专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习培优系列

专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　函数的单调性与单调区间 4 知识点2　函数奇偶性的定义与图象特征 5 知识点3　函数的对称性（轴对称与中心对称） 6 知识点4　函数的周期性 6 知识点5　函数性质的综合应用 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　确定函数的单调性及单调区间　★★ 9 重难点培优02　复合函数的单调性　★★★ 10 重难点培优03　利用单调性解不等式与比较大小　★★★ 11 重难点培优04　利用单调性求参数范围　★★★ 12 重难点培优05　求函数最值（值域）　★★ 13 重难点培优06　奇偶性的判断与应用　★★★ 14 重难点培优07　周期性与对称性的综合　★★★★ 16 重难点培优08　抽象函数性质综合（新定义）　★★★★ 17 五、过关检测 19 一、单选题 19 二、多选题 20 三、填空题 21 四、解答题 21 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 函数的单调性与单调区间 理解单调性的定义，会用定义证明单调性，能熟练求出常见函数的单调区间 函数的奇偶性 理解奇偶性的定义，牢记"定义域关于原点对称"这一前提，能判断并应用函数的奇偶性 函数的对称性 理解 与 的图象含义，能由解析式读出对称轴与对称中心 函数的周期性 理解周期函数的定义，掌握"由奇偶性、对称性推出周期性"的常用结论，并会用于求值 函数性质的综合应用 能综合运用单调性、奇偶性、对称性、周期性解决求值、比较大小、解不等式、求参数与最值问题 近三年高考真题对函数性质板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国二卷 T8 偶函数与反周期条件联立求参数 ★★★ 2026 全国一卷 T6 含参函数的最大值，求参数 ★★★★ 2026 北京卷 T5 奇函数且单调递增的判断 ★★ 2026 天津卷 T4 由部分图象识别解析式（奇偶性） ★★ 2026 上海卷 函数最值的新定义（"最低点"） ★★★★ 2025 全国一卷 T5 周期性与奇偶性求函数值 ★★ 2025 全国一卷 T8 利用函数单调性比较大小 ★★★ 2025 全国二卷 T18 含参函数的单调性、极值（与导数综合） ★★★★ 2025 天津卷 T3 由图象识别解析式（奇偶性） ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T8 抽象函数的递推与不等式估计 ★★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T6 偶函数图象恰有一个交点，求参数 ★★★★ 2024 全国甲卷·理 T7 函数图象的识别（奇偶性与特殊值） ★★ 考情分析 函数性质是高考数学的"必考主干"，近三年每年稳定考查 2~3 道小题与 1 道综合大题，分值约 15~20 分。命题呈现"三多"：一是单点多考，2026 年北京卷 T5、天津卷 T4 与 2025 年天津卷 T3 均以"奇偶性＋单调性＋图象"为切入点；二是多性质联动，2026 年全国二卷 T8 把偶函数与反周期条件联立求参，2025 年全国一卷 T5 由周期性与奇偶性求函数值；三是抽象与创新，2024 年新课标Ⅰ卷 T8 以抽象函数的递推关系估计函数值，2026 年上海卷以"最低点"新定义考查最值。本板块核心素养指向"数学抽象、逻辑推理与数学运算"。预测 2027 年高考仍以单调性、奇偶性为主线，以对称性、周期性、抽象函数与新定义为载体提升区分度。 复习目标 1．准确辨析单调性的定义，掌握"取值—作差—变形—定号—结论"的证明流程，会求常见函数的单调区间； 2．牢固掌握奇偶性的定义与图象特征，能判断、证明奇偶性，并由一半区间上的解析式求出另一半； 3．吃透"和为定值想对称、差为定值想周期"的识别口诀，能由两个对称性推出函数的周期； 4．建立"性质联动"的解题意识，综合运用四大性质解决求值、比较大小、解不等式与求参数问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　函数性质知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　函数的单调性与单调区间 设函数 的定义域为 ，区间 ： ①若对任意 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增， 为增区间； ②若对任意 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递减， 为减区间。 定义法证明单调性的"五步曲"：取值 作差 变形（因式分解或通分） 定号 结论。 常用结论： ① 与 、 的单调性相同， 与 的单调性相反； ②若 且在 上单调递增，则 在 上单调递增； ③ 与 在 的区间上单调性相反； ④增函数 增函数为增函数，减函数 减函数为减函数。 【方法技巧】 1．求单调区间一定要先求定义域，再在定义域内取"最大"的区间； 2．解抽象不等式时，先把不等式化成 的形式，再用单调性"脱去外衣"； 3．分式型与根式型函数常先分离常数或换元，再判断单调性。 【易错清单】 1．单调区间必须是定义域的子区间，不能写到定义域之外； 2．多个单调区间之间只能用"和"字分开叙述，不可用""连接，如 的减区间是 和 ； 3．"函数在区间 上单调递减"与"函数的单调递减区间是 "含义不同，后者要求 为最大区间。 知识点2　函数奇偶性的定义与图象特征 设函数 的定义域为 ，则 必须关于原点对称，这是判断奇偶性的前提： ①若对任意 都有 ，则 为奇函数，其图象关于原点对称； ②若对任意 都有 ，则 为偶函数，其图象关于 轴对称。 常用结论： ①若奇函数 在 处有定义，则 ； ②奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数则相反； ③奇偶分解： 为偶函数， 为奇函数； ④偶函数在 上单调递增时，。 【方法技巧】 1．判断奇偶性"三步定音"：先看定义域是否关于原点对称，再计算 ，最后与 、 比较； 2．分段函数的奇偶性要"分段验证、整体检验"，缺一段都不能下结论； 3．已知一半区间上的解析式求另一半，用"设 在所求区间，则 在已知区间"的转代法，并注意用 或 建立联系。 【易错清单】 1．定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数，这是最容易被忽略的"一票否决"； 2． 只是奇函数的必要不充分条件，不能用来证明奇函数； 3．" 为偶函数"与" 为偶函数"含义不同，后者表示 的图象关于直线 对称。 知识点3　函数的对称性（轴对称与中心对称） 设 的定义域为 ： ①轴对称：若对任意 都有 ，则 的图象关于直线 对称；更一般地， 表示图象关于直线 对称； ②中心对称：若对任意 都有 ，则 的图象关于点 对称；特别地， 表示图象关于点 对称。 对称性与周期性相互牵制（详见知识点4）：若 的图象关于直线 与直线 都对称，则 ；若既关于点 对称，又关于直线 对称，则 。 【方法技巧】 1．识别对称性的"关键词"：括号内两个自变量之和为常数，看的是轴对称； 2． 的对称轴是两自变量之和的一半，即 ，切勿与周期性混淆； 3．遇到"图象关于点 对称"，先写成 ，再赋值检验。 【易错清单】 1． 是轴对称， 才是周期，二者形似而神异； 2．中心对称的对称中心纵坐标是 而非 ，只有 时对称中心才落在 轴上； 3．"两个函数图象关于某直线对称"与"一个函数自身的对称性"是两回事，不要混为一谈。 知识点4　函数的周期性 对定义域内的任意 ，若存在非零常数 ，使 恒成立，则称 为周期函数， 为其一个周期；最小的正周期称为最小正周期。 由恒等式推周期的常用结论（）： 恒等式 周期 此外，若 的图象关于两条对称轴 与 对称，或关于两个对称中心 与 对称，则 ；若一轴一心同时出现，则 。 【方法技巧】 1．见"和为定值"想对称，见"差为定值"想周期，这是识别的第一反应； 2．求周期函数的值，一律"先减周期，把自变量化到已知区间，再代入解析式"； 3．周期与奇偶性联用时，优先把自变量平移或翻折到已知解析式的区间内。 【易错清单】 1．周期 必须是非零常数，且周期不唯一， 都是周期； 2．由 推得 ，切勿误写为 ； 3．由 推得 ，切勿误写为 ； 4．"函数是周期函数"与"函数有最小正周期"不等价，常函数没有最小正周期。 知识点5　函数性质的综合应用 单调性、奇偶性、对称性、周期性不是孤立的，解题时常用"性质联动"： ①奇偶性＋单调性：偶函数由 转化为 ，奇函数则直接"脱去 "； ②对称性＋周期性：由两条对称轴或两个对称中心求出周期，实现"大化小"； ③奇偶性＋周期性：把未知区间上的函数值转化到已知区间上求值； ④抽象函数：通过对自变量赋值，得到特殊函数值或新的函数关系。 处理" 同时满足多个恒等式"的问题，通常画一条示意图——标出对称轴、对称中心、周期与已知区间，可把抽象问题直观化。 【方法技巧】 1．"性质联动"通用流程：画图示意 找对称与周期 归结到已知区间 用单调性比较； 2．比较大小的题目，先判断各函数值的正负与增减趋势，再用单调性定序； 3．恒成立问题优先用"参变分离"，转化为求函数的最值。 【易错清单】 1．偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数则相同，判断时不能凭感觉； 2．涉及 的题目，先确认 是否在定义域内； 3．分段函数的奇偶性与单调性都要"分段讨论、整体验证"，只算一段是常见失分点。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　确定函数的单调性及单调区间　★★ 【例1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． 和 D． 【例1-2】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． 和 C． D． 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 和 【变式1-2】下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． 和 D． 【变式1-4】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】函数 在区间 上的单调性为（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定 【变式1-6】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优02　复合函数的单调性　★★★ 【例2-1】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 和 【例2-2】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 和 【变式2-2】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】已知 是定义在 上的减函数，则函数 是（　　） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【变式2-4】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 和 【变式2-5】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【变式2-6】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　利用单调性解不等式与比较大小　★★★ 【例3-1】（2025·全国一卷·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】已知 是定义在 上的增函数，且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】已知 是偶函数且在 上单调递减，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　利用单调性求参数范围　★★★ 【例4-1】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4-2】已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】已知函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-6】已知 是定义在 上的减函数，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　求函数最值（值域）　★★ 【例5-1】函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【变式5-6】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　奇偶性的判断与应用　★★★ 【例6-1】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，（ 为常数），当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-1】下列函数为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-3】已知 是偶函数，则（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】已知 是定义在 上的奇函数且在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】已知 是奇函数，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-6】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　周期性与对称性的综合　★★★★ 【例7-1】（2025·全国一卷·高考真题）设 是定义在 上且周期为 的偶函数，当 时，，则 （　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·全国二卷·高考真题）已知 是定义域为 的偶函数，且 ，当 时，，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知 是定义在 上的函数，且 ，则 的图象关于（　　） A．直线 对称 B．直线 对称 C．点 对称 D． 轴对称 【变式7-2】已知 是定义在 上的函数，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-3】已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-4】已知 的图象关于直线 和直线 都对称，则 的一个周期为（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-6】已知 是定义在 上的偶函数，且图象关于点 对称，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优08　抽象函数性质综合（新定义）　★★★★ 【例8-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ，，且当 时 ，则下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【例8-2】已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 在 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定 【变式8-1】已知 对任意实数 都有 ，且 ， 在 上单调递增，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】已知函数 定义在 上，对任意 都有 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-3】已知 对任意实数 都有 ，且 ，则 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【变式8-4】已知定义在 上的函数 对任意 都有 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-5】已知 对任意实数 都有 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-6】对任意实数 ，用 表示不超过 的最大整数，令 ，则 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．周期为 的函数 D．单调递增函数 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】下列函数为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】已知 是定义在 上的偶函数，，则 （　　） A． B． C． D． 4．【巩固】已知 在 上单调递增，且 ，则（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】已知 是周期为 的函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．【进阶】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 和 二、多选题 9．【进阶】已知 是定义在 上的奇函数，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的图象关于原点对称 C． D． 10．【进阶】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 11．【培优】已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的图象关于直线 对称 B． 是奇函数 C． 的一个周期为 D． 12．【培优】已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且当 时 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 在 上单调递增 C． D．若 ，则 三、填空题 13．【巩固】函数 的单调递减区间为 ______． 14．【进阶】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 ______． 15．【进阶】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则实数 的取值范围为 ______． 16．【培优】已知 满足 ，当 时 ，则 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 若 在 上的最小值为 ，求实数 的值． 18．【进阶】已知 是定义在 上的奇函数，当 时，． (1) 求 ，并求当 时 的解析式； (2) 判断 在 上的单调性，并加以证明． 19．【培优】已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时 ，． (1) 求 与 的值； (2) 判断 在 上的单调性，并加以证明； (3) 若 ，求实数 的取值范围． 20．【培优】已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.2 函数的性质：单调性、奇偶性、对称性与周期性（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　函数的单调性与单调区间 4 知识点2　函数奇偶性的定义与图象特征 5 知识点3　函数的对称性（轴对称与中心对称） 6 知识点4　函数的周期性 6 知识点5　函数性质的综合应用 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　确定函数的单调性及单调区间　★★ 9 重难点培优02　复合函数的单调性　★★★ 12 重难点培优03　利用单调性解不等式与比较大小　★★★ 15 重难点培优04　利用单调性求参数范围　★★★ 18 重难点培优05　求函数最值（值域）　★★ 21 重难点培优06　奇偶性的判断与应用　★★★ 23 重难点培优07　周期性与对称性的综合　★★★★ 26 重难点培优08　抽象函数性质综合（新定义）　★★★★ 29 五、过关检测 33 一、单选题 33 二、多选题 35 三、填空题 37 四、解答题 38 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 函数的单调性与单调区间 理解单调性的定义，会用定义证明单调性，能熟练求出常见函数的单调区间 函数的奇偶性 理解奇偶性的定义，牢记"定义域关于原点对称"这一前提，能判断并应用函数的奇偶性 函数的对称性 理解 与 的图象含义，能由解析式读出对称轴与对称中心 函数的周期性 理解周期函数的定义，掌握"由奇偶性、对称性推出周期性"的常用结论，并会用于求值 函数性质的综合应用 能综合运用单调性、奇偶性、对称性、周期性解决求值、比较大小、解不等式、求参数与最值问题 近三年高考真题对函数性质板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国二卷 T8 偶函数与反周期条件联立求参数 ★★★ 2026 全国一卷 T6 含参函数的最大值，求参数 ★★★★ 2026 北京卷 T5 奇函数且单调递增的判断 ★★ 2026 天津卷 T4 由部分图象识别解析式（奇偶性） ★★ 2026 上海卷 函数最值的新定义（"最低点"） ★★★★ 2025 全国一卷 T5 周期性与奇偶性求函数值 ★★ 2025 全国一卷 T8 利用函数单调性比较大小 ★★★ 2025 全国二卷 T18 含参函数的单调性、极值（与导数综合） ★★★★ 2025 天津卷 T3 由图象识别解析式（奇偶性） ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T8 抽象函数的递推与不等式估计 ★★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T6 偶函数图象恰有一个交点，求参数 ★★★★ 2024 全国甲卷·理 T7 函数图象的识别（奇偶性与特殊值） ★★ 考情分析 函数性质是高考数学的"必考主干"，近三年每年稳定考查 2~3 道小题与 1 道综合大题，分值约 15~20 分。命题呈现"三多"：一是单点多考，2026 年北京卷 T5、天津卷 T4 与 2025 年天津卷 T3 均以"奇偶性＋单调性＋图象"为切入点；二是多性质联动，2026 年全国二卷 T8 把偶函数与反周期条件联立求参，2025 年全国一卷 T5 由周期性与奇偶性求函数值；三是抽象与创新，2024 年新课标Ⅰ卷 T8 以抽象函数的递推关系估计函数值，2026 年上海卷以"最低点"新定义考查最值。本板块核心素养指向"数学抽象、逻辑推理与数学运算"。预测 2027 年高考仍以单调性、奇偶性为主线，以对称性、周期性、抽象函数与新定义为载体提升区分度。 复习目标 1．准确辨析单调性的定义，掌握"取值—作差—变形—定号—结论"的证明流程，会求常见函数的单调区间； 2．牢固掌握奇偶性的定义与图象特征，能判断、证明奇偶性，并由一半区间上的解析式求出另一半； 3．吃透"和为定值想对称、差为定值想周期"的识别口诀，能由两个对称性推出函数的周期； 4．建立"性质联动"的解题意识，综合运用四大性质解决求值、比较大小、解不等式与求参数问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　函数性质知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　函数的单调性与单调区间 设函数 的定义域为 ，区间 ： ①若对任意 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递增， 为增区间； ②若对任意 ，当 时都有 ，则称 在 上单调递减， 为减区间。 定义法证明单调性的"五步曲"：取值 作差 变形（因式分解或通分） 定号 结论。 常用结论： ① 与 、 的单调性相同， 与 的单调性相反； ②若 且在 上单调递增，则 在 上单调递增； ③ 与 在 的区间上单调性相反； ④增函数 增函数为增函数，减函数 减函数为减函数。 【方法技巧】 1．求单调区间一定要先求定义域，再在定义域内取"最大"的区间； 2．解抽象不等式时，先把不等式化成 的形式，再用单调性"脱去外衣"； 3．分式型与根式型函数常先分离常数或换元，再判断单调性。 【易错清单】 1．单调区间必须是定义域的子区间，不能写到定义域之外； 2．多个单调区间之间只能用"和"字分开叙述，不可用""连接，如 的减区间是 和 ； 3．"函数在区间 上单调递减"与"函数的单调递减区间是 "含义不同，后者要求 为最大区间。 知识点2　函数奇偶性的定义与图象特征 设函数 的定义域为 ，则 必须关于原点对称，这是判断奇偶性的前提： ①若对任意 都有 ，则 为奇函数，其图象关于原点对称； ②若对任意 都有 ，则 为偶函数，其图象关于 轴对称。 常用结论： ①若奇函数 在 处有定义，则 ； ②奇函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同，偶函数则相反； ③奇偶分解： 为偶函数， 为奇函数； ④偶函数在 上单调递增时，。 【方法技巧】 1．判断奇偶性"三步定音"：先看定义域是否关于原点对称，再计算 ，最后与 、 比较； 2．分段函数的奇偶性要"分段验证、整体检验"，缺一段都不能下结论； 3．已知一半区间上的解析式求另一半，用"设 在所求区间，则 在已知区间"的转代法，并注意用 或 建立联系。 【易错清单】 1．定义域不关于原点对称的函数一定是非奇非偶函数，这是最容易被忽略的"一票否决"； 2． 只是奇函数的必要不充分条件，不能用来证明奇函数； 3．" 为偶函数"与" 为偶函数"含义不同，后者表示 的图象关于直线 对称。 知识点3　函数的对称性（轴对称与中心对称） 设 的定义域为 ： ①轴对称：若对任意 都有 ，则 的图象关于直线 对称；更一般地， 表示图象关于直线 对称； ②中心对称：若对任意 都有 ，则 的图象关于点 对称；特别地， 表示图象关于点 对称。 对称性与周期性相互牵制（详见知识点4）：若 的图象关于直线 与直线 都对称，则 ；若既关于点 对称，又关于直线 对称，则 。 【方法技巧】 1．识别对称性的"关键词"：括号内两个自变量之和为常数，看的是轴对称； 2． 的对称轴是两自变量之和的一半，即 ，切勿与周期性混淆； 3．遇到"图象关于点 对称"，先写成 ，再赋值检验。 【易错清单】 1． 是轴对称， 才是周期，二者形似而神异； 2．中心对称的对称中心纵坐标是 而非 ，只有 时对称中心才落在 轴上； 3．"两个函数图象关于某直线对称"与"一个函数自身的对称性"是两回事，不要混为一谈。 知识点4　函数的周期性 对定义域内的任意 ，若存在非零常数 ，使 恒成立，则称 为周期函数， 为其一个周期；最小的正周期称为最小正周期。 由恒等式推周期的常用结论（）： 恒等式 周期 此外，若 的图象关于两条对称轴 与 对称，或关于两个对称中心 与 对称，则 ；若一轴一心同时出现，则 。 【方法技巧】 1．见"和为定值"想对称，见"差为定值"想周期，这是识别的第一反应； 2．求周期函数的值，一律"先减周期，把自变量化到已知区间，再代入解析式"； 3．周期与奇偶性联用时，优先把自变量平移或翻折到已知解析式的区间内。 【易错清单】 1．周期 必须是非零常数，且周期不唯一， 都是周期； 2．由 推得 ，切勿误写为 ； 3．由 推得 ，切勿误写为 ； 4．"函数是周期函数"与"函数有最小正周期"不等价，常函数没有最小正周期。 知识点5　函数性质的综合应用 单调性、奇偶性、对称性、周期性不是孤立的，解题时常用"性质联动"： ①奇偶性＋单调性：偶函数由 转化为 ，奇函数则直接"脱去 "； ②对称性＋周期性：由两条对称轴或两个对称中心求出周期，实现"大化小"； ③奇偶性＋周期性：把未知区间上的函数值转化到已知区间上求值； ④抽象函数：通过对自变量赋值，得到特殊函数值或新的函数关系。 处理" 同时满足多个恒等式"的问题，通常画一条示意图——标出对称轴、对称中心、周期与已知区间，可把抽象问题直观化。 【方法技巧】 1．"性质联动"通用流程：画图示意 找对称与周期 归结到已知区间 用单调性比较； 2．比较大小的题目，先判断各函数值的正负与增减趋势，再用单调性定序； 3．恒成立问题优先用"参变分离"，转化为求函数的最值。 【易错清单】 1．偶函数在对称区间上的单调性相反，奇函数则相同，判断时不能凭感觉； 2．涉及 的题目，先确认 是否在定义域内； 3．分段函数的奇偶性与单调性都要"分段讨论、整体验证"，只算一段是常见失分点。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　确定函数的单调性及单调区间　★★ 【解题技巧】判断单调性有三条路径：①定义法（取值—作差—变形—定号—结论）；②性质法（基本初等函数的单调性及其四则运算）；③图象法（画草图看升降）。求单调区间前务必先求定义域，再在定义域内取"最大"区间。 【注意事项】两处最容易失分：①丢掉定义域，把区间写到定义域之外；②把多个单调区间用""连接。单调区间只能用"和"字分开叙述，如 的减区间是 和 。 【例1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． 和 D． 【答案】C 【解题思路】先求定义域，再分别在定义域的两段上判断单调性。 【解答过程】函数 的定义域为 ，即 。 任取 ，则 。 因为 ，所以 ，，，故 ，即 在 上单调递减。 同理可证 在 上单调递减。 所以 的单调递减区间是 和 。故选 C。 【例1-2】函数 的单调递增区间为（　　） A． B． 和 C． D． 【答案】B 【解题思路】去绝对值化为分段函数，分别在两段上求增区间，再按定义域合并。 【解答过程】当 时，，在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，，在 上单调递增，在 上单调递减。 所以 的单调递增区间为 和 。故选 B。 【变式1-1】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 和 【答案】B 【解题思路】先求定义域，再按"同增异减"判断复合函数的单调性。 【解答过程】由 得 或 ，故定义域为 。令 ，则 。 当 时， 单调递减且 ，而 在 上单调递减，故 单调递增； 当 时， 单调递增且 ，故 单调递减。 所以单调递减区间为 。故选 B。 【变式1-2】下列函数中，在 上单调递增的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】逐一判断各选项在 上的单调性。 【解答过程】A 中 在 上单调递减； B 中 在 上单调递减； C 中 在 上单调递减，在 上单调递增； D 中 ，因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增。 故选 D。 【变式1-3】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． 和 D． 【答案】C 【解题思路】按 与 去绝对值，分别求两段上的增区间。 【解答过程】当 时，，在 上单调递增，在 上单调递减； 当 时，，在 上单调递增，在 上单调递减。 所以 的单调递增区间为 和 。故选 C。 【变式1-4】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再由"同增异减"判断递减区间。 【解答过程】由 得 或 ，定义域为 。 令 ，则 单调递增。故 的递减区间即 在定义域内的递减区间。 当 时， 单调递减，此时 单调递减；当 时， 单调递增，此时 单调递增。 所以 的单调递减区间为 。故选 A。 【变式1-5】函数 在区间 上的单调性为（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定 【答案】B 【解题思路】先分离常数，再由基本函数的单调性判断。 【解答过程】。 因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递减。故选 B。 【变式1-6】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】写出 的增区间，再用"区间包含"列不等式。 【解答过程】 的单调递增区间为 。 要使 在 上单调递增，需 ，即 。故选 A。 重难点培优02　复合函数的单调性　★★★ 【解题技巧】复合函数 的单调性遵循"同增异减"：内层与外层单调性相同则复合后递增，相反则递减。判断前先求复合函数的定义域，再在定义域内按内层函数的单调区间分段讨论。 【注意事项】"同增异减"只能在内外层单调区间的公共部分上使用；内层函数的取值范围必须落在外层函数的定义域内。忽略定义域限制，是复合函数问题最常见的错误。 【例2-1】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 和 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再用"同增异减"确定递增区间。 【解答过程】由 得 或 ，定义域为 。 令 ，则 ，外层函数单调递减。 要使 单调递增，需 单调递减。而 在 上单调递减，在 上单调递增。 所以 的单调递增区间为 。故选 A。 【例2-2】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】外层为减函数，故复合函数的减区间即内层函数的增区间。 【解答过程】令 ，则 在 上单调递减，即外层为减函数。 要使 单调递减，需 单调递增。而 在 上单调递增。 所以 的单调递减区间为 。故选 A。 【变式2-1】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 和 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再由"同增异减"确定递增区间。 【解答过程】由 得 或 ，定义域为 。 令 ，则 单调递增，故 的递增区间即 在定义域内的递增区间。 在 上单调递减，在 上单调递增。 所以 的单调递增区间为 。故选 A。 【变式2-2】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求定义域，再由"同增异减"确定递减区间。 【解答过程】由 得 ，定义域为 。 令 ，则 单调递增，故 的递减区间即 在 上的递减区间。 在 上单调递增，在 上单调递减。 所以 的单调递减区间为 。故选 B。 【变式2-3】已知 是定义在 上的减函数，则函数 是（　　） A．增函数 B．减函数 C．先增后减的函数 D．先减后增的函数 【答案】A 【解题思路】内层函数 为减函数，外层 也是减函数，按"同增异减"下结论。 【解答过程】令 ，则 在 上单调递减。 又 是减函数，即外层函数单调递减，内外层单调性相同，故 单调递增。 故选 A。 【变式2-4】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 和 【答案】A 【解题思路】先求定义域，注意外层函数 是减函数。 【解答过程】由 得 或 ，定义域为 。 令 ，则 在 上单调递减。 故 的递减区间即 在定义域内的递增区间。 在 上单调递减，在 上单调递增。 所以 的单调递减区间为 。故选 A。 【变式2-5】函数 的单调递减区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求定义域，外层为增函数，故减区间即内层函数的减区间。 【解答过程】由 得 ，定义域为 。 令 ，则 单调递增，故 的递减区间即 在定义域内的递减区间。 在 上单调递增，在 上单调递减。 所以 的单调递减区间为 。故选 B。 【变式2-6】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】外层为增函数，故只需内层函数在 上单调递增，比较对称轴与区间端点。 【解答过程】令 ，则 单调递增。 要使 在 上单调递增，需 在 上单调递增，即 的对称轴 满足 。 所以 。故选 A。 重难点培优03　利用单调性解不等式与比较大小　★★★ 【解题技巧】比较大小的"三看"：一看能否化为同底、同指数；二看能否借助中间值（如 、）分组；三看能否构造同一函数并利用其单调性。解抽象不等式的"两步走"：①把不等式化为 的形式；②用单调性"脱去 "，得到 的不等式，并注意定义域限制。 【注意事项】用单调性解不等式时有三个坑：①必须保证 都落在 的定义域内；②偶函数"脱 "后得到的是绝对值不等式；③比较大小切勿只凭"底数大小"想当然。 【例3-1】（2025·全国一卷·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】令公共值为 ，把 都表示为 的函数，再取特殊值逐一检验，排除不可能的选项。 【解答过程】设 ，则 ，，。 取 ，得 ，，，此时 ，故 A 可能； 取 ，得 ，，，此时 ，故 C 可能； 取 ，得 ，，，此时 ，故 D 可能。 所以 的大小关系不可能是 。故选 B。 【例3-2】已知 是定义在 上的增函数，且 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用单调性脱去 ，再补上自变量落在定义域内的限制条件。 【解答过程】因为 是增函数，由 得 ，即 。 又自变量必须在定义域内，即 且 ，解得 且 ，即 。 取交集得 。故选 A。 【变式3-1】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】偶函数"脱 "后转化为自变量绝对值的不等式。 【解答过程】因为 是偶函数且在 上单调递增，所以 ，解得 。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【变式3-2】设 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】借助中间值 与 分组，再比较大小。 【解答过程】因为 ，所以 ； 因为 ，所以 ； 因为 ，所以 。 所以 。故选 A。 【变式3-3】已知 是定义在 上的奇函数，且在 上单调递增，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先由奇函数把不等式化为 ，再用单调性脱去 ；注意奇函数在 上递增可推出在 上递增。 【解答过程】因为 是奇函数且在 上单调递增，所以 在 上单调递增。 由 得 ，故 ，解得 。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【变式3-4】已知 ，，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别估计三个数所在的区间，注意 可用换底公式化简。 【解答过程】因为 ，所以 ，即 ； 因为 ，所以 ，即 ； ，即 。 所以 。故选 B。 【变式3-5】已知 ，若 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断 的奇偶性与单调性，再把不等式化为两个函数值的大小关系。 【解答过程】因为 ，所以 是奇函数。 又 与 都是增函数，故 在 上单调递增。 由 得 ，故 ，解得 。 故选 A。 【变式3-6】已知 是偶函数且在 上单调递减，则下列关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】偶函数在对称区间上单调性相反，把负自变量化为正，再用增（减）性比较。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 。 因为 在 上单调递减，且 ，所以 ，即 。 故选 B。 重难点培优04　利用单调性求参数范围　★★★ 【解题技巧】求参数范围有"两条主线"：①若给出区间上的单调性，则把区间端点与对称轴（或分段点）比较，列出不等式；②若给出函数值的大小关系，则把单调性翻译为自变量的大小（或绝对值大小）关系。含参分段函数在 上单调，还必须检验分段点处两段函数值的大小关系。 【注意事项】三个高频陷阱：①端点能否取""判断错误；②分段函数只比较各段内部的单调性，漏掉分段点的衔接；③把"在某区间上单调"误认为"单调区间恰是该区间"。 【例4-1】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】二次函数的增区间是 ，用"区间包含"列不等式。 【解答过程】，其图象开口向上，对称轴为 ，单调递增区间为 。 要使 在 上单调递增，需 ，即 。故选 A。 【例4-2】已知函数 是 上的减函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分段函数在 上递减，需三段条件同时成立：各段内递减、分段点处衔接恰当。 【解答过程】①当 时， 递减，需 ，即 ； ②当 时， 递减，需 ； ③在分段点处需左段值不小于右段值，即 ，解得 ，即 。 三式取交集得 。故选 A。 【变式4-1】已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离常数，把单调性转化为分子中常数项的符号条件。 【解答过程】。 因为 在 上单调递减，要使 单调递减，需 ，即 。 故选 A。 【变式4-2】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向下的二次函数的增区间为 ，再用"区间包含"列不等式。 【解答过程】，图象开口向下，对称轴为 ，单调递增区间为 。 要使 在 上单调递增，需 ，即 。故选 A。 【变式4-3】已知函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先写出函数的两条分支，注意 必须整体落在其中一支上。 【解答过程】 在 与 上都单调递减。 要使 在 上单调递减，需 ，即 。 （此时 处函数有定义要求 ，当 时区间 内 ，仍满足要求。） 故选 A。 【变式4-4】已知函数 在 上不单调，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"不单调"等价于对称轴落在区间内部。 【解答过程】，对称轴为 。 在 上不单调，当且仅当对称轴在区间内部，即 。故选 A。 【变式4-5】若函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用定义法：任取 ，把 恒成立转化为关于 的不等式恒成立。 【解答过程】任取 ，则 。 因为 ，要使 恒成立，需 ，即 恒成立。 因为 ，故只需 。故选 A。 【变式4-6】已知 是定义在 上的减函数，且 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用单调性脱去 ，再补上两个自变量都落在 内的限制条件。 【解答过程】因为 是减函数，由 得 ，即 。 又自变量需落在定义域内，即 且 ，解得 且 。 取交集得 。故选 A。 重难点培优05　求函数最值（值域）　★★ 【解题技巧】求值域（最值）的常用方法：①单调性法（先定单调性，再代入端点求最值）；②配方法（二次型）；③分离常数法（分式型）；④换元法（根式、分式）；⑤图象法。含参数的二次函数在闭区间上的最值，必须按对称轴与区间的位置关系分类讨论。 【注意事项】求值域前先求定义域；换元后要写清新元的取值范围；二次函数在闭区间上的最值必须讨论对称轴的位置，"对称轴在区间左侧、区间内部、区间右侧"三种情形缺一不可。 【例5-1】函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】二次函数在闭区间上的最值，比较顶点与两端点处的函数值。 【解答过程】，对称轴为 ，且 ，故最小值为 。 又 ，，故最大值为 。 所以函数在 上的值域为 。故选 A。 【例5-2】函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离常数后判断单调性，再由端点求值域。 【解答过程】。 因为 在 上单调递减，所以 在 上单调递增。 故 ，，值域为 。故选 A。 【变式5-1】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把分子配方后分离，转化为""型，再用均值不等式。 【解答过程】因为 ，所以 。 令 ，则 ，当且仅当 时取等号。 所以值域为 。故选 A。 【变式5-2】函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断函数在 上的单调性，再代入端点与极值点求最值。 【解答过程】 在 上单调递减，在 上单调递增，故在 上递减，在 上递增。 所以最小值为 。 又 ，，故最大值为 。 所以值域为 。故选 A。 【变式5-3】函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分离常数，利用 可取到一切非零实数得出结论。 【解答过程】。 因为 可以取到一切非零实数，所以 可以取到除 以外的一切实数。 所以值域为 。故选 B。 【变式5-4】函数 的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求内层二次函数在定义域内的取值范围，再开方。 【解答过程】由 得 。 在 上，，故 。 所以值域为 。故选 A。 【变式5-5】函数 的值域是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离常数后判断单调性，注意利用端点与极限值确定开闭。 【解答过程】。 因为 在 上单调递减且恒为正，当 时取最大值 ，当 时趋于 。 所以 。故选 A。 【变式5-6】函数 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】按零点分段去绝对值，写出分段函数后求最小值。 【解答过程】当 时，； 当 时，； 当 时，。 所以 的最小值为 （当 时取到）。故选 C。 重难点培优06　奇偶性的判断与应用　★★★ 【解题技巧】判断奇偶性"三步定音"：①求定义域并检验是否关于原点对称；②计算 并与 、 比较；③下结论。抽象函数中，把 换为 ，或令 、 等构造关系，是证明奇偶性的常用手段。 【注意事项】定义域不关于原点对称即为非奇非偶，"一票否决"； 只是奇函数的必要条件，不能反向使用；" 为偶函数"与" 为偶函数"含义不同，后者隐含 的图象关于直线 对称。 【例6-1】（2024·天津·高考真题）下列函数是偶函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先看定义域是否关于原点对称，再逐一验证 是否成立。 【解答过程】对于 A，，故 A 不是偶函数； 对于 B，，故 B 是偶函数； 对于 C， 的定义域为 ，不关于原点对称，故 C 是非奇非偶函数； 对于 D，，故 D 是奇函数。 故选 B。 【例6-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，（ 为常数），当 时，曲线 与 恰有一个交点，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】令 并分离参数，利用"两个偶函数的图象恰有一个交点时，交点必在 轴上"求出 ，再回代检验。 【解答过程】令 ，得 ，整理得 ，即 。 记 ，则 是偶函数。原题意等价于直线 与曲线 恰有一个交点。 因为两个偶函数的图象恰有一个交点，所以该交点只能在 轴上，故 。 检验：当 时，方程为 。当 时，，，两者不能同时为 （除非 ），故方程有且仅有一个实根 ，符合题意。 所以 。故选 D。 【变式6-1】下列函数为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逐一验证 与 的关系。 【解答过程】A 中 ，为偶函数； B 中 ，为奇函数； C 中 ，为偶函数； D 中 ，为偶函数。 故选 B。 【变式6-2】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用已知解析式求 ，再用奇函数的性质求 。 【解答过程】当 时 ，故 。 因为 是奇函数，所以 。故选 A。 【变式6-3】已知 是偶函数，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由偶函数的定义对任意 恒成立，比较对应项系数。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 对任意 恒成立，即 。 所以 恒成立，得 。故选 B。 【变式6-4】已知 是定义在 上的奇函数且在 上单调递增，，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把常数 写成 的形式，再用单调性脱去 。 【解答过程】由 ，不等式 即 。 因为 在 上单调递增，所以 ，即解集为 。故选 A。 【变式6-5】已知 是奇函数，则实数 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由 对定义域内的 恒成立求 。 【解答过程】因为 是奇函数，所以 ，即 。 左边分子分母同乘 ，得 ，即 。 所以 恒成立，得 。故选 A。 【变式6-6】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】偶函数脱去 后化为绝对值不等式，注意递减时不等号方向的变化。 【解答过程】因为 是偶函数且在 上单调递减，所以 。 解得 ，即 。故选 A。 重难点培优07　周期性与对称性的综合　★★★★ 【解题技巧】"两步定周期"：①由"和为定值"（ 型）识别对称轴；②由两个对称推出周期：两条对称轴 ，两个对称中心 ，一轴一心 。求值时先减周期，把自变量化到已知区间，再代入解析式。 【注意事项】 是轴对称（对称轴 ），不是周期； 才是周期 ；中心对称的纵坐标不为 时不要漏写；周期必须是非零常数， 是周期的整倍数。 【例7-1】（2025·全国一卷·高考真题）设 是定义在 上且周期为 的偶函数，当 时，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先用偶函数把负自变量变为正，再用周期把自变量化到已知区间 上求值。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 。 又 的周期为 ，故 。 因为 ，所以 。 故选 A。 【例7-2】（2026·全国二卷·高考真题）已知 是定义域为 的偶函数，且 ，当 时，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由 推出周期性，结合偶函数得到图象的对称轴，由对称轴确定 ，再由 、 确定 。 【解答过程】由 得 ，故 ，从而 ，即 的周期为 。 又 是偶函数，所以 ，即 ，故 的图象关于直线 对称。 所以当 时， 的对称轴 ，解得 。 再由 ，取 得 ，而 ，故 ；取 得 ，故 。 所以 ，代入 得 。 所以 ，。故选 D。 【变式7-1】已知 是定义在 上的函数，且 ，则 的图象关于（　　） A．直线 对称 B．直线 对称 C．点 对称 D． 轴对称 【答案】A 【解题思路】由"和为定值"的形式直接读出对称轴。 【解答过程】 中，括号内两个自变量之和为 为定值，故图象关于直线 对称。 故选 A。 【变式7-2】已知 是定义在 上的函数，且 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用周期性把 化到已知区间内，注意 除以 的余数。 【解答过程】因为 ，所以 的周期为 。 因为 ，所以 。故选 C。 【变式7-3】已知 是定义在 上的奇函数，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先由 推出周期，再结合奇函数求出特殊值。 【解答过程】由 得 ，故 的周期为 。 又 是奇函数，所以 ，进而 。 因为 ，所以 。故选 B。 【变式7-4】已知 的图象关于直线 和直线 都对称，则 的一个周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接使用"两条对称轴决定周期"的结论。 【解答过程】由两条对称轴 与 决定周期 ，得 。 故选 C。 【变式7-5】已知 满足 ，且当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求出周期，再把 化到已知区间。 【解答过程】由 得 ，故 的周期为 。 所以 。因为 ，所以 。 故选 A。 【变式7-6】已知 是定义在 上的偶函数，且图象关于点 对称，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由"一轴一心"求周期，再把 化到已知区间。 【解答过程】因为 是偶函数，故图象关于直线 对称；又图象关于点 对称，由"一轴一心"得 。 所以 。又 是偶函数，故 。 故选 B。 重难点培优08　抽象函数性质综合（新定义）　★★★★ 【解题技巧】抽象函数问题"赋值开路"：①令 或 （）求特殊值；②令 构造 与 的关系；③令 、 等构造新的恒等式。新定义问题则"读定义—译条件—代数据"，逐字落实"且/或""至少/恰好"等关键词。 【注意事项】赋值必须保证代入的式子有意义（在定义域内）；抽象函数的单调性、奇偶性都要给出证明，不能只凭"感觉"；新定义题不要用惯性思维套用常规结论，务必逐字读清定义。 【例8-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ，，且当 时 ，则下列结论中一定正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】记 ，把抽象不等式转化为数列递推，逐项放大估计，判断哪个结论一定成立。 【解答过程】当 时 ，故 ，。 记 ，由 得 。 于是 ，，，逐项递推可得 ，，，，，，，，，，。 继续放缩：，，，故 。 即 一定成立，故 B 正确。 而由 无法判断 是否大于 或小于 ，故 A、C 不一定成立；同理 D 也不一定成立。 故选 B。 【例8-2】已知定义在 上的函数 满足 ，且当 时 ，则 在 上（　　） A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．不能确定 【答案】A 【解题思路】用定义法：任取 ，借助 把 转化为 。 【解答过程】任取 ，则 。 由 ，得 。 因为 ，故 ，所以 ，即 在 上单调递增。 故选 A。 【变式8-1】已知 对任意实数 都有 ，且 ， 在 上单调递增，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先赋值求出 ，再把 写成 的形式，用单调性脱去 。 【解答过程】由 ，得 。 所以 即 。因为 在 上单调递增，所以 ，解集为 。 故选 A。 【变式8-2】已知函数 定义在 上，对任意 都有 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由递推式把 拆成 与十个增量之和。 【解答过程】由 ，反复迭代得 。故选 C。 【变式8-3】已知 对任意实数 都有 ，且 ，则 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 【答案】A 【解题思路】用赋值法求 与 ，再按奇偶性的定义判断。 【解答过程】令 ，得 ，故 。 令 ，得 ，即 ，故 是奇函数。 故选 A。 【变式8-4】已知定义在 上的函数 对任意 都有 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】构造 ，把新关系转化为熟悉的形式。 【解答过程】令 ，则 。 ，故 。 所以 。故选 C。 【变式8-5】已知 对任意实数 都有 ，且 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】把 拆成三个 的乘积。 【解答过程】由 ，得 。故选 C。 【变式8-6】对任意实数 ，用 表示不超过 的最大整数，令 ，则 是（　　） A．奇函数 B．偶函数 C．周期为 的函数 D．单调递增函数 【答案】C 【解题思路】按新定义验证 是否成立，再逐项排除。 【解答过程】因为 ，所以 ，即 是周期为 的函数，C 正确。 取 ，则 ，，故 ，。 因为 ，故 不是偶函数，B 错误；又 ，故 也不是奇函数，A 错误。 再取 ，，函数值由正变为 ，故 不是单调递增函数，D 错误。 故选 C。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】下列函数中，在 上单调递减的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐一判断四个基本函数在 上的单调性。 【解答过程】 在 上单调递增； 在 上单调递增； 在 上单调递减； 在 上单调递增。故选 C。 2．【巩固】下列函数为奇函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按奇偶性的定义逐一验证。 【解答过程】 与 都是偶函数； 是偶函数； 满足 ，是奇函数。故选 B。 3．【巩固】已知 是定义在 上的偶函数，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接用偶函数的定义求值。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 。故选 C。 4．【巩固】已知 在 上单调递增，且 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用单调性直接脱去 。 【解答过程】因为 在 上单调递增，由 得 。故选 A。 5．【进阶】函数 在 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】比较顶点与两端点处的函数值。 【解答过程】，对称轴 ，最小值 ；又 ，，最大值 。值域为 。故选 A。 6．【进阶】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接用均值不等式求最值。 【解答过程】因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号。故最小值为 。故选 B。 7．【进阶】已知 是周期为 的函数，当 时 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用周期性把 化到 内求值。 【解答过程】因为 的周期为 ，且 ，所以 。故选 A。 8．【进阶】函数 的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 和 【答案】A 【解题思路】先求定义域，再由"同增异减"确定递增区间。 【解答过程】由 得 或 ，定义域为 。 令 ，则 单调递增，故 的递增区间即 在定义域内的递增区间，即 。故选 A。 二、多选题 9．【进阶】已知 是定义在 上的奇函数，则下列结论正确的是（　　） A． B． 的图象关于原点对称 C． D． 【答案】ABD 【解题思路】由奇函数的定义与图象特征逐项判断，注意 需 在定义域内。 【解答过程】因为 的定义域为 ，且为奇函数，所以 ，得 ，A 正确； 奇函数的图象关于原点对称，B 正确； 由 知 ，D 正确，而 C 只有在 时才成立，不一定正确。 故选 ABD。 10．【进阶】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递增，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】把负自变量化为正，再用 上的单调性比较。 【解答过程】因为 是偶函数，所以 ，A 正确；，。 又 在 上单调递增，且 ，故 。 所以 ，B 正确；，C 错误；，D 正确。 故选 ABD。 11．【培优】已知函数 的定义域为 ， 为偶函数，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． 的图象关于直线 对称 B． 是奇函数 C． 的一个周期为 D． 【答案】ABC 【解题思路】由" 为偶函数"得对称轴，由 得周期，再把二者结合判断奇偶性。 【解答过程】因为 为偶函数，所以 ，即 的图象关于直线 对称，A 正确； 由 得 ，故 的一个周期为 ，C 正确； 由 取 ，得 ，即 ；又 ，所以 ，故 是奇函数，B 正确； 由 取 得 ，结合 为奇函数 可知 ，D 错误。 故选 ABC。 12．【培优】已知函数 的定义域为 ，对任意 都有 ，且当 时 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． 在 上单调递增 C． D．若 ，则 【答案】ABC 【解题思路】用赋值法求 ，用定义法证明单调性，再由单调性逐项验证。 【解答过程】令 ，得 ，故 ，A 正确； 任取 ，则 ，故 ，即 ，所以 在 上单调递增，B 正确； 令 ，得 ，故 ，C 正确； 若 ，则 ，D 错误。 故选 ABC。 三、填空题 13．【巩固】函数 的单调递减区间为 ______． 【答案】 和 【解题思路】先求定义域，再分别在两段上判断单调性。 【解答过程】 的定义域为 。因为 在 和 上都单调递减，故单调递减区间为 和 。 14．【进阶】已知 是定义在 上的奇函数，当 时 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】先求 ，再由奇函数的性质求 。 【解答过程】，因为 是奇函数，所以 。 15．【进阶】已知 是定义在 上的偶函数，且在 上单调递减，，则实数 的取值范围为 ______． 【答案】 【解题思路】偶函数脱去 后化为绝对值不等式，注意单调递减时不等号方向不变。 【解答过程】因为 是偶函数且在 上单调递减，所以 。 解得 或 ，即 或 。 所以 的取值范围为 。 16．【培优】已知 满足 ，当 时 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】先求周期，再把 化到 内求值。 【解答过程】由 得 ，故 的周期为 。 因为 ，所以 。又 。 所以 。 四、解答题 17．【进阶】已知函数 ． (1) 若 在 上单调递增，求实数 的取值范围； (2) 若 在 上的最小值为 ，求实数 的值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 比较对称轴与区间端点；(2) 按对称轴与区间 的位置关系分类讨论最小值。 【解答过程】(1) ，图象开口向上，单调递增区间为 。 要使 在 上单调递增，需 ，即 。 (2) ①若 ，则 在 上单调递增，最小值 ，解得 ，满足 ； ②若 ，则最小值 ，解得 ，与 矛盾，舍去； ③若 ，则 在 上单调递减，最小值 ，解得 ，与 矛盾，舍去。 综上，。 18．【进阶】已知 是定义在 上的奇函数，当 时，． (1) 求 ，并求当 时 的解析式； (2) 判断 在 上的单调性，并加以证明． 【答案】(1) ，当 时 ；(2) 在 上单调递减，证明见解析． 【解题思路】(1) 用奇函数在原点处的取值求 ，用转代法求 的解析式；(2) 用定义法证明单调性。 【解答过程】(1) 因为 是定义在 上的奇函数，所以 。 当 时，，故 。 又 ，所以 ，即 。 (2) 任取 且 ，则 。 因为 ，所以 ，，故 ，即 。 所以 在 上单调递减。 19．【培优】已知函数 对任意实数 都有 ，且当 时 ，． (1) 求 与 的值； (2) 判断 在 上的单调性，并加以证明； (3) 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ，；(2) 在 上单调递减，证明见解析；(3) ． 【解题思路】(1) 赋值 与 求特殊值；(2) 用定义法，借助 时 证明递减；(3) 把不等式化为 ，再用单调性脱去 。 【解答过程】(1) 令 ，得 ，故 。 令 ，得 ，即 。取 ，得 。 (2) 任取 ，则 ，故 。 由 ，得 。 所以 ，即 在 上单调递减。 (3) 由 与 得 。 所以 。 又 在 上单调递减，故 ，解得 。 即 的取值范围为 。 20．【培优】已知 是定义在 上的偶函数，且 ，当 时 ． (1) 求 与 的值； (2) 求 的值． 【答案】(1) ，；(2) ． 【解题思路】(1) 用周期性把自变量化到 内求值；(2) 先求一个周期内四个函数值之和，再按组求和。 【解答过程】(1) 由 得 ，故 的周期为 。 ；。 (2) 由 (1) 得 ，，，，故一个周期内四个函数值之和为 。 因为 ，所以 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $