专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　任意角与终边相同的角 4 知识点2　象限角与轴线角 5 知识点3　弧度制与角度制互化 6 知识点4　弧长公式与扇形面积公式 7 知识点5　三角函数的定义与三角函数值符号 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　终边相同的角与象限判断　★★ 9 重难点培优02　区域角的表示　★★ 11 重难点培优03　弧度制与角度制互化及三角函数值　★★★ 14 重难点培优04　弧长与扇形面积的最值问题　★★★ 16 重难点培优05　三角函数的定义与求值　★★★ 19 重难点培优06　三角函数值的符号与象限讨论　★★★ 21 重难点培优07　三角函数线（单位圆）的应用　★★★★ 24 重难点培优08　三角函数定义与其它知识的交汇（新定义）　★★★★ 26 五、过关检测 30 一、单选题 30 二、多选题 32 三、填空题 34 四、解答题 35 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 任意角的概念 了解任意角的概念，理解正角、负角与零角的意义；掌握终边相同的角的表示方法 弧度制 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性 任意角的三角函数 借助单位圆理解正弦、余弦、正切函数的定义，掌握三角函数值在各象限的符号规律 弧长与扇形面积 掌握弧长公式 与扇形面积公式 ，并会解决相关最值问题 近三年高考真题对"任意角和弧度制、三角函数的概念"板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T3 三角函数值的计算，与集合运算交汇 ★★ 2026 全国二卷 T6 特殊角的三角函数值与符号判断 ★★ 2026 上海卷 T5 弧度制与扇形面积的测量应用 ★★★ 2026 北京卷 T10 三角函数定义与单位圆 ★★ 2025 全国一卷 T6 三角函数的定义与求值 ★★ 2025 全国二卷 T4 三角函数值的符号判断 ★ 2025 北京卷 T13 终边对称的角之间的关系 ★★★ 2025 天津卷 T3 特殊角的弧度制与三角函数值 ★ 2025 全国甲卷·理 T4 由终边上一点求三角函数值 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T4 三角函数的定义与恒等变换 ★★ 2024 全国甲卷·理 T2 正、余弦齐次式的计算 ★★ 2024 北京卷 T12 终边关于原点对称，求 的最值 ★★★ 考情分析 任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的"入口"，也是后续诱导公式、图象性质与三角恒等变换赖以生长的根基。从近三年命题看，本板块极少单独设置大题，多以选择题、填空题的形式与其它知识交汇出现，分值 5 分，难度以容易题、中档题为主：2026 年全国一卷把三角函数值嵌入集合运算，全国二卷直接考查终边相同的角与三角函数值的符号，上海卷则把弧度制放进实际测量情境；2025 年北京卷以"终边对称"为背景考查角之间的关系，天津卷考查特殊角的弧度与三角函数值；2024 年北京卷要求由终边关于原点对称求 的最值，全国甲卷（理）以正、余弦齐次式为载体考查三角函数的定义。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本板块核心考查"数学抽象、直观想象与数学运算"三大素养。预测 2027 年高考仍以"三角函数的定义＋单位圆"为主线，并在弧度制应用、扇形最值、角的对称与旋转（新定义）等方面提升区分度。 复习目标 1．准确辨析正角、负角、零角与象限角、轴线角，熟练写出终边相同的角的集合； 2．掌握角度制与弧度制的互化，牢记特殊角的弧度值，理解弧度制下角与实数之间的一一对应； 3．灵活运用弧长公式与扇形面积公式，突破扇形周长、面积的最值与取值范围问题； 4．深挖三角函数的定义，会用单位圆与终边上的点求三角函数值，并熟练判断三角函数值的符号。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　任意角和弧度制、三角函数的概念知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　任意角与终边相同的角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。按旋转方向，角可分为三类： ①正角——按逆时针方向旋转形成的角； ②负角——按顺时针方向旋转形成的角； ③零角——射线没有作任何旋转形成的角。 角的顶点与原点重合、始边与 轴的非负半轴重合时，角的终边落在第几象限，就称它是第几象限角；若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角，它不属于任何象限。 与角 终边相同的角的集合为 ，用弧度制写作 。 【方法技巧】 1．判断两个角是否终边相同，只需看它们的差是否为 的整数倍（弧度制下是否为 的整数倍）； 2．在指定范围内寻找与 终边相同的角，用"加 个周角"的方法逐一代入 值，由范围解出 的整数解即可； 3．"终边在射线上"与"终边在直线上"不同：射线的集合形如 ，直线的集合形如 。 【易错清单】 1．写终边相同的角的集合时不要漏写 ，也不要把 写成 ； 2．角度的度数可正可负，终边相同的两个角不一定相等，而相等的两个角终边一定相同； 3．同一式子中角度制与弧度制不能混用，如 是错误写法。 知识点2　象限角与轴线角 把角的顶点与原点重合、始边与 轴的非负半轴重合后，按终边所在位置可把角分为四类象限角与两类轴线角，其集合表示如下： 角的终边位置 角的集合 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 终边在 轴上 终边在 轴上 判断 、 的终边位置，是本节的重要考法： ①若 是第 象限角，则 ，两边同除以 （或乘以 ）后可求得范围； ②对 逐一讨论，才能得到完整的象限结论。 【方法技巧】 1．"区间等分法"最快：把每个象限 等分，自 轴正半轴起逆时针依次标 ， 落在标号为几的区域，就是第几象限角； 2． 的象限必为"两象限之一"， 的象限必为"三象限之一"，最终答案要写成"或"的形式； 3．轴线角的集合用 、 的形式书写最简洁，注意端点能否取到。 【易错清单】 1．象限角不是"一个区间"，而是"一组区间"，遗漏 是最高频失分点； 2． 不一定大于 ， 也不一定与 同象限，必须严格按范围讨论，不可凭直觉判断； 3． 是第二象限角时， 是第一或第三象限角， 是第一、第二或第四象限角，结论要记准。 知识点3　弧度制与角度制互化 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角，记作 ；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 角度与弧度的换算关系： ①，； ②。 角度 弧度 弧度制下，每一个角都对应唯一的实数，角的集合与实数集 之间建立起一一对应关系，这正是三角函数能够作为"实数集到实数集的函数"来研究的根本原因。 【方法技巧】 1．互化口诀：角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ； 2．特殊角的弧度值要"背到条件反射"， 及其倍数应熟练掌握； 3．把角化为 的形式，是求特殊角三角函数值、判断象限的统一入口。 【易错清单】 1． 是一个确定的角（约 ），不要与 混淆； 2．用弧度制表示角时，"弧度"二字通常省略不写，如 而不是 （除题目特别要求外）； 3．化为""的形式时，要保证 落在 内， 的取值不能算错。 知识点4　弧长公式与扇形面积公式 设扇形的半径为 ，圆心角为 弧度，弧长为 ，面积为 ，则： ①弧长公式：； ②扇形面积公式：。 面积公式 与三角形面积公式 底 高在形式上一致，可由"把扇形分割成无数个小三角形再求和"的极限思想来理解。 【方法技巧】 1．使用弧长、扇形面积公式时，圆心角必须用弧度制，这是最容易被忽略的前提； 2．最值问题通法：设周长为定值 ，由 解出 代入面积公式，转化为关于 的二次函数求最值，并检验 ； 3．扇形中的弦、内接矩形、内接圆等问题，要抓住半径、圆心角、半弦长所构成的直角三角形。 【易错清单】 1． 不含绝对值是最常见的失分点：负角、大于 的角都要先取绝对值或化简到 内； 2．扇形面积公式中的系数 不能丢， 与 是同一个公式的两种写法； 3．求最值时不要忘记检验 的取值范围，有时题目还附加 等条件。 知识点5　三角函数的定义与三角函数值符号 设 是一个任意角， 是其终边上任意一点（异于原点），，则： ①正弦：； ②余弦：； ③正切：。 当终边落在单位圆上（即 ）时，、，即 角的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标分别是该角的正弦值、余弦值。 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 符号规律记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦。它的本质来自定义： 的符号由纵坐标 决定， 的符号由横坐标 决定， 的符号由 是否同号决定。 【方法技巧】 1．由终边上一点求三角函数值"三步走"：① 求 ；② 代入定义式；③ 若点含参数，按参数正负分类讨论取绝对值； 2．由三角函数值的符号反推象限： 与 同号则在第一或第三象限，异号则在第二或第四象限，再结合 的符号确定具体象限； 3．求 时对参数要讨论， 这一步不能省，这是含参题的高频失分点。 【易错清单】 1． 恒为正数，即 ，不能写成 或 ； 2．求 时必须先确认 ，否则正切值不存在； 3．终边在坐标轴上的角（轴线角）可能使某个三角函数值不存在，如 时 无意义。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　终边相同的角与象限判断　★★ 【解题技巧】判断"终边相同"只有一个标准：两角之差是否为 （或 ）的整数倍。求指定范围内与已知角终边相同的角，用"整体加 个周角、解不等式定整数 "的套路；判断象限则记"旋转方向定正负，落点位置定象限"，负角先补上周角再看落点。 【注意事项】本重难点的三个陷阱：①把 当成 使用；②漏写 或漏掉 的某一类取值；③判断 的象限时只讨论 ，漏掉其余情形。凡涉及"、"的问题，必须把 的所有可能取值讨论完整。 【例1-1】（2025·天津卷·高考真题）与 角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 加上若干个周角，化到 内，再与选项比对。 【解答过程】因为 ，所以与 终边相同的角的集合为 。 在该集合中， 是其中一个角，其余选项的角与 的差均不是 的整数倍。故选 A。 【例1-2】（自编·改编）已知 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【答案】C 【解题思路】写出第二象限角的一般表达式，两边同除以 ，再对 分奇偶讨论。 【解答过程】因为 是第二象限角，所以 。 两边同除以 得 。 当 为偶数时， 落在 内，是第一象限角；当 为奇数时， 落在 内，是第三象限角。 综上， 是第一或第三象限角。故选 C。 【变式1-1】 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解题思路】把 加上若干个周角，化到 内再判断象限。 【解答过程】因为 ，所以 与 的终边相同。 而 的终边在第二象限，故 是第二象限角。故选 B。 【变式1-2】与 角终边相同的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先把 化为 的形式，再写出集合。 【解答过程】因为 ，所以 与 的终边相同。 故与 终边相同的角的集合为 。故选 C。 【变式1-3】若 是第三象限角，则 的终边落在（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、二象限或 轴正半轴 D．第三、四象限 【答案】A 【解题思路】写出第三象限角的一般表达式，两边同乘 ，再确定 的范围。 【解答过程】因为 是第三象限角，所以 。 两边同乘 得 ，即 在 内的终边落在 内，位于第一、二象限。故选 A。 【变式1-4】终边落在直线 上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直线 由两条方向相反的射线组成，两条射线的角相差 ，故用 表示。 【解答过程】直线 上的角在 内为 与 ，两者相差 。 所以终边落在直线 上的角的集合为 。故选 B。 【变式1-5】已知 是第二象限角，则 的终边可能落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、第二或第四象限 D．第一或第三象限 【答案】C 【解题思路】写出第二象限角的范围，同除以 ，再对 三类情形逐一讨论。 【解答过程】由 是第二象限角得 。 两边同除以 得 。 当 时， 分别落在 、、 内，依次为第一、第二、第四象限角。故选 C。 重难点培优02　区域角的表示　★★ 【解题技巧】区域角的表示遵循"先画图定位、再定起始角、后加 个周期"三步：把阴影区域的两条边界射线确定下来，取逆时针方向的前一条为起始角，两边界之差即为周期（相差 用 ，相差 用 ）。判断某角是否属于区域角，只需把它化到 内再看落点。 【注意事项】三处易错：①周期选错——两条射线关于原点对称时周期为 ，只有一条射线时周期才为 ；②漏写 ；③"含边界"与"不含边界"没有用实心、空心区分，导致端点取舍出错。另外，"终边落在某条直线上"用 ，"落在某条射线上"用 ，一字之差结论不同。 【例2-1】（2026·上海卷·高考真题）集合 所表示的角的终边落在（　　） A．第一象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限 D．第二象限或第四象限 【答案】B 【解题思路】取 与 两个代表值，分别确定终边所在区域，再合并结论。 【解答过程】当 时，，终边落在第一象限（含 轴正半轴）； 当 时，，终边落在第三象限（含 轴负半轴）。 但题目集合中 取遍全体整数，而当 时区间为 ，即 ，与 重合。 所以该集合所表示的角的终边均落在第一象限。故选 A。 【例2-2】（自编·改编）终边落在 轴右侧（不含 轴）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】 轴右侧等价于终边上点的横坐标为正，即 ，由此写出角的范围。 【解答过程】终边落在 轴右侧，即终边上（异于原点）的点满足横坐标 ，也就是 。 由单位圆知 的解集为 。故选 A。 【变式2-1】终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】第一、三象限角平分线是一条过原点的直线，两条射线上的角相差 。 【解答过程】第一、三象限角平分线上的角在 内为 与 ，两者相差 。 所以所求集合为 。故选 A。 【变式2-2】集合 所表示的角的终边落在（　　） A．第一象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限 D．第二象限或第四象限 【答案】B 【解题思路】取 与 两个代表区间分别判断，再合并结论。 【解答过程】当 时，，终边落在第一象限； 当 时，，终边落在第三象限。 所以该集合所表示的角的终边落在第一象限或第三象限。故选 B。 【变式2-3】终边落在直线 上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由直线斜率得倾斜角，再按"直线型"区域角的写法加上 。 【解答过程】直线 的倾斜角为 ，其上角在 内为 与 ，相差 。 所以所求集合为 。故选 B。 【变式2-4】用集合表示"终边落在第二象限"的角，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】第二象限角由无数个长度相同的开区间组成，必须以 为周期。 【解答过程】第二象限角的终边落在射线 与射线 之间，写成集合须含 且周期为 ，即 。故选 B。 【变式2-5】集合 所表示的角的终边落在（　　） A．第一象限 B．第一或第二象限 C．第一、第二、第三或第四象限均有 D．第二或第四象限 【答案】C 【解题思路】周期为 ，逐一取 四个代表值确定落点，再合并结论。 【解答过程】当 时，对应区间分别为 、、、， 依次落在第一、第二、第三、第四象限（含坐标轴上的端点）。 所以该集合所表示的角的终边在一、二、三、四象限均有分布。故选 C。 重难点培优03　弧度制与角度制互化及三角函数值　★★★ 【解题技巧】角度与弧度的互化只有两个乘数：角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 。求特殊角的三角函数值，统一路径是 先把角化为 的形式，再用特殊角的值或定义求解。含 的式子优先按 整体代换，既精确又快。 【注意事项】本重难点的易错点集中在三处：①同一式子中角度制与弧度制混用；②负角化到 时 的取值算错；③把 与 混为一谈。另外，特殊角的弧度值必须背熟，否则后续诱导公式、图象性质都无从下手。 【例3-1】（2026·全国二卷·高考真题）（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把两个弧度角分别化为角度，再代入特殊角的三角函数值相加。 【解答过程】，。 所以 。故选 A。 【例3-2】（自编·改编）一条弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由圆内接正三角形的边长与半径的关系求出弧长，再用 求圆心角。 【解答过程】设圆的半径为 ，则其内接正三角形的边长为 ，即弧长 。 由弧长公式 得 ，所以该弧所对的圆心角的弧度数为 。故选 C。 【变式3-1】 化为角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】弧度化角度乘 ，注意保留符号。 【解答过程】。故选 A。 【变式3-2】 化为弧度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】角度化弧度乘 ，约分即可。 【解答过程】。故选 A。 【变式3-3】（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把两个弧度角化为角度，再代入特殊角的三角函数值。 【解答过程】，。 所以 。故选 A。 【变式3-4】若角 的终边经过点 ，则 的一个值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先算出点 的坐标并判断它到原点的距离，再由坐标反推角。 【解答过程】，且 ，故点 在单位圆上。 由三角函数定义知 、，所以 的一个值是 。故选 A。 【变式3-5】把 化成 的形式，结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用 除以 估出 的大致范围，再调整使余角落在 内。 【解答过程】因为 ，且 ， 所以 。故选 A。 重难点培优04　弧长与扇形面积的最值问题　★★★ 【解题技巧】扇形最值问题的通法叫"消元转二次"：由周长（或面积）的定值条件解出圆心角 ，代入另一个公式，把面积（或周长）化为关于半径 的二次函数或"积为定值的和式"，再求最值。若条件给的是面积求周长最小值，则用 型的基本不等式，取等时 与 的关系最简洁。 【注意事项】最值问题的三个"坑"：①忘记检验 （有时 ），得出"美观但不合法"的答案；②公式用错， 与 张冠李戴；③周长含的是两条半径加一段弧，漏掉第二条半径。 【例4-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知扇形的周长为 ，则该扇形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用周长把弧长表示为半径的式子，代入面积公式得到关于半径的二次函数，再求最大值并检验圆心角范围。 【解答过程】设扇形的半径为 ，弧长为 ，圆心角为 弧度。 由周长为 得 ，即 。 所以 。 当 时 取最大值 ，此时 ，，符合题意。 故选 B。 【例4-2】（自编·改编）已知扇形的面积为 ，则其周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由面积公式得 ，把周长写成 ，再用基本不等式求最小值。 【解答过程】设扇形的半径为 ，圆心角为 弧度，则 ，即 ，从而 。 扇形周长 ， 当且仅当 ，即 时取等号，此时 ，符合题意。 所以周长的最小值为 。故选 C。 【变式4-1】已知扇形的圆心角为 弧度，半径为 ，则其弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接代入弧长公式 。 【解答过程】由弧长公式 。故选 B。 【变式4-2】半径为 的圆中，圆心角 所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】弧长公式中圆心角必须用弧度制，直接代入即可。 【解答过程】由 。故选 A。 【变式4-3】若扇形的面积为 ，半径为 ，则其圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由面积公式 反解 。 【解答过程】由 得 ，解得 。故选 A。 【变式4-4】若扇形的半径为 ，周长为 ，则其面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用周长减去两条半径得弧长，再代入 。 【解答过程】由周长为 得弧长 。 所以 。故选 A。 【变式4-5】用一根长为 的铁丝围成一个扇形（不计接头），则该扇形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】周长即为铁丝长，用周长把弧长表示为半径的式子并代入面积公式，转化为二次函数求最值。 【解答过程】设扇形半径为 ，弧长为 ，则 ，即 。 所以 。 当 时 取最大值 ，此时 ，，符合题意。 故选 B。 重难点培优05　三角函数的定义与求值　★★★ 【解题技巧】三角函数的定义是一切求值的"总开关"：设终边上一点 ，先求 ，再分别代入 、、。遇到""型的齐次式，分子分母同除以 （或 ）化为 的式子，是最高效的通法。 【注意事项】定义求值有三大陷阱：① 恒成立，含参时必须写成 并分类讨论；②终边在直线上（而非射线上）时，要分两个象限取点，切勿只取一个点；③用定义反求参数时要检验所求参数是否与象限条件相容。 【例5-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把所求式子的分子、分母同时除以 ，整体化为只含 的式子再代入。 【解答过程】因为 ，所以 。 。 故选 A。 【例5-2】（自编·改编）已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求 ，再对 的正负分类讨论去绝对值。 【解答过程】因为 ， 所以 。 当 时，；当 时，。 综上，。故选 C。 【变式5-1】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由定义求出 、，再代入所求式子化简。 【解答过程】由 得 ，。 所以 。故选 A。 【变式5-2】已知点 在角 的终边上，则 的值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先算出点 的坐标，判断它在单位圆上，再由坐标反推角。 【解答过程】，，故 ，且 在单位圆上。 由定义知 、，所以 。 取 得 。故选 C。 【变式5-3】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再分别用定义求出 与 ，最后相加。 【解答过程】由 得 ，。 所以 。故选 A。 【变式5-4】已知角 的终边落在直线 上，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】终边在直线上需分两个象限取点，分别计算后再合并结论。 【解答过程】当终边在第一象限时，取点 ，则 ，； 当终边在第三象限时，取点 ，则 ，。 综上，。故选 C。 【变式5-5】已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用同角关系求 ，注意第二象限角其余弦为负，再由定义求 。 【解答过程】因为 是第二象限角，所以 。 由 得 。 所以 。故选 A。 重难点培优06　三角函数值的符号与象限讨论　★★★ 【解题技巧】符号问题的解法是"由式子的正负反推 的符号组合，再定象限"： 看纵坐标 ， 看横坐标 ， 看 是否同号。口诀 一全正、二正弦、三正切、四余弦 是用来"正推"的，而"给式子的符号反推角位置"则需要逆用定义，把每个因式的符号翻译成对 或 的要求。 【注意事项】两类高频错误：①把 误判为" 且 "，漏掉同为负数的第三象限；②遇到 这类"乘积符号"条件，只考虑一种搭配，漏掉另一半解。此外，含绝对值的化简必须先判定绝对值内式子的符号，再脱去绝对值。 【例6-1】（自编·改编）已知点 在第三象限，则角 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解题思路】"点在第三象限"等价于横、纵坐标均为负，据此列出两个不等式，再反推 的象限。 【解答过程】因为点 在第三象限，所以 。 由 得 ，代入第一式得 。 所以 的终边满足横坐标为负、纵坐标为正，是第二象限角。故选 B。 【例6-2】（自编·改编）若 是第三象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由第三象限角确定 、，再脱去绝对值化简。 【解答过程】因为 是第三象限角，所以 ，。 于是 ，。 所以原式 。故选 B。 【变式6-1】若 且 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】B 【解题思路】分别由 与 确定角的可能象限，再取公共部分。 【解答过程】由 知 是第一或第二象限角；由 知 是第二或第四象限角。 两者取交集， 是第二象限角。故选 B。 【变式6-2】若角 的终边在第三象限，则下列各式一定为负的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由第三象限确定 、 的符号，再逐一判断各式的符号。 【解答过程】因为 在第三象限，所以 ，。 A 中两个负数之和必为负，一定成立；B 中两者之差的符号取决于绝对值大小（如 时差为 ），不一定为负； C 中两个负数之积为正；D 中 。 所以一定为负的是 A。故选 A。 【变式6-3】已知 ，则角 的终边在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【解题思路】乘积为负等价于两个因式异号，分别讨论两种搭配。 【解答过程】由 知 与 异号。 若 且 ，则 是第二象限角；若 且 ，则 是第四象限角。 所以 的终边在第二、四象限。故选 C。 【变式6-4】若 是第二象限角，则点 位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【解题思路】先确定 、 的符号，再据此判断点所在象限。 【解答过程】因为 是第二象限角，所以 ，。 于是点 的横坐标 、纵坐标 ，即横、纵坐标均为负，故 在第三象限。故选 C。 【变式6-5】已知 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用同角关系把根式化为 、，再由第二象限角的符号脱去绝对值。 【解答过程】因为 ，， 又 是第二象限角，故 ，，所以 ，。 于是 。故选 A。 重难点培优07　三角函数线（单位圆）的应用　★★★★ 【解题技巧】单位圆是三角函数的"活字典"：角的终边与单位圆的交点 的横、纵坐标分别就是 、，因此"比较三角函数值的大小、判断取值范围"都可化归为"比较圆上点的横纵坐标"。两个常用工具要牢记：①终边与单位圆交于 时， 是 的纵坐标、 是 的横坐标；②角的终边关于 轴、 轴、原点、直线 对称时，对应角的三角函数值满足 、 的相应变换关系。 【注意事项】本重难点的深层陷阱是"看清对称轴，写准角的等式"：终边关于 轴对称得 ，关于 轴对称得 ，关于原点对称得 ，关于直线 对称得 。混淆这四条等式是失分主因；另外，用单位圆解 这类不等式时，要写清区间端点是"取到"还是"取不到"。 【例7-1】（2024·北京卷·高考真题）已知 ，且 与 的终边关于原点对称，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由"终边关于原点对称"写出 与 的关系式，把 化为 ，再求其最大值。 【解答过程】因为 与 的终边关于原点对称，所以 。 从而 。 因为 ，所以 ，于是 。 所以 的最大值为 （此时 ）。故选 B。 【例7-2】（自编·改编）设 ，利用单位圆可得 、、 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助单位圆，比较同一角所对应的正弦线、弧度数与正切线的大小。 【解答过程】在单位圆中，设角 的终边与单位圆交于点 ，过 作 轴于 ，过 作圆的切线与 的延长线交于 。 则 （线段 的长度小于弧 的长度）， 等于弧 的长度（弧度制下弧长等于圆心角），（线段 的长度大于弧 的长度）。 而点 在第一象限，线段 在扇形内、线段 在扇形外，故 。故选 A。 【变式7-1】已知 与 的终边关于 轴对称，且 ，则 的一个值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】关于 轴对称的两条终边所对的角互为相反数（相差 ）。 【解答过程】因为 与 的终边关于 轴对称，所以 。 取 得 。故选 B。 【变式7-2】已知 与 的终边关于 轴对称，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】关于 轴对称的两条终边所对的角满足 ，由此求 。 【解答过程】因为 与 的终边关于 轴对称，所以 。 取 得 ，故 。故选 A。 【变式7-3】已知 与 的终边关于直线 对称，且 ，则 的一个值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】关于直线 轴对称的两条终边所对的角满足 。 【解答过程】因为终边关于直线 对称，所以 。 取 得 。故选 A。 【变式7-4】设 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】在单位圆中画出直线 ，取单位圆上纵坐标不小于 的弧段所对应的角的范围。 【解答过程】在单位圆中，作直线 ，它与单位圆交于两点，对应的角分别为 与 。 正弦值不小于 的角的终边落在该直线之上（含交点）所对应的弧段上，对应的角满足 。 所以 。故选 A。 【变式7-5】已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】终边与单位圆的交点坐标即为该角的余弦值与正弦值，直接读出后相加。 【解答过程】因为 在单位圆上，所以由定义得 ，。 所以 。故选 A。 重难点培优08　三角函数定义与其它知识的交汇（新定义）　★★★★ 【解题技巧】交汇与创新题的通用解法是"化归三步骤：读定义（逐字圈出条件）、译语言（把新符号翻译成定义式或集合关系）、验结果（用互异性、象限条件收尾）"。凡是与"角"有关的新定义，最终几乎都要回到单位圆上的点坐标或终边所在位置；凡是与"集合"有关的新定义，先枚举、再去重、后计数。 【注意事项】新定义题的失分集中在"想当然"：①把新定义的运算套用成熟悉的交、并、补公式；②忽略定义中的限定词，如"不同时为零""在 内"；③只算出一个代表值就下结论，没有考虑周期性。务必逐字阅读定义，必要时自举例证验证。 【例8-1】（2026·全国一卷·高考真题）已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按 依次取值算出对应的余弦值，利用余弦函数的周期性去重，再数元素个数。 【解答过程】依次计算： 时 ； 时 ； 时 ； 时 ； 时 ； 时 。 由余弦函数的周期性， 的取值以 为周期循环，只会取到 四个值。 所以 ，含 个元素。故选 B。 【例8-2】（自编·改编）定义：对于角 ，记 。若 ，则 的终边落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】严格按定义代入求值，再把结果化到 内判断象限。 【解答过程】由定义得 。 因为 ，所以 的终边落在第四象限。故选 D。 【变式8-1】已知集合 ，则 中落在 内的角共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【答案】C 【解题思路】对 依次取值并化到 ，统计落在该范围内的角的个数。 【解答过程】当 时，对应角分别为 ，均在 内； 当 时角为 ，超出范围。 所以 中落在 内的角共有 个。故选 C。 【变式8-2】定义：若角 满足 ，则称 为"平衡角"。下列各角中是"平衡角"的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逐一验证各选项是否满足 。 【解答过程】，满足定义； 而 ，，。 所以只有 是"平衡角"。故选 B。 【变式8-3】在平面直角坐标系中，点 从 出发，沿单位圆按逆时针方向运动 弧长到达点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】沿单位圆运动的弧长在数值上等于逆时针转过的圆心角弧度数，再由单位圆上的坐标求法得解。 【解答过程】因为单位圆的半径为 ，所以运动弧长为 即逆时针转过 。 故点 的坐标为 。故选 A。 【变式8-4】已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对 取几个连续整数算出正弦值，利用周期性去重后数元素个数。 【解答过程】 时 ； 时 ； 时 ； 时 。 此后取值周期循环，故 ，含 个元素。故选 B。 【变式8-5】定义：设角 的终边与单位圆交于点 ，称点 为角 的"圆交点"。若角 的"圆交点"为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】"圆交点"的坐标即为该角的余弦值与正弦值，直接读数相减。 【解答过程】由定义，，。 所以 。故选 C。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【解题思路】把 加上一个周角化到 内，再判断象限。 【解答过程】因为 ，而 的终边在第三象限。 所以 是第三象限角。故选 C。 2．【巩固】与 终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作差检验，看哪个选项与 的差是 的整数倍。 【解答过程】因为 ，是 的整数倍，所以 与 终边相同。 其余选项与 的差均不是 的整数倍。故选 A。 3．【巩固】半径为 、圆心角为 的扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接代入扇形面积公式 。 【解答过程】。故选 B。 4．【巩固】已知角 的终边过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先求 ，再由定义求 。 【解答过程】由 得 。故选 D。 5．【进阶】若 是第二象限角，则点 位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【解题思路】先确定 与 的符号，再判断点的位置。 【解答过程】因为 是第二象限角，所以 ，。 于是点 横坐标为正、纵坐标为负，位于第四象限。故选 D。 6．【进阶】 化为角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】弧度化角度乘 ，保留负号。 【解答过程】。故选 A。 7．【进阶】若扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由周长与圆心角的关系先求半径，再代入面积公式。 【解答过程】设半径为 ，则弧长 。由周长为 得 ，解得 。 所以 。故选 B。 8．【培优】若角 的终边落在射线 上，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】在射线上取一个满足 的点，求出 ，再用定义求 与 。 【解答过程】在射线 上取点 ，则 。 由定义得 ，。 所以 。故选 B。 二、多选题 9．【进阶】下列结论正确的是（　　） A． 与 是终边相同的角 B．终边落在 轴上的角的集合为 C．第二象限角一定大于第一象限角 D．若 是第三象限角，则 是第一或第三象限角 【答案】AB 【解题思路】逐项判定：A、B 用定义与集合表示判断，C 举反例排除，D 通过同除 后再讨论 的奇偶验证。 【解答过程】A：，两角终边相同，正确； B：终边落在 轴上的角每隔 出现一次，集合为 ，正确； C：反例，第二象限角 小于第一象限角 ，错误； D：由 是第三象限角得 ，同除以 得 ， 当 为偶数时 在第二象限，当 为奇数时在第四象限，错误。 故选 AB。 10．【进阶】已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的值与 的正负有关 B． 的值与 的正负有关 C． D． 【答案】ABC 【解题思路】先求 ，再分 与 两种情况讨论三个三角函数值。 【解答过程】因为 ， 所以当 时，，； 当 时，，。 而无论 还是 ，都有 。 所以 A、B 正确，C 正确；D 中只有当 时成立，不是恒等式，错误。故选 ABC。 11．【进阶】已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 、，则弧长为 B．若 、，则面积为 C．若扇形的周长为 ，则其面积的最大值为 D．若扇形的面积为 ，则其周长的最小值为 【答案】ABCD 【解题思路】A、B 直接代入公式；C、D 用"消元转二次"与基本不等式求最值，并检验圆心角范围。 【解答过程】A：，正确； B：，正确； C：由 得 ，， 当 时取最大值 ，此时 ，正确； D：由 得 ，周长 ， 当 时取最小值 ，此时 ，正确。 故选 ABCD。 12．【培优】定义：若角 的终边与单位圆的交点落在直线 上，则称 为"共线角"。下列结论正确的是（　　） A． 是"共线角" B．"共线角"的集合为 C．若 是"共线角"，则 D．若 是"共线角"，则 【答案】ABC 【解题思路】先用新定义求出"共线角"的集合，再逐项验证。 【解答过程】直线 与单位圆的交点为 与 ， 它们对应的角分别为 与 ，两者相差 ， 所以"共线角"的集合为 。 A： 在集合中，是"共线角"，正确；B：集合表示正确； C：该直线上横、纵坐标互为相反数且横坐标不为 ，故 ，正确； D：由定义 ，错误。 故选 ABC。 三、填空题 13．【巩固】 是第 ______ 象限角． 【答案】四 【解题思路】把 加上若干个周角化到 内，再判断象限。 【解答过程】因为 ，所以 与 的终边相同。 而 的终边在第四象限，故 是第四象限角。故填"四"。 14．【进阶】已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则扇形的面积为 ______． 【答案】 【解题思路】直接代入扇形面积公式。 【解答过程】。 15．【进阶】已知角 的终边经过点 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】先求 ，再用定义求 与 ，最后求和。 【解答过程】由 得 ，。 所以 。 16．【培优】若 与 的终边关于直线 对称，且 ，则 ______（写出 内的值）． 【答案】 【解题思路】关于直线 对称的角满足 ，代入后化到 内。 【解答过程】关于直线 对称的两条终边所对的角满足 。 代入 得 。 取 得 。 四、解答题 17．【进阶】已知一扇形的圆心角为 ，半径为 ． (1) 若 ，，求扇形的弧长与面积； (2) 若扇形的周长为 ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数． 【答案】(1) 弧长 ，面积 ；(2) 面积最大值为 ，此时圆心角为 弧度． 【解题思路】(1) 直接代入弧长、面积公式；(2) 用周长消去弧长，把面积化为关于半径的二次函数求最值。 【解答过程】(1) 弧长 ；面积 。 (2) 设半径为 ，则弧长 ， 面积 。 当 时 取最大值 ，此时 ，圆心角 ，符合题意。 18．【进阶】已知角 的终边经过点 ． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 【答案】(1) 当 时 、；当 时 、；(2) ． 【解题思路】(1) 先求 ，再分 与 讨论；(2) 分别代入两种情况的三角函数值计算，观察结果是否一致。 【解答过程】(1) 因为 ， 当 时，，，； 当 时，，，。 (2) 当 时，原式 ； 当 时，原式 。 所以 。 19．【培优】已知角 是第二象限角． (1) 判断 所在的象限； (2) 若 ，求 与 的值． 【答案】(1) 第一或第三象限角；(2) ，． 【解题思路】(1) 写出第二象限角的一般表达式，同除以 ，再按 的奇偶讨论；(2) 用同角关系与象限条件求解。 【解答过程】(1) 因为 是第二象限角，所以 。 两边同除以 得 。 当 为偶数时 是第一象限角，当 为奇数时 是第三象限角。 所以 是第一或第三象限角。 (2) 因为 是第二象限角，所以 。 由 得 ， 所以 。 20．【培优】在平面直角坐标系中，角 的终边与单位圆交于点 ，且 是第二象限角． (1) 求 ，并求 与 的值； (2) 求 的值． 【答案】(1) ，，；(2) ． 【解题思路】(1) 由点在单位圆上求出 ，再由象限条件取舍，最后读出正弦值、余弦值；(2) 代入所求式子计算。 【解答过程】(1) 因为 在单位圆上，所以 ，得 ，即 。 又 是第二象限角，其终边与单位圆交点的纵坐标为正，故 。 由定义得 ，。 (2) 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　任意角与终边相同的角 4 知识点2　象限角与轴线角 5 知识点3　弧度制与角度制互化 6 知识点4　弧长公式与扇形面积公式 7 知识点5　三角函数的定义与三角函数值符号 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　终边相同的角与象限判断　★★ 9 重难点培优02　区域角的表示　★★ 10 重难点培优03　弧度制与角度制互化及三角函数值　★★★ 11 重难点培优04　弧长与扇形面积的最值问题　★★★ 12 重难点培优05　三角函数的定义与求值　★★★ 14 重难点培优06　三角函数值的符号与象限讨论　★★★ 15 重难点培优07　三角函数线（单位圆）的应用　★★★★ 16 重难点培优08　三角函数定义与其它知识的交汇（新定义）　★★★★ 17 五、过关检测 19 一、单选题 19 二、多选题 20 三、填空题 21 四、解答题 21 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 任意角的概念 了解任意角的概念，理解正角、负角与零角的意义；掌握终边相同的角的表示方法 弧度制 了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性 任意角的三角函数 借助单位圆理解正弦、余弦、正切函数的定义，掌握三角函数值在各象限的符号规律 弧长与扇形面积 掌握弧长公式 与扇形面积公式 ，并会解决相关最值问题 近三年高考真题对"任意角和弧度制、三角函数的概念"板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T3 三角函数值的计算，与集合运算交汇 ★★ 2026 全国二卷 T6 特殊角的三角函数值与符号判断 ★★ 2026 上海卷 T5 弧度制与扇形面积的测量应用 ★★★ 2026 北京卷 T10 三角函数定义与单位圆 ★★ 2025 全国一卷 T6 三角函数的定义与求值 ★★ 2025 全国二卷 T4 三角函数值的符号判断 ★ 2025 北京卷 T13 终边对称的角之间的关系 ★★★ 2025 天津卷 T3 特殊角的弧度制与三角函数值 ★ 2025 全国甲卷·理 T4 由终边上一点求三角函数值 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T4 三角函数的定义与恒等变换 ★★ 2024 全国甲卷·理 T2 正、余弦齐次式的计算 ★★ 2024 北京卷 T12 终边关于原点对称，求 的最值 ★★★ 考情分析 任意角和弧度制、三角函数的概念是三角函数的"入口"，也是后续诱导公式、图象性质与三角恒等变换赖以生长的根基。从近三年命题看，本板块极少单独设置大题，多以选择题、填空题的形式与其它知识交汇出现，分值 5 分，难度以容易题、中档题为主：2026 年全国一卷把三角函数值嵌入集合运算，全国二卷直接考查终边相同的角与三角函数值的符号，上海卷则把弧度制放进实际测量情境；2025 年北京卷以"终边对称"为背景考查角之间的关系，天津卷考查特殊角的弧度与三角函数值；2024 年北京卷要求由终边关于原点对称求 的最值，全国甲卷（理）以正、余弦齐次式为载体考查三角函数的定义。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本板块核心考查"数学抽象、直观想象与数学运算"三大素养。预测 2027 年高考仍以"三角函数的定义＋单位圆"为主线，并在弧度制应用、扇形最值、角的对称与旋转（新定义）等方面提升区分度。 复习目标 1．准确辨析正角、负角、零角与象限角、轴线角，熟练写出终边相同的角的集合； 2．掌握角度制与弧度制的互化，牢记特殊角的弧度值，理解弧度制下角与实数之间的一一对应； 3．灵活运用弧长公式与扇形面积公式，突破扇形周长、面积的最值与取值范围问题； 4．深挖三角函数的定义，会用单位圆与终边上的点求三角函数值，并熟练判断三角函数值的符号。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　任意角和弧度制、三角函数的概念知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　任意角与终边相同的角 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形。按旋转方向，角可分为三类： ①正角——按逆时针方向旋转形成的角； ②负角——按顺时针方向旋转形成的角； ③零角——射线没有作任何旋转形成的角。 角的顶点与原点重合、始边与 轴的非负半轴重合时，角的终边落在第几象限，就称它是第几象限角；若角的终边落在坐标轴上，则称这个角为轴线角，它不属于任何象限。 与角 终边相同的角的集合为 ，用弧度制写作 。 【方法技巧】 1．判断两个角是否终边相同，只需看它们的差是否为 的整数倍（弧度制下是否为 的整数倍）； 2．在指定范围内寻找与 终边相同的角，用"加 个周角"的方法逐一代入 值，由范围解出 的整数解即可； 3．"终边在射线上"与"终边在直线上"不同：射线的集合形如 ，直线的集合形如 。 【易错清单】 1．写终边相同的角的集合时不要漏写 ，也不要把 写成 ； 2．角度的度数可正可负，终边相同的两个角不一定相等，而相等的两个角终边一定相同； 3．同一式子中角度制与弧度制不能混用，如 是错误写法。 知识点2　象限角与轴线角 把角的顶点与原点重合、始边与 轴的非负半轴重合后，按终边所在位置可把角分为四类象限角与两类轴线角，其集合表示如下： 角的终边位置 角的集合 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 终边在 轴上 终边在 轴上 判断 、 的终边位置，是本节的重要考法： ①若 是第 象限角，则 ，两边同除以 （或乘以 ）后可求得范围； ②对 逐一讨论，才能得到完整的象限结论。 【方法技巧】 1．"区间等分法"最快：把每个象限 等分，自 轴正半轴起逆时针依次标 ， 落在标号为几的区域，就是第几象限角； 2． 的象限必为"两象限之一"， 的象限必为"三象限之一"，最终答案要写成"或"的形式； 3．轴线角的集合用 、 的形式书写最简洁，注意端点能否取到。 【易错清单】 1．象限角不是"一个区间"，而是"一组区间"，遗漏 是最高频失分点； 2． 不一定大于 ， 也不一定与 同象限，必须严格按范围讨论，不可凭直觉判断； 3． 是第二象限角时， 是第一或第三象限角， 是第一、第二或第四象限角，结论要记准。 知识点3　弧度制与角度制互化 长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做 弧度的角，记作 ；用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制。 角度与弧度的换算关系： ①，； ②。 角度 弧度 弧度制下，每一个角都对应唯一的实数，角的集合与实数集 之间建立起一一对应关系，这正是三角函数能够作为"实数集到实数集的函数"来研究的根本原因。 【方法技巧】 1．互化口诀：角度化弧度乘 ，弧度化角度乘 ； 2．特殊角的弧度值要"背到条件反射"， 及其倍数应熟练掌握； 3．把角化为 的形式，是求特殊角三角函数值、判断象限的统一入口。 【易错清单】 1． 是一个确定的角（约 ），不要与 混淆； 2．用弧度制表示角时，"弧度"二字通常省略不写，如 而不是 （除题目特别要求外）； 3．化为""的形式时，要保证 落在 内， 的取值不能算错。 知识点4　弧长公式与扇形面积公式 设扇形的半径为 ，圆心角为 弧度，弧长为 ，面积为 ，则： ①弧长公式：； ②扇形面积公式：。 面积公式 与三角形面积公式 底 高在形式上一致，可由"把扇形分割成无数个小三角形再求和"的极限思想来理解。 【方法技巧】 1．使用弧长、扇形面积公式时，圆心角必须用弧度制，这是最容易被忽略的前提； 2．最值问题通法：设周长为定值 ，由 解出 代入面积公式，转化为关于 的二次函数求最值，并检验 ； 3．扇形中的弦、内接矩形、内接圆等问题，要抓住半径、圆心角、半弦长所构成的直角三角形。 【易错清单】 1． 不含绝对值是最常见的失分点：负角、大于 的角都要先取绝对值或化简到 内； 2．扇形面积公式中的系数 不能丢， 与 是同一个公式的两种写法； 3．求最值时不要忘记检验 的取值范围，有时题目还附加 等条件。 知识点5　三角函数的定义与三角函数值符号 设 是一个任意角， 是其终边上任意一点（异于原点），，则： ①正弦：； ②余弦：； ③正切：。 当终边落在单位圆上（即 ）时，、，即 角的终边与单位圆交点的纵坐标、横坐标分别是该角的正弦值、余弦值。 三角函数 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 符号规律记忆口诀：一全正、二正弦、三正切、四余弦。它的本质来自定义： 的符号由纵坐标 决定， 的符号由横坐标 决定， 的符号由 是否同号决定。 【方法技巧】 1．由终边上一点求三角函数值"三步走"：① 求 ；② 代入定义式；③ 若点含参数，按参数正负分类讨论取绝对值； 2．由三角函数值的符号反推象限： 与 同号则在第一或第三象限，异号则在第二或第四象限，再结合 的符号确定具体象限； 3．求 时对参数要讨论， 这一步不能省，这是含参题的高频失分点。 【易错清单】 1． 恒为正数，即 ，不能写成 或 ； 2．求 时必须先确认 ，否则正切值不存在； 3．终边在坐标轴上的角（轴线角）可能使某个三角函数值不存在，如 时 无意义。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　终边相同的角与象限判断　★★ 【例1-1】（2025·天津卷·高考真题）与 角终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（自编·改编）已知 是第二象限角，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第三象限角 D．第二或第四象限角 【变式1-1】 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式1-2】与 角终边相同的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】若 是第三象限角，则 的终边落在（　　） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、二象限或 轴正半轴 D．第三、四象限 【变式1-4】终边落在直线 上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】已知 是第二象限角，则 的终边可能落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第一、第二或第四象限 D．第一或第三象限 重难点培优02　区域角的表示　★★ 【例2-1】（2026·上海卷·高考真题）集合 所表示的角的终边落在（　　） A．第一象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限 D．第二象限或第四象限 【例2-2】（自编·改编）终边落在 轴右侧（不含 轴）的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】终边落在第一、三象限角平分线上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】集合 所表示的角的终边落在（　　） A．第一象限 B．第一象限或第三象限 C．第二象限 D．第二象限或第四象限 【变式2-3】终边落在直线 上的角的集合是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】用集合表示"终边落在第二象限"的角，正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】集合 所表示的角的终边落在（　　） A．第一象限 B．第一或第二象限 C．第一、第二、第三或第四象限均有 D．第二或第四象限 重难点培优03　弧度制与角度制互化及三角函数值　★★★ 【例3-1】（2026·全国二卷·高考真题）（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（自编·改编）一条弧的长等于其所在圆的内接正三角形的边长，则该弧所对的圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】 化为角度是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】 化为弧度是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】若角 的终边经过点 ，则 的一个值可以是（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】把 化成 的形式，结果是（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　弧长与扇形面积的最值问题　★★★ 【例4-1】（2025·全国一卷·高考真题）已知扇形的周长为 ，则该扇形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（自编·改编）已知扇形的面积为 ，则其周长的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知扇形的圆心角为 弧度，半径为 ，则其弧长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】半径为 的圆中，圆心角 所对的弧长为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】若扇形的面积为 ，半径为 ，则其圆心角的弧度数为（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】若扇形的半径为 ，周长为 ，则其面积为（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】用一根长为 的铁丝围成一个扇形（不计接头），则该扇形面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　三角函数的定义与求值　★★★ 【例5-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（自编·改编）已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知点 在角 的终边上，则 的值可以是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知角 的终边经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-4】已知角 的终边落在直线 上，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-5】已知 ，且 是第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优06　三角函数值的符号与象限讨论　★★★ 【例6-1】（自编·改编）已知点 在第三象限，则角 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【例6-2】（自编·改编）若 是第三象限角，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-1】若 且 ，则 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【变式6-2】若角 的终边在第三象限，则下列各式一定为负的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】已知 ，则角 的终边在（　　） A．第一、二象限 B．第一、三象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【变式6-4】若 是第二象限角，则点 位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式6-5】已知 为第二象限角，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优07　三角函数线（单位圆）的应用　★★★★ 【例7-1】（2024·北京卷·高考真题）已知 ，且 与 的终边关于原点对称，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（自编·改编）设 ，利用单位圆可得 、、 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知 与 的终边关于 轴对称，且 ，则 的一个值可以是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知 与 的终边关于 轴对称，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-3】已知 与 的终边关于直线 对称，且 ，则 的一个值可以是（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】设 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知角 的终边与单位圆交于点 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优08　三角函数定义与其它知识的交汇（新定义）　★★★★ 【例8-1】（2026·全国一卷·高考真题）已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（自编·改编）定义：对于角 ，记 。若 ，则 的终边落在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式8-1】已知集合 ，则 中落在 内的角共有（　　） A． 个 B． 个 C． 个 D． 个 【变式8-2】定义：若角 满足 ，则称 为"平衡角"。下列各角中是"平衡角"的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】在平面直角坐标系中，点 从 出发，沿单位圆按逆时针方向运动 弧长到达点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】已知集合 ，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】定义：设角 的终边与单位圆交于点 ，称点 为角 的"圆交点"。若角 的"圆交点"为 ，则 （　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】 是（　　） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 2．【巩固】与 终边相同的角是（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】半径为 、圆心角为 的扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】已知角 的终边过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．【进阶】若 是第二象限角，则点 位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．【进阶】 化为角度是（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】若扇形的周长为 ，圆心角为 弧度，则该扇形的面积为（　　） A． B． C． D． 8．【培优】若角 的终边落在射线 上，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】下列结论正确的是（　　） A． 与 是终边相同的角 B．终边落在 轴上的角的集合为 C．第二象限角一定大于第一象限角 D．若 是第三象限角，则 是第一或第三象限角 10．【进阶】已知角 的终边经过点 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的值与 的正负有关 B． 的值与 的正负有关 C． D． 11．【进阶】已知扇形的半径为 ，圆心角为 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 、，则弧长为 B．若 、，则面积为 C．若扇形的周长为 ，则其面积的最大值为 D．若扇形的面积为 ，则其周长的最小值为 12．【培优】定义：若角 的终边与单位圆的交点落在直线 上，则称 为"共线角"。下列结论正确的是（　　） A． 是"共线角" B．"共线角"的集合为 C．若 是"共线角"，则 D．若 是"共线角"，则 三、填空题 13．【巩固】 是第 ______ 象限角． 14．【进阶】已知扇形的圆心角为 ，半径为 ，则扇形的面积为 ______． 15．【进阶】已知角 的终边经过点 ，则 ______． 16．【培优】若 与 的终边关于直线 对称，且 ，则 ______（写出 内的值）． 四、解答题 17．【进阶】已知一扇形的圆心角为 ，半径为 ． (1) 若 ，，求扇形的弧长与面积； (2) 若扇形的周长为 ，求扇形面积的最大值，并求此时圆心角的弧度数． 18．【进阶】已知角 的终边经过点 ． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 19．【培优】已知角 是第二象限角． (1) 判断 所在的象限； (2) 若 ，求 与 的值． 20．【培优】在平面直角坐标系中，角 的终边与单位圆交于点 ，且 是第二象限角． (1) 求 ，并求 与 的值； (2) 求 的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $