专题1.4 基本不等式及其应用（复习讲义）（全国通用）-2027年高考数学一轮复习培优系列

专题1.4 基本不等式及其应用（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　基本不等式的内容与成立条件（一正二定三相等） 4 知识点2　几个常用变形与常用结论 5 知识点3　配凑法求最值 6 知识点4　常数代换（乘 1 法） 7 知识点5　基本不等式在实际与多元问题中的应用 8 四、重难点培优 10 重难点培优01　利用基本不等式求最值（配凑）　★★ 10 重难点培优02　乘 1 法（常数代换）　★★ 12 重难点培优03　消元、换元与齐次化　★★★ 15 重难点培优04　多元最值与"1"的代换综合　★★★ 18 重难点培优05　利用基本不等式证明不等式　★★★ 20 重难点培优06　含参恒成立与能成立问题　★★★★ 23 重难点培优07　基本不等式的实际应用　★★★ 25 重难点培优08　与函数、三角、解析几何交汇问题　★★★★ 28 五、过关检测 32 一、单选题 32 二、多选题 34 三、填空题 35 四、解答题 36 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 基本不等式的内容与成立条件 理解 的代数意义与几何意义，牢记一正、二定、三相等三要素，能准确判断一个式子能否使用基本不等式 基本不等式的常用变形与结论 掌握 、、 等变形，理解并会运用基本不等式链 利用基本不等式求最值 熟练掌握配凑、乘 1 法（常数代换）、消元、换元、齐次化等技巧，会用"和定积最大、积定和最小"模型求最值 基本不等式的综合应用 能利用基本不等式解决实际优化问题、含参恒成立与能成立问题，并能证明简单的不等式 近三年全国及各省市高考对基本不等式的考查一览（2024—2026）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 天津卷 T7 型最值 ★★ 2026 上海卷·填空 条件 下求 的最大值 ★★ 2026 上海卷·填空 条件 下求 的最大值 ★★ 2026 北京卷 与不等关系交汇的不等式性质判断 ★★ 2025 北京卷 T6 基本不等式成立条件与常用变形的辨析 ★★ 2025 上海卷·填空 "乘 1 法"求 的最小值 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T18(1) 导数综合中用不等式求参数的最小值 ★★★★ 2024 北京卷 T9 与指数函数交汇比较大小 ★★★ 2024 上海卷·填空 条件 下求 的最小值 ★★ 2024 全国甲卷·理 T23 用基本不等式与绝对值性质证明不等式 ★★★ 2024 全国甲卷·文 T23 绝对值不等式与基本不等式综合 ★★★ 考情分析 基本不等式是解决最值问题的核心工具，也是高考的高频考点。近三年命题呈现"独立考查稳中求变、交汇融合逐年加强"的特点：北京、天津、上海卷多以选择题或填空题直接考查最值与不等式辨析（如 2026 天津卷 T7、2025 北京卷 T6、2024 上海卷填空），全国甲卷则把基本不等式与绝对值、放缩技巧结合，以选考题形式考查不等式证明（2024 全国甲卷·理 T23）；2024 新课标Ⅰ卷更把它嵌入导数综合题的第 (1) 问，要求考生在复杂情境中灵活运用。依据《普通高中数学课程标准》，本板块集中体现"数学运算、逻辑推理与数学建模"三大核心素养。预测 2027 年高考仍会以"和定积最大、积定和最小"为基本模型，以配凑、乘 1 法、消元与齐次化、含参恒成立、实际应用与多板块交汇为载体，着重考查等价转化能力与等号成立条件的检验，区分度稳中有升。 复习目标 1．记住基本不等式的三种常用表述与"一正、二定、三相等"的完整条件，养成"用前先验条件、用后必验等号"的解题习惯； 2．熟练掌握配凑、乘 1 法（常数代换）、消元、换元与齐次化等变形技巧，能针对不同结构选择最优方法； 3．会用基本不等式处理含参恒成立与能成立问题，能借助函数单调性处理"等号取不到"的最值问题； 4．能建立实际问题的函数模型并用基本不等式求最值，能完成简单不等式的证明，体会放缩与化归思想。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　基本不等式知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　基本不等式的内容与成立条件（一正二定三相等） 若 ，，则 ，当且仅当 时取等号，即 。其中 叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数，故基本不等式又叫均值不等式。 名称 表达式 核心说明 基本不等式 算术平均数不小于几何平均数 重要变形 由 或 得到 积定和最小 且 为定值时， 有最小值 和定积最大 且 为定值时， 有最大值 使用基本不等式的三个前提条件： ①一正——各项必须为正数（或化为同号），否则不能直接套用； ②二定——和或积中必须有一个为定值，否则求不出确定的最值； ③三相等——等号能够取到，即存在满足条件的自变量使取等成立，否则最值取不到。 【方法技巧】 1．几何直观记忆： 是半弦、 是半径，半径不小于半弦，等号在半弦与半径重合（即 ）时成立； 2．"一正"可用换元化正：如 时求 的最大值，令 ，把问题转化为求 的最大值； 3．"二定"看结构："和定求积最大、积定求和最小"，先判断谁是定值，再决定用哪种变形。 【易错清单】 1．忽略"一正"：如 时 是错误的， 为负数时不等号反向； 2．忽略"三相等"：用 求最值时，若取等条件 不在给定范围内，则最小值并非 ，需改用函数单调性； 3． 与 都要在 下使用，而 对一切实数 都成立。 知识点2　几个常用变形与常用结论 由基本不等式可推出以下常用变形与结论（均设 ）： ①，； ②，等价于 ； ③（ 同号即可）； ④基本不等式链：，从左到右依次为调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数。 几个高频结论： 1． 时 ； 时 ； 2．若 且 ，则 ；若 ，则 ； 3．（），这是"乘 1 法"的理论依据。 【方法技巧】 1．"取倒"变形：，在 为定值时可直接转化为 与 的关系； 2．"平方"变形：由 可把"平方和"与"和的平方"互相转化，处理 型问题时常用； 3．均值不等式链用于比较大小与估值，记忆口诀"调、几、算、方"（数值从小到大）。 【易错清单】 1． 只要求 ，不要求 都为正；若 则结论反号； 2． 的等号成立条件是 ，而 还需 ，两者适用范围的差别最易混淆； 3．"积定和最小"与"和定积最大"不要用反：已知积为定值只能求和的最小值，已知和为定值只能求积的最大值。 知识点3　配凑法求最值 当题中给出的式子与"和定"或"积定"的标准形式有差距时，可通过拆项、添项、凑系数等手段进行配凑，把式子整理成能直接使用基本不等式的结构。常见的配凑手段有： 1．减项配凑： 时求 ，把 拆成 ，得 ； 2．乘系数配凑： 时求 的最大值，先写成 ，再用"和定积最大"； 3．分离常数配凑：把 型化为 的形式，再对 用基本不等式。 例如： 时，，当 即 时取最小值 。 【方法技巧】 1．配凑的"目标意识"：先想清楚要把式子配成"谁 + 谁"，让这两项的乘积（或和）为定值，再动笔拆项； 2．"折半"技巧：遇到 型，凑成 ，令 与 的和为定值； 3．配凑完成后要回头验证取等条件是否满足题目的范围限制，条件不满足时改用单调性求最值。 【易错清单】 1．配凑时符号出错：把 写成 后，拆项、补加的常数项要逐一核对； 2．漏掉"取值范围"限制： 只有在 时才有 ，脱离范围套用基本不等式会出错； 3．配凑后若取等条件不在定义域内，最值不在"定值点"取到，必须结合单调性重新判断。 知识点4　常数代换（乘 1 法） 当已知条件是"和"（或线性组合）为定值，而要求的是"倒数和"型式子的最值时，常用乘 1 法（常数代换）：把待求式乘以 （其值为 ），展开后配凑成基本不等式的结构。 一般地，若 且 （定值），则 。 例如： 且 ，求 的最小值。 解：，当 即 ， 时取等号。 【方法技巧】 1．"1"的多种变形：利用 、、 等条件，都把"1"代换进待求式； 2．条件为 时，把待求式 乘以 即乘以 ，同样完成代换； 3．乘 1 后必须展开、整理成"常数 + 两项之和"的结构，再用基本不等式求最值。 【易错清单】 1．乘 1 时忘记同步除以定值：若条件是 ，应乘 ，漏掉 会导致结果错误； 2．乘 1 后展开的常数项要算准， 与 分别贡献 个常数； 3．乘 1 法只适用于"和定求倒数和型最值"，对结构不匹配的题目生搬硬套会失效。 知识点5　基本不等式在实际与多元问题中的应用 （一）实际应用问题的建模步骤： 1．设变量：把题目中的未知量设为字母，并写清取值范围； 2．列函数：根据题意列出目标量关于变量的函数关系式； 3．求最值：把函数整理成 型或 型，再用基本不等式（或单调性）求最值； 4．还原检验：验证取等条件是否符合实际意义，最后写出答语。 （二）多元问题的常用策略： 1．消元：利用已知等式把多元问题化为一元，再用基本不等式或单调性； 2．换元：把重复出现的结构设为 ，简化式子后求解； 3．齐次化：分子分母同次时，先约去同次项，再对"二次除以一次"型式子分离常数； 4．配凑整体：把 、、 等看作整体，凑出乘积为定值的两项。 【方法技巧】 1．实际建模题要"先看量纲、再设变量"，并注意自变量的实际取值范围（如件数、层数取正整数）； 2．多元问题中，若能由已知等式解出一个变量，优先消元；若不能，就尝试齐次化或整体换元； 3．最值问题先做"结构诊断"：判断是"和定求积最大"还是"积定求和最小"，再选配凑、乘 1 或消元。 【易错清单】 1．实际应用题忽略变量的实际范围与取整要求，导致取等条件无法实现； 2．消元时忘记保留变量间的隐含约束（如 、），使等号条件失真； 3．求出的最值若等号取不到，要警惕它是"下确界"而非"最小值"，此时应改借助单调性求出真正的最值。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　利用基本不等式求最值（配凑）　★★ 【解题技巧】配凑求最值的核心是"把一个式子看成长度可变的两块，凑出和定或积定"。见到 型，先凑系数使两项乘积为定值；见到 型，先凑成 ，让两个因式的和为定值。配凑完成后必须回头验证取等条件。 【注意事项】配凑题的三条红线：①各项必须为正；②和或积要为定值；③等号要能取到。尤其注意 只有在 时才有最小值 ， 时是最大值 ；当取等点落在定义域之外时，最值要改用单调性求。 【例1-1】（2026·天津卷·高考真题） 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把括号展开整理成 的形式，再对前两项用基本不等式。 【解答过程】由 知 ，展开得 。 因为 ，当且仅当 （即 ）时取等号， 所以原式的最小值为 。故选 B。 【例1-2】（2024·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把 写成 ，用"平方和不小于两倍乘积"。 【解答过程】。 又 ，故 ，当且仅当 且 时取等号。 所以最小值为 。故选 C。 【例1-3】（2026·上海卷·高考真题）若 ，，且 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】条件是和为定值，用"和定积最大"，注意把 写成 。 【解答过程】，所以 ，即 ，， 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号。故选 B。 【变式1-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】对 直接用"积定和最小"。 【解答过程】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号。故选 C。 【变式1-2】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把 拆成 ，再对 用基本不等式。 【解答过程】。因为 ，所以 ， ，故原式 ，当 即 时取等号。故选 C。 【变式1-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】凑系数，把 写成 ，再用"和定积最大"。 【解答过程】因为 ，所以 ，，于是 ， 当且仅当 即 时取等号。故选 A。 【变式1-4】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】 时先化正：。 【解答过程】因为 ，所以 ，由基本不等式 ， 所以 ，当 时取等号。故选 A。 【变式1-5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】积为定值，用"积定和最小"。 【解答过程】因为 ，，所以 ，当且仅当 时取等号。故选 B。 【变式1-6】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先分离常数化为 ，再用基本不等式。 【解答过程】，当且仅当 时取等号。故选 C。 重难点培优02　乘 1 法（常数代换）　★★ 【解题技巧】乘 1 法的本质是"把已知的定值条件乘进待求式，构造出乘积为定值的两项"。凡条件为 （定值）、所求为 的题，都把待求式乘以 ；凡条件为 、所求为 的题，都把待求式乘以 。展开后一定出现"常数 + 正项和"的结构。 【注意事项】使用乘 1 法要注意：①乘的必须是"1"，即要用定值条件整体相除，条件是 就应乘 ，不能只乘 ；②展开后的常数项务必算准；③取等条件要同时满足"两项相等"与"原始条件"。 【例2-1】（2025·上海卷·高考真题）设 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】注意到 ，把待求式 乘以 。 【解答过程】因为 ，所以 。 又 ，故 ，所以 ， 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号。故选 C。 【例2-2】（2026·山东·济南·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把 乘以 ，展开后配凑。 【解答过程】因为 ，所以 ， 当且仅当 即 ，结合 得 ， 时取等号。故选 C。 【变式2-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把待求式乘以 ，展开后配凑。 【解答过程】，当 时取等号。故选 C。 【变式2-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】条件为 ，把待求式乘以 。 【解答过程】， 当且仅当 即 时取等号。故选 A。 【变式2-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】条件为倒数和，把待求式乘以 。 【解答过程】，当 时取等号。故选 C。 【变式2-4】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】乘 1 时不能忘记除以定值 。 【解答过程】， 当且仅当 ，结合 得 ， 时取等号。故选 A。 【变式2-5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】条件为"倒数和为定值"，把待求式乘以 。 【解答过程】， 当且仅当 即 时取等号。故选 B。 【变式2-6】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】条件为 ，把待求式乘以 。 【解答过程】， 当且仅当 即 时取等号。故选 A。 重难点培优03　消元、换元与齐次化　★★★ 【解题技巧】当题目给出的是一个"约束等式"而非定值时，核心思路是消元：用约束解出一个变量代入目标式，化多元为一元；当式子出现重复结构时用换元，令 、 等简化式子；当分子分母同为二次（或同为齐次）时用齐次化，约去公因式后再配方。换元后要立即写出新元的取值范围。 【注意事项】三个高频陷阱：①换元后忘记新元的范围，如令 后必须写 ；②等号取不到时误用基本不等式，如 时 的等号取不到，最小值要用单调性求；③消元时丢掉隐含约束，导致所求范围扩大。 【例3-1】（2026·河南·郑州·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由约束式得 ，把 用 表示，结合 消元。 【解答过程】设 ，则 。又 ， 所以 ，即 ，，解得 。 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 。故选 C。 【例3-2】（2026·山西·太原·二模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】换元令 ，把函数化为 ，再结合 的范围用单调性求最小值。 【解答过程】令 ，则 ，且 ，所以 。 函数 在 上单调递增，故当 （即 ）时取最小值 。故选 B。 【变式3-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】同例 3-1，把 用 表示，用 消元。 【解答过程】设 ，则 ，由 得 ， 即 ，解得 （），当 时取等号。故选 A。 【变式3-2】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把分子配成关于 的多项式，再分离常数。 【解答过程】。 因为 ，所以 ，，故原式 ， 当 即 时取等号。故选 B。 【变式3-3】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】换元令 ，代入后整理成 。 【解答过程】令 ，则 ，， 所以 ， 当且仅当 即 时取等号。故选 B。 【变式3-4】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】条件为倒数和为定值，把 乘以 。 【解答过程】， 当且仅当 即 时取等号。故选 C。 【变式3-5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先算 是定值，再用乘 1 法。 【解答过程】因为 ，所以 。于是 ， 所以 ，当且仅当 时取等号。故选 B。 【变式3-6】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】积为定值，用"积定和最小"，注意 。 【解答过程】，当且仅当 即 ， 时取等号。故选 B。 重难点培优04　多元最值与"1"的代换综合　★★★ 【解题技巧】多元最值问题要"先数变量、再看条件"：条件给一个等式、目标式含两个以上变量时，优先消元或乘 1 代换。凡目标式含 、 而条件为 或 型定值时，一律用乘 1 法；凡目标式含 而条件为 型定值时，用"平方和不小于两倍乘积"。多元问题的最值往往在两元相等或成比例时取得。 【注意事项】多元最值的三点提醒：①注意字母的符号， 恒成立，但要得到 的最大值还需 ；②代换要整体代换，不能只代换其中一部分；③分别取最值时要保证取等条件能同时成立。 【例4-1】（2026·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 建立关于 的不等式。 【解答过程】因为 ，即 ， 又 ，所以 ，即 。 当 ，即 ， 时取等号。故选 A。 【例4-2】（2026·湖北·武汉·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把 通分为 ，把目标式化为 ，再用 的最大值。 【解答过程】因为 ，所以 。 又 ，所以 。 于是 ，当 时取等号。故选 C。 【变式4-1】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】和定求积最大。 【解答过程】，当 时取等号。故选 A。 【变式4-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两项互为倒数，直接用 。 【解答过程】因为 ，，所以 ，当 时取等号。故选 B。 【变式4-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】条件为 ，把待求式乘以 。 【解答过程】， 当且仅当 即 时取等号。故选 C。 【变式4-4】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把待求式乘以 ，注意还要除以定值 。 【解答过程】， 当 时取等号。故选 A。 【变式4-5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】拆成 ，分别用基本不等式。 【解答过程】， 当 时取等号。故选 B。 【变式4-6】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 写成 ，用"和定积最大"。 【解答过程】，所以 ，即 ， 当 即 ， 时取等号。故选 A。 重难点培优05　利用基本不等式证明不等式　★★★ 【解题技巧】用基本不等式证明不等式的通法是"作差——配方——判号"或"放缩——逐项用不等式"。常用策略：①先证局部再求和，把整体拆成几组能直接用基本不等式的式子；②用好已知条件，如由 得 ；③活用 与 双向放缩。放缩必须保证方向一致且取等条件相容。 【注意事项】证明题的三大雷区：①放缩过头，把左端放大到超过右端，或把右端缩小到低于左端；②取等条件矛盾，多次使用不等式时等号无法同时成立；③忽略前提，如 需要 。 【例5-1】（2025·北京卷·高考真题）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐一分析四个选项：A 中 时取等号；B、D 用特值排除；C 由基本不等式证明。 【解答过程】对于 A，当 时，，故 A 错误； 对于 B，取 ，，则 ，而 ，故 B 错误； 对于 D，取 ，，则 ，而 ，故 D 错误； 对于 C，因为 ，，所以 ，故 C 正确。故选 C。 【例5-2】（2024·全国甲卷·理·第23题·改编）已知实数 ， 满足 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用 放缩，再由 判断。 【解答过程】因为 ， 又 ，所以 ，故 ，A 正确，B 错误； 对于 C、D，因为 ，取 时 ，说明不能保证恒 ，也不能保证恒 ，故 C、D 均错误。故选 A。 【变式5-1】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】判断各不等式成立所需的条件。 【解答过程】由 得 ，A 正确；当 时取等号，B 错误； C、D 都需要 ，，对任意实数不一定成立，故错误。故选 A。 【变式5-2】已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】 为调和平均数，比较其与几何平均数的大小。 【解答过程】（调和平均不超过几何平均）， 等号当且仅当 时成立。因 ，故 。故选 B。 【变式5-3】已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】和定求积最大。 【解答过程】，等号当 时成立，故 B 正确，A、C、D 均错误。故选 B。 【变式5-4】已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】积定求和最小。 【解答过程】，当 时取等号，故 A 正确，B、C、D 均错误。故选 A。 【变式5-5】已知 ，，且 ，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】和定求积最大。 【解答过程】，当 时取等号，故 B 正确，A、C、D 均错误。故选 B。 【变式5-6】已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两项互为倒数，直接用基本不等式。 【解答过程】，当 时取等号。故选 B。 重难点培优06　含参恒成立与能成立问题　★★★★ 【解题技巧】恒成立与能成立问题的转化口诀：恒成立——比最小值，能成立（存在）——比最大值。具体地， 对任意 恒成立 ； 在 上能成立 。核心是用基本不等式（或单调性）求出 的最值，再"翻译"成参数的取值范围。求最值时仍要牢记"一正二定三相等"。 【注意事项】本重难点的易错点集中在"最值存在性"上：①能取到才叫最值，若等号取不到，要改用单调性求真正的最值；②恒成立与能成立的不等号方向易混，恒成立对应"最小值"，能成立对应"最大值"；③分离参数时若除数为负要变号。 【例6-1】（2026·山东·济南·二模）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】恒成立转化为 ，再用基本不等式求最小值。 【解答过程】由 得 ，当 时取等号，故 的最小值为 。 要使 对任意 恒成立，只需 ，故 的最大值为 。故选 B。 【例6-2】（2026·四川·成都·三模）若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】能成立转化为 。 【解答过程】存在 使 成立，只需 。 由 得 ，即最小值为 ，所以 。故选 A。 【变式6-1】若对任意 ， 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】恒成立转化为 。 【解答过程】由 得 ，当 时取等号，最小值为 ， 所以 ， 的最大值为 。故选 C。 【变式6-2】若存在 ，使 成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】能成立转化为 。 【解答过程】存在 使 成立，即 ， 故 的最小值为 。故选 C。 【变式6-3】已知 ，，，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用乘 1 法求 的最小值（关于 的表达式），再令其 。 【解答过程】， 当且仅当 即 时取等号。 要使原不等式恒成立，只需 ，令 ，得 ， 即 ，解得 ，所以 ， 的最小值为 。故选 C。 【变式6-4】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，再求右端的最大值。 【解答过程】因为 ，原不等式等价于 恒成立。 由 得 ，所以 ，其最大值为 ， 故只需 ， 的最小值为 。故选 A。 【变式6-5】已知 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】用乘 1 法求 的最小值，再令 该最小值。 【解答过程】， 当且仅当 时取等号，故 的最小值为 。 要使 恒成立，只需 ， 的最大值为 。故选 D。 【变式6-6】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对 用配凑求 的最小值。 【解答过程】。因为 ，所以 ， ，故 ，当 时取等号。 要使原不等式恒成立，只需 ， 的最大值为 。故选 B。 重难点培优07　基本不等式的实际应用　★★★ 【解题技巧】实际应用题的四步法：设变量（写清范围）——列函数（目标量与变量的关系）——求最值（基本不等式或单调性）——还答案（注意单位与取整）。常见模型有两类：①"和为定值求积最大"（如周长一定求面积最大），②"积为定值求和最小"（如费用为 型）。建模后务必检验等号取到的实际意义。 【注意事项】实际应用题的三个失分点：①忽略变量的实际取值范围（如层数、件数须为正整数）；②忘记检验取等条件是否在实际范围内；③答语不完整，只写出最值而未回答"此时变量取何值"或未带单位。 【例7-1】（2026·河北·石家庄·二模）用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设长、宽为变量，由周长得和为定值，用"和定积最大"求面积最大。 【解答过程】设矩形的长为 ，宽为 ，则 ，即 。 面积 ， 当且仅当 时取等号，故面积的最大值为 。故选 B。 【例7-2】（2026·江西·南昌·二模）某公司一年内购买某种货物共 吨，每次购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储费用为 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买（　　） A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨 【答案】B 【解题思路】建模得总费用的函数式，整理成 型后用基本不等式。 【解答过程】购买次数为 ，一年的总运费为 （万元）， 总存储费用为 （万元），故总费用 ， 当且仅当 即 ， 时取等号。 所以每次应购买 吨。故选 B。 【变式7-1】用一段长为 的篱笆围成一个矩形，则该矩形的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】周长定值即边长和为定值，用"和定积最大"。 【解答过程】设矩形相邻两边长为 ，，则 ，。 于是 ，当 时取等号。故选 B。 【变式7-2】若两个正数的和为 ，则它们的积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】和定求积最大。 【解答过程】设两正数为 ，，，则 ，当 时取等号。故选 B。 【变式7-3】某单位用 万元购得一块空地，计划建造一栋至少 层、每层 平方米的楼房。经测算，若将楼房建为 层（），则每平方米的平均建筑费用为 元。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建（　　）层 A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】平均综合费用等于平均建筑费用加平均购地费用，其中平均购地费用为总购地费除以总面积，再对 用基本不等式。 【解答过程】总建筑面积为 平方米，故平均购地费用为 （元/平方米）。 所以每平方米的平均综合费用 ， 当且仅当 即 ， 时取等号。故选 C。 【变式7-4】已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】和定求积最大。 【解答过程】，当 时取等号。故选 C。 【变式7-5】用一段长为 的篱笆靠墙围成一个矩形菜园（墙足够长，只需围三边），则该菜园面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】三边之和为定值，凑出"和定积最大"。 【解答过程】设垂直于墙的两边长为 （两条），平行于墙的边长为 ，则 。 于是 ， 当且仅当 即 ， 时取等号。故选 C。 【变式7-6】若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】积为定值，用"积定和最小"。 【解答过程】，当 即 时取等号。故选 A。 重难点培优08　与函数、三角、解析几何交汇问题　★★★★ 【解题技巧】交汇问题的通法是"先剥离外壳、再回到基本不等式"：①与函数交汇，用单调性或图象特征把条件转化为不等式，再用均值不等式比较大小；②与三角交汇，常借助余弦定理把角的最值转化为边的关系，再用基本不等式；③与解析几何交汇，设直线或点的坐标，把面积、长度、斜率表示为变量，再求最值。求最值前先写清变量的取值范围。 【注意事项】交汇问题的注意点：①函数题中指数、对数运算要准确，比较大小的方向由单调性决定；②三角形中余弦定理的使用要注意边角对应， 的符号反映角的范围；③解析几何中面积公式与基本不等式结合时，等号成立要保证点在第一象限等附加条件。 【例8-1】（2024·北京卷·高考真题）已知 ， 是函数 图象上不同的两点，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由点在图象上得 ，，用基本不等式比较 与 ，再由对数单调性判断。 【解答过程】因为 ， 在 上，所以 ，。 由基本不等式 ，因两点不同，，故取严格不等号： 。 又 在 上单调递增，所以 。故选 A。 【例8-2】（2026·福建·厦门·二模）已知直线 过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，则 面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设截距式直线方程，由过 得 ，用基本不等式求 的最小值。 【解答过程】设 ，（，），则直线 的方程为 。 因为 过点 ，所以 。 由基本不等式 ，所以 ，即 。 于是 ，当且仅当 即 ， 时取等号。故选 C。 【变式8-1】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先平方，再用 的最大值。 【解答过程】。 因为 ，所以 ， 故 ，当 时取等号。故选 B。 【变式8-2】在 中，，， 分别是角 ，， 的对边，若 ，则角 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用余弦定理把 写成关于 ， 的式子，再用基本不等式求最大值。 【解答过程】由余弦定理 ，又 ， 所以 ， 当且仅当 时取等号。因为 ，且 ，所以 ， 故角 的最大值为 。故选 C。 【变式8-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分子分母同除以 ，再用基本不等式求分母的最小值。 【解答过程】因为 ，所以 。 由 ，得 ，当 时取等号。故选 B。 【变式8-4】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】两项均为正，用"平方和不小于两倍乘积"。 【解答过程】， 当且仅当 且 时取等号。故选 B。 【变式8-5】已知直线 （，）过点 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由点在直线上得 ，再用基本不等式。 【解答过程】因为直线过点 ，所以 ，即 ，故 。 由 得 ，所以 ，即 ， 当且仅当 时取等号。故选 B。 【变式8-6】函数 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分离常数化为 ，再用基本不等式。 【解答过程】，当 时取等号。故选 B。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接用基本不等式。 【解答过程】因为 ，所以 ，当 时取等号。故选 B。 2．【巩固】（2026·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用 建立不等式。 【解答过程】，又 ，所以 ， 当 ， 时取等号。故选 A。 3．【巩固】（2025·北京卷·高考真题）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用特值排除 A、B、D，由基本不等式证明 C。 【解答过程】A 中 时取等号，错误；B 中取 ， 可得错误；D 中取 ， 可得错误； C 中 成立。故选 C。 4．【巩固】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】和定求积最大。 【解答过程】，当 时取等号。故选 A。 5．【进阶】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】拆项配凑。 【解答过程】，当 时取等号。故选 B。 6．【进阶】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】乘 1 法，注意除以定值 。 【解答过程】， 当 ，即 ， 时取等号。故选 A。 7．【进阶】（2024·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用 。 【解答过程】， 又 ，所以 ，当 时取等号。故选 C。 8．【培优】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】分离常数化为 。 【解答过程】，当 时取等号。故选 D。 二、多选题 9．【进阶】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解题思路】逐项判断不等式成立所需的条件。 【解答过程】由 得 ，A 正确； 因为 ，所以 B 正确； C 需 ，D 需 ，对任意实数不一定成立，C、D 错误。故选 AB。 10．【进阶】已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】A、B 用基本不等式，C 用特值排除，D 先平方再配凑。 【解答过程】A：由 得 ，正确； B：，正确； C：取 ，，则 ，而 ，错误； D：，故 ，正确。 故选 ABD。 11．【进阶】下列函数中，最小值为 的是（　　） A． B．（） C． D． 【答案】BC 【解题思路】注意各函数的定义域与取等条件。 【解答过程】A 中函数无最小值（可趋于 ），错误； B 中 时 ，当 时取最小值 ，正确； C 中令 ，则 ，当 （即 ）时取最小值 ，正确； D 中令 ， 在 上单调递增， 最小值为 ，错误。故选 BC。 12．【培优】已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】A 用和定求积最大；B 用平方和不等式；C 用特值排除；D 先平方。 【解答过程】A：，正确； B：，正确； C：当 时，，错误； D：，故 ，正确。 故选 ABD。 三、填空题 13．【巩固】已知 ，则 的最小值为 ______． 【答案】 【解题思路】积定和最小。 【解答过程】，当 时取等号。 14．【进阶】已知 ，，且 ，则 的最大值为 ______． 【答案】 【解题思路】和定积最大。 【解答过程】，当 时取等号。 15．【进阶】已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 【答案】 【解题思路】条件为 ，把待求式乘以 。 【解答过程】， 当且仅当 时取等号。 16．【培优】已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 【答案】 【解题思路】乘 1 法。 【解答过程】，当 时取等号。 四、解答题 17．【进阶】已知 ，，且 ． (1) 求 的取值范围； (2) 求 的最小值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 和定求积最大；(2) 乘 1 法求最小值。 【解答过程】(1) 因为 ，，所以 ，且 ， 故 ，当 时取到最大值 。 (2) ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，故最小值为 。 18．【进阶】已知正实数 ， 满足 ． (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 用 消元；(2) 用 消元。 【解答过程】(1) 设 ，则 。由 得 ， 即 ，解得 ，当 时取等号，故 的最小值为 。 (2) 由 得 。令 ，则 ， 即 ，解得 ，故 ，当 时取等号，所以 的最小值为 。 19．【培优】已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 把 写成 ；(2) 乘 1 法，注意除以定值 。 【解答过程】(1) 因为 ，，所以 ，故 ， 当且仅当 ，即 ， 时取等号，所以 的最大值为 。 (2) ， 当且仅当 时取等号，故最小值为 。 20．【培优】（2024·全国甲卷·理·第23题·高考真题）已知实数 ， 满足 ． (1) 证明：； (2) 证明：． 【答案】证明见解答过程． 【解题思路】(1) 用 放缩；(2) 先用绝对值三角不等式去掉绝对值，再用 (1) 的结论。 【解答过程】(1) 因为 ， 又 ，所以 ， 故 ，即 。 (2) 由绝对值三角不等式， 。 由 (1) 知 ，所以 。 因为 ，所以 ，故 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.4 基本不等式及其应用（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　基本不等式的内容与成立条件（一正二定三相等） 4 知识点2　几个常用变形与常用结论 5 知识点3　配凑法求最值 6 知识点4　常数代换（乘 1 法） 7 知识点5　基本不等式在实际与多元问题中的应用 8 四、重难点培优 10 重难点培优01　利用基本不等式求最值（配凑）　★★ 10 重难点培优02　乘 1 法（常数代换）　★★ 11 重难点培优03　消元、换元与齐次化　★★★ 12 重难点培优04　多元最值与"1"的代换综合　★★★ 13 重难点培优05　利用基本不等式证明不等式　★★★ 14 重难点培优06　含参恒成立与能成立问题　★★★★ 15 重难点培优07　基本不等式的实际应用　★★★ 17 重难点培优08　与函数、三角、解析几何交汇问题　★★★★ 18 五、过关检测 20 一、单选题 20 二、多选题 21 三、填空题 22 四、解答题 22 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 基本不等式的内容与成立条件 理解 的代数意义与几何意义，牢记一正、二定、三相等三要素，能准确判断一个式子能否使用基本不等式 基本不等式的常用变形与结论 掌握 、、 等变形，理解并会运用基本不等式链 利用基本不等式求最值 熟练掌握配凑、乘 1 法（常数代换）、消元、换元、齐次化等技巧，会用"和定积最大、积定和最小"模型求最值 基本不等式的综合应用 能利用基本不等式解决实际优化问题、含参恒成立与能成立问题，并能证明简单的不等式 近三年全国及各省市高考对基本不等式的考查一览（2024—2026）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 天津卷 T7 型最值 ★★ 2026 上海卷·填空 条件 下求 的最大值 ★★ 2026 上海卷·填空 条件 下求 的最大值 ★★ 2026 北京卷 与不等关系交汇的不等式性质判断 ★★ 2025 北京卷 T6 基本不等式成立条件与常用变形的辨析 ★★ 2025 上海卷·填空 "乘 1 法"求 的最小值 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T18(1) 导数综合中用不等式求参数的最小值 ★★★★ 2024 北京卷 T9 与指数函数交汇比较大小 ★★★ 2024 上海卷·填空 条件 下求 的最小值 ★★ 2024 全国甲卷·理 T23 用基本不等式与绝对值性质证明不等式 ★★★ 2024 全国甲卷·文 T23 绝对值不等式与基本不等式综合 ★★★ 考情分析 基本不等式是解决最值问题的核心工具，也是高考的高频考点。近三年命题呈现"独立考查稳中求变、交汇融合逐年加强"的特点：北京、天津、上海卷多以选择题或填空题直接考查最值与不等式辨析（如 2026 天津卷 T7、2025 北京卷 T6、2024 上海卷填空），全国甲卷则把基本不等式与绝对值、放缩技巧结合，以选考题形式考查不等式证明（2024 全国甲卷·理 T23）；2024 新课标Ⅰ卷更把它嵌入导数综合题的第 (1) 问，要求考生在复杂情境中灵活运用。依据《普通高中数学课程标准》，本板块集中体现"数学运算、逻辑推理与数学建模"三大核心素养。预测 2027 年高考仍会以"和定积最大、积定和最小"为基本模型，以配凑、乘 1 法、消元与齐次化、含参恒成立、实际应用与多板块交汇为载体，着重考查等价转化能力与等号成立条件的检验，区分度稳中有升。 复习目标 1．记住基本不等式的三种常用表述与"一正、二定、三相等"的完整条件，养成"用前先验条件、用后必验等号"的解题习惯； 2．熟练掌握配凑、乘 1 法（常数代换）、消元、换元与齐次化等变形技巧，能针对不同结构选择最优方法； 3．会用基本不等式处理含参恒成立与能成立问题，能借助函数单调性处理"等号取不到"的最值问题； 4．能建立实际问题的函数模型并用基本不等式求最值，能完成简单不等式的证明，体会放缩与化归思想。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　基本不等式知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　基本不等式的内容与成立条件（一正二定三相等） 若 ，，则 ，当且仅当 时取等号，即 。其中 叫做正数 的算术平均数， 叫做正数 的几何平均数，故基本不等式又叫均值不等式。 名称 表达式 核心说明 基本不等式 算术平均数不小于几何平均数 重要变形 由 或 得到 积定和最小 且 为定值时， 有最小值 和定积最大 且 为定值时， 有最大值 使用基本不等式的三个前提条件： ①一正——各项必须为正数（或化为同号），否则不能直接套用； ②二定——和或积中必须有一个为定值，否则求不出确定的最值； ③三相等——等号能够取到，即存在满足条件的自变量使取等成立，否则最值取不到。 【方法技巧】 1．几何直观记忆： 是半弦、 是半径，半径不小于半弦，等号在半弦与半径重合（即 ）时成立； 2．"一正"可用换元化正：如 时求 的最大值，令 ，把问题转化为求 的最大值； 3．"二定"看结构："和定求积最大、积定求和最小"，先判断谁是定值，再决定用哪种变形。 【易错清单】 1．忽略"一正"：如 时 是错误的， 为负数时不等号反向； 2．忽略"三相等"：用 求最值时，若取等条件 不在给定范围内，则最小值并非 ，需改用函数单调性； 3． 与 都要在 下使用，而 对一切实数 都成立。 知识点2　几个常用变形与常用结论 由基本不等式可推出以下常用变形与结论（均设 ）： ①，； ②，等价于 ； ③（ 同号即可）； ④基本不等式链：，从左到右依次为调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数。 几个高频结论： 1． 时 ； 时 ； 2．若 且 ，则 ；若 ，则 ； 3．（），这是"乘 1 法"的理论依据。 【方法技巧】 1．"取倒"变形：，在 为定值时可直接转化为 与 的关系； 2．"平方"变形：由 可把"平方和"与"和的平方"互相转化，处理 型问题时常用； 3．均值不等式链用于比较大小与估值，记忆口诀"调、几、算、方"（数值从小到大）。 【易错清单】 1． 只要求 ，不要求 都为正；若 则结论反号； 2． 的等号成立条件是 ，而 还需 ，两者适用范围的差别最易混淆； 3．"积定和最小"与"和定积最大"不要用反：已知积为定值只能求和的最小值，已知和为定值只能求积的最大值。 知识点3　配凑法求最值 当题中给出的式子与"和定"或"积定"的标准形式有差距时，可通过拆项、添项、凑系数等手段进行配凑，把式子整理成能直接使用基本不等式的结构。常见的配凑手段有： 1．减项配凑： 时求 ，把 拆成 ，得 ； 2．乘系数配凑： 时求 的最大值，先写成 ，再用"和定积最大"； 3．分离常数配凑：把 型化为 的形式，再对 用基本不等式。 例如： 时，，当 即 时取最小值 。 【方法技巧】 1．配凑的"目标意识"：先想清楚要把式子配成"谁 + 谁"，让这两项的乘积（或和）为定值，再动笔拆项； 2．"折半"技巧：遇到 型，凑成 ，令 与 的和为定值； 3．配凑完成后要回头验证取等条件是否满足题目的范围限制，条件不满足时改用单调性求最值。 【易错清单】 1．配凑时符号出错：把 写成 后，拆项、补加的常数项要逐一核对； 2．漏掉"取值范围"限制： 只有在 时才有 ，脱离范围套用基本不等式会出错； 3．配凑后若取等条件不在定义域内，最值不在"定值点"取到，必须结合单调性重新判断。 知识点4　常数代换（乘 1 法） 当已知条件是"和"（或线性组合）为定值，而要求的是"倒数和"型式子的最值时，常用乘 1 法（常数代换）：把待求式乘以 （其值为 ），展开后配凑成基本不等式的结构。 一般地，若 且 （定值），则 。 例如： 且 ，求 的最小值。 解：，当 即 ， 时取等号。 【方法技巧】 1．"1"的多种变形：利用 、、 等条件，都把"1"代换进待求式； 2．条件为 时，把待求式 乘以 即乘以 ，同样完成代换； 3．乘 1 后必须展开、整理成"常数 + 两项之和"的结构，再用基本不等式求最值。 【易错清单】 1．乘 1 时忘记同步除以定值：若条件是 ，应乘 ，漏掉 会导致结果错误； 2．乘 1 后展开的常数项要算准， 与 分别贡献 个常数； 3．乘 1 法只适用于"和定求倒数和型最值"，对结构不匹配的题目生搬硬套会失效。 知识点5　基本不等式在实际与多元问题中的应用 （一）实际应用问题的建模步骤： 1．设变量：把题目中的未知量设为字母，并写清取值范围； 2．列函数：根据题意列出目标量关于变量的函数关系式； 3．求最值：把函数整理成 型或 型，再用基本不等式（或单调性）求最值； 4．还原检验：验证取等条件是否符合实际意义，最后写出答语。 （二）多元问题的常用策略： 1．消元：利用已知等式把多元问题化为一元，再用基本不等式或单调性； 2．换元：把重复出现的结构设为 ，简化式子后求解； 3．齐次化：分子分母同次时，先约去同次项，再对"二次除以一次"型式子分离常数； 4．配凑整体：把 、、 等看作整体，凑出乘积为定值的两项。 【方法技巧】 1．实际建模题要"先看量纲、再设变量"，并注意自变量的实际取值范围（如件数、层数取正整数）； 2．多元问题中，若能由已知等式解出一个变量，优先消元；若不能，就尝试齐次化或整体换元； 3．最值问题先做"结构诊断"：判断是"和定求积最大"还是"积定求和最小"，再选配凑、乘 1 或消元。 【易错清单】 1．实际应用题忽略变量的实际范围与取整要求，导致取等条件无法实现； 2．消元时忘记保留变量间的隐含约束（如 、），使等号条件失真； 3．求出的最值若等号取不到，要警惕它是"下确界"而非"最小值"，此时应改借助单调性求出真正的最值。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　利用基本不等式求最值（配凑）　★★ 【例1-1】（2026·天津卷·高考真题） 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2024·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例1-3】（2026·上海卷·高考真题）若 ，，且 ，则 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-6】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优02　乘 1 法（常数代换）　★★ 【例2-1】（2025·上海卷·高考真题）设 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·山东·济南·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式2-6】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　消元、换元与齐次化　★★★ 【例3-1】（2026·河南·郑州·一模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·山西·太原·二模）函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　多元最值与"1"的代换综合　★★★ 【例4-1】（2026·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·湖北·武汉·二模）已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-6】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　利用基本不等式证明不等式　★★★ 【例5-1】（2025·北京卷·高考真题）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2024·全国甲卷·理·第23题·改编）已知实数 ， 满足 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】已知 ，，且 ，则下列结论一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-6】已知 ，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　含参恒成立与能成立问题　★★★★ 【例6-1】（2026·山东·济南·二模）若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2026·四川·成都·三模）若存在 ，使不等式 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】若对任意 ， 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】若存在 ，使 成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】已知 ，，，若 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】已知 ，，且 ，若 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-6】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　基本不等式的实际应用　★★★ 【例7-1】（2026·河北·石家庄·二模）用一段长为 的篱笆围成一个矩形菜园，则该菜园面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·江西·南昌·二模）某公司一年内购买某种货物共 吨，每次购买 吨，运费为 万元/次，一年的总存储费用为 万元。要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则每次应购买（　　） A． 吨 B． 吨 C． 吨 D． 吨 【变式7-1】用一段长为 的篱笆围成一个矩形，则该矩形的最大面积为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】若两个正数的和为 ，则它们的积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】某单位用 万元购得一块空地，计划建造一栋至少 层、每层 平方米的楼房。经测算，若将楼房建为 层（），则每平方米的平均建筑费用为 元。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，则楼房应建（　　）层 A． B． C． D． 【变式7-4】已知正数 ， 满足 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】用一段长为 的篱笆靠墙围成一个矩形菜园（墙足够长，只需围三边），则该菜园面积的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式7-6】若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　与函数、三角、解析几何交汇问题　★★★★ 【例8-1】（2024·北京卷·高考真题）已知 ， 是函数 图象上不同的两点，则（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·福建·厦门·二模）已知直线 过点 ，与 轴、 轴的正半轴分别交于 ， 两点， 为坐标原点，则 面积的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】在 中，，， 分别是角 ，， 的对边，若 ，则角 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】已知直线 （，）过点 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-6】函数 （）的最小值为（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】（2026·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】（2025·北京卷·高考真题）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】已知 ，，且 ，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】已知 ，，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】（2024·上海卷·高考真题）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．【培优】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 10．【进阶】已知 ，，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．【进阶】下列函数中，最小值为 的是（　　） A． B．（） C． D． 12．【培优】已知 ，，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 13．【巩固】已知 ，则 的最小值为 ______． 14．【进阶】已知 ，，且 ，则 的最大值为 ______． 15．【进阶】已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 16．【培优】已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知 ，，且 ． (1) 求 的取值范围； (2) 求 的最小值． 18．【进阶】已知正实数 ， 满足 ． (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值． 19．【培优】已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值． 20．【培优】（2024·全国甲卷·理·第23题·高考真题）已知实数 ， 满足 ． (1) 证明：； (2) 证明：． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $