专题1.3 等式性质与不等式性质（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习培优系列

专题1.3 等式性质与不等式性质（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　两个实数比较大小的依据与方法 4 知识点2　不等式的性质 5 知识点3　作差（作商）比较法 6 知识点4　不等式性质的应用与范围问题 6 知识点5　均值不等式链与常见变形 7 四、重难点培优 8 重难点培优01　作差法比较大小　★★ 8 重难点培优02　作商法比较大小与中间量法　★★ 9 重难点培优03　不等式性质的辨析与判断　★★★ 10 重难点培优04　利用性质求代数式取值范围　★★★ 11 重难点培优05　不等式的恒成立与能成立　★★★ 12 重难点培优06　糖水不等式与放缩　★★★ 13 重难点培优07　含参不等式中的分类讨论　★★★★ 14 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 16 五、过关检测 18 一、单选题 18 二、多选题 19 三、填空题 20 四、解答题 20 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 等式与不等式的性质 理解等式的基本性质；掌握不等式的对称性、传递性、可加性、可乘性等八条性质，能用性质判断不等关系是否成立 比较两个实数的大小 理解"作差比较法"的依据，掌握作差、作商两种比较方法，会判断代数式与指数、对数式的大小 不等式的性质与取值范围 能用性质求代数式的取值范围，会处理"整体代换""待定系数"型问题，注意端点与传递关系 均值不等式与常用变形 掌握基本不等式及其变形与不等式链，能解决"和积互化"背景下的最值与恒成立问题 近三年高考真题对本板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 函数最值与不等式恒成立的相互转化 ★★★ 2026 全国二卷 T19 含参不等式恒成立，构造函数求参数范围 ★★★★ 2026 北京卷 由不等关系判断人数大小，不等式性质的应用 ★★ 2026 天津卷 T7 基本不等式求最小值（和积互化） ★★★ 2026 上海卷 不等式恒成立的判断与传递性 ★★ 2025 全国一卷 T8 对数式比较大小，作商与赋值法 ★★★★ 2025 全国二卷 分式不等式的求解与解集表示 ★★ 2025 北京卷 T6 基本不等式与特例检验 ★★ 2025 上海卷 T8 条件等式下基本不等式求最值 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 对数型函数恒成立，基本不等式求最小值 ★★★ 2024 天津卷 指数、对数式比较大小，中间量法 ★★★ 2024 全国甲卷·文 T23 由作差法证明不等式（选考） ★★★ 考情分析 不等式是高考数学的高频考点，近三年在全国卷与各省市卷中稳定出现，多以选择题、填空题为载体，分值 5 分。从 2024—2026 的命题看，考查呈现"两条主线"：一是比较大小，如 2024 年天津卷以指数式、对数式的大小关系为背景，2025 年全国一卷第 8 题以对数等式为条件考查作商与赋值；二是性质的应用，如 2026 年全国一卷第 6 题把函数最值转化为不等式恒成立。依据《普通高中数学课程标准》，本板块的核心素养指向"数学抽象、逻辑推理与数学运算"。预测 2027 年高考仍以"不等式性质的辨析"和"作差、作商比较大小"为主线，并以"含参讨论、恒成立与能成立、基本不等式链、新定义交汇"为载体提升区分度。 复习目标 1．准确辨析等式与不等式的性质，熟记"可加性、同向可加、可乘性（注意乘数正负）、同向同正可乘"等结论的适用条件； 2．熟练运用作差法、作商法与中间量法比较实数、代数式以及指数式、对数式的大小； 3．会用"整体代换、待定系数"求代数式的取值范围，能正确处理恒成立、能成立与最值问题； 4．掌握基本不等式及其变形与不等式链，会判断"一正、二定、三相等"并完成常见放缩。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　等式性质与不等式性质知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　两个实数比较大小的依据与方法 比较两个实数（或代数式）的大小，最终都归结为判断差的符号。其核心依据是： （1）作差比较的依据：，，。 （2）作商比较的依据（要求 ）：，，。 方法 适用情形 操作要点 作差法 两式大小不定、含加减结构 作差 → 变形（因式分解、配方、通分）→ 判断符号 作商法 两式均为正数、含乘除或指数结构 作商 → 化简 → 与 比较大小 中间量法 结构差异大（如指数式与对数式） 借助 、 等中间量分段比较 【方法技巧】 1．"比较大小先看结构"：含加减选作差，含乘除（且同正）选作商，指数式与对数式混搭先找中间量； 2．作差后必须变形到底——化到"积的形式"或"平方和的形式"，才能顺利判断符号； 3．含字母时先明确字母范围再判号，如已知 ，则 可直接作为判号依据。 【易错清单】 1．作商法的前提是"两式同正"，忽略这一点会导致不等号方向出错； 2．"差为 "对应"两式相等"，不能一律写成"大于"或"小于"； 3．判断符号时漏掉取等条件，是选择题中最常见的失分点。 知识点2　不等式的性质 等式与不等式的基本性质对照如下（不等式性质中，凡涉及乘法、乘方的结论都要注意附加条件）： 名称 性质内容 对称性 传递性 可加性 同向可加性 可乘性 ； 同向同正可乘性 可乘方性 可开方性 【方法技巧】 1．记性质要"记条件"：可乘性看乘数正负，可乘方性、可开方性看两边是否同正； 2．判断"恒成立"用性质法（严格推理），判断"不成立"只需举一个反例； 3．遇到含参数的式子，先分类讨论，再下结论，切忌"想当然"直接套用。 【易错清单】 1．同向不等式只能"相加"，不能"相减"；只能"同正相乘"，不能随意相除； 2．给不等式两边同乘（除）一个含字母的式子时，必须判断该式的正负； 3．""不能推出""，""也不能推出""。 知识点3　作差（作商）比较法 作差比较法的一般步骤：作差 → 变形 → 判号 → 结论。其中"变形"是关键，常采用因式分解、配方、通分、有理化等手段，把差化成"几个因式的积"或"非负项之和"。 作商比较法的一般步骤：作商 → 化简 → 与 比较 → 结论，其适用前提是所比较的两个式子同号且不为零。 ①比较两个正数的幂（或根式）时，可先作商，再利用指数函数单调性判断商与 的大小； ②比较指数式与对数式时，常先借助 与 这两个中间量把各数分段，再作差细化； ③如需比较 与 型分式，可直接作差，把差化为 的形式判号。 【方法技巧】 1．作差法"变形"的三大王牌：因式分解、配方、通分； 2．含有根式的差式，常用"分子有理化"把差化为便于判号的形式； 3．对于高次或有理分式，可先因式分解，再把各因式符号按"根轴图"分段讨论。 【易错清单】 1．作商后与 比较大小时，分母的正负决定了不等号方向，务必先确认分母为正； 2．因式分解后忘记讨论各因式的符号，导致判号错误； 3．用特殊值法仅能"排除选项"，不能代替一般性的证明。 知识点4　不等式性质的应用与范围问题 利用不等式的性质求代数式的取值范围，常用"整体代换"与"待定系数"两种手段：把目标式表示为已知范围式子的线性组合，再依据同向不等式可加逐一求和。 具体地，若目标式为 （其中 为已知范围的整体量），则先解出 ，再由 的范围分别缩放后相加。当 时， 的取值范围需先取相反数再叠加。 ①求 的范围，就用 ，而不是分别解出 、 的范围再相减； ②求 的范围，先设 ，解出 后求和； ③"同向不等式可加不可减，可乘不可除"，这是求范围时最容易被忽视的一条。 【方法技巧】 1．求谁的范围，就用谁去"表示"——整体代换优先于逐项求解； 2．采用待定系数法时，先比较系数列方程组，再代入端点求和； 3．区间端点是开还是闭，由原条件的等号能否取到决定。 【易错清单】 1．把两个不等式"同向相减"求范围，会放大取值范围而得到错误结论； 2．把已知范围的式子"两边分别平方、开方"时，必须先确认两边非负； 3．端点是否可取未逐一检验，导致区间开闭写错。 知识点5　均值不等式链与常见变形 基本不等式（均值不等式）：若 ，则 ，当且仅当 时取等号，其中 叫算术平均数， 叫几何平均数。 完整的不等式链（）：，即"调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数"。 常见变形（，当且仅当 时取等号）： ①；②；③；④，⑤。 【方法技巧】 1．使用基本不等式牢记"一正、二定、三相等"：各项为正、和或积为定值、等号能取到； 2．"和定积最大，积定和最小"：和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值； 3．求 型的最值，常用"乘 1 法"：把 用条件式替换后展开，再用基本不等式。 【易错清单】 1．"一正、二定、三相等"缺一不可，忽视等号成立条件会得到错误的最值； 2．多次使用基本不等式时，必须保证各次等号能同时成立； 3． 型函数在 时的最小值不是 ，须先判断 的正负。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　作差法比较大小　★★ 【例1-1】（2024·天津卷·高考真题）若 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2024·全国甲卷·文·改编）已知实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】比较 与 的大小，其结果是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．与 的取值有关 【变式1-3】设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式1-4】已知 ，则 的值（　　） A．恒大于 B．恒小于 C．恒等于 D．可能等于 【变式1-5】设 ，则 与 的大小关系是（　　） A． 恒成立 B． 恒成立 C． 恒成立 D．与 的取值有关 重难点培优02　作商法比较大小与中间量法　★★ 【例2-1】（2025·全国一卷·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·上海卷·高考真题·改编）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】若 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式2-4】若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　不等式性质的辨析与判断　★★★ 【例3-1】（2024·上海春卷·高考真题）已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·北京卷·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往。已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（　　） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【例3-3】（2025·北京卷·高考真题）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】若 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知 ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式3-3】若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　利用性质求代数式取值范围　★★★ 【例4-1】（2026·湖北·武汉·二模）已知实数 满足 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·四川·成都·模拟）已知关于 的不等式 的解集非空，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】已知实数 满足 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　不等式的恒成立与能成立　★★★ 【例5-1】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】若不等式 对一切实数 恒成立，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】已知对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　糖水不等式与放缩　★★★ 【例6-1】（2026·天津卷·高考真题）若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2025·江苏·南京·模拟）已知 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【例6-3】（2024·上海卷·高考真题）已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】已知 ，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-2】若 ，，且 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式6-3】若 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式6-4】设 ，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　含参不等式中的分类讨论　★★★★ 【例7-1】（2026·湖南·长沙·一模）已知关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·福建·厦门·二模）已知关于 的不等式 ，则该不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】关于 的不等式 的解集为 ，则（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】若关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式7-4】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知关于 的方程 有两个负根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 【例8-1】（2026·湖北·武汉·模拟）定义运算 （）。已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【例8-2】（2026·广东·深圳·二模）对于实数 ，定义 ，若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【变式8-1】定义 （）。若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式8-2】已知 ，若 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【变式8-3】定义 为 中的较小者。已知 ，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】定义集合 。已知 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】已知 ，定义 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】设 ，，，则 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 4．【巩固】若 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 5．【进阶】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】若不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】若 ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，，则 10．【进阶】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 11．【进阶】已知 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 12．【培优】已知 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最大值为 三、填空题 13．【巩固】已知 ，则 的最小值为 ______． 14．【进阶】已知 ，，则 的取值范围是 ______． 15．【进阶】若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 16．【培优】已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值． 18．【进阶】已知实数 满足 ，． (1) 求 的取值范围； (2) 求 的取值范围． 19．【培优】已知函数 ． (1) 若 对一切实数 恒成立，求 的取值范围； (2) 若 对一切 恒成立，求 的取值范围． 20．【培优】已知 ，，且 ． (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 等式性质与不等式性质（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　两个实数比较大小的依据与方法 4 知识点2　不等式的性质 5 知识点3　作差（作商）比较法 6 知识点4　不等式性质的应用与范围问题 6 知识点5　均值不等式链与常见变形 7 四、重难点培优 8 重难点培优01　作差法比较大小　★★ 8 重难点培优02　作商法比较大小与中间量法　★★ 10 重难点培优03　不等式性质的辨析与判断　★★★ 13 重难点培优04　利用性质求代数式取值范围　★★★ 17 重难点培优05　不等式的恒成立与能成立　★★★ 19 重难点培优06　糖水不等式与放缩　★★★ 22 重难点培优07　含参不等式中的分类讨论　★★★★ 25 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 28 五、过关检测 31 一、单选题 31 二、多选题 33 三、填空题 35 四、解答题 36 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 等式与不等式的性质 理解等式的基本性质；掌握不等式的对称性、传递性、可加性、可乘性等八条性质，能用性质判断不等关系是否成立 比较两个实数的大小 理解"作差比较法"的依据，掌握作差、作商两种比较方法，会判断代数式与指数、对数式的大小 不等式的性质与取值范围 能用性质求代数式的取值范围，会处理"整体代换""待定系数"型问题，注意端点与传递关系 均值不等式与常用变形 掌握基本不等式及其变形与不等式链，能解决"和积互化"背景下的最值与恒成立问题 近三年高考真题对本板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T6 函数最值与不等式恒成立的相互转化 ★★★ 2026 全国二卷 T19 含参不等式恒成立，构造函数求参数范围 ★★★★ 2026 北京卷 由不等关系判断人数大小，不等式性质的应用 ★★ 2026 天津卷 T7 基本不等式求最小值（和积互化） ★★★ 2026 上海卷 不等式恒成立的判断与传递性 ★★ 2025 全国一卷 T8 对数式比较大小，作商与赋值法 ★★★★ 2025 全国二卷 分式不等式的求解与解集表示 ★★ 2025 北京卷 T6 基本不等式与特例检验 ★★ 2025 上海卷 T8 条件等式下基本不等式求最值 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 对数型函数恒成立，基本不等式求最小值 ★★★ 2024 天津卷 指数、对数式比较大小，中间量法 ★★★ 2024 全国甲卷·文 T23 由作差法证明不等式（选考） ★★★ 考情分析 不等式是高考数学的高频考点，近三年在全国卷与各省市卷中稳定出现，多以选择题、填空题为载体，分值 5 分。从 2024—2026 的命题看，考查呈现"两条主线"：一是比较大小，如 2024 年天津卷以指数式、对数式的大小关系为背景，2025 年全国一卷第 8 题以对数等式为条件考查作商与赋值；二是性质的应用，如 2026 年全国一卷第 6 题把函数最值转化为不等式恒成立。依据《普通高中数学课程标准》，本板块的核心素养指向"数学抽象、逻辑推理与数学运算"。预测 2027 年高考仍以"不等式性质的辨析"和"作差、作商比较大小"为主线，并以"含参讨论、恒成立与能成立、基本不等式链、新定义交汇"为载体提升区分度。 复习目标 1．准确辨析等式与不等式的性质，熟记"可加性、同向可加、可乘性（注意乘数正负）、同向同正可乘"等结论的适用条件； 2．熟练运用作差法、作商法与中间量法比较实数、代数式以及指数式、对数式的大小； 3．会用"整体代换、待定系数"求代数式的取值范围，能正确处理恒成立、能成立与最值问题； 4．掌握基本不等式及其变形与不等式链，会判断"一正、二定、三相等"并完成常见放缩。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　等式性质与不等式性质知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　两个实数比较大小的依据与方法 比较两个实数（或代数式）的大小，最终都归结为判断差的符号。其核心依据是： （1）作差比较的依据：，，。 （2）作商比较的依据（要求 ）：，，。 方法 适用情形 操作要点 作差法 两式大小不定、含加减结构 作差 → 变形（因式分解、配方、通分）→ 判断符号 作商法 两式均为正数、含乘除或指数结构 作商 → 化简 → 与 比较大小 中间量法 结构差异大（如指数式与对数式） 借助 、 等中间量分段比较 【方法技巧】 1．"比较大小先看结构"：含加减选作差，含乘除（且同正）选作商，指数式与对数式混搭先找中间量； 2．作差后必须变形到底——化到"积的形式"或"平方和的形式"，才能顺利判断符号； 3．含字母时先明确字母范围再判号，如已知 ，则 可直接作为判号依据。 【易错清单】 1．作商法的前提是"两式同正"，忽略这一点会导致不等号方向出错； 2．"差为 "对应"两式相等"，不能一律写成"大于"或"小于"； 3．判断符号时漏掉取等条件，是选择题中最常见的失分点。 知识点2　不等式的性质 等式与不等式的基本性质对照如下（不等式性质中，凡涉及乘法、乘方的结论都要注意附加条件）： 名称 性质内容 对称性 传递性 可加性 同向可加性 可乘性 ； 同向同正可乘性 可乘方性 可开方性 【方法技巧】 1．记性质要"记条件"：可乘性看乘数正负，可乘方性、可开方性看两边是否同正； 2．判断"恒成立"用性质法（严格推理），判断"不成立"只需举一个反例； 3．遇到含参数的式子，先分类讨论，再下结论，切忌"想当然"直接套用。 【易错清单】 1．同向不等式只能"相加"，不能"相减"；只能"同正相乘"，不能随意相除； 2．给不等式两边同乘（除）一个含字母的式子时，必须判断该式的正负； 3．""不能推出""，""也不能推出""。 知识点3　作差（作商）比较法 作差比较法的一般步骤：作差 → 变形 → 判号 → 结论。其中"变形"是关键，常采用因式分解、配方、通分、有理化等手段，把差化成"几个因式的积"或"非负项之和"。 作商比较法的一般步骤：作商 → 化简 → 与 比较 → 结论，其适用前提是所比较的两个式子同号且不为零。 ①比较两个正数的幂（或根式）时，可先作商，再利用指数函数单调性判断商与 的大小； ②比较指数式与对数式时，常先借助 与 这两个中间量把各数分段，再作差细化； ③如需比较 与 型分式，可直接作差，把差化为 的形式判号。 【方法技巧】 1．作差法"变形"的三大王牌：因式分解、配方、通分； 2．含有根式的差式，常用"分子有理化"把差化为便于判号的形式； 3．对于高次或有理分式，可先因式分解，再把各因式符号按"根轴图"分段讨论。 【易错清单】 1．作商后与 比较大小时，分母的正负决定了不等号方向，务必先确认分母为正； 2．因式分解后忘记讨论各因式的符号，导致判号错误； 3．用特殊值法仅能"排除选项"，不能代替一般性的证明。 知识点4　不等式性质的应用与范围问题 利用不等式的性质求代数式的取值范围，常用"整体代换"与"待定系数"两种手段：把目标式表示为已知范围式子的线性组合，再依据同向不等式可加逐一求和。 具体地，若目标式为 （其中 为已知范围的整体量），则先解出 ，再由 的范围分别缩放后相加。当 时， 的取值范围需先取相反数再叠加。 ①求 的范围，就用 ，而不是分别解出 、 的范围再相减； ②求 的范围，先设 ，解出 后求和； ③"同向不等式可加不可减，可乘不可除"，这是求范围时最容易被忽视的一条。 【方法技巧】 1．求谁的范围，就用谁去"表示"——整体代换优先于逐项求解； 2．采用待定系数法时，先比较系数列方程组，再代入端点求和； 3．区间端点是开还是闭，由原条件的等号能否取到决定。 【易错清单】 1．把两个不等式"同向相减"求范围，会放大取值范围而得到错误结论； 2．把已知范围的式子"两边分别平方、开方"时，必须先确认两边非负； 3．端点是否可取未逐一检验，导致区间开闭写错。 知识点5　均值不等式链与常见变形 基本不等式（均值不等式）：若 ，则 ，当且仅当 时取等号，其中 叫算术平均数， 叫几何平均数。 完整的不等式链（）：，即"调和平均数 几何平均数 算术平均数 平方平均数"。 常见变形（，当且仅当 时取等号）： ①；②；③；④，⑤。 【方法技巧】 1．使用基本不等式牢记"一正、二定、三相等"：各项为正、和或积为定值、等号能取到； 2．"和定积最大，积定和最小"：和为定值时积有最大值，积为定值时和有最小值； 3．求 型的最值，常用"乘 1 法"：把 用条件式替换后展开，再用基本不等式。 【易错清单】 1．"一正、二定、三相等"缺一不可，忽视等号成立条件会得到错误的最值； 2．多次使用基本不等式时，必须保证各次等号能同时成立； 3． 型函数在 时的最小值不是 ，须先判断 的正负。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　作差法比较大小　★★ 【解题技巧】作差法比较大小的核心是"作差 → 变形 → 判号"三步走：先作差，再通过因式分解、配方、通分、有理化等手段把差化为"积的形式"或"非负项之和"，最后判断符号。对含字母的问题，务必先确定字母的取值范围，再进行符号判定；对指数、对数式的大小比较，往往先借助 与 作中间量分段，再作差细化。 【注意事项】作差法有三处易错：①变形不彻底（差式未化成易于判号的形式）；②漏讨论参数（差式中含 或 时，须按其正负分类）；③符号判断错误（配方后忘记注明"平方和为 时的取等条件"）。 【例1-1】（2024·天津卷·高考真题）若 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先以 与 为中间量判断 与 、 与 的大小，再作差比较 的大小。 【解答过程】因为 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 ； 又 单调递增，且 ，所以 。 作差得 ，故 ；又 ， 所以 。故选 B。 【例1-2】（2024·全国甲卷·文·改编）已知实数 满足 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】作差后，用 放缩，把差与 的范围联系起来。 【解答过程】作差： 。 因为 （即 ），所以 。 又 ，故 ，所以 。 逐项排除：取 ，则 ，C 错；取 ，则 ，D 错；B 与 A 相反，必错。 故选 A。 【变式1-1】比较 与 的大小，其结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】作差后配方，利用完全平方的非负性判号。 【解答过程】作差：， 当且仅当 时取等号，所以 。故选 B。 【变式1-2】已知 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．与 的取值有关 【答案】A 【解题思路】作差后因式分解，利用 判定各因式的符号。 【解答过程】作差： 。 因为 ，所以 ，又 ，故差为正，即 。故选 A。 【变式1-3】设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解题思路】作差后把 与 比较，采用平方法判号。 【解答过程】作差：。 只需比较 与 的大小：平方得 与 ， 即比较 与 ，再平方比较 与 ，知 ，故 ，即 。 所以 。故选 B。 【变式1-4】已知 ，则 的值（　　） A．恒大于 B．恒小于 C．恒等于 D．可能等于 【答案】D 【解题思路】配方成两个完全平方之和，判断其取值范围。 【解答过程】。 当且仅当 且 时取等号，此时该式的值为 。故选 D。 【变式1-5】设 ，则 与 的大小关系是（　　） A． 恒成立 B． 恒成立 C． 恒成立 D．与 的取值有关 【答案】D 【解题思路】作差后因式分解，观察在各区间上的符号是否一致。 【解答过程】作差：。 当 或 时差为正；当 时差为负。故大小关系与 的取值有关。故选 D。 重难点培优02　作商法比较大小与中间量法　★★ 【解题技巧】当两个式子同为正数且含乘除、幂或指数结构时，优先用作商法：作商 → 化简 → 与 比较 → 得结论。比较指数式与对数式时善用中间量 与 分段；比较形如 与 的幂式，可同时取对数再作差（作商）。 【注意事项】作商法必须满足"两式同正"这一前提，否则结论需分类讨论；比较商与 的大小时，要注意分母的正负；用赋值法（特殊值法）解题时，它只能用于排除选项，不能代替严格的证明，最终仍应给出通法论证。 【例2-1】（2025·全国一卷·高考真题）若实数 满足 ，则 的大小关系不可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设公共值为 ，把 表示为 的指数式，再用赋值法逐一验证各选项的可能性。 【解答过程】设 ， 则 ，，。 取 ，则 ，，，此时 ，A 可能出现； 取 ，则 ，，，此时 ，C 可能出现； 取 ，则 ，，，此时 ，D 可能出现。 而 不可能出现。故选 B。 【例2-2】（2026·上海卷·高考真题·改编）已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对两个正分式作差，把差化为便于判号的形式，再逐项排除。 【解答过程】作差： 。 因为 ，所以 ，，故差为正，即 ，B 正确。 又 ，故 C 错； 而 ，故 D 错；A 与 B 相反，必错。 故选 B。 【变式2-1】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以 与 为中间量，把三个数与 、 比较后定序。 【解答过程】因为 ，所以 ； ，满足 ； 。 所以 ，即 。故选 A。 【变式2-2】若 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】对形如 的式子两两通分比较，等价转化为真数的比较。 【解答过程】比较 ：，故 ； 比较 ：，故 ； 比较 ：，故 。 所以 。故选 B。 【变式2-3】设 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解题思路】把两式分子有理化，化为分母比较大小。 【解答过程】，。 因为 （即 ），且分母均为正， 所以 ，即 。故选 B。 【变式2-4】若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以 时对数函数的单调性为工具，分别比较真数与 、 的大小。 【解答过程】因为 ，所以 单调递减。 由 得 ；由 得 。 所以 。故选 B。 【变式2-5】设 ，，，则 的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以 、 为中间量，分别确定 所在区间。 【解答过程】； ，而 ，由 得 ，且 。 所以 ，即 。故选 B。 重难点培优03　不等式性质的辨析与判断　★★★ 【解题技巧】判断不等式性质命题的真假，常用"两法并用"：其一，性质法——严格依据"可加性、同向可加、可乘性（注意乘数正负）、同向同正可乘"逐一验证；其二，特例法——取特殊值（尤其 、负数、相等情形）快速否定错误选项。"恒成立"要用性质证明，"不成立"只需一个反例。 【注意事项】三类高频陷阱：①两边同乘（除）含字母的式子时，忽略该式的正负；②对"同向可乘"附加的"同正"条件视而不见；③给不等式两边平方（开方），却未要求两边非负。凡涉及含参式子，一律先分类讨论再下结论。 【例3-1】（2024·上海春卷·高考真题）已知 ，且 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】抓住"可加性"，用一个与 无关的非负量作"加项"判断；其余选项举反例否定。 【解答过程】由可加性， 两边同加 得 ，且 对一切 成立，故 B 恒成立。 排除其余选项： A，取 ，，满足 ，但 ，A 错； C，取 ，，则 ，C 错； D，取 ，则 ，D 错。 故选 B。 【例3-2】（2026·北京卷·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往。已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（　　） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【解题思路】设出四类人数，把两个条件翻译为两个不等式，再用"同向可加"合成新不等式。 【解答过程】设高一去甲地 人、去乙地 人，高二去甲地 人、去乙地 人。 由"高一总人数多于高二"得 ……① 由"前往甲地的总数多于前往乙地"得 ……② ①②得 ，两边同减 得 ，即 。 即去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数。故选 B。 【例3-3】（2025·北京卷·高考真题）已知 ，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先用基本不等式判断 C，再对 A、B、D 分别取特殊值或作等价变形否定。 【解答过程】对于 C，由基本不等式 ，又 ，所以 ，C 正确。 对于 A，取 ，则 ，A 错； 对于 B，取 ，则 ，B 错； 对于 D，不等式两边同乘 得 ，与基本不等式矛盾，D 错。 故选 C。 【变式3-1】若 ，，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】对含 的选项按 是否为零分类，对幂式用单调性判断。 【解答过程】A，当 时 ，A 错； B，由 得 ，B 错； C，由 得 ，C 错； D， 在 上单调递增，由 得 ，D 正确。 故选 D。 【变式3-2】已知 ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】D 【解题思路】逐项举反例或严格推理，注意"非负"是平方比较的前提。 【解答过程】A，取 ，，则 ，A 错； B，取 ，，则 ，B 错； C，取 ，，则 ，但 ，C 错； D，由 得 ，两边平方得 ，D 正确。 故选 D。 【变式3-3】若 ，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】取具体负数验证，并结合"除以负数不等号反向"判断分式。 【解答过程】取 ，。 A，，，则 ，A 错； B，，B 错； C，，C 错； D，由 得 为负，两边同除以 得 ，D 正确。 故选 D。 【变式3-4】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐项作差或取特殊值检验，注意"不能想当然"。 【解答过程】A，由例 2-2 知 ，A 错； B，取 ，，则 ，B 错； C，（因 ），C 正确； D，取 ，，则 ，D 错。 故选 C。 【变式3-5】已知 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐项举反例，重点检验对"变量的符号不确定"的处理。 【解答过程】A，取 ，，，则 ，A 错； B，取 ，，，则 ，B 错； C， 在 上单调递增，由 得 ，C 正确； D，取 ，则 ，D 错。 故选 C。 重难点培优04　利用性质求代数式取值范围　★★★ 【解题技巧】求代数式的取值范围，核心是"整体代换"与"待定系数"：把目标式表示为已知范围式子的线性组合，即设目标式 ，依据目标的系数解出 ，再用"同向可加性"求和。"求谁的范围，就用谁去表示"，切忌把已知范围直接相加或相减。 【注意事项】两个高频错误：①把两个不等式"同向相减"后再求范围（会放大范围、得到错误结论）；②忽略端点是否可取。同类问题要先判断能否直接相加，再决定是否需要换元（整体代换）。当已知 、 的范围时，务必用待定系数把目标式写成二者的组合，而不是分别解出 的范围再求和。 【例4-1】（2026·湖北·武汉·二模）已知实数 满足 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 写成 ，利用同向可加性求范围。 【解答过程】因为 ， 所以由 与 同向相加，得 ，即 。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【例4-2】（2026·四川·成都·模拟）已知关于 的不等式 的解集非空，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按 、、 分类讨论二次函数的开口方向与最小值。 【解答过程】①当 时，不等式化为 ，解集 非空，符合题意； ②当 时，开口向上，最小值在 处取得，为 ，由解集非空得 ，解得 ； ③当 时，开口向下，函数图象必经过第三、四象限，不等式 必有解，符合题意。 综上，。故选 A。 【变式4-1】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别求出 与 的范围，再同向相加。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 两式同向相加，得 ，即 的取值范围是 。故选 A。 【变式4-2】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别求出 与 的范围，再同向相加。 【解答过程】由 ；由 得 。 两式同向相加，得 ，即 的取值范围是 。故选 A。 【变式4-3】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对正的 与正的 分别取范围，用"除以正数范围不变号"求分式的界。 【解答过程】因为 均为正数， 关于 递增、关于 递减， 所以当 取最小值 、 取最大值 时取到下确界 ；当 取最大值 、 取最小值 时取到上确界 。 由于端点均取不到，故 的取值范围是 。故选 A。 【变式4-4】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求 的范围，再与 的范围同向相加。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 两式相加，得 ，即 的取值范围是 。故选 A。 【变式4-5】已知实数 满足 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设 ，比较系数解出 ，再用同向可加性。 【解答过程】设 ，比较系数得 ，解得 ，。 所以 。 由 得 ；由 得 。 两式相加得 ，即 的取值范围是 。故选 A。 重难点培优05　不等式的恒成立与能成立　★★★ 【解题技巧】恒成立与能成立问题的转化口诀： 恒成立 ； 能成立（有解）； 恒成立 。当参数易分离时优先"分离参数"，把不等式化为"参数 （或 ）关于 的函数"再求最值。 【注意事项】三类易错：①把"恒成立"与"能成立"的端点搞反；②分离参数时忽略参数系数的正负（除以负数要变号）；③求最值时忽视定义域与等号成立条件。" 恒成立"究竟对应 的最大值还是最小值，务必先想清楚再动笔。 【例5-1】（2026·全国一卷·高考真题）已知函数 的最大值为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】"最大值为 "等价于" 恒成立，且存在 使等号成立"，分离参数后转化为求函数最大值。 【解答过程】由分母有意义知 恒成立，即 恒成立，故 。 当 时 ，不等式 等价于 ，即 对一切 恒成立。 设 ，则 ，令 得 ； 当 时 ，当 时 ，所以 。 故只需 ；又当 时 的最大值小于 （如 时 ），不满足条件， 所以 。故选 B。 【例5-2】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数 ，若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由 恒成立，抓住"零点处导数为 "的必要条件求 的关系，再求 的最小值。 【解答过程】 的定义域为 。 取 ，有 ；又 恒成立，说明 是极小值点，必有 。 而 ，于是 ，得 ，即 （此时 成立）。 所以 ， 当且仅当 ， 时取等号。 故 的最小值为 。故选 C。 【变式5-1】若不等式 对一切实数 恒成立，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把恒成立转化为 ，配方求最小值。 【解答过程】，当且仅当 时取等号。 要使 恒成立，只需 ，即 的最大值为 。故选 A。 【变式5-2】已知对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用基本不等式求 的最小值，再转化为 的不等式。 【解答过程】因为 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号。 要使 对一切 恒成立，只需 。故选 A。 【变式5-3】若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"存在"型转化为 ，求二次函数在闭区间上的最大值。 【解答过程】"存在 使 "等价于 。 设 ，在 上单调递增，故 。 所以 ，即 。故选 A。 【变式5-4】已知不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按 与 分类， 时由开口方向与判别式确定范围。 【解答过程】①当 时，不等式化为 ，当 时不成立，舍去； ②当 时，要使 对一切 恒成立，须 ，解得 。 综上，。故选 A。 【变式5-5】若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把 的不等式分离参数为 ，"有解"转化为 。 【解答过程】因为 ，所以 。不等式 等价于 ，即 。 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，故 的最小值为 。 要使不等式在 上有解，只需 。故选 A。 重难点培优06　糖水不等式与放缩　★★★ 【解题技巧】糖水不等式：若 ，，则 ；当 时不等号反向。其本质是分式比较中的"作差定号"。遇到形如 与 （或 ）的比较，先看分子分母的增减关系，再用糖水不等式或直接作差；比较 型结构常用构造函数 + 单调性放缩。 【注意事项】使用糖水不等式的三个前提：①分母为正且"糖水"结构成立；② （加入的是正量）；③ 与 时不等号方向相反。"放缩"必须有界、有度：放得过大或过小都会使结论失真，务必检查放缩方向与"取等（逼近）"的可行性。 【例6-1】（2026·天津卷·高考真题）若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先展开化简，再用基本不等式求 的最小值。 【解答过程】展开： 。 因为 ，由基本不等式 ，当且仅当 即 时取等号。 所以原式的最小值为 。故选 B。 【例6-2】（2025·江苏·南京·模拟）已知 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解题思路】直接作差，把差化为含 的形式后判号。 【解答过程】作差： 。 因为 ，所以 ；又 ，，故差为正， 即 。故选 B。 【例6-3】（2024·上海卷·高考真题）已知 ，且 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用基本不等式 ，结合 化简。 【解答过程】由基本不等式 ， 当且仅当 ，即 ，（满足 ）时取等号。 所以 的最小值为 。故选 B。 【变式6-1】已知 ，，，则 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由"和定积最大"，用 求最值。 【解答过程】由基本不等式 ，当且仅当 时取等号。 所以 的最大值为 。故选 B。 【变式6-2】若 ，，且 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解题思路】作差，把差化为含 的形式后判号。 【解答过程】作差： 。 因为 ，所以 ，，，， 故差为负，即 。故选 B。 【变式6-3】若 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解题思路】作差后判号，注意此时 。 【解答过程】作差： 。 因为 ，所以 ；又 ，，故差为正， 即 。故选 A。 【变式6-4】设 ，，，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用"乘 1 法"：把 乘上 后展开，再用基本不等式。 【解答过程】。 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号。 所以 ，最小值为 。故选 C。 【变式6-5】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】直接用基本不等式求解，并检验等号条件。 【解答过程】因为 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号。 所以 的最小值为 。故选 C。 重难点培优07　含参不等式中的分类讨论　★★★★ 【解题技巧】含参不等式问题要抓住"两个关键点"：其一，参数对方向的改变（如乘除参数、二次项系数正负、判别式符号）；其二，根的相对大小（两根大小不定时须比较、分类）。解题套路：定系数符号 → 求根（含参）→ 比较根的大小 → 按"根轴图"写出分类结论。 【注意事项】分类讨论必须做到"标准统一、不重不漏"。高频失分点：①二次项系数为零的情形被忽略；②判别式符号未讨论；③两根相等或"根与区间端点"重合的临界值被漏掉。每分类完，务必回到原题检验该情形是否成立。 【例7-1】（2026·湖南·长沙·一模）已知关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按二次项系数 是否为零分类， 时再由开口方向与判别式确定范围。 【解答过程】①当 ，即 时，不等式化为 ，对一切 恒成立，符合题意； ②当 时，要使不等式对一切 恒成立，须开口向上且判别式小于 ： ，即 ，解得 。 综上， 的取值范围是 。故选 A。 【例7-2】（2026·福建·厦门·二模）已知关于 的不等式 ，则该不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把二次式因式分解，比较两个根的大小后写出解集。 【解答过程】。 因为 恒成立，所以不等式 的解为 ， 即解集为 。故选 A。 【变式7-1】若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按 与 分类， 时由开口方向与判别式确定范围。 【解答过程】①当 时，不等式化为 ，恒成立，符合题意； ②当 时，须 ，解得 。 综上，，即 的取值范围是 。故选 A。 【变式7-2】关于 的不等式 的解集为 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由解集的形式反推不等号方向，确定 的符号。 【解答过程】不等式 的解集为 ，说明在求解时不等号方向发生了改变， 即两边同除以 ，所以 。故选 A。 【变式7-3】若关于 的不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由解集的两端点即为对应方程的根，用根与系数的关系求 。 【解答过程】由解集为 知 是方程 的两根， 所以 ，，即 ，。 所以 。故选 A。 【变式7-4】若不等式 对一切 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，转化为求 不小于右侧函数在区间上的"上确界"。 【解答过程】由 得 。 设 ，当 时 单调递减， 且 恒成立（ 取不到）。 要使 对一切 恒成立，只需 （当 时， 对 成立）。 故选 A。 【变式7-5】已知关于 的方程 有两个负根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由"两根为负"得两根之和小于 、两根之积大于 ，且判别式非负，联立求解。 【解答过程】设两根为 ，则 ，。 要使两根均为负，须 由 恒成立；由 得 ；由 得 。 综上，。故选 A。 重难点培优08　新定义与交汇问题　★★★★ 【解题技巧】新定义问题的"三字诀"：读（逐字读清定义中的条件与运算）、译（把新符号翻译成作差、作商、基本不等式、函数单调性等已有的工具）、算（严格按定义代入，注意定义域与等号条件）。交汇问题要"抓主线"：无论是与函数、数列还是解析几何交汇，比较大小与求范围最终都回到"作差定号"与"基本不等式"。 【注意事项】新定义题最常见的是"想当然"：把新符号当成熟知的运算套用旧公式，而忽略定义中""""等附加条件。交汇题则易犯"丢定义域"的错误，如对数真数为正、分母不为零。每一步都要回看定义与定义域。 【例8-1】（2026·湖北·武汉·模拟）定义运算 （）。已知 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】严格按新定义代入，得到关于 的方程求解。 【解答过程】由定义 ，即 。 两边乘 得 。令 ，则 ，即 ，解得 。 所以 。故选 B。 【例8-2】（2026·广东·深圳·二模）对于实数 ，定义 ，若 ，则 （　　） A． B． C． 或 D． 【答案】C 【解题思路】按 与 两种情形代入对应的定义式，分别求解并检验是否满足该情形的条件。 【解答过程】①若 ，则 ，解得 ，此时 成立，符合； ②若 ，则 ，解得 ，此时 成立，符合。 综上， 或 。故选 C。 【变式8-1】定义 （）。若 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义代入，得到关于 的分式方程求解并检验 。 【解答过程】由定义 。 去分母得 ，即 ，解得 （满足 ）。 故选 A。 【变式8-2】已知 ，若 ，，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【解题思路】先化简 ，再以 为中间量比较 与 的大小。 【解答过程】。 ，因为 ，所以 。 所以 ，即 。故选 B。 【变式8-3】定义 为 中的较小者。已知 ，，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断 的大小，再按定义取较小者。 【解答过程】因为 ，所以 ，即 。 又 ，所以 ，故 。故选 A。 【变式8-4】定义集合 。已知 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按定义把 中的元素两两相除，列举所有结果后去重。 【解答过程】所有可能的商：，，，。 去重后 ，含 个元素。故选 B。 【变式8-5】已知 ，定义 ，则 与 的大小关系是（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【解题思路】先化简 ，再与 作差（作商），用完全平方的非负性判号。 【解答过程】。 作差：。 因为 ，所以分母 ，分子 ，故差非负，即 。 故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】若 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用不等式的可加性判断正确选项，其余选项举反例否定。 【解答过程】由可加性， 两边同加 得 ，B 恒成立。 A，取 ，，则 ，A 错；C，取 ，，则 ，C 错； D，取 ，则 ，D 错。故选 B。 2．【巩固】设 ，，，则 的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】以 与 为中间量，分别确定三个数所在区间。 【解答过程】；，满足 ；。 所以 ，即 。故选 B。 3．【巩固】若 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】直接用基本不等式求解，注意等号成立条件。 【解答过程】因为 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号。 所以最小值为 。故选 B。 4．【巩固】若 ，则下列不等式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由 判断各分式的大小，对含 的选项分类讨论。 【解答过程】A，由 得 ，A 错； B，当 时不成立，B 错； C，由 得 ，C 错； D，由 两边同除以 得 ，D 正确。 故选 D。 5．【进阶】已知 ，，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别求 与 的范围，再同向相加。 【解答过程】由 得 ；由 得 。 两式同向相加得 ，即取值范围是 。故选 A。 6．【进阶】若不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由二次函数开口向上，转化为判别式小于 。 【解答过程】要使 对一切 恒成立，须 ，解得 。 故选 A。 7．【进阶】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对 A、B 作差判号，对 C、D 取特殊值检验。 【解答过程】A 与 B：， 故 ，A 正确、B 错； C，取 ，，则 ，C 错； D，取 ，，则 ，D 错。 故选 A。 8．【进阶】已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先展开化简，再用基本不等式求 的最小值。 【解答过程】。 因为 ，由基本不等式 ，当且仅当 即 时取等号。 所以原式的最小值为 。故选 A。 二、多选题 9．【进阶】若 ，则下列命题正确的是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，，则 【答案】ABD 【解题思路】逐项用性质法证明或举反例否定。 【解答过程】A，由可加性，A 正确； B，由 得 ，B 正确； C，取 ，，则 ，C 错误； D，由同向同正可乘性， 与 相乘得 ，D 正确。 故选 ABD。 10．【进阶】已知 ，则下列不等式一定成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项作差或直接用基本不等式判断，注意不等号方向。 【解答过程】A，，A 正确； B，，B 正确； C，由 得 ，C 正确； D，，即 ，D 错误。 故选 ABC。 11．【进阶】已知 ，且 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解题思路】逐项用函数的单调性（或可加性）判断，对分式选项举反例。 【解答过程】A，由可加性，A 正确； B， 在 上单调递增，B 正确； C， 在 上单调递增，C 正确； D，取 ，，则 ，D 错误。 故选 ABC。 12．【培优】已知 ，，，则下列结论正确的是（　　） A． 的最大值为 B． 的最小值为 C． 的最大值为 D． 的最大值为 【答案】ABD 【解题思路】用基本不等式及变形逐项判断，注意区分"最大值"与"最小值"。 【解答过程】A，，A 正确； B，，B 正确； C，，即 的最小值为 ，故"最大值为 "错误，C 错误； D，，故 ，D 正确。 故选 ABD。 三、填空题 13．【巩固】已知 ，则 的最小值为 ______． 【答案】 【解题思路】用基本不等式求解，并检验等号条件。 【解答过程】因为 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号， 所以最小值为 。 14．【进阶】已知 ，，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】由两个正数的范围，取"小 小、大 大"确定乘积的界。 【解答过程】因为 均为正数且分别在 与 上， 所以 的最小值为 ，最大值为 ，且中间值均可取到， 故 的取值范围是 。 15．【进阶】若不等式 对一切实数 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】由开口向上，恒成立等价于判别式小于等于 。 【解答过程】要使 对一切 恒成立，须 ，解得 。 所以实数 的取值范围是 。 16．【培优】已知 ，，且 ，则 的最小值为 ______． 【答案】 【解题思路】用"乘 1 法"，把 乘上 后展开，再用基本不等式。 【解答过程】。 由基本不等式 ，当且仅当 ，即 ， 时取等号。 所以 ，最小值为 。 四、解答题 17．【进阶】已知 ，，且 ． (1) 求 的最大值； (2) 求 的最小值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 用"和定积最大"；(2) 用"乘 1 法"配合基本不等式。 【解答过程】(1) 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号， 所以 的最大值为 。 (2) ， 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 。 18．【进阶】已知实数 满足 ，． (1) 求 的取值范围； (2) 求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 把 写成 ；(2) 用待定系数把 写成 与 的组合。 【解答过程】(1) 因为 ， 由 与 同向相加得 ，所以 ， 即 的取值范围是 。 (2) 设 ，比较系数得 ，解得 ，。 所以 。 由 得 ；由 得 。 两式相加得 ，即 的取值范围是 。 19．【培优】已知函数 ． (1) 若 对一切实数 恒成立，求 的取值范围； (2) 若 对一切 恒成立，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 判别式非负；(2) 分离参数化为 恒成立，再求右侧函数在 上的最小值。 【解答过程】(1) 要使 对一切实数 恒成立，须 ， 即 ，解得 ，所以 的取值范围是 。 (2) 当 时 ，由 得 ，即 对一切 恒成立。 设 ，则 。 当 时 ，当 时 ，故 在 处取最小值， 。 所以只需 。 20．【培优】已知 ，，且 ． (1) 求 的最小值； (2) 求 的最小值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】把条件式与基本不等式结合，分别转化为关于 、 的不等式。 【解答过程】(1) 由 与 ，得 。 令 ，则 ，即 ，解得 （舍 ），所以 ， 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 。 (2) 由 得 ，结合 (1) 中 ，得 ， 当且仅当 时取等号，所以 的最小值为 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $