专题3.3 导数与函数的极值、最值 讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦函数极值与最值核心考点，按定义辨析、判定方法、参数求解、实际应用的逻辑层次构建知识体系，通过知识梳理夯实基础，题型分类指导方法，例题与真题训练突破难点，形成系统性复习路径。 讲义突出数学思维与模型意识培养，如“由图象判断极值”题型引导学生通过导函数图象分析单调性与极值关系，“生活中的优化问题”建立函数模型解决实际问题。设置分层练习与即时反馈，助力学生高效突破考点，为教师把控复习节奏提供实用指导。

专题3.3 导数与函数的单调性 知识梳理 1．函数的极值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． [提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点． (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． [提醒]　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值． 常用结论 (1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点． 【题型1 由图象判断函数的极值】 【例1】（25-26高二下·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间内单调递减B．是函数的极大值点 C．导函数在区间内单调递减 D．是导函数的极小值点 跟踪训练 1.（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知是的导函数，的图象如图所示，则的极小值点是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．在上函数为增函数 B．在上为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在上的极小值点 3.（25-26高二下·广东广州·期中）若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 【题型2 已知函数解析式求极值或极值点】 【例2】函数的极大值点是（   ） A．1 B．2 C． D． 跟踪训练 1.（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知函数 ，则 的极大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（多选）（2024·新课标Ⅰ·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 3.已知函数f(x)＝ln x＋，求函数f(x)的极小值． 【题型3 已知函数的极值(点)求参数】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 跟踪训练 1.（26-27高三·全国·一轮复习）若是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．-1 B． C． D．0 2.（25-26高二下·湖北襄阳·期末）函数在上存在极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3.已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a－b＝________． 4.设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围． 【题型4 求函数的最值】 【例4】已知函数f(x)＝－ln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)． 跟踪训练 1.（2026高三·全国·专题练习）函数在上最大值为_______________． 2．函数f(x)＝在上的最小值与最大值的和为(　　) A． B． C．1 D．0 3.已知函数，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 【题型5 求函数的最值】 【例5】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值． 跟踪训练 1. 已知函数 在区间上的最大值是20，则实数的值等于 ． 2.（26-27高三·全国·一轮复习）设函数在区间上有最大值23，最小值3，则（    ） A． B．17 C． D．18 3.若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 4.（2025·福建·模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【题型6 生活中的优化问题】 【例6】某生产厂家每天生产一种精密仪器，已知该工厂每天生产的产品最多不超过30件，且在生产过程中产品的正品率p与每日生产产品件数x(x∈N*)间的关系为p(x)＝，每生产一件正品盈利2 000元，每出现一件次品亏损1 000元，已知若生产10件，则生产的正品只有7件．(注：正品率＝产品的正品件数÷产品总件数×100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数； (2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值． 跟踪训练 1．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　) A．120 000 cm3 B．128 000 cm3 C．150 000 cm3 D．158 000 cm3 2.（26-27高三·全国·一轮复习）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为θ的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器体积的最大值为______，此时______. 课后作业： 1.（25-26高二下·广东江门·期中）函数的极小值点是（   ） A．0 B． C．-1 D． 2.（25-26高二下·广东深圳·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是的极小值点 C．的单调递减区间是 D． 3.（2025·河南驻马店·模拟）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 4.（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 5.（26-27高三·全国·一轮复习）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6.（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 7.（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 8.（25-26高二下·江西上饶·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9.（多选 25-26高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 10.（多选 26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 11（多选 25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数在处有极值，则（    ） A． B．在内单调递增 C．的极大值为 D．在上的最小值是 12.（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数在处取得极值0，则________． 13.（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）已知函数的最大值为0，则______. 14.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝________；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________． 15.（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数的一个极值点是. (1)求实数a的值； (2)求函数在上的最值. 16.（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 17.（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的最小值为0，求的值． 18.（2026·广西·模拟预测）已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 19.（25-26高二下·河北雄安·期末）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，，使得，求的取值范围． 20.（25-26高二下·广东东莞·期末）已知函数． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，求在区间上的最大值． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题3.3 导数与函数的单调性 知识梳理 1．函数的极值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． 极大值点、极小值点统称为极值点，极大值、极小值统称为极值． [提醒]　(1)函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能称为极值点． (2)在函数的整个定义域内，极值不一定是唯一的，有可能有多个极大值或极小值． (3)极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数的最值 (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值． [提醒]　极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得，有极值的未必有最值，有最值的未必有极值；极值有可能成为最值，最值只要不在端点处必定是极值． 常用结论 (1)若函数在开区间(a，b)内的极值点只有一个，则相应极值点为函数最值点． (2)若函数在闭区间[a，b]的最值点不是端点，则最值点亦为极值点． 【题型1 由图象判断函数的极值】 【例1】（25-26高二下·广东广州·期末）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论中正确的是（    ） A．函数在区间内单调递减 B．是函数的极大值点 C．导函数在区间内单调递减 D．是导函数的极小值点 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系 【详解】选项A，当时，，则在上单调递增，故A错误； 选项B，当时，，则在上单调递增， 则在处不能取得极大值，故选项B错误； 选项C，由图象可知导函数在区间内单调递增，故C错误； 选项D，由图象可知导函数在区间内单调递减，导函数在区间内单调递增， 所以是导函数的极小值点，故D正确. 跟踪训练 1.（24-25高二上·湖南株洲·期末）已知是的导函数，的图象如图所示，则的极小值点是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】函数（导函数）图像与极值点的关系、函数极值点的辨析、函数与导函数图象之间的关系 【详解】由的图象可知，当或时，，当时，， 所以是的极大值点，是的极小值点. 2．（25-26高二下·甘肃酒泉·期末）函数的定义域为，它的导函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．在上函数为增函数 B．在上为增函数 C．在上函数有极大值 D．是函数在上的极小值点 【答案】A 【难度】0.72 【知识点】函数极值点的辨析、函数（导函数）图象与极值的关系 【分析】根据图象判断出的单调区间、极值（点）. 【详解】由图象可知在区间单调递增，在区间上单调递减，在上单调递增，所以A选项正确，B选项错误. 在区间上，先单调递减，再单调递增，有极小值为，C选项错误. 在区间上，是的极小值点，D选项错误. 3.（25-26高二下·广东广州·期中）若函数的定义域为，其导函数的图象如图所示，则（    ） A．有四个极值点 B． C．有一个极小值点 D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】函数极值点的辨析、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】根据导数与函数单调性、极值的关系可以判断A，C；结合导数和单调性可以判断B，D. 【详解】由导函数的图像可得： 的变号零点共3个：，，； 处，但左右导数均为正，没有变号，因此不是极值点. 其中和是左正右负，为极大值点；是左负右正，为极小值点. 因此共3个极值点，1个极小值点，故A错误，C正确； 选项B，当时，，仅处导数为0，不改变单调性， 因此在上单调递增. 因为，所以，故B错误； 选项D，在单调递增，因此大于区间内所有点的函数值； 在单调递减：由，可知，故D错误. 【题型2 已知函数解析式求极值或极值点】 【例2】函数的极大值点是（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【详解】， 令，解得：或， 令，解得：， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 故的极大值点是. 故选：A. 跟踪训练 1.（25-26高二下·甘肃武威·期末）已知函数 ，则 的极大值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求已知函数的极值 【分析】利用导数知识判断单调性，据此可得答案. 【详解】，， 从而在上单调递增，在上单调递减，则的极大值为. 2.（多选）（2024·新课标Ⅰ·高考真题）设函数，则（    ） A．是的极小值点 B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【详解】对A，因为函数的定义域为R，而， 易知当时，，当或时， 函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，故是函数的极小值点，正确； 对B，当时，，所以， 而由上可知，函数在上单调递增，所以，错误； 对C，当时，，而由上可知，函数在上单调递减， 所以，即，正确； 对D，当时，， 所以，正确； 故选：ACD. 3.已知函数f(x)＝ln x＋，求函数f(x)的极小值． 【解】　f′(x)＝－＝(x>0)， 当a－1≤0，即a≤1时，f′(x)>0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极小值． 当a－1>0，即a>1时，由f′(x)<0，得0<x<a－1，函数f(x)在(0，a－1)上单调递减； 由f′(x)>0，得x>a－1，函数f(x)在(a－1，＋∞)上单调递增．f(x)极小值＝f(a－1)＝1＋ln(a－1)． 综上所述，当a≤1时，f(x)无极小值； 当a>1时，f(x)极小值＝1＋ln(a－1)． 【题型3 已知函数的极值(点)求参数】 【例3】（2026高三·全国·专题练习）函数在处有极值，则的值是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据极值求参数、根据极值点求参数 【分析】利用函数在处有极值10，求出的值，再代入验证，即可求解. 【详解】函数定义域为R，. 因为函数在处有极值10， 所以，解得：或. 当时，. 令，得或；令，得. 所以在单调递增，在单调递减，在单调递增， 所以函数在处有极值，符合题意. 当时，恒成立. 所以在R上单增，所以函数在处无极值，不符合题意. 综上所述：. 跟踪训练 1.（26-27高三·全国·一轮复习）若是函数的极值点，则的极大值为（    ） A．-1 B． C． D．0 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、根据极值点求参数 【详解】 函数的定义域为. ， 由，解得， 则，定义域为， ，令，解得， x -1 1 + 0 - 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表可知函数的极大值点为-1，极大值为. 2.（25-26高二下·湖北襄阳·期末）函数在上存在极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】根据导数与函数极值点的关系求出函数的极值点，结合题意列出不等式，即可求解. 【详解】的定义域为，求导得， 令，即，解得， 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故是的唯一极小值点， 由题意极值点，则，解得． 故的取值范围是． 3.已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1处有极值0，则a－b＝________． 解析：由题意得f′(x)＝3x2＋6ax＋b，则解得或 经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x)在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9满足题意，故a－b＝－7. 4.设函数f(x)＝[ax2－(3a＋1)x＋3a＋2]ex.若f(x)在x＝1处取得极小值，求实数a的取值范围． 【解】　f′(x)＝[ax2－(a＋1)x＋1]ex＝(ax－1)(x－1)ex. 若a>1，则当x∈时，f′(x)<0; 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在x＝1处取得极小值．若a≤1，则当x∈(0，1)时，ax－1≤x－1<0， 所以f′(x)>0. 所以1不是f(x)的极小值点．综上可知，a的取值范围是(1，＋∞)． 【题型4 求函数的最值】 【例4】已知函数f(x)＝－ln x. (1)求f(x)的单调区间； (2)求函数f(x)在上的最大值和最小值(其中e是自然对数的底数)． 【解】　(1)f(x)＝－ln x＝1－－ln x，f(x)的定义域为(0，＋∞)． 因为f′(x)＝－＝，所以f′(x)＞0⇒0<x<1，f′(x)<0⇒x＞1，所以f(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． (2)由(1)得f(x)在上单调递增，在(1，e]上单调递减， 所以f(x)在上的极大值为f(1)＝1－－ln 1＝0. 又f＝1－e－ln ＝2－e，f(e)＝1－－ln e＝－，且f<f(e)． 所以f(x)在上的最大值为0，最小值为2－e. 跟踪训练 1.（2026高三·全国·专题练习）函数在上最大值为_______________． 【答案】11 【难度】0.7 【知识点】由导数求函数的最值（不含参） 【分析】求导，确定单调性即可求解. 【详解】， 因为， 由可得：，由可得：，或 故，在单调递减，在和单调递增， 当时，，当时，， 故函数在上最大值为11. 2．函数f(x)＝在上的最小值与最大值的和为(　　) A． B． C．1 D．0 解析：选A．f′(x)＝＝，x∈，当f′(x)＝0时，x＝0； 当－≤x≤0时，f′(x)<0；当0<x≤1时，f′(x)>0， 所以f(x)在上是减函数，在(0，1]上是增函数．所以f(x)min＝f(0)＝0. 又f＝，f(1)＝. 所以f(x)的最大值与最小值的和为. 3.已知函数，则在上的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】 【详解】在上，有，知：单调递减， ∴， 故答案为：. 【题型5 求函数的最值】 【例5】已知函数f(x)＝ax＋ln x，其中a为常数． (1)当a＝－1时，求f(x)的最大值； (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为－3，求a的值． 解：(1)易知f(x)的定义域为(0，＋∞)， 当a＝－1时，f(x)＝－x＋ln x，f′(x)＝－1＋＝，令f′(x)＝0，得x＝1. 当0<x<1时，f′(x)>0；当x>1时，f′(x)<0. 所以f(x)在(0，1)上是增函数，在(1，＋∞)上是减函数． 所以f(x)max＝f(1)＝－1. 所以当a＝－1时，函数f(x)在(0，＋∞)上的最大值为－1. (2)f′(x)＝a＋，x∈(0，e]，∈. ①若a≥－，则f′(x)≥0，从而f(x)在(0，e]上是增函数，所以f(x)max＝f(e)＝ae＋1≥0，不符合题意； ②若a<－，令f′(x)>0得a＋>0，结合x∈(0，e]，解得0<x<－， 令f′(x)<0得a＋<0，结合x∈(0，e]，解得－<x≤e.从而f(x)在上为增函数，在上为减函数，所以f(x)max＝f＝－1＋ln. 令－1＋ln＝－3，得ln＝－2，即a＝－e2. 因为－e2<－，所以a＝－e2为所求．故实数a的值为－e2. 跟踪训练 1. 已知函数 在区间上的最大值是20，则实数的值等于 ． 【答案】-2 【详解】由题意得：， 令，解得；令，解得； ∴函数的单调递减区间为，单调递增区间为，为极小值； ∴，， ∴， ∴和分别是在区间上的最大值和最小值， 于是有，解得. 故答案为:. 2.（26-27高三·全国·一轮复习）设函数在区间上有最大值23，最小值3，则（    ） A． B．17 C． D．18 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参） 【详解】， 令，解得，令，解得或， 因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此函数的最大值为， 函数的最小值为， 因为，则，即， 所以， 则，解得， 因此. 3.若函数在区间内有最小值，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题可知：， 令，则；令，则或， 所以函数在单调递增，在单调递减. 极小值为，令，所以或， 又函数在区间内有最小值， 所以. 故答案为：. 4.（2025·福建·模拟预测）已知函数. (1)求函数的极值点； (2)若函数在区间上的最小值为0，求实数的值. 【答案】(1)极小值点为，无极大值点 (2) 【分析】（1）求出函数的定义域与导函数，即可求出函数的单调区间，从而求出函数的极值点； （2）分、、三种情况讨论，得到函数的单调性，求出函数的最小值，即可得解. 【详解】（1）函数的定义域为， 又， 所以当时，当时， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以为的极小值点，无极大值点. （2）当，即时，在上单调递增， 所以在处取得最小值，，不符合题意； 当，即，此时在上单调递减，在上单调递增， 所以，解得； 当，即，此时在上单调递减， 所以，不符合题意； 综上可得. 【题型6 生活中的优化问题】 【例6】某生产厂家每天生产一种精密仪器，已知该工厂每天生产的产品最多不超过30件，且在生产过程中产品的正品率p与每日生产产品件数x(x∈N*)间的关系为p(x)＝，每生产一件正品盈利2 000元，每出现一件次品亏损1 000元，已知若生产10件，则生产的正品只有7件．(注：正品率＝产品的正品件数÷产品总件数×100%) (1)将日利润y(元)表示成日产量x(件)的函数； (2)求该厂的日产量为多少件时，日利润最大？并求出日利润的最大值． 【解】　(1)由题意，知当x＝10时，p(10)＝，即p(10)＝＝，解得m＝2 200.所以p(x)＝. 故日利润y＝2 000x×p(x)－1 000x×[1－p(x)]＝3 000x×p(x)－1 000x＝3 000x×－1 000x＝－x3＋1 200x，故所求的函数关系式是y＝－x3＋1 200x(x∈N*，1≤x≤30)． (2)y′＝－3x2＋1 200，令y′＝0，解得x＝20. 当x∈[1，20)时，y′＞0，函数单调递增； 当x∈(20，30]时，y′＜0，函数单调递减． 所以当x＝20时，y取最大值，最大值为－203＋1 200×20＝16 000(元)． 所以该厂的日产量为20件时，日利润最大，最大值为16 000元． 跟踪训练 1．用边长为120 cm的正方形铁皮做一个无盖水箱，先在四周分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接成水箱，则水箱的最大容积为(　　) A．120 000 cm3 B．128 000 cm3 C．150 000 cm3 D．158 000 cm3 解析：选B．设水箱底长为x cm，则高为cm.由得0＜x＜120. 设容器的容积为y cm3，则有y＝－x3＋60x2.求导数，有y′＝－x2＋120x. 令y′＝0，解得x＝80(x＝0舍去)．当x∈(0，80)时，y′＞0；当x∈(80，120)时，y′＜0. 因此，x＝80是函数y＝－x3＋60x2的极大值点，也是最大值点，此时y＝128 000.故选B 2.（26-27高三·全国·一轮复习）用半径为的圆形铁皮剪出一个圆心角为θ的扇形，制成一个圆锥形容器，则该圆锥形容器体积的最大值为______，此时______. 【答案】 【难度】0.45 【知识点】弧长的有关计算、面积、体积最大问题、由导数求函数的最值（不含参）、锥体体积的有关计算 【分析】首先将体积写成关于的函数，再利用导数判断函数的单调性和最值，再根据扇形的计算求解的值. 【详解】设圆锥形容器的底面半径为r，高为h，体积为V，则， 因此， 则，令，解得， 令，解得， 因此函数在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因此当时圆锥形容器体积取到最大值且为， 把代入，得，由，得， 即圆心角时圆锥形容器体积最大. 课后作业： 1.（25-26高二下·广东江门·期中）函数的极小值点是（   ） A．0 B． C．-1 D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】函数极值点的辨析 【详解】函数的导数，令，解得， 当，，函数单调递减； 当，，函数单调递增. 故函数的极小值点为. 2.（25-26高二下·广东深圳·期末）函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．是的极值点 B．是的极小值点 C．的单调递减区间是 D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】函数（导函数）图象与极值的关系、利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数与导函数图象之间的关系 【详解】由图可知，当或时，， 当时，， 对于A，不是变号零点，所以不是的极值点，A错误； 对于B，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极大值点，B错误； 对于C，由B选项可知的单调递减区间是，C正确； 对于D，因为在上单调递增，所以，D错误. 3.（2025·河南驻马店·模拟）函数在区间上的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ，，即， 在上单调递增，. 故选：D. 4.（2025·江苏南京·三模）已知函数，则当时，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，可得， 当时，；当时，； 故在上单调递增，在上单调递减， 故当时，在时取得极大值，也即最大值. 故选：B 5.（26-27高三·全国·一轮复习）若函数在其定义域内的一个子集内存在极值，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】根据极值点求参数 【分析】求定义域，求导，得到函数极值点情况，得到不等式，求出答案 【详解】定义域为，， 令，解得，令，解得， 因此函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 因此是函数唯一的一个极值点，因此， 又由于，则，解得. 因此实数a的取值范围是. 6.（2022·全国甲卷·高考真题）当时，函数取得最大值，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【解析】因为函数定义域为，所以依题可知，，，而，所以，即，所以，因此函数在上递增，在上递减，时取最大值，满足题意，即有． 故选：B. 7.（25-26高二下·江苏无锡·阶段检测）若函数的最小值为，则正实数的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.45 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 8.（25-26高二下·江西上饶·期末）已知函数，，若对任意的，存在唯一的，使得，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】求二次函数的值域或最值、由导数求函数的最值（不含参）、根据集合的包含关系求参数 【分析】利用导数求出函数在上的值域，利用二次函数性质求出函数在上的值域，再利用集合的包含关系列式求解. 【详解】对任意的，存在唯一的，使得， 则函数在上的值域是函数在上的值域的子集， 函数的图象关于对称，当时，， 函数，，求导得， 当时，；当时，，函数在上递减，在上递增， ，则， 因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 9.（多选 25-26高二下·山东泰安·阶段检测）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（   ） A．时，取得最大值 B．时，取得极大值 C． D． 【答案】BC 【难度】0.65 【知识点】函数极值的辨析、函数（导函数）图象与极值的关系、函数与导函数图象之间的关系 【分析】通过导函数图象，确定函数的单调区间，再结合选项逐个判断即可. 【详解】由导函数图象可知当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 选项A：因为 在上单调递增，且，因此在 处取不到最大值，A错误， 选项B：左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减， 且，因此 时 取得极大值，B正确， 选项C：由 ，且 在 单调递增，可得 ，C正确， 选项D：在单调递增，因此 ，故不成立，D错误. 10.（多选 26-27高三上·云南昆明·阶段检测）已知函数，则下列选项正确的有（    ） A．的极大值点是 B．在上单调递增 C．当时， D．是的一个对称中心 【答案】ABC 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、求已知函数的极值、利用导数证明不等式、函数对称性的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】先对函数求导，得到单调区间与极值点，再结合三次曲线对称中心需满足的条件、区间最小值判定，依次验证四个选项是否正确. 【详解】对函数求导，则， 当时，，当时，，当时，， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 则的极大值点是，所以选项A，B正确； 当时，单调递减，当时，单调递增， 故是上的最小值，故选项C正确； 若是的一个对称中心，则需满足， 而 ，知不是的对称中心，故D选项错误. 11（多选 25-26高二下·广东汕头·期中）已知函数在处有极值，则（    ） A． B．在内单调递增 C．的极大值为 D．在上的最小值是 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值求参数、求已知函数的极值 【分析】根据题意，求得，得到函数，利用导数求得单调性，极值以及区间上的最值，即可求解. 【详解】对于A，由函数，可得， 因为函数在处有极值，可得，解得，经检验满足题意，所以A正确； 对于B，由，令，可得，解得或， 所以在，上单调递增，在上单调递减，所以B错误； 对于C，令，可得，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 当时，函数取得极大值，极大值为，所以C正确； 对于D，由选项C，可得在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为，所以D正确. 12.（25-26高二下·江西景德镇·期末）已知函数在处取得极值0，则________． 【答案】512 【难度】0.62 【知识点】根据极值求参数 【分析】利用极值与导数关系求出的值即可求解. 【详解】在处有极值，且，， 即，解得：，或． 当时，， 函数在R上为增函数，无极值，舍去； 当时，， 当时，,函数在上单调递减， 当时，,函数在上单调递增，故函数在处取得极小值， 所以，，． 13.（25-26高二下·宁夏吴忠·期末）已知函数的最大值为0，则______. 【答案】1 【难度】0.65 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、已知函数最值求参数、函数单调性、极值与最值的综合应用 【分析】先求出导函数，再分类讨论应用导函数得出函数单调性，进而得出函数的最值计算求解参数即可. 【详解】函数的定义域为，可得， 当时，因为，所以，即，在上单调递增，此时无最大值，不符合题意. 当时，令，即，因为，所以，解得， 当时，，，则，在上单调递增； 当时，，，则，在上单调递减 由上述单调性可知，在处取得极大值，也是最大值，， 已知的最大值为0，则，即. 因为对数函数在上单调递增，所以. 综上，a的值为1. 14.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1.若函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线斜率为6，则实数a＝________；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则实数a的取值范围是________． 解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋a＋6，结合题意f′(1)＝3a＋9＝6，解得a＝－1；若函数在(－1，3)内既有极大值又有极小值，则f′(x)＝0在(－1，3)内有2个不相等的实数根，则解得－<a<－3. 答案：－1　 15.（25-26高二下·山东青岛·期末）已知函数的一个极值点是. (1)求实数a的值； (2)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)最小值为，无最大值 【难度】0.79 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、根据极值点求参数 【详解】（1）因为，则， 由题意可知：，解得， 若，则，， 令，解得或；令，解得； 可知函数在内单调递减，在，内单调递增， 所以函数的极大值点为，极小值点为，可知符合题意， 综上所述：. （2）因为，由（1）可知：函数在内单调递减，在内单调递增， 所以函数在上的最小值为，无最大值. 16.（25-26高二下·天津滨海新区·阶段检测）已知函数 (1)求函数的单调区间和极值； (2)若方程恰有一个实数解，求实数a的取值范围. (3)若函数在区间存在最大值，求m的取值范围. 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为； 极大值为，极小值为； (2)或 (3) 【难度】0.55 【知识点】利用导数研究方程的根、已知函数最值求参数、求已知函数的极值、利用导数求函数的单调区间（不含参） 【分析】（1）利用导数求函数的单调区间和极值即可； （2）根据单调性和极值作出函数图像，结合图像确定参数范围即可； （3）根据题意可知最大值在处取得，则，再解不等式组即可． 【详解】（1）， 则的解为，的解为或， 故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间为，；单调递减区间为； 在处取得极大值，极大值为， 在处取得极小值，极小值为 （2）由（1）可得，函数的简要图像如下： 方程恰有一个实数解， 则或； （3）令，即， 解得或， 又函数在区间存在最大值，则最大值要在处取得， ，解得． 17.（25-26高二下·山东威海·期末）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)若的最小值为0，求的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.85 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，分，两种情况求解即可. 【详解】（1）当时，，则， 所以，由，可得切点为， 所以所求切线方程为，即． （2）因为， ①当时，，所以在上单调递减， 因此无最小值，不符合题意； ②当时，令，解得，令，解得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因此的最小值为， 解得， 综上可知，． 18.（2026·广西·模拟预测）已知，． (1)若，求不等式的解集； (2)若函数满足在上存在极大值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、根据极值求参数 【分析】（1）由条件得到函数解析式，将不等式构造函数，利用导数分析函数单调性，即可得出结果； （2）求导，将分子构造函数，根据原函数有极大值可得新构造函数先正、再负、再正，且两根不相等，分类讨论两根关系，根据单调性进行取舍即可. 【详解】（1）若，则， 所以， 要求， 只需求，令， 则， 所以在上单调递增，又， 所以当时，， 故不等式的解集为. （2）由， 则， 记， 令，则得两根为， 若满足在上存在极大值， 则在定义域内先正、再负、再正，且两根不相等， 若，即，只有零点， 所以时，， 当时，， 此时函数只有极小值，无极大值，舍去. 若，即， 则， 此时函数单调递增，无极值，舍去. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时，是极大值点，满足题意. 若，即， 则当时，，递增， 当时，，递减， 当时，，递增， 此时是极大值点，满足题意. 综上，的取值范围为. 19.（25-26高二下·河北雄安·期末）已知函数， (1)当时，求在处的切线方程； (2)若函数在上的最大值为；求的值； (3)设，若，，使得，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.51 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、已知函数最值求参数 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出导数值即可得出斜率，最后点斜式得出切线方程即可； （2）先求出导函数，再分类讨论函数的单调性结合定义域得出最值即可求解参数； （3）先根据任意及存在得出，结合导数得出函数单调性即可列式计算求解参数范围 【详解】（1），，， ，，所以切线的斜率为2， 所以切线方程为 （2）依题意可得， 当时，，此时在上单调递增； 当时，由得，得， 则在上单调递增，在上单调递减； 由以上分析知，当或时，在上单调递增； 所以，得（舍去）； 当，即时，在上单调递增，在上单调递减， 所以，得； 综上，若函数在上的最大值为，则， （3）由已知转化为， 又时，， 由（1）知，当时，在上单调递增，值域为，不合题意； 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则，解得， 综上，的取值范围是． 20.（25-26高二下·广东东莞·期末）已知函数． (1)当时，求的图象在处的切线方程； (2)当时，求在区间上的最大值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.56 【知识点】由导数求函数的最值（含参）、求在曲线上一点处的切线方程（斜率） 【分析】（1）求出切点坐标，利用导数求出切线斜率，再用点斜式写出切线方程即可； （2）求导，令，求导可得恒成立，进而可得在上单调递增，分和两种情况讨论可求得在区间上的最大值． 【详解】（1）当时，， 求导得， 所以，， 所以切线方程为， 所以函数的图象在处的切线方程为. （2）由题知，， 求导得， 令，则， 因为，所以，， 所以当时，恒成立， 所以在上单调递增， 即在上单调递增， 计算得，， ①当，即时， 恒成立， 所以在上单调递增， ②当，即时， 因为，， 所以，存在唯一使得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 因为，， ． 综上所述，函数在区间的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $