专题2.1 函数的概念及其表示（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题2.1 函数的概念及其表示（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　函数的概念与三要素 4 知识点2　函数的定义域及其求法 5 知识点3　函数的值域与最值 6 知识点4　函数的表示法与分段函数 7 知识点5　抽象函数与函数图象的识别 8 四、重难点培优 10 重难点培优01　函数的概念与相同函数的判断　★★ 10 重难点培优02　函数的定义域及其求法　★★ 11 重难点培优03　函数解析式的求法　★★★ 13 重难点培优04　函数的值域与最值　★★★ 14 重难点培优05　分段函数的求值与解不等式　★★★ 15 重难点培优06　分段函数中的含参问题　★★★ 17 重难点培优07　抽象函数的赋值与性质推断　★★★★ 18 重难点培优08　函数图象的识别与变换　★★★★ 20 五、过关检测 22 一、单选题 22 二、多选题 23 三、填空题 24 四、解答题 24 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 函数的概念与三要素 了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域与值域；能判断两个函数是否为同一函数 函数的定义域 掌握分式、偶次根式、对数、零次幂等限制条件，会求具体函数与抽象函数的定义域 函数的值域与最值 会用配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法等求常见函数的值域与最值 函数的表示法与分段函数 会根据不同需求选择解析法、列表法、图象法表示函数；能求分段函数的函数值，能解分段不等式 抽象函数与函数图象 能对抽象函数赋值、递推；能由定义域、奇偶性、特殊点识别函数图象，掌握图象变换 近三年高考真题对函数的概念与表示板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 含参分式函数的最大值，求参数 ★★★ 2026 全国二卷 T10 偶函数的周期性、对称性与函数值（多选） ★★★★ 2026 北京卷 奇函数且在定义域上单调递增的判断 ★★ 2026 天津卷 由函数的部分图象选择解析式 ★★★ 2026 上海卷 利用偶函数性质求参数（填空） ★★★ 2025 全国一卷 T5 周期为 的偶函数求函数值 ★★ 2025 全国二卷 T10 抽象函数的奇偶性与极值（多选） ★★★★ 2025 上海卷 T5 余弦型函数在给定区间上的值域 ★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 分段函数在 上恒增，求参数范围 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T8 抽象函数的递推与数值估计 ★★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T6 两函数图象恰有一个交点，求参数 ★★★ 2024 全国甲卷·理 由函数解析式识别函数图象 ★★ 考情分析 函数是高中数学的"龙骨"，也是高考每年必考的主干内容。近三年全国卷在这一板块呈"一小一大"分布：小题多为概念辨析、定义域值域、分段函数求值与图象识别，大题则常以抽象函数或含参函数为载体，与单调性、奇偶性、周期性交汇。从 2024—2026 年的命题看，选择题前段主打分段函数与函数值域（如 2024 新课标Ⅰ卷第 6 题、2026 全国一卷第 6 题），压轴位置则偏爱抽象函数的递推与估计（如 2024 新课标Ⅰ卷第 8 题）以及函数图象的识别与选择（如 2024 全国甲卷·理、2026 天津卷）。值得注意的是，2026 年试卷进一步强化"新定义＋递进设问"，把函数与集合融为一体，考查现场阅读理解与抽象迁移能力。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本板块的核心素养指向"数学抽象、数学运算与直观想象"。预测 2027 年高考仍以"三要素＋分段函数＋抽象函数"为主线，以"含参讨论、图象识别、实际情境建模"提升区分度。 复习目标 1．准确理解函数的概念与三要素，能依据"定义域与对应关系"判断两个函数是否为同一函数； 2．熟练求解各类函数的定义域与值域，掌握配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法等通性通法； 3．掌握分段函数的求值、解不等式与含参问题，做到"分段讨论、端点多验"，不漏不多； 4．能对抽象函数赋值与递推，能由定义域、奇偶性、特殊点识别函数图象并完成图象变换。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　函数的概念及其表示知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　函数的概念与三要素 设 是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 。函数的三要素如下表： 要素 内容 关键说明 定义域 自变量 的取值范围 定义域是函数研究的出发点，先定定义域再谈其他 对应关系 对 中任意 ，按法则 有唯一确定的 与之对应 允许"多对一"，不允许"一对多" 值域 所有函数值组成的集合 值域由定义域与对应关系共同决定，且值域 判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域相同、对应关系相同，与自变量用什么字母、函数叫什么名称都无关。例如 与 是同一函数，而 与 不是。 【方法技巧】 1．判断"同一函数"用"两看"：一看定义域是否相同，二看对应关系是否相同，化简后的解析式相同但定义域不同，仍不是同一函数； 2．判断一个对应是否为函数，抓"任意性＋唯一性"： 中每个元素都要有像，且像必须唯一； 3．三要素中定义域与对应关系一旦确定，值域随之确定，因此比较两个函数无须比较值域。 【易错清单】 1．只比较化简后的解析式而忘记核对定义域： 与 的解析式"看起来一样"，但 的定义域不含 ，不是同一函数； 2．"一对多"不是函数：如 中 不是 的函数，因为一个 对应两个 ； 3．自变量用字母表示不影响函数本质， 与 、 都是同一函数。 知识点2　函数的定义域及其求法 求具体函数的定义域，就是把使解析式有意义的全部限制条件取交集。常见限制条件如下表： 解析式类型 限制条件 分式 偶次根式 对数 （ 且 ） 零指数幂 正切 抽象函数的定义域遵循"括号内整体等范围"原则：同一个对应关系 ，其括号内整体取值范围一致。若 的定义域为 ，则 中由 解得 的范围即为其定义域；反之，若 的定义域为 ，则 在 上的值域即为 的定义域。 【方法技巧】 1．求具体函数定义域"四查"：分式查分母不为零、偶次根式查被开方式非负、对数查真数为正、零次幂查底数非零； 2．多个限制条件必须同时满足取交集，先分别解出各条件，再在数轴上取公共部分； 3．抽象函数定义域口诀"括号内整体等范围"：先由"已知"确定括号内的取值区间，再由"所求"反解出自变量范围。 【易错清单】 1．定义域必须写成集合或区间形式，只写一个不等式不算完整答案； 2．求 定义域时，括号内整体要满足 的限制，不是自变量 直接代入原区间； 3．实际情境问题还要考虑变量的实际意义（如产量非负、人数为正整数），不可只作纯代数处理。 知识点3　函数的值域与最值 值域是函数值的集合 ，求值域的核心是在定义域上考察函数值的取值范围。常用方法如下表： 方法 适用情形与要点 观察法 简单函数直接由自变量范围归纳函数值范围 配方法 二次函数或可化为二次的函数，配方后结合定义域求值域 分离常数法 形如 的分式函数，可化为 换元法 含 的函数，令 化为二次或分式函数 基本不等式法 形如 的函数，注意"一正、二定、三取等" 单调性法 能判断单调性的函数，由端点函数值与单调性直接确定值域 【方法技巧】 1．求值域"先辨类型、再选方法"：二次看配方、分式看分离常数、带根号看换元、含 看基本不等式； 2．求值域必须以定义域为前提：先写清自变量的范围，再判断在定义域上函数值的增减趋势； 3．用基本不等式求最值时，务必验证"取等条件"能否在定义域内取到，取不到则改用单调性法。 【易错清单】 1．只求"顶点值"而不顾定义域端点：如 在 上值域为 ，而非 ； 2．换元后漏写新元的取值范围：令 必须补上 ，否则值域会扩大； 3．分离常数法求值域时，易漏掉"取不到"的那个值，如 的值域为 。 知识点4　函数的表示法与分段函数 函数的三种表示方法各有优势： 表示法 含义 特点 解析法 用数学式子表示对应关系 简明，便于计算，但不够直观 列表法 用表格列出自变量与函数值的对应 直接呈现数据，适用于数据较少的情形 图象法 用图象表示对应关系 直观，便于整体把握函数的性质 分段函数是在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数。要牢记：分段函数是一个函数，而不是几个函数；它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。求函数值要"先定区间、再代解析式"；解不等式要"分段讨论、各段取交集、总体取并集"。 【方法技巧】 1．求 类问题，按"由内向外、逐层代入"进行，每一步都要先判断内层结果落在哪一段； 2．解分段不等式（方程）的流程是"分段讨论 → 各段求交集 → 最后取并集"，分段点是分类讨论的分界； 3．作分段函数图象时先"分段画"，再"合并看"，特别关注分界点处函数值的高低与实心、空心。 【易错清单】 1．把分段函数当成几个函数分别研究，割裂了它的整体性，尤其在讨论单调性、值域时最易出错； 2．求 时未判断 所属区间，直接套用错误的一段解析式； 3．分界点处的函数值单独判断，含参时"分界点的函数值必须纳入不等式组"，漏掉即错。 知识点5　抽象函数与函数图象的识别 抽象函数没有具体解析式，求解靠赋值、递推与性质推断。常见的有：由 得周期 ；由 得图象关于直线 对称；由 得奇函数，由 得偶函数。函数图象的基本变换如下表： 变换 规律 平移变换 的图象由 向右平移 个单位得到， 向上平移 个单位 对称变换 与 的图象关于 轴对称， 关于 轴对称， 关于原点对称 翻折变换 把 轴下方的部分翻折到上方， 保留 轴右侧图象并对称到左侧 伸缩变换 横坐标变为原来的 ， 纵坐标变为原来的 倍 【方法技巧】 1．抽象函数求值"赋值法是通法"：令 、、 等特殊关系，先求出 、、 等关键值； 2．图象识别"四看排除法"：看定义域（有无断点）、看奇偶性（是否对称）、看特殊点（正负与零点）、看趋势（ 时走向）； 3．由 一类递推不等式，用"逐步递推＋放缩"估计函数值的增长速度。 【易错清单】 1．抽象函数赋值必须落在定义域内，赋值点超出定义域得到的结论无效； 2．由 作图象时，要去掉 轴左侧的原图象，只保留右侧并对称过去，切勿"左右都留"； 3．图象识别题的选项常"整体相似、细节不同"，必须抓住一处决定性差异（如某个特殊点的正负）再判断。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　函数的概念与相同函数的判断　★★ 【例1-1】（2026·北京卷·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·江苏·南京·三模改编）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【例1-3】（2026·山东·青岛·模拟）下列关系中， 是 的函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列各组函数是同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【变式1-2】设集合 ，，则下列从 到 的对应 中，能构成函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】下列函数中，与函数 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】（2026·湖北·襄阳·模拟）已知函数 ，则下列各点中在函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】（2026·河南·郑州·模拟）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数 的定义域与值域分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1-6】设集合 ，，对应关系 为""，则下列说法正确的是（　　） A． 是 到 的函数 B． 不是函数，因为 中元素个数少于 C． 不是函数，因为 中有些数不是函数值 D． 是否为函数无法判断 重难点培优02　函数的定义域及其求法　★★ 【例2-1】（2026·安徽·合肥·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·辽宁·大连·模拟）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【例2-3】（2026·陕西·西安·模拟）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·浙江·温州·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】（2026·湖南·长沙·模拟）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　函数解析式的求法　★★★ 【例3-1】（2026·江西·南昌·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·山西·太原·模拟）已知一次函数 满足 ，则 （　　） A． B． 或 C． D． 【例3-3】（2026·广西·南宁·模拟）已知函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·云南·昆明·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知二次函数 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·福建·厦门·模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优04　函数的值域与最值　★★★ 【例4-1】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，（ 为常数），当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2026·贵州·贵阳·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】函数 （）的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】（2026·河北·石家庄·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】（2026·安徽·芜湖·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】函数 （）的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式4-6】（2026·广东·深圳·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　分段函数的求值与解不等式　★★★ 【例5-1】（2026·湖北·武汉·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·四川·成都·模拟）已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 或 【例5-3】（2026·福建·福州·模拟）已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-3】（2026·重庆·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式5-4】已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】（2026·山东·济南·模拟）已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【变式5-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优06　分段函数中的含参问题　★★★ 【例6-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2026·广东·广州·模拟）已知函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6-3】（2026·江苏·南通·模拟）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】（2026·浙江·宁波·模拟）已知函数 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【变式6-2】（2026·辽宁·沈阳·模拟）已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·江西·赣州·模拟）已知函数 在 上单调递增，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【变式6-5】（2026·湖南·株洲·模拟）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　抽象函数的赋值与性质推断　★★★★ 【例7-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ，，且当 时 ，则下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2025·全国一卷·高考真题）设 是定义在 上且周期为 的偶函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例7-3】（2026·河南·洛阳·模拟）已知 是定义在 上的函数，对任意 都有 ，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-3】（2026·湖南·岳阳·模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-4】已知函数 满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-5】（2026·河南·开封·模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-6】已知 是定义在 上的函数，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优08　函数图象的识别与变换　★★★★ 【例8-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题）函数 在区间 上的图象大致为（　　） A．图象关于 轴对称，且两侧向下延伸 B．图象关于原点对称，且两侧向下延伸 C．图象关于 轴对称，且两侧向上延伸 D．图象关于原点对称，且两侧向上延伸 【例8-2】（2026·天津卷·高考真题）已知函数 的图象关于原点对称，且在 上恒有 ，则 的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【例8-3】（2026·甘肃·兰州·模拟）把函数 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】函数 的图象可由 的图象经过怎样的变换得到（　　） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向上平移 个单位长度 D．向下平移 个单位长度 【变式8-2】已知函数 是偶函数，则 的图象关于（　　）对称 A． 轴 B．直线 C．直线 D．原点 【变式8-3】函数 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线 对称 D．关于点 对称 【变式8-4】（2026·黑龙江·哈尔滨·模拟）函数 的图象关于（　　）对称 A． 轴 B．原点 C．直线 D．点 【变式8-5】将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 3．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 4．【巩固】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】已知 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】下列说法正确的是（　　） A．函数 与 是同一函数 B． 与 是同一函数 C．函数 的值域为 D．函数 与 的定义域相同 10．【进阶】已知函数 ，则（　　） A． B． C． 的值域为 D． 在 上单调递增 11．【进阶】已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 为奇函数 C．若 ，则 D． 一定是 上的增函数 12．【培优】已知函数 是定义在 上的偶函数，且 为奇函数，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的一个周期为 D． 三、填空题 13．【巩固】函数 的定义域为 ______． 14．【进阶】已知 ，若 ，则 ______． 15．【进阶】函数 （）的值域为 ______． 16．【培优】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 与 的值； (2) 若 ，求实数 的值． 18．【培优】已知函数 ． (1) 求 的定义域； (2) 求 在区间 上的值域． 19．【培优】已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时 ． (1) 求 的值； (2) 求 在 上的解析式． 20．【培优】某公司生产一种产品的年固定成本为 万元，当年产量为 千件（）时，可变成本为 万元，且 已知每千件产品的售价为 万元，年利润为 万元（利润 销售收入 固定成本 可变成本）． (1) 求 的解析式； (2) 求该公司年利润的最大值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.1 函数的概念及其表示（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　函数的概念与三要素 4 知识点2　函数的定义域及其求法 5 知识点3　函数的值域与最值 6 知识点4　函数的表示法与分段函数 7 知识点5　抽象函数与函数图象的识别 8 四、重难点培优 10 重难点培优01　函数的概念与相同函数的判断　★★ 10 重难点培优02　函数的定义域及其求法　★★ 14 重难点培优03　函数解析式的求法　★★★ 17 重难点培优04　函数的值域与最值　★★★ 20 重难点培优05　分段函数的求值与解不等式　★★★ 23 重难点培优06　分段函数中的含参问题　★★★ 26 重难点培优07　抽象函数的赋值与性质推断　★★★★ 29 重难点培优08　函数图象的识别与变换　★★★★ 32 五、过关检测 36 一、单选题 36 二、多选题 38 三、填空题 40 四、解答题 41 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 函数的概念与三要素 了解构成函数的要素，会求简单函数的定义域与值域；能判断两个函数是否为同一函数 函数的定义域 掌握分式、偶次根式、对数、零次幂等限制条件，会求具体函数与抽象函数的定义域 函数的值域与最值 会用配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法等求常见函数的值域与最值 函数的表示法与分段函数 会根据不同需求选择解析法、列表法、图象法表示函数；能求分段函数的函数值，能解分段不等式 抽象函数与函数图象 能对抽象函数赋值、递推；能由定义域、奇偶性、特殊点识别函数图象，掌握图象变换 近三年高考真题对函数的概念与表示板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 含参分式函数的最大值，求参数 ★★★ 2026 全国二卷 T10 偶函数的周期性、对称性与函数值（多选） ★★★★ 2026 北京卷 奇函数且在定义域上单调递增的判断 ★★ 2026 天津卷 由函数的部分图象选择解析式 ★★★ 2026 上海卷 利用偶函数性质求参数（填空） ★★★ 2025 全国一卷 T5 周期为 的偶函数求函数值 ★★ 2025 全国二卷 T10 抽象函数的奇偶性与极值（多选） ★★★★ 2025 上海卷 T5 余弦型函数在给定区间上的值域 ★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 分段函数在 上恒增，求参数范围 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T8 抽象函数的递推与数值估计 ★★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T6 两函数图象恰有一个交点，求参数 ★★★ 2024 全国甲卷·理 由函数解析式识别函数图象 ★★ 考情分析 函数是高中数学的"龙骨"，也是高考每年必考的主干内容。近三年全国卷在这一板块呈"一小一大"分布：小题多为概念辨析、定义域值域、分段函数求值与图象识别，大题则常以抽象函数或含参函数为载体，与单调性、奇偶性、周期性交汇。从 2024—2026 年的命题看，选择题前段主打分段函数与函数值域（如 2024 新课标Ⅰ卷第 6 题、2026 全国一卷第 6 题），压轴位置则偏爱抽象函数的递推与估计（如 2024 新课标Ⅰ卷第 8 题）以及函数图象的识别与选择（如 2024 全国甲卷·理、2026 天津卷）。值得注意的是，2026 年试卷进一步强化"新定义＋递进设问"，把函数与集合融为一体，考查现场阅读理解与抽象迁移能力。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本板块的核心素养指向"数学抽象、数学运算与直观想象"。预测 2027 年高考仍以"三要素＋分段函数＋抽象函数"为主线，以"含参讨论、图象识别、实际情境建模"提升区分度。 复习目标 1．准确理解函数的概念与三要素，能依据"定义域与对应关系"判断两个函数是否为同一函数； 2．熟练求解各类函数的定义域与值域，掌握配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法等通性通法； 3．掌握分段函数的求值、解不等式与含参问题，做到"分段讨论、端点多验"，不漏不多； 4．能对抽象函数赋值与递推，能由定义域、奇偶性、特殊点识别函数图象并完成图象变换。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　函数的概念及其表示知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　函数的概念与三要素 设 是非空的实数集，如果按照某种确定的对应关系 ，使对于集合 中的任意一个数 ，在集合 中都有唯一确定的数 与之对应，那么就称 为从集合 到集合 的一个函数，记作 。函数的三要素如下表： 要素 内容 关键说明 定义域 自变量 的取值范围 定义域是函数研究的出发点，先定定义域再谈其他 对应关系 对 中任意 ，按法则 有唯一确定的 与之对应 允许"多对一"，不允许"一对多" 值域 所有函数值组成的集合 值域由定义域与对应关系共同决定，且值域 判断两个函数是否为同一函数，只需看定义域相同、对应关系相同，与自变量用什么字母、函数叫什么名称都无关。例如 与 是同一函数，而 与 不是。 【方法技巧】 1．判断"同一函数"用"两看"：一看定义域是否相同，二看对应关系是否相同，化简后的解析式相同但定义域不同，仍不是同一函数； 2．判断一个对应是否为函数，抓"任意性＋唯一性"： 中每个元素都要有像，且像必须唯一； 3．三要素中定义域与对应关系一旦确定，值域随之确定，因此比较两个函数无须比较值域。 【易错清单】 1．只比较化简后的解析式而忘记核对定义域： 与 的解析式"看起来一样"，但 的定义域不含 ，不是同一函数； 2．"一对多"不是函数：如 中 不是 的函数，因为一个 对应两个 ； 3．自变量用字母表示不影响函数本质， 与 、 都是同一函数。 知识点2　函数的定义域及其求法 求具体函数的定义域，就是把使解析式有意义的全部限制条件取交集。常见限制条件如下表： 解析式类型 限制条件 分式 偶次根式 对数 （ 且 ） 零指数幂 正切 抽象函数的定义域遵循"括号内整体等范围"原则：同一个对应关系 ，其括号内整体取值范围一致。若 的定义域为 ，则 中由 解得 的范围即为其定义域；反之，若 的定义域为 ，则 在 上的值域即为 的定义域。 【方法技巧】 1．求具体函数定义域"四查"：分式查分母不为零、偶次根式查被开方式非负、对数查真数为正、零次幂查底数非零； 2．多个限制条件必须同时满足取交集，先分别解出各条件，再在数轴上取公共部分； 3．抽象函数定义域口诀"括号内整体等范围"：先由"已知"确定括号内的取值区间，再由"所求"反解出自变量范围。 【易错清单】 1．定义域必须写成集合或区间形式，只写一个不等式不算完整答案； 2．求 定义域时，括号内整体要满足 的限制，不是自变量 直接代入原区间； 3．实际情境问题还要考虑变量的实际意义（如产量非负、人数为正整数），不可只作纯代数处理。 知识点3　函数的值域与最值 值域是函数值的集合 ，求值域的核心是在定义域上考察函数值的取值范围。常用方法如下表： 方法 适用情形与要点 观察法 简单函数直接由自变量范围归纳函数值范围 配方法 二次函数或可化为二次的函数，配方后结合定义域求值域 分离常数法 形如 的分式函数，可化为 换元法 含 的函数，令 化为二次或分式函数 基本不等式法 形如 的函数，注意"一正、二定、三取等" 单调性法 能判断单调性的函数，由端点函数值与单调性直接确定值域 【方法技巧】 1．求值域"先辨类型、再选方法"：二次看配方、分式看分离常数、带根号看换元、含 看基本不等式； 2．求值域必须以定义域为前提：先写清自变量的范围，再判断在定义域上函数值的增减趋势； 3．用基本不等式求最值时，务必验证"取等条件"能否在定义域内取到，取不到则改用单调性法。 【易错清单】 1．只求"顶点值"而不顾定义域端点：如 在 上值域为 ，而非 ； 2．换元后漏写新元的取值范围：令 必须补上 ，否则值域会扩大； 3．分离常数法求值域时，易漏掉"取不到"的那个值，如 的值域为 。 知识点4　函数的表示法与分段函数 函数的三种表示方法各有优势： 表示法 含义 特点 解析法 用数学式子表示对应关系 简明，便于计算，但不够直观 列表法 用表格列出自变量与函数值的对应 直接呈现数据，适用于数据较少的情形 图象法 用图象表示对应关系 直观，便于整体把握函数的性质 分段函数是在定义域的不同子集上用不同解析式表示的函数。要牢记：分段函数是一个函数，而不是几个函数；它的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集。求函数值要"先定区间、再代解析式"；解不等式要"分段讨论、各段取交集、总体取并集"。 【方法技巧】 1．求 类问题，按"由内向外、逐层代入"进行，每一步都要先判断内层结果落在哪一段； 2．解分段不等式（方程）的流程是"分段讨论 → 各段求交集 → 最后取并集"，分段点是分类讨论的分界； 3．作分段函数图象时先"分段画"，再"合并看"，特别关注分界点处函数值的高低与实心、空心。 【易错清单】 1．把分段函数当成几个函数分别研究，割裂了它的整体性，尤其在讨论单调性、值域时最易出错； 2．求 时未判断 所属区间，直接套用错误的一段解析式； 3．分界点处的函数值单独判断，含参时"分界点的函数值必须纳入不等式组"，漏掉即错。 知识点5　抽象函数与函数图象的识别 抽象函数没有具体解析式，求解靠赋值、递推与性质推断。常见的有：由 得周期 ；由 得图象关于直线 对称；由 得奇函数，由 得偶函数。函数图象的基本变换如下表： 变换 规律 平移变换 的图象由 向右平移 个单位得到， 向上平移 个单位 对称变换 与 的图象关于 轴对称， 关于 轴对称， 关于原点对称 翻折变换 把 轴下方的部分翻折到上方， 保留 轴右侧图象并对称到左侧 伸缩变换 横坐标变为原来的 ， 纵坐标变为原来的 倍 【方法技巧】 1．抽象函数求值"赋值法是通法"：令 、、 等特殊关系，先求出 、、 等关键值； 2．图象识别"四看排除法"：看定义域（有无断点）、看奇偶性（是否对称）、看特殊点（正负与零点）、看趋势（ 时走向）； 3．由 一类递推不等式，用"逐步递推＋放缩"估计函数值的增长速度。 【易错清单】 1．抽象函数赋值必须落在定义域内，赋值点超出定义域得到的结论无效； 2．由 作图象时，要去掉 轴左侧的原图象，只保留右侧并对称过去，切勿"左右都留"； 3．图象识别题的选项常"整体相似、细节不同"，必须抓住一处决定性差异（如某个特殊点的正负）再判断。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　函数的概念与相同函数的判断　★★ 【解题技巧】判断"相同函数"只做两步：一比定义域，二比对应关系，二者都相同即为同一函数，与自变量字母、函数名称无关。判断某个对应能否构成函数，抓"任意性＋唯一性"—— 中每个元素都要有像，且像必须唯一，允许"多对一"，不允许"一对多"。 【注意事项】本重难点的两个高频陷阱：①只看化简后的解析式，忘记核对定义域（如 与 ）；②误把"值域相同"当作同一函数的判据（值域由定义域和对应关系决定，不能反推）。另外要注意"从 到 的函数"还要求值域是 的子集。 【例1-1】（2026·北京卷·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】"奇函数"用 验证，"在定义域上单调递增"用单调性定义或基本初等函数性质判断，两个条件必须同时满足。 【解答过程】A 中 ，是偶函数，不符合题意； B 中 ，是奇函数，但 在 上并不单调递增（如在 上递减），不符合题意； C 中 ，是奇函数，但 在 上单调递减，不符合题意； D 中 ，是奇函数，且 在 上单调递增，符合题意。故选 D。 【例1-2】（2026·江苏·南京·三模改编）下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】B 【解题思路】逐一求出每组函数的定义域，再比较化简后的对应关系，两要素全同才是同一函数。 【解答过程】A 中 的定义域为 ，与 的定义域 不同，不是同一函数； B 中 ，且两者定义域均为 ，是同一函数； C 中 的定义域为 ，与 的定义域 不同，不是同一函数； D 中 的定义域为 ，与 的定义域 不同，不是同一函数。故选 B。 【例1-3】（2026·山东·青岛·模拟）下列关系中， 是 的函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把关系式化成 关于 的形式，检验是否满足"对每个 有唯一的 "。 【解答过程】A 中当 时 ，一个 对应两个 ，不是函数； B 中当 时 ，一个 对应两个 ，不是函数； C 中每个 对应唯一的 ，是函数； D 中当 时 ，一个 对应两个 ，不是函数。故选 C。 【变式1-1】下列各组函数是同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】D 【解题思路】逐组比较定义域与对应关系。 【解答过程】A 中 的定义域为 ，与 的定义域 不同； B 中 的定义域为 ，而 的定义域为 ，不同； C 中 的定义域为 ，与 的定义域 不同； D 中两函数定义域均为 ，对应关系也相同，是同一函数。故选 D。 【变式1-2】设集合 ，，则下列从 到 的对应 中，能构成函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】从 到 的函数须满足： 中每个 都有唯一的 ，且所有 都落在 内。 【解答过程】A 中 时 ，且每个 对应唯一的 ，能构成函数； B 中 时 无意义，不满足"任意性"； C 中""使一个 对应两个 ，不满足"唯一性"； D 中 ，而 ，不满足"值域是 的子集"。故选 A。 【变式1-3】下列函数中，与函数 表示同一函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先看定义域是否与 相同（均为 ），再看化简后的对应关系是否为 。 【解答过程】A 中 ，定义域为 ，与 相同，是同一函数； B 中定义域为 ，不同；C 中定义域为 ，不同； D 中 ，与 的对应关系不同。故选 A。 【变式1-4】（2026·湖北·襄阳·模拟）已知函数 ，则下列各点中在函数图象上的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】点在函数图象上等价于横坐标属于定义域且纵坐标等于对应函数值，逐项代入检验。 【解答过程】函数定义域为 。 A 中 ，不在图象上； B 中 ，在图象上； C 中 不在定义域内，不在图象上； D 中 不在定义域内，不在图象上。故选 B。 【变式1-5】（2026·河南·郑州·模拟）已知函数 的定义域为 ，值域为 ，则函数 的定义域与值域分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】平移变换只改变定义域，不改变值域： 的图象由 向左平移 个单位得到。 【解答过程】由 得 ，所以 的定义域为 ； 平移不改变函数值的取值范围，故其值域仍为 。故选 A。 【变式1-6】设集合 ，，对应关系 为""，则下列说法正确的是（　　） A． 是 到 的函数 B． 不是函数，因为 中元素个数少于 C． 不是函数，因为 中有些数不是函数值 D． 是否为函数无法判断 【答案】A 【解题思路】按"任意性＋唯一性"检验，并确认值域是 的子集。 【解答过程】，，， 中每个元素都有唯一确定的像，且值域 ，所以 是 到 的函数。元素个数多少与能否构成函数无关，故 B、C、D 均错。故选 A。 重难点培优02　函数的定义域及其求法　★★ 【解题技巧】求具体函数定义域用"四查"：分式查分母不为零、偶次根式查被开方式非负、对数查真数为正、零次幂查底数非零，最后取交集。求抽象函数定义域用"括号内整体等范围"：先由已知条件锁定括号内的取值区间，再由所求反解自变量范围。 【注意事项】三个易错点：①定义域必须写成集合或区间，不能只写不等式；②多个限制条件必须同时满足，取交集而非并集；③含参定义域问题要按参数分类讨论，"分母不为零"常对应"恒成立"。 【例2-1】（2026·安徽·合肥·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逐项列出限制条件：被开方式非负、分母不为零、真数为正，再取交集。 【解答过程】由偶次根式得 ，即 ； 由分式得 ，即 ； 由对数得 ，即 。 取交集得 且 ，即定义域为 。故选 B。 【例2-2】（2026·辽宁·大连·模拟）已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由"括号内整体等范围"得 ，再叠加分母不为零的限制。 【解答过程】因为 的定义域为 ，所以 中须 ，解得 ； 又分母不为零，即 。 取交集得定义域为 。故选 B。 【例2-3】（2026·陕西·西安·模拟）已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"已知定义域"是自变量 的范围，先由它求出括号内整体 的范围，该范围就是 的定义域。 【解答过程】因为 的定义域为 ，即 ， 所以 ，即 的括号内整体取值范围为 。 由"括号内整体等范围"知 的定义域为 。故选 A。 【变式2-1】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分母非零与被开方式非负同时成立。 【解答过程】由 在分母上，须 ，即 ，所以定义域为 。故选 B。 【变式2-2】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由被开方式非负列一元二次不等式，按"大于取两边"求"两根之外"。 【解答过程】由 得 ，解得 或 ， 所以定义域为 。故选 C。 【变式2-3】（2026·浙江·温州·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】被开方式非负、真数为正、分母不为零三个条件同时满足。 【解答过程】由 得 ； 由真数大于零得 ，即 ； 由分母不为零得 ，即 ，即 。 取交集得 且 ，即定义域为 。故选 B。 【变式2-4】已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由 的定义域求出 括号内的整体范围，再让 落入同一范围反解。 【解答过程】因为 的定义域为 ，即 ， 所以 ，即 括号内整体范围为 。 对 ，须 ，解得 ， 所以 的定义域为 。故选 B。 【变式2-5】（2026·湖南·长沙·模拟）若函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】定义域为 等价于 对一切 恒成立，分 与 讨论。 【解答过程】要使定义域为 ，须 对一切实数 恒成立。 当 时，不等式为 ，并非对一切 成立，舍去； 当 时，须开口向上且判别式为负，即 ，解得 。 综上，。故选 A。 重难点培优03　函数解析式的求法　★★★ 【解题技巧】求解析式"四法"要配对：已知函数类型用待定系数法；已知 用换元法（令 ）或配凑法（把右端凑成 的式子）；同时出现 与 （或 ）用方程组法。换元后务必注明新元的取值范围，它是解析式定义域的来源。 【注意事项】两个高频失分点：①换元法求出的解析式漏标定义域（如 中 ）；②方程组法构造第二个方程时"换了字母却没换结构"，正确做法是把原式中的 整体换成 （或 ），保持结构不变。 【例3-1】（2026·江西·南昌·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用换元法：令 ，反解出 关于 的表达式，代入右端，最后注明 的范围。 【解答过程】令 ，由 得 ，且 ，。 代入得 。 所以 。故选 A。 【例3-2】（2026·山西·太原·模拟）已知一次函数 满足 ，则 （　　） A． B． 或 C． D． 【答案】B 【解题思路】已知函数类型用待定系数法，设 ，代入恒等式比较系数。 【解答过程】设 ，则 。 由 得 。 当 时，，得 ，此时 ； 当 时，，得 ，此时 。 经检验两种情况均满足条件。故选 B。 【例3-3】（2026·广西·南宁·模拟）已知函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】方程组法：把原式中的 整体换成 得到第二个方程，两式消去 。 【解答过程】由 … ① 把 换成 得 … ② ①②得 ，所以 。故选 B。 【变式3-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 整体代入 的解析式。 【解答过程】。故选 A。 【变式3-2】（2026·云南·昆明·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用配凑法把右端凑成 的式子，再注意 的取值范围。 【解答过程】因为 ， 令 ，由基本不等式（或对勾函数性质）知 ， 所以 ，即 。故选 B。 【变式3-3】已知二次函数 满足 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设一般式 ，由 得 ，再由恒等式比较系数求 。 【解答过程】设 。由 得 。 ， 比较系数得 ，解得 。 所以 。故选 A。 【变式3-4】（2026·福建·厦门·模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】方程组法：把原式中 换成 得第二个方程，消去 。 【解答过程】由 … ① 把 换成 得 … ② ②①得 ，所以 。故选 A。 【变式3-5】已知 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令 ，反解得 ，代入右端化简，并注明 。 【解答过程】令 ，则 ，且由 知 。 。 所以 。故选 A。 【变式3-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求具体函数值可令括号内等于目标值，或先求解析式再代入。 【解答过程】令 ，得 ，所以 。故选 B。 重难点培优04　函数的值域与最值　★★★ 【解题技巧】求值域"先辨类型、再选方法"：二次函数看配方法、分式函数看分离常数法、带根号看换元法、形如 看基本不等式法、能判单调的看单调性法。无论用哪种方法，都要先锁定定义域，再在定义域上求函数值的取值范围。 【注意事项】①求值域必须紧扣定义域，端点值不能漏；②换元后要补写新元的取值范围，否则值域会被放大；③用基本不等式时"一正、二定、三取等"缺一不可，取等条件不在定义域内时须改用单调性法。 【例4-1】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】最大值条件等价于" 恒成立且能取到 "。由 给出 的必要范围，再用熟知的指数不等式证明可行性。 【解答过程】由选项知 ，此时 ，所以 等价于 。 取 ，由 得 。 当 时，由不等式 得 （当 时）。 可见 时 恒成立，最大值取不到 ，故只能 。 当 时，，且由 得 ，最大值为 ，符合题意。故选 B。 【例4-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，（ 为常数），当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把交点问题转化为方程 的解，再把问题化为"水平直线与函数图象恰有一个公共点"，利用偶函数与对称性求参数。 【解答过程】由 得 ，整理得 ，即 ， 所以 。 设 ，则 是偶函数，图象关于 轴对称。 当 时，直线 与曲线 恰有一个交点，等价于直线与曲线在 处相切（其余位置成对出现）。 代入 得 。故选 D。 【例4-3】（2026·贵州·贵阳·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先分离常数，把函数化为 ，再由 推出 的范围。 【解答过程】。 由 得 ，所以 ，从而 。 所以值域为 。故选 A。 【变式4-1】函数 （）的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】配方后结合定义域端点求最值。 【解答过程】。当 时， 处取最小值 ， 处取最大值 ， 所以值域为 。故选 A。 【变式4-2】（2026·河北·石家庄·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离常数后观察"取不到"的常数。 【解答过程】，由于 ，所以 ， 即值域为 。故选 A。 【变式4-3】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接用基本不等式，并验证取等条件。 【解答过程】因为 ，所以 ， 当且仅当 ，即 时取等号，故最小值为 。故选 B。 【变式4-4】（2026·安徽·芜湖·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先定定义域，再对 平方，转化为求二次函数在区间上的值域。 【解答过程】由 且 得定义域为 。 。 令 ，当 时 ， 所以 ，（）。故选 A。 【变式4-5】函数 （）的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】配方求对称轴，比较对称轴与区间端点的函数值。 【解答过程】。当 时， 处取最大值 ， 处取最小值 ， 所以值域为 。故选 A。 【变式4-6】（2026·广东·深圳·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用判别式法：把 视为常数，化为关于 的二次方程，由方程有实根得 ；再单独讨论 的情形。 【解答过程】当 时，，可以取到。 当 时，由 得 ，该方程有实根，故 ，解得 。 综上，值域为 。故选 A。 重难点培优05　分段函数的求值与解不等式　★★★ 【解题技巧】分段函数"先定区间、再代解析式"：求值的核心是判断自变量落在哪一段；求 用"由内向外、逐层代入"；解分段不等式（方程）走"分段讨论 → 各段求交集 → 总体取并集"三步。 【注意事项】①分段函数是一个函数，定义域是各段的并集，切勿割裂研究；②分界点处的函数值必须单独判断，最容易漏判或错判；③分段求解后"并集"与"交集"不能混淆：段内限制与解集取交集，各段结果之间取并集。 【例5-1】（2026·湖北·武汉·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由内向外：先判断 属于哪一段求出 ，再判断该值属于哪一段。 【解答过程】因为 ，所以 。 因为 ，所以 。故选 B。 【例5-2】（2026·四川·成都·模拟）已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】A 【解题思路】按 所属区间分段讨论，求出候选值后必须用该区间条件回代检验。 【解答过程】当 时，，得 ，与 矛盾，舍去； 当 时，，得 或 ，其中 与 矛盾，舍去，故 。 综上，。故选 A。 【例5-3】（2026·福建·福州·模拟）已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分 与 两段分别解不等式，各段结果与段内限制取交集，最后取并集。 【解答过程】当 时， 等价于 （因 单调递增），此时解为 ； 当 时， 等价于 ，与 取交集得 。 两段取并集得 ，即解集为 。故选 C。 【变式5-1】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断 属于哪一段，再代对应解析式。 【解答过程】因为 ，所以 。故选 A。 【变式5-2】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由内向外逐层代入。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 。故选 A。 【变式5-3】（2026·重庆·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由内向外逐层代入，注意每层都要重新判断所属区间。 【解答过程】因为 ，所以 ； 因为 ，所以 。故选 C。 【变式5-4】已知 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分段讨论，注意分界点 处函数值不满足不等式。 【解答过程】当 时， 恒成立，此时解为 ； 当 时，，结合 得 。 两段取并集得 或 ，即解集为 。故选 A。 【变式5-5】（2026·山东·济南·模拟）已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解题思路】分段讨论求 ，每段结果都要用段内限制检验。 【解答过程】当 时，，得 （ 舍去）； 当 时，，得 ，符合 。 综上， 或 。故选 D。 【变式5-6】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由内向外逐层代入。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 。故选 B。 重难点培优06　分段函数中的含参问题　★★★ 【解题技巧】分段函数含参问题的通用流程：①逐段考察性质（单调性、值域、零点）→ ②在分界点处列出"左右衔接"的不等式 → ③解不等式组并回代检验。单调性问题要同时管住"每段内部的单调性"与"分界点的高低"，两者缺一不可。 【注意事项】三个易错点：①只顾段内单调、忘记分界点处的函数值比较，是最高频失分点；②开区间端点不能取等号，闭区间端点要取等号；③含参分段函数求值域为 时，要检验两段值域的并集确实覆盖整个 ，不能有"缺口"。 【例6-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分两步：先由 段的二次函数单调性得 ，再由分界点处"左段不大于右段"得 ，取交集。 【解答过程】当 时， 是开口向下的二次函数，其对称轴为 。 要使它在 上单调递增，须对称轴位于 的右侧或与 重合，即 ，得 … ① 当 时，，其中 与 均单调递增，故该段在 上单调递增。 在分界点 处，须左段的"接续值"不超过 ，即 ，得 … ② 由 ①② 取交集得 。故选 B。 【例6-2】（2026·广东·广州·模拟）已知函数 是 上的减函数，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别管住两段的递减性，再在分界点 处列出"左段不小于右段"的不等式。 【解答过程】当 时， 递减，须 ，即 ； 当 时， 递减，须 。 两者取交集得 … ① 在分界点 处，须左段接续值不小于 ，即 ，得 ，即 … ② 由 ①② 得 。故选 B。 【例6-3】（2026·江苏·南通·模拟）已知函数 的值域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先分别求两段的值域，再由两段值域的并集恰为 列出端点不等式。 【解答过程】当 时，，其值域为 （在 处取到 ， 时趋于 ）； 当 时， 单调递减，其值域为 。 要使整个函数的值域为 ，须 ， 即区间 要覆盖 中所有数，故 （当 时 与 已覆盖 ）。 所以 。故选 A。 【变式6-1】（2026·浙江·宁波·模拟）已知函数 ，若 ，则 （　　） A． B． C． D． 或 【答案】D 【解题思路】分段讨论求 ，每段结果用段内限制检验。 【解答过程】当 时，，得 （ 舍去）； 当 时，，得 。 综上， 或 。故选 D。 【变式6-2】（2026·辽宁·沈阳·模拟）已知函数 在 上单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两段均为一次函数，只需保证斜率小于零，再在分界点处比较左右函数值。 【解答过程】当 时， 递减；当 时， 递减。 在分界点 处，须左段值不小于右段接续值，即 ，解得 。故选 A。 【变式6-3】（2026·江西·赣州·模拟）已知函数 在 上单调递增，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由 段递增得 ，再由分界点处左右衔接得 ，取交集。 【解答过程】当 时，，其在 上递增，故须 ； 当 时， 递增。 在分界点处须 ，即 ，解得 。 与 取交集得 。故选 A。 【变式6-4】已知 ，若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】分段讨论求 ，每段结果用段内限制检验。 【解答过程】当 时，，得 ，即 ； 当 时，，得 ，即 （ 舍去）。 综上， 或 。故选 C。 【变式6-5】（2026·湖南·株洲·模拟）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两段均递增，只需在分界点处保证左段接续值不超过 。 【解答过程】当 时， 递增；当 时， 递增。 在分界点 处，须左段接续值不超过 ，即 ，解得 。故选 A。 重难点培优07　抽象函数的赋值与性质推断　★★★★ 【解题技巧】抽象函数"赋值是通法、递推是利器"：令 、、 等特殊关系，先求出 、、 等关键值；由 得周期；由 得奇函数；遇到 这类递推不等式，用"逐步递推＋放缩"估计函数值的增长。 【注意事项】三个关键点：①赋值点必须落在定义域内，越界赋值得到的结论无效；②"估值"类问题要逐项递推、保留足够余量，不能凭直觉下结论；③单调性与奇偶性的关系要分区间讨论，不能想当然。 【例7-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ，，且当 时 ，则下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知条件把 看作数列 ，利用 逐步递推（放大估计），比较目标选项所需的数量级。 【解答过程】由 时 得 ，。 记 ，则 ，，且 。 逐步递推：，，，，，，，， ，，，，，， ，，，。 所以 一定成立，B 正确。 由于递推只给出下界而给出不了上界， 不能推出 ，故 A 不一定正确； 同样 的取值可以无限增大，故 、 都不一定成立。故选 B。 【例7-2】（2025·全国一卷·高考真题）设 是定义在 上且周期为 的偶函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用偶函数把负自变量化为正自变量，再用周期 把自变量平移到已知区间 内。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 。 因为 的周期为 ，所以 。 因为 ，所以 。 所以 。故选 A。 【例7-3】（2026·河南·洛阳·模拟）已知 是定义在 上的函数，对任意 都有 ，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由 知周期为 ，把 化归到 内再求值。 【解答过程】由 知 的周期为 。 因为 ，所以 。 又 ，故 。故选 B。 【变式7-1】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再用奇函数性质 。 【解答过程】，由奇函数性质得 。故选 A。 【变式7-2】已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用周期把 化归到 。 【解答过程】由周期为 得 ，而 ，所以 。故选 B。 【变式7-3】（2026·湖南·岳阳·模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 得周期 ，再用 的奇偶性化归。 【解答过程】由 知 ，即周期为 。 ，所以 。故选 C。 【变式7-4】已知函数 满足 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由 知 为奇函数，取 得 。 【解答过程】由 知 是奇函数，取 得 ，即 。 又 ，所以 。故选 B。 【变式7-5】（2026·河南·开封·模拟）已知定义在 上的函数 满足 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接把 代入所给恒等式。 【解答过程】令 ，由 得 。故选 A。 【变式7-6】已知 是定义在 上的函数，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 递推得 ，取 求解。 【解答过程】由 可得 。故选 C。 重难点培优08　函数图象的识别与变换　★★★★ 【解题技巧】图象识别用"四看排除法"：一看定义域（有无断点）、二看奇偶性（是否对称）、三看特殊点（正负与零点）、四看趋势（ 时走向）。图象变换记熟"左加右减在括号内、上加下减在括号外"，翻折变换注意" 是去左留右再翻折"。选择题常"整体相似、细节不同"，抓住一处决定性差异即可锁定答案。 【注意事项】三个易错点：① 应去掉 轴左侧原图象，只保留右侧并对称过去，切勿"左右都留"；②平移对象是自变量 ，遇到 一类要先提出系数再平移；③判断奇偶性前必须先看定义域是否关于原点对称，定义域不对称则函数既非奇也非偶。 【例8-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题）函数 在区间 上的图象大致为（　　） A．图象关于 轴对称，且两侧向下延伸 B．图象关于原点对称，且两侧向下延伸 C．图象关于 轴对称，且两侧向上延伸 D．图象关于原点对称，且两侧向上延伸 【答案】A 【解题思路】先判奇偶性确定对称性，再由 较大时各部分的增长快慢判断图象的总体走向。 【解答过程】因为 是奇函数， 是奇函数，所以它们的乘积 是偶函数； 又 是偶函数，故 是偶函数，图象关于 轴对称，排除 B、D。 当 从 增大到 时， 起主导作用且下降很快，故右侧图象向下延伸；由对称性左侧也向下延伸，排除 C。 所以图象应关于 轴对称且两侧向下延伸。故选 A。 【例8-2】（2026·天津卷·高考真题）已知函数 的图象关于原点对称，且在 上恒有 ，则 的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】"图象关于原点对称"即 为奇函数，"在 上恒有 "即正半轴函数值为负，逐项验证这两个条件。 【解答过程】A 中 是奇函数，但当 时 ，不符合； B 中 是奇函数，但当 时 ，不符合； C 中 是奇函数，但当 时 ，不符合； D 中 ，当 时 ，且 为奇函数，符合全部条件。故选 D。 【例8-3】（2026·甘肃·兰州·模拟）把函数 的图象向右平移 个单位长度，再向上平移 个单位长度，所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"左加右减"作用于自变量 ，"上加下减"作用于整个函数值。 【解答过程】向右平移 个单位长度，得 ；再向上平移 个单位长度，得 。故选 A。 【变式8-1】函数 的图象可由 的图象经过怎样的变换得到（　　） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向上平移 个单位长度 D．向下平移 个单位长度 【答案】A 【解题思路】由 是 右移 个单位判断。 【解答过程】，相当于把 的图象向右平移 个单位长度得到。故选 A。 【变式8-2】已知函数 是偶函数，则 的图象关于（　　）对称 A． 轴 B．直线 C．直线 D．原点 【答案】C 【解题思路】偶函数图象关于 轴对称， 由 左移 个单位得到，对称轴随之左移。 【解答过程】 的图象关于直线 对称，向左平移 个单位长度得 ，其对称轴为 。故选 C。 【变式8-3】函数 的图象（　　） A．关于 轴对称 B．关于原点对称 C．关于直线 对称 D．关于点 对称 【答案】A 【解题思路】先看定义域是否关于原点对称，再用 与 的关系判断。 【解答过程】定义域为 ，关于原点对称。因为 ，所以 是偶函数，图象关于 轴对称。故选 A。 【变式8-4】（2026·黑龙江·哈尔滨·模拟）函数 的图象关于（　　）对称 A． 轴 B．原点 C．直线 D．点 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再用 与 的关系判断奇偶性。 【解答过程】由 得 ，定义域关于原点对称。 ，故 是偶函数，图象关于 轴对称。故选 A。 【变式8-5】将函数 图象上所有点的横坐标变为原来的 （纵坐标不变），所得图象对应的函数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】横坐标缩短为原来的 （）对应把 换成 。 【解答过程】横坐标变为原来的 ，即 ，所得函数为 。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】被开方式非负与分母不为零同时满足，取交集。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 取交集得 且 ，即定义域为 。故选 C。 2．【巩固】下列各组函数中，表示同一函数的是（　　） A． 与 B． 与 C． 与 D． 与 【答案】D 【解题思路】逐组比较定义域与对应关系，二者都相同才是同一函数。 【解答过程】A 中 的定义域为 ，与 的定义域 不同； B 中 ，与 的对应关系不同； C 中 的定义域为 ，与 的定义域不同； D 中 ，两函数定义域均为 ，是同一函数。故选 D。 3．【巩固】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由内向外逐层代入，每层重新判断所属区间。 【解答过程】因为 ，所以 ；因为 ，所以 。故选 A。 4．【巩固】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离常数后由 推出分式的范围。 【解答过程】。由 得 ，所以 ， 从而 ，即值域为 。故选 A。 5．【进阶】已知函数 的定义域为 ，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由已知定义域求出括号内整体 的范围，即为 的定义域。 【解答过程】因为 的定义域为 ，即 ， 所以 ，故 的定义域为 。故选 A。 6．【进阶】已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先管住 段 的递增性，再在分界点处比较左右函数值。 【解答过程】当 时， 在 上递增，故须 ； 当 时， 递增。 在分界点处须 ，即 ，对一切 恒成立。 所以只需 。故选 C。 7．【进阶】已知 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】换元法：令 ，反解 ，代入化简并注明 的范围。 【解答过程】令 ，由 得 ，且 ，。 ， 所以 。故选 B。 8．【进阶】已知定义在 上的偶函数 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由周期为 把 化归到 内求值。 【解答过程】由 知周期为 。，所以 。故选 D。 二、多选题 9．【进阶】下列说法正确的是（　　） A．函数 与 是同一函数 B． 与 是同一函数 C．函数 的值域为 D．函数 与 的定义域相同 【答案】BC 【解题思路】逐项核对"定义域与对应关系"两要素，值域由定义域与对应关系共同决定。 【解答过程】A 中 的定义域为 ，与 的定义域 不同，错误； B 中两函数定义域均为 ，对应关系也相同，是同一函数，正确； C 中 ，值域为 ，正确； D 中 的定义域为 ， 的定义域为 ，不相同，错误。故选 BC。 10．【进阶】已知函数 ，则（　　） A． B． C． 的值域为 D． 在 上单调递增 【答案】AC 【解题思路】逐项求值或求值域：先分段处理，再取并集。 【解答过程】A 中 ，正确； B 中 ，，所以 ，错误； C 中当 时 ，当 时 ，两段取并集得 ，正确； D 中 时 单调递减，故 在 上不单调递增，错误。故选 AC。 11．【进阶】已知函数 的定义域为 ，且满足 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 为奇函数 C．若 ，则 D． 一定是 上的增函数 【答案】ABC 【解题思路】用赋值法求 、，再由递推求 ；单调性不能由该关系式确定。 【解答过程】A 中令 ，得 ，故 ，正确； B 中令 ，得 ，即 ， 为奇函数，正确； C 中 ，正确； D 中满足该关系式的函数未必单调递增（如 也满足），错误。故选 ABC。 12．【培优】已知函数 是定义在 上的偶函数，且 为奇函数，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的一个周期为 D． 【答案】ACD 【解题思路】由 为偶函数、 为奇函数写出两个恒等式，联立消元导出周期与关键函数值。 【解答过程】因为 为奇函数，所以 ，即 … ① 又 为偶函数，所以 … ② 由 ①② 得 ，令 得 ，从而 ， 即 的一个周期为 ，C 正确。 在 中取 得 ，取 得 ， 联立得 ，故 ，A 正确。 取 得 ，故 ，D 正确。 由周期为 得 ，而 ，B 错误。故选 ACD。 三、填空题 13．【巩固】函数 的定义域为 ______． 【答案】 【解题思路】被开方式非负与分母不为零同时满足，取交集。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 取交集得定义域为 。 14．【进阶】已知 ，若 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】分段讨论求 ，每段结果用段内限制检验。 【解答过程】当 时，，得 ，与 矛盾，舍去； 当 时，，得 （ 舍去）。 综上，。 15．【进阶】函数 （）的值域为 ______． 【答案】 【解题思路】配方后比较对称轴与区间端点的函数值。 【解答过程】。当 时， 处取最小值 ， 处取最大值 ， 所以值域为 。 16．【培优】已知函数 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】先求 ，再用奇函数性质求 。 【解答过程】，由奇函数性质得 。 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 与 的值； (2) 若 ，求实数 的值． 【答案】(1) ，；(2) 或 ． 【解题思路】(1) 按自变量所属区间分别代入；(2) 分段讨论，求出候选值后用段内限制检验。 【解答过程】(1) 因为 ，所以 ； 因为 ，所以 。 (2) 当 时，，即 ，解得 （舍去）或 ； 当 时，，即 ，解得 。 综上， 或 。 18．【培优】已知函数 ． (1) 求 的定义域； (2) 求 在区间 上的值域． 【答案】(1) ，即 ；(2) ． 【解题思路】(1) 由分母不为零得定义域；(2) 分离常数后结合区间求范围。 【解答过程】(1) 由 得 ，所以定义域为 。 (2) 。 当 时，，所以 ， 从而 ，即值域为 。 19．【培优】已知函数 是定义在 上的偶函数，当 时 ． (1) 求 的值； (2) 求 在 上的解析式． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 用偶函数性质把负自变量化为正自变量；(2) 设 则 ，代入已知解析式后利用 。 【解答过程】(1) ，由 是偶函数得 。 (2) 当 时，； 当 时，，所以 ， 又 ，故 时 。 所以 。 20．【培优】某公司生产一种产品的年固定成本为 万元，当年产量为 千件（）时，可变成本为 万元，且 已知每千件产品的售价为 万元，年利润为 万元（利润 销售收入 固定成本 可变成本）． (1) 求 的解析式； (2) 求该公司年利润的最大值． 【答案】(1) ；(2) 最大年利润为 万元． 【解题思路】(1) 分段写出利润函数，注意每段的定义域；(2) 分别在两段上求最大值，再比较取较大者。 【解答过程】(1) 当 时，； 当 时，。 所以 。 (2) 当 时，，在 处取最大值 （万元）； 当 时， 单调递增，在 处取最大值 （万元）。 比较两段最大值，，所以该公司年利润的最大值为 万元。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $