专题2.3 幂函数与二次函数（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习培优系列

专题2.3 幂函数与二次函数（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　幂函数的定义与五个常见幂函数 4 知识点2　幂函数的图象与性质 5 知识点3　二次函数的解析式的三种形式 6 知识点4　二次函数的图象与性质 7 知识点5　二次函数在闭区间上的最值 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　幂函数的定义与解析式求法　★★ 9 重难点培优02　幂函数的图象与比较大小　★★ 10 重难点培优03　二次函数解析式的求法（待定系数）　★★★ 11 重难点培优04　二次函数在闭区间上的最值（定轴动区间/动轴定区间）　★★★ 12 重难点培优05　二次函数恒成立问题　★★★ 13 重难点培优06　二次函数与一元二次方程根的分布　★★★ 15 重难点培优07　二次函数与其它知识的交汇　★★★★ 16 重难点培优08　含参二次函数的分类讨论（新定义）　★★★★ 17 五、过关检测 19 一、单选题 19 二、多选题 20 三、填空题 21 四、解答题 21 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 幂函数的定义与图象 了解幂函数的概念，会画 、、、、 的图象，并能说出它们的定义域、值域与奇偶性 幂函数的性质与比较大小 掌握幂函数在第一象限的单调性与图象特征，会用单调性与中间量比较指、对、幂函数值的大小 二次函数的解析式 掌握一般式、顶点式、交点式三种形式，会用待定系数法求解析式，能熟练求对称轴与顶点 二次函数的图象与性质 理解开口方向、对称轴、顶点、单调性与最值的内在联系，能由解析式快速判断图象特征 二次函数的最值与综合应用 掌握闭区间上最值的分类讨论方法，会用判别式、分离参数处理恒成立与根的分布问题 近三年高考真题对幂函数与二次函数板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 上海卷 T19 二次函数解析式与一元二次不等式、导数的交汇 ★★★ 2025 全国一卷 T8 指、对、幂函数值的大小关系辨析 ★★★ 2025 全国二卷 T10 函数奇偶性与极值点的综合（多选） ★★★★ 2025 天津卷 T15 二次不等式在闭区间上恒成立，求线性式的最值 ★★★★ 2025 上海卷 T19 二次函数与对数函数交汇，含参分类讨论 ★★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 分段函数中二次函数的单调性，求参数范围 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T10 的极值点与不等式（多选） ★★★★ 2024 全国甲卷·理 T21 含参不等式恒成立，蕴含二次函数分类讨论思想 ★★★★ 2024 北京卷 T9 对数函数图象上两点的大小比较 ★★★ 2024 天津卷 T2 幂函数 与指数函数 的等价关系 ★★ 2024 天津卷 T5 指数函数与对数函数值的大小比较 ★★ 考情分析 幂函数与二次函数是函数板块的"根"，多以交汇形态出现在高考题中。研判 2024—2026 年真题，命题呈现三个特点：一是以二次为骨——2024 年新课标Ⅰ卷第 6 题把二次函数嵌入分段函数，由单调性反求参数；2025 年天津卷第 15 题、2026 年上海卷第 19 题都以含参二次式为主角。二是以比较为面——2024 年天津卷第 5 题、2025 年全国一卷第 8 题均落在指、对、幂函数值的大小关系上。三是以讨论为纲——恒成立、根的分布、闭区间最值三类问题反复出现，内核都是分类讨论与转化化归。预测 2027 年高考仍以二次函数的最值、恒成立、根的分布为主线，并与导数、不等式、新定义交汇，在含参讨论处提升区分度。 复习目标 1．准确判定幂函数，熟练掌握五个常见幂函数的图象与性质，会用单调性比较指、对、幂值的大小； 2．熟练运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式，能由解析式快速读出开口、对称轴、顶点与单调性； 3．掌握闭区间上二次函数最值的"三分类"通法，能处理"定轴动区间"与"动轴定区间"两类问题； 4．会解二次恒成立与一元二次方程根的分布问题，形成"分类讨论、转化化归"的解题自觉。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　幂函数与二次函数知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　幂函数的定义与五个常见幂函数 一般地，函数 （ 为常数）叫做幂函数。判断一个函数是不是幂函数，要抓住三个"唯一"：系数唯一为 ，底数唯一是自变量 ，指数唯一是常数 。五个常见幂函数的图象与性质如下表： 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 奇函数 在 上单调递增 偶函数 在 上单调递减，在 上单调递增 奇函数 在 上单调递增 非奇非偶函数 在 上单调递增 奇函数 在 与 上分别单调递减 五个幂函数的图象都经过点 ；当 时图象还经过原点 ，当 时图象不过原点，且以两坐标轴为渐近线。 【方法技巧】 1．判定幂函数的"三看"：一看系数是否为 ，二看底数是否为自变量 ，三看指数是否为常数，三者缺一不可； 2．求幂函数解析式用待定系数法：先设 ，再代入已知点求 ，注意 可以是负数、分数 甚至无理数； 3．比较两个幂值前先"归类"：底数相同用指数函数的单调性，指数相同用幂函数的单调性，底数与指数都不同则插入中间量 或 。 【易错清单】 1．、、 都不是幂函数，它们的系数不为 、底数不是 或形式不符； 2． 的定义域是 ，不是实数集 ； 的单调区间必须分开写，不能写成"在定义域上递减"； 3．五个幂函数的图象都经过 ，但未必都经过原点，如 、 在原点处无定义。 知识点2　幂函数的图象与性质 幂函数 的图象形态由指数 决定。研究时只在第一象限作图，再借助奇偶性对称到其余象限即可。第一象限内的规律见表： 的范围 第一象限图象特征 单调性 取值特点（） 过 、，图象下凸、上升较快 单调递增 当 时 ，当 时 过 、，图象上凸、上升缓慢 单调递增 增长速度慢于 过原点的直线 单调递增 即 不过原点，以坐标轴为渐近线，图象下凸 单调递减 当 时 图象恒过定点 是幂函数最重要的共性。比较幂值大小时，常先把两个幂化成"同指数"或"同底数"，再借助对应函数的单调性判断。 【方法技巧】 1．作幂函数图象的"三步法"：先由指数定定义域，再判断奇偶性（确定对称性），最后描出第一象限图象并向其对称区域翻折； 2．比较 与 （）：指数相同、底数不同，用幂函数 的单调性； 3．比较 与 （）：底数相同、指数不同，用指数函数 的单调性。 【易错清单】 1．幂函数指数为负时定义域可能不含 ，如 、，作图前必须先看定义域； 2．比较幂值大小之前，务必先确认底数为正；底数为负时幂可能无意义，须单独讨论； 3．指数相同的两个幂比较大小，不要误用指数函数的单调性——只有底数相同才用指数函数。 知识点3　二次函数的解析式的三种形式 二次函数的解析式有三种常用形式，选择哪一种取决于题目给出的条件类型： 形式 表达式 适用条件 一般式 已知图象上任意三个点 顶点式 已知顶点 、对称轴或某个最值 交点式 已知图象与 轴的两个交点 、 三种形式可以互相转化。顶点式与交点式中都含参数 ，它由开口方向与开口大小唯一确定；当图象与 轴的交点不易求出时，仍回到一般式处理。 【方法技巧】 1．待定系数法"三步走"：设形式 → 代条件列方程（组） → 解出参数并还原解析式； 2．"已知两交点"用交点式，"已知顶点、对称轴或最值"用顶点式，"已知三点或含对称关系"用一般式； 3．由 求对称轴，可直接写 ，不必每次配方。 【易错清单】 1．二次项系数 是默认前提，由条件解出系数后必须检验它不为零； 2．交点式中 、 是图象与 轴交点的横坐标，不是任意两个函数值相等的点的横坐标； 3．设 时，不要漏掉参数 ，仅凭顶点无法确定开口大小。 知识点4　二次函数的图象与性质 设二次函数 ，其图象是一条开口向上的抛物线，顶点为 ，对称轴为 。核心性质见表： 性质 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点 最低点 最高点 单调性 在 上递减，在 上递增 在 上递增，在 上递减 最值 最小值为 ，无最大值 最大值为 ，无最小值 对称轴是二次函数"形"与"数"的桥梁：只要确定了开口方向与对称轴，单调性、最值以及区间上的取值分布就能一览无余。 【方法技巧】 1．开口、对称轴、判别式是二次函数的"三要素"，解题时先定位这三者，再谈其余； 2．由 可得 ，这是处理对称性问题的快速结论； 3．含参二次函数讨论开口时，一般先讨论 （退化为一次函数）再讨论 ，避免遗漏。 【易错清单】 1．对称轴 中的负号最易漏写，写出后代入一个特殊点验证； 2．不能想当然地认为二次函数在给定区间上的最值一定在顶点处取到，必须先判断顶点横坐标是否落在区间内； 3．最值与值域不同：开区间上可能取不到最值，须结合端点开闭讨论。 知识点5　二次函数在闭区间上的最值 求二次函数 在闭区间 上的最值，核心是比较对称轴 与区间 的位置关系，分三类讨论： ①若 ，则 在 上单调递增，最小值为 ，最大值为 ； ②若 ，则 最小值为 ，最大值在 与 中较大者处取得； ③若 ，则 在 上单调递减，最小值为 ，最大值为 。 当 时开口方向相反，只需把"最小"与"最大"互换，分类标准不变。含参时，分类讨论的界点正是 与 ，等号情形可归入相邻任一类，但不可遗漏。 【方法技巧】 1．闭区间最值"三句话"：比中点、定位置、再求值；含参时常用"区间中点与对称轴比较"确定分界点； 2．对称轴在区间正中时两端点函数值相等，此时最大值取端点值，这是常见的"简化信号"； 3．恒成立问题"两转化"： 恒成立 ；闭区间上恒成立也可分离参数后求另一侧函数的最值。 【易错清单】 1．分类讨论的界点必须取到并检验等号情形，等号归入哪一类不影响结论，但绝不能漏； 2．分离参数时须讨论所除因子的正负，除以含参系数时不等号方向可能改变； 3．闭区间上最值一定存在，开区间上最值不一定存在，端点取不到时只能求取值范围。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　幂函数的定义与解析式求法　★★ 【例1-1】（2024·天津卷·T2·高考真题）设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例1-2】（2026·河北·石家庄市第二中学·高三质量检测）已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-3】已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-4】若幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-5】若点 在幂函数 的图象上，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 重难点培优02　幂函数的图象与比较大小　★★ 【例2-1】（2024·天津卷·T5·高考真题）若 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2025·全国一卷·T8·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】已知 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】若 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　二次函数解析式的求法（待定系数）　★★★ 【例3-1】（2026·江苏·南京师范大学附属中学·高三学情调研）已知二次函数 的图象经过点 ，且 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2025·湖北·华中师范大学第一附属中学·高三期中）已知二次函数 满足 ，且 ，，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知二次函数 的图象与 轴交于点 和 ，且 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知二次函数 的图象顶点为 ，且经过点 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知二次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】已知二次函数 满足 ，且 ，，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知二次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　二次函数在闭区间上的最值（定轴动区间/动轴定区间）　★★★ 【例4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T6·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·山东·济南市历城第二中学·高三模拟）已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2026·浙江·杭州学军中学·高三联考）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 重难点培优05　二次函数恒成立问题　★★★ 【例5-1】（2025·天津卷·T15·高考真题）若 ，对任意 ，均有 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·福建·厦门双十中学·高三联考）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】已知函数 ，若存在 使 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　二次函数与一元二次方程根的分布　★★★ 【例6-1】（2026·湖南·长沙市第一中学·高三月考）已知关于 的方程 有两个不相等的正实数根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 【例6-2】（2026·江西·南昌市第二中学·高三联考）已知方程 的两根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6-3】（2026·重庆·重庆巴蜀中学·高三月考）已知关于 的方程 的两个根都落在区间 内，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】若方程 的两个根异号，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】已知方程 的两个根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】已知函数 的两个零点都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】已知方程 的两根分别在区间 和 内，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　二次函数与其它知识的交汇　★★★★ 【例7-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T10·高考真题）设函数 ，则（　　） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【例7-2】（2026·上海卷·T19（1）·高考真题）已知 ，函数 ，。若 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】若函数 单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】已知函数 ，，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】若函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知函数 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　含参二次函数的分类讨论（新定义）　★★★★ 【例8-1】（2026·四川·成都七中·高三诊断）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·辽宁·大连市第二十四中学·高三联考）定义：对函数 ，若存在常数 ，使得对任意 都有 ，则称 为 的"上界"，其中最小的上界称为"最小上界"。已知 的最小上界为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【例8-3】（2026·安徽·合肥市第八中学·高三联考）已知函数 ，若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】定义：若 ，则称 为函数 的"不动点"。已知函数 有两个不相等的不动点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】已知函数 ，若 在区间 上的最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-4】已知函数 ，若对任意 ， 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】定义：对函数 ，若存在实数 ，使得对任意 都有 ，则称 是"可线性下界的"。若 是"可线性下界的"，则 的取值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 5．【进阶】函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】已知不等式 有实数解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】已知方程 的一根大于 ，另一根小于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 10．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的图象关于直线 对称 B． 的最小值为 C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增 11．【进阶】已知函数 的图象开口向下，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的最大值为 D． 在 上单调递增 12．【培优】定义：若 对任意 恒成立，则称 为 的"最低点"。已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． 是 的最低点 B． 的最小值为 C．若 的最低点为 ，则 D． 在 上单调递增 三、填空题 13．【巩固】函数 在区间 上的值域为 ______． 14．【进阶】已知幂函数 的图象经过点 ，则 ______． 15．【进阶】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 16．【培优】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知二次函数 的图象经过点 ，且 ． (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的最大值与最小值． 18．【进阶】已知函数 ． (1) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 若 在 上的最小值为 ，求实数 的值． 19．【培优】已知函数 ． (1) 当 时，求 在 上的最小值； (2) 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 20．【培优】已知函数 ，． (1) 若 的两个根都大于 ，求实数 的取值范围； (2) 若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 幂函数与二次函数（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 4 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　幂函数的定义与五个常见幂函数 4 知识点2　幂函数的图象与性质 5 知识点3　二次函数的解析式的三种形式 6 知识点4　二次函数的图象与性质 7 知识点5　二次函数在闭区间上的最值 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　幂函数的定义与解析式求法　★★ 9 重难点培优02　幂函数的图象与比较大小　★★ 11 重难点培优03　二次函数解析式的求法（待定系数）　★★★ 14 重难点培优04　二次函数在闭区间上的最值（定轴动区间/动轴定区间）　★★★ 17 重难点培优05　二次函数恒成立问题　★★★ 20 重难点培优06　二次函数与一元二次方程根的分布　★★★ 23 重难点培优07　二次函数与其它知识的交汇　★★★★ 26 重难点培优08　含参二次函数的分类讨论（新定义）　★★★★ 28 五、过关检测 33 一、单选题 33 二、多选题 35 三、填空题 36 四、解答题 37 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 幂函数的定义与图象 了解幂函数的概念，会画 、、、、 的图象，并能说出它们的定义域、值域与奇偶性 幂函数的性质与比较大小 掌握幂函数在第一象限的单调性与图象特征，会用单调性与中间量比较指、对、幂函数值的大小 二次函数的解析式 掌握一般式、顶点式、交点式三种形式，会用待定系数法求解析式，能熟练求对称轴与顶点 二次函数的图象与性质 理解开口方向、对称轴、顶点、单调性与最值的内在联系，能由解析式快速判断图象特征 二次函数的最值与综合应用 掌握闭区间上最值的分类讨论方法，会用判别式、分离参数处理恒成立与根的分布问题 近三年高考真题对幂函数与二次函数板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 上海卷 T19 二次函数解析式与一元二次不等式、导数的交汇 ★★★ 2025 全国一卷 T8 指、对、幂函数值的大小关系辨析 ★★★ 2025 全国二卷 T10 函数奇偶性与极值点的综合（多选） ★★★★ 2025 天津卷 T15 二次不等式在闭区间上恒成立，求线性式的最值 ★★★★ 2025 上海卷 T19 二次函数与对数函数交汇，含参分类讨论 ★★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 分段函数中二次函数的单调性，求参数范围 ★★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T10 的极值点与不等式（多选） ★★★★ 2024 全国甲卷·理 T21 含参不等式恒成立，蕴含二次函数分类讨论思想 ★★★★ 2024 北京卷 T9 对数函数图象上两点的大小比较 ★★★ 2024 天津卷 T2 幂函数 与指数函数 的等价关系 ★★ 2024 天津卷 T5 指数函数与对数函数值的大小比较 ★★ 考情分析 幂函数与二次函数是函数板块的"根"，多以交汇形态出现在高考题中。研判 2024—2026 年真题，命题呈现三个特点：一是以二次为骨——2024 年新课标Ⅰ卷第 6 题把二次函数嵌入分段函数，由单调性反求参数；2025 年天津卷第 15 题、2026 年上海卷第 19 题都以含参二次式为主角。二是以比较为面——2024 年天津卷第 5 题、2025 年全国一卷第 8 题均落在指、对、幂函数值的大小关系上。三是以讨论为纲——恒成立、根的分布、闭区间最值三类问题反复出现，内核都是分类讨论与转化化归。预测 2027 年高考仍以二次函数的最值、恒成立、根的分布为主线，并与导数、不等式、新定义交汇，在含参讨论处提升区分度。 复习目标 1．准确判定幂函数，熟练掌握五个常见幂函数的图象与性质，会用单调性比较指、对、幂值的大小； 2．熟练运用一般式、顶点式、交点式求二次函数的解析式，能由解析式快速读出开口、对称轴、顶点与单调性； 3．掌握闭区间上二次函数最值的"三分类"通法，能处理"定轴动区间"与"动轴定区间"两类问题； 4．会解二次恒成立与一元二次方程根的分布问题，形成"分类讨论、转化化归"的解题自觉。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　幂函数与二次函数知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　幂函数的定义与五个常见幂函数 一般地，函数 （ 为常数）叫做幂函数。判断一个函数是不是幂函数，要抓住三个"唯一"：系数唯一为 ，底数唯一是自变量 ，指数唯一是常数 。五个常见幂函数的图象与性质如下表： 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 奇函数 在 上单调递增 偶函数 在 上单调递减，在 上单调递增 奇函数 在 上单调递增 非奇非偶函数 在 上单调递增 奇函数 在 与 上分别单调递减 五个幂函数的图象都经过点 ；当 时图象还经过原点 ，当 时图象不过原点，且以两坐标轴为渐近线。 【方法技巧】 1．判定幂函数的"三看"：一看系数是否为 ，二看底数是否为自变量 ，三看指数是否为常数，三者缺一不可； 2．求幂函数解析式用待定系数法：先设 ，再代入已知点求 ，注意 可以是负数、分数 甚至无理数； 3．比较两个幂值前先"归类"：底数相同用指数函数的单调性，指数相同用幂函数的单调性，底数与指数都不同则插入中间量 或 。 【易错清单】 1．、、 都不是幂函数，它们的系数不为 、底数不是 或形式不符； 2． 的定义域是 ，不是实数集 ； 的单调区间必须分开写，不能写成"在定义域上递减"； 3．五个幂函数的图象都经过 ，但未必都经过原点，如 、 在原点处无定义。 知识点2　幂函数的图象与性质 幂函数 的图象形态由指数 决定。研究时只在第一象限作图，再借助奇偶性对称到其余象限即可。第一象限内的规律见表： 的范围 第一象限图象特征 单调性 取值特点（） 过 、，图象下凸、上升较快 单调递增 当 时 ，当 时 过 、，图象上凸、上升缓慢 单调递增 增长速度慢于 过原点的直线 单调递增 即 不过原点，以坐标轴为渐近线，图象下凸 单调递减 当 时 图象恒过定点 是幂函数最重要的共性。比较幂值大小时，常先把两个幂化成"同指数"或"同底数"，再借助对应函数的单调性判断。 【方法技巧】 1．作幂函数图象的"三步法"：先由指数定定义域，再判断奇偶性（确定对称性），最后描出第一象限图象并向其对称区域翻折； 2．比较 与 （）：指数相同、底数不同，用幂函数 的单调性； 3．比较 与 （）：底数相同、指数不同，用指数函数 的单调性。 【易错清单】 1．幂函数指数为负时定义域可能不含 ，如 、，作图前必须先看定义域； 2．比较幂值大小之前，务必先确认底数为正；底数为负时幂可能无意义，须单独讨论； 3．指数相同的两个幂比较大小，不要误用指数函数的单调性——只有底数相同才用指数函数。 知识点3　二次函数的解析式的三种形式 二次函数的解析式有三种常用形式，选择哪一种取决于题目给出的条件类型： 形式 表达式 适用条件 一般式 已知图象上任意三个点 顶点式 已知顶点 、对称轴或某个最值 交点式 已知图象与 轴的两个交点 、 三种形式可以互相转化。顶点式与交点式中都含参数 ，它由开口方向与开口大小唯一确定；当图象与 轴的交点不易求出时，仍回到一般式处理。 【方法技巧】 1．待定系数法"三步走"：设形式 → 代条件列方程（组） → 解出参数并还原解析式； 2．"已知两交点"用交点式，"已知顶点、对称轴或最值"用顶点式，"已知三点或含对称关系"用一般式； 3．由 求对称轴，可直接写 ，不必每次配方。 【易错清单】 1．二次项系数 是默认前提，由条件解出系数后必须检验它不为零； 2．交点式中 、 是图象与 轴交点的横坐标，不是任意两个函数值相等的点的横坐标； 3．设 时，不要漏掉参数 ，仅凭顶点无法确定开口大小。 知识点4　二次函数的图象与性质 设二次函数 ，其图象是一条开口向上的抛物线，顶点为 ，对称轴为 。核心性质见表： 性质 开口方向 向上 向下 对称轴 顶点 最低点 最高点 单调性 在 上递减，在 上递增 在 上递增，在 上递减 最值 最小值为 ，无最大值 最大值为 ，无最小值 对称轴是二次函数"形"与"数"的桥梁：只要确定了开口方向与对称轴，单调性、最值以及区间上的取值分布就能一览无余。 【方法技巧】 1．开口、对称轴、判别式是二次函数的"三要素"，解题时先定位这三者，再谈其余； 2．由 可得 ，这是处理对称性问题的快速结论； 3．含参二次函数讨论开口时，一般先讨论 （退化为一次函数）再讨论 ，避免遗漏。 【易错清单】 1．对称轴 中的负号最易漏写，写出后代入一个特殊点验证； 2．不能想当然地认为二次函数在给定区间上的最值一定在顶点处取到，必须先判断顶点横坐标是否落在区间内； 3．最值与值域不同：开区间上可能取不到最值，须结合端点开闭讨论。 知识点5　二次函数在闭区间上的最值 求二次函数 在闭区间 上的最值，核心是比较对称轴 与区间 的位置关系，分三类讨论： ①若 ，则 在 上单调递增，最小值为 ，最大值为 ； ②若 ，则 最小值为 ，最大值在 与 中较大者处取得； ③若 ，则 在 上单调递减，最小值为 ，最大值为 。 当 时开口方向相反，只需把"最小"与"最大"互换，分类标准不变。含参时，分类讨论的界点正是 与 ，等号情形可归入相邻任一类，但不可遗漏。 【方法技巧】 1．闭区间最值"三句话"：比中点、定位置、再求值；含参时常用"区间中点与对称轴比较"确定分界点； 2．对称轴在区间正中时两端点函数值相等，此时最大值取端点值，这是常见的"简化信号"； 3．恒成立问题"两转化"： 恒成立 ；闭区间上恒成立也可分离参数后求另一侧函数的最值。 【易错清单】 1．分类讨论的界点必须取到并检验等号情形，等号归入哪一类不影响结论，但绝不能漏； 2．分离参数时须讨论所除因子的正负，除以含参系数时不等号方向可能改变； 3．闭区间上最值一定存在，开区间上最值不一定存在，端点取不到时只能求取值范围。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　幂函数的定义与解析式求法　★★ 【解题技巧】幂函数识别题抓住"三个唯一"：系数唯一为 ，底数唯一是自变量 ，指数唯一是常数。求解析式一律"设 ，代点求 "，这是通法；若题目已给出含参系数，则先用"系数为 "列方程，再用"图象关于 轴对称、在 上单调递减"等条件筛选。 【注意事项】幂函数题的常见"坑"有两个：①把 、、 误认为幂函数；②由系数方程解出多个 后不检验奇偶性或单调性，直接"多解全收"。记牢：求参多解必检验，检验标准就是题目给的图象与单调性。 【例1-1】（2024·天津卷·T2·高考真题）设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】把两个等式分别翻译成函数 与 的单调性问题，二者都等价于 ，即知互为充要条件。 【解答过程】因为幂函数 在 上单调递增，所以 ； 因为指数函数 在 上单调递增，所以 。 于是""与""都等价于 ，两者可以互相推出。故选 C。 【例1-2】（2026·河北·石家庄市第二中学·高三质量检测）已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用"幂函数系数为 "求出 的候选值，再用"图象关于 轴对称（偶函数）"与"在 上单调递减"两个条件筛选。 【解答过程】因为 是幂函数，所以 ，即 ，解得 或 。 当 时，，是偶函数，图象关于 轴对称，且在 上单调递减，符合题意； 当 时，，是奇函数，图象关于原点对称，不合题意。 综上，。故选 B。 【变式1-1】下列函数中是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】按"系数为 、底数为自变量 、指数为常数"三条标准逐一比对。 【解答过程】A 的系数为 ，不是幂函数；B 含常数项 ，形式不符；C 形如 ，其中 是常数，是幂函数；D 的底数是 而非 ，不是幂函数。故选 C。 【变式1-2】已知幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由已知点求指数 ，写出解析式后再求函数值，注意 时函数的定义域。 【解答过程】由 ，得 ，所以 。 于是 。故选 B。 【变式1-3】已知幂函数 的图象关于 轴对称，且在 上单调递减，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把"关于 轴对称"翻译为指数为偶数、"在 上单调递减"翻译为指数为负数，二者联立筛选整数 。 【解答过程】图象关于 轴对称，说明 为偶函数，指数 为偶数； 在 上单调递减，说明指数为负数。 当 时，指数为 ，是负数且为偶数，符合； 当 时，指数为 ，是奇数，不合；当 时，指数为 ，是奇数，不合；当 时，指数为 ，不合。 综上，。故选 B。 【变式1-4】若幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 ，代点求出 ，再求 。 【解答过程】设 ，由 ，得 ，即 。 所以 。故选 A。 【变式1-5】若点 在幂函数 的图象上，则 的定义域为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先设幂函数形式并代点求指数，再由指数确定定义域。 【解答过程】设 ，由 ，得 ，所以 。 因为指数 为正整数，所以定义域为 。故选 C。 重难点培优02　幂函数的图象与比较大小　★★ 【解题技巧】比较指、对、幂值大小的"三步定位"：同指数比底数用幂函数，同底数比指数用指数函数，均不同则插入中间量 、。熟记两条"标尺"：指数为正时幂函数在 上递增，指数为负时递减；底数大于 的指数函数递增，底数在 内递减。 【注意事项】①幂函数的单调性只在 上研究，遇到负底数要先判断函数值是否存在；②同指数比较大小，切勿误用指数函数单调性；③指、对、幂值"三不同"时，先找中间量分级，再作差或作商定序，不要凭感觉。 【例2-1】（2024·天津卷·T5·高考真题）若 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】 与 底数相同，用指数函数 的单调性比较； 与 比较，再用中间量 、 串起三者。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ， 所以 ，即 。 又因为 在 上单调递增，且 ， 所以 ，即 。 所以 。故选 B。 【例2-2】（2025·全国一卷·T8·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先把三个数写成同一参数 的表达式 、、，再对 赋值枚举所有可能出现的大小关系，用排除法定位"不可能"的一项。 【解答过程】设 ，则有 ，，。 取 ，则 ，，，此时 ，A 有可能； 取 ，则 ，，，此时 ，C 有可能； 取 ，则 ，，，此时 ，D 有可能。 由排除法知 不可能出现。故选 B。 【变式2-1】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】 与 指数相同，用幂函数比较； 与 底数相同，用指数函数比较。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ； 因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 。 所以 。故选 A。 【变式2-2】已知 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先把 化为同底数形式，发现 与 相等，再与 比大小。 【解答过程】，所以 。 而 。 所以 。故选 B。 【变式2-3】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】 与 同底数 ，用指数函数比较； 与 同指数 ，用幂函数比较。 【解答过程】因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，即 ； 因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 。 所以 。故选 C。 【变式2-4】若 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先在同一指数下比较 与 ，再把 与中间量 比较，串起三者。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ，所以 。 又 ，而 （因 ）， 所以 。故选 A。 【变式2-5】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先判断三个数与 、 的大小，再用中间量 辅助定序。 【解答过程】因为 在 上单调递减，且 ，所以 ； 因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，且 ； 因为 在 上单调递增，且 ，所以 。 所以 。故选 B。 重难点培优03　二次函数解析式的求法（待定系数）　★★★ 【解题技巧】"三选一"定形式：已知三点用一般式，已知顶点（对称轴、最值）用顶点式，已知两交点用交点式。遇到" 为一次式"""这类条件，先由对称轴或恒等式确定系数关系，再代点求参，往往比强行解三元方程组更省力。 【注意事项】①三种形式的二次项系数都不能为 ，解出后必须检验；②用顶点式或交点式时最容易漏掉参数 ，仅凭顶点或两个交点无法确定开口大小；③恒等式 对任意 都成立，比较对应项系数即可，不必代入具体数值。 【例3-1】（2026·江苏·南京师范大学附属中学·高三学情调研）已知二次函数 的图象经过点 ，且 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设一般式 ，先用 定 ，再用恒等式比较系数求 。 【解答过程】设 ，由 ，得 。 由 ， 又 ，比较系数得 ，，解得 ，。 所以 。故选 A。 【例3-2】（2025·湖北·华中师范大学第一附属中学·高三期中）已知二次函数 满足 ，且 ，，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 知对称轴为 ，结合 得顶点为 ，用顶点式设出后再代 定参数。 【解答过程】由 知图象关于直线 对称；又 ，故顶点为 。 设 ，由 ，得 。 所以 。故选 C。 【变式3-1】已知二次函数 的图象与 轴交于点 和 ，且 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】已知两交点，用交点式 ，再代入 求 。 【解答过程】设 ，由 ，解得 。 所以 。故选 B。 【变式3-2】已知二次函数 的图象顶点为 ，且经过点 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】已知顶点，用顶点式 ，代入 求 。 【解答过程】设 ，由 ，解得 。 所以 。故选 D。 【变式3-3】已知二次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 可设 ，再由恒等式比较系数。 【解答过程】设 。 由 ， 比较系数得 ，，解得 ，。 所以 。故选 C。 【变式3-4】已知二次函数 满足 ，且 ，，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 知对称轴为 ，结合 得顶点 ，用顶点式求参。 【解答过程】由 知图象关于直线 对称，故顶点为 。 设 ，由 ，解得 。 所以 。故选 A。 【变式3-5】已知二次函数 满足 ，且 ，则 的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设一般式，由 定 ，再由恒等式比较系数求 。 【解答过程】设 ，由 ，得 。 由 ， 比较系数得 ，，解得 ，。 所以 。故选 C。 重难点培优04　二次函数在闭区间上的最值（定轴动区间/动轴定区间）　★★★ 【解题技巧】闭区间最值的万能口诀是比中点、定位置、再求值：先求对称轴 ，再与区间端点（或中点）比较以确定单调性与最值位置。含参时分类界点必是 与 ，按 、、 分三类；求最大值时，还可用"距离对称轴越远函数值越大"快速定位。 【注意事项】①分类讨论的等号情形不可漏，把 归入相邻任一类均可，但必须交代；②求最小值与求最大值的分类界点不同，最小值以"对称轴是否落在区间内"为界，最大值以"区间中点是否在对称轴右侧"为界；③求出参数后要代回检验是否落在所设类别内，不在则该类无解。 【例4-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T6·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分段函数在 上单调递增，需"每一段都递增"且"衔接点处左段的最大值不超过右段的最小值"，据此列出关于 的不等式组。 【解答过程】当 时，，其导数 ，在 上单调递增。 当 时， 是开口向下的二次函数，，要在 上单调递增，需 对一切 成立，即 。 再由衔接点处的大小关系：，而 ，故 ，即 。 综上，。故选 B。 【例4-2】（2026·山东·济南市历城第二中学·高三模拟）已知函数 在区间 上的最大值为 ，最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】配方得对称轴 与最小值 ，分别把"最小值 ""最大值 "翻译成关于 的不等式，再取交集。 【解答过程】，对称轴为 ，最小值为 。 要使 在 上的最小值为 ，必须让 落在区间内，即 。 此时最大值为 ，要使其等于 ，需 ，即 ，解得 。 取交集得 。故选 D。 【例4-3】（2026·浙江·杭州学军中学·高三联考）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的值构成的集合为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】开口向上的抛物线在闭区间上的最大值必在端点处取得，故只需比较 与 ，分类求解并检验。 【解答过程】，开口向上，故 在 上的最大值为 。 其中 ，。 若 ，则 ， 或 。当 时 ，符合；当 时 ，不符合。 若 ，则 ， 或 。当 时 ，符合；当 时 ，不符合。 综上， 的值构成的集合为 。故选 C。 【变式4-1】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对称轴落在区间内，最大值在离对称轴较远的端点处取得，比较两端点函数值即可。 【解答过程】，对称轴为 ，，，顶点值 。 故最大值为 。故选 B。 【变式4-2】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】最小值在顶点处取得，因此必须让顶点横坐标落在区间内。 【解答过程】，最小值为 。要使 在 上的最小值为 ，需 ，即 。故选 C。 【变式4-3】若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】最小值 在顶点 处取得，故顶点必须落在动态区间 内。 【解答过程】，最小值 。要使区间 上的最小值为 ，需 ，即 ，解得 。故选 B。 【变式4-4】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】开口向下的抛物线最大值在顶点处取得，顶点必须落在区间内。 【解答过程】，最大值 。要使 上的最大值为 ，需 ，即 ，故 的最小值为 。故选 D。 【变式4-5】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】按对称轴 与区间 的位置关系分三类讨论，分别求出 后检验是否落在所设类别内。 【解答过程】，对称轴为 。 ①若 ， 在 上单调递增，最小值 ，解得 ，符合； ②若 ，最小值 ，解得 或 ，均不在 内，舍去； ③若 ， 在 上单调递减，最小值 ，解得 ，符合。 综上， 或 。故选 C。 重难点培优05　二次函数恒成立问题　★★★ 【解题技巧】二次恒成立"三条路"：①判别式法—— 对一切 恒成立 ，即 且 （ 时需单独讨论）；②分离参数法——把参数移到一侧，转化为求另一侧函数的最值；③主元换位——把参数看成"一次函数的变量"，用端点值控制。 【注意事项】① 与"在某闭区间上恒成立"处理方式不同，后者必须结合区间端点与对称轴分析；②分离参数时若除式含参，必须讨论其正负；③"恒成立"求的是含参不等式"全称"命题，"有解"则转化为最值另一侧的不等式，两者不可混淆。 【例5-1】（2025·天津卷·T15·高考真题）若 ，对任意 ，均有 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】设 ，从恒成立式中"取特殊值"消去 ，得到 的下界，再构造一组满足条件的 验证该下界能取到。 【解答过程】记 ，则 ，原不等式化为对任意 ， 恒成立。 取 ，得 ，即 。 下面验证 可以取到：取 ，，此时 ，原不等式化为 ，即 ，对任意 恒成立。 所以 的最小值为 。故选 C。 【例5-2】（2026·福建·厦门双十中学·高三联考）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】区间上恒成立，优先分离参数：把 单独留下，转化为求另一侧函数在 上的最小值。 【解答过程】由 知 ，原不等式可化为 ，即 对 恒成立。 设 ，当 时 ，故 在 上单调递增，。 所以 的最小值为 。要使命题恒成立，需 。故选 A。 【变式5-1】若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】二次项系数为正，对一切实数恒成立等价于判别式小于零。 【解答过程】要使 对一切实数 恒成立，需 ，即 ，解得 。故选 B。 【变式5-2】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】开口向上，恒成立等价于判别式不大于零。 【解答过程】需 ，解得 。故选 B。 【变式5-3】已知函数 ，若存在 使 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】"有解"问题转化为：存在 使 ，即 大于 在区间上的最小值。 【解答过程】由 知 ， 即 ，即存在 使 。 设 ，在 上单调递增，。 故只需 。故选 D。 【变式5-4】若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】解集为 要求二次项系数为正且判别式小于零，注意先排除 的情形。 【解答过程】当 时，不等式为 ，解集不是 ，不合； 当 时，需 且 ，解得 。 综上，。故选 C。 【变式5-5】若对任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 ，按对称轴与区间的关系讨论最小值，令最小值不小于零。 【解答过程】设 ，对称轴为 。 ①若 ，即 ，则 在 上单调递增，，解得 ，故 ； ②若 ，即 ，则 在 上单调递减，，解得 ，故 ； ③若 ，即 ，则 ，解得 ，符合。 综上，。故选 A。 重难点培优06　二次函数与一元二次方程根的分布　★★★ 【解题技巧】根的分布问题死记"四看"：看开口、看判别式、看对称轴、看端点函数值。把"根在哪个区间"翻译成这四项的符号条件，再取交集。特别是"一根小于 、一根大于 "型，直接转化为 的符号 最快。 【注意事项】①只列端点不等式而不检验判别式，会产生增解；②对称轴条件是"必要"条件，不能遗漏；③端点取等号时可能出现重根或根恰在端点，须单独检验，这类边界情形最易失分。 【例6-1】（2026·湖南·长沙市第一中学·高三月考）已知关于 的方程 有两个不相等的正实数根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 或 【答案】A 【解题思路】"两根为正"要用到判别式、两根之和、两根之积三个条件，逐一列式后取交集。 【解答过程】设两根为 ，。要使方程有两个不相等的正实根，需 ①判别式 ，即 或 ； ②两根之和 ，即 ； ③两根之积 ，恒成立。 取交集得 。故选 A。 【例6-2】（2026·江西·南昌市第二中学·高三联考）已知方程 的两根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设 ，把"两根都大于 "翻译为"判别式大于零、对称轴大于 、"三条件。 【解答过程】设 ，开口向上，两根都大于 等价于 ①，即 或 ； ②对称轴 ，即 ； ③，即 。 取交集得 。故选 B。 【例6-3】（2026·重庆·重庆巴蜀中学·高三月考）已知关于 的方程 的两个根都落在区间 内，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】方程左边是完全平方减常数，可直接求根，再由两个根的位置列不等式。 【解答过程】由 ，得 ，即 或 。 要使两根都落在 内，需 且 ，即 且 。 所以 。故选 C。 【变式6-1】已知关于 的方程 有两个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两个不相等实根只需判别式大于零。 【解答过程】需 ，解得 。故选 A。 【变式6-2】若方程 的两个根异号，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】两根异号等价于两根之积小于零，此时判别式自动为正。 【解答过程】两根异号即 ，故 ；此时 自动成立。故选 D。 【变式6-3】已知方程 的两个根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接求根，再令两个根都大于零。 【解答过程】由 ，得 或 。 要使两根都大于 ，只需较小的根 ，即 。故选 A。 【变式6-4】已知函数 的两个零点都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"两个零点都大于 "需同时满足判别式大于零、对称轴大于 、。 【解答过程】需 ①，即 或 ； ②对称轴 ； ③，即 。 取交集得 。故选 A。 【变式6-5】已知方程 的两根分别在区间 和 内，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设 ，一根在 、另一根在 ，等价于 、、。 【解答过程】设 ，开口向上。 一根在 、另一根在 ，需 ①； ②，即 ； ③，即 。 取交集得 。故选 B。 重难点培优07　二次函数与其它知识的交汇　★★★★ 【解题技巧】交汇问题一律"化归为二次"：把指数式、对数式、根式、三角函数式通过换元 变成关于 的二次式，再用二次函数的性质处理。换元时务必先求出新元 的取值范围，二次函数的最值只在这个范围内求。复合函数单调性则"同增异减"。 【注意事项】①换元后忘记写新元的范围是最常见的失分点，例如 、；②复合函数求单调区间必须先求定义域，再结合内外层单调性；③"在区间上求值域"与"求最值"本质相同，但端点开闭会改变结论，务必逐项核对。 【例7-1】（2024·新课标Ⅰ卷·T10·高考真题）设函数 ，则（　　） A． 是 的极小值点 B．当 时， C．当 时， D．当 时， 【答案】ACD 【解题思路】先求导确定单调区间与极值点，再把各选项的不等式转化为函数值的比较，借助单调性或作差法逐一验证。 【解答过程】， 故 在 与 上单调递增，在 上单调递减， 是极小值点，A 正确。 当 时，，而 在 上单调递增，故 ，B 错误。 当 时，， 在 上单调递减，故 ，C 正确。 当 时， ， 因 ，，故 ，即 ，D 正确。 故选 ACD。 【例7-2】（2026·上海卷·T19（1）·高考真题）已知 ，函数 ，。若 ，则不等式 的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由 求出 ，再把不等式两边化去相同的 项，得到一元二次不等式，注意 的隐含条件。 【解答过程】由 ，得 ，所以 。 不等式 即 ， 两边同时减去 得 ，即 ，解得 或 。 又由式子中的 知 ，故解集为 。故选 B。 【变式7-1】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令 ，用复合函数"同增异减"判断：外层递减，故内层递减时整体递增。 【解答过程】令 ，则 在 上递减，在 上递增。 又 在 上单调递减，由"同增异减"，函数单调递增区间为 。故选 B。 【变式7-2】若函数 单调递减，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再用"同增异减"：外层以 为底递减，故整体递减要求内层递增。 【解答过程】由 得 或 ，即定义域为 。 令 ， 单调递减，要整体单调递减，需 单调递增，即 。 取交集得 。故选 A。 【变式7-3】已知函数 ，，则 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对称轴落在区间内，最小值在顶点取到，最大值比较两端点函数值。 【解答过程】，对称轴 ，故最小值为 。 又 ，，故最大值为 ，值域为 。故选 D。 【变式7-4】若函数 在 上单调递减，在 上单调递增，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由单调性确定对称轴位置，求出 ，再求函数值。 【解答过程】由题意知对称轴为 ，即 ，于是 ，。故选 C。 【变式7-5】已知函数 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求内层二次式的最小值，再由指数函数的单调性得到外层的最小值。 【解答过程】，即内层的最小值为 。 又 在 上单调递增，故 。故选 A。 重难点培优08　含参二次函数的分类讨论（新定义）　★★★★ 【解题技巧】含参分类讨论"三步走"：定对象（按开口？对称轴？判别式？）→ 求界点（令对称轴等于端点、令判别式为零）→ 逐类求解并取并集。遇到新定义题先"翻译"定义，把它还原成熟悉的对称轴、最值或不等式语言，再按常规分类处理。 【注意事项】①分类不重不漏是底线，"不重"避免了同一情形被算两次，"不漏"要求界点情形必须写；②新定义题的胜负手在"读懂"，尤其要圈出"任意""存在""至少""恰有"等关键词；③求出参数后必须回代检验它是否落在所设类别内。 【例8-1】（2026·四川·成都七中·高三诊断）已知函数 在区间 上的最大值为 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上的抛物线在闭区间上的最大值在端点取得，按 与 分类讨论，写出 后再求最小值。 【解答过程】 开口向上，故在 上的最大值 。 其中 ，。 若 ，则 ；若 ，则 。 所以 ，当且仅当 时取到最小值 。故选 A。 【例8-2】（2026·辽宁·大连市第二十四中学·高三联考）定义：对函数 ，若存在常数 ，使得对任意 都有 ，则称 为 的"上界"，其中最小的上界称为"最小上界"。已知 的最小上界为 ，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先"翻译"新定义：最小上界就是函数的最大值，再配方求最大值并令其等于 。 【解答过程】对开口向下的二次函数，使 恒成立的最小 就是最大值，故"最小上界为 "即 。 ，最大值为 。 由 ，解得 ，即 。故选 C。 【例8-3】（2026·安徽·合肥市第八中学·高三联考）已知函数 ，若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】 等价于 在 上的最大值与最小值之差不超过 ，按对称轴 与区间的位置关系分三类讨论。 【解答过程】条件等价于 （）。。 ①若 ，则 在 上单调递增，，，差为 ，解得 ，故 ； ②若 ，则 。当 时 ，差为 ；当 时 ，差为 ，均符合； ③若 ，则 在 上单调递减，，，差为 ，解得 ，故 。 综上，。故选 A。 【变式8-1】已知函数 在区间 上的最大值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按 、、 三种情形讨论，再看最大值是否在右端点 处取得。 【解答过程】①当 时开口向上，最大值在端点处取得，，符合题意； ②当 时 在 上单调递增，最大值 ，符合题意； ③当 时开口向下，对称轴 。若 （即 ），则 在 上单调递增，最大值 ，符合；若 （即 ），则最大值在顶点处取得，不符合。 综上，。故选 B。 【变式8-2】定义：若 ，则称 为函数 的"不动点"。已知函数 有两个不相等的不动点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把"不动点"翻译成方程 ，再令判别式大于零求参数范围。 【解答过程】由"不动点"定义，令 ，即 ，整理得 。 要使方程有两个不相等的实根，需 ，解得 。故选 A。 【变式8-3】已知函数 ，若 在区间 上的最小值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】把 代入确定动态区间，再判断对称轴与区间的位置关系求最小值。 【解答过程】当 时，区间为 ， 在 上单调递增， 故最小值 。故选 D。 【变式8-4】已知函数 ，若对任意 ， 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】区间上恒成立转化为最小值不小于零，求出对称轴处的最小值后解不等式。 【解答过程】，对称轴 ，故最小值 。 要使命题恒成立，需 ，即 ，故 的最小值为 。故选 C。 【变式8-5】定义：对函数 ，若存在实数 ，使得对任意 都有 ，则称 是"可线性下界的"。若 是"可线性下界的"，则 的取值构成的集合是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把新定义转化为一元二次不等式恒成立，再用判别式不大于零求 的范围。 【解答过程】由定义，需 对一切实数 恒成立，即 恒成立。 故 ，即 ，解得 。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】下列函数是幂函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】按"系数为 、底数为 、指数为常数"三条标准逐一比对。 【解答过程】A 含常数项，形式不符；B 的系数为 ；D 的底数为 ；只有 C 形如 。故选 C。 2．【巩固】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】配方后由顶点纵坐标得最小值。 【解答过程】，当 时取最小值 。故选 B。 3．【巩固】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】 与 同底数，用指数函数比较； 与 同指数，用幂函数比较。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ； 因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 。 所以 。故选 A。 4．【巩固】幂函数 的图象经过点 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把已知点代入 求指数。 【解答过程】由 ，得 。故选 B。 5．【进阶】函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上的抛物线在区间上递增，等价于对称轴不在区间内部。 【解答过程】对称轴为 ，要使 在 上单调递增，需 。故选 A。 6．【进阶】已知不等式 有实数解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】不等式有实数解等价于判别式大于零。 【解答过程】需 ，解得 。故选 A。 7．【进阶】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】外层以 为底递增，故整体递减要求内层递减。 【解答过程】令 ， 在 上递减； 递增，由"同增异减"，递减区间为 。故选 B。 8．【进阶】已知方程 的一根大于 ，另一根小于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 ，一根大于 、一根小于 等价于 。 【解答过程】设 ，开口向上，一根大于 、一根小于 等价于 ，解得 。故选 A。 二、多选题 9．【进阶】下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】逐项判断幂函数在 上的单调性，指数为正则递增。 【解答过程】、、 的指数均为正，在 上单调递增，A、C、D 正确； 的指数为负，在 上单调递减，B 错误。故选 ACD。 10．【进阶】已知函数 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的图象关于直线 对称 B． 的最小值为 C． 在 上单调递减 D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】配方后逐项验证对称轴、最值与单调性。 【解答过程】，对称轴为 ，A 正确；最小值为 ，B 正确；在 上单调递减，故在 上递减，C 正确； 在 上不单调，D 错误。故选 ABC。 11．【进阶】已知函数 的图象开口向下，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． 的最大值为 D． 在 上单调递增 【答案】ABC 【解题思路】由两个零点确定对称轴，再由开口方向判断各选项。 【解答过程】由 知对称轴为 ，开口向下，故 时取最大值，C 正确； ，A 正确；由 （），B 正确；开口向下且对称轴为 ，故在 上不单调，D 错误。故选 ABC。 12．【培优】定义：若 对任意 恒成立，则称 为 的"最低点"。已知 ，则下列结论正确的是（　　） A． 是 的最低点 B． 的最小值为 C．若 的最低点为 ，则 D． 在 上单调递增 【答案】ABD 【解题思路】配方得顶点，再逐项对照新定义判断。 【解答过程】，最小值在 处取得，故 是"最低点"，A 正确；最小值为 ，B 正确；若最低点为 ，则 ，C 错误； 在 上单调递增，D 正确。故选 ABD。 三、填空题 13．【巩固】函数 在区间 上的值域为 ______． 【答案】 【解题思路】对称轴落在区间内，最小值在顶点取，最大值比较两端点函数值。 【解答过程】，对称轴 ，最小值 ；，，最大值 。故值域为 。 14．【进阶】已知幂函数 的图象经过点 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】先由已知点求指数 ，再代入求值。 【解答过程】由 ，即 ，得 ，所以 。 故 。 15．【进阶】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】二次项系数为正，恒成立等价于判别式不大于零。 【解答过程】需 ，即 ，解得 。 16．【培优】已知函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的值为 ______． 【答案】 【解题思路】按对称轴 与区间 的位置关系分三类讨论，逐类求 并检验。 【解答过程】。 ①若 ，最小值 ，解得 ，符合； ②若 ，最小值 ，解得 ，均不在 内，舍去； ③若 ，最小值 ，解得 ，不在 内，舍去。 综上，。 四、解答题 17．【进阶】已知二次函数 的图象经过点 ，且 ． (1) 求 的解析式； (2) 求 在 上的最大值与最小值． 【答案】(1) ；(2) 最大值为 ，最小值为 ． 【解题思路】(1) 用待定系数法，由恒等式比较系数；(2) 由对称轴与区间的关系确定最值位置。 【解答过程】(1) 设 。 由 ，比较系数得 ，，解得 ，。 再由 ，得 ，所以 。 (2) ，对称轴 ， 最小值 ；又 ，，故最大值为 。 18．【进阶】已知函数 ． (1) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 若 在 上的最小值为 ，求实数 的值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 由对称轴位置列不等式；(2) 按对称轴与区间的位置关系分三类讨论。 【解答过程】(1) 对称轴为 ，要使 在 上单调递增，需 。 (2) ①若 ，则最小值 ，解得 ，不符合； ②若 ，则最小值 ，解得 或 ，其中 符合； ③若 ，则最小值 ，解得 ，不符合。 综上，。 19．【培优】已知函数 ． (1) 当 时，求 在 上的最小值； (2) 若 对任意 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 或 ． 【解题思路】(1) 代入后配方求最小值；(2) 把恒成立转化为 对 恒成立，再分端点讨论。 【解答过程】(1) 当 时，，对称轴 ，故最小值为 。 (2) 即 ，即 对任意 恒成立。 当 时需 ；当 时需 。 若 ，则由 且 得 ； 若 ，则由 且 （自动成立）得 。 综上， 或 。 20．【培优】已知函数 ，． (1) 若 的两个根都大于 ，求实数 的取值范围； (2) 若存在 ，使得 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 或 ． 【解题思路】(1) 用"判别式、对称轴、端点函数值"三条件；(2) 转化为区间上的最小值小于零，按对称轴位置分三类。 【解答过程】(1) 设两根为 。需 ①，即 或 ； ②对称轴 ；③，恒成立。 取交集得 。 (2) 存在 使 等价于 （）。。 ①若 ，则 ，解得 ； ②若 ，则 ，即 ，解得 或 ，在 内无解； ③若 ，则 ，解得 。 综上， 或 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $