专题2.4 指数与指数函数（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题2.4 指数与指数函数（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　根式与分数指数幂 4 知识点2　指数幂的运算性质 5 知识点3　指数函数的定义与图象 6 知识点4　指数函数的性质（单调性、定点、值域） 7 知识点5　指数函数的图象变换与比较大小 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　指数幂的化简与求值　★★ 9 重难点培优02　指数型函数的定义域与值域　★★ 11 重难点培优03　指数函数的图象与图象变换　★★★ 14 重难点培优04　指数式比较大小　★★★ 16 重难点培优05　解指数不等式与指数方程　★★★ 19 重难点培优06　指数型函数的单调性与奇偶性　★★★ 21 重难点培优07　指数函数与二次函数的复合问题（换元法）　★★★★ 24 重难点培优08　指数型恒成立与新定义问题　★★★★ 27 五、过关检测 31 一、单选题 31 二、多选题 33 三、填空题 34 四、解答题 35 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 根式与分数指数幂 理解 次方根与根式的概念，掌握根式的两条性质；会熟练地进行根式与分数指数幂的互化 指数幂的运算性质 掌握有理数指数幂的三条运算性质，能进行指数幂的化简、求值与条件求值，体会整体代换与方程思想 指数函数的定义与图象 理解指数函数 的定义，掌握其图象特征（恒过定点，按 与 分为两类） 指数函数的性质 掌握指数函数的单调性与定义域、值域，能用单调性比较大小、解指数不等式与指数方程 指数型函数的图象变换与综合 会由 的图象经平移、伸缩、对称、翻折得到指数型函数图象；掌握换元法处理复合函数、恒成立与新定义问题 近三年高考真题对指数与指数函数板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 含 的函数的最值求参 ★★★ 2026 全国二卷 T19 指数函数与导数的综合应用 ★★★★ 2026 上海卷 T13 指数式与对数式的互化 ★★ 2026 上海卷 T21 指数函数的新定义（"性质 "） ★★★★ 2025 全国一卷 T8 由指、对数等式比较大小（多变量） ★★★★ 2025 上海卷 T14 指数函数的单调性与底数分类讨论 ★★ 2025 天津卷 T5 指数型函数零点所在区间 ★★ 2025 北京卷 T8 指数（对数）模型的实际应用 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 指数型分段函数的单调性求参 ★★★ 2024 北京卷 T9 指数函数图象与对数式比较大小 ★★★ 2024 天津卷 T5 指数式与对数式比较大小 ★★ 2024 全国甲卷·理 T15 指数式与对数式的化简运算 ★★ 考情分析 指数与指数函数是函数板块的"地基"，近三年考查呈现"小题为主、交汇出新"的特点，分值约 5～10 分，难度以中档为主、偶有压轴。2026 年全国一卷以含参指数型函数的最值求参，全国二卷把 与导数综合；上海卷既考指数式与对数式的互化，又以"性质 "命制新定义压轴题。2025 年全国一卷用多变量指、对数等式比较大小，突出"多想少算"；上海卷借 考底数分类讨论，天津卷考指数型函数的零点区间，北京卷落在模型应用上。2024 年新课标Ⅰ卷以含 的分段函数单调性求参，北京卷把指数函数图象与对数式大小交汇，天津卷与全国甲卷则落在指数式与对数式的运算上。依据课程标准与高考评价体系，本板块核心素养指向"数学抽象、直观想象与数学运算"。预测 2027 年高考仍以"比较大小、含参单调性、换元求值域"为主线，并以恒成立与新定义为载体提升区分度。 复习目标 1．准确理解 次方根与分数指数幂的意义，熟练化简指数幂并完成条件求值； 2．掌握指数函数的图象与性质，能用单调性比较指数式大小、解指数不等式与方程； 3．熟练进行指数型函数的图象变换，会求其定义域、值域与单调区间； 4．掌握换元法、分类讨论与数形结合思想，突破复合函数、恒成立与新定义问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　指数与指数函数知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　根式与分数指数幂 一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根；式子 叫做根式， 叫做根指数， 叫做被开方数。 根式的两条性质： ①当 为奇数时，；当 为偶数时，； ②（ 为大于 的整数，且 使根式有意义）。 分数指数幂的规定（，，）： ①；②； ③ 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义。 结论：根式与分数指数幂可以互化，分数指数幂的引入使指数由整数扩展到了有理数范围，幂的运算由此得以统一。 【方法技巧】 1．化简根式抓"奇偶"：根指数 为奇数时"直接开"，为偶数时"先取绝对值再讨论正负"； 2．根式化分数指数幂一般按"先化幂、再算指数、最后落底数"三步走，尽量化为同底数或同指数； 3．含字母的化简，先由条件或根式有意义确定字母的取值范围，再脱去绝对值。 【易错清单】 1． 与 不是一回事：前者在 为偶数时结果为 ，后者恒为 （需 ）； 2．负数的偶次方根在实数范围内无意义，如 、 均无意义； 3．分数指数幂要求底数 ， 的底数不能为 。 知识点2　指数幂的运算性质 设 ，，，则有： ①；②；③。 三条性质可推广到实数指数幂，是化简、求值与证明恒等式的工具。 常用变形（整体代换的核心）： ①； ②； ③ 与 的关系：。 【方法技巧】 1．"给值求值"题的核心是整体代换：把 、 看作一个整体，并牢记这一"定值锚点"； 2．化简顺序：先统一底数与指数（化为分数指数幂），再用运算性质合并，最后化简系数； 3．含根号的式子先化成分数指数幂，运算完成后按题目要求回写为根式形式。 【易错清单】 1． 要求同底数，不同底数不能直接相加指数； 2． 与 极易混淆，注意"乘方"与"相乘"的区别； 3．开方结果的正负号不要漏：，只有当 时才等于 。 知识点3　指数函数的定义与图象 一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，定义域为 。 指数函数 的图象特征： ①图象都在 轴上方，且必过定点 ； ②当 时图象自左向右上升，当 时图象自左向右下降； ③ 轴是图象的"分界基准"： 时"左低右高"， 时"左高右低"。 对比项 定义域 值域 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 定点 过定点 过定点 函数值 当 时 ，当 时 当 时 ，当 时 底数与图象的关系：在 轴右侧，图象越"靠上"，底数越大；据此可比较两个指数函数的底数大小。 【方法技巧】 1．判断一个函数是否为指数函数，只看能否化为 （ 且 ，指数为纯自变量 ，系数为 ） 的形式； 2．画指数函数草图"三点定形"：、、，再按单调性连线； 3．识别图象对应的底数，用"右侧越高底越大"或代入 比较 值。 【易错清单】 1．指数函数的系数必须为 、指数必须为 ，形如 、、 都不是指数函数； 2．底数必须满足 且 ， 不是指数函数； 3．不要把"过定点 "错记为"过 "。 知识点4　指数函数的性质（单调性、定点、值域） 指数函数 的性质是解题的"发动机"，其核心可概括为：同底比大小，借助单调性；底数含参数，分类讨论 与 。 ①单调性： 时在 上单调递增， 时在 上单调递减； ②定点： 的图象过定点 ； ③值域： 恒成立，故 的值域为 ；把 视作整体 时必有 ，这是求指数型函数值域的关键； ④复合函数 的单调性遵循"同增异减"：外层 与内层 单调性相同则为增函数，相反则为减函数。 【方法技巧】 1．比较指数式大小"三步定法"：① 看底数是否相同；② 同底用单调性，同指用图象或作商；③ 底、指都不同时插入中间量 或 ； 2．解指数不等式先"化为同底"，即化为 ，再按 的范围转化为 与 的大小关系； 3．求 的值域，先求 的取值范围，再结合 的单调性下结论。 【易错清单】 1．底数含参时必须分 与 两种情况讨论，只按递增处理是最典型的漏解； 2．比较大小不要只盯"指数大小"，先判断各数与 的大小关系往往一步到位； 3．复合函数求单调区间要与定义域"取交集"，单调区间必须写在定义域内。 知识点5　指数函数的图象变换与比较大小 由 的图象出发，常见变换有： ①平移变换：（左右平移 个单位， 时右移）、（上下平移 个单位， 时上移）； ②对称变换： 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于原点对称； ③翻折变换： 由" 轴下方翻折到上方"得到， 由" 轴右侧保留并对称翻折到左侧"得到。 比较指数式（或指数式与其它数）大小的常用方法： ①同底不同指：利用指数函数的单调性比较； ②同指不同底：利用幂函数 的单调性或图象比较； ③底、指都不同：借助中间量 、 分组，或采用作差、作商法。 【方法技巧】 1．图象变换的顺序要固定，作图时抓"特殊点（定点、与坐标轴的交点）的迁移"； 2．比较大小没有统一"通法"时，"化为同底"与"插入中间量"是两条最可靠的路径； 3．含绝对值的指数型函数，作图用"保留左侧或右侧再对称"的方法： 保留 部分再向右翻左。 【易错清单】 1．平移方向与符号相反： 是右移 个单位，不是左移； 2．作 图象时，不要漏掉 轴左侧的对称部分，它关于 轴对称且过 ； 3．比较大小的结论必须在同一单调性前提下使用，底数不同时不能直接比较指数。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　指数幂的化简与求值　★★ 【解题技巧】指数幂化简求值"一化二算三回代"：先把根式统一化为分数指数幂、把不同底数化为同底或同指，再用运算性质合并。条件求值题的核心是"整体代换"——把 、 看作整体，用平方、立方关系搭桥，并牢记 这一"定值锚点"。 【注意事项】本重难点三大雷区：① 底数符号与范围未定就脱去绝对值；② 混淆 与 两条性质；③ 条件求值中平方后忘记讨论正负。凡遇"给值求值"，先平方、再看符号能否确定，不可直接开方。 【例1-1】（2024·全国甲卷·理·T15·高考真题改编）已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用换底公式把两个对数都化为以 为底，设 ，把条件转化为关于 的方程，再由 舍去负根。 【解答过程】设 。由换底公式 ，故 ； 又 ，故 。 代入得 ，整理得 ，解得 或 。 因为 ，所以 ，故 ，即 。故选 C。 【例1-2】（2026·安徽·合肥·模拟）计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】逐项把负分数指数幂化为根式或倒数，注意非零数的零次幂恒为 。 【解答过程】； ； 。 所以原式 。故选 D。 【例1-3】（2025·湖南·长沙·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把 写成 ，用完全平方公式与 整体代换。 【解答过程】因为 ，所以 。故选 B。 【变式1-1】化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】偶次根式化简要先取绝对值，奇次根式可直接开方。 【解答过程】（因为 ）；。 所以原式 。故选 A。 【变式1-2】计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把 、 次幂化为对应底数的倒数，并注意零次幂为 。 【解答过程】；；。 所以原式 。故选 C。 【变式1-3】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把所求式拆成 与 的组合，再用已知整体代入。 【解答过程】。故选 A。 【变式1-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把已知式两边平方，利用 化简。 【解答过程】由 ，得 。故选 B。 【变式1-5】已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先平方求出 ，再判断符号是否唯一确定。 【解答过程】， 由 解得 ，两个值都为正，其中 时 ， 时 ， 故 。故选 C。 重难点培优02　指数型函数的定义域与值域　★★ 【解题技巧】求指数型函数的定义域，只看"分母不为零、偶次根式被开方数非负"等限制，指数部分本身对一切实数都有意义。求值域的核心是"换元 + 二次函数（或单调性）"：令 ，把问题转化为 在 上的取值问题。 【注意事项】两大高频失分点：① 换元后忘记 ，把 当成全体实数求二次函数最值；② 判定复合函数单调性时忽略定义域。凡出现 ，先求 的定义域与取值范围，再套外层指数函数的单调性。 【例2-1】（2026·湖北·武汉·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】偶次根式被开方数大于零，且分母不为零，解指数不等式即可。 【解答过程】要使函数有意义，需 ，即 。 因为 在 上单调递增，所以 ，即定义域为 。故选 A。 【例2-2】（2025·四川·成都·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求指数 的取值范围，再结合 的单调性求值域。 【解答过程】设 ，则 。 因为 在 上单调递减，所以 ， 即函数的值域为 。故选 A。 【变式2-1】函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】偶次根式被开方数非负，转化为指数不等式再用单调性求解。 【解答过程】由 得 ，因为 单调递增，所以 ，定义域为 。故选 A。 【变式2-2】函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 的取值范围，再整体平移得到值域。 【解答过程】因为 ，所以 ，从而 ，值域为 。故选 A。 【变式2-3】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求指数 的最大值，再由 的单调性确定函数最大值。 【解答过程】。 因为 单调递增，所以 ，即最大值为 。故选 A。 【变式2-4】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】换元令 ，转化为二次函数在 上的值域问题。 【解答过程】令 ，则 ，。 因为 可以取到，所以 ，值域为 。故选 A。 【变式2-5】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先确定 的取值范围，再结合 的单调性求值域。 【解答过程】设 ，因为 在 上单调递减， 所以 ，值域为 。故选 A。 重难点培优03　指数函数的图象与图象变换　★★★ 【解题技巧】画指数型函数图象"两步走"：① 先画"母函数" 的草图；② 再按"平移—对称—翻折"的顺序逐步变形。识别图象题首选"特殊点排除法"：抓定点、与坐标轴的交点、极限趋势三大特征。 【注意事项】三个易错点：① 平移方向记反（ 是右移 个单位）；② 作 时漏掉 轴左侧的对称图象；③ 混淆 与 的翻折方式。记牢： 翻折的是"函数值"， 翻折的是"自变量"。 【例3-1】（2026·河北·石家庄·模拟）函数 的图象必过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令指数为零求出定点横坐标，再代入求纵坐标。 【解答过程】令 ，得 ，此时 ，故图象过定点 。故选 B。 【例3-2】（2024·江苏·南京·模拟）要得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向下平移 个单位长度 D．向上平移 个单位长度 【答案】A 【解题思路】对照平移法则"左加右减"，判断平移方向。 【解答过程】因为 ，相当于把 中的 换成 ， 由"左加右减"知应向右平移 个单位长度。故选 A。 【变式3-1】函数 的图象恒过定点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 过定点时指数为零，列方程求 。 【解答过程】当 时 ，故图象过定点 。由题意 。故选 C。 【变式3-2】函数 的图象关于（　　）对称，且在 上单调（　　） A． 轴，递增 B． 轴，递减 C．原点，递增 D． 轴，递增 【答案】A 【解题思路】由 判断对称性，再由 时的解析式判断单调性。 【解答过程】设 ，则 ，故图象关于 轴对称； 当 时 ，在 上单调递增。故选 A。 【变式3-3】将函数 的图象向下平移 个单位长度，所得图象与 轴交点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先写出平移后的函数解析式，再令函数值为零求交点横坐标。 【解答过程】平移后函数为 。 令 ，得 ，故 。故选 A。 【变式3-4】函数 的图象与直线 有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由 的图象经"下翻上"得到 的图象，再由水平直线与它的交点个数确定 。 【解答过程】由 的图象知：当 时 ，翻折后 ，在 上从 递减到 ；当 时 ，在 上从 递增到 。 所以水平直线 与图象有两个交点，当且仅当 。故选 A。 【变式3-5】若函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把已知点代入解析式，得关于 的方程，再由 且 取舍。 【解答过程】由题意 ，解得 或 。 因为 且 ，所以 。故选 A。 重难点培优04　指数式比较大小　★★★ 【解题技巧】比较大小的"三步定法"：① 看形式——同底、同指，还是底与指都不同；② 选方法——同底用单调性，同指用幂函数单调性或图象法，都不同时插入中间量 、；③ 定顺序——先与 比较分组，再组内比较。遇到"连等式"（如 型），常用赋值法或构造函数法。 【注意事项】比较大小最忌"想当然"：① 底数与 的关系没弄清就套单调性；② 忽略负指数与分数指数的大小规律，直接比较指数大小；③ 用"同一坐标系内图象"比较时，未把各函数画在同一系中。凡底数含参，一律分类讨论。 【例4-1】（2024·天津卷·T5·高考真题）设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】以 和 为分界点，先用指数函数、对数函数的单调性判断 与 的关系以及 的正负，再排序。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ， 所以 ，即 。 又 在 上单调递增，且 ， 所以 ，即 。 于是 ，故 。故选 D。 【例4-2】（2025·全国一卷·T8·高考真题）已知 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设公共值为 ，分别解出 关于 的表达式，取不同的 值代入验证各个选项是否可能出现。 【解答过程】设 ，则 ，，。 取 ：，，，此时 ，A 可能出现； 取 ：，，，此时 ，C 可能出现； 取 ：，，，此时 ，D 可能出现。 （由指数函数的单调性可知各方程只有唯一解，故 由 唯一确定。） 所以不可能出现的是 。故选 B。 【例4-3】（2024·北京卷·T9·高考真题）已知 ， 是函数 图象上两个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 与 的大小不能确定 【答案】B 【解题思路】把 用指数式表示，对 使用基本不等式，再两边取以 为底的对数。 【解答过程】由题意 ，，且 。 由基本不等式得 ， 即 。 两边取以 为底的对数（ 递增），得 。故选 B。 【变式4-1】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别判断三个数与 、 的大小关系，再排序。 【解答过程】；；。 所以 。故选 A。 【变式4-2】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由正指数幂判断 ，再用幂函数 在 上单调递增比较 。 【解答过程】；。 因为 在 上单调递增，且 ，所以 。 于是 。故选 B。 【变式4-3】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把 化为同指数（六次方）比较大小，再由范围判断 。 【解答过程】，，因为 且 ，所以 ，且 ； 又 ，所以 ，即 。故选 B。 【变式4-4】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由"底数小于 的指数函数递减"比较 ，再判断 与 的大小。 【解答过程】。 因为 在 上单调递减，且 ，所以 。 于是 。故选 B。 【变式4-5】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断 、，再用中间量与 比较 的大小。 【解答过程】；，且 ； ，而 ，比较 与 ：因为 ， 所以 ，即 。故选 A。 重难点培优05　解指数不等式与指数方程　★★★ 【解题技巧】解指数不等式（方程）的"一化二同三判断"：① 化为同底；② 化为指数相等或不等；③ 判断底数—— 时不等号方向不变， 时方向改变。底数带参数时必须分""与""两类讨论。 【注意事项】两个"致命细节"：① 底数在 内时不等号要变向，极易漏改；② 换元 后必须有 ，对 的二次不等式求解后要与 取交集。此外， 恒成立，故形如 的不等式无解。 【例5-1】（2025·天津卷·T5·高考真题）函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断 的单调性，再用零点存在性定理，代入区间端点的特殊值比较大小。 【解答过程】 在 上单调递减， 在 上单调递增， 所以 在 上单调递减。 ； （因为 ，而 ，故 ）； 。 由零点存在性定理，零点在 内。故选 B。 【例5-2】（2026·福建·厦门·模拟）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把不等式两边化为同底数幂，再按底数小于 时不等号变向求解。 【解答过程】原不等式化为 。 因为 在 上单调递减，所以 ，解得 ，解集为 。故选 A。 【变式5-1】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化同底后由 单调递增转化为二次不等式。 【解答过程】因为 单调递增，所以 ，即 ， 解得 ，解集为 。故选 A。 【变式5-2】方程 的解为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】换元令 ，解关于 的一元二次方程后回代求 。 【解答过程】令 ，则 ，原方程化为 ，解得 或 。 当 时 ，得 ；当 时 ，得 。 所以方程的解为 或 。故选 C。 【变式5-3】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】换元令 ，解二次不等式后注意 的限制。 【解答过程】令 ，则 ，原不等式化为 ，即 ， 解得 或 。又 ，故 ，即 ，得 ，解集为 。故选 A。 【变式5-4】若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先按"不等号方向"判断底数范围，再验证解集是否一致。 【解答过程】由解集 知原不等式等价于 ，即 ，说明指数不等式的方向未改变。 所以 单调递增，即 ， 的取值范围是 。故选 B。 【变式5-5】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先把各因式化为同底数 的幂，合并后再解不等式。 【解答过程】， 所以原不等式化为 ，由 单调递增得 ，即 ，解集为 。故选 A。 重难点培优06　指数型函数的单调性与奇偶性　★★★ 【解题技巧】研究 的单调性用"同增异减"：外层 与内层 单调性相同则复合函数递增，相反则递减，必须先求定义域、再求单调区间。判断奇偶性"先看定义域是否关于原点对称，再验证 与 的关系"；形如 的"指数分式"通常是奇函数。 【注意事项】三个易错点：① 求 的单调区间时直接沿用 的单调区间，忽略"同增异减"；② 判断奇偶性时忘记先检验定义域是否对称；③ 分段函数在 上单调，必须同时满足"每段单调"与"衔接点处不'掉头'"。 【例6-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T6·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分段函数在 上单调递增，需"每一段单调递增"且"衔接点处不'掉头'"，据此列不等式组。 【解答过程】当 时，， 其图象开口向下、对称轴为 ，要在 上单调递增，需 ，即 ，此时在 上 。 当 时， 与 都单调递增，所以 在 上单调递增，且 。 要使 在 上单调递增，还需衔接处 ，即 。 综上，。故选 B。 【例6-2】（2025·上海卷·T14·高考真题）设 ，，下列各项中，能推出 的一项是（　　） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【答案】D 【解题思路】把 写成 ，按 与 两种情形，用指数函数单调性把不等式翻译为指数的大小关系。 【解答过程】。 当 时， 单调递增，，A（）、B（）均不能推出； 当 时， 单调递减，，取 必有 ，故 D 能推出；而 C（）不能推出（如 时 ）。 故选 D。 【变式6-1】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用"同增异减"判断：外层底数小于 为减函数，故要使复合函数递增，内层需递减。 【解答过程】设 ，则 在 上单调递减、在 上单调递增。 外层 单调递减，由"同增异减"知原函数在 上单调递增。故选 B。 【变式6-2】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【解题思路】先看定义域是否关于原点对称，再化简 并与 、 比较。 【解答过程】定义域为 ，关于原点对称。 ， 所以 是奇函数。故选 A。 【变式6-3】已知函数 ，则 （　　） A．是奇函数且在 上单调递增 B．是奇函数且在 上单调递减 C．是偶函数且在 上单调递增 D．是偶函数且在 上单调递减 【答案】A 【解题思路】先由 判断奇偶性，再借助两个增、减函数的组合判断单调性。 【解答过程】，故 是奇函数； 在 上递增， 在 上递增（因为 递减），两个增函数之和仍为增函数，故 在 上单调递增。故选 A。 【变式6-4】若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 【答案】A 【解题思路】由外层递减，把"复合函数递减"转化为"内层函数在 上递增"，再用二次函数对称轴定位。 【解答过程】外层 单调递减，要使 在 上单调递减，需内层 在 上单调递增。 因为 的图象开口向上、对称轴为 ，故只需 ，即 。故选 A。 【变式6-5】设 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用偶函数性质 ，再代入 时的解析式。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 。故选 C。 重难点培优07　指数函数与二次函数的复合问题（换元法）　★★★★ 【解题技巧】换元法是本重难点的"解题总纲"：令 （或 ），由 （或 ）把指数型函数转化为二次函数 ，再在给定区间上求最值、值域或解参数不等式。换元后必须立即写出新元 的准确范围，这是换元法成败的关键一步。 【注意事项】换元法的三个"陷阱"：① 忽略 （或 的其他限制），导致最值取错位置；② 二次函数对称轴与区间的位置关系讨论不全；③ 求参数范围时忘记回代检验端点能否取到。牢记："元换到位，范围跟上"。 【例7-1】（2026·浙江·杭州·模拟）已知函数 ，，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】换元令 ，先由 求出 的范围，再在闭区间上求二次函数的值域。 【解答过程】令 。因为 且 单调递增，所以 。 。 因为 ，所以当 时取最小值 ； 当 时 ，当 时 ，故最大值为 。 所以值域为 。故选 A。 【例7-2】（2025·江西·南昌·模拟）若函数 在区间 上的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】换元令 ，先分 与 讨论 在 上的最大值，再由二次函数单调性列方程求 。 【解答过程】令 ，则 ，在 时随 增大而增大，故最大值在 的最大值处取得。 ①若 ：当 时 ，最大值为 时的值， 由 得 ，解得 （ 舍去）； ②若 ：当 时 ，最大值为 时的值， 由 得 ，令 ，得 ，解得 ，即 。 综上， 或 。故选 C。 【变式7-1】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】换元令 ，转化为二次函数在 上的最小值问题。 【解答过程】令 ，则 ，。 因为 可以取到，所以当 即 时取最小值 。故选 A。 【变式7-2】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】换元令 ，配方求二次函数在 上的最小值。 【解答过程】令 ，则 ，。 因为 可以取到，所以 ，值域为 。故选 A。 【变式7-3】已知函数 在 上的最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】换元令 ，按二次函数对称轴与区间的位置关系分三种情况讨论。 【解答过程】令 ，因为 ，所以 。，其对称轴为 。 ①若 （即 ）： 在 上递增，最小值 ，得 ，与 矛盾，舍去； ②若 （即 ）：最小值 ，得 ，即 ，符合； ③若 （即 ）： 在 上递减，最小值 ，得 ，与 矛盾，舍去。 综上，。故选 B。 【变式7-4】若函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】换元令 ，先由 确定 ，再求二次函数在闭区间上的最值。 【解答过程】令 ，因为 ，所以 。 。 当 时取最小值 ；当 时取最大值 。 所以 。故选 A。 【变式7-5】已知函数 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】换元令 ，用基本不等式或二次函数配方求最小值。 【解答过程】令 ，则 ， 当且仅当 （即 ）时取等号，所以最小值为 。故选 B。 重难点培优08　指数型恒成立与新定义问题　★★★★ 【解题技巧】恒成立问题"三招"：① 分离参数——把参数孤立到一侧，转化为求另一侧函数的（最）值；② 换元转化——令 化为二次不等式组；③ 数形结合——把不等式两边看成两个函数，比较图象位置。新定义题"读—译—算"：逐字读清定义（尤其"任意/存在""且/或"），把新定义翻译成指数函数的单调性、值域或奇偶性，再代入计算。 【注意事项】恒成立的"等价变形"最易出错：① 混淆"恒成立"与"能成立"——前者取最值、后者也取最值但方向相反；② 分离参数时，所除式子的符号未定，导致不等号方向错误；③ 新定义中"任意 "与"当 "等条件读漏。 【例8-1】（2026·上海卷·T21·高考真题改编）设 是定义在 上的函数，若对任意 ，当 时都有 ，则称 具有"性质 "。下列函数中具有"性质 "的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把"性质 "翻译为"函数值随自变量绝对值增大而增大"，逐一验证四个函数。 【解答过程】具有"性质 "等价于：当 时 ，即 随 增大而增大。 A：取 ，，则 ，但 ，不合； B： 单调递减，取 ，，则 ，不合； C：，当 时由 单调递增得 ，符合； D： 随 增大而减小，不合。 故选 C。 【例8-2】（2025·北京卷·T8·高考真题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需要时间 （单位：小时），其中 为常数。已知训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加 小时；当训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由第一次增量的条件求出常数 ，再代入第二次的前后数据求训练时间之差。 【解答过程】由题意 ， 即 ，所以 。 所以第二次训练时间增加 （小时）。 故选 B。 【例8-3】（2026·全国二卷·T19·高考真题改编）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用"切点在切线上"求出 ，再利用"切线斜率等于导数值"求出 。 【解答过程】，故切点为 。 因为切点在切线 上，所以 。 又 ，切线斜率 ， 由切线方程知 ，所以 ，解得 。 所以 。故选 C。 【变式8-1】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把恒成立问题转化为" 小于 在给定区间上的最小值"，注意端点能否取等。 【解答过程】因为 在 上单调递增，所以 的最小值为 。 要使 对一切 恒成立，只需 。故选 A。 【变式8-2】若函数 满足对任意 都有 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把"差商恒正"翻译为"函数在 上单调递增"，再确定底数范围。 【解答过程】 表示函数 在 上单调递增。 因为 单调递增当且仅当 ，所以 的取值范围是 。故选 B。 【变式8-3】设函数 ，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把函数变形为 ，再求分式部分的取值范围。 【解答过程】。 因为 ，所以 ，从而 ，故 ，值域为 。故选 A。 【变式8-4】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】换元令 ，分离参数得 ，再求右侧函数在 上的最小值。 【解答过程】令 ，因为 ，所以 。 不等式化为 ，即 对一切 恒成立。 因为 在 上单调递增，所以其最小值为 。 所以 。故选 A。 【变式8-5】已知定义在 上的函数 ，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断 是偶函数且在 上单调递增，再把不等式化为关于 与 的不等式。 【解答过程】，故 是偶函数；当 时 单调递增， 所以 。 两边平方得 ，即 ， 化简得 ，即 ，解得 。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把负分数指数幂化为对应底数的正指数幂，并注意零次幂为 。 【解答过程】，，所以原式 。故选 C。 2．【巩固】函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令指数为零求定点横坐标，再代入求纵坐标。 【解答过程】令 ，得 ，此时 ，故图象恒过定点 。故选 B。 3．【巩固】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由幂函数 的单调性比较 ，再由对数函数判断 的符号。 【解答过程】 在 上单调递增，，故 ；。 所以 。故选 B。 4．【巩固】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化为同底数幂后利用 的单调性求解。 【解答过程】，因为 单调递增，所以 ，解集为 。故选 A。 5．【进阶】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由偶次根式被开方数为正、分母不为零列不等式，再用指数函数单调性求解。 【解答过程】要使函数有意义，需 ，即 ，由 单调递增得 ， 故定义域为 。故选 A。 6．【进阶】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先化简为 ，再用"同增异减"判断单调区间。 【解答过程】。 设 ， 在 上单调递增，外层 单调递增， 由"同增异减"知原函数在 上单调递增。故选 A。 7．【进阶】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先求指数 的最小值，再由 的单调性求最大值。 【解答过程】。 因为 单调递减，所以 ，最大值为 。故选 C。 8．【进阶】若函数 是偶函数，则实数 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由偶函数定义 对一切 成立，比较对应项系数求 。 【解答过程】。由 得 对一切 成立， 整理得 ，即 恒成立， 故 。故选 B。 二、多选题 9．【进阶】下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解题思路】逐一判断各函数的单调性，增函数之和仍为增函数。 【解答过程】A： 在 上单调递增，正确； B： 在 上单调递减，错误； C： 递增， 递增（因为 递减），两个增函数之和递增，正确； D： 在 上单调递减，错误。 故选 AC。 10．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的定义域为 B． 的值域为 C． 在 上单调递增 D． 的图象过点 【答案】ABD 【解题思路】直接套用指数函数 的定义域、值域、单调性与定点。 【解答过程】 是指数函数：定义域为 ，A 正确；值域为 ，B 正确； 因 ，故在 上单调递减，C 错误；图象过点 ，D 正确。 故选 ABD。 11．【进阶】设 且 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．函数 的值域为 D．若 ，则 【答案】ABC 【解题思路】逐项用指数函数的单调性与同底幂相等的性质判断。 【解答过程】A： 两边除以 得 ，结合 得 ，正确； B：底数 且 时，，正确； C：由指数函数的性质知值域为 ，正确； D：若 ，由 得 ，故 D 错误。 故选 ABC。 12．【培优】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 B． 在 上单调递增 C． 的值域为 D．方程 有实数解 【答案】ABC 【解题思路】换元令 ，把 化为二次函数后逐项判断。 【解答过程】令 ，则 。 A：当 （即 ）时取最小值 ，正确； B：当 时 ， 在 上递增，且 随 增大而增大，故 在 上单调递增，正确； C： 时 ，且可趋于 ，值域为 ，正确； D： 已小于最小值，故方程 无实数解，错误。 故选 ABC。 三、填空题 13．【巩固】计算： ______． 【答案】 【解题思路】分别化成分数指数幂与正指数幂后求和。 【解答过程】，，所以原式 。 14．【进阶】函数 的值域为 ______． 【答案】 【解题思路】先求 的取值范围，再整体平移。 【解答过程】因为 ，所以 ，从而 ，值域为 。 15．【进阶】不等式 的解集为 ______． 【答案】 【解题思路】化为同底数幂，由底数小于 时不等号变向，转化为二次不等式。 【解答过程】原不等式化为 。 因为 单调递减，所以 ，即 ， 解得 或 ，解集为 。 16．【培优】已知函数 是奇函数，则实数 ______． 【答案】 【解题思路】由奇函数定义 对一切 成立，通分后比较分子求 。 【解答过程】定义域为 ，关于原点对称。 ， 由 得 ， 故 对一切 成立，即 ，解得 。 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的定义域与值域； (2) 判断 的单调性，并用定义加以证明． 【答案】(1) 定义域为 ，值域为 ；(2) 在 上单调递减． 【解题思路】(1) 由 确定定义域，再由 的取值范围确定值域；(2) 用"取值—作差—定号"的定义法证明。 【解答过程】(1) 因为 对一切 都有意义，且 恒不为零，所以定义域为 。 又 ，所以 ，即值域为 。 (2) 任取 且 ，则 。 因为 单调递增，，所以 ，分子为正，而分母也为正， 故 ，即 ，所以 在 上单调递减。 18．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的最小值； (2) 解不等式 ． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】换元令 ，把问题转化为二次函数的最值与二次不等式。 【解答过程】(1) 令 ，则 ，。 因为 可以取到（此时 ），所以 ，最小值为 。 (2) 即 ，化简得 ，即 ， 解得 或 。又 ，故 ，即 ，所以 ， 不等式的解集为 。 19．【培优】已知函数 在 上的最大值为 ． (1) 求实数 的值； (2) 解关于 的不等式 ． 【答案】(1) 或 ；(2) 当 时解集为 ，当 时解集为 ． 【解题思路】(1) 按 与 讨论最大值位置；(2) 按底数与 的关系分类，把不等式转化为二次不等式。 【解答过程】(1) ①若 ， 在 上单调递增，最大值为 ； ②若 ， 在 上单调递减，最大值为 ，解得 。 综上， 或 。 (2) 当 时， 单调递增，原不等式等价于 ，即 ，解得 或 ； 当 时， 单调递减，原不等式等价于 ，即 ，解得 。 所以当 时，解集为 ；当 时，解集为 。 20．【培优】已知函数 ． (1) 判断并证明 的奇偶性； (2) 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1) 为奇函数；(2) ． 【解题思路】(1) 用定义验证 ；(2) 先判断 的单调性，把不等式化为关于 的二次不等式恒成立问题，再用判别式求解。 【解答过程】(1) 定义域为 ，关于原点对称。 ，所以 是奇函数。 (2) 因为 ，而 单调递增， 所以 在 上单调递增。 由 得 ， 所以 ，即 对任意 恒成立。 于是只需 ，解得 。 所以实数 的取值范围是 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 指数与指数函数（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　根式与分数指数幂 4 知识点2　指数幂的运算性质 5 知识点3　指数函数的定义与图象 6 知识点4　指数函数的性质（单调性、定点、值域） 7 知识点5　指数函数的图象变换与比较大小 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　指数幂的化简与求值　★★ 9 重难点培优02　指数型函数的定义域与值域　★★ 10 重难点培优03　指数函数的图象与图象变换　★★★ 11 重难点培优04　指数式比较大小　★★★ 12 重难点培优05　解指数不等式与指数方程　★★★ 13 重难点培优06　指数型函数的单调性与奇偶性　★★★ 14 重难点培优07　指数函数与二次函数的复合问题（换元法）　★★★★ 15 重难点培优08　指数型恒成立与新定义问题　★★★★ 16 五、过关检测 19 一、单选题 19 二、多选题 20 三、填空题 21 四、解答题 21 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 根式与分数指数幂 理解 次方根与根式的概念，掌握根式的两条性质；会熟练地进行根式与分数指数幂的互化 指数幂的运算性质 掌握有理数指数幂的三条运算性质，能进行指数幂的化简、求值与条件求值，体会整体代换与方程思想 指数函数的定义与图象 理解指数函数 的定义，掌握其图象特征（恒过定点，按 与 分为两类） 指数函数的性质 掌握指数函数的单调性与定义域、值域，能用单调性比较大小、解指数不等式与指数方程 指数型函数的图象变换与综合 会由 的图象经平移、伸缩、对称、翻折得到指数型函数图象；掌握换元法处理复合函数、恒成立与新定义问题 近三年高考真题对指数与指数函数板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 含 的函数的最值求参 ★★★ 2026 全国二卷 T19 指数函数与导数的综合应用 ★★★★ 2026 上海卷 T13 指数式与对数式的互化 ★★ 2026 上海卷 T21 指数函数的新定义（"性质 "） ★★★★ 2025 全国一卷 T8 由指、对数等式比较大小（多变量） ★★★★ 2025 上海卷 T14 指数函数的单调性与底数分类讨论 ★★ 2025 天津卷 T5 指数型函数零点所在区间 ★★ 2025 北京卷 T8 指数（对数）模型的实际应用 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 指数型分段函数的单调性求参 ★★★ 2024 北京卷 T9 指数函数图象与对数式比较大小 ★★★ 2024 天津卷 T5 指数式与对数式比较大小 ★★ 2024 全国甲卷·理 T15 指数式与对数式的化简运算 ★★ 考情分析 指数与指数函数是函数板块的"地基"，近三年考查呈现"小题为主、交汇出新"的特点，分值约 5～10 分，难度以中档为主、偶有压轴。2026 年全国一卷以含参指数型函数的最值求参，全国二卷把 与导数综合；上海卷既考指数式与对数式的互化，又以"性质 "命制新定义压轴题。2025 年全国一卷用多变量指、对数等式比较大小，突出"多想少算"；上海卷借 考底数分类讨论，天津卷考指数型函数的零点区间，北京卷落在模型应用上。2024 年新课标Ⅰ卷以含 的分段函数单调性求参，北京卷把指数函数图象与对数式大小交汇，天津卷与全国甲卷则落在指数式与对数式的运算上。依据课程标准与高考评价体系，本板块核心素养指向"数学抽象、直观想象与数学运算"。预测 2027 年高考仍以"比较大小、含参单调性、换元求值域"为主线，并以恒成立与新定义为载体提升区分度。 复习目标 1．准确理解 次方根与分数指数幂的意义，熟练化简指数幂并完成条件求值； 2．掌握指数函数的图象与性质，能用单调性比较指数式大小、解指数不等式与方程； 3．熟练进行指数型函数的图象变换，会求其定义域、值域与单调区间； 4．掌握换元法、分类讨论与数形结合思想，突破复合函数、恒成立与新定义问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　指数与指数函数知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　根式与分数指数幂 一般地，如果 ，那么 叫做 的 次方根；式子 叫做根式， 叫做根指数， 叫做被开方数。 根式的两条性质： ①当 为奇数时，；当 为偶数时，； ②（ 为大于 的整数，且 使根式有意义）。 分数指数幂的规定（，，）： ①；②； ③ 的正分数指数幂等于 ， 的负分数指数幂没有意义。 结论：根式与分数指数幂可以互化，分数指数幂的引入使指数由整数扩展到了有理数范围，幂的运算由此得以统一。 【方法技巧】 1．化简根式抓"奇偶"：根指数 为奇数时"直接开"，为偶数时"先取绝对值再讨论正负"； 2．根式化分数指数幂一般按"先化幂、再算指数、最后落底数"三步走，尽量化为同底数或同指数； 3．含字母的化简，先由条件或根式有意义确定字母的取值范围，再脱去绝对值。 【易错清单】 1． 与 不是一回事：前者在 为偶数时结果为 ，后者恒为 （需 ）； 2．负数的偶次方根在实数范围内无意义，如 、 均无意义； 3．分数指数幂要求底数 ， 的底数不能为 。 知识点2　指数幂的运算性质 设 ，，，则有： ①；②；③。 三条性质可推广到实数指数幂，是化简、求值与证明恒等式的工具。 常用变形（整体代换的核心）： ①； ②； ③ 与 的关系：。 【方法技巧】 1．"给值求值"题的核心是整体代换：把 、 看作一个整体，并牢记这一"定值锚点"； 2．化简顺序：先统一底数与指数（化为分数指数幂），再用运算性质合并，最后化简系数； 3．含根号的式子先化成分数指数幂，运算完成后按题目要求回写为根式形式。 【易错清单】 1． 要求同底数，不同底数不能直接相加指数； 2． 与 极易混淆，注意"乘方"与"相乘"的区别； 3．开方结果的正负号不要漏：，只有当 时才等于 。 知识点3　指数函数的定义与图象 一般地，函数 叫做指数函数，其中 是自变量，定义域为 。 指数函数 的图象特征： ①图象都在 轴上方，且必过定点 ； ②当 时图象自左向右上升，当 时图象自左向右下降； ③ 轴是图象的"分界基准"： 时"左低右高"， 时"左高右低"。 对比项 定义域 值域 单调性 在 上单调递增 在 上单调递减 定点 过定点 过定点 函数值 当 时 ，当 时 当 时 ，当 时 底数与图象的关系：在 轴右侧，图象越"靠上"，底数越大；据此可比较两个指数函数的底数大小。 【方法技巧】 1．判断一个函数是否为指数函数，只看能否化为 （ 且 ，指数为纯自变量 ，系数为 ） 的形式； 2．画指数函数草图"三点定形"：、、，再按单调性连线； 3．识别图象对应的底数，用"右侧越高底越大"或代入 比较 值。 【易错清单】 1．指数函数的系数必须为 、指数必须为 ，形如 、、 都不是指数函数； 2．底数必须满足 且 ， 不是指数函数； 3．不要把"过定点 "错记为"过 "。 知识点4　指数函数的性质（单调性、定点、值域） 指数函数 的性质是解题的"发动机"，其核心可概括为：同底比大小，借助单调性；底数含参数，分类讨论 与 。 ①单调性： 时在 上单调递增， 时在 上单调递减； ②定点： 的图象过定点 ； ③值域： 恒成立，故 的值域为 ；把 视作整体 时必有 ，这是求指数型函数值域的关键； ④复合函数 的单调性遵循"同增异减"：外层 与内层 单调性相同则为增函数，相反则为减函数。 【方法技巧】 1．比较指数式大小"三步定法"：① 看底数是否相同；② 同底用单调性，同指用图象或作商；③ 底、指都不同时插入中间量 或 ； 2．解指数不等式先"化为同底"，即化为 ，再按 的范围转化为 与 的大小关系； 3．求 的值域，先求 的取值范围，再结合 的单调性下结论。 【易错清单】 1．底数含参时必须分 与 两种情况讨论，只按递增处理是最典型的漏解； 2．比较大小不要只盯"指数大小"，先判断各数与 的大小关系往往一步到位； 3．复合函数求单调区间要与定义域"取交集"，单调区间必须写在定义域内。 知识点5　指数函数的图象变换与比较大小 由 的图象出发，常见变换有： ①平移变换：（左右平移 个单位， 时右移）、（上下平移 个单位， 时上移）； ②对称变换： 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于 轴对称； 与 的图象关于原点对称； ③翻折变换： 由" 轴下方翻折到上方"得到， 由" 轴右侧保留并对称翻折到左侧"得到。 比较指数式（或指数式与其它数）大小的常用方法： ①同底不同指：利用指数函数的单调性比较； ②同指不同底：利用幂函数 的单调性或图象比较； ③底、指都不同：借助中间量 、 分组，或采用作差、作商法。 【方法技巧】 1．图象变换的顺序要固定，作图时抓"特殊点（定点、与坐标轴的交点）的迁移"； 2．比较大小没有统一"通法"时，"化为同底"与"插入中间量"是两条最可靠的路径； 3．含绝对值的指数型函数，作图用"保留左侧或右侧再对称"的方法： 保留 部分再向右翻左。 【易错清单】 1．平移方向与符号相反： 是右移 个单位，不是左移； 2．作 图象时，不要漏掉 轴左侧的对称部分，它关于 轴对称且过 ； 3．比较大小的结论必须在同一单调性前提下使用，底数不同时不能直接比较指数。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　指数幂的化简与求值　★★ 【例1-1】（2024·全国甲卷·理·T15·高考真题改编）已知 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2026·安徽·合肥·模拟）计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 【例1-3】（2025·湖南·长沙·模拟）已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-1】化简 的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-4】已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-5】已知 （），则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优02　指数型函数的定义域与值域　★★ 【例2-1】（2026·湖北·武汉·模拟）函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·四川·成都·模拟）函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】函数 的定义域是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　指数函数的图象与图象变换　★★★ 【例3-1】（2026·河北·石家庄·模拟）函数 的图象必过定点（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2024·江苏·南京·模拟）要得到函数 的图象，只需把函数 的图象（　　） A．向右平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度 C．向下平移 个单位长度 D．向上平移 个单位长度 【变式3-1】函数 的图象恒过定点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式3-2】函数 的图象关于（　　）对称，且在 上单调（　　） A． 轴，递增 B． 轴，递减 C．原点，递增 D． 轴，递增 【变式3-3】将函数 的图象向下平移 个单位长度，所得图象与 轴交点的横坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】函数 的图象与直线 有两个不同的交点，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】若函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优04　指数式比较大小　★★★ 【例4-1】（2024·天津卷·T5·高考真题）设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2025·全国一卷·T8·高考真题）已知 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2024·北京卷·T9·高考真题）已知 ， 是函数 图象上两个不同的点，则（　　） A． B． C． D． 与 的大小不能确定 【变式4-1】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　解指数不等式与指数方程　★★★ 【例5-1】（2025·天津卷·T5·高考真题）函数 的零点所在区间是（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·福建·厦门·模拟）不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】方程 的解为（　　） A． B． C． 或 D． 【变式5-3】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】若关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　指数型函数的单调性与奇偶性　★★★ 【例6-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T6·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·上海卷·T14·高考真题）设 ，，下列各项中，能推出 的一项是（　　） A．，且 B．，且 C．，且 D．，且 【变式6-1】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】函数 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【变式6-3】已知函数 ，则 （　　） A．是奇函数且在 上单调递增 B．是奇函数且在 上单调递减 C．是偶函数且在 上单调递增 D．是偶函数且在 上单调递减 【变式6-4】若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 【变式6-5】设 是定义在 上的偶函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优07　指数函数与二次函数的复合问题（换元法）　★★★★ 【例7-1】（2026·浙江·杭州·模拟）已知函数 ，，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2025·江西·南昌·模拟）若函数 在区间 上的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【变式7-1】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数 在 上的最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-4】若函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知函数 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　指数型恒成立与新定义问题　★★★★ 【例8-1】（2026·上海卷·T21·高考真题改编）设 是定义在 上的函数，若对任意 ，当 时都有 ，则称 具有"性质 "。下列函数中具有"性质 "的是（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2025·北京卷·T8·高考真题）在一定条件下，某人工智能大语言模型训练 个单位的数据量所需要时间 （单位：小时），其中 为常数。已知训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加 小时；当训练数据量 从 个单位增加到 个单位时，训练时间增加（单位：小时）（　　） A． B． C． D． 【例8-3】（2026·全国二卷·T19·高考真题改编）已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-1】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】若函数 满足对任意 都有 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】设函数 ，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】已知定义在 上的函数 ，则满足 的 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】计算 的结果为（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】函数 的图象恒过定点（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】函数 的定义域为（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】函数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】若函数 是偶函数，则实数 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 10．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的定义域为 B． 的值域为 C． 在 上单调递增 D． 的图象过点 11．【进阶】设 且 ，则下列结论正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．函数 的值域为 D．若 ，则 12．【培优】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的最小值为 B． 在 上单调递增 C． 的值域为 D．方程 有实数解 三、填空题 13．【巩固】计算： ______． 14．【进阶】函数 的值域为 ______． 15．【进阶】不等式 的解集为 ______． 16．【培优】已知函数 是奇函数，则实数 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的定义域与值域； (2) 判断 的单调性，并用定义加以证明． 18．【进阶】已知函数 ． (1) 求 的最小值； (2) 解不等式 ． 19．【培优】已知函数 在 上的最大值为 ． (1) 求实数 的值； (2) 解关于 的不等式 ． 20．【培优】已知函数 ． (1) 判断并证明 的奇偶性； (2) 若不等式 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $