4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念（精讲）-备战2027年高考数学一轮复习（全国通用）

该高中数学高考复习讲义围绕任意角、弧度制及三角函数概念等核心考点，以知识梳理（角的分类、弧度制公式、三角函数定义）为基础，通过典例精讲（象限角判断、弧长与扇形面积计算等六类题型）和真题训练，构建“概念-方法-应用”体系，帮助学生系统突破易错点。 资料注重核心素养培养与高效复习，如典例二通过扇形周长与面积关系建立函数模型，培养数学思维中的推理能力，典例三结合终边上点的坐标强化数学语言表达。设置阶梯式例题与常用结论速记，助力学生掌握高频考点，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念（精讲） 第一部分：知识复习 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长，r表示半径) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝αR(R是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角) 扇形面积公式 S＝lR＝αR2(R是圆半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，l是扇形弧长，S是扇形面积) 【注意】在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α 正切 叫做α的正切函数，记作tan α (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． [常用结论] 1．三角函数值在各象限的符号规律 一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．象限角 3．轴线角 4．若α∈，则tan α>α>sin α. 第二部分：典型例题 典例一：象限角、区域角、终边相同的角 1．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 【答案】A 【分析】通过举反例否定B，C，D，证明A． 【详解】对于A，锐角是大于小于的角，是第一象限角，A正确； 对于B，，但不是锐角，B错误； 对于C，是第二象限角，但不是钝角，C错误； 对于D，是第一象限角，可以是负角，D错误． 2．（25-26高三上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 【答案】(1)； (2). 【分析】结合图形，由终边相同的角的集合，即可得到结果. 【详解】（1）因为的终边相同，，所以阴影部分所表示的区域位于与之间且跨越x轴的正半轴，所以终边落在阴影部分的角的集合为. （2）因为，，阴影部分所表示的区域由两部分组成，所以终边落在阴影部分的角的集合为 . 3．（25-26高三上·重庆·阶段检测）（多选）若是第四象限角，则（    ） A．是第二象限角 B．是第一象限角 C．是第一象限角 D．是第四象限角 【答案】BC 【详解】因为是第四象限角，所以， 则，所以是第一象限角，故B正确； 而，所以是第三象限角，故A错误； 而，则是第一象限角，故C正确； 而，则是第三象限角，故D错误. 4．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 【答案】(1)第二象限或第四象限的角 (2)第一象限或第二象限或轴的正半轴 【分析】（1）由题意得出，可求出的取值范围，对分奇数和偶数两种情况讨论，可得出终边的位置； （2）求出的取值范围，可得出角终边的位置. 【详解】（1）因为是第三象限角，所以， 所以， 当为偶数时，设，则， 此时为第二象限角， 当为奇数时，设，则， 此时为第四象限角. 综上所述，是第二象限或第四象限的角． （2）因为， 所以， 即角终边在第一象限或第二象限或轴的正半轴． 5．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角比1°的角大 B．第一象限角一定是锐角 C．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 D．若是第二象限角，则也是第二象限角 【答案】AC 【分析】A选项，根据角度与弧度的互化即可比较大小；B选项，根据第一象限角的集合判断；C选项，按照角的概念判断；D选项，写出第二象限角的集合，算出即可判断其象限. 【详解】A选项，，故A选项正确； B选项，第一象限角的集合为，故B选项错误； C选项，时钟经过四个小时，时针转过的角度是，因为时针是按照顺时针方向转动，所以时针转过的角度是，故C选项正确； D选项，若是第二象限角，则，则 ，所以位于第一或者第三象限.故D选项错误. 6．（25-26高三上·江西吉安·期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，找出边界对应的角，即可写出集合. 【详解】由图象知，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是， 故选：C 典例二：弧长公式与扇形面积公式 7．（25-26高三上·河南开封·开学考试）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，可得弧长、半径和圆心角的关系，结合面积公式，即可得答案. 【详解】设扇形的半径为r，弧长为l， 则，解得， 所以. 8．（25-26高三上·江苏南通·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为（   ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【详解】因为圆心角为， 所以. 9．（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）圆心角为，半径为1的扇形，则扇形面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用扇形的面积公式求解即可. 【详解】圆心角为，半径为1的扇形， 扇形面积为 10．（25-26高三上·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 【答案】(1)； (2)圆心角，面积的最大值为. 【分析】（1）利用弧长公式可得答案； （2）利用扇形的周长和面积公式，结合二次函数可得答案. 【详解】（1）， ∴扇形的弧长； （2）由已知得，，所以，因为，所以， 所以扇形的面积，， 所以当时，面积取得最大值， 此时，圆心角. 11．（25-26高三上·江西九江·期中）已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用扇形周长公式、弧长公式求出半径和弧长，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】设扇形的半径为，弧长为，已知圆心角， 由题意可得， ，解得，； 代入扇形面积公式，计算得. 12．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接根据弧长公式进行计算即可； （2）根据扇形面积公式求解； （3）由题意知，可得，然后结合二次函数的最值求解即可. 【详解】（1）． （2）． （3）由已知得，， 所以． 所以当时，S取得最大值， 此时． 典例三：由终边或终边上的点求三角函数 13．（25-26高三上·上海徐汇·期末）若点是角终边上的一点，则 _________． 【答案】 【详解】已知角终边上的一点，则， ． 14．（2026·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则____；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为____． 【答案】 【详解】由三角函数定义知：； ，，，， 点的纵坐标为. 15．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则________. 【答案】/ 【详解】因为，所以点在单位圆上， 所以， 因此. 16．（25-26高三上·北京·期中）平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】借助三角函数定义及二倍角公式计算即可得. 【详解】由题意可得，， 则. 17．（25-26高三上·上海·期末）若角的终边过点 ，则 ______. 【答案】 【详解】因为角的终边过点，所以，则. 18．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 【答案】 【详解】设，则以为终边的角为， 又，， 所以， 所以点的横坐标为    典例四：由三角函数值求终边上的点或参数 19．（25-26高三上·上海·寒假作业）已知角的终边上有一点，且，求：的值 【答案】或 【分析】由三角函数的定义可得的值，为第一象限角和第二象限角两种情况分别求解即可. 【详解】由已知， 又，所以，所以是第一或第二象限角， 当为第一象限角时，，，则， 当为第二象限角时，，，则. 20．（25-26高三上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点. (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，将绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据三角函数的定义列方程求解即可. （2）根据两角和的正弦、余弦公式求解即可. 【详解】（1）由题意得，则. 根据三角函数定义，. 又因为，所以： 因为是第二象限角，，两边约去得： 两边平方得：，解得. 因为是第二象限角，所以.故. （2）由（1）知，则. 所以. 设旋转后的角为，则.设，则： ∴点的坐标. 21．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据任意角的三角函数定义求出即可求出，再根据角的终边在第二象限即可求出. 【详解】由题意可得，得或， 因角的终边在第二象限，则. 故选：A 22．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 【答案】（1）若，则；若，则．（2） 【分析】（1）利用三角函数的定义进行求解即可； （2）利用任意角的余弦函数的定义，求得，即可求得的值. 【详解】（1）， ①若，则，角是第二象限角， 所以， 所以． ②若，则，角是第四象限角， 所以． 所以． 综上，若，则；若，则． （2）由题意知， 由三角函数定义得． 又． ，，. 所以． 23．（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 【答案】 【分析】根据三角函数的定义计算. 【详解】由题意可得，，得. 故答案为：. 24．（2027高三·全国·专题练习）设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由三角函数的定义可得，故要想求的值需要先求出的值，可由求出的值，进一步求出. 【详解】因为是第二象限角，所以，即． 又，解得（舍去）， 所以． 故选：. 典例五：各象限角三角函数值的符号 25．（25-26高三上·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】角是第二象限的角，则，，，. 26．（25-26高三上·四川成都·期末）（多选）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】BCD 【分析】由为第二象限角即可判断三角函数值的符号. 【详解】因为为第二象限角，则, 所以或或,所以B、C、D选项正确, 对于A选项 ，由于，所以该选项错误. 故选：BCD 27．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知点位于第二象限，则角是第______象限角． 【答案】四 【分析】由点位于第二象限，得到，根据三角函数值得正负判断出所在的象限即可得解. 【详解】点位于第二象限， ，， 满足时，为第三四象限角，满足时，为第一四象限角， 满足条件的为第四象限角， 点位于第二象限，角是第四象限角. 故答案为：四. 28．（25-26高三上·四川南充·期末）“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由可得且，是第三、四象限角，再结合充分条件和必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由可得：且， 所以是第三或第四象限角， 所以“角θ是第四象限角”能推出“”， “”不能推出“角θ是第四象限角”， 所以“角θ是第四象限角”是“”的充分不必要条件. 故选：B. 29．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知角在第二象限，则（填“，或”）______ 【答案】 【分析】先明确各象限内三角函数值的正负性，再根据 “同号得正，异号得负” 的原则判断式子的正负即可. 【详解】因为角在第二象限，根据三角函数的符号规律： 所以，，， 所以. 答案为：. 30．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】由即可判断. 【详解】因为，所以弧度角为第二象限的角， 所以， 即点位于第三象限， 故选：C 典例六：单位圆的问题 31．（25-26高三上·新疆克拉玛依·期末）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后到达点Q，则点Q的横坐标为______________. 【答案】/ 【分析】运用余弦函数的定义进行求解即可. 【详解】设坐标为的点为，设单位圆与横轴正半轴的交点为 所以， 因为点P从点出发，沿单位圆逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后到达点Q， 所以， 所以， 所以点Q的横坐标为. 故答案为： 32．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，在单位圆中应用三角函数线，如下图所示， 所以，即. 33．（25-26高三上·全国·课后作业）利用三角函数线，求满足下列条件的角的集合． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】画出相应的三角函数线，分别写出满足（1）、（2）、（3）的条件即可. 【详解】（1）如图所示， 过点和原点作直线，交单位圆于点和，则角的终边在直线上， 所以满足条件的角的集合是. （2）如图所示： 过点作轴的平行线，交单位圆于点和，连接， 则，所以， 所以满足条件的角的集合是. （3）如图所示： 过点作轴的垂线，与单位圆交于点和，则， 所以满足条件的角的集合是. 34．（25-26高三上·全国·课后作业）（多空）利用三角函数线比较下列各组数的大小（用“>”或“<”连接）： （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 > > < 【详解】作出和的三角函数线，如图所示，根据三角函数线得： ，，. 35．（25-26高三上·全国·课后作业）若，则的大小关系是______． 【答案】 【分析】通过单位圆中三角函数线比较三角函数值的大小 【详解】如图所示，在单位圆中，作出内的一个角及其余弦线、正弦线、正切线．由图知，， ，即． 36．（25-26高三上·湖北·期中）（多选）已知，下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】当时即可判断A；利用作商法即可判断B；当趋于0时即可判断C；结合三角函数的定义即可判断D. 【详解】A：当时，，故A错误； B：因为，所以， 则，即，故B正确； C：当趋于0时，趋于0，趋于1，故C错误； D：如图，在单位圆中，为的终边，点， 由图可知，所对的弧长大于点的纵坐标，即，故D正确. 故选：BD 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1 任意角和弧度制及三角函数的概念（精讲） 第一部分：知识复习 1．角的概念 (1)定义：角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形． (2)分类：①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． (3)相反角：我们把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角．角α的相反角记为－α. (4)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和． 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度单位用符号rad表示，读作弧度． (2)公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长，r表示半径) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝° 弧长公式 弧长l＝αR(R是圆的半径，α(0＜α＜2π)为圆心角) 扇形面积公式 S＝lR＝αR2(R是圆半径，α(0＜α＜2π)为圆心角，l是扇形弧长，S是扇形面积) 【注意】在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．任意角的三角函数 (1)定义 前提 如图，设α是一个任意角，α∈R，它的终边OP与单位圆交于点P(x，y) 定义 正弦 y叫做α的正弦函数，记作sin α 余弦 x叫做α的余弦函数，记作cos α 正切 叫做α的正切函数，记作tan α (2)定义的推广 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)． [常用结论] 1．三角函数值在各象限的符号规律 一全正，二正弦，三正切，四余弦． 2．象限角 3．轴线角 4．若α∈，则tan α>α>sin α. 第二部分：典型例题 典例一：象限角、区域角、终边相同的角 1．（25-26高三上·江西上饶·阶段检测）下面四个命题中，正确的是（   ） A．锐角一定是第一象限角 B．小于的角一定是锐角 C．第二象限角是钝角 D．第一象限的角一定不是负角 2．（25-26高三上·上海·课堂例题）用弧度制表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分的角的集合（不包括边界），如图所示. (1) (2) 3．（25-26高三上·重庆·阶段检测）（多选）若是第四象限角，则（    ） A．是第二象限角 B．是第一象限角 C．是第一象限角 D．是第四象限角 4．（25-26高三上·全国·阶段检测）已知角是第三象限角．求： (1)角是第几象限的角． (2)角终边的位置． 5．（25-26高三上·四川南充·阶段检测）（多选）下列说法正确的是（   ） A．1弧度的角比1°的角大 B．第一象限角一定是锐角 C．时钟经过四个小时，时针转过的角度是 D．若是第二象限角，则也是第二象限角 6．（25-26高三上·江西吉安·期中）如图，终边在阴影部分（含边界）的角的集合是（    ） A． B． C． D． 典例二：弧长公式与扇形面积公式 7．（25-26高三上·河南开封·开学考试）已知扇形的圆心角为，面积为，则该扇形的弧长为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高三上·江苏南通·期末）已知弧长为的弧所对的圆心角为，则这条弧所在圆的半径为（   ） A．6 B． C． D． 9．（25-26高三上·内蒙古赤峰·阶段检测）圆心角为，半径为1的扇形，则扇形面积为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26高三上·安徽芜湖·阶段检测）已知扇形的圆心角是，半径为r，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若扇形的周长为，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大，最大值是多少？ 11．（25-26高三上·江西九江·期中）已知扇形的周长为16cm.圆心角为2rad，则该扇形的面积为（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高三上·宁夏石嘴山·期末）已知扇形的圆心角是，半径为R，弧长为l. (1)若，，求扇形的弧长l； (2)若，，求扇形的面积； (3)若扇形的周长是，当扇形的圆心角为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 典例三：由终边或终边上的点求三角函数 13．（25-26高三上·上海徐汇·期末）若点是角终边上的一点，则 _________． 14．（2026·北京房山·一模）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边过点，则____；将点绕着原点逆时针旋转得到点，则点的纵坐标为____． 15．（25-26高三上·上海青浦·期中）已知角的顶点是坐标原点，始边与轴的正半轴重合，它的终边过点，则________. 16．（25-26高三上·北京·期中）平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则（   ） A． B． C． D． 17．（25-26高三上·上海·期末）若角的终边过点 ，则 ______. 18．（2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 典例四：由三角函数值求终边上的点或参数 19．（25-26高三上·上海·寒假作业）已知角的终边上有一点，且，求：的值 20．（25-26高三上·上海宝山·期中）在平面直角坐标系中，已知是第二象限角，其终边上有一点. (1)若，求的值； (2)在（1）的条件下，将绕坐标原点顺时针旋转至，求点的坐标. 21．（25-26高三上·广西柳州·开学考试）已知角的终边在第二象限，且终边上有一点，，则（    ） A． B． C．2 D． 22．（25-26高三上·河南南阳·开学考试）（1）已知角的终边过点，求的值． （2）已知终边上一点，且，求的值． 23．（25-26高三上·河北衡水·期末）在平面直角坐标系中，已知角的始边与轴的非负半轴重合，终边经过点，且，则___________． 24．（2027高三·全国·专题练习）设是第二象限角，为其终边上的一点，且，则等于（     ） A． B． C． D． 典例五：各象限角三角函数值的符号 25．（25-26高三上·北京延庆·期中）若角是第二象限的角，则（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高三上·四川成都·期末）（多选）若为第二象限角，则下列正确的有（ ） A．， B．， C．， D．， 27．（25-26高三上·天津和平·阶段检测）已知点位于第二象限，则角是第______象限角． 28．（25-26高三上·四川南充·期末）“角θ是第四象限角”是“”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 29．（25-26高三上·甘肃兰州·期末）已知角在第二象限，则（填“，或”）______ 30．（25-26高三上·吉林长春·阶段检测）点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 典例六：单位圆的问题 31．（25-26高三上·新疆克拉玛依·期末）点P从点出发，沿单位圆逆时针方向以每秒弧度作圆周运动，5秒后到达点Q，则点Q的横坐标为______________. 32．（25-26高三上·贵州遵义·阶段检测）已知，则（   ） A． B． C． D． 33．（25-26高三上·全国·课后作业）利用三角函数线，求满足下列条件的角的集合． (1)； (2)； (3)． 34．（25-26高三上·全国·课后作业）（多空）利用三角函数线比较下列各组数的大小（用“>”或“<”连接）： （1）______； （2）______； （3）______． 35．（25-26高三上·全国·课后作业）若，则的大小关系是______． 36．（25-26高三上·湖北·期中）（多选）已知，下列不等式一定成立的有（   ） A． B． C． D． 2 / 16 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $