庆·期末）设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2.（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5.（2026高三·全国·专题练习）若函数为其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6.（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 7.已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为 ． 【题型4 比较大小或解不等式】 【例4】已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(1，e) D．(e，＋∞) 跟踪训练 1．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f>f(1)>f B．f(1)>f>f C．f>f(1)>f D．f>f>f(1) 2.（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 3.（25-26高二下·吉林长春·期末）定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 课后作业： 1.函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 2.（2026·云南昆明·模拟预测）函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 3.已知f(x)＝，则(　　) A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2) C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2) 4.（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5.（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 6.（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 7.（25-26高二下·江西赣州·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 8.（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9.（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 10.（25-26高三上·北京朝阳·期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（多选 2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 12.（多选 25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（   ） A．若，且，则的解集为 B．若，且，则不等式的解集为 C．若，则函数在上为减函数 D．若，则 13.（25-26高二下·河南·期末）函数的单调递增区间为________． 14.（25-26高二下·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________． 15.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 16.（2024·新疆·三模）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是_______． 17.（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数，． (1)若，讨论的单调性； (2)若函数在为增函数，求实数的取值范围． 18.（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 19.设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (1)求b，c的值； (2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 20.设函数，其中，讨论的单调性. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.2 导数与函数的单调性 知识梳理 1.函数的单调性与导数的关系 条件 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)＞0 f(x)在(a，b)内单调递增 f′(x)<0 f(x)在(a，b)内单调递减 f′(x)＝0 f(x)在(a，b)内是常数函数 2.利用单调性研究函数单调性 函数（不含参） 函数（含参） 求单调区间的步骤 求的定义域 求的定义域 求 求（导函数中有分母通分） 令，解不等式，求单调增区间 确定导函数有效部分，记为 令，解不等式，求单调减区间 确定导函数有效部分的类型 结论 通过分析导函数有效部分，讨论的单调性 由单调性讨论参数范围 已知函数在区间上单调 ①已知在区间上单调递增恒成立. ②已知在区间上单调递减恒成立. 已知函数在区间上 存在单调区间 存在单调增区间令在上有解 存在单调减区间令在上有解 已知函数在区间上不单调，使得（是变号零点） 常用结论 (1)“在某区间内f′(x)>0(f′(x)<0)”是“函数f(x)在此区间上为增(减)函数”的充分不必要条件． (2)可导函数f(x)在(a，b)上是增(减)函数的充要条件是对∀x∈(a，b)，都有f′(x)≥0(f′(x)≤0)且f′(x)在(a，b)任意子区间内都不恒为零． 【题型1 利用导数研究不含参数函数的单调性】 规律与方法： 导数法证明函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤 （1）求函数的定义域 (2)求f′(x)． (3)确认f′(x)在(a，b)内的符号． (4)作出结论：f′(x)>0时为增函数；f′(x)<0时为减函数. 【例1】（25-26高二下·天津武清·阶段检测）函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参） 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数的单调递减区间是. 跟踪训练 1.已知函数f(x)＝xln x，则f(x)(　　) A．在(0，＋∞)上单调递增 B．在(0，＋∞)上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 解析 选D．因为函数f(x)＝xln x，定义域为(0，＋∞)，所以f′(x)＝ln x＋1(x>0)， 当f′(x)>0时，解得x>，即函数f(x)的单调递增区间为； 当f′(x)<0时，解得0<x<， 即函数f(x)的单调递减区间为，故选D． 2.（2026高三·全国·专题练习）如果函数的图象如下图，那么导函数的图象可能是（   ） A． B． C． D 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】函数图像的识别、函数与导函数图象之间的关系 【分析】可通过函数图象的单调性判断导数的符号，得到答案 【详解】因为所给函数图象的单调性从左到右依次为增减增减， 所以相应的导数值应为正负正负，故A选项满足要求. 3.（25-26高二下·河南·阶段检测）已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【详解】由图可知，函数的单调递增区间为：，，单调递减区间为：，即或；， 又不等式等价为：或， 得或， 所以不等式的解集为． 【题型2 利用导数研究含参数函数的单调性】 【例2】已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a>0)，讨论f(x)的单调性． 解：函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝a(x－1)－1＋＝， 令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝， ①若a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数； ②若0<a<1，则>1，当x∈(0，1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数， 当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数； ③若a>1，则0<<1，当x∈时，f′(x)>0，f(x)是增函数，当x∈时，f′(x)<0，f(x)是减函数， 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)是增函数． 综上所述，当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数； 当0<a<1时，f(x)在(0，1)上是增函数，在上是减函数，在上是增函数； 当a>1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数． 跟踪训练 1.（2026·陕西咸阳·三模）已知函数 【详解】易知的定义域为，， 当时，恒成立，此时在区间上单调递增， 当时，令，得到，当时，，当时，， 此时，在区间上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述，当时，在区间上单调递增， 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 2.（2026·安徽合肥·模拟预测）已知函数．讨论的单调性； 【详解】，恒成立． 当时，，则，在单调递减； 当时，令得. 时，；时，． 综上：时，在上递减； 时，在递减，在递增． 3.（2025·重庆·三模）已知函数 ．讨论函数 的单调性； 【答案】(1)答案见解析； 【详解】（1）， ①当，即时，恒成立，在上单调递增． ②当，即或时，令，解得， 当时，单调递增； 当时，单调递减； 当时，单调递增． 即在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增． 【题型3 与导数有关的函数的单调性的应用】 【例3】已知函数f(x)＝x3－ax－1. (1)若f(x)在R上为增函数，求实数a的取值范围； (2)若函数f(x)在(－1，1)上为单调减函数，求实数a的取值范围； (3)若函数f(x)的单调递减区间为(－1，1)，求实数a的值； (4)若函数f(x)在区间(－1，1)上不单调，求实数a的取值范围． 解：(1)因为f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数， 所以f′(x)＝3x2－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a≤3x2对x∈R恒成立． 因为3x2≥0，所以只需a≤0.又因为a＝0时，f′(x)＝3x2≥0， f(x)＝x3－1在R上是增函数，所以a≤0，即实数a的取值范围为(－∞，0]． (2)由题意知f′(x)＝3x2－a≤0在(－1，1)上恒成立，所以a≥3x2在(－1，1)上恒成立， 因为当－1<x<1时，3x2<3，所以a≥3，所以a的取值范围为[3，＋∞)． (3)由题意知f′(x)＝3x2－a，则f(x)的单调递减区间为， 又f(x)的单调递减区间为(－1，1)，所以＝1，解得a＝3. (4)由题意知：f′(x)＝3x2－a，当a≤0时，f′(x)≥0，此时f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数，不合题意，故a>0. 令f′(x)＝0，解得x＝±. 因为f(x)在区间(－1，1)上不单调，所以f′(x)＝0在(－1，1)上有解，需0<<1，得0<a<3， 所以实数a的取值范围为(0，3)． 跟踪训练 1.（25-26高二下·重庆·期末）设函数，已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数的单调区间求参数 【分析】通过求导得到函数的单调递减区间，再令给定区间为单调递减区间的子集从而求得参数范围. 【详解】函数， 求导可得， 因为恒成立， 所以，即， 解得，即的单调递减区间为， 因为在上单调递减， 所以，即， 解得，即实数的取值范围是，故选项D正确. 2.（25-26高二下·广东潮州·期末）若函数的单调递减区间为，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数 【详解】∵ 函数的定义域为，对其求导得. ∵ 函数的单调递减区间为，∴ 不等式的解集为， 即和是方程的两个根， 由韦达定理得，解得. ∴ . 3.（25-26高二下·福建漳州·期末）若函数在区间上存在减区间，则实数的范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【详解】函数的定义域为，求导得． 函数在区间上存在减区间，等价于在内有解， 即在上有解． 当时， ， 故，即实数的取值范围是． 4.（25-26高二下·北京西城·期末）若函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数、由函数在区间上的单调性求参数、根据极值点求参数 【详解】函数求导得，函数在上不是单调函数， 等价于，在内有解， 设，设两根，则，故两根异号， 要使正根在区间内，则， 解得，故实数的取值范围是． 5.（2026高三·全国·专题练习）若函数为其定义域上的增函数，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】将是增函数转化为恒成立，使用基本不等式求最值. 【详解】的定义域为，， 因为函数为其定义域上的增函数， 所以，即在上恒成立， 因为，，当且仅当时取等号， 所以，即. 6.（2025·陕西·模拟预测）已知函数是上的增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】由题意可得恒成立，进而分，两种情况讨论求解即可. 【详解】由， 得， 因为是上的增函数，则恒成立， 即恒成立， 当时，，此时不恒成立，不满足题意； 当时，等价于对恒成立， 则. 故选：C. 7.已知函数，．若在上不单调，则实数a的取值范围为 ． 【答案】 【详解】由，得， 令，得 ∵，∴ 当时，；当时，; 所以在区间上是增函数，在上是减函数. 若在上不单调，则， 解得. 即a的取值范围为. 故答案为： 【题型4 比较大小或解不等式】 【例4】已知函数f′(x)是函数f(x)的导函数，f(1)＝，对任意实数都有f(x)－f′(x)>0，设F(x)＝，则不等式F(x)<的解集为(　　) A．(－∞，1) B．(1，＋∞) C．(1，e) D．(e，＋∞) 【解析】　F′(x)＝＝， 又f(x)－f′(x)>0，知F′(x)<0，所以F(x)在R上单调递减．由F(x)<＝F(1)，得x>1， 所以不等式F(x)<的解集为(1，＋∞)．【答案】　B 跟踪训练 1．已知函数f(x)＝xsin x，x∈R，则f，f(1)，f的大小关系为(　　) A．f>f(1)>f B．f(1)>f>f C．f>f(1)>f D．f>f>f(1) 解析：选A．因为f(x)＝xsin x， 所以f(－x)＝(－x)sin(－x)＝xsin x＝f(x)．所以函数f(x)是偶函数，所以f＝f. 又x∈时，得f′(x)＝sin x＋xcos x>0， 所以f(x)在上是增函数． 所以f<f(1)<f. 所以f>f(1)>f，故选A． 2.（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、根据函数的单调性解不等式 【分析】，求导可得，再利用单调性解不等式即可． 【详解】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 3.（25-26高二下·吉林长春·期末）定义在上的函数满足，，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数证明不等式、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据题意，构造函数，可得在上单调递增，然后结合其单调性即可求解不等式. 【详解】构造函数，，则， 由于，所以在上恒成立，所以在上单调递增， 而，所以， 所以， 则不等式等价于， 故，即，所以不等式的解集为. 课后作业： 1.函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意可知函数的定义域为，， 令，得，解得， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 2.（2026·云南昆明·模拟预测）函数的图象如图所示，为的导函数，下列排序正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据的图象判断的符号以及单调性，由此确定正确答案. 【详解】根据的图象可知，在区间上单调递增， 且函数增长的速度逐渐减慢，切线斜率递减. 所以，且单调递减， 所以. 3.已知f(x)＝，则(　　) A．f(2)>f(e)>f(3) B．f(3)>f(e)>f(2) C．f(3)>f(2)>f(e) D．f(e)>f(3)>f(2) 解析：选D．f(x)的定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝e. 所以当x∈(0，e)时，f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故当x＝e时，f(x)max＝f(e)＝，而f(2)＝＝，f(3)＝＝，所以f(e)>f(3)>f(2)，故选D． 4.（25-26高二下·江西南昌·期末）已知函数的图象如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数与导函数图象之间的关系 【详解】由图象可知，在和上单调递减，在上单调递增， 则当时，，当时，， 因此表示与同号， 当时，只有时，，当时，只有时，， 则的解集为. 5.（2025·吉林松原·模拟预测）若函数的减区间为，则的值为（    ） A．3 B．1 C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】根据题意，求得，结合的解集为，列出方程组，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数的减区间为，即不等式的解集为， 所以，且，解得， 所以且，解得. 故选：A. 6.（25-26高二下·重庆·阶段检测）已知是定义在上的函数，其导函数是，且当 时总有，且，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.62 【知识点】函数与导函数图象之间的关系、根据函数的单调性解不等式 【分析】，求导可得，再利用单调性解不等式即可． 【详解】设，， 则当时，单调递增， ，即，又， ，解得． 7.（25-26高二下·江西赣州·期末）若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.55 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】转化为存在使，求在区间最大值，故. 【详解】由题意，所以，， 函数在区间内存在单调递增区间， 则，，即，使得 ， 即， 设，， 则，，单调递减； ，，单调递增， ，， ，故在上最大值为， 只要，即，就存在满足， 即，函数存在递增区间. 8.（2026·河北保定·二模）若函数在区间上单调递增，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数、由导数求函数的最值（不含参） 【分析】由函数在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，即，就是求范围内的最大值，利用导数法求出单调性，通过单调性求出最大值即可得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， ， 在区间上恒成立， ， ， 设， ， ，，，在上单调递增， 当时，， 则在内，有， 故，故的取值范围为. 9.（25-26高三下·安徽·开学考试）若函数在内不单调，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】根据二次求导法，结合函数单调性的性质进行求解即可. 【详解】设， 当时，，所以在上单调递增， 所以由在内不单调得， 即，解得． 故选：B 10.（25-26高三上·北京朝阳·期中）若函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由函数的单调区间求参数 【分析】先求导，将问题转化成或在上恒成立的问题，然后分离参数处理. 【详解】由题知，，而在区间上是单调函数， 则或在时恒成立， 当在恒成立时，， 由幂函数性质可知在上递增，则， 故当在恒成立时，等价于，即； 当在恒成立时，， 此时，即. 综上，. 故选：A 11．（多选 2024·广东茂名·一模）若是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C．3 D．4 【解题思路】求导，分析导函数的正负得到原函数的单调性，再由已知建立关于的不等式组，解出即可． 【解答过程】由题意，， 令，解得，令，解得或， 所以在上单调递减，在，上单调递减， 若函数在区间上单调， 则或或，解得或或， 即或. 故选：CD. 12.（多选 25-26高二下·河北张家口·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，给出如下四个结论，其中正确的是（   ） A．若，且，则的解集为 B．若，且，则不等式的解集为 C．若，则函数在上为减函数 D．若，则 【答案】AD 【难度】0.37 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由函数在区间上的单调性求参数、根据函数的单调性解不等式 【分析】设，求得为增函数，由，得到，可判定A正确；设，求得为增函数，结合，可判定B错误；设，求得为增函数，可判定C错误；结合，可判定D正确． 【详解】对于A，设， 因为，则，所以在上为增函数， 又因为， 由，得，所以， 即的解集为，所以A正确； 对于B，设，可得， 因为，所以，在上为增函数， 又因为，所以， 由得，所以，所以B错误； 对于C，设，可得， 因为，所以，在上为增函数，所以C错误； 对于D，由C知函数在上为增函数， 所以，可得，即，所以D正确． 13.（25-26高二下·河南·期末）函数的单调递增区间为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】导数的运算法则、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】利用导数求函数的单调性即可． 【详解】因为函数，定义域为， 所以． 解，得， 所以函数的单调递增区间为． 14.（25-26高二下·山西·期末）已知函数的部分图象如图所示，为函数的导函数，则关于的不等式的解集为_________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】导数的运算法则、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数与导函数图象之间的关系、函数（导函数）图象与极值的关系 【详解】由图知函数的单调递减区间为和，单调递增区间为， 所以时，；时，； 由，得或， 所以． 15.若函数f(x)＝ax3＋3x2－x恰好有三个单调区间，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意知f′(x)＝3ax2＋6x－1，由函数f(x)恰好有三个单调区间，得f′(x)有两个不相等的零点，所以3ax2＋6x－1＝0需满足a≠0，且Δ＝36＋12a>0，解得a>－3，所以实数a的取值范围是(－3，0)∪(0，＋∞)． 答案：(－3，0)∪(0，＋∞) 16.（2024·新疆·三模）设函数在上存在导数，对于任意的实数，有，当时，.若，则实数的取值范围是_______． 【解题思路】构造函数，根据题意和导数求得函数在上单调递减，再由，得到为偶函数，结合对称性得到在上单调递增，把不等式，转化为，即可求解. 【解答过程】令函数， 因为，时，所以， 所以函数在上单调递减， 又因为， 所以函数，所以为偶函数， 根据偶函数的对称性，可得在上单调递增， 若 则， 整理得，所以， 两边平方可得，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 17.（25-26高二下·广东梅州·期末）已知函数，． (1)若，讨论的单调性； (2)若函数在为增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) 【难度】0.65 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）对函数求导，由导数的区间符号确定区间单调性； （2）问题化为在上恒成立，即可得. 【详解】（1）时，，则， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增． （2），要使在为增函数， 只需在上恒成立，即， 当时，，故. 18.（2026·安徽·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线l与y轴垂直，求的单调区间； (2)若函数在上不单调，求实数m的取值范围． 【答案】(1)的单调递增区间为，递减区间为 (2) 【难度】0.43 【知识点】已知切线（斜率）求参数、利用导数求函数的单调区间（不含参）、由函数在区间上的单调性求参数 【分析】（1）根据函数导数的几何意义，由切线斜率求出导数值，进而求出参数，再根据函数导数与函数单调性的关系，求出函数单调区间； （2）根据函数的单调性，判定函数导数值的情况，构造函数，根据函数零点情况，求出参数范围. 【详解】【小题1】由题意得， 故，解得， 则， 令，则， 令，解得， 故当时，，即在上单减； 当时，，即在上单增； 故恒成立， 故当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以的单调递增区间为，递减区间为； 【小题2】由（1）知，， 在上不单调，即方程在上有变号解， 即在上有变号解，． 令，，则， 令，解得， 故当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以， 时，，，在上单调递增，不符合题意，舍去． 当时，，当，， 故实数m的取值范围为． 19.设函数f(x)＝x3－x2＋bx＋c，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝1. (1)求b，c的值； (2)若a＞0，求函数f(x)的单调区间； (3)设函数g(x)＝f(x)＋2x，且g(x)在区间(－2，－1)内存在单调递减区间，求实数a的取值范围． 解：(1)f′(x)＝x2－ax＋b，由题意得即 故b＝0，c＝1. (2)由(1)得，f′(x)＝x2－ax＝x(x－a)(a＞0)，当x∈(－∞，0)时，f′(x)＞0； 当x∈(0，a)时，f′(x)＜0；当x∈(a，＋∞)时，f′(x)＞0， 所以函数f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(a，＋∞)，单调递减区间为(0，a)． (3)g′(x)＝x2－ax＋2，依题意，存在x∈(－2，－1)，使不等式g′(x)＝x2－ax＋2<0成立． 则存在x∈(－2，－1)使－a>－x－成立，即－a>. 因为x∈(－2，－1)，所以－x∈(1，2)， 则－x－≥2＝2，当且仅当－x＝－，即x＝－时等号成立， 所以－a>2，则a<－2. 所以实数a的取值范围为(－∞，－2)． 20.设函数，其中，讨论的单调性. 【解析】由 ①时，由，令，解得， 所以时，时，， 则在单调递增，在单调递减； ②时，由， （i）时，因为，则在单调递增， （ii）时，，解得或， 所以时，时，， 则在，上单调递增，在单调递减； （iii）时，由， 所以时，时，， 则在，上单调递增，在单调递减； 综上：时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 时，的单调递增区间为； 时，的单调递增区间为和，单调递减区间为； 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $