专题3.3 导数与函数的极值、最值（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题3.3 导数与函数的极值、最值（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　函数的极值与极值点 4 知识点2　极值的判别方法与求极值的一般步骤 5 知识点3　函数的最值与求最值的一般步骤 6 知识点4　含参函数的极值与最值 7 知识点5　函数零点与方程根的个数问题 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　求函数的极值　★★ 9 重难点培优02　含参函数的极值讨论　★★ 12 重难点培优03　闭区间上求最值（含参数）　★★★ 15 重难点培优04　含参函数的最值与恒成立（能成立）　★★★ 19 重难点培优05　由极值、最值求参数范围　★★★ 22 重难点培优06　函数零点（方程根）的个数问题　★★★ 25 重难点培优07　极值点偏移（入门）　★★★★ 29 重难点培优08　导数综合压轴题（双变量、隐零点初步）　★★★★ 33 五、过关检测 38 一、单选题 38 二、多选题 41 三、填空题 43 四、解答题 44 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 函数的极值 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，会用导数求函数的极大值与极小值 函数的最值 掌握求函数在给定区间上最大值与最小值的方法，并会解决实际中的最优化问题 极值与最值的综合 会用导数研究含参函数的极值与最值，能由极值、最值逆向求参数的取值范围 函数的零点 理解函数的零点与方程根的关系，会用导数判断零点的个数，掌握恒成立与能成立问题的转化 近三年高考真题对"导数与函数的极值、最值"板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 已知含参函数的最大值求参数 ★★★ 2026 全国二卷 T19 切线、双变量不等式恒成立与最小值（压轴） ★★★★ 2026 天津卷 T20 导数综合：切线、极值与最值、恒成立求参数 ★★★★ 2025 全国一卷 T19 三角函数型函数在闭区间上的最值、恒成立 ★★★★ 2025 全国二卷 T10 奇函数的极值点判定与最值 ★★★ 2025 全国二卷 T13 由极值点求参数与函数值 ★★ 2025 全国二卷 T18 含参函数唯一的极值点与零点（压轴） ★★★★ 2025 北京卷 T20 由导函数研究单调性、极值与最值（压轴） ★★★★ 2025 上海卷 T19 含参函数存在极大值，求参数范围 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T10 三次函数的极值点与函数值比较 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T11 含参三次函数的零点、极值点与对称性 ★★★★ 2024 全国甲卷·理 T21 含参对数型函数的极值与恒成立求参数 ★★★★ 考情分析 函数的极值与最值是导数应用的主干。近三年统计显示，"选填稳、解答难"的格局十分清晰：选填题偏爱"一导即得"的短平快题型，如 2026 年全国一卷第 6 题由最大值求参数、2025 年全国二卷第 13 题由极值点求参数；解答题则以含参函数为载体，要求学生走完"求导—定零点—判符号—定极值—比端点"的链条，2025 年全国二卷第 18 题为对数型含参函数，2025 年北京卷第 20 题只给出导函数而要求反推原函数性质，抽象程度很高。同时，本板块与零点、恒成立、双变量、极值点偏移的交汇不断加深。依据课程标准与高考评价体系，本板块重点考查逻辑推理与数学运算素养，预测 2027 年高考仍以含参讨论、数形结合、构造转化为命题主线。 复习目标 1．牢记极值的定义与" 是必要不充分条件"这一层次，熟练用"列表判号"求出极值点与极值； 2．掌握闭区间求最值"极值点函数值与端点值一并比较"的通法，分辨极值（局部）与最值（整体）的本质差异； 3．掌握含参函数极值、最值的分类讨论标准：导函数零点是否存在、是否落在定义域（给定区间）内、多个零点谁大谁小； 4．树立数形结合与构造转化意识，能用图象法、单调性法、分离参数法处理零点个数、恒成立与能成立问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　导数与函数的极值、最值知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　函数的极值与极值点 一般地，设函数 在点 附近有定义。如果对 附近的所有点，都有 ，就说 是函数 的一个极大值， 叫做极大值点；如果对 附近的所有点，都有 ，就说 是函数 的一个极小值， 叫做极小值点。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 理解极值必须抓住三个要点： ①极值是局部概念——它只刻画函数在极值点附近的局部性态，与函数在整个定义域上取值的大小无关； ②极值点必在定义域内部——定义域的端点处不可能取得极值； ③若函数在 处可导且取到极值，则必有 ，使 的点叫做函数的驻点。驻点未必是极值点，如 中 是驻点却不是极值点。 【方法技巧】 1．判断极值"看两侧"：极值点的本质是导函数在 左右两侧变号，只要变号即为极值点，与 是否为零无关（不可导点也可能是极值点，如 中的 ）； 2．极值之间无大小规律：极大值不一定大于极小值，更不可把"极大值"当成"最大值"； 3．动手求极值之前先写出定义域，一切讨论都只在定义域内进行。 【易错清单】 1．""是" 为极值点"的必要不充分条件，必须检验两侧符号是否变号； 2．区间端点与函数的间断点都不能作为极值点； 3．极值点与极值是两个不同的对象：前者是自变量的取值，后者是函数值，答题时要分别指明，不可混说。 知识点2　极值的判别方法与求极值的一般步骤 判别极值的常用方法有三条： ①导数符号法（最常用）：若 ，且 在 左侧为正、右侧为负，则 为极大值点；若左负右正，则 为极小值点；若两侧同号，则 不是极值点； ②二阶导数法：若 且 ，则 时 为极大值点， 时 为极小值点； ③图象法：观察导函数 的图象，在其与 轴的交点处看符号是否由正变负或由负变正，正变负对应极大值点，负变正对应极小值点。 用导数求函数极值的一般步骤（"一定二求三解四表五定"）： ①确定函数的定义域； ②求导数 ； ③解方程 ，求出定义域内的全部实根； ④列表：以这些根为界把定义域分成若干小区间，判断 在各小区间上的符号； ⑤依据符号的变化确定极值点，并求出相应的极值。 【方法技巧】 1．列表是"得分骨架"：把 、、 三行的变化情况列清楚，极值点与极值一目了然，也便于复查； 2．含参数时先解 ，再比较各根的大小，以根的大小关系作为分类讨论的依据； 3．三次函数 的极值情况与 的判别式直接相关： 时恰有两个极值点， 时无极值点。 【易错清单】 1．解出 的根后不列表、不判符号，直接断言"根就是极值点"，是最高频的失分点； 2．忽略定义域，把定义域外的根也当成极值点； 3．含参问题求参后必须回代检验，防止出现"驻点并非极值点"造成的增解。 知识点3　函数的最值与求最值的一般步骤 若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不断的曲线，则 在 上必存在最大值与最小值。一般地，函数在给定区间上的最值是整体概念，而极值是局部概念，最值可能在极值点处取到，也可能在区间端点处取到。 求函数 在闭区间 上最值的步骤： ①求导数 ，并求出 在开区间 内的全部极值点； ②求出各极值点的函数值以及两个端点值 ； ③比较上述所有函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 求函数在开区间或无穷区间上最值的方法： ①若函数在给定区间上只有唯一一个极值点，则该极值点处的函数值就是相应的最值； ②若区间为开区间，可结合单调性与端点处的变化趋势判断最值是否存在； ③恒成立与能成立问题常转化为最值问题，其转化关系如下表： 类型 等价转化 恒成立 恒成立 能成立 能成立 【方法技巧】 1．闭区间求最值执行"一网打尽"策略：把区间内极值点的函数值与两个端点值全部列出再比大小，绝不遗漏端点； 2．含参闭区间求最值，关键在判断极值点是否落在给定区间内，并据此对参数分类讨论； 3．恒成立与能成立"一上一下"：恒成立取"最值＋反向不等号"，能成立取"最值＋同向不等号"，画个数轴验证符号不易出错。 【易错清单】 1．误以为最值一定在极值点处取到：若极值点不在给定区间内，最值只能在端点处取得； 2．" 恒成立"与" 能成立"的转化方向相反，写反不等号是常见错误； 3．开区间上的最值不一定存在，如 在 上既无最大值也无最小值。 知识点4　含参函数的极值与最值 含参函数的极值与最值问题，核心动作是"讨论"。常用策略有三条： ①求根定界：先由 求出含参的根，再比较根的大小、判断根是否落在定义域或给定区间内，并以此为标准划分参数的讨论区间； ②端点比较：求闭区间最值时，把极值点函数值与端点值一并列出，随参数变化确定哪一个最大、哪一个最小； ③分离参数：把参数与变量分离，转化为"参数与某函数的最值比较"的问题，从而避免繁琐的分类讨论。 含参问题讨论的一般顺序： 讨论依据 常见情形 是否有实根 无实根则函数单调、无极值；有实根再继续讨论 根的大小关系 、、 三种情形 根与定义域（给定区间）的位置关系 根在区间内、根在区间外、根与端点重合 导函数二次项系数的符号 开口向上或向下，决定极大值点与极小值点的分布 【方法技巧】 1．讨论"不重不漏"的三件套：开口方向、判别式、根的大小与位置，按顺序逐一讨论，条理清晰； 2．含参最值题优先考虑分离参数＋求新函数最值，把"含参讨论"转化为"不含参求最值"； 3．写结论时分段作答，每一段都写清"当…时，…"，既严谨又便于踩点给分。 【易错清单】 1．分类讨论的临界情况（两根相等、根恰在端点处）最易遗漏，务必单独检验； 2．分离参数时，若不等号两边同除的式子符号不确定，必须先对其正负分类； 3．参数取值范围的端点能否取到，要代回原题逐一验证，不可想当然。 知识点5　函数零点与方程根的个数问题 函数的零点、方程的根、函数图象与 轴交点的横坐标，三者是同一件事的三种不同说法：函数 的零点 方程 的根 函数 的图象与 轴交点的横坐标。 研究零点个数的常用途径有三条： ①图象法（数形结合）：把 变形为 ，作出两个函数的图象，数交点的个数； ②单调性法：用导数确定 的单调区间与极值，结合零点存在性定理以及各单调区间端点处函数值的符号，判断每个单调区间内根的个数； ③分离参数法：由 解出 ，则零点个数即为直线 与曲线 交点的个数。 零点存在性定理：若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且 ，则 在开区间 内至少存在一个零点。 【方法技巧】 1．讨论零点个数"先画草图"：求出单调区间与极值，画出函数的大致图象，零点个数自然浮现； 2．含参零点问题常用"动直线与定曲线"或"定直线与动曲线"的模型，抓住相切（极值）与端点这两个临界位置； 3．证明零点唯一时，"单调性＋零点存在性定理"缺一不可：先证存在，再用单调性证唯一。 【易错清单】 1．零点存在性定理只保证"至少有一个零点"，不能保证唯一，必须配合单调性才能下结论； 2．讨论根的个数时忘记检验极值点的正负以及函数在端点处的变化趋势，导致个数判断出错； 3．等价变形时注意定义域限制，如由 化为 时不能丢根或增根。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　求函数的极值　★★ 【解题技巧】用导数求极值牢记"求导—解方程—列表—判号—下结论"五步；判断某点是否为极值点，只看导函数在该点左右两侧是否变号：正变负为极大值点，负变正为极小值点。对三次函数还可先看导函数的判别式： 时恰有两个极值点， 时无极值点。 【注意事项】 只是" 为极值点"的必要条件，必须列表检验两侧符号，否则极易把驻点误当极值点；求极值前先写定义域，定义域外的根一律舍去；极大值不一定大于极小值，两者都是局部概念，不可与最值混为一谈。 【例1-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数 ，则（　　） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】ACD 【解题思路】先求导并求出全部驻点，列出 与 的符号与单调性变化情况，再逐项判断四个选项。 【解答过程】 的定义域为 ，且 。 令 ，得 或 。当 时 ；当 时 。 所以 在 和 上单调递增，在 上单调递减，故 是 的极小值点，A 正确。 对于 B，当 时，，而 在 上单调递增，故 ，B 错误。 对于 C，当 时，，而 在 上单调递减，故 。又 ，，所以 ，C 正确。 对于 D，，当 时 ，，故 ，D 正确。 故选 ACD。 【例1-2】（2026·河南·郑州外国语学校·考前模拟）函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】定义域为 ，求导并解 ，列表判断符号变化，确定极大值点后求极大值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 令 ，得 或 。当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 所以 是极大值点，极大值为 。故选 C。 【变式1-1】函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导并令 求出驻点，列表判号确定极大值点。 【解答过程】 的定义域为 ，。 令 得 。当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 所以 是极大值点，极大值为 。故选 A。 【变式1-2】（2026·湖北·宜昌·模拟）函数 的极小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先写定义域，再求导、解方程、列表判号，最后求极小值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 令 得 。当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 所以 是极小值点，极小值为 。故选 C。 【变式1-3】函数 的极大值点为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】定义域优先，求导后解方程，列表判号确定极大值点（注意求的是自变量的取值）。 【解答过程】 的定义域为 ，。 令 得 。当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 所以 是极大值点。故选 B。 【变式1-4】已知函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． 或 D． 或 【答案】A 【解题思路】"既有极大值又有极小值"等价于 有两个不等的实根，用判别式列不等式。 【解答过程】。 由题意， 应有两个不等的实根，故 ，即 ，解得 或 。 故选 A。 【变式1-5】函数 的极大值与极小值之差为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求导、解方程、列表判号，分别求出极大值与极小值，再作差。 【解答过程】。令 得 或 。 当 或 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 故 为极大值点，极大值 ； 为极小值点，极小值 。 所以极大值与极小值之差为 。故选 D。 重难点培优02　含参函数的极值讨论　★★ 【解题技巧】含参极值讨论"三步走"：①求导并因式分解，解出含参的驻点；②比较驻点的大小、判断驻点是否落在定义域内；③按临界参数值分段列表判符号。求参之后务必回代检验，确认该点两侧确实变号。 【注意事项】导数为零不等于取到极值，如 在 处；讨论二次型导函数要兼顾开口方向、判别式、根的大小与根的位置；分类讨论的临界值（两根相等、根与端点重合）必须单独说明，否则漏解。 【例2-1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，则（　　） A．当 时， 有三个零点 B．当 时， 是 的极大值点 C．存在 ，使得 为曲线 的对称轴 D．存在 ，使得点 为曲线 的对称中心 【答案】AD 【解题思路】先求导并求出驻点 与 ，按 、 讨论单调性与极值，再判断零点个数与对称性。 【解答过程】 的定义域为 ，。 对于 A，当 时，由 得 或 ，由 得 ，故 在 上单调递增、在 上单调递减、在 上单调递增。 于是 的极大值为 ，极小值为 ，又当 时 ，当 时 ，故 有三个零点，A 正确。 对于 B，当 时， 时 ， 时 ，故 是极小值点，B 错误。 对于 C，若 是曲线 的对称轴，则 对任意 恒成立，代入整理得 ，即 对任意 成立，这要求 ，但此时等式化为恒等式的条件仍不满足（三次函数图象无对称轴），故不存在这样的 ，C 错误。 对于 D，若点 为曲线 的对称中心，则 对任意 恒成立，代入整理得 ，解得 ，故存在 使结论成立，D 正确。 故选 AD。 【例2-2】（2026·安徽·合肥市第一中学·高三最后一卷）已知函数 （），则 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导得驻点 （），列表判号确定极大值点，再求极大值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 令 ，由 得 或 。当 或 时 ；当 时 。 故 为极大值点，极大值为 。故选 B。 【变式2-1】若函数 在 上存在极值点，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】"存在极值点"等价于 有两个不等的实根，由判别式列不等式。 【解答过程】。由题意， 有两个不等的实根，故 ，即 ，解得 或 。故选 C。 【变式2-2】若函数 在其定义域上存在极值，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先写定义域 ，求导后把"存在极值"转化为" 在定义域内有变号实根"。 【解答过程】 的定义域为 ，。 当 时， 对 恒成立，故 ， 在 上单调递增，无极值。 当 时，令 得 ，且 时 ， 时 ，故存在极小值。 综上，。故选 B。 【变式2-3】若函数 的极大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由极大值存在知 ，求出极大值点与极大值的表达式，列方程求 。 【解答过程】。由 有极大值知 ，令 得 。 当 或 时 ，当 时 ， 故极大值点为 ，极大值为 。 令 ，得 ，两边平方得 ，解得 。故选 C。 【变式2-4】函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分类讨论 与 时 的符号，判断是否存在两个极值点。 【解答过程】。 当 时， 恒成立，故 ， 在 上单调递增，无极值。 当 时，令 得 ，且 在 处由正变负、在 处由负变正，故既有极大值又有极小值。 综上，。故选 B。 【变式2-5】已知函数 在 与 处均取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导后令 求 ，再检验两个驻点两侧是否都变号。 【解答过程】。 因为 与 都是极值点，所以 （显然成立）且 ，解得 。 当 时，，在 处由正变负、在 处由负变正，两处均为极值点，符合题意。 故选 A。 重难点培优03　闭区间上求最值（含参数）　★★★ 【解题技巧】闭区间求最值执行"一网打尽"策略：求出区间内所有极值点的函数值与两个端点值，一并比较。含参时关键动作是判断极值点是否落在给定区间内，据此把参数分段，逐段确定最大值与最小值出现在何处。 【注意事项】端点值常常就是最值，任何情况下都不能省略对端点的计算；当极值点含参而区间固定时，讨论的临界参数值就是区间端点对应的参数值；若某段内极值点函数值与端点值的大小关系仍不确定，还要在段内继续比较。 【例3-1】（2025·全国一卷·高考真题改编）已知函数 ，则 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求导并因式分解定号，求出 内的唯一驻点，比较驻点值与端点值即得最大值。 【解答过程】。 当 时，，故 （端点处取 ）；而 ，故当 时 ，；当 时 ，。 所以 在 上单调递增，在 上单调递减，最大值在 处取得。 又 ， 而 ，， 比较知最大值为 。故选 C。 【例3-2】（2026·湖北·武汉·二模）函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导确定 内的极值点，把极值点函数值与两个端点值一并比较。 【解答过程】。令 得 ，其中 落在区间 内。 当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减，故 为极大值点，。 又端点值 ，，比较得最大值为 。故选 B。 【例3-3】（2026·江西·江西师范大学附属中学·联考）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求出函数在 上的最大值及其取得位置，再把"区间 上最大值为 "转化为对 的限制。 【解答过程】 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减，故 在全体实数上于 处取得最大值 。 又 。若 ，则 在 上单调递增，最大值为 ，不合题意； 若 ，则 在 上递增、在 上递减，最大值为 ，符合题意。 所以 。故选 D。 【变式3-1】函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出区间内的极值点，与端点值一并比较取最小。 【解答过程】，在 内取零的点为 ，且 时 ， 时 ，故 为极小值点，。 端点值 ，，比较得最小值为 。故选 A。 【变式3-2】函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导确定唯一极值点，因区间上只有一个极值点，该点函数值即为最值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 故 在 处取得最大值 。故选 A。 【变式3-3】（2026·山西·太原·模拟）函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】换元令 化为二次函数，或用导数求单调性后比较端值。 【解答过程】令 ，则 ，。 故当 （即 ）时取最小值 ，当 （即 ）时取最大值 。 所以 在 上的最小值为 。故选 C。 【变式3-4】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出 在 上单调递增，把"最大值为 "转化为端点处的方程。 【解答过程】。当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 又 ，，故当 时 上的最大值为 （此时 ）。 由 ，即 ，因式分解得 ，由 得 。故选 C。 【变式3-5】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断 在 上的单调性，再取右端点处的函数值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 当 时 ，故 （仅在 处取 ）， 在 上单调递增。 所以最大值为 。故选 B。 【变式3-6】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出 在 上的最小值表达式（含 ），再令其等于 求 。 【解答过程】，在 内取零的点为 ，且 时 ， 时 ，故 为极小值点，。 端点值 ，，故最小值为 。 由 得 。故选 B。 重难点培优04　含参函数的最值与恒成立（能成立）　★★★ 【解题技巧】恒成立与能成立问题一律"转化为最值"：；。含参求最值时，优先尝试分离参数，把"含参讨论"变成"不含参求最值"，可大幅减少讨论量。 【注意事项】"恒成立"与"能成立"的转化方向相反，一个是"最值＋反向不等号"，一个是"最值＋同向不等号"，写反必错；分离参数时若不等号两边同除的式子符号不确定，必须先分类；若原函数的最大值含参数（如 2026 年全国一卷第 6 题），则要先讨论函数的定义域是否随参数变化。 【例4-1】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先讨论分母 的零点对定义域的影响，再用" 恒成立且等号能取到"转化为求新函数的最值。 【解答过程】若 ，则当 时 ，而分子 ，故 在定义域内无最大值，不合题意。所以 ，此时 ，定义域为 。 由 的最大值为 知 对任意 恒成立，且等号能取到，即 对任意 恒成立。 设 ，则 。令 得 。当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 故 ，从而 。又当 时， 处 能取到，最大值恰为 。 所以 。故选 B。 【例4-2】（2026·山东·青岛·模拟）已知函数 在区间 上的最小值大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按二次函数对称轴与区间 的位置关系分类，求出最小值的表达式，再令其大于 。 【解答过程】 的图象开口向上，对称轴为 。 ①当 ，即 时， 在 上单调递增，最小值为 ，解得 ，符合； ②当 ，即 时，最小值为 ，令 得 ，与 矛盾，无解； ③当 ，即 时， 在 上单调递减，最小值为 ，解得 ，与 矛盾，无解。 综上，。故选 A。 【例4-3】（2026·江苏·南京·二模）若不等式 在区间 上能成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"能成立"即"有解"，转化为 小于右端函数的最大值。 【解答过程】设 ，。，故 在 上单调递减、在 上单调递增，最大值为 （此时 ）。 不等式 在 上能成立，等价于 。故选 A。 【变式4-1】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】恒成立转化为 不大于右端函数在 上的最小值。 【解答过程】设 ，，则 ，故 在 上单调递增，最小值为 。 要使 对任意 恒成立，只需 。故选 A。 【变式4-2】（2026·四川·成都七中·模拟）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】求出区间内极值点函数值与端点值，比较得到最大值（含 ）的表达式，再解方程。 【解答过程】，在 内取零的点为 ，且 时 ， 时 。 故 为极小值点，，而端点值 ，。 所以最大值为 （因为 ），由 得 。故选 C。 【变式4-3】若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把不等式变形为 ，"存在"转化为 不小于右端函数的最大值。 【解答过程】由 （）得 。 设 （），它是开口向下的抛物线，顶点为 ，最大值 。 存在 使不等式成立，等价于 。故选 A。 【变式4-4】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，转化为求 在 上的最大值。 【解答过程】因为 ，由 得 。 设 （），则 。令 得 。当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 故 ，从而 。故选 A。 【变式4-5】（2026·贵州·贵阳·一模）已知函数 的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出函数的最小值（含 ）的表达式，再令其等于 。 【解答过程】 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 故 ，由 得 。故选 B。 重难点培优05　由极值、最值求参数范围　★★★ 【解题技巧】由极值、极值点求参数，固定动作是"列方程—解出候选—回代检验"：先用 （或极值等于某数）列出方程，求出参数，再检验该点两侧是否变号。求范围时，把"有极值"翻译成" 在定义域内有两个变号实根"，用判别式与根的分布列不等式组。 【注意事项】求参后不回代检验是致命伤，如 在 处 却无极值；把"有极值"与"有两个极值点"混同也会出错，前者至少一个、后者恰好两个；用待定系数法列式时，极值点处导数为零与函数值等于极值这两个条件要同时用上。 【例5-1】（2025·全国二卷·高考真题）若 是函数 的极值点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用乘积求导法则写出 ，由 求 ，化简 后计算 。 【解答过程】 的定义域为 ，。 因为 是极值点，所以 ，解得 。 当 时，，，在 处由负变正，故 确为极小值点，符合题意。 所以 。故选 A。 【例5-2】（2026·辽宁·铁岭市开原市高级中学·考前模拟）已知函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 【答案】B 【解题思路】分 与 讨论 是否为二次式，再要求 有两个不等的实根。 【解答过程】。 当 时， 只有一个零点， 只有一个极值点，不合题意。 当 时， 为二次式，要使 既有极大值又有极小值，需 有两个不等的实根，即 ，解得 。 综上， 且 。故选 B。 【变式5-1】若函数 在 处取得极小值 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 求出 ，再由 验证，最后确认该点为极小值点。 【解答过程】 的定义域为 ，。由题意 ，解得 。 此时 ， 在 上单调递减、在 上单调递增，故 为极小值点，且 ，符合题意。 故选 C。 【变式5-2】（2026·四川·成都七中·模拟）已知函数 在 处有极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 求 ，再验证 两侧导函数变号。 【解答过程】 的定义域为 ，。 由题意 ，解得 。 当 时，，在 处由负变正，故 为极小值点，符合题意。故选 C。 【变式5-3】若函数 在 上有极值，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 【答案】D 【解题思路】分 与 讨论导函数的零点情况，"有极值"即 有变号实根。 【解答过程】。 当 时，，在 处由正变负，故 为极大值点， 有极值，符合题意。 当 时，需 有两个不等的实根，即 ，解得 ，此时 或 。 综上，。故选 D。 【变式5-4】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 在 上的单调性与极值，再按 与关键位置的关系分段确定最大值。 【解答过程】， 在 与 上单调递增、在 上单调递减，故极大值为 ，极小值为 ，且 ，。 ①当 时， 在 上单调递增，最大值为 ，不合题意； ②当 时， 在 上的最大值为 （因为 在 上恒成立），符合题意； ③当 时，，最大值为 ，不合题意。 综上，。故选 A。 【变式5-5】已知函数 在 处取得极值 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由"极值点处导数为零"与"函数值等于极值"列出方程组求 ，再回代检验。 【解答过程】。由题意得 ，即 ；又 。 将 代入得 ，即 ，解得 或 。 当 时，，此时 ，在 处变号，符合题意，； 当 时，，此时 ， 不是极值点，舍去。 所以 。故选 B。 重难点培优06　函数零点（方程根）的个数问题　★★★ 【解题技巧】零点（交点、方程根）个数问题有"三招"：①变形为 画两图象数交点；②用导数求出单调区间与极值，逐段用零点存在性定理；③分离参数化为 ，横直线 与曲线 的交点个数即为根的个数。抓住相切（极值）与端点这两个临界位置，参数分界自然显现。 【注意事项】零点存在性定理只保证"至少一个"，判断唯一必须补上单调性；讨论个数时不要漏掉渐近趋势（如 、 时的取值）；遇到"恰有一个交点"且函数具有对称性（如偶函数）时，往往可先锁定特殊点。 【例6-1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，，当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】设 ，化简后发现 为偶函数，由对称性先锁定唯一交点的横坐标为 ，求出 后再验证。 【解答过程】设 。 显然 ，即 为偶函数。若 是 的零点，则 也是零点，故要使 在 上恰有一个零点，只可能是 ，于是 ，解得 。 当 时，，，，故 在 上单调递增。 又 ，所以 时 ， 单调递减； 时 ， 单调递增。 故 ，等号仅在 处成立，即 在 上恰有一个零点。 所以 。故选 D。 【例6-2】（2026·安徽·合肥市第八中学·三模）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出 的极大值与极小值，由"有三个零点"得极大值为正、极小值为负，列不等式组。 【解答过程】， 在 与 上单调递增、在 上单调递减。 故极大值为 ，极小值为 。又当 时 ，当 时 。 由 有三个零点得极大值大于零、极小值小于零，即 且 ，解得 。故选 A。 【例6-3】（2026·福建·福州第一中学·模拟）若方程 有两个不等的实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分离参数后，转化为横直线 与曲线 的图象恰有两个交点，需数形结合确定临界值。 【解答过程】设 （），则 ，令 得 。 当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减，故 。 又当 时 ，当 时 ，且当 时 。 所以当 时只有一根（在 内）；当 时， 与图象在 和 上各交一次，共两根；当 或 时根的个数不足两根。 故 。故选 B。 【变式6-1】函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导确定单调性与最小值，再由最小值的正负判断零点个数。 【解答过程】。令 得 。当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 故 ，即 恒成立，等号仅在 处成立。 所以 有且只有一个零点。故选 B。 【变式6-2】（2026·河北·石家庄二中·模拟）若函数 有两个零点，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出极大值与极小值，由"有两个零点"知其中一个极值为零。 【解答过程】， 在 与 上单调递增、在 上单调递减。 故极大值为 ，极小值为 。又当 时 ，当 时 。 由 有两个零点得 或 ，即 或 。故选 A。 【变式6-3】若方程 在区间 上有两个不等的实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出两根的表达式，令两根都落在 内，列不等式组。 【解答过程】方程的两根为 ，要使两不等实根都落在 内，需 且 且 。 由 得 ；由 得 ，即 ，得 ；由 得 ，即 ，得 。 综上，。故选 A。 【变式6-4】（2026·吉林·长春·模拟）若方程 有两个不等的实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 ，转化为横直线 与 在 （ 时）上的图象有两个交点。 【解答过程】当 时：若 ，则 而 ，方程不成立；若 ，则 而 ，方程也不成立；若 ，则 。故 时方程无实根，不合题意。 当 时，方程等价于 （）。设 （），则 。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增，故 ，且当 时 ，当 时 。 所以当 时直线 与曲线 有两个交点，即原方程有两个不等的实根。故选 A。 【变式6-5】函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出极大值与极小值，结合函数在两端的变化趋势判断各区间上的零点个数。 【解答过程】， 在 与 上单调递增、在 上单调递减。 极大值为 ，极小值为 。又当 时 ，当 时 。 所以在 上恰有一个零点（因单调且两端异号），在 上恰有一个零点，在 上恰有一个零点，共 个零点。故选 D。 重难点培优07　极值点偏移（入门）　★★★★ 【解题技巧】极值点偏移的本质是"函数图象关于极值点所在竖直线并不对称"。解题范式为"设两零点 ，比较 与 （ 为极值点）"：常通过构造对称函数 ，判断其在 一侧的符号，再利用函数的单调性脱去 ，从而得到不等关系。 【注意事项】用对称性论证前必须先确认单调区间，否则"脱去 "这一步不成立；偶函数、奇函数的对称性与极值点对称是两回事，前者关于 轴或原点，后者关于竖直线 ，不可混用；结论的"方向"极易写反，建议先取一组具体数验证再落笔。 【例7-1】（2025·全国二卷·高考真题）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则（　　） A． B．当 时， C． 当且仅当 D． 是 的极大值点 【答案】ABD 【解题思路】先用奇函数的性质补出 时的解析式，再求 时的单调性与极值点，最后借助奇函数的对称性判断 时的极值点。 【解答过程】对于 A，因为 是定义在 上的奇函数，所以 ，A 正确。 对于 B，当 时 ，故 ，于是 ，B 正确。 对于 C，当 时 。当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。又 ，故 在 处并不成立，C 错误。 对于 D，由上面的讨论知 是 在 上的极小值点；由于 为奇函数，其图象关于原点对称，故 是 在 上的极大值点，D 正确。 故选 ABD。 【例7-2】（2026·浙江·杭州第二中学·模拟）已知函数 ，若 且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出极值点 ，构造函数 判断其在 上的符号，再借助 在 上的单调性脱去 。 【解答过程】 的定义域为 ，，故 在 上单调递减、在 上单调递增，极小值点为 ，且 。 由 且 知 ，。 设 （）， 则 （）。 故 在 上单调递减，从而 ，即 对任意 恒成立。 取 得 ，又 ，故 。 由于 ，，而 在 上单调递增，所以 ，即 。 故选 A。 【变式7-1】已知函数 ，若 （），则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】极值点为 ，构造函数 并判断其在 上的符号，再用单调性脱去 。 【解答过程】，故 在 上单调递增、在 上单调递减，极大值点为 。 由 （）知 ，（当取值为负数时方程只有一个根）。 设 （）， 则 。 故 在 上单调递增，从而 ，即 对任意 恒成立。 取 得 ，又 ，故 。 由于 ，，而 在 上单调递减，所以 ，即 。 故选 B。 【变式7-2】已知函数 ，若 （），则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】极值点为 ，构造函数 并判断其在 上的符号，再用单调性脱去 。 【解答过程】，故 在 上单调递减、在 上单调递增，极小值点为 。 由 （）知 。 设 （）， 则 （当且仅当 时取等号），故 在 上单调递增，从而 。 取 得 ，又 ，故 。 由于 ，，而 在 上单调递减，所以 ，即 。 故选 A。 【变式7-3】（2026·河南·郑州·二模）已知函数 ，若 且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用 为奇函数、图象关于原点对称，三个零点关于原点成对出现，从而求和。 【解答过程】 的定义域为 ，且 ，故 为奇函数，图象关于原点对称。 ，故 在 上单调递增、在 上单调递减、在 上单调递增，极大值为 、极小值为 。 由 知， 恰为方程 （其中 ）的三个实根。 该三次方程的三次项系数为 、二次项系数为 ，由韦达定理得 。 故选 B。 【变式7-4】已知函数 （）在 处取得极小值，若 （），则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断两个零点所在范围，作平移 （）化为关于 的函数，再比较该函数在 与 处的取值。 【解答过程】，由 知极小值点为 ，且 在 上单调递减、在 上单调递增。 记 ，其中 （因为 ）。注意 。 由 且 知 ，记 ，，则 。 考察 （），则 ，且仅在 处取等号，故 （），即 。 取 得 ，即 。又 在 上单调递减（因 ），所以 ，即 。 故 。故选 A。 【变式7-5】（2026·湖北·襄阳·模拟）已知函数 ，若 （），则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】极值点为 ，构造函数 并判断其在 上的符号，再用单调性脱去 。 【解答过程】，故 在 上单调递减、在 上单调递增，极小值点为 。 由 （）知 （因取值为负时两根均为负）。 设 （）， 则 。 当 时 ，且由 知 ，故 ，于是 ， 在 上单调递增。 又 ，故 ，即 对任意 恒成立。 取 得 ，又 ，故 。 由于 ，，而 在 上单调递减，所以 ，即 。 故选 A。 重难点培优08　导数综合压轴题（双变量、隐零点初步）　★★★★ 【解题技巧】双变量问题"化归为单变量"：①构造函数比较法——把两个变量分离到等号两侧，构造 并研究其单调性；②齐次化/比值代换——令 把双变量问题变成单变量问题；③对称构造——借助 转化为 或 的不等式。涉及"隐零点"时，设而不求：设 ，用该等式整体替换指数或对数，再估计 的范围。 【注意事项】双变量问题的常见陷阱是"把两个变量各自的边界当作整体的边界"，务必整体处理；隐零点问题中 所在区间的估计是得分关键，常需借助 、、 等特殊值卡范围；等价变形时注意分母的正负与定义域的限制，防止讨论不全。 【例8-1】（2026·全国二卷·高考真题改编）已知函数 ，曲线 在点 处的切线为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由切点在切线上且 求 ，再由导数的几何意义（切线斜率为 ）求 。 【解答过程】因为点 在切线 上，所以 。 又 ，所以 。 求导得 ，切线的斜率等于 ，即 ，解得 。 所以 。故选 A。 【例8-2】（2026·河北·衡水中学·四调）已知函数 在其定义域内有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导后把"两个不同的极值点"转化为"分子上的二次方程有两个不等的正根"，用判别式与韦达定理列不等式。 【解答过程】 的定义域为 ，。 令 ，则 的零点个数即为 在 上的零点个数，且 时 与 同号。 要使 有两个不同的极值点，需 有两个不等的正根。 由韦达定理，两根之积为 ，两根之和为 ，故需 ，即 ； 再由 得 （结合 ）。 综上，。故选 A。 【例8-3】（2026·湖南·湖南师范大学附属中学·月考）已知函数 恰有两个极值点 （），则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由两个极值点满足的关系式消去参数 ，把 化为关于 的单变量函数，再求其值域。 【解答过程】 的定义域为 ，。 由 有两个极值点 知方程 有两个不等的正根，故 ，，且 ，从而 ，即 。 记 ，则 。由 得 。 设 （），则 ，故 在 上单调递减。 又当 时 ，故 ；而 （取不到）。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【变式8-1】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导求驻点，判定极小值点后求函数值。 【解答过程】 的定义域为 ，。令 得 。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 故 。故选 A。 【变式8-2】（2026·山西·临汾·模拟）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】转化为 恒成立，求 在 上的最大值。 【解答过程】由 得 对任意 恒成立。 设 （），则 。令 得 。 当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 故 ，所以 ， 的最小值为 。 故选 A。 【变式8-3】函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导确定极小值点，因区间上只有唯一极值点，该点函数值即为最小值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 故 。故选 B。 【变式8-4】（2026·甘肃·兰州·二模）设函数 ，若对任意 都有 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出 在 上的最小值（含 ），令其大于等于 解出 。 【解答过程】，在 内取零的点为 ，且 时 ， 时 ，故 为极小值点，。 端点值 ，，故最小值为 。 由 得 。故选 A。 【变式8-5】（2026·新疆·乌鲁木齐·模拟）已知函数 （）的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求导确定极小值点，写出最小值表达式，令其等于 解方程并用单调性判断唯一解。 【解答过程】 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增，故 。 由 得 ，解得 。故选 B。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求导、解方程、列表判号，确定极大值点后求极大值。 【解答过程】。令 得 或 。 当 或 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 故 是极大值点，极大值为 。故选 A。 2．【巩固】函数 的极小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先写定义域，求导、解方程、列表判号后求极小值。 【解答过程】 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 故 是极小值点，极小值为 。故选 B。 3．【巩固】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把区间内极值点函数值与两个端点值一并比较。 【解答过程】，在 内取零的点为 ，且 时 、 时 ，故 为极小值。 端点值 ，，比较得最大值为 。故选 C。 4．【进阶】已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出极大值与极小值，由"三个零点"得极大值为正、极小值为负。 【解答过程】， 在 与 上单调递增、在 上单调递减。 故极大值为 ，极小值为 ，且 时 ， 时 。 由 有三个零点得 且 ，即 。故选 A。 5．【进阶】若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按对称轴与区间的位置关系分类，逐段令最小值为 求解并检验。 【解答过程】 的对称轴为 。 ①当 ，即 时， 在 上单调递增，最小值 ，解得 ，符合 ； ②当 ，即 时，最小值 ，解得 ，均不在 内，舍去； ③当 ，即 时， 在 上单调递减，最小值 ，解得 ，不符合 ，舍去。 综上，。故选 B。 6．【进阶】已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 求 ，再验证该点两侧导函数变号。 【解答过程】。由题意 ，解得 。 当 时，，在 处由正变负，故 为极大值点，符合题意。 故选 C。 7．【培优】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】求出 的单调性与极值，再按 与关键位置的关系分段确定最大值。 【解答过程】， 在 与 上单调递增、在 上单调递减，极大值为 。 ①当 时， 在 上的最大值为 （因为 在 上恒成立，且 ），符合题意； ②当 时，，最大值大于 ，不合题意。 综上，。故选 A。 8．【培优】已知函数 在区间 上有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先因式分解求出 的全部零点，再判断哪些零点落在 内。 【解答过程】。 故 的三个零点为 ，，，其中 。 要使 在 上有两个零点，需 与 都落在区间内，即 。 故选 B。 二、多选题 9．【进阶】已知函数 ，则（　　） A． 是 的极大值点 B． 的极小值为 C． 在 上的最大值为 D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】求导确定单调性与极值，再逐项验证各选项。 【解答过程】， 在 与 上单调递增、在 上单调递减。 所以 是极大值点，A 正确；极小值为 ，B 正确。 在 上，，，，，最大值为 ，C 正确。 在 上 ， 单调递减，故 D 错误。 故选 ABC。 10．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 有两个零点 B． 必有零点 C．当 时， 只有一个零点 D．当 时， 有三个零点 【答案】ABC 【解题思路】求出极大值与极小值，按 的取值分类讨论零点个数，再逐项判断。 【解答过程】， 在 与 上单调递增、在 上单调递减，极大值为 ，极小值为 。 对于 A，当 时 ，零点为 与 ，共 个，A 正确。 对于 B，当 时 ，当 时 ，故 必有零点，B 正确。 对于 C，当 时，极大值 ，极小值 ，图象与 轴只交于一点，故恰有一个零点，C 正确。 对于 D，当 时，极大值 ，极小值 ，图象与 轴只交于一点，只有一个零点，D 错误。 故选 ABC。 11．【培优】已知函数 ，则（　　） A． 的极大值为 B． 在 上单调递减 C． 在 上的最小值为 D．若 （），则 【答案】ABD 【解题思路】求导确定单调性与极值，再逐项验证；D 项借助对称构造判断。 【解答过程】，故 在 上单调递增、在 上单调递减，极大值为 。 所以 A 正确，B 正确。 在 上 ， 单调递增，故最小值为 ，C 错误。 对于 D，由 （）知 ，，且 对 恒成立，取 得 ，再由 在 上单调递减得 ，即 ，D 正确。 故选 ABD。 12．【培优】已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 有极小值 C．当 时，曲线 与 轴相切 D．当 时， 有两个零点 【答案】ABC 【解题思路】按 的取值讨论 的符号与单调性，求出最小值后逐项判断。 【解答过程】。 对于 A，当 时 恒成立， 在 上单调递增，A 正确。 对于 B，当 时，令 得 ，且 时 、 时 ，故 在 处取得极小值 ，B 正确。 对于 C，当 时， 且 ，故曲线在点 处的切线为 轴，即图象与 轴相切，C 正确。 对于 D，当 时 的最小值为 ，当 时 ，最小值大于 ，此时 无零点；当 时恰有一个零点。故 D 错误。 故选 ABC。 三、填空题 13．【巩固】函数 的极大值点为 ______． 【答案】 【解题思路】求导、解方程、列表判号，确定极大值点。 【解答过程】。令 得 或 。 当 或 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 故极大值点为 。 14．【进阶】已知函数 的极大值为 ，则 的值为 ______． 【答案】 【解题思路】求出极大值点与极大值（含 ）的表达式，令其等于 求 。 【解答过程】， 在 与 上单调递增、在 上单调递减，故极大值为 。 由 得 。 15．【进阶】若函数 在区间 上的最小值为 ，则 的值为 ______． 【答案】 【解题思路】求出函数在 上的最小值（含 ）的表达式，再令其等于 。 【解答过程】，故 在 上单调递减、在 上单调递增，最小值为 。 由 得 。 16．【培优】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】按 与 、 的大小关系分类讨论 在 上的单调性，再令最小值为 。 【解答过程】， 时 。 ①当 时，， 在 上单调递增，最小值为 ，符合题意； ②当 时， 在 上单调递减、在 上单调递增，最小值为 。由 得 （因函数 在 上的最大值在 处取得且为 ），与 矛盾，舍去； ③当 时，， 在 上单调递减，最小值为 ，解得 ，与 矛盾，舍去。 综上，。 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的单调区间与极值； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值． 【答案】(1) 单调递增区间为 与 ，单调递减区间为 ，极大值为 ，极小值为 ；(2) 最大值为 ，最小值为 ． 【解题思路】(1) 求导、解方程、列表判号即得单调区间与极值；(2) 把极值点函数值与端点值一并比较。 【解答过程】(1) 的定义域为 ，。 令 得 或 。当 或 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 所以 的单调递增区间为 与 ，单调递减区间为 ；极大值为 ，极小值为 。 (2) 计算端点值：，。 比较 ，，，，得最大值为 ，最小值为 。 18．【进阶】已知函数 （）． (1) 当 时，求 的极值； (2) 若 在其定义域内有两个不同的极值点，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 极大值为 ，极小值为 ；(2) ． 【解题思路】(1) 代入 后求导、列表判号求极值；(2) "两个不同极值点"等价于 有两个不等的实根。 【解答过程】(1) 当 时，，。 在 与 上单调递增、在 上单调递减，故极大值为 ，极小值为 。 (2) 。要使 有两个不同的极值点，需 有两个不等的实根，即 有两个不等的实根，故 。 经检验，当 时 在 两侧均变号，故两个极值点确实存在。 综上，。 19．【培优】已知函数 （）． (1) 讨论 的单调性； (2) 若 有两个零点，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 当 时， 在 上单调递增；当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减；(2) ． 【解题思路】(1) 按 与 讨论 的符号；(2) 利用最大值的正负以及两端的变化趋势确定零点个数。 【解答过程】(1) 的定义域为 ，。 当 时， 对 恒成立，故 ， 在 上单调递增。 当 时，令 得 ；当 时 ， 单调递增；当 时 ， 单调递减。 (2) 若 ， 单调递增，至多有一个零点，不合题意。 若 ， 的最大值为 。 要使 有两个零点，需 ，即 。此时 时 ， 时 ，故在 与 上各有一个零点，共两个。 综上，。 20．【培优】已知函数 ． (1) 求 的单调区间与极值； (2) 若关于 的方程 有两个不等的实根，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值为 ；(2) ． 【解题思路】(1) 求导、列表判号求单调区间与极值；(2) 把方程根的个数转化为横直线 与曲线 交点的个数。 【解答过程】(1) 的定义域为 ，。 当 时 ， 单调递减；当 时 ， 单调递增。 所以单调递减区间为 ，单调递增区间为 ，极小值为 ，无极大值。 (2) 由 (1) 知 ，且当 时 ，当 时 。 所以当 时，横直线 与曲线 有两个交点，即方程 有两个不等的实根； 当 或 时，根的个数不足两个。 综上，。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 导数与函数的极值、最值（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　函数的极值与极值点 4 知识点2　极值的判别方法与求极值的一般步骤 5 知识点3　函数的最值与求最值的一般步骤 6 知识点4　含参函数的极值与最值 7 知识点5　函数零点与方程根的个数问题 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　求函数的极值　★★ 9 重难点培优02　含参函数的极值讨论　★★ 10 重难点培优03　闭区间上求最值（含参数）　★★★ 11 重难点培优04　含参函数的最值与恒成立（能成立）　★★★ 12 重难点培优05　由极值、最值求参数范围　★★★ 14 重难点培优06　函数零点（方程根）的个数问题　★★★ 15 重难点培优07　极值点偏移（入门）　★★★★ 16 重难点培优08　导数综合压轴题（双变量、隐零点初步）　★★★★ 17 五、过关检测 19 一、单选题 19 二、多选题 20 三、填空题 21 四、解答题 21 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 函数的极值 了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件，会用导数求函数的极大值与极小值 函数的最值 掌握求函数在给定区间上最大值与最小值的方法，并会解决实际中的最优化问题 极值与最值的综合 会用导数研究含参函数的极值与最值，能由极值、最值逆向求参数的取值范围 函数的零点 理解函数的零点与方程根的关系，会用导数判断零点的个数，掌握恒成立与能成立问题的转化 近三年高考真题对"导数与函数的极值、最值"板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 已知含参函数的最大值求参数 ★★★ 2026 全国二卷 T19 切线、双变量不等式恒成立与最小值（压轴） ★★★★ 2026 天津卷 T20 导数综合：切线、极值与最值、恒成立求参数 ★★★★ 2025 全国一卷 T19 三角函数型函数在闭区间上的最值、恒成立 ★★★★ 2025 全国二卷 T10 奇函数的极值点判定与最值 ★★★ 2025 全国二卷 T13 由极值点求参数与函数值 ★★ 2025 全国二卷 T18 含参函数唯一的极值点与零点（压轴） ★★★★ 2025 北京卷 T20 由导函数研究单调性、极值与最值（压轴） ★★★★ 2025 上海卷 T19 含参函数存在极大值，求参数范围 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T10 三次函数的极值点与函数值比较 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T11 含参三次函数的零点、极值点与对称性 ★★★★ 2024 全国甲卷·理 T21 含参对数型函数的极值与恒成立求参数 ★★★★ 考情分析 函数的极值与最值是导数应用的主干。近三年统计显示，"选填稳、解答难"的格局十分清晰：选填题偏爱"一导即得"的短平快题型，如 2026 年全国一卷第 6 题由最大值求参数、2025 年全国二卷第 13 题由极值点求参数；解答题则以含参函数为载体，要求学生走完"求导—定零点—判符号—定极值—比端点"的链条，2025 年全国二卷第 18 题为对数型含参函数，2025 年北京卷第 20 题只给出导函数而要求反推原函数性质，抽象程度很高。同时，本板块与零点、恒成立、双变量、极值点偏移的交汇不断加深。依据课程标准与高考评价体系，本板块重点考查逻辑推理与数学运算素养，预测 2027 年高考仍以含参讨论、数形结合、构造转化为命题主线。 复习目标 1．牢记极值的定义与" 是必要不充分条件"这一层次，熟练用"列表判号"求出极值点与极值； 2．掌握闭区间求最值"极值点函数值与端点值一并比较"的通法，分辨极值（局部）与最值（整体）的本质差异； 3．掌握含参函数极值、最值的分类讨论标准：导函数零点是否存在、是否落在定义域（给定区间）内、多个零点谁大谁小； 4．树立数形结合与构造转化意识，能用图象法、单调性法、分离参数法处理零点个数、恒成立与能成立问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　导数与函数的极值、最值知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　函数的极值与极值点 一般地，设函数 在点 附近有定义。如果对 附近的所有点，都有 ，就说 是函数 的一个极大值， 叫做极大值点；如果对 附近的所有点，都有 ，就说 是函数 的一个极小值， 叫做极小值点。极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点。 理解极值必须抓住三个要点： ①极值是局部概念——它只刻画函数在极值点附近的局部性态，与函数在整个定义域上取值的大小无关； ②极值点必在定义域内部——定义域的端点处不可能取得极值； ③若函数在 处可导且取到极值，则必有 ，使 的点叫做函数的驻点。驻点未必是极值点，如 中 是驻点却不是极值点。 【方法技巧】 1．判断极值"看两侧"：极值点的本质是导函数在 左右两侧变号，只要变号即为极值点，与 是否为零无关（不可导点也可能是极值点，如 中的 ）； 2．极值之间无大小规律：极大值不一定大于极小值，更不可把"极大值"当成"最大值"； 3．动手求极值之前先写出定义域，一切讨论都只在定义域内进行。 【易错清单】 1．""是" 为极值点"的必要不充分条件，必须检验两侧符号是否变号； 2．区间端点与函数的间断点都不能作为极值点； 3．极值点与极值是两个不同的对象：前者是自变量的取值，后者是函数值，答题时要分别指明，不可混说。 知识点2　极值的判别方法与求极值的一般步骤 判别极值的常用方法有三条： ①导数符号法（最常用）：若 ，且 在 左侧为正、右侧为负，则 为极大值点；若左负右正，则 为极小值点；若两侧同号，则 不是极值点； ②二阶导数法：若 且 ，则 时 为极大值点， 时 为极小值点； ③图象法：观察导函数 的图象，在其与 轴的交点处看符号是否由正变负或由负变正，正变负对应极大值点，负变正对应极小值点。 用导数求函数极值的一般步骤（"一定二求三解四表五定"）： ①确定函数的定义域； ②求导数 ； ③解方程 ，求出定义域内的全部实根； ④列表：以这些根为界把定义域分成若干小区间，判断 在各小区间上的符号； ⑤依据符号的变化确定极值点，并求出相应的极值。 【方法技巧】 1．列表是"得分骨架"：把 、、 三行的变化情况列清楚，极值点与极值一目了然，也便于复查； 2．含参数时先解 ，再比较各根的大小，以根的大小关系作为分类讨论的依据； 3．三次函数 的极值情况与 的判别式直接相关： 时恰有两个极值点， 时无极值点。 【易错清单】 1．解出 的根后不列表、不判符号，直接断言"根就是极值点"，是最高频的失分点； 2．忽略定义域，把定义域外的根也当成极值点； 3．含参问题求参后必须回代检验，防止出现"驻点并非极值点"造成的增解。 知识点3　函数的最值与求最值的一般步骤 若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不断的曲线，则 在 上必存在最大值与最小值。一般地，函数在给定区间上的最值是整体概念，而极值是局部概念，最值可能在极值点处取到，也可能在区间端点处取到。 求函数 在闭区间 上最值的步骤： ①求导数 ，并求出 在开区间 内的全部极值点； ②求出各极值点的函数值以及两个端点值 ； ③比较上述所有函数值，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值。 求函数在开区间或无穷区间上最值的方法： ①若函数在给定区间上只有唯一一个极值点，则该极值点处的函数值就是相应的最值； ②若区间为开区间，可结合单调性与端点处的变化趋势判断最值是否存在； ③恒成立与能成立问题常转化为最值问题，其转化关系如下表： 类型 等价转化 恒成立 恒成立 能成立 能成立 【方法技巧】 1．闭区间求最值执行"一网打尽"策略：把区间内极值点的函数值与两个端点值全部列出再比大小，绝不遗漏端点； 2．含参闭区间求最值，关键在判断极值点是否落在给定区间内，并据此对参数分类讨论； 3．恒成立与能成立"一上一下"：恒成立取"最值＋反向不等号"，能成立取"最值＋同向不等号"，画个数轴验证符号不易出错。 【易错清单】 1．误以为最值一定在极值点处取到：若极值点不在给定区间内，最值只能在端点处取得； 2．" 恒成立"与" 能成立"的转化方向相反，写反不等号是常见错误； 3．开区间上的最值不一定存在，如 在 上既无最大值也无最小值。 知识点4　含参函数的极值与最值 含参函数的极值与最值问题，核心动作是"讨论"。常用策略有三条： ①求根定界：先由 求出含参的根，再比较根的大小、判断根是否落在定义域或给定区间内，并以此为标准划分参数的讨论区间； ②端点比较：求闭区间最值时，把极值点函数值与端点值一并列出，随参数变化确定哪一个最大、哪一个最小； ③分离参数：把参数与变量分离，转化为"参数与某函数的最值比较"的问题，从而避免繁琐的分类讨论。 含参问题讨论的一般顺序： 讨论依据 常见情形 是否有实根 无实根则函数单调、无极值；有实根再继续讨论 根的大小关系 、、 三种情形 根与定义域（给定区间）的位置关系 根在区间内、根在区间外、根与端点重合 导函数二次项系数的符号 开口向上或向下，决定极大值点与极小值点的分布 【方法技巧】 1．讨论"不重不漏"的三件套：开口方向、判别式、根的大小与位置，按顺序逐一讨论，条理清晰； 2．含参最值题优先考虑分离参数＋求新函数最值，把"含参讨论"转化为"不含参求最值"； 3．写结论时分段作答，每一段都写清"当…时，…"，既严谨又便于踩点给分。 【易错清单】 1．分类讨论的临界情况（两根相等、根恰在端点处）最易遗漏，务必单独检验； 2．分离参数时，若不等号两边同除的式子符号不确定，必须先对其正负分类； 3．参数取值范围的端点能否取到，要代回原题逐一验证，不可想当然。 知识点5　函数零点与方程根的个数问题 函数的零点、方程的根、函数图象与 轴交点的横坐标，三者是同一件事的三种不同说法：函数 的零点 方程 的根 函数 的图象与 轴交点的横坐标。 研究零点个数的常用途径有三条： ①图象法（数形结合）：把 变形为 ，作出两个函数的图象，数交点的个数； ②单调性法：用导数确定 的单调区间与极值，结合零点存在性定理以及各单调区间端点处函数值的符号，判断每个单调区间内根的个数； ③分离参数法：由 解出 ，则零点个数即为直线 与曲线 交点的个数。 零点存在性定理：若函数 在闭区间 上的图象是一条连续不断的曲线，且 ，则 在开区间 内至少存在一个零点。 【方法技巧】 1．讨论零点个数"先画草图"：求出单调区间与极值，画出函数的大致图象，零点个数自然浮现； 2．含参零点问题常用"动直线与定曲线"或"定直线与动曲线"的模型，抓住相切（极值）与端点这两个临界位置； 3．证明零点唯一时，"单调性＋零点存在性定理"缺一不可：先证存在，再用单调性证唯一。 【易错清单】 1．零点存在性定理只保证"至少有一个零点"，不能保证唯一，必须配合单调性才能下结论； 2．讨论根的个数时忘记检验极值点的正负以及函数在端点处的变化趋势，导致个数判断出错； 3．等价变形时注意定义域限制，如由 化为 时不能丢根或增根。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　求函数的极值　★★ 【例1-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数 ，则（　　） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【例1-2】（2026·河南·郑州外国语学校·考前模拟）函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·湖北·宜昌·模拟）函数 的极小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】函数 的极大值点为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】已知函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． 或 D． 或 【变式1-5】函数 的极大值与极小值之差为（　　） A． B． C． D． 重难点培优02　含参函数的极值讨论　★★ 【例2-1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，则（　　） A．当 时， 有三个零点 B．当 时， 是 的极大值点 C．存在 ，使得 为曲线 的对称轴 D．存在 ，使得点 为曲线 的对称中心 【例2-2】（2026·安徽·合肥市第一中学·高三最后一卷）已知函数 （），则 的极大值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】若函数 在 上存在极值点，则实数 的取值范围是（　　） A． 或 B． C． 或 D． 【变式2-2】若函数 在其定义域上存在极值，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】若函数 的极大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】已知函数 在 与 处均取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　闭区间上求最值（含参数）　★★★ 【例3-1】（2025·全国一卷·高考真题改编）已知函数 ，则 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·湖北·武汉·二模）函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例3-3】（2026·江西·江西师范大学附属中学·联考）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】函数 在 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·山西·太原·模拟）函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　含参函数的最值与恒成立（能成立）　★★★ 【例4-1】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·山东·青岛·模拟）已知函数 在区间 上的最小值大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2026·江苏·南京·二模）若不等式 在区间 上能成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·四川·成都七中·模拟）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】（2026·贵州·贵阳·一模）已知函数 的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　由极值、最值求参数范围　★★★ 【例5-1】（2025·全国二卷·高考真题）若 是函数 的极值点，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·辽宁·铁岭市开原市高级中学·考前模拟）已知函数 既有极大值又有极小值，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 【变式5-1】若函数 在 处取得极小值 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】（2026·四川·成都七中·模拟）已知函数 在 处有极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】若函数 在 上有极值，则实数 的取值范围是（　　） A． B． 且 C． D． 【变式5-4】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】已知函数 在 处取得极值 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　函数零点（方程根）的个数问题　★★★ 【例6-1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，，当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2026·安徽·合肥市第八中学·三模）已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6-3】（2026·福建·福州第一中学·模拟）若方程 有两个不等的实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】（2026·河北·石家庄二中·模拟）若函数 有两个零点，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】若方程 在区间 上有两个不等的实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】（2026·吉林·长春·模拟）若方程 有两个不等的实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】函数 的零点个数为（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　极值点偏移（入门）　★★★★ 【例7-1】（2025·全国二卷·高考真题）已知 是定义在 上的奇函数，且当 时，，则（　　） A． B．当 时， C． 当且仅当 D． 是 的极大值点 【例7-2】（2026·浙江·杭州第二中学·模拟）已知函数 ，若 且 ，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知函数 ，若 （），则（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知函数 ，若 （），则（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·河南·郑州·二模）已知函数 ，若 且 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】已知函数 （）在 处取得极小值，若 （），则（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】（2026·湖北·襄阳·模拟）已知函数 ，若 （），则（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　导数综合压轴题（双变量、隐零点初步）　★★★★ 【例8-1】（2026·全国二卷·高考真题改编）已知函数 ，曲线 在点 处的切线为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·河北·衡水中学·四调）已知函数 在其定义域内有两个不同的极值点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例8-3】（2026·湖南·湖南师范大学附属中学·月考）已知函数 恰有两个极值点 （），则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】（2026·山西·临汾·模拟）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】函数 在 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】（2026·甘肃·兰州·二模）设函数 ，若对任意 都有 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】（2026·新疆·乌鲁木齐·模拟）已知函数 （）的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的极大值为（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】函数 的极小值为（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 4．【进阶】已知函数 有三个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】已知函数 在 处取得极值，则 的值为（　　） A． B． C． D． 7．【培优】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．【培优】已知函数 在区间 上有两个零点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】已知函数 ，则（　　） A． 是 的极大值点 B． 的极小值为 C． 在 上的最大值为 D． 在 上单调递增 10．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 有两个零点 B． 必有零点 C．当 时， 只有一个零点 D．当 时， 有三个零点 11．【培优】已知函数 ，则（　　） A． 的极大值为 B． 在 上单调递减 C． 在 上的最小值为 D．若 （），则 12．【培优】已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A．当 时， 在 上单调递增 B．当 时， 有极小值 C．当 时，曲线 与 轴相切 D．当 时， 有两个零点 三、填空题 13．【巩固】函数 的极大值点为 ______． 14．【进阶】已知函数 的极大值为 ，则 的值为 ______． 15．【进阶】若函数 在区间 上的最小值为 ，则 的值为 ______． 16．【培优】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的单调区间与极值； (2) 求 在区间 上的最大值与最小值． 18．【进阶】已知函数 （）． (1) 当 时，求 的极值； (2) 若 在其定义域内有两个不同的极值点，求实数 的取值范围． 19．【培优】已知函数 （）． (1) 讨论 的单调性； (2) 若 有两个零点，求实数 的取值范围． 20．【培优】已知函数 ． (1) 求 的单调区间与极值； (2) 若关于 的方程 有两个不等的实根，求实数 的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $