培优专练+三年真题10 导数单调性、极值最值含参问题-2027届高考数学一轮复习讲义与培优专练（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦导数单调性、极值与最值（含参）核心考点，按判断证明单调性、求单调区间、由单调性求参数等九个考点分题型系统编排，通过考点梳理、方法指导与三年真题训练，帮助学生构建知识网络，突破含参问题难点，体现复习的系统性与针对性。 资料采用分层训练设计，结合培优专练与高考真题，如在“由函数单调性求参数”题型中，通过分类讨论参数范围培养学生数学思维，借助真题解析提升数学语言表达能力。设置基础到综合的梯度练习，配合即时反馈，确保高效复习，为教师把控复习节奏提供清晰指引，助力学生提升应考能力。

培优专练+三年真题10导数单调性、极值最值含参问题 【考点一】用导数判断或证明已知函数的单调性 【考点六】根据极值点求参数 【考点二】利用导数求函数的单调区间(不含参) 【考点七】由导数求函数的最值(不含参) 【考点三】由函数在区间上的单调性求参数 【考点八】由导数求函数的最值(含参) 【考点四】利用导数求函数(含参)的单调区间 【考点九】函数单调性、极值与最值的综合应用 【考点五】求已知函数的极值 【题型一】用导数判断或证明已知函数的单调性 1．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ）． A． B． C． D． 3．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (1)证明：在定义域内单调递增； (2)求在处的切线与坐标轴围成区域的面积. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)设，讨论函数在上的单调性； (2)判断函数在上的零点个数. 【题型二】利用导数求函数的单调区间(不含参) 1．（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是_____________． 4．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【题型三】由函数在区间上的单调性求参数 1．（2025·江苏·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 2．（2026·广东广州·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 3．（2025·四川成都·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围为__________. 4．（2025·新疆·模拟预测）（多选）若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 5．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若函数在内不单调，求实数的取值范围． 【题型四】利用导数求函数(含参)的单调区间 1．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 2．（2026·河北·模拟预测）已知函数． (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． 3．（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 4．（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【题型五】求已知函数的极值 1．（2026·江苏·二模）函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 2．（2026·山东聊城·一模）若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________． 4．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 【题型六】根据极值点求参数 1．（2026·四川攀枝花·二模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 2．（2026·广东·模拟预测）设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是____________． 4．（2026·湖南长沙·三模）函数，． (1)时，求在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围． 【题型七】由导数求函数的最值(不含参) 1．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·山东滨州·二模）已知函数，，则函数的最大值为__________. 3．（2025·河南鹤壁·二模）（多选）已知函数，则（     ） A．当时，有最大值 B．当时，可以取得最小值 C．当时，可以取得最小值2 D．当时，可以取得最小值3 4．（2026·山东日照·三模）设． (1)设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值； (2)若正实数a，b满足：对于，都有，求的最大值． 5．（2025·新疆·模拟预测）已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【题型八】由导数求函数的最值(含参) 1．（2025·辽宁沈阳·一模）已知，函数，．则的值域为__________；记函数的值域为，函数的值域为，若，则的最大值是________. 2．（2024·新疆喀什·三模）已知函数和（）有相同的最大值．则的最小值为______． 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 4．（2024·浙江·模拟预测）设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 【题型九】函数单调性、极值与最值的综合应用 1.（2026·四川·模拟预测）若向量，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 3．（多选）（2025·江西新余·模拟预测）设函数的定义域为，若所有点构成一个形状为正方形的区域，则下列说法正确的是：（    ）． A．可能有两个极值点 B．符合条件的有且仅有一个 C．所有的满足： D．恒成立 4．（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 5．（2026·江西南昌·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且，求的取值范围. 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 2．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 三、填空题 4．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 四、解答题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 7．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 9．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 10．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优专练+三年真题10导数单调性、极值最值含参问题 【考点一】用导数判断或证明已知函数的单调性 【考点六】根据极值点求参数 【考点二】利用导数求函数的单调区间(不含参) 【考点七】由导数求函数的最值(不含参) 【考点三】由函数在区间上的单调性求参数 【考点八】由导数求函数的最值(含参) 【考点四】利用导数求函数(含参)的单调区间 【考点九】函数单调性、极值与最值的综合应用 【考点五】求已知函数的极值 【题型一】用导数判断或证明已知函数的单调性 1．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 2．（多选）（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）下列命题为真命题的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对函数求导，求函数单调性，逐项计算，即可求解. 【详解】令，则，当，，函数单调递增；当时，，函数单调递减． 因为，函数在上单调递减，所以， 即，又因为，故，即， 所以A错误； 因为，函数在上单调递增，所以， 即，则，故B正确； 因为，函数在上单调递减，所以，即， 而因为，两边取对数得到，两边同时除以2得到， 所以C正确； 因为，变形可得，由函数的单调可知，故D正确． 故选：BCD． 3．（2024·江西新余·模拟预测）已知函数. (1)证明：在定义域内单调递增； (2)求在处的切线与坐标轴围成区域的面积. 【答案】(1)证明：（）， 当时，，所以在定义域内单调递增. (2) 【分析】（1）根据即可判断函数的单调性； （2）根据导数的几何意义求出切线方程，进而求解. 【详解】（1）略 （2），， 所以曲线在点处的切线为， 即， 令得；令得， 所以切线与坐标轴所围成的三角形面积为. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知函数. (1)设，讨论函数在上的单调性； (2)判断函数在上的零点个数. 【答案】(1)在上单调递减. (2)有唯一零点. 【分析】（1）先对求导，再构造辅助函数二次求导判断导函数符号，从而确定在上的单调性； （2）连续三次求导逐层分析各阶导数的单调性与零点，结合端点函数值、零点存在定理锁定的单调区间，最终判断零点个数. 【详解】（1）因为，则， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 又因为，所以当时，，所以， 所以在上单调递减. （2）函数在上有唯一零点. 因为， 则， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，， 所以，使， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以，使， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以，使， 所以在上有唯一零点. 【题型二】利用导数求函数的单调区间(不含参) 1．（2026·山西·模拟预测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得函数的定义域为， 则，令 ，解得 ， 当时， ， 所以函数的单调递增区间是， 2．（2024·四川成都·三模）已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则当时，的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用导数求出函数在上的单调性，再根据奇函数的性质得到函数在上的单调性，即可判断. 【详解】当时，，则， 所以当时，当时， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又函数是定义在上的奇函数， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：D 3．（2024·山西太原·二模）函数的单调递增区间是_____________． 【答案】/ 【分析】求导，令求解即可. 【详解】因为的定义域为，则， 且，令，则，解得， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 4．（2026·山东聊城·二模）函数的单调递减区间为______． 【答案】/ 【分析】利用函数单调性与导数的关系可得出函数的单调递减区间. 【详解】函数的定义域为， ， 当时，，由可得， 故函数的单调递减区间为. 【题型三】由函数在区间上的单调性求参数 1．（2025·江苏·模拟预测）设函数在区间上单调递减，则的最大值是（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】求出函数的导函数，依题意在上恒成立，即可得到在上恒成立，从而求出的范围. 【详解】因为，所以， 因为函数在区间上是减函数， 所以在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上恒成立，因为时，，所以， 所以的最大值是. 故选：A. 2．（2026·广东广州·二模）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】由在区间上单调递增，得到在区间上恒成立，从而得到在区间内恒成立，即，计算得解. 【详解】，， 在区间上单调递增， 在区间上恒成立， 在区间上恒成立， ，在区间内恒成立， ，， 的取值范围为. 3．（2025·四川成都·一模）若函数在上单调递增，则的取值范围为__________. 【答案】 【分析】对函数求导，令其大于等于0，然后根据正弦函数的值域求出的范围. 【详解】因为，所以. 要使函数在上单调递增，则. 即. 因为，要使不等式恒成立，则. 故答案为：. 4．（2025·新疆·模拟预测）（多选）若函数是区间上的单调函数，则实数的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用导数求出函数的增区间和减区间，结合题意可得出区间的包含关系，可求出实数的取值范围，即可得出合适的选项. 【详解】因为，则， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为和，减区间为， 若函数在上单调递减，则， 且成立，则，无解； 若函数在上单调递增， 则或， 即或，解得或， 故选：ACD． 5．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数． (1)若曲线在处的切线与直线平行，求实数的值； (2)若函数在内不单调，求实数的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由与直线斜率相等可得答案； （2）注意到，函数在上不单调等价于在上有变号零点，据此可得答案. 【详解】（1），. 因，则直线斜率为， 由题可得； （2）， 因在上不单调等价于在上有变号零点， 又，令， 由在上有变号零点，可得方程在上有解， 因，则，结合在上单调，从而. 又注意到当时，在上单调递增，不满足题意， 综上可得. 【题型四】利用导数求函数(含参)的单调区间 1．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【分析】（1）求导后讨论的取值，从而判断导函数的正负，确定单调区间. （2）根据（1）的结论，以及零点存在定理确定不等式，进而求解的取值范围. 【详解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 2．（2026·河北·模拟预测）已知函数． (1)若的图象在点处的切线方程为，求实数a，b的值； (2)讨论的单调区间． 【答案】(1)， (2)当时，当时，单调递减；时，单调递增； 当时，单调在递增； 当时，当，时，单调递增；当时，单调递减； 当时，当时，单调递减；当时，单调递增. 【分析】（1）由导数的意义结合点斜式方程可得； （2）求导后分的取值讨论可得. 【详解】（1）由题意可得， 因为的图象在点处的切线方程为， 所以，即， 解得，所以 所以. （2）， 因为， 令可得或， ，当时，可得当时，，单调递减； 当时，，单调递增； ，当时，即时，即由不等式可解得时， 可得当，时，，单调递增； 当时，，单调递减； ，当时，恒成立，单调在单调递增； ，当时，当时，，单调递减； 时，，单调递增， 综上， 当时，当时，单调递减；时，单调递增； 当时，单调在递增； 当时，当，时，单调递增；当时，单调递减； 当时，当时，单调递减；当时，单调递增. 3．（2026·山西运城·模拟预测）设函数． (1)求函数的单调区间； (2)当时，求零点的个数． 【答案】(1)当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． (2)有2个零点． 【分析】（1）求出导数零点，分类讨论零点在不同区间时的取值范围，由此求出单调区间； （2）根据导数求出的最大值，再根据零点存在性定理和函数单调性即可判断出零点的个数. 【详解】（1），令，解得， 因为，所以，当，即时，在区间，，单调递减； 当时，在区间，，单调递增， 在区间，，单调递减； 综上所述：当时，的单调递减区间是，无增区间； 当时，的单调递增区间是，单调递减区间是． （2）由（1）可知，当时，在单调递增，在单调递减， 则， 令，则， 因为，所以，此时单调递减，则，所以， 因为，且，所以在存在一个零点， 因为， 所以在存在一个零点， 故当时，有2个零点． 4．（2025·湖北武汉·三模）已知函数. (1)若，求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)若，的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 【分析】（1）求出，求导，得到，利用导数几何意义求出切线方程； （2）求定义域，求导，因式分解得到，分和进行讨论，再细分为，和，求出函数单调区间. 【详解】（1）时，，， ，故， 所以在点处的切线方程为， 即； （2）的定义域为R， ， 若，恒成立，令得，令得， 的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，令得或， 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当，即时，恒成立， 所以的单调递增区间为R，无单调递减区间； 当，即时，令得或， 令得， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为； 综上：若，的单调递增区间为，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 若，的单调递增区间为R，无单调递减区间； 若，的单调递增区间为，，单调递减区间为； 【题型五】求已知函数的极值 1．（2026·江苏·二模）函数的所有极值的和为（   ） A．-4 B．-2 C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据导函数得出其单调性即可求出极值. 【详解】由题可得，令，解得：或, 当或时，,当时，, 所以的单调递增区间为：和，单调递减区间为, 所以的极大值为，极小值为, 则函数的所有极值的和为 2．（2026·山东聊城·一模）若在上单调递减，在上单调递增，则的极小值为________． 【答案】 【详解】因为在上单调递减，在上单调递增， 所以在处取得极小值， 对求导得，， 于是，所以， 于是， 所以的极小值为． 3．（2025·云南昭通·模拟预测）已知，是的导函数，若有且只有两个不同的零点，且和的零点均在集合中，则的极大值为________． 【答案】0 【分析】利用三次函数的性质，可依题意设函数，从而求导可得零点，然后根据题意分析这三个零点取值，最后可确定一种情形来求函数的极大值. 【详解】由题意可知，设有且只有两个不同的零点，则， 即． 令，得，， 由于中，且， 分析：由于，可知， 又由于，且，所以零点的组合不能是或， 故的组合只能是，这样只能是，，可计算得， 满足题意， 此时，． 令，得或， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 则由单调性可知，的极大值为． 故答案为：0 4．（2026·江苏·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1)的极小值为，无极大值 (2)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【分析】（1）由条件可得，求导函数及其零点，利用导数与函数单调性的关系判断函数的单调性，结合极值的定义求结论； （2）分别在条件，下化简函数解析式，结合对数函数性质导数与函数的单调性的关系判断函数的单调性即可. 【详解】（1）当时，， 所以. 令，得， 且当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为，无极大值. （2）. 当时，， 因为，所以在上单调递减. 当时，， 由， 令，得. 当，即时，， 所以在上单调递增. 当，即时， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【题型六】根据极值点求参数 1．（2026·四川攀枝花·二模）已知函数在处取得极小值，则（   ） A． B．1 C． D．3 【答案】B 【分析】先由求出的可能取值，再逐一进行验证，即可得到的确定取值. 【详解】因为，所以. 由 或. 当时，. 由 或；由 . 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以函数在处取得极小值， 故满足题意； 当时，. 由 或；由 . 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在处取得极大值， 故不满足题意. 综上，. 2．（2026·广东·模拟预测）设函数在处有极大值，则c值为（   ） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】C 【详解】由，得， 因为函数在处有极大值，所以， 所以，解得或， 若，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以函数在处取得极小值，不符合题意， 若，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 所以函数在处取得极大值，符合题意， 综上所述：c值为6. 3．（2026·广西南宁·模拟预测）已知函数在区间上存在极值点，则的取值范围是____________． 【答案】 【详解】由求导得， 因函数在区间上存在极值点， 则需使方程在上存在变号零点； 若，则，则在上单调递减，不符合题意； 若，令，解得， 此时当时，单调递增； 当时，单调递减， 故是的极大值点，由题意知要使该极值点落在内，需满足， 故a的取值范围是. 4．（2026·湖南长沙·三模）函数，． (1)时，求在处的切线方程； (2)若有两个极值点，求的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【详解】（1）时，，， 又，，所以在处的切线方程为， 即． （2）， 由题可知在有两个变号零点， 由，得，令，， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 又，，，，所以， 由有两个极值点，则，故 【题型七】由导数求函数的最值(不含参) 1．（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数导数，判断函数单调性，即可求得函数极值，即可求得答案. 【详解】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B 2．（2026·山东滨州·二模）已知函数，，则函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】先求函数的导数，再列表判断可得函数的最大值. 【详解】由函数，得， 令，解得或者， 列表： 所以是函数在上唯一极大值点，也是最大值点， 因此函数的最大值为. 3．（2025·河南鹤壁·二模）（多选）已知函数，则（     ） A．当时，有最大值 B．当时，可以取得最小值 C．当时，可以取得最小值2 D．当时，可以取得最小值3 【答案】ABD 【分析】当时，易判断单调性判断A；求导，分和两种情况讨论的单调性情况，进而可判断BCD. 【详解】当时，在上单调递增，此时有最大值，A项正确. ， 当时，若，则，故在上单调递减; 若，则，故在上单调递增. 令，得，满足条件，B项正确. 令，得，不满足条件，C项不正确. 当时，若，则，所以在上单调递减， 令，得，所以此时有最小值3，D项正确. 故选：ABD. 4．（2026·山东日照·三模）设． (1)设点P在曲线上，点Q在直线上，求的最小值； (2)若正实数a，b满足：对于，都有，求的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数求出平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标，再结合几何性质求出最小值. （2）等价变形给定不等式并构造函数，利用导数求出函数的最小值，由此最小值不小于0得，进而得的关系式，再构造函数并求出最大值即可. 【详解】（1）依题意，将直线往靠近曲线的方向平移， 当平移到直线与曲线相切时，切点P与直线间的距离最近， 设切线方程为，切线与曲线的切点为，而， 则，即，解得，，点到直线的距离， 因此，当且仅当点坐标为，且垂直于直线时取等号， 所以的最小值为. （2）对于任意，不等式恒成立，， 令，求导得，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，， 因此，即，由，得， 解得，则，令函数， 求导得，当时，； 当时，，函数在上单调递增，在上单调递减， 则，因此，所以的最大值为． 5．（2025·新疆·模拟预测）已知函数. (1)若，求在上的最大值与最小值； (2)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1)最大值为17，最小值为1； (2) 【分析】（1）求导，得到函数单调性，进而得到极值和端点值，比较后得到最值； （2）求导，参变分离得到在上恒成立，由基本不等式求出最值，得到答案. 【详解】（1）时，，， ， 在区间上，令得，令得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 其中，，， 所以在上的最大值为17，最小值为1； （2）， 在上单调递增，故在上恒成立， 即在上恒成立， 其中，当且仅当，即时，等号成立 故，从而实数的取值范围为. 【题型八】由导数求函数的最值(含参) 1．（2025·辽宁沈阳·一模）已知，函数，．则的值域为__________；记函数的值域为，函数的值域为，若，则的最大值是________. 【答案】 1 【分析】利用导数确定函数的单调性，求出函数值域，再由集合的包含关系得参数最值． 【详解】由题意， 设， 因为， 则，所以是增函数， 又， 所以时，，递减，时，，递增， 又，所以的值域为， 若，则的值域是 ，满足， 若，则的值域是，而，因此不满足， 综上，的取值范围是，从而的最大值是1， 故答案为：；1. 2．（2024·新疆喀什·三模）已知函数和（）有相同的最大值．则的最小值为______． 【答案】e 【分析】利用导数求函数的单调性，对参数分类讨论，分析得当时有最大值为，利用二次函数的性质求出函数的最大值为，所以，代入运用基本不等式求和的最小值即可. 【详解】，， 当时，，最大值为0， 又，所以当时，， 由得，与题设矛盾； 当时，令得，，即， 当时，，当时，， 当时， 当时，，当时，， 在上单调递减，在上单调递增， 在处取到最小值，没有最大值，不符合题意； 当时， 当时，，当时，， 在上单调递增，在上单调递减， . 与有相同的最大值， ，又， ，当且仅当，即时取等号. 即的最小值为. 故答案为： . 3．（2025·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）已知函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性，并求最值. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）通过求导得到切线斜率，利用点斜式即可求得切线方程； （2）将函数求导后，根据参数分类讨论函数的单调性，即可判断求解函数的最值. 【详解】（1）当时，，求导得：， 则，， 则在处的切线方程：，即； （2）由求导得：， ①当时，在上恒成立，故在上单调递增，无最值； ②当时，由，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，在单调递增， 所以在有最小值，为,无最大值. 4．（2024·浙江·模拟预测）设，函数． (1)若，讨论的单调性； (2)求的最大值． 【答案】(1) 在内单调递增，在内单调递减 (2)若，的最大值为；若，的最大值为 【分析】（1）求导，利用导数判断的单调性； （2）求导，分和两种情况，利用导数判断的单调性和最值. 【详解】（1）令，且，解得， 可知的定义域为，且， 因为，且，则， 当时，；当时，； 可知在内单调递增，在内单调递减. （2）由（1）可知：的定义域为，且， 若，可知在内单调递增，在内单调递减， 所以的最大值为； 若，令，解得或； 令，解得或； 可知在内单调递增，在内单调递减， 且， 所以的最大值为； 综上所述：若，的最大值为； 若，的最大值为. 【题型九】函数单调性、极值与最值的综合应用 1.（2026·四川·模拟预测）若向量，，，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因，，由可得. 整理得，其中. 设函数，求导得. 当时，，单调递减. 当时，，单调递增. 因此当时，取得最小值为， 故的最小值为. 2．（2025·江西·模拟预测）已知函数，若，使成立，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先研究函数是奇函数，再求导，用均值不等式和余弦函数特点，知道函数在整个取值范围递增.利用奇函数性质变成，结合单调性得出. 参变分离，转化为求的最值即可. 【详解】因为，所以为奇函数， 又，故在上单调递增， 由，得，所以， 若，，即，只需， 令，由对勾函数的性质可知在上单调递增， 故，故. 故选：D. 3．（多选）（2025·江西新余·模拟预测）设函数的定义域为，若所有点构成一个形状为正方形的区域，则下列说法正确的是：（    ）． A．可能有两个极值点 B．符合条件的有且仅有一个 C．所有的满足： D．恒成立 【答案】BC 【分析】根据题意知的定义域和值域“长度”均相同且有限，令，求导分析单调性，通过单调性确定零点存在性，然后可解不等式，得到定义域，然后分析函数，时的值域， 求导发现有唯一极大值点，得到值域，再利用定义域与值域相同可逐项判断. 【详解】有零点，令，， 由条件：的定义域和值域“长度”均相同且有限， 时，，单调递减，， 当时，，故存在使， 要使，则：， ， 由此得有唯一极大值点（同时也是最大值）， 所以，故， 所以：①，且②， 由①、②得：， 所以：当时，令， 存在唯一使得成立，且 所以． 综上分析：有且仅有一个极大值点，A错误； 是唯一的，故B正确；， 故：，C正确； ，D错误． 故选：BC. 4．（2026·浙江·二模）若函数在区间上存在最小值，则实数的取值范围是_________. 【答案】 【分析】利用导数研究函数的单调性，进而确定极值点，再由极值点所在区间求参数范围. 【详解】∵， ∴. 令，解得或. 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 故是的极小值点，极小值为. 令，即，整理得， 因式分解得，解得或. ∵ 函数在开区间上存在最小值，且， 开区间端点处的函数值无法取到，且时； 所以的最小值仅在处可取到， ∴ 极小值点必须落在区间内，即，得； 综上，实数的取值范围是. 5．（2026·江西南昌·三模）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若有极小值，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先对分类讨论的单调性，确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增，无极小值； 若时，当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 此时有极小值，极小值为， 且该极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 一、单选题 1．（2026·全国一卷·高考真题）已知函数的最大值为1，则（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】法1：（1）当时，由，解得， 故函数定义域为. ①当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； ②当时，此时，， 故最大值不为，不合题意； ③当时，， 当，则，故不存在最大值，不合题意； （2）当时，则，则函数定义域为. 且由最大值为可知，， 即对任意恒成立，且等号能取到. 设，则， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 故，当且仅当时，， 由对任意恒成立，可知， 又当时，恒有，取不到等号，所以有， 故选：B. 法2：， 由选项知，则定义域为， 故最大值必在极值点处取到，不妨设此极值点为， 由， 则由，可得①， 且，即②， 联立①②解得. 验证：当时，， 则， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； ，且， 且当，；当，； 作出函数的大致图象， 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减； 则，满足题意，故. 法3：由选项知，则定义域为， 由，解得. 同法2验证可得，故满足题意，由选项唯一可得.. 法4：由选项知，则定义域为， 由，解得. 验证：当时，由不等式可得， 故，当且仅当时等号成立， 故满足题意，由选项唯一可得. 2．（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误； B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误； 方法一： C，在中，，则， ，函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，则为奇函数， ，即函数在定义域上单调递增，故正确. 法二： C，在中，，则，为奇函数， ∵和是减函数， ∴函数单调递减，故错误； D，在中，，解得， ，为奇函数， ∵和是增函数，则为增函数， ∴函数单调递增，故正确. 二、多选题 3．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】求出函数的导数，得到极值点，即可判断A；利用函数的单调性可判断B；根据函数在上的值域即可判断C；直接作差可判断D. 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 三、填空题 4．（2026·全国一卷·高考真题）已知（，）是偶函数，在区间单调递增．则__________，__________． 【答案】 【分析】根据单调性和周期性可得.解法一：根据偶函数可得，并代入结合单调性检验即可；解法二：根据题意可得，即可得，根据导数与单调性的关系分析求解；解法三：分析可知在处取到极小值，可得，进而可得结果. 【详解】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 四、解答题 5．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明：当时，恒成立． 【答案】(1) 当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) ，且时，， 令，下证即可. ，再令，则， 显然在上递增，则， 即在上递增， 故，即在上单调递增， 故，问题得证 【分析】（1）求导，含参分类讨论得出导函数的符号，从而得出原函数的单调性； （2）先根据题设条件将问题可转化成证明当时，即可. 【详解】（1）定义域为， 当时，，故在上单调递减； 当时，时，，单调递增， 当时，，单调递减. 综上所述，当时，的单调递减区间为； 时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）略 6．（2024·全国甲卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求的极值； (2)当时，，求的取值范围． 【答案】(1)极小值为，无极大值. (2) 【分析】（1）求出函数的导数，根据导数的单调性和零点可求函数的极值. （2）求出函数的二阶导数，就、、分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 故， 因为在上为增函数， 故在上为增函数，而， 故当时，，当时，， 故在处取极小值且极小值为，无极大值. （2）， 设， 则， 当时，，故在上为增函数， 故，即， 所以在上为增函数，故. 当时，当时，， 故在上为减函数，故在上， 即在上即为减函数， 故在上，不合题意，舍. 当，此时在上恒成立， 同理可得在上恒成立，不合题意，舍； 综上，. 【点睛】思路点睛：导数背景下不等式恒成立问题，往往需要利用导数判断函数单调性，有时还需要对导数进一步利用导数研究其符号特征，处理此类问题时注意利用范围端点的性质来确定如何分类. 7．（2025·上海·高考真题）已知． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求m的取值范围； 【答案】(1) (2)且. 【分析】（1）先求出，从而原不等式即为，构建新函数，由该函数为增函数可求不等式的解； （2）求出函数的导数，就分类讨论后可得参数的取值范围. 【详解】（1）因为，故，故，故， 故即为， 设，则，故在上为增函数， 而即为，故， 故原不等式的解为. （2）在有极大值即为有极大值点. ， 若，则时，，时，， 故为的极小值点，无极大值点，故舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 若，则时，，无极值点，舍； 若即，则时，， 时，， 故为的极大值点，符合题设要求； 综上，且. 8．（2025·全国一卷·高考真题）（1）求函数在区间的最大值； （2）给定和，证明：存在使得； （3）设，若存在使得对恒成立，求b的最小值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）利用导数结合三角变换得导数零点，讨论导数的符号后得单调性，从而可求最大值；或者利用均值不等式可求最大值. （2）利用反证法可证三角不等式有解； （3）先考虑时的范围，对于时，可利用（2）中的结论结合特值法求得，从而可得的最小值；或者先根据函数解析特征得，再结合特值法可得，结合（1）的结果可得的最小值. 【详解】（1）法1：， 因为，故，故， 当时，即， 当时，即， 故在上为增函数，在为减函数， 故在上的最大值为. 法2：我们有 . 所以： . 这得到，同时又有， 故在上的最大值为，在上的最大值也是. （2）法1：由余弦函数的性质得的解为，， 若任意与交集为空， 则且，此时无解， 矛盾，故无解；故存在，使得， 法2：由余弦函数的性质知的解为， 若每个与交集都为空， 则对每个，必有或之一成立. 此即或，但长度为的闭区间上必有一整数， 该整数不满足条件，矛盾. 故存在，使得成立. （3）法1：记， 因为， 故为周期函数且周期为,故只需讨论的情况. 当时，， 当时，， 此时， 令，则， 而， ，故， 当，在（2）中取，则存在，使得， 取，则，取即， 故，故， 综上，可取，使得等号成立. 综上，. 法2：设. ①一方面，若存在，使得对任意恒成立， 则对这样的，同样有. 所以对任意恒成立，这直接得到. 设，则根据恒成立，有 所以均不超过， 再结合， 就得到均不超过. 假设，则， 故. 但这是不可能的，因为三个角和单位圆的交点将单位圆三等分， 这三个点不可能都在直线左侧. 所以假设不成立，这意味着. ②另一方面，若，则由（1）中已经证明， 知存在，使得. 从而满足题目要求. 综合上述两个方面，可知的最小值是. 9．（2024·天津·高考真题）已知函数． (1)求曲线在点处的切线方程； (2)若对任意成立，求实数的值； (3)若，求证：． 【答案】(1)；(2)2 (3)先证明一个结论：对，有. 证明：前面已经证明不等式，故， 且， 所以，即. 由，可知当时，当时. 所以在上递减，在上递增. 不妨设，下面分三种情况（其中有重合部分）证明本题结论. 情况一：当时，有，结论成立； 情况二：当时，有. 对任意的，设，则. 由于单调递增，且有 ， 且当，时，由可知 . 所以在上存在零点，再结合单调递增，即知时，时. 故在上递减，在上递增. ①当时，有； ②当时，由于，故我们可以取. 从而当时，由，可得 . 再根据在上递减，即知对都有； 综合①②可知对任意，都有，即. 根据和的任意性，取，，就得到. 所以. 情况三：当时，根据情况一和情况二的讨论，可得，. 而根据的单调性，知或. 故一定有成立. 综上，结论成立. 【分析】（1）直接使用导数的几何意义； （2）先由题设条件得到，再证明时条件满足； （3）先确定的单调性，再对分类讨论. 【详解】（1）由于，故. 所以，，所以所求的切线经过，且斜率为，故其方程为. （2）设，则，从而当时，当时. 所以在上递减，在上递增，这就说明，即，且等号成立当且仅当. 设，则 . 当时，的取值范围是，所以命题等价于对任意，都有. 一方面，若对任意，都有，则对有 ， 取，得，故. 再取，得，所以. 另一方面，若，则对任意都有，满足条件. 综合以上两个方面，知的值是2. （3）略 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于第3小问中，需要结合的单调性进行分类讨论. 10．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线． (1)当时，求的单调区间. (2)求证：不经过点. (3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？ （参考数据：，，） 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为. (2) ，切线的斜率为， 则切线方程为， 将代入则， 即，则，， 令， 假设过，则在存在零点. ，在上单调递增，， 在无零点，与假设矛盾，故直线不过. (3)2 【分析】（1）直接代入，再利用导数研究其单调性即可； （2）写出切线方程，将代入再设新函数，利用导数研究其零点即可； （3）分别写出面积表达式，代入得到，再设新函数研究其零点即可. 【详解】（1）， 当时，；当，； 在上单调递减，在上单调递增. 则的单调递减区间为，单调递增区间为. （2）略 （3）时，. ，设与轴交点为， 时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾. 由（2）知.所以， 则切线的方程为， 令，则. ，则， ，记， 满足条件的有几个即有几个零点. ， 当时，，此时单调递减； 当时，，此时单调递增； 当时，，此时单调递减； 因为， ， 所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点， 综上所述，有两个零点，即满足的有两个. 【点睛】 关键点点睛：本题第二问的关键是采用的是反证法，转化为研究函数零点问题. 1 学科网（北京）股份有限公司 $