专题2.5 对数与对数函数（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题2.5 对数与对数函数（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　对数的概念与指数式、对数式的互化 4 知识点2　对数的运算性质与换底公式 5 知识点3　对数函数的定义、图象与特殊点 6 知识点4　对数函数的性质与大小比较 6 知识点5　反函数与对数型复合函数 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　对数式的化简与求值　★★ 9 重难点培优02　对数函数的定义域与值域　★★ 12 重难点培优03　对数函数的图象与图象变换　★★★ 14 重难点培优04　对数式（含指、幂、对数）比较大小　★★★ 17 重难点培优05　解对数不等式与对数方程　★★★ 20 重难点培优06　对数型复合函数的单调性　★★★ 22 重难点培优07　对数函数的奇偶性与对称性　★★★★ 25 重难点培优08　对数型恒成立与新定义问题　★★★★ 27 五、过关检测 31 一、单选题 31 二、多选题 33 三、填空题 34 四、解答题 35 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 对数的概念与运算 理解对数的概念，掌握积、商、幂的对数运算法则，会用换底公式把一般对数化为自然对数或常用对数 对数函数的图象与性质 理解对数函数的概念，会画 的图象，掌握其定义域、值域、单调性与特殊点 指数函数与对数函数的关系 知道 （ 且 ）与 互为反函数，图象关于直线 对称 对数函数的综合应用 能利用对数性质比较大小、解对数不等式与方程，并处理对数型复合函数的单调性、奇偶性与恒成立问题 近三年高考真题对对数与对数函数板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 北京卷 T5 函数奇偶性与单调性的辨析（ 型函数） ★★ 2026 天津卷 T6 对数型函数的图象识别 ★★ 2025 全国一卷 T8 指、对数式比较大小，赋值法与数形结合 ★★★ 2025 全国二卷 T18 对数与幂函数交汇，导数、零点与比较大小（压轴） ★★★★ 2025 北京卷 T9 对数型函数模型与对数运算 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 指、对分段函数的单调性与求参 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T8 对数型恒成立与最值 ★★★★ 2024 北京卷 T7 对数运算与指数式互化（实际应用） ★★ 2024 天津卷 T5 指、对数式比较大小 ★★ 2024 全国甲卷·理 换底公式与对数方程求值 ★★★ 2024 上海卷（春）T1 对数函数的定义域 ★ 考情分析 从近三年高考看，对数与对数函数的考查"稳中有变"。2024 年新课标Ⅰ卷以指、对分段函数的单调性求参，新课标Ⅱ卷以 考查恒成立与最值，北京卷、天津卷分别以对数运算建模与指、对数式比较大小设题，全国甲卷则直接考查换底公式与对数方程；2025 年全国一卷第 8 题把"赋值法＋数形结合"用到极致，北京卷以人工智能训练数据量为情境考查对数运算，全国二卷更把对数与幂函数、导数交汇成压轴题；2026 年北京卷以 考查奇偶性与单调性，天津卷以图象识别切入。整体呈现"低起点、重运算、强交汇"的特征，核心素养指向"数学运算、逻辑推理与数学建模"。预测 2027 年高考仍以"对数运算、比较大小、复合函数性质"为主线，并以"含参、恒成立、新定义与应用建模"提升区分度。 复习目标 1．准确完成指数式与对数式的互化，熟练运用对数运算法则与换底公式进行化简求值； 2．掌握对数函数的图象、定义域、值域与单调性，会用"同底比单调、同真数比图象"比较大小； 3．突破对数型复合函数的定义域、单调区间与含参问题，牢记"定义域优先"的解题次序； 4．掌握对数函数的奇偶性、对称性与反函数关系，会处理恒成立与新定义等综合问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　对数与对数函数知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　对数的概念与指数式、对数式的互化 一般地，如果 （ 且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数。 指数式与对数式的互化：（ 且 ，）。 两类特殊对数： ①常用对数：以 为底的对数叫做常用对数， 记作 ； ②自然对数：以无理数 为底的对数叫做自然对数， 记作 。 由对数的定义可直接得到三个恒等式： ①；②；③（ 且 ，）。 【方法技巧】 1．"互化"是解指、对数问题的钥匙：指数式化对数式看"底数、指数、幂"，对数式化指数式看"底数、真数、对数"，三者位置不要错； 2．求对数值先"设元"：令 ，化为 再解方程，思路最清晰； 3．真数必须为正、底数必须为正且不等于 ，解题前先写出限制条件，这是避免增根的第一道防线。 【易错清单】 1．负数和零没有对数，即真数 是硬性要求，、 均无意义； 2．底数需 且 ，漏掉 会多解； 3． 是一个整体， 的化简结果是 ，但 要求 ，不可想当然。 知识点2　对数的运算性质与换底公式 若 且 ，，，则： ①（积的对数等于对数的和）； ②（商的对数等于对数的差）； ③（）（幂的对数等于对数的倍数）。 换底公式：（ 且 ； 且 ；）。 由换底公式可得三个常用推论： ①，即 ； ②（）； ③（连乘换底）。 【方法技巧】 1．"真数化积幂、底数取最简"：把小数、根式、分数指数幂统一化成幂的形式，再用积、商、幂法则合并； 2．换底公式选底原则——使各对数成为同底，通常换为底数 、 或题目中出现最多的那个底； 3．见到""""等结构，优先考虑 与 。 【易错清单】 1．，运算法则只管"积、商、幂"，不管"和、差"； 2．使用 时要求 ，化简 不可随意写成 ； 3．换底公式分子分母的底数、真数位置易写反，务必核对 在上、 在下。 知识点3　对数函数的定义、图象与特殊点 函数 （ 且 ）叫做对数函数，其定义域为 ，值域为 。 底数范围 图象特征 共同点 图象位于 轴右侧，自左向右上升 恒过定点 ，即 图象位于 轴右侧，自左向右下降 恒过定点 ，即 作直线 ，它与各对数函数图象交点的横坐标就是相应的底数；在 轴右侧，图象越"陡"底数越大，即 时图象自下而上底数依次增大。 【方法技巧】 1．画图"两点一线"：先定特殊点 与 ，再结合单调性，草图即可确定； 2．图象平移与翻折： 由 左右平移得到； 是保留 轴右侧图象并作关于 轴的对称； 是把 轴下方的图象翻折到上方； 3．识别图象时先看"过不过 "，再看"升降"定底数范围。 【易错清单】 1．对数函数的图象一定在 轴右侧， 轴是它的竖直渐近线，图象永远与 轴不相交； 2． 的定义域由 决定，平移后定点也随之平移，不要仍写 ； 3．把 与 的图象混淆是高频错误，前者在 轴右侧、过 ，后者过 。 知识点4　对数函数的性质与大小比较 函数 定义域与值域 定义域 ，值域 定义域 ，值域 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 函数值符号 当 时 ，当 时 当 时 ，当 时 比较对数式大小的常用方法： ①同底不同真数：直接用对数函数的单调性比较； ②同真数不同底数：借助图象或换底公式比较； ③底数与真数都不同：先与 、 等中间量比较，再分组排序。 【方法技巧】 1．"中间量 、 搭桥"是万能套路：先判断每个数与 、 的大小，再在同一区间内细分； 2．比较 与 ，若底数、真数均不同，可统一化成同底，或用"作差法""作商法"； 3．含指数、幂、对数的混合比较，优先构造同一函数，用单调性"一站到底"。 【易错清单】 1．底数 的范围不确定时，必须分 与 讨论，单调方向不同，结论相反； 2． 只说明 与 同号，不能直接当作""； 3．比较大小切忌"看图估数"，端点等号、区间开闭要写清。 知识点5　反函数与对数型复合函数 指数函数 与对数函数 （ 且 ）互为反函数，它们的图象关于直线 对称。 对数型复合函数 的研究思路： ①先求定义域：令 ，这是一切讨论的前提； ②再拆内外：把 与 看成"外层对数、内层函数"； ③后定单调：同增异减——当 时， 与 的单调性相同；当 时， 与 的单调性相反。 【方法技巧】 1．求对数型复合函数的单调区间，一定要先求定义域，再在定义域内讨论，答案必须落在定义域内； 2．判断奇偶性前先看定义域是否关于原点对称，再用 与 的关系下结论； 3．、 型函数是奇函数， 型是偶函数，记住这些"熟悉面孔"能快速判断奇偶性。 【易错清单】 1．"定义域优先"是复合函数的铁律，先讨论单调性再补定义域，几乎必错； 2． 的单调区间不能简单由 的单调区间代替，别忘了外层对数的"同增异减"； 3．求反函数要"一解、二换、三定域"：先解出 ，再交换 ，最后写明反函数的定义域（即原函数的值域）。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　对数式的化简与求值　★★ 【解题技巧】对数式化简求值"三步定音"：先化（把小数、根式、分数指数幂统一为幂）→ 再合（用积、商、幂法则合并同底对数）→ 后算（换底或代入特殊值）。见到 、 这类结构，要立刻想到 与互为倒数的两条"秒杀"结论。 【注意事项】对数运算有三条铁律：①真数必须为正，负数和零没有对数；②底数需 且 ；③。换底时牢记"底数在下、真数在上"，这是避免整题翻车的关键。 【例1-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知 且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用换底公式把两个对数统一化为以 为底，设 ，把问题转化为关于 的一元二次方程。 【解答过程】由换底公式，，所以 ； 又 。 设 ，由 知 ，原方程化为 。 去分母得 ，即 ，解得 或 （舍去）。 所以 ，即 。故选 C。 【例1-2】（2024·北京卷 T7·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 、 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数 越大，水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意列出治理前后的两个等式，两式相除消去相同的 ，再由对数运算化为指数式。 【解答过程】由题意，治理前 ，治理后 。 两式相除消去 ，得 ，即 。 由对数的运算性质得 ，故 。故选 D。 【例1-3】（2025·北京卷 T9·高考真题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需要的时间 （单位：），其中 为常数。在此条件下，已知训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加 ；当训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由"训练时间增加 "这一条件求出 ，再利用对数运算求出第二段时间的增加量。 【解答过程】设数据量分别为 、、 时所需训练时间分别为 、、。 因为 ，所以 ， 解得 。 又 ，同理 。故选 B。 【变式1-1】计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别利用对数的定义与 化简每一项，再求和。 【解答过程】；；。 所以原式 。故选 B。 【变式1-2】计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用积的对数与 化简。 【解答过程】，。 所以原式 。故选 B。 【变式1-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先把指数式化为对数式求出 ，再用幂的对数法则计算。 【解答过程】由 得 。 所以 。故选 A。 【变式1-4】计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用恒等式 与 化简。 【解答过程】；。 所以原式 。故选 A。 【变式1-5】计算 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先逆用幂的对数把 写成 ，再用积的对数合并。 【解答过程】。故选 B。 【变式1-6】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把 分解为 ，用积、幂的对数法则化为 的式子。 【解答过程】。故选 B。 重难点培优02　对数函数的定义域与值域　★★ 【解题技巧】求对数型函数的定义域、值域要"先框定义域，再算内层范围，最后套外层单调性"：定义域由"真数 、偶次根式被开方数 、分母 "联立不等式组确定；值域则先求内层函数 的取值范围，再求 的值域。 【注意事项】两个高频陷阱：①忘记"真数大于零"导致定义域算多；②求值域时忽略内层的取值范围，直接写 。当内层取不到某些值（如 ）时，外层对数的值域是被"截断"的。 【例2-1】（2026·河南·郑州·一模）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】定义域需同时满足"真数大于零且分母不为零"与"偶次根式被开方数非负"，联立后取交集。 【解答过程】由 有意义，需 ，即 ；又因 在分母上，需 ，即 ，得 ； 由 有意义，需 ，即 。 取交集得 ，故定义域为 。故选 B。 【例2-2】（2026·湖北·武汉·二模）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先配方求出内层 的取值范围，再结合外层 的单调性求值域。 【解答过程】因为 ，所以内层 。 函数 在 上单调递减，故当 时，， 即值域为 。故选 A。 【例2-3】（2024·上海卷（春）T1·高考真题）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接依据"对数函数的真数必须大于零"确定定义域。 【解答过程】要使 有意义，需 ，故定义域为 。故选 A。 【变式2-1】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】定义域需同时满足"偶次根式被开方数非负"与"真数大于零"。 【解答过程】由 得 ，因为 单调递增，所以 ； 同时 ，两者取交集得 ，即定义域为 。故选 A。 【变式2-2】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由"真数大于零"与"分母不为零"联立求交集。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 取交集得 ，即定义域为 。故选 A。 【变式2-3】（2026·江苏·南京·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】真数大于零即解一元二次不等式。 【解答过程】由 得 ，解得 或 。 所以定义域为 。故选 B。 【变式2-4】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由指数函数求出内层 的取值范围，再求外层对数的值域。 【解答过程】因为 ，所以 ；又真数需为正，故 。 所以 可取得全体实数，值域为 。故选 B。 【变式2-5】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求内层 的取值范围，再结合 单调递增求值域。 【解答过程】因为 ，所以 。 又 单调递增，故 ，值域为 。故选 A。 重难点培优03　对数函数的图象与图象变换　★★★ 【解题技巧】对数图象问题"抓定点、看单调、做变换"：所有 都过 ；含参时令真数等于 即得定点。图象变换口诀："左加右减、上加下减平移； 保留 轴右侧并作左右对称； 把 轴下方图象翻折到上方"。 【注意事项】三个易错点：①平移量作用在"整体 "上， 是右移而非左移；② 是偶函数、图象左右对称， 只在 有图象；③图象平移后定点随之改变，别死记 。 【例3-1】（2026·河北·石家庄·二模）函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对数的"定点"来自 ，令真数等于 求出 ，再代入求 。 【解答过程】令 ，得 ，此时 。 所以图象恒过定点 。故选 C。 【例3-2】（2025·江西·南昌·模拟）将函数 的图象先向上平移 个单位，再向右平移 个单位，所得图象对应的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】"向上平移 "对应在 上加 ，"向右平移 "对应把 换成 ，两步叠加。 【解答过程】向上平移 个单位，得 ； 再向右平移 个单位，把 换成 ，得 。故选 B。 【例3-3】（2026·安徽·合肥·三模）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 的图象关于 轴对称 C． 在 上单调递减 D． 的定义域为 【答案】B 【解题思路】先看定义域是否关于原点对称，再判断奇偶性与单调性。 【解答过程】 的定义域为 ，关于原点对称。 因为 ，所以 是偶函数，图象关于 轴对称，A 错、B 对； 当 时 在 上单调递增，C 错；定义域为 ，D 错。故选 B。 【变式3-1】函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】令真数等于 求 ，再代入求 。 【解答过程】令 ，得 ，此时 。 所以图象恒过定点 。故选 A。 【变式3-2】将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】"右移 个单位"即把 换成 。 【解答过程】向右平移 个单位，把 换成 ，得 。故选 B。 【变式3-3】函数 的图象一定经过点（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】所有对数函数图象都过定点 。 【解答过程】令 ，则 ，所以图象必过点 。故选 A。 【变式3-4】（2026·山西·太原·模拟）若函数 （ 且 ）的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把点的坐标代入解析式，由对数式化指数式求 。 【解答过程】因为图象过点 ，所以 ，即 ，解得 （符合 且 ）。故选 B。 【变式3-5】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由翻折确定解析式，再分段讨论单调性。 【解答过程】当 时 ，故 ，此时函数单调递减； 当 时 ，故 ，此时函数单调递增。 所以单调递减区间为 。故选 A。 重难点培优04　对数式（含指、幂、对数）比较大小　★★★ 【解题技巧】比较大小"三看"：一看是否同底（同底比单调）→ 二看是否同真数（同真数比图象或换底）→ 三看能否用 、 搭桥（不同底不同真数时）。指、幂、对数混合比较，优先将各式化为同一函数在不同点处的值，再用单调性排队。 【注意事项】比较大小的三大"雷区"：①底数不确定时忘记分类讨论；②误把""当成""；③混合比较时直接套用单调性而未统一底数。遇到" 与 "这类结构，用 作桥梁最快。 【例4-1】（2025·全国一卷 T8·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设公共值为 ，先解出 、、；再对 取特殊值逐一验证，排除不可能的关系。 【解答过程】设 ，则 ，，。 取 ：，，，此时 ，A 可能； 取 ：，，，此时 ，C 可能； 取 ：，，，此时 ，D 可能。 因此不可能的是 。故选 B。 【例4-2】（2024·天津卷 T5·高考真题）设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指数函数与对数函数的单调性，分别判断 与 的大小，再排出顺序。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 。 因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 。 综上 ，即 。故选 D。 【例4-3】（2026·辽宁·大连·二模）设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用"与 、 比较"给三个数定位：，，。 【解答过程】，所以 ； ，因为 ，所以 ； ，因为 ，所以 。 所以 ，即 。故选 B。 【变式4-1】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别判断三个数与 、 的大小，再排序。 【解答过程】；；。 所以 。故选 B。 【变式4-2】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断每个数与 、 的大小。 【解答过程】；；。 所以 。故选 B。 【变式4-3】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】同底对数用 的单调性比较 ，再用中间量判断 的位置。 【解答过程】因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，即 ； 又 ，而 均为负数（真数小于 ），故 最大。 所以 。故选 B。 【变式4-4】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别判断三个数与 、 的大小，再排序。 【解答过程】； ；。 所以 。故选 A。 【变式4-5】（2026·广西·南宁·模拟）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用"与 比较"给三个数定位。 【解答过程】；，因为 ，所以 ；。 所以 。故选 B。 【变式4-6】已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】三个数都大于 且小于 ，可用换底公式统一成同一函数比较。 【解答过程】，，。 因为 且 ，分子相同而分母越大值越小，所以 。故选 A。 重难点培优05　解对数不等式与对数方程　★★★ 【解题技巧】解对数不等式"定域、同底、单调"三步：①先令各真数 求定义域；②把不等式两边化为同底（或用换底公式）；③由 的单调性去掉对数符号，注意 时不等号方向要改变。解对数方程则必须先检验真数是否为正。 【注意事项】解对数不等式最易犯两个错：①忘记定义域，解出后未与"真数 "取交集；②底数 时忘记变号。口诀："先定域，再同底，看单调，定方向，最后取交集"。 【例5-1】（2026·四川·成都·一模）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再把 写成 ，用 单调递增去掉对数符号。 【解答过程】由 得 。 原不等式化为 ，因为 单调递增，所以 ，解得 。 故解集为 。故选 A。 【例5-2】（2026·重庆·二模）方程 的解为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【解题思路】先用积的对数合并，再由定义域筛选有效的根。 【解答过程】由 且 得 。 原方程化为 ，即 。 整理得 ，解得 或 。 因为 ，所以 舍去，。故选 A。 【例5-3】（2025·广东·广州·模拟）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再利用底数 时对数单调递减，去掉对数符号并反向不等号。 【解答过程】由 且 ，得 。 因为 单调递减，由原不等式得 。 由 得 ，结合 ，解集为 。故选 A。 【变式5-1】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先定定义域，再把 化为 ，用单调性去对数符号。 【解答过程】由 得 。 原不等式化为 ，因为 单调递增，所以 ，即 。 结合 ，解集为 。故选 A。 【变式5-2】方程 的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先定定义域，再把 化为 ，用商的对数合并后解方程。 【解答过程】由 且 得 。 原方程化为 ，所以 。 解得 ，即 ，，满足 。故选 A。 【变式5-3】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先定定义域，再把 化为 ，用单调性去对数符号。 【解答过程】由 得 。 原不等式化为 ，所以 ，解得 。 故解集为 。故选 A。 【变式5-4】方程 的解为（　　） A． B． C． D． 或 【答案】C 【解题思路】把对数方程化为指数方程，解得后检验真数为正。 【解答过程】由 得 或 。 原方程化为 ，即 ，解得 或 ，均满足 。故选 C。 【变式5-5】（2026·云南·昆明·模拟）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先定定义域，再把 化为 ，用单调递减反向不等号。 【解答过程】由 得 。 原不等式化为 ，因为 单调递减，所以 ，解得 。 故解集为 。故选 A。 重难点培优06　对数型复合函数的单调性　★★★ 【解题技巧】复合函数 的单调性遵循"同增异减"：外层 与内层 单调性相同则整体递增，相反则整体递减。解题固定顺序是"先求定义域 → 再定内层单调区间 → 最后用同增异减取交集"。 【注意事项】两大杀手级错误：①漏掉定义域，把单调区间写到了真数为负的地方；②含参问题讨论不完备， 与 两种情形要分别讨论。凡涉及真数恒正的题目，定义域永远是第一步。 【例6-1】（2024·新课标Ⅰ卷 T6·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分段函数在 上递增，需每一段递增，且"左段在 处的极限值不超过右段的最小值"，由此列出关于 的不等式组。 【解答过程】当 时， 单调递增，符合要求。 当 时，，图象开口向下、对称轴为 。要使其在 上递增，需 ，即 。 还需两段在 处衔接：左段趋近的值 不超过右段的值 ，即 ，解得 。 综上 ，即 。故选 B。 【例6-2】（2026·山东·青岛·一模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再确定内层二次函数的单调区间，最后用"同增异减"取交集。 【解答过程】由 得 ，解得 或 ，即定义域为 。 内层 在 上递增，在 上递减； 外层 递增，由"同增异减"，整体递增需内层递增。 结合定义域，单调递增区间为 。故选 A。 【变式6-1】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求定义域，外层递减，故整体递增需内层递减。 【解答过程】由 得 或 ，即定义域为 。 内层 在 上递减，在 上递增； 外层 递减，整体递增需内层递减。 结合定义域，单调递增区间为 。故选 B。 【变式6-2】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先说明真数恒正，再找内层二次函数的递减区间。 【解答过程】因为 恒成立，所以定义域为 。 内层 在 上递减；外层 递增，由"同增异减"，整体递减需内层递减。 所以单调递减区间为 。故选 A。 【变式6-3】（2026·浙江·宁波·模拟）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【答案】A 【解题思路】内层 在 上递增，整体递增需外层也递增。 【解答过程】内层 在 上单调递增。 要使 在 上单调递增，由"同增异减"需外层递增，即 。故选 A。 【变式6-4】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，内层递减时整体才递增（外层递增）。 【解答过程】由 得 ，即定义域为 。 内层 在 上递增；外层 递增，整体递增需内层递增。 结合定义域，单调递增区间为 。故选 A。 【变式6-5】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，外层递减，整体递减需内层递增。 【解答过程】由 得 或 ，即定义域为 。 内层 的对称轴为 ，在 上递增； 外层 递减，整体递减需内层递增，结合定义域得 。故选 A。 重难点培优07　对数函数的奇偶性与对称性　★★★★ 【解题技巧】判断对数型函数的奇偶性要"先看定义域是否关于原点对称，再看 与 的关系"。常用工具：①、 是奇函数（真数互为倒数可抵消）；②、 是偶函数。含参"为奇（偶）函数求参"，用 （或 ）恒等 列式。 【注意事项】三个高频失分点：①忽略定义域是否对称就直接下结论；② 中 ，定义域对称为其"奇函数"身份的前提；③把"定义域关于原点对称"当成"函数具有奇偶性"。切记：定义域不对称，则既非奇也非偶。 【例7-1】（2026·北京卷 T5·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】逐一检验定义域是否对称，再判断奇偶性与单调性。 【解答过程】 A：，是偶函数，排除； B： 是奇函数，但在定义域 上不单调递增（有增有减），排除； C：，是奇函数，但 递减、 递增，故 在 上单调递减，排除； D：由 且 得定义域 ，关于原点对称。且 ，是奇函数；又 与 均在 上递增，故 在定义域上单调递增，符合题意。 故选 D。 【例7-2】（2026·湖南·长沙·二模）已知函数 （ 且 ），则 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解题思路】先求定义域并验证其关于原点对称，再用 与 的关系判断。 【解答过程】由 得 ，解得 ，定义域 关于原点对称。 。 所以 是奇函数。故选 A。 【变式7-1】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再用 与 的关系判断。 【解答过程】由 且 得 ，定义域关于原点对称。 ，所以 是奇函数。故选 A。 【变式7-2】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】B 【解题思路】定义域为 ，用 与 的关系判断。 【解答过程】定义域为 ，关于原点对称。 ，所以 是偶函数。故选 B。 【变式7-3】（2026·陕西·西安·三模）若函数 是偶函数，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由偶函数定义 恒成立，列出关于 的方程。 【解答过程】。 由 得 ， 即 。 所以 ，。故选 A。 【变式7-4】函数 的图象关于（　　） A． 轴对称 B．直线 对称 C．原点对称 D．直线 对称 【答案】B 【解题思路】把 写成以 为真数的形式，分析其对称性。 【解答过程】令 ，则 是偶函数，图象关于 对称。 而 的图象由 向右平移 个单位得到，故其对称轴为 。故选 B。 【变式7-5】已知 是定义域为 的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 ，再由奇函数的性质 求值。 【解答过程】。 因为 为奇函数，所以 。故选 A。 重难点培优08　对数型恒成立与新定义问题　★★★★ 【解题技巧】恒成立问题"转化为最值"： 恒成立 ；含参多变量恒成立常先"分离变量"再求最值。对数型新定义问题读题"三译"：把新符号译成不等式、把新概念译成函数性质、把新运算译成分类计算。 【注意事项】恒成立的两个"隐藏条件"：①定义域必须先确定， 只能在真数大于零的范围内变化；②"存在"与"恒成立"、""与""含义不同，端点能否取到要单独检验。新定义题切忌想当然套用旧公式，务必逐字读清条件。 【例8-1】（2024·新课标Ⅱ卷 T8·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把 转化为" 与 在定义域上同号"，由两个增函数的零点重合得到 的关系，再求 的最小值。 【解答过程】由 得定义域为 。在此区间上， 与 均单调递增。 要使乘积 恒成立，两个函数在 上必须同号，故它们的零点必须重合。 的零点为 ， 的零点为 ，所以 ，即 。 于是 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号。 所以 的最小值为 。故选 C。 【例8-2】（2026·福建·福州·二模）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"定义域为 "即真数 对一切实数恒成立，转化为判别式小于零。 【解答过程】要使 的定义域为 ，需 对任意 恒成立。 设 ，因其二次项系数为正，故只需 ，解得 。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【变式8-1】若函数 的定义域为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】真数恒正需二次项系数为正且判别式小于零。 【解答过程】要使 对任意 恒成立，需 且 ，解得 。故选 A。 【变式8-2】若不等式 对任意 恒成立，则 的最大值为（　　） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【解题思路】恒成立问题转化为求 的最小值。 【解答过程】因为 ，所以 ， 即 的最小值为 。要使 恒成立，需 ，故 的最大值为 。故选 A。 【变式8-3】（2026·江苏·苏州·模拟）定义运算 （，，）。已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按新定义把符号语言翻译成对数式，再由对数式化指数式求 。 【解答过程】由定义 ，所以 。故选 A。 【变式8-4】对于 ，，定义"对数距离"。若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按新定义把条件翻译成关于 的绝对值不等式，再解不等式。 【解答过程】由定义 ，即 。 解得 ，即 。故选 A。 【变式8-5】若函数 在 上的最大值与最小值之差为 （ 且 ），则 （　　） A． 或 B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分 与 两种情况，利用对数函数的单调性确定最值位置。 【解答过程】当 时， 单调递增，最大值 、最小值 ，其差 ，解得 ； 当 时， 单调递减，最大值 、最小值 ，其差 ，解得 。 综上 或 。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】计算 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用对数的定义分别化简两项，再求和。 【解答过程】，，所以原式 。故选 B。 2．【巩固】（2024·上海卷（春）T1·高考真题）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由"对数函数的真数必须大于零"确定定义域。 【解答过程】要使 有意义，需 ，故定义域为 。故选 A。 3．【巩固】（2026·北京·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】真数大于零即得定义域。 【解答过程】由 得 ，故定义域为 。故选 C。 4．【巩固】（2025·天津·模拟）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】三个对数同底，直接用 的单调性比较。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ， 所以 ，即 。故选 C。 5．【进阶】（2026·浙江·模拟）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求定义域，外层递减，整体递减需内层递增。 【解答过程】由 得 或 ，即定义域为 。 内层 在 上递增；外层 递减，整体递减需内层递增。 结合定义域得 。故选 B。 6．【进阶】（2026·湖北·模拟）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先定定义域，再把 化为 ，用单调性去对数符号。 【解答过程】由 得 。 原不等式化为 ，所以 ，解得 。 故解集为 。故选 B。 7．【进阶】（2026·四川·模拟）已知 （ 且 ）的图象过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把点的坐标代入，化为指数式求 。 【解答过程】因为图象过点 ，所以 ，即 。 又 且 ，所以 。故选 A。 8．【进阶】（2026·河南·模拟）函数 是（　　） A．奇函数 B．非奇非偶函数 C．既奇又偶函数 D．偶函数 【答案】D 【解题思路】先看定义域是否对称，再用 与 的关系判断。 【解答过程】定义域为 ，关于原点对称。 ，所以 是偶函数。故选 D。 二、多选题 9．【进阶】下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】逐一用对数的定义检验。 【解答过程】，A 正确；，B 正确；，C 正确；真数不能为零， 无意义，D 错误。故选 ABC。 10．【进阶】（2026·全国·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象过点 【答案】ABC 【解题思路】依据对数函数 （）的图象与性质逐项判断。 【解答过程】 的定义域为 ，值域为 ，在 上单调递增，图象过点 。 所以 A、B、C 正确；图象过 而非 ，D 错误。故选 ABC。 11．【进阶】（2026·安徽·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 是偶函数 B． 的值域为 C． 在 上单调递增 D． 的最小值为 【答案】ABC 【解题思路】从奇偶性、值域、单调性、最值四个方面逐一判断。 【解答过程】定义域为 ，，是偶函数，A 正确； ，故 ，值域为 ，B 正确； 内层 在 上递增、外层递增，故 在 上递增，C 正确； 的最小值为 而非 ，D 错误。故选 ABC。 12．【培优】（2026·山东·模拟）定义"对数运算"（，，）。则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】把新定义翻译成对数，再用对数的运算性质逐项检验。 【解答过程】，A 正确； ，B 正确； ，，两者相等，C 正确； ，D 错误。故选 ABC。 三、填空题 13．【巩固】计算 ______． 【答案】 【解题思路】分别用对数的定义化简两项，再求和。 【解答过程】，，所以原式 。 14．【进阶】函数 的定义域为 ______． 【答案】 【解题思路】偶次根式被开方数非负，结合真数大于零求交集。 【解答过程】由 得 ，同时需 ，取交集得 ， 故定义域为 。 15．【进阶】（2026·江西·模拟）不等式 的解集为 ______． 【答案】 【解题思路】先定定义域，再把 化为 ，用单调递减反向不等号。 【解答过程】由 得定义域为 。 原不等式化为 ，因为 单调递减，所以 。 故解集为 。 16．【培优】（2026·重庆·模拟）已知函数 （ 且 ）的图象经过点 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】把点的坐标代入解析式，化为指数式求 。 【解答过程】因为图象经过点 ，所以 ，即 ，解得 。 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的定义域； (2) 求 的最大值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 由两个真数都大于零求交集；(2) 先合并对数，再求内层二次函数的最大值。 【解答过程】(1) 由 且 ，得 ，所以 的定义域为 。 (2) ，其中 ， 在定义域内 ，当 时取到最大值 。 所以 ，即 的最大值为 。 18．【培优】已知函数 （ 且 ）． (1) 求 的定义域，并判断其奇偶性； (2) 当 时，解不等式 ． 【答案】(1) 定义域为 ， 是奇函数；(2) ． 【解题思路】(1) 由真数大于零求定义域，再用 与 的关系判断奇偶性；(2) 用单调性去对数符号并定定义域。 【解答过程】(1) 由 得 ，故定义域为 ，关于原点对称。 ，所以 是奇函数。 (2) 当 时， 单调递增， 化为 。 由 得 ，即 ，结合定义域 ，得 。 所以不等式的解集为 。 19．【培优】已知函数 ． (1) 若 的定义域为 ，求 的取值范围； (2) 若 在 上单调递增，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 真数恒正转化为判别式小于零；(2) 外层递减，整体递增需内层递减，再结合真数在区间上恒正。 【解答过程】(1) 要使 的定义域为 ，需 对任意 恒成立。 所以 ，解得 ，即 。 (2) 外层 递减，要使 在 上单调递增，由"同增异减"需内层 在 上单调递减， 故其对称轴 满足 。 还需内层在 上恒正，因 在 上递减，故最小值在 处取得， 需 ，解得 。 综上 ，即 。 20．【培优】（2026·全国·模拟）已知函数 是偶函数． (1) 求实数 的值； (2) 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 由偶函数定义 恒成立求 ；(2) 先把 化简，再求其最小值，转化为关于 的不等式。 【解答过程】(1) 由 得 ， 即 。 所以 ，。 (2) 当 时，。 因为 （当且仅当 时取等号）， 所以 ，即 的最小值为 。 要使 对任意 恒成立，需 ，即 。 又真数要求 ，所以 的取值范围为 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 对数与对数函数（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　对数的概念与指数式、对数式的互化 4 知识点2　对数的运算性质与换底公式 5 知识点3　对数函数的定义、图象与特殊点 6 知识点4　对数函数的性质与大小比较 6 知识点5　反函数与对数型复合函数 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　对数式的化简与求值　★★ 9 重难点培优02　对数函数的定义域与值域　★★ 10 重难点培优03　对数函数的图象与图象变换　★★★ 11 重难点培优04　对数式（含指、幂、对数）比较大小　★★★ 12 重难点培优05　解对数不等式与对数方程　★★★ 14 重难点培优06　对数型复合函数的单调性　★★★ 15 重难点培优07　对数函数的奇偶性与对称性　★★★★ 16 重难点培优08　对数型恒成立与新定义问题　★★★★ 17 五、过关检测 19 一、单选题 19 二、多选题 20 三、填空题 21 四、解答题 21 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 对数的概念与运算 理解对数的概念，掌握积、商、幂的对数运算法则，会用换底公式把一般对数化为自然对数或常用对数 对数函数的图象与性质 理解对数函数的概念，会画 的图象，掌握其定义域、值域、单调性与特殊点 指数函数与对数函数的关系 知道 （ 且 ）与 互为反函数，图象关于直线 对称 对数函数的综合应用 能利用对数性质比较大小、解对数不等式与方程，并处理对数型复合函数的单调性、奇偶性与恒成立问题 近三年高考真题对对数与对数函数板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 北京卷 T5 函数奇偶性与单调性的辨析（ 型函数） ★★ 2026 天津卷 T6 对数型函数的图象识别 ★★ 2025 全国一卷 T8 指、对数式比较大小，赋值法与数形结合 ★★★ 2025 全国二卷 T18 对数与幂函数交汇，导数、零点与比较大小（压轴） ★★★★ 2025 北京卷 T9 对数型函数模型与对数运算 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 指、对分段函数的单调性与求参 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T8 对数型恒成立与最值 ★★★★ 2024 北京卷 T7 对数运算与指数式互化（实际应用） ★★ 2024 天津卷 T5 指、对数式比较大小 ★★ 2024 全国甲卷·理 换底公式与对数方程求值 ★★★ 2024 上海卷（春）T1 对数函数的定义域 ★ 考情分析 从近三年高考看，对数与对数函数的考查"稳中有变"。2024 年新课标Ⅰ卷以指、对分段函数的单调性求参，新课标Ⅱ卷以 考查恒成立与最值，北京卷、天津卷分别以对数运算建模与指、对数式比较大小设题，全国甲卷则直接考查换底公式与对数方程；2025 年全国一卷第 8 题把"赋值法＋数形结合"用到极致，北京卷以人工智能训练数据量为情境考查对数运算，全国二卷更把对数与幂函数、导数交汇成压轴题；2026 年北京卷以 考查奇偶性与单调性，天津卷以图象识别切入。整体呈现"低起点、重运算、强交汇"的特征，核心素养指向"数学运算、逻辑推理与数学建模"。预测 2027 年高考仍以"对数运算、比较大小、复合函数性质"为主线，并以"含参、恒成立、新定义与应用建模"提升区分度。 复习目标 1．准确完成指数式与对数式的互化，熟练运用对数运算法则与换底公式进行化简求值； 2．掌握对数函数的图象、定义域、值域与单调性，会用"同底比单调、同真数比图象"比较大小； 3．突破对数型复合函数的定义域、单调区间与含参问题，牢记"定义域优先"的解题次序； 4．掌握对数函数的奇偶性、对称性与反函数关系，会处理恒成立与新定义等综合问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　对数与对数函数知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　对数的概念与指数式、对数式的互化 一般地，如果 （ 且 ），那么数 叫做以 为底 的对数，记作 ，其中 叫做底数， 叫做真数。 指数式与对数式的互化：（ 且 ，）。 两类特殊对数： ①常用对数：以 为底的对数叫做常用对数， 记作 ； ②自然对数：以无理数 为底的对数叫做自然对数， 记作 。 由对数的定义可直接得到三个恒等式： ①；②；③（ 且 ，）。 【方法技巧】 1．"互化"是解指、对数问题的钥匙：指数式化对数式看"底数、指数、幂"，对数式化指数式看"底数、真数、对数"，三者位置不要错； 2．求对数值先"设元"：令 ，化为 再解方程，思路最清晰； 3．真数必须为正、底数必须为正且不等于 ，解题前先写出限制条件，这是避免增根的第一道防线。 【易错清单】 1．负数和零没有对数，即真数 是硬性要求，、 均无意义； 2．底数需 且 ，漏掉 会多解； 3． 是一个整体， 的化简结果是 ，但 要求 ，不可想当然。 知识点2　对数的运算性质与换底公式 若 且 ，，，则： ①（积的对数等于对数的和）； ②（商的对数等于对数的差）； ③（）（幂的对数等于对数的倍数）。 换底公式：（ 且 ； 且 ；）。 由换底公式可得三个常用推论： ①，即 ； ②（）； ③（连乘换底）。 【方法技巧】 1．"真数化积幂、底数取最简"：把小数、根式、分数指数幂统一化成幂的形式，再用积、商、幂法则合并； 2．换底公式选底原则——使各对数成为同底，通常换为底数 、 或题目中出现最多的那个底； 3．见到""""等结构，优先考虑 与 。 【易错清单】 1．，运算法则只管"积、商、幂"，不管"和、差"； 2．使用 时要求 ，化简 不可随意写成 ； 3．换底公式分子分母的底数、真数位置易写反，务必核对 在上、 在下。 知识点3　对数函数的定义、图象与特殊点 函数 （ 且 ）叫做对数函数，其定义域为 ，值域为 。 底数范围 图象特征 共同点 图象位于 轴右侧，自左向右上升 恒过定点 ，即 图象位于 轴右侧，自左向右下降 恒过定点 ，即 作直线 ，它与各对数函数图象交点的横坐标就是相应的底数；在 轴右侧，图象越"陡"底数越大，即 时图象自下而上底数依次增大。 【方法技巧】 1．画图"两点一线"：先定特殊点 与 ，再结合单调性，草图即可确定； 2．图象平移与翻折： 由 左右平移得到； 是保留 轴右侧图象并作关于 轴的对称； 是把 轴下方的图象翻折到上方； 3．识别图象时先看"过不过 "，再看"升降"定底数范围。 【易错清单】 1．对数函数的图象一定在 轴右侧， 轴是它的竖直渐近线，图象永远与 轴不相交； 2． 的定义域由 决定，平移后定点也随之平移，不要仍写 ； 3．把 与 的图象混淆是高频错误，前者在 轴右侧、过 ，后者过 。 知识点4　对数函数的性质与大小比较 函数 定义域与值域 定义域 ，值域 定义域 ，值域 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 函数值符号 当 时 ，当 时 当 时 ，当 时 比较对数式大小的常用方法： ①同底不同真数：直接用对数函数的单调性比较； ②同真数不同底数：借助图象或换底公式比较； ③底数与真数都不同：先与 、 等中间量比较，再分组排序。 【方法技巧】 1．"中间量 、 搭桥"是万能套路：先判断每个数与 、 的大小，再在同一区间内细分； 2．比较 与 ，若底数、真数均不同，可统一化成同底，或用"作差法""作商法"； 3．含指数、幂、对数的混合比较，优先构造同一函数，用单调性"一站到底"。 【易错清单】 1．底数 的范围不确定时，必须分 与 讨论，单调方向不同，结论相反； 2． 只说明 与 同号，不能直接当作""； 3．比较大小切忌"看图估数"，端点等号、区间开闭要写清。 知识点5　反函数与对数型复合函数 指数函数 与对数函数 （ 且 ）互为反函数，它们的图象关于直线 对称。 对数型复合函数 的研究思路： ①先求定义域：令 ，这是一切讨论的前提； ②再拆内外：把 与 看成"外层对数、内层函数"； ③后定单调：同增异减——当 时， 与 的单调性相同；当 时， 与 的单调性相反。 【方法技巧】 1．求对数型复合函数的单调区间，一定要先求定义域，再在定义域内讨论，答案必须落在定义域内； 2．判断奇偶性前先看定义域是否关于原点对称，再用 与 的关系下结论； 3．、 型函数是奇函数， 型是偶函数，记住这些"熟悉面孔"能快速判断奇偶性。 【易错清单】 1．"定义域优先"是复合函数的铁律，先讨论单调性再补定义域，几乎必错； 2． 的单调区间不能简单由 的单调区间代替，别忘了外层对数的"同增异减"； 3．求反函数要"一解、二换、三定域"：先解出 ，再交换 ，最后写明反函数的定义域（即原函数的值域）。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　对数式的化简与求值　★★ 【例1-1】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知 且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2024·北京卷 T7·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中 、 分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数。生物丰富度指数 越大，水质越好。如果某河流治理前后的生物种类数 没有变化，生物个体总数由 变为 ，生物丰富度指数由 提高到 ，则（　　） A． B． C． D． 【例1-3】（2025·北京卷 T9·高考真题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需要的时间 （单位：），其中 为常数。在此条件下，已知训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加 ；当训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】计算 （　　） A． B． C． D． 【变式1-2】计算 （　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-4】计算 （　　） A． B． C． D． 【变式1-5】计算 （　　） A． B． C． D． 【变式1-6】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优02　对数函数的定义域与值域　★★ 【例2-1】（2026·河南·郑州·一模）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·湖北·武汉·二模）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【例2-3】（2024·上海卷（春）T1·高考真题）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】（2026·江苏·南京·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　对数函数的图象与图象变换　★★★ 【例3-1】（2026·河北·石家庄·二模）函数 （ 且 ）的图象恒过定点 ，则点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·江西·南昌·模拟）将函数 的图象先向上平移 个单位，再向右平移 个单位，所得图象对应的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【例3-3】（2026·安徽·合肥·三模）已知函数 （），则下列结论正确的是（　　） A． 是奇函数 B． 的图象关于 轴对称 C． 在 上单调递减 D． 的定义域为 【变式3-1】函数 （ 且 ）的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】将函数 的图象向右平移 个单位，所得图象对应的函数解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】函数 的图象一定经过点（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】（2026·山西·太原·模拟）若函数 （ 且 ）的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-5】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　对数式（含指、幂、对数）比较大小　★★★ 【例4-1】（2025·全国一卷 T8·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2024·天津卷 T5·高考真题）设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2026·辽宁·大连·二模）设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】（2026·广西·南宁·模拟）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-6】已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　解对数不等式与对数方程　★★★ 【例5-1】（2026·四川·成都·一模）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·重庆·二模）方程 的解为（　　） A． B． C． 或 D． 【例5-3】（2025·广东·广州·模拟）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】方程 的解为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】方程 的解为（　　） A． B． C． D． 或 【变式5-5】（2026·云南·昆明·模拟）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　对数型复合函数的单调性　★★★ 【例6-1】（2024·新课标Ⅰ卷 T6·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2026·山东·青岛·一模）函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】（2026·浙江·宁波·模拟）若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 且 D． 【变式6-4】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】函数 的单调递减区间为（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　对数函数的奇偶性与对称性　★★★★ 【例7-1】（2026·北京卷 T5·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·湖南·长沙·二模）已知函数 （ 且 ），则 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式7-1】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既奇又偶函数 【变式7-2】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既奇又偶函数 D．非奇非偶函数 【变式7-3】（2026·陕西·西安·三模）若函数 是偶函数，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-4】函数 的图象关于（　　） A． 轴对称 B．直线 对称 C．原点对称 D．直线 对称 【变式7-5】已知 是定义域为 的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优08　对数型恒成立与新定义问题　★★★★ 【例8-1】（2024·新课标Ⅱ卷 T8·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·福建·福州·二模）已知函数 的定义域为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】若函数 的定义域为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】若不等式 对任意 恒成立，则 的最大值为（　　） A． B． C． D．不存在 【变式8-3】（2026·江苏·苏州·模拟）定义运算 （，，）。已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-4】对于 ，，定义"对数距离"。若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】若函数 在 上的最大值与最小值之差为 （ 且 ），则 （　　） A． 或 B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】计算 的值为（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】（2024·上海卷（春）T1·高考真题）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】（2026·北京·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】（2025·天津·模拟）设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】（2026·浙江·模拟）函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】（2026·湖北·模拟）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】（2026·四川·模拟）已知 （ 且 ）的图象过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．【进阶】（2026·河南·模拟）函数 是（　　） A．奇函数 B．非奇非偶函数 C．既奇又偶函数 D．偶函数 二、多选题 9．【进阶】下列各式正确的是（　　） A． B． C． D． 10．【进阶】（2026·全国·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A．定义域为 B．值域为 C．在 上单调递增 D．图象过点 11．【进阶】（2026·安徽·模拟）已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 是偶函数 B． 的值域为 C． 在 上单调递增 D． 的最小值为 12．【培优】（2026·山东·模拟）定义"对数运算"（，，）。则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 13．【巩固】计算 ______． 14．【进阶】函数 的定义域为 ______． 15．【进阶】（2026·江西·模拟）不等式 的解集为 ______． 16．【培优】（2026·重庆·模拟）已知函数 （ 且 ）的图象经过点 ，则 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的定义域； (2) 求 的最大值． 18．【培优】已知函数 （ 且 ）． (1) 求 的定义域，并判断其奇偶性； (2) 当 时，解不等式 ． 19．【培优】已知函数 ． (1) 若 的定义域为 ，求 的取值范围； (2) 若 在 上单调递增，求 的取值范围． 20．【培优】（2026·全国·模拟）已知函数 是偶函数． (1) 求实数 的值； (2) 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $