专题3.2 导数与函数的单调性（基础复习讲义）-2027年高考数学一轮复习

【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 3.2 导数与函数的单调性（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解导数与函数单调性的关系，会用导数判断函数的单调性； 2．会求函数的单调区间（注意先确定定义域）； 3．会由函数的单调性求参数范围； 4．会用单调性比较大小、证明简单不等式。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 用导数判断单调性与求单调区间 选择题、解答题 第4~6题／第15题 基础 三步走：定义域、求导、解不等式 由单调性求参数范围 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 导数恒非负（非正），分离参数求最值 含参函数的单调性讨论 解答题 第15~16题 中档 先求根，再比较根与定义域的位置 利用单调性比较大小 选择题 第6题 中档 化为同一函数的两个函数值 导函数图象与单调性的对应 选择题 第4~6题 基础 看 的符号，不看高低 命题规律分析 导数与单调性是导数应用的"第一站"，也是高考解答题的基础得分点。新高考中，用导数判断单调性常出现在选择题第4～6题与解答题第15题；由单调性求参数范围则多压在选择题第6题、填空题第13题这一档。本讲难度定位为：单调区间的求解必须规范（先定义域、再解不等式），第6题、第10题、第13题档的"含参求范围"用"导函数恒非负（非正）＋分离参数"两步拿下。三个高频陷阱：单调递增只能推出 而不是 ；求单调区间必须先看定义域；单调区间之间不能用并集符号连接。 考点1 导数与函数单调性的关系 知识点1 导数符号与单调性的对应 在区间 内，如果 ，那么函数 在 上单调递增；如果 ，那么函数 在 上单调递减。 反过来，如果 在区间 上单调递增，那么 在 上恒成立——注意是"大于或等于"，不是"大于"。例如 在 上递增，但 。 求单调区间的规范步骤：① 确定函数的定义域；② 求 并把它因式分解；③ 解不等式 （或 ）；④ 与定义域取交集，写成区间形式。 【方法技巧】 1．判断单调性只需看 的符号，不需要画函数图象； 2．求单调区间"三步走"：定义域 → 求导 → 解不等式，第三步千万别漏掉定义域这个前提； 3．导数是二次式时，解 就是解一元二次不等式，先求根再"大于取两边、小于取中间"。 【易错清单】 1．由"单调递增"推出 是错的，应为 ； 2．求单调区间不先求定义域，把区间写到了定义域之外（含对数、分式时最易错）； 3．多个单调区间之间用并集符号 连接，这是概念性错误。 知识点2 含参函数的单调性讨论 含参数 的单调性问题，通常先令 求出根（可能含 ），再按"根与定义域的位置关系"或"两个根的大小关系"分类讨论。 典型模型：（），。由于 ， 的符号由 决定：当 时 恒成立，函数单调递增；当 时，在 上 ，在 上 。 典型模型：，。当 时 恒成立；当 时，，零点为 。 【方法技巧】 1．分类讨论的"临界值"来自"导数的零点恰好落在定义域端点上"，找到临界值就能把讨论分全； 2．讨论完每一类都要写清"在哪个区间上单调递增、哪个区间上单调递减"； 3．最后要写"综上"，把各类结论汇总，这是解答题的规范要求。 【易错清单】 1．讨论不全，只写了 的情形，漏掉 ； 2．把参数默认为正数，导致分类讨论缺失； 3．解出导数的零点后不检验是否落在定义域内。 考点2 由单调性求参数范围 知识点3 "单调"条件的翻译 若 在区间 上单调递增，则 对 恒成立；若 在区间 上单调递减，则 对 恒成立。 把"恒成立"转化为求最值： 恒成立等价于 的最大值； 恒成立等价于 的最小值。 含参数二次式的恒非负（非正）判断常用判别式： 对一切实数恒成立的条件是 且判别式 。 【方法技巧】 1．解题模板：求导 → 写出恒非负（非正）条件 → 分离参数 → 求另一边函数的最值 → 得参数范围； 2．若导数能整理成"参数单独在一边"的形式，优先用分离参数法； 3．若导数是二次式且定义域为 ，用判别式最快。 【易错清单】 1．把"在区间上单调递增"当成"在某个点导数为正"，条件写得太松； 2．用判别式时忘记检查二次项系数的符号要求； 3．分离参数时不等号方向随除以负数而改变，容易漏改。 知识点4 用单调性比较大小 比较大小的通法：把要比较的两个数写成同一个函数在两个自变量处的函数值，再用单调性判断大小。 常用套路：比较 与 用 ；比较 与 用 ；比较 与 用 。 若两个数不能在同一个单调区间内比较，可用中间量 或 搭桥，或先求函数的最值再判断。 【方法技巧】 1．拿到"比较大小"的题目，先找"共同结构"，把它记作 ； 2．求出 的单调区间，再看两个自变量是否落在同一单调区间内； 3．若自变量跨区间，先算出关键点的函数值作参照。 【易错清单】 1．两个自变量落在不同单调区间却直接用单调性比较； 2．构造函数时抄错表达式； 3．忘记函数定义域对自变量的限制。 【题型1 用导数判断单调性与求单调区间】 【例1】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】求导后解 。 【解答过程】，由 得 ，即 ，所以单调递增区间为 。故选B。 【方法点睛】二次函数的单调区间用导数判断反而更快： 的解集就是递增区间，不必背"对称轴左减右增"。 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导解 。 【解答过程】，由 得 ，所以单调递减区间为 。故选A。 【方法点睛】导数因式分解后求根，再"大于取两边、小于取中间"。 的 可以先约掉，不影响符号。 【变式1-2】函数 （）的单调递增区间是____________。 【答案】 【解题思路】求导后解不等式，注意定义域 的限制。 【解答过程】。因为 ，所以 的符号由 决定。由 得 ，即 。与定义域 取交集，得递增区间为 。 【方法点睛】含对数或分式的函数，导数一般写成分式，此时"分母的符号"由定义域决定，只需看分子的符号。 【变式1-3】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导后解 ，即解指数不等式。 【解答过程】，由 得 ，即 ，所以单调递增区间为 。故选A。 【方法点睛】解 型不等式时先把两边化成同底（把 写成 ），再用指数函数的单调性脱去指数符号。 【题型2 由单调性求参数范围】 【例2】若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】把"单调递增"翻译成 在区间上恒成立，再分离参数。 【解答过程】。由题意 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立。因为 时 ，所以 的最大值趋近于 （取不到），要使其恒成立需 。故选A。 【方法点睛】" 恒成立"等价于" 的最大值"。这里 在开区间上取不到 ，但等号仍可成立，因为 不在区间内不影响结论。 【变式2-1】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数在 上恒非负，分离参数。 【解答过程】。由题意 对一切实数 恒成立，即 对一切实数 恒成立。因为 的最小值为 ，所以 。故选A。 【方法点睛】"对一切实数恒成立"看最小值（或最大值）： 只需 不超过 的最小值 。 【变式2-2】若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】把"单调递减"翻译成 恒成立，再分离参数。 【解答过程】。因为 ，所以 ， 等价于 ，即 。因为 时 ，所以 的最大值趋近于 （取不到），要使其恒成立需 。 【变式2-3】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数是二次式且定义域为 ，用判别式处理恒非负。 【解答过程】。由题意 对一切实数恒成立。因为二次项系数 ，只需判别式 ，解得 ，即 。故选A。 【方法点睛】"二次式恒非负"的两个条件缺一不可：二次项系数为正、判别式不超过零。含参数时先用判别式，比分离参数快得多。 【题型3 判断函数在给定区间上的单调性】 【例3】函数 在 上的单调性是（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】A 【解题思路】判断 的符号是否恒非负。 【解答过程】。因为 ，所以 对一切实数恒成立，故 在 上单调递增。故选A。 【方法点睛】"恒正"比"恒非负"更强： 的最小值是 ，所以 永远为正，函数严格递增。 【变式3-1】已知函数 ，则 的单调递减区间是____________。 【答案】 【解题思路】解 。 【解答过程】，由 得 ，即 ，故单调递减区间为 。 【变式3-2】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】用导数解不等式。 【解答过程】，由 得 ，故单调递减区间为 。故选A。 【方法点睛】用导数求二次函数单调区间时，端点处导数为零的点可以归入任何一个区间，习惯上写成闭区间或半开半闭都可以。 【变式3-3】已知函数 （），则 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先求导并因式分解，再解不等式 。 【解答过程】。因为 ，由 得 ，故单调递减区间为 。故选A。 【方法点睛】含参求根时注意 才能开方： 的根是 ，不要错写成 。 【题型4 导函数图象与单调性的对应】 【例4】已知函数 的导函数 在区间 上的图象恒在 轴的下方，则 在区间 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】B 【解题思路】 的图象在 轴下方意味着 ，据此判断单调性。 【解答过程】 的图象恒在 轴下方，说明 在区间 上恒成立，所以 在 上单调递减。故选B。 【方法点睛】看导函数图象只关心它的"正负"（在 轴上方还是下方），与图象的高低、升降无关——这是最容易出错的地方。 【变式4-1】已知函数 （），则 在 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】A 【解题思路】判断 的符号，注意 。 【解答过程】。因为 ，所以 ，且只在个别点处等于零，故 在 上单调递增。故选A。 【方法点睛】利用 、 判断导数符号，是三角函数型单调性题的标准手法。 【变式4-2】已知函数 （）。(1) 求 ；(2) 求 的单调区间。 A．在 上递增，在 上递减　B．在 上递减，在 上递增　C．在 上递增　D．在 上递减 【答案】A 【解题思路】用除法法则求导，再解不等式。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ，所以 ， 的符号由 决定。由 得 ，即 ；由 得 。故 在 上单调递增，在 上单调递减。故选A。 【方法点睛】 是高考高频函数，结论"在 处取最大值 "建议直接记住。 【变式4-3】已知函数 ，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【答案】A 【解题思路】两个自变量落在不同单调区间，需计算出函数值再比较。 【解答过程】由前面结论， 在 上递增、在 上递减，，所以 与 不在同一单调区间内，需算值。，，故 。故选A。 【方法点睛】两个自变量跨越极值点时，不能直接用单调性比较，要么算值，要么借助中间量 作参照。 【题型5 单调性与参数范围（含根式、分式）】 【例5】若函数 （）在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导后把"导数恒非负"转化为"参数不超过某函数的最小值"。 【解答过程】，。因为 ，，由题意 恒成立，即 ，所以 对一切 恒成立。因为 时 ，最小值的下确界为 ，所以 。故选A。 【方法点睛】分式型导数的处理套路：因为分母恒正，符号只看分子，问题立刻降维成整式不等式。 【变式5-1】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】导数恒非负，分离参数。 【解答过程】，由题意 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立。因为 时 ，下确界为 ，故 。 【变式5-2】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】分离参数后求 在区间上的最小值。 【解答过程】，由题意 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立。因为 时 ，下确界为 ，故 。故选A。 【变式5-3】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数恒非负，用判别式处理。 【解答过程】。由题意 对一切实数恒成立。因为二次项系数 ，只需判别式 ，解得 。故选A。 【方法点睛】把二次式配方成 也能直接看出 ，两种方法都可以，配方更直观。 【题型6 单调性求参数的综合应用】 【例6】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】求导后把"导数恒非负"转化为"分离参数"，再求最值。 【解答过程】。由题意 对一切 恒成立，即 对一切 恒成立，而 的下确界为 ，故 。故选A。 【方法点睛】这类题与"二次函数对称轴"法的结论一致（对称轴 ），两种方法互相验证，考场可任选其一。 【变式6-1】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】定义域为 ，把导数化成分式后只看分子，再分离参数。 【解答过程】。因为 时 ，由 得 ，即 。因为 时 ，下确界为 ，故 。故选A。 【变式6-2】已知函数 。(1) 求 ；(2) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】导数恒非负，分离参数后取最小值。 【解答过程】(1) 。 (2) 由题意 对一切实数恒成立，即 。因为 的最小值为 ，所以 。 【方法点睛】 时 恒成立，函数在 上递增； 时函数会先增后减再增，不再是单调函数。 【变式6-3】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数恒非负并分离参数，注意 的取值范围是 。 【解答过程】，由题意 对一切实数恒成立，即 对一切实数恒成立。因为 ，下确界为 ，故 。故选A。 【方法点睛】 恒正（最小值的下确界是 但取不到），因此 是正确答案；写成 就漏掉了 这一情形（此时 确实递增）。 一、单选题 1．（★）函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】B 【解题思路】求导后解 。 【解答过程】，由 得 ，故单调递增区间为 。故选B。 2．（★）若 在区间 上恒成立，则 在 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】A 【解题思路】导数正负与单调性的基本对应关系。 【解答过程】由" 则 单调递增"，得 在 上单调递增。故选A。 3．（★）函数 在 上的单调性是（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【答案】A 【解题思路】判断导数符号，注意 不影响单调性。 【解答过程】 对一切实数恒成立，且只在 处等于零，所以 在 上单调递增。故选A。 4．（★）函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】先看定义域 ，再判断导数符号。 【解答过程】定义域为 。，当 时 ，所以 恒成立，故单调递增区间为 。故选A。 5．（★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】解 的指数不等式。 【解答过程】，由 得 ，即 ，故单调递减区间为 。故选A。 6．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数恒非负，分离参数。 【解答过程】，由 对一切 恒成立，得 。而 时 ，上确界为 ，故 。故选A。 7．（★★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】导数因式分解后解不等式。 【解答过程】，由 得 ，故单调递减区间为 。故选A。 8．（★★）若 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【答案】A 【解题思路】二次式恒非负，用判别式。 【解答过程】。由 对一切实数恒成立，需判别式 ，解得 ，即 。故选A。 二、多选题 9．（★）关于导数与函数的单调性，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 单调递增　B．若 单调递增，则 　C．若 ，则 单调递减　D．若 单调递增，则一定有 【答案】ABC 【解题思路】逐项对照导数与单调性的对应关系判断。 【解答过程】A、C都是基本结论，正确；B正确，这是单调递增的必要条件；D错误，例如 在 上递增，但 。故选ABC。 10．（★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递增　C． 在 上单调递减　D． 【答案】ABC 【解题思路】求导后逐项判断。 【解答过程】，A正确；，故在 上递增，B正确；，故在 上递减，C正确；，D错误。故选ABC。 11．（★★）已知函数 （，），则下列结论正确的是（　　） A．　B．当 时， 在 上单调递增　C．当 时， 在 上单调递增　D． 一定有最大值 【答案】ABC 【解题思路】先求导，再按参数的正负分类判断单调性。 【解答过程】A中 ，正确；B中当 时 恒成立（），故 ，函数递增，正确；C中当 时，，正确；D中当 时函数在 上单调递增，没有最大值，错误。故选ABC。 三、填空题 12．（★）函数 的单调递减区间是____________。 【答案】 【解题思路】求导后解不等式。 【解答过程】，由 得 ，故单调递减区间为 。 13．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】导数恒非负，分离参数。 【解答过程】，由 对一切 恒成立，得 。而 的下确界为 ，故 。 14．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【答案】 【解题思路】二次式恒非负，用判别式。 【解答过程】，由 对一切实数恒成立，需判别式 ，解得 ，即 。 四、解答题 15．（★）求下列函数的单调区间： (1) ； (2) 。 【答案】(1) 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ； (2) 单调递增区间为 和 ，单调递减区间为 。 【解题思路】求导、因式分解、解不等式，最后写成区间。 【解答过程】(1) 。由 得 ；由 得 。故递减区间为 ，递增区间为 。 (2) 。由 得 或 ；由 得 。故递增区间为 和 ，递减区间为 。 16．（★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求 的单调区间。 【答案】(1) ； (2) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 。 【解题思路】先确定定义域，求导化成分式后只看分子符号。 【解答过程】(1) 定义域为 ，。 (2) 因为 ， 的符号由 决定。由 得 ；由 得 。故递增区间为 ，递减区间为 。 17．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】(1) ； (2) 。 【解题思路】把"单调递增"翻译成 恒成立，再分离参数。 【解答过程】(1) 。 (2) 由题意 对一切实数 恒成立，即 对一切实数恒成立。因为 ，其下确界为 ，所以 。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 【答案】(1) ； (2) 在 和 上单调递增，在 上单调递减。 【解题思路】导数因式分解后求根，按根把定义域分段讨论符号。 【解答过程】(1) 。 (2) 因为 ，。由 得 或 ；由 得 。故 在 和 上单调递增，在 上单调递减。 19．（★★）已知函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【答案】。 【解题思路】导数恒非负，用判别式或配方法处理。 【解答过程】。由题意 对一切实数 恒成立。配方得 ，因为 ，所以只需 ，即 。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题3.2 导数与函数的单调性　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $【名师基础】　2027年高考数学一轮复习·名师基础系列　基础不牢，地动山摇 专题 3.2 导数与函数的单调性（基础复习讲义） 【新高考专用】 考点要求 1．理解导数与函数单调性的关系，会用导数判断函数的单调性； 2．会求函数的单调区间（注意先确定定义域）； 3．会由函数的单调性求参数范围； 4．会用单调性比较大小、证明简单不等式。 考查内容 常见题型 试卷位置 难度 基础层拿分策略 用导数判断单调性与求单调区间 选择题、解答题 第4~6题／第15题 基础 三步走：定义域、求导、解不等式 由单调性求参数范围 选择题、填空题 第6题／第13题 中档 导数恒非负（非正），分离参数求最值 含参函数的单调性讨论 解答题 第15~16题 中档 先求根，再比较根与定义域的位置 利用单调性比较大小 选择题 第6题 中档 化为同一函数的两个函数值 导函数图象与单调性的对应 选择题 第4~6题 基础 看 的符号，不看高低 命题规律分析 导数与单调性是导数应用的"第一站"，也是高考解答题的基础得分点。新高考中，用导数判断单调性常出现在选择题第4～6题与解答题第15题；由单调性求参数范围则多压在选择题第6题、填空题第13题这一档。本讲难度定位为：单调区间的求解必须规范（先定义域、再解不等式），第6题、第10题、第13题档的"含参求范围"用"导函数恒非负（非正）＋分离参数"两步拿下。三个高频陷阱：单调递增只能推出 而不是 ；求单调区间必须先看定义域；单调区间之间不能用并集符号连接。 考点1 导数与函数单调性的关系 知识点1 导数符号与单调性的对应 在区间 内，如果 ，那么函数 在 上单调递增；如果 ，那么函数 在 上单调递减。 反过来，如果 在区间 上单调递增，那么 在 上恒成立——注意是"大于或等于"，不是"大于"。例如 在 上递增，但 。 求单调区间的规范步骤：① 确定函数的定义域；② 求 并把它因式分解；③ 解不等式 （或 ）；④ 与定义域取交集，写成区间形式。 【方法技巧】 1．判断单调性只需看 的符号，不需要画函数图象； 2．求单调区间"三步走"：定义域 → 求导 → 解不等式，第三步千万别漏掉定义域这个前提； 3．导数是二次式时，解 就是解一元二次不等式，先求根再"大于取两边、小于取中间"。 【易错清单】 1．由"单调递增"推出 是错的，应为 ； 2．求单调区间不先求定义域，把区间写到了定义域之外（含对数、分式时最易错）； 3．多个单调区间之间用并集符号 连接，这是概念性错误。 知识点2 含参函数的单调性讨论 含参数 的单调性问题，通常先令 求出根（可能含 ），再按"根与定义域的位置关系"或"两个根的大小关系"分类讨论。 典型模型：（），。由于 ， 的符号由 决定：当 时 恒成立，函数单调递增；当 时，在 上 ，在 上 。 典型模型：，。当 时 恒成立；当 时，，零点为 。 【方法技巧】 1．分类讨论的"临界值"来自"导数的零点恰好落在定义域端点上"，找到临界值就能把讨论分全； 2．讨论完每一类都要写清"在哪个区间上单调递增、哪个区间上单调递减"； 3．最后要写"综上"，把各类结论汇总，这是解答题的规范要求。 【易错清单】 1．讨论不全，只写了 的情形，漏掉 ； 2．把参数默认为正数，导致分类讨论缺失； 3．解出导数的零点后不检验是否落在定义域内。 考点2 由单调性求参数范围 知识点3 "单调"条件的翻译 若 在区间 上单调递增，则 对 恒成立；若 在区间 上单调递减，则 对 恒成立。 把"恒成立"转化为求最值： 恒成立等价于 的最大值； 恒成立等价于 的最小值。 含参数二次式的恒非负（非正）判断常用判别式： 对一切实数恒成立的条件是 且判别式 。 【方法技巧】 1．解题模板：求导 → 写出恒非负（非正）条件 → 分离参数 → 求另一边函数的最值 → 得参数范围； 2．若导数能整理成"参数单独在一边"的形式，优先用分离参数法； 3．若导数是二次式且定义域为 ，用判别式最快。 【易错清单】 1．把"在区间上单调递增"当成"在某个点导数为正"，条件写得太松； 2．用判别式时忘记检查二次项系数的符号要求； 3．分离参数时不等号方向随除以负数而改变，容易漏改。 知识点4 用单调性比较大小 比较大小的通法：把要比较的两个数写成同一个函数在两个自变量处的函数值，再用单调性判断大小。 常用套路：比较 与 用 ；比较 与 用 ；比较 与 用 。 若两个数不能在同一个单调区间内比较，可用中间量 或 搭桥，或先求函数的最值再判断。 【方法技巧】 1．拿到"比较大小"的题目，先找"共同结构"，把它记作 ； 2．求出 的单调区间，再看两个自变量是否落在同一单调区间内； 3．若自变量跨区间，先算出关键点的函数值作参照。 【易错清单】 1．两个自变量落在不同单调区间却直接用单调性比较； 2．构造函数时抄错表达式； 3．忘记函数定义域对自变量的限制。 【题型1 用导数判断单调性与求单调区间】 【例1】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式1-2】函数 （）的单调递增区间是____________。 【变式1-3】函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型2 由单调性求参数范围】 【例2】若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-1】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2-2】若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是____________。 【变式2-3】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型3 判断函数在给定区间上的单调性】 【例3】函数 在 上的单调性是（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【变式3-1】已知函数 ，则 的单调递减区间是____________。 【变式3-2】函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式3-3】已知函数 （），则 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型4 导函数图象与单调性的对应】 【例4】已知函数 的导函数 在区间 上的图象恒在 轴的下方，则 在区间 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【变式4-1】已知函数 （），则 在 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 【变式4-2】已知函数 （）。(1) 求 ；(2) 求 的单调区间。 A．在 上递增，在 上递减　B．在 上递减，在 上递增　C．在 上递增　D．在 上递减 【变式4-3】已知函数 ，则 与 的大小关系是（　　） A．　B．　C．　D．无法确定 【题型5 单调性与参数范围（含根式、分式）】 【例5】若函数 （）在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-1】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 【变式5-2】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式5-3】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【题型6 单调性求参数的综合应用】 【例6】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-1】已知函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 【变式6-2】已知函数 。(1) 求 ；(2) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【变式6-3】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 一、单选题 1．（★）函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 2．（★）若 在区间 上恒成立，则 在 上（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 3．（★）函数 在 上的单调性是（　　） A．单调递增　B．单调递减　C．先增后减　D．不确定 4．（★）函数 的单调递增区间是（　　） A．　B．　C．　D． 5．（★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 6．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 7．（★★）函数 的单调递减区间是（　　） A．　B．　C．　D． 8．（★★）若 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A．　B．　C．　D． 二、多选题 9．（★）关于导数与函数的单调性，下列说法正确的是（　　） A．若 ，则 单调递增　B．若 单调递增，则 　C．若 ，则 单调递减　D．若 单调递增，则一定有 10．（★）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．　B． 在 上单调递增　C． 在 上单调递减　D． 11．（★★）已知函数 （，），则下列结论正确的是（　　） A．　B．当 时， 在 上单调递增　C．当 时， 在 上单调递增　D． 一定有最大值 三、填空题 12．（★）函数 的单调递减区间是____________。 13．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 14．（★★）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是____________。 四、解答题 15．（★）求下列函数的单调区间： (1) ； (2) 。 16．（★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 求 的单调区间。 17．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 18．（★★）已知函数 （）。 (1) 求 ； (2) 讨论 的单调性。 19．（★★）已知函数 在 上单调递增，求实数 的取值范围。 【名师基础】　—— 本讲义完 —— 【名师基础】专题3.2 导数与函数的单调性　1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $