重难点培优03 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的综合应用（复习讲义）（全国通用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习讲义围绕函数单调性、奇偶性、周期性、对称性及综合应用等核心考点，按知识重构（梳理固根基）、题型精研（技巧通法提能力）、实战检测（分层突破验成效）的逻辑展开，通过考点梳理、方法指导、真题训练等环节，帮助学生构建函数性质体系，突破综合应用难点。 资料突出“数学思维”培养，创新设计分题型技巧通法（如单调性结合奇偶性解不等式的“不变号加绝对值”策略），结合分层练习（重难巩固与创新提升），引导学生从性质联系中抽象规律，提升逻辑推理能力，为教师提供系统复习方案，助力学生高效备战高考。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 重难点培优03 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的 综合应用 目录(Crl并单击鼠标可跟踪链接 01知识重构重难梳理固根基 02题型精研技巧通法提能力… 题型01单调性及其应用（★★★★★） .4 题型02奇偶性及其应用（★★★★★) 7 题型03单调性综合奇偶性（★★★★★)11 题型04周期性及其应用（★★★★★) .15 题型05函数的对称性及其应用（★★★★★）18 题型06对称性结合周期性（★★★★★） 23 题型07函数性质的综合应用（★★★★★） … .27 题型08导函数与原函数的性质联系（★★★★） .32 03实战检测分层突破验成效… 35 重难知识巩固 .35 创新能力提升.…。 ..52 知识重构·重难梳理固根基 ◆知识点01单调性技巧 (1)几条常用的结论： ①若f田)是增函数，则一f()为减函数；若f(?是减函数，则一f(田)为增函数： ②若f闭和8)均为增（或减）函数，则在f(0)和8(0的公共定义域上f)+8(?为增（或减）函数： 1/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 ③若f)>0且()为增函数，则函数VT为增函数，f为减函数： ④若闭>0且f)为减函数，则函数f四为减函数，f)为增函数， 修知识点02奇偶性技巧 (1)函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称. (2)奇偶函数的图象特征， 函数f)是偶函数一函数)的图象关于y轴对称； 函数)是奇函数台函数f()的图象关于原点中心对称. (3)若奇函数y=f四在x=0处有意义，则有f(0)=0: 偶函数y=fx)必满足f(x)=fxD (4)偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的 两个区间上单调性相同. (5)若函数()的定义域关于原点对称，则函数()能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记 g)=/)+f].h)-2/国-f-别，则f=g)+M). (6)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的 函数，如f+gx,f)-g(x),f6x)×gx,fx)÷g() 对于运算函数有如下结论：奇土奇=奇：偶±偶=偶：奇土偶=非奇非偶： 奇()奇=偶：奇()偶=奇；偶(÷)偶=偶. (7)复合函数y=几g(刃的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇. (8)常见奇偶性函数模型 0)=mg+Xx≠0) 奇函数：①函数 a-1 或函数 f(x)=m(-1 ma+ ②函数fx)=±(a-a) f0)=log+m=1og.1+2m-) f）=logn-m=1og.0-2m ③函 x-m x-m或函 x+m x+m ④函数fw)=log,（F+1+x)或函数f)=lg,(N+1-)」 注意：关于①式，可以写成函数 =m+0@=mnme风 或函数 2/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 偶函数：①函数f(x)=(a+a) ②函数 f(x)=log(am+1)-mx ③函数f(xD类型的一切函数. ④常数函数 ◆知识点03周期性技巧 函数式满足关系(x∈) 周期 f(x+T)=f(x) f(x+T)=-f(x) 2T 1 1 f(x+T)=- f(x+T)= 2T f(x) f(x) f(x+T)=f(x-T) 2T f(x+T)=-f(x-T) 4T [f(a+x)=f(a-x) 2b-a) f(b+x)=f(b-x) f(a+x)=f(a-x) 2a f(x)为偶函数 [f(a+x)=-f(a-x) 2(b-a) f(b+x)=-f(b-x) f(a+x)=-f(a-x) 2a f(x)为奇函数 (f(a+x)=f(a-x) 4(b-a) f(b+x)=-f(b-x) f(a+x)=f(a-x) Aa f(x)为奇函数 f(a+x)=-f(a-x) 4a f(x)为偶函数 知识点04函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数y=fx)有两条对称轴x=a,x=b(a<b),则函数f,是周期函数，且T=2b-a): (2)若函数y=()的图象有两个对称中心(a,c,(6,c(a<b),则函数y=f(田是周期函数，且 T=26-4): (3)若函数y=f)有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0(a<b),则函数y=f)是周期函数，且 T=4(b-a) 3/22 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 一知识点05对称性技巧 (1)若函数y=f)关于直线x=a对称，则f(a+)=f(a-) (2)若函数y=f()关于点(a,b)对称，则f(a+)+f(a-)=2b (3)函数y=f(a+)与y=f(a-)关于y轴对称，函数y=fa+)与y=-fa-)关于原点对称. 题型精研技巧通法提能力 题型01单调性及其应用 【技巧通法提分快招】 1、利用单调性解不等式的相关结论 1)正向结论：若y=f0在给定区间D上单调递增，则当x,名∈D,且X<时，f(x)<f,) :当，5∈D,且>时，x)>f) (2)逆向结论：若y=f)在给定区间D上单调递增，，5∈D,则当fG)<f)时，x<: 当f)>f()时，> 2、解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小，若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于 右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值 3设，∈[a,b]，x≠为. f(x)-f2)>0 若有G-x儿f(G)-f(〗>0或-x ,则f()在闭区间[a,b]上是增函数： f)-f2<0 若有任-儿/(：)/(：】K0或-。，则f四在闭区同a,上是减函数 1.(2026陕西西安三模)己知a=0.2,b=log0.3,c=32,则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>b>a D.c>a>b 2.(2026安徽芜湖二模)已知f(x)=x+e,则不等式f(x-2)<f()的解集为() A.{xx<3影 B.{x>3} C.x>1 D.{x<1 4/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.(2026贵州遵义模拟预测)设函数∫(x)=2,则f(x)的单调递增区间为() A.（-o,1) B.(-∞，0) C.(0,+) D.(1,+o) 4.(2026甘肃白银三模)“k>0”是“函数f()=x+在(0，+∞)上单调递增”的(） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.(2026江西二模)已知函数f)=2-, 2,若a=f(1og20.2),b=f(logo30.2)c=f(1og20.3) 则() A.c<b<a B.c<a<b C.a<c<b D.a<b<c 6.(25-26高三下·安徽阜阳阶段检测)若函数f(x)= 2alnx,x≥e -+a,x<e在R上单调递增，则实数。的取值 范围是() e A.[2,e2] B.[2,c c.[2e,8] D 2e e-2 f(x)-f(>0 7.(2026陕西榆林模拟预测)定义在R上的函数f()满足乐，∈R'x≠x,都有石-x 成立，则不等式-)[f(x)-f(4-]<0的解集为() A.(1,2) B.(-o,1) C.(2,+oo) D.（-o,0)U(1,2) 8.(25-26高三下河北沧州阶段检测）)已知函数f(x)=l血[x(a-x]在区间(，2)存在单调递增区间，则 正数a的取值范围是() A.(4,+∞） B.[4,+o) C.[2,+o) D.(2,+0) 题型02奇偶性及其应用 【技巧通法提分快招】 1、奇偶函数的性质 (I)偶函数-x)=x)~关于y轴对称台对称区间的单调性相反； (2)奇函数一x)=一)·关于原点对称台对称区间的单调性相同： 2、 奇偶性技巧 (1)若奇函数y=()在x=0处有意义，则有f(0)=0: 5/22 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)对于运算函数有如下结论：奇±奇=奇；偶±偶=偶；奇±偶=非奇非偶； 奇×(÷)奇=偶：奇×)偶=奇：偶)偶=偶。 3)常见奇偶性函数模型 f(x)=m(+1 =ma-马 奇函数：*Expression is faulty*函数 或函数 a*+1 *Expression is faulty*函数f()=±(a-a) f)=lg.+m=1og.1+2m) )=log.x-m-log.(1- 2m *Expression is faulty*函数 x-m x-m或函数 x+m x+m *Expression is faulty*函数f)=log,N+1+)或函数f)=l1og,WR+1-x). f(x)=m+- 注意：关于*Expression is faulty*式，可以写成函数 或函数 f(x)=m- 2m (m∈R) a+1 偶函数：*Expression is faulty*函数f()=土(a+a").*Expression is faulty*函数 f(x)=log.(a+1)-mx 2.*Expression is faulty*函数f0xD类型的一切函数. 3、已知f)=奇函数+M,x∈[-a,a),则 (1)f(-x)+fx)=2M (2)f(x)mx +f(x)in =2M 1.(2026河北秦皇岛一模)已知函数f()=e-a~e为奇函数，则a=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.(2026北京海淀·三模)以下函数既是偶函数又在(0，+∞)上单调递增的是() A.f(x)=-cosx B.f(x)=x C.f(x)=igx D.f(x)=e*+e* 3.若函数f()=ar2+bx+1是定义在-1-a,2d上的偶函数，则f2a-b)=() A.6 B.5 C.4 D.3 4.(2026天津河西·三模)已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（) VA o12 6/22 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.y=sin2x etex B.y= C.y=Cosx D.y=- x2+1 x2+1 2(e-e) 5.已知函数f()=(e-e)osx+2在[-l,上的最大值和最小值分别为M,N,则M+N=() A.-2 B.0 C.2 D.4 12 6.已知奇函数f(y)是定义在R上的单调函数若正实数a,b满足f(2)+f(b-)=0,则。十方的最小值 是() A.8 B.4+2W2 C.4 D.22 7.己知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且当x>0时，f(x)=x-3x+4,则f()的解析式是 1 8.已知函数f(x)=a+ 2一1是定义域上的奇函数，则。的值为 9.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)=x-1,若f(f(》=1,则x= ,题型03单调性综合奇偶性 【技巧通法提分快招】 单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 Of(:)在R上是奇函数，且f)单调递增→若解不等式f(G)+f)>0,则有 x+x2>0 f)在R上是奇函数，且f)单调递减→若解不等式fG)+f)>0,则有 x+2<0」 ②f)在R上是偶函数，且f)在0，+∞)单调递增→若解不等式f)>f,),则有>K(不 变号加绝对值)： f)在R上是偶函数，且f)在O,+∞)单调递减→若解不等式)>f,）,则有<（变号 加绝对值)； ③fc)关于a,bD)对称，且，)单调递增→若解不等式f)+f)>2b,则有 x+x2>2a: f)关于a,b)对称，且f:单调递减→若解不等式f)+f,)>2b,则有 7/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+x2<2a: ④f)关于x=a对称，且f)在a,+∞)单调递增→若解不等式f)>),则有 x-d>6,-4(不变号加绝对值)： f)关于x=a对称，且f)在a,+o)单调递减→若解不等式f()>f),则有-4<k-4 (不变号加绝对值)； 1.已知函数f(x)定义域为R,满足f-x)=∫(x),对于，名∈[0，+o),且x≠，都有 fs)-f<0,则() x-x2 A.f(-π)<f(e)<fn3) B.f(e)<f(ln3)<f(-元) c.f(n3)<f(-)<f() D.f(e)<f(-)<f(n3) 2.己知函数f(x)=2sinx+e-e,则不等式f(x+2x)+f(3+2x)<0的解集为() A.(1,3) B.（-3,-1) C.(-2,2) D.（-0,-3)(-1,+) 3.己知g(x)=rf(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)在区间(-o,0]上单调递减，若关于实数m的不等 式f(log,m)+f((logosm)≥2f(3)恒成立，则m的取值范围是() A. B.[8,+oo), c.0[s+*）D.（0g[&+ 4.已知函数f(x)=x2+e,若a=ftan),b=fcos2),c=fsin3),则() A.a>b>c B.a>c>b C.c>a>b D.c>b>a 5.已知函数f(x)满足f(-x)=-f(),f()=3030,且对任意的x,七∈[0，+∞），x≠x,都有 儿飞)f,则满定不等式化-2025)>3-1016)的x的取位乾用是(） X2-X1 A.x>2024 B.x>2026 C.x<2024 D.x<2026 6.(多选题)已知f()=x+3x,x∈[-2,2]，且实数a,b满足f(a)+fb-2)=0,则() A.a+b=2 B.ab的最大值为1 C.b-a的最大值为4 D.a2+b的最小值为2 7.已知函数f(:)是定义域在(-1，)上的奇函数，且在[0，)上为增函数，若f(a-2)+f(4-a2)0,则实 数a的取值范围是 8/22 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8.己知定义在R上的偶函数y=f()在[0，+)上是严格增函数，若f()>f(2x-),则x的取值范围为 9.已知f(x)为定义在R上的奇函数，f(x)在(0，+∞)上单调递增，且f(四=-1，f(2)=1,则不等式 f(x)≥-1的解集为一 ,题型04周期性及其应用 1.(2026四川遂宁·二模)已知定义域为R的函数f(x)满足f(x)=f(c+4),当x∈[-2,0)时， f(x)=1og2(-x),则f(2026)的值为() 1 A.1 B.2 c.2 D.2 2.若函数f(x)满足f(x+2)=-f(),且当x∈[0，时，f(x)=e,则f(2026)=() B.-1 C.e D.e 4 3.已知定义在R上的函数满足/x+)=f,且0<x<3时，=2，则6O5)=() A.1 B.2 C.4 D.8 4.(25-26高三下河南周口阶段检测)己知f(x)是定义在R上的函数，f(x+2)=f(x+)-f(),当 0≤x<2时，f(x)=5-2x,则f(7)=() A.-3 B.-1 C.1 D.3 5.己知fx)是定义域为(-，+)的奇函数，满足f)=f(2-),若f四=1，则 fI)+f(2)+f(3)+f(4)+…+f(2026)() A.1 B.0 C.1013 D.2026 6.函数f()的定义域为R,且f1+x)+fI-)=f(),f(0)=2,则f(6+f(8)=（) A.1 B.2 C.3 D.4 ◆题型05函数的对称性及其应用 【技巧通法提分快招】 1、轴对称性的常用结论如下： (1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(a-x),则f(x)的一条对称轴为x=a 9/22 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)若函数f(x)满足f(2a-)=f(x),则f(x)的一条对称轴为x=a (3)若函数f(x)满足f(2a+x)=f(-),则f()的一条对称轴为x=a (4)fa一xfb十x)-x)的图象关于直线x=对称： 小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同：其求解方法是：通过计算两侧的平均值来 找出对称轴。 2、中心对称结论如下： (1)若函数f(x)满足f(a+x)+f(a-x)=2b,则f(x)的一个对称中心为(a,b) (2)若函数f(x)满足f(2a-)+f(x)=2b,则f(x)的一个对称中心为(a,b) (3)若函数f(x)满足f(2a+x)+f(-)=2b,则f(x)的一个对称中心为(a,b). 小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同：其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平 均值)来确定对称中心的位置。 1.(25-26高三下陕西咸阳阶段检测)若f(x)为奇函数，则函数g()=(x-2)+1的图象关于() A.点(2,1)对称B.点(-2，)对称C.点(2，)称 D.直线x=2对称 2.己知奇函数f(x)的图象关于直线x=2对称，且f)=1,则f(-3)=() A.0 B.1 C.-1 D.-3 3.(2025高三上河南鹤壁专题练习)“函数y=f)的图象关于直线x=2对称”是“函数y=fx+2) 为偶函数”的() A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 4.(2425高三下·湖北阶段检测)已知定义域为R的函数f(x)满足f()=f(4-x),且当x≤2时， f(x)=e,则() A.f(2)<f(-3)<f(4) B.f(2)<f(4)<f(-3) c.f(4)<f(2)<f(-3) D.f(-3)<f(4)<f(2) 5.已知函数1)=-+2x,则下列说法错识的是() 2 A,f(x)有三个零点 B.f(x)在(L,2)上单调递减 Q。点[3司)足曲线y=内的对你中心D了构有两个极信点 10/22 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 X-1 6.(2026湖南衡阳·模拟预测)函 y=21与y= 的图象() A,关于y轴对称 B.关于直线x=1对称 C.关于直线x=-1对称 D.关于直线x=2对称 )-f)<0. 7.已知函数fx)的定义域为R'f)=f2-对x,x+切)且x≠x都有名-石 则不等式f(3x-2)>f(2x)的解集是() B.(2,+∞) c.（ 8.(2025河北沧州模拟预测)已知函数f(x)的定义域为R,满足f(x+)为奇函数，f(x+2)为偶函数， 则() A.f(0)=1 B.f()=-1 c.f(2)=0 D.f(3)=0 9，已加西数-n+(:-儿，则西数了()的图象的对春中心的华标为(） A.(1,m) B.(L,0) C.(1,n) D.(0,1) 10.对于三次函数f(x)=ar+br2+cx+d(a≠0)，给出如下定义：设f'()是函数y=f(x)的导函数， ∫"()是f'(x)的导函数，若方程∫”(x)=0有实数解x,则称点(，f()》为函数y=f(x)的“拐点”经 过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是 1 2 3 (2025 对称中心设函数g()=2-3+,则8 2026 (2026 +8 2026 +…+g 2026 =() A.2026 B.2025 C.1012 D.1013 >题型06对称性结合周期性 【技巧通法提分快招】 函数的的对称性与周期性的关系 (1)若函数y=f有两条对称轴x=a,x=ba<b),则函数f()是周期函数，且T=2(b-0: (2)若函数y=f)的图象有两个对称中心(a,c,伍，ca<b),则函数y=f)是周期函数，且 T=2b-a); (3)若函数y=f()有一条对称轴x=a和一个对称中心(b,0a<b),则函数y三f)是周期函数，.且 11/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ΓT=4b-a) 1 1.设f(s)是定义在R上的偶函数，且满足f)=f2-)当x02时，f()=2x+1,则 A 11 > B.3 c.3 D. 2.(2425高三上安徽芜湖期末)己知函数f(x)的定义域为R,y=f()-1为奇函数，y=f(x+1)为 偶函数，若f(2025)=2,则f(3)=() A.1 B.-1 C.0 D.-3 3.(24-25高三上山西吕梁阶段检测)设定义在R上的函数f(x)的图象关于x=1对称，f(x+2)为奇函 数.若0=-=2，则2rk)=( A.0 B.2 C.4 D.2025 4.己知函数f(x)g(x)的定义域均为R,f(x+2)+f(x-2)=f(x)g(x)的图象关于直线x=-6对称， 且f(x)+g(x-6)=5,g(6)=4,则f(25)+f(26)+f(29)=() A.0 B. C.1 D.2 5.已知f(:)是定义在R上的函数，满足f(x-4)=f(),且满足f(3x-)为奇函数，则下列说法一定 正确的是() A.f(2023)=0 B.函数f(x)的一个周期为2 1 C.函数f(x)图象关于点30中心对称 D.函数∫(x)图象关于直线x=1对称 6.(2425高三上江西九江·期中)若函数fx)定义域为R,且f(2x+1)为偶函数，f:)关于点(2,3)成 中心对称，则0+f(2)++f(23)的值是() A.57 B.62 C.69 D.72 7。(2026湖南三模)已知f)是定义在R上的奇面数，f2x+2)的图象关于=对称，f=-3. 12122 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则f(985)=() A.0 B.-3 C.3 D.4 >题型07函数性质的综合应用 1.己知定义在R上的函数f()满足：f(x+)为偶函数，f(x)+f(-x-2)=0,且x,∈-1，，都有 (-x儿f(:)-f(x]>0,则() A.f(6.5)>f(4.5)>f(-5.5) B.f(6.5)>f(-5.5)>f(4.5) C.f(-5.5)>f6.5)>f(4.5) D.f(-5.5)>f(4.5)>f(6.5) 2.已知定义在R上的函数f(x)满足：f(x-1)关于(1,0)中心对称，f(x+2)是偶函数，且f(x)在[0,2] 上是增函数，则() A.f(10)<f(19)<f(13) B.f(10)<f(13)<f(19) c.f(13)<f(10)<f19) D.f(13)<f(19)<f(10) 3.已知函数y=f(x)是R上的偶函数，f(x-)+f(+3)=0,当x∈[-2,0]时，f(x)=2-2+x,则 () A.f(x)的图象关于直线x=2对称 B.4是f(x)的一个周期 c.f(x)在(0,2]上单调递减 D.f223)>f>fos): 4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R,f(x+2)为奇函数，f(x+3)为偶函数，且对任意的 ,∈(2,3)：x≠x,都有 s)-f)<0,则() x1-x2 A.f(x)的图象关于(2,0)对称 B.f(2026)=0 c.f(22)>f3.5) 13122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D.f(x)是奇函数 5.(多选题)(25-26高三上·黑龙江哈尔滨阶段检测)已知函数∫(x)对任意的x∈R都有 +引()=2引，书y=-2的图象关于百线-2对格，且对任意的，e心引，且 ≠x’都有 )f)<0,则下列结论正确的是（） X2-x1 A.f(x)是偶函数 B.f(x)的周期T=3 C.f2026)=0 D.在3，上单调递增 6.(多选题)(2025高三上湖北黄冈专题练习)已知定义域为R的函数fx)在(-1,0]上单调递减， f(1+x)=f1-x),且图象关于(2,0)对称，则() A.f(0)=f(-2) B.f(x)的周期T=2 C.f(x)在(2,3)上单调递增 D.f(x)满足f(2025)>f(2026)>f(2027) ,题型08导函数与原函数的性质联系 【技巧通法提分快招】 导函数与原函数的对称性 (1)f)为偶函数一f'()为奇函数 (2)f(x)为奇函数→∫'(x)为偶函数 (3)∫()为偶函数→f()有对称中心(0，C)注意：此处c=0或c≠0 同理： (4)f)有对称轴x=a台fx)有对称中心(a,0) (5)fx)关于(a,C)中心对称台∫(x)有对称轴x=a 注意：此处c=0或c≠0 1.(2025重庆三模)设函数f()的定义域为R,'()是f()的导函数若fx+)是奇函数，则f'()的 图象() A.关于，0)对称 B.关于x=1对称 14122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.关于（-1,0)对称 D.关于x=-1对称 2.已知函数f(x)=x+ax2+bx+l,f'(x)是f(c)的导函数，f(c)的图象关于点(1,0)中心对称，则 l4+bl=（) A.3 B.4 C.5 D.6 3.(2025山东泰安模拟预测)已知函数f(x)是定义在R上的可导函数，且f(x)满足f(2-x)f(x), f+2=-当xn)时，-2，则r9（) A. B.-5 C.② 2 D.② 2 4.(25-26高三上江苏南通阶段检测)已知函数f(x)及其导函数∫'(x)的定义域均为R,记 202 g()=f'(x),己知f(x+1)和g(x+2)都是偶函数，且g(2)=1,则之8的值为() A.1 B.-1 C.2025 D.-2025 5.(多选题)己知f(x)是定义在R上连续的奇函数，其导函数为f"(x),f()=f(4-x),则() A.∫'(x)为偶函数 B.f(x)的图象关于直线x=2对称 C.f(8)=0 D.4为f(x)的一个周期 6.(多选题)己知定义在R上的函数f(x)的导函数为f"(x),g(x)=f'(x),g()=1,且f(x+1)为奇 函数，(x-)为偶函数，则() A.f(1)=0 B.8(-3)=0 C.g(2025)=1 D.g(21)=0 实战检测分层突破验成效 重难知识巩固、 1.己知a=39,b=e3,c=log9,则a,b,c的大小关系为() A.a<b<c B.b<a<c C.a<c<b D.b<c<a 2。(2026安激安庆三模)已知函数)=G+a-。a>1)若m=(p=f得，g=仙)， 15122 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 则() A.m<p<q B.m<q<p C.q<p<m D.p<q<m 3.(2025江西一模)函数f(x)=og,(x2-2x)的单调递增区间为() A.[1,+0) B.[1+V2,+o)】 C.(2,+0) D.(1+v5,+o) 5,c 4,2026画别州二模)已偶两最f倒在(-o0)上单调适道，者a=m片，b-号，c 3,则 () A.f(a)<f(c)<f(b) B.f(b)<f(c)<f(a) C.f(b)<f(a)<f(c) D.f(a)<f(b)<f(c) 4x-1 5.(2026甘肃兰州模拟预测)函数/()-21F的大致图象为《) 6.已知f(x)是定义在R上的偶函数，且当x>0时，f(x)=2-4,则f(-log23)=() 426 9 B.、28 9 C. D. 7.(2026湖南怀化一模)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+2)+f(x)=4,且f(O)=0,则 f(2026)=() A.0 B.2 C.3 D.4 8.(2026云南曲靖·二模)己知定义域为R的函数f(x)满足f()=f(4-),且对任意：，x∈(-0,2]， 16122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当x≠x时，都有 f)fs<0,则() x-x2 A.f(2)<f(-3)<f(4) B.f(2)<f(4)<f(-3) C.f(4)<f(2)<f(-3) D.f(4)<f(-3)<f(2) 9.(25-26高三上福建泉州期中)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且f(-2-x)=f(x),f()=1,则 f(2027)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 10.己知函数f(x)=3x+mx+5满足f(1+x)=f(-x,则实数m的值为() A.-6 B.-3 C.3 D.6 3+2,x<2, 11,(2026陕西西安模拟预测)己知函数f(x)= 2-(a-)x+3,x≥2，若对任意x'xeR,且x≠x' )】f>0成立，则实数。的取值范国是（） 都有x一2 A.(-o,5] B.(-0,-1] c.[-l,5 D.[L,4] 12.(24-25高三上·江苏徐州阶段检测)设函数f(x)=2在区间(0,1)上单调递增，则a的取值范围是 () A.[-2,0) B.（-0,0] c.(0,2] D.[2,+∞) 13.已知函数f(x)为R上的奇函数，f(1+x)为偶函数，f()=-2,则f(999)=() A.1 B.2 C.-1 D.-2 14.己知函数(x)的定义域为R,f(5)=4,f(c+3)是偶函数，且f(x)在[3，+)单调递增，则() A.f(0)<4 B.f(1=4 c.f(2)>4 D.f(3)<0 15.己知f(x)是定义域为(-o,+∞)的奇函数，满足f(1-x)=f(1+x),若f()=2,则 f()+f(2)+f(3)+…+f(2026)=() A.50 B.2 C.0 D.-50 f(x)-f2)>0 16.已知定义在区间[-2,2]上的偶函数f)当x∈0,2时，满足对任意的x≠x’都有无- 成立，若f(2+m)<f(2m),则实数m的取值范围为() A.1,-3B.【-1-3) C.-1,0 17/22 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 17.若奇函数f(x)定义域为(0,0)U(0,+∞)，在区间(-o,0)上单调递增且f(2)=0,则不等式 (x-1)f(x)<0的解集为() A.（-2,0U(1,2) B.（-2,0u(2,+0) C.(-∞，-2)u(1,2) D.(-∞，-2)U(0,2) 18.季数f=方2，若a+2+o2-2则，的取位范国是() A【52到 C.[2,+oo) D.( 19.(2026重庆沙坪坝模拟预测)己知函数f(x)=1og,(4+1)-则不等式f(2x)>f(x-1)的解集为 () B.(1 C.(-1,0) D.（L+) 20.(2026河北邢台一模)已知定义在R上的奇函数f(满足f()+f(x+2)=f(2-),且f四=1，则 f14)+f(28)+f(71)+f(95)=() A.-2 B.0 C.-1 D.2 21.(2025河北张家口一模)己知定义在实数集上的函数f(x)满足以下条件：①f1+)=f1-x)；② f3+x)+f3-x)=0:③f(⑤)=1.则f0+f(2)++f(2025)=() A.-1 B.0 C.1 D.2 2.已知函数f(x)的定义域为R,f()-4为奇函数，f(x+4)为偶函数，则 f(①+f(2)+f(3)+…+f(160)=() A.480 B.320 C.640 D.1280 23.(25-26高三上·上海·期中)已知函数的定义域为R,且满足下列三个条件： fs)-f,0; ①对任意的xx∈4,8别当x<时，都有飞-丙 18122 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②f(x+4)=-f(x)； ③y=f(x+4)是偶函数： 若a=f(6),b=f(11),c=f(2025),则a,b,c的大小关系正确的是() A.a<c<b B.a<b<c C.b<a<c D.c<b<a 24.设函数f(x)的定义域为R,f(x-)为偶函数，f(x+)为奇函数，当x∈[l,3]时，f(x)=a·2+b, a,beR若f(9)+f)=6,则f(2026)=() A.-2 B.2 C.3 D.6 25.(25-26高三上安徽开学考试)己知函数f()的定义域为R,f(-x+)-f(x+)=0,函数 -(+号e)的图象关于直袋x=对称，则定/0=() A.-2028 B.0 C.1014 D.2028 26.已知函数f(x)是定义域为R的奇函数，且f(2x+)为偶函数， 则下列结论一定成立的是() A⑧ ) c. D.8 27.(2025辽宁·三模)已知定义在R上的函数f)满足f(2x+)为奇函数，且fw)的图象关于直线 220=() A.-1 B.0 C.1 D.2 28 (2026湖北宜昌二模)己知函数f()=c-anx+b 的图象关于直线x=1对称，则a+b=（) A.2 B.0 c.-1 D.-2 29.己知函数f(x)的导函数f'(x)为偶函数，函数f(x+1)为偶函数，f(0)=1,f()=2,则 f()+f(2)+f(3)++f(2025)=() A.2026 B.2025 c.1 D.0 30.(2025海南海口模拟预测)已知函数f)的定义域为R,其导数f'()=g(),且f()和gx+)都 为奇函数.若f(-I)=1,则f(2024)+f(2025)=() A.1 B.0 c.-1 D.-2 31.已知f(x)为R上的奇函数，f()为f(x)的导函数，若f(x)=f(2-x)+4x-4,则f'(2025)= 19122 可学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 () A.1 B.-2025 C.2 D.2025 32.(24-25高三上海南省直辖县级单位开学考试)已知函数∫(x)的定义域为R,且f(x+2)-2为奇函 数.+)为锅商数：1间=0，则三=() A.4050 B.4048 C.4044 D.4036 38.已知函数四=2°-1+2+，老不等式一9+儿3-0有解，则实数n的取值范 2 围为() A.(-0,2V2-1) B.(-2√2+L,+o0) C.(-22+1,2W2-1) D.(2W2-1,+0) 34.(25-26高三上江西景德镇期末)己知定义在R上的函数f(x)在区间[0,3]上单调递增，且满足 f(6+x)+f(x)=2f(-3),函数y=f(x-3)的对称中心为(6,0)，则下述结论正确的是()（注： ln3≈1.099) A.f(2026)>0 (sin) D.f(3)<f(21og,192) ◆创新能力提升、 1.已知函数f()为定义在R上的奇函数，函数F()=f(r-)+1.则 3 3999 F 2 +E +…+F 2000 (2000 (2000 2000 =() A.2000 B.1999 C.4000 D.3999 2.已知函数f(:)=43+4+元的最小值为5，则关于m的不等式f(m+2)<f(2m-32)的解集为() A.（-o,4)U(12,+o） B.(4,12) C.(-o,2)U(14,+∞）D.(2,14) 3.已知f(x)为R上的奇函数，f)=1,若对x,x2∈(0，+o),当x>x2时，都有(x-) [.<0,则不等式++≥1的解集为() A.(-3,1) B.(-2,-1)(-1,0) 20122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.（-o,-I)U(-1,1) D.(-0,-3)U1,+0) 4.(2026黑龙江哈尔滨一模)已知函数f,是定义在R上的偶函数，y=fx-)关于(2,0)中心对称， 则下列说法正确的是() A.f(x)的一个周期为6 B.f(-)=0 C.f2)=0 D. 艺m-0 5.(2026甘肃张掖二模)己知定义在R上的函数f(x)和g(x)满足f(x+1)-g(x+4)=-1, gf0-对-3：若足数且70=3为立6小-() A.34 B.36 C.38 D.40 6.(2526高三下北京阶段检测)设函数f()-（+0(1+)+1(aeR),下列说法正确的是() A.存在实数a,使得曲线y=f(x)为轴对称图形： B.存在实数a,使得曲线y=f(x)为中心对称图形： C.存在实数。’ 使得曲线y= 为轴对称图形： D.存在实数。’使得曲线少= 为中心对称图形 7.(多选题)(25-26高三下山东聊城阶段检测)已知函数f(x)的定义域为R,且f(x+2)-2为奇函 数，f(2x+)为偶函数，f()=0,则下列结论正确的是() A.f(x)的图象关于点(2,2)对称 B.f(0)=0 C.f(x)是周期函数 D.f(1)+f(2)+…+f(15)=30 8.(多选题)己知周期函数f(x)及其导函数f'()的定义域均为R,记g(x)=f'(x),若f(2x-)为奇函 数，8(x+)为偶函数，则下列结论不一定正确的是() A.f()=0B.g(x)的周期为2C.g(-1)=g() D.f(3)=0 9.(多选题)(2026湖南长沙三模)已知函数f(x)及其导函数∫(x)的定义域均为R,若∫(2)=3， 函数f(x+1)和f(x+2)均为偶函数，则() A.f(0)=0 B.f(x+4)=f(x) 21122 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.函数f()的图象关于点（③，0）对称 r0=3 D.】 10.(多选题)(2026福建泉州模拟预测)己知定义在R上的连续函数f(:)的导函数是∫'()，且满足 f(-x)=f(x),f(1-2x)1为奇函数，则() A,f'(0)=1 。.) 3 D.若x=2是f(x)的一个极值点，则函数f"(x)在区间[0,4]至少有7个零点 22122 重难点培优03 函数的单调性、奇偶性、周期性、对称性的综合应用 目录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01 知识重构·重难梳理固根基 1 02 题型精研·技巧通法提能力 4 题型01 单调性及其应用（★★★★★） 4 题型02 奇偶性及其应用（★★★★★） 7 题型03 单调性综合奇偶性（★★★★★） 11 题型04 周期性及其应用（★★★★★） 15 题型05 函数的对称性及其应用（★★★★★） 18 题型06 对称性结合周期性（★★★★★） 23 题型07 函数性质的综合应用（★★★★★） 27 题型08 导函数与原函数的性质联系（★★★★） 32 03 实战检测·分层突破验成效 35 重难知识巩固 35 创新能力提升 52 知识重构·重难梳理固根基 知识点01 单调性技巧 （1）几条常用的结论： ①若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数； ②若和均为增（或减）函数，则在和的公共定义域上为增（或减）函数； ③若且为增函数，则函数为增函数，为减函数； ④若且为减函数，则函数为减函数，为增函数． 知识点02 奇偶性技巧 （1）函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称． （2）奇偶函数的图象特征． 函数是偶函数函数的图象关于轴对称； 函数是奇函数函数的图象关于原点中心对称． （3）若奇函数在处有意义，则有； 偶函数必满足． （4）偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相同． （5）若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记，，则． （6）运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，如． 对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶． （7）复合函数的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇． （8）常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数． ②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数． ②函数． ③函数类型的一切函数． ④常数函数 知识点03 周期性技巧 知识点04 函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且． 知识点05 对称性技巧 （1）若函数关于直线对称，则． （2）若函数关于点对称，则． （3）函数与关于轴对称，函数与关于原点对称． 题型精研·技巧通法提能力 题型01 单调性及其应用 【技巧通法·提分快招】 1、利用单调性解不等式的相关结论 （1）正向结论：若在给定区间上单调递增，则当，且时，；当，且时，． （2）逆向结论：若在给定区间上单调递增，，则当时，；当时，． 2、解决含参数的函数的单调性问题应注意两点 首先分析每段上的单调性，其次是分界点处函数值的大小．若是增函数，则分界点左侧函数值小于或等于右侧函数值；若是减函数，则分界点左侧函数值大于或等于右侧函数值． 3、设，， 若有或，则在闭区间上是增函数； 若有或，则在闭区间上是减函数 1．（2026·陕西西安·三模）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由的值域确定大小关系. 【详解】因为，所以． 2．（2026·安徽芜湖·二模）已知，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数在上均为增函数， 则在上为增函数， 由，得，即， 则不等式的解集为. 3．（2026·贵州遵义·模拟预测）设函数，则的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，则， 是指数函数，且在上单调递增， 是二次函数，图象开口向下，对称轴为，且在上单调递增，在上单调递减， 根据复合函数“同增异减”的原则，的单调递增区间为．. 4．（2026·甘肃白银·三模）“”是“函数在上单调递增”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】利用给定单调性求出的取值范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】函数，函数的单调递增区间是， 由函数在上单调递增，得，则，因此， 所以“”是“函数在上单调递增”的充分不必要条件. 5．（2026·江西·二模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因函数在上单调递减，在上单调递增. 故. 设在上单调递增且恒为正数，而在上单调递增， 由复合函数的单调性可知在上单调递增， 所以，即． 6．（25-26高三下·安徽阜阳·阶段检测）若函数在上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为函数在上单调递增， 所以，解得． 7．（2026·陕西榆林·模拟预测）定义在上的函数满足，，都有成立，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题确定函数的单调性，通过和两类情况讨论求解即可. 【详解】由题知函数在上单调递增， 当时，不等式可化为，即，解得； 当时，不等式可化为 ，即，此时无解. 综上，不等式 的解集为. 8．（25-26高三下·河北沧州·阶段检测）已知函数在区间存在单调递增区间，则正数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数（型）复合函数单调性分析求解即可. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为， 令，二次函数开口向下，对称轴为， 由，所以， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 又在上单调递增， 所以要使函数在区间上存在单调递增区间， 则且 即且，解得，即正数的取值范围是. 题型02 奇偶性及其应用 【技巧通法·提分快招】 1、奇偶函数的性质 （1）偶函数⇔f(－x)＝f(x) ⇔关于y轴对称⇔对称区间的单调性相反； （2）奇函数⇔f(－x)＝－f(x) ⇔关于原点对称⇔对称区间的单调性相同； 2、奇偶性技巧 （1）若奇函数在处有意义，则有； （2）对于运算函数有如下结论：奇奇=奇；偶偶=偶；奇偶=非奇非偶； 奇奇=偶；奇偶=奇；偶偶=偶. (3)常见奇偶性函数模型 奇函数：①函数或函数．②函数． ③函数或函数 ④函数或函数． 注意：关于①式，可以写成函数或函数． 偶函数：①函数．②函数．③函数类型的一切函数． 3、已知奇函数，，则 （1） （2） 1．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得. 当时，， ，. 所以函数为奇函数. 所以. 2．（2026·北京海淀·三模）以下函数既是偶函数又在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：，定义域为， 因为在单调递减，在单调递增，且是周期函数，在单调递增，在单调递减， 所以在上不能满足单调递增，所以A错误； 选项B：，定义域为，，是奇函数，所以B错误； 选项C：，定义域为，不关于原点对称，为非奇非偶函数，所以C错误； 选项D：，定义域为，，是偶函数； 又， 且当时，，所以， 所以在上单调递增，所以D正确. 3．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 4．（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A项；B选项，对函数求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可； D选项，判断所给函数的定义域即可. 【详解】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误； B选项，取，则，令，得或，令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误； D选项，，由可得，由图知，D错误. 5．已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】根据函数的奇偶性即可求解. 【详解】令，所以最大值和最小值分别为， 又，故为奇函数， 故的图象关于原点对称，故, 故选：D 6．已知奇函数是定义在R上的单调函数.若正实数a，b满足，则的最小值是 （    ） A．8 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】先根据函数是奇函数及单调性得出，再应用常值代换及基本不等式计算求解最小值. 【详解】∵是定义在R上的奇函数， ∴， 又是定义在R上的单调函数，故，即． 又均为正数，所以， 当且仅当，即时等号成立，取的最小值是 8. 7．已知函数是定义域为的奇函数，且当时，，则的解析式是_________. 【答案】 【分析】设，则，代入已知条件，结合奇函数定义可得. 【详解】因为函数是定义域为的奇函数，所以，且； 因为当时，； 所以当时，，所以； 因为； 所以的解析式是. 故答案为： 8．已知函数是定义域上的奇函数，则的值为__________． 【答案】/0.5 【详解】令得，故定义域为， 因为是定义域上的奇函数，所以， 即， 故，所以. 9．已知函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，若 ，则______． 【答案】 【详解】函数是定义在 R上的奇函数，当时， ，此时， 当时，，则，此时， 所以， 若 ，设 ，则有 ，解得， 由，解得. 题型03 单调性综合奇偶性 【技巧通法·提分快招】 单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题 ①在上是奇函数，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 在上是奇函数，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ②在上是偶函数，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 在上是偶函数，且在单调递减 若解不等式 ，则有（变号加绝对值）； ③关于对称，且单调递增 若解不等式 ，则有 ； 关于对称，且单调递减 若解不等式 ，则有 ； ④关于对称，且在单调递增 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 关于对称，且在单调递减 若解不等式 ，则有（不变号加绝对值）； 1．已知函数定义域为R，满足，对于，，且，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知，故是偶函数，则， 又，，且，都有， 故在上单调递减， 又，则，即． 2．已知函数，则不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的奇偶性和单调性，再利用函数的奇偶性、单调性将原不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】函数的定义域为，，故为上的奇函数. ，根据基本不等式，得，当且仅当时取等号. 又，因此，且等号不能同时取到， 因此恒成立，所以在上单调递增. 不等式等价变形为，由单调性得， 即，解得. 所以不等式的解集为. 3．已知是定义在上的奇函数，且在区间上单调递减，若关于实数的不等式恒成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先应用奇函数化简再结合不等式得出对数不等式，最后结合对数的单调性解不等式. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以是偶函数，， 所以可化为： ，又在区间上单调递减，所以在上递增， 所以，即或， 即或． 故选：． 4．已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分析函数的奇偶性，单调性，再利用中间值比较大小即可． 【详解】由的定义域为，即定义域关于原点对称， 又，则是偶函数， 又在上单调递增，且在上也单调递增， 所以在上单调递增， 由， 又在上单调递减， 则在上单调递增，且， 所以， 所以， 所以，即． 5．已知函数满足，，且对任意的，，，都有，则满足不等式的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证明为奇函数且在上为增函数，得到在R上为增函数．再由题得，进而得，即得解. 【详解】令, 因为，所以为奇函数， 所以为奇函数， 又，即 所以在上为增函数， 所以在R上为增函数． 因为所以. 得， 即 所以， ． 6．（多选题）已知，且实数满足，则（     ） A． B．的最大值为1 C．的最大值为4 D．的最小值为2 【答案】ABD 【分析】根据题意，求得函数为奇函数，且在为单调递增函数，得到，结合选项，结合一次、二次函数的性质，即可求解. 【详解】由，可得，所以为奇函数， 又由函数和都是单调递增函数，所以在为单调递增函数， 对于A，因为，可得， 所以，即，所以A正确； 对于B，由，可得，则， 当时，取得最大值，最大值为，所以B正确； 对于C，由，可得，所以的最大值为，所以C不正确； 对于D，由，则， 当时，的最小值为，所以D正确. 故选：ABD. 7．已知函数是定义域在上的奇函数，且在上为增函数，若，则实数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先判断在上为增函数，再根据奇偶性和单调性可得关于的不等式组，从而可得实数的取值范围. 【详解】因为为奇函数且在上为增函数，故在上为增函数， 因为为上的奇函数，故即为， 故，故. 8．已知定义在上的偶函数在上是严格增函数，若，则的取值范围为_________. 【答案】 【分析】根据偶函数在上是严格增函数，将不等式转化为求解. 【详解】因为为偶函数，故即为， ∵偶函数在上是严格增函数，故， 平方得，即， 解得， 故答案为： 9．已知为定义在上的奇函数，在上单调递增，且，，则不等式的解集为_________. 【答案】 【分析】根据题意，得到在上为单调递增，且，分，和，三种情况讨论，分别求得不等式的解集，即可求解. 【详解】由函数为定义在上的奇函数，在上单调递增函数， 则函数在上也是单调递增函数，且， 当时，因为，不等式，即为，可得 当时，因为，满足； 当时，因为，可得， 则不等式，即为，可得， 综上可得，不等式的解集为. 题型04 周期性及其应用 1．（2026·四川遂宁·二模）已知定义域为的函数满足，当时，，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】先根据周期性得出，再根据解析式及对数运算求解. 【详解】因为函数满足，所以， 当时，，则. 2．若函数满足，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可得函数周期为4，由求解即可. 【详解】因为可得的周期为4，则. 3．已知定义在上的函数满足，且时，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】由题意可得函数周期为6，利用周期函数的概念与性质求解. 【详解】因为，故， 所以函数周期为6， 故. 故选：A. 4．（25-26高三下·河南周口·阶段检测）已知是定义在上的函数，，当时，，则（    ） A．-3 B．-1 C．1 D．3 【答案】D 【分析】先根据已知条件判断为周期为6的函数，进而求出结果. 【详解】. 两式相加，得， 是周期函数，且. 5．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（） A．1 B．0 C．1013 D．2026 【答案】A 【分析】由函数轴对称性质与奇函数性质推得周期为4,求出一个周期内四项函数值之和为0,再用整除余数确定2026项余下对应,相加得出最终结果. 【详解】由已知，且是定义域为的奇函数， 可得， 即，所以， 即函数的最小正周期为4，即，， 又，， 所以，，， 所以， 所以． 6．函数的定义域为R，且，，则（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】对方程进行赋值得函数为偶函数,且周期为6,即可求解． 【详解】因为函数的定义域为R，且， 所以，得，得函数为偶函数， 由，得， 所以，两式相加得， 得，得到, 则的周期为6，故， 又，， 得，则, 又，所以， 所以，则. 故选：A 题型05 函数的对称性及其应用 【技巧通法·提分快招】 1、轴对称性的常用结论如下： （1）若函数满足,则的一条对称轴为 （2）若函数满足,则的一条对称轴为 （3）若函数满足,则的一条对称轴为 （4）f(a－x)= f(b＋x)⇔f(x)的图象关于直线x=对称； 小建议：轴对称的特性表现为：等式两侧的外部符号保持相同；其求解方法是：通过计算两侧的平均值来找出对称轴。 2、中心对称结论如下： （1）若函数满足，则的一个对称中心为 （2）若函数满足，则的一个对称中心为 （3）若函数满足，则的一个对称中心为. 小建议：点对称的特性是：等式两边外部的符号不相同；其求解方法是：通过计算等式两边的中点（即平均值）来确定对称中心的位置。 1．（25-26高三下·陕西咸阳·阶段检测）若为奇函数，则函数的图象关于（   ） A．点对称 B．点对称 C．点对称 D．直线对称 【答案】A 【分析】根据函数的平移变换求解即可. 【详解】因为为奇函数，则关于原点对称， 根据函数的平移变换，函数的图象是将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位， 则对应的对称中心也向右平移个单位，再向上平移个单位， 故关于点对称. 2．已知奇函数的图象关于直线对称，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由奇函数性质以及图象关于直线对称将转化为已知来求解. 【详解】因为是奇函数，所以. 又因为的图象关于直线对称， 所以. 已知，故， 所以. 3．（2025高三上·河南鹤壁·专题练习）“函数的图象关于直线对称”是“函数为偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】C 【分析】根据对称和偶函数定义判断. 【详解】若函数的图象关于直线对称，则， 令，则，所以，是偶函数， 所以函数是偶函数， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充分条件； 若函数是偶函数，令，则是偶函数， 所以，又，所以， 即，所以的图象关于直线对称， 所以“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的必要条件. 综上可知，“函数的图象关于直线对称”是“函数是偶函数”的充要条件， 故选：C. 4．（24-25高三下·湖北·阶段检测）已知定义域为的函数满足，且当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可得的图象关于直线对称，由解析式可得在上单调递增，进而可得结论. 【详解】由可知，函数的图象关于直线对称， 当时，，所以函数在上单调递增， 所以在上单调递减，又， 因为，所以，即. 故选：D. 5．已知函数 ，则下列说法错误的是（   ） A．有三个零点 B．在上单调递减 C．点是曲线的对称中心 D．有两个极值点 【答案】A 【分析】根据函数零点的定义判断A；根据导数与单调性及极值的关系判断BD；根据函数的对称性验证C. 【详解】对于A：， 令，则 ，所以或. 方程，，无实根。 所以只有一个零点，A错误. 对于BD：. 令，即，解得或. 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增,B正确. 所以当时取得极大值，为， 所以当时取得极小值，为，D正确. 对于C：若点是曲线的对称中心， 则. ， ， 所以， 故点是曲线的对称中心，C正确. 6．（2026·湖南衡阳·模拟预测）函数与的图象（   ） A．关于y轴对称 B．关于直线对称 C．关于直线对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】对指数函数化简变形，利用函数对称的代数判定规则直接求解对称轴. 【详解】将函数进行指数变形，得， 设，代入，可得， 因此，第二个函数即为. 由函数图象对称性质，与的图象关于直线对称， 此处，即，可得两函数图象关于直线对称. 7．已知函数的定义域为，，对，且都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先确定函数的对称性与单调性，将函数值不等式转化为自变量到对称轴距离的绝对值不等式求解. 【详解】由，可得函数的图象关于直线对称； 对，且都有， 则在上单调递减， 由对称性可得在上单调递增； 结合函数单调性与对称性，等价于到对称轴的距离小到的距离，即； 所以不等式等价于，即； 即，展开整理得，解得. 故不等式的解集是. 8．（2025·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，满足为奇函数，为偶函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数为奇函数，为偶函数的条件，建立关于的方程，通过带入特定值推导各选项的函数值即可. 【详解】根据题意，因为函数为奇函数，所以， 即， 所以的图象关于点成中心对称，所以. 又因为为偶函数，所以， 即，所以的图象关于直线对称，所以. 故选：D. 9．已知函数，则函数的图象的对称中心的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若函数的图象关于点对称，则对定义域内任意满足，结合函数定义域先确定对称中心横坐标的可能值，再代入验证即可. 【详解】∵ 要使函数有意义，则，即，解得，故函数定义域为. 若函数存在对称中心，则横坐标为区间中点，接下来验证的值： ， ， ∴ ， 即对任意定义域内的，都满足，故函数的图象的对称中心为. 【点睛】方法点睛：求解函数对称中心时，若函数定义域为对称区间，可先猜想对称中心横坐标为区间中点，再利用对称中心的性质代入验证，计算时可结合对数运算、奇偶函数的性质简化运算. 10．对于三次函数，给出如下定义：设是函数的导函数，是的导函数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”.经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数的图象都有对称中心，且“拐点”就是对称中心.设函数，则（    ） A．2026 B．2025 C．1012 D．1013 【答案】B 【分析】先求得的对称中心，然后利用倒序相加法求得正确答案. 【详解】因为，所以，. 令，解得，而， 则的图象关于点对称，所以， 则 . 题型06 对称性结合周期性 【技巧通法·提分快招】 函数的的对称性与周期性的关系 （1）若函数有两条对称轴，，则函数是周期函数，且； （2）若函数的图象有两个对称中心，则函数是周期函数，且； （3）若函数有一条对称轴和一个对称中心，则函数是周期函数，且. 1．设是定义在R上的偶函数，且满足，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的性质求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】因为，所以函数的对称轴为. 又因为函数是偶函数，所以轴为其一条对称轴. 所以函数的最小正周期为. 所以 2．（24-25高三上·安徽芜湖·期末）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，若，则（   ） A．1 B． C．0 D． 【答案】C 【分析】由和推出，进而得周期即可求解. 【详解】由为奇函数有， 为偶函数有， 所以有，即， 所以函数的周期为，所以， 又， 故选：C. 3．（24-25高三上·山西吕梁·阶段检测）设定义在上的函数的图象关于对称，为奇函数，若，则（   ） A．0 B．2 C．4 D．2025 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合奇函数定义及对称性求出函数的周期，进而求出函数值. 【详解】在上的函数的图象关于对称，则， 由为奇函数，得，于是， ，因此函数是以4为周期的周期函数， 由，得，由，得， 而，则，所以. 故选：B 4．已知函数的定义域均为的图象关于直线对称，且，则（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由已知条件可得为偶函数，且周期为12，再结合周期和已知条件可求得结果. 【详解】的图象关于直线对称，， ，， ∵， ，则为偶函数． 由，得， 由，得， 则，则， ，则，的周期为12． ，，则， 的图象关于点对称，． ，，则， ，. 5．已知是定义在上的函数，满足，且满足为奇函数，则下列说法一定正确的是（   ） A． B．函数的一个周期为2 C．函数图象关于点中心对称 D．函数图象关于直线对称 【答案】A 【分析】由易得图象关于直线对称，再由为奇函数，得到图象关于对称，且，令得，并结合得到，函数的一个周期为4，从而判断出四个选项． 【详解】因为满足， 所以， 所以函数图象关于直线对称， 因为为奇函数，所以， 即， 则函数图象关于对称， 则，令得， 由和，得， 所以，即， 故，所以函数的一个周期为4， 所以，A正确. 取，则， 为奇函数， 但，， 此时图象不关于点中心对称，不关于直线对称，2也不是函数的一个周期， 所以BCD错误； 故选：A. 6．（24-25高三上·江西九江·期中）若函数定义域为，且为偶函数，关于点成中心对称，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题设得到是周期为的周期函数且关于对称，利用周期性、 对称性求得，最后应用周期性求结果. 【详解】由偶函数，知的图象关于直线对称， 因图象关于点成中心对称，则①，且， 所以 ， 所以是周期为的周期函数. 令代入①，可得，而， 所以， 综上，. 故选：C 7．（2026·湖南·三模）已知是定义在上的奇函数，的图象关于对称，，则（    ） A．0 B． C．3 D．4 【答案】C 【分析】由奇函数定义可得，由对称性性质可得，再证明函数为周期为的周期函数，结合周期性性质和奇函数性质求结论. 【详解】因为是定义在上的奇函数， 所以， 因为的图象关于对称， ， 令可得，， 所以，故函数的一个周期为4， 所以． 题型07 函数性质的综合应用 1．已知定义在上的函数满足：为偶函数，，且，都有，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的对称中心及对称轴的定义得出周期，进而单调性结合对称性即可比较. 【详解】因为为偶函数，所以的图象关于对称， 因为，所以的图象关于对称， 所以的周期为. 又因为，都有， 所以在上单调递增，所以在上单调递减. 而，，所以. 故选：C. 2．已知定义在R上的函数满足：关于中心对称，是偶函数，且在上是增函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双对称函数来证明函数的周期性，再利用单调性可以比较大小. 【详解】因为关于中心对称， 所以对称中心是，即是奇函数，故， 因为是偶函数，所以的对称轴是，即， 所以中，将替换为，得到， 故，将替换为，得到， 所以，因此的周期为8. 所以，，， 因为在上递增且是奇函数，所以在上递增， 所以，即. 故选：D. 3．已知函数是上的偶函数，，当时，，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．4是的一个周期 C．在上单调递减 D．： 【答案】A 【分析】易得为奇函数，利用函数的周期性与奇偶性结合选项逐个判断即可. 【详解】由题知， 因为函数是上的偶函数， 所以为奇函数，所以 对于A：因为 所以，从而 所以 所以的图象关于直线对称，A选项正确； 对于B：由A知 所以，从而 所以是以8为周期的函数，B选项错误； 对于C：当时，为增函数， 又因为为奇函数 所以在上单调递增，C选项错误； 对于D：因为 所以 又 因为在上单调递增 所以，D选项错误； 故选：A. 4．（多选题）已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，且对任意的，，都有，则（     ） A．的图象关于对称 B． C． D．是奇函数 【答案】ABD 【分析】对于A，通过为奇函数可得，那么函数图象关于点对称；对于B，若为偶函数，则，结合选项A可以推导出周期，从而；对于C，由题可得在上单调递减，从而判断；对于D，因为，，可得. 【详解】对于A，若为奇函数，则，那么函数图象关于点对称，A正确； 对于B，若为偶函数，则，那么， 由选项A可知，那么 ， 所以，，那么， 所以，，所以函数的周期，，B正确； 对于C，对任意的，，，都有，则函数在上单调递减，，C错误； 对于D，由选项AB可知，函数的周期，所以， 又函数图象关于点对称，所以， 所以，故为奇函数，D正确． 5．（多选题）（25-26高三上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知函数对任意的都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（   ） A．是偶函数 B．的周期 C． D．在上单调递增 【答案】AB 【分析】根据函数图象的平移可得的图象关于直线对称，判断A；利用赋值法可判断B；根据函数的周期可判断C；结合函数的单调性判断D. 【详解】因为的图象关于直线对称，的图象可由的图象向左平移2个单位得到， 故的图象关于直线对称，即函数为偶函数，A正确； 在中，令，可得 因为是偶函数，所以，则， 故，即，故的周期，B正确； 由于对任意的，，且，都有， 故在上单调递减，，故； 而，C错误； 由于在上单调递减，，故在上不可能单调递增，D错误， 故选：AB 6．（多选题）（2025高三上·湖北黄冈·专题练习）已知定义域为R的函数在上单调递减，，且图象关于对称，则（    ） A． B．的周期 C．在上单调递增 D．满足 【答案】AC 【分析】根据条件，研究函数的性质，逐项判断即可. 【详解】在中，令，可得， 又，所以函数的图象关于直线成轴对称，所以. 由函数的图象关于点对称，所以. 所以. 用代替，可得， 再用代替，可得， 所以，所以函数是以为周期的周期函数， 因为，所以不是函数的周期.故B错误； 因为，且，所以，故A正确； 设，则， 因为在上单调递减，所以， 又，，所以，所以函数在上单调递增.故C正确； 又，，. 在中，令得：， 因为函数周期为，所以，由A选项可得，. 在中，令，可得. 又，但根据题意，函数在上单调递减，而非在上单调递减， 所以的符号无法确定，故与的大小无法确定.故D错误. 故选：AC 题型08 导函数与原函数的性质联系 【技巧通法·提分快招】 导函数与原函数的对称性 （1）为偶函数为奇函数 （2）为奇函数为偶函数 （3）为偶函数有对称中心 注意：此处 或 同理： （4）有对称轴有对称中心 （5）关于中心对称有对称轴 注意：此处 或 1．（2025·重庆·三模）设函数的定义域为，是的导函数.若是奇函数，则的图象（    ） A．关于对称 B．关于对称 C．关于对称 D．关于对称 【答案】B 【分析】由题意得，求导得，即可求解. 【详解】因为是奇函数，所以，即， 对其求导，则有，所以关于直线对称. 故选：B 【点睛】结论点睛：本题考查对称性，一般根据以下结论进行判断： （1）对于，若，则函数周期为； （2）对于，若，则函数关于直线对称； （3）对于，若，则函数关于点对称. 2．已知函数是的导函数，的图象关于点中心对称，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【详解】已知，所以. 因为的图象关于点中心对称. 所以根据中心对称性质可得对任意实数恒成立. 对求导得，即 所以导函数的函数图像关于对称，即，解得. 此时， 因为的图象关于点中心对称，所以，解得. 故. 3．（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数是定义在上的可导函数，且满足，，当时，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先判断函数的周期性，从而得到导数的周期性，再根据导函数的对称性和周期性可求 . 【详解】由可得， 所以函数周期是，且的周期也是. 因为，故， 故的图象关于直线对称. 对求导得，. 则 故选：B. 4．（25-26高三上·江苏南通·阶段检测）已知函数及其导函数的定义域均为，记，已知和都是偶函数，且，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由是偶函数，得关于点成中心对称.再由函数是偶函数，得是函数的一个周期，进而得所求值. 【详解】由是偶函数，得，再对等式两边求导得. 因，所以，即——①. 故函数关于点成中心对称，且定义域为，所以，. 又函数是偶函数，得，即——②. 故函数关于成轴对称，所以. 再由①②得，所以，故， 所以是函数的一个周期，且. 所以， 所以. 故选：B. 5．（多选题）已知是定义在上连续的奇函数，其导函数为，则（    ） A．为偶函数 B．的图象关于直线对称 C． D．4为的一个周期 【答案】ABC 【分析】对于A，由是奇函数得，求导可得为偶函数；对于B，根据得的图象关于直线对称；对于C，再利用对称性和奇偶性可确定CD. 【详解】因为是定义在上连续的奇函数，所以，两边同时求导得 ，即为偶函数，故A正确； 又，即， 所以的图象关于直线对称，故B正确； 为奇函数，， 即，故C正确； 为奇函数，， ，即， 所以的一个周期为8，故D错误； 故选：ABC. 6．（多选题）已知定义在上的函数的导函数为，，，且为奇函数，为偶函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用函数的奇偶性，对称性，周期性，导数几何意义，即可逐个选项判断. 【详解】因为为奇函数，为偶函数， 所以，， 所以关于对称，关于对称， 关于对称， 又，则关于对称， 所以是以为周期的函数， 令，则，得，A正确； 令，则，B错误； 因为， 所以，C正确； 因为， 所以，D错误. 故选：AC 实战检测·分层突破验成效 重难知识巩固 1．已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性求解. 【详解】因为，， ， 所以. 2．（2026·安徽安庆·三模）已知函数，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性确定函数的单调性，进而确定的大小关系. 【详解】当时，函数在上都单调递增，而函数在上单调递增， 因此函数是上的增函数，，所以. 3．（2025·江西·一模）函数的单调递增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求函数的定义域，再利用复合函数的单调性即可求解. 【详解】由且，得，即或， 所以函数的定义域为， 因为在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 又函数为增函数， 所以函数的单调递增区间为. 故选：B. 4．（2026·山西朔州·二模）已知偶函数在上单调递增，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】结合单调性和偶函数的性质求解即可. 【详解】 因为，所以，故， 又易知，即，所以. 因为偶函数在上单调递增，所以在上单调递减， 故. 5．（2026·甘肃兰州·模拟预测）函数的大致图象为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，函数的定义域为，关于原点对称， 由，所以为奇函数，排除A； 又，排除C和D. 6．已知是定义在上的偶函数，且当时，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵ 是定义在上的偶函数，∴ ，故. ∵ ，且当时，， ∴ 代入得. 根据对数恒等式，可得. 又∵ ， ∴ ，即. 故选:C. 7．（2026·湖南怀化·一模）已知定义在上的函数满足，且，则（    ） A．0 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的周期，结合函数周期性求值即可. 【详解】因为，所以， 所以，即. 所以是周期为4的周期函数. 所以. 在中，令，则，所以. 因此. 8．（2026·云南曲靖·二模）已知定义域为的函数满足，且对任意，，当时，都有，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的对称性及单调性的定义确定区间单调性，再由单调性判断函数值的大小. 【详解】由得函数的图象关于对称， 根据已知及单调性的定义，知在上为减函数， 所以在上为增函数， ，且， ． 9．（25-26高三上·福建泉州·期中）已知是定义在上的奇函数，且，则（   ） A．-1 B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性和对称性推出4是函数的一个周期，利用周期性和奇偶性即可求得答案. 【详解】因是定义在上的奇函数，则， 又，则， 故，即，则， 故4是函数的一个周期， 于是. 故选：A. 10．已知函数满足，则实数的值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据得到对称轴，即可得到结果. 【详解】函数是二次函数，其中， 所以对称轴， 因为，所以函数对称轴为， 即，解得， 故选：A. 11．（2026·陕西西安·模拟预测）已知函数若对任意，，且，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，在上是增函数， 所以在上单调递增，则①， 又时，， 时，，故②， 联立①②，解得． 12．（24-25高三上·江苏徐州·阶段检测）设函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由增函数结合函数在区间上单调递增得函数在区间上单调递增，再由一元二次函数图像性质即可求解. 【详解】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 所以，解得. 故选：B. 13．已知函数为上的奇函数，为偶函数，，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先根据条件求出周期，利用周期的性质可求答案. 【详解】因为为偶函数，所以， 又为R上的奇函数，即，则， 所以是周期为4的周期函数，所以． 故选：B 14．已知函数的定义域为，，是偶函数，且在单调递增，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析函数的对称性与单调性，逐项判断即可. 【详解】因为函数的定义域为，且是偶函数， 则对任意的，，故函数的图象关于直线对称， 所以， 因为函数在单调递增，故函数在上单调递减， 对于A选项，，A错； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，与的大小关系不确定，D错. 故选：B. 15．已知是定义域为的奇函数，满足，若，则（   ） A．50 B．2 C．0 D． 【答案】B 【分析】先利用奇函数性质和给定的对称关系推导出周期为4的结论；再计算一个周期内各整数点的函数值，并得出周期和为零的结果；最后利用周期性和余项求和得出所求总和. 【详解】由题意，是定义在上的奇函数， 有 又，令替换得： 则所以是周期为的周期函数， 计算一个周期内的值：， ，， 一个周期和， 因为， 所以. 16．已知定义在区间上的偶函数，当时，满足对任意的，都有成立，若，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】在上单调递增，结合定义域和奇偶性，得到不等式组，求出答案. 【详解】对任意的，都有，故在上单调递增， ，故， 解得，故实数的取值范围为. 17．若奇函数定义域为，在区间上单调递增且，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】原不等式等价于或，然后由函数单调性，奇偶性结合题设可得答案. 【详解】因为奇函数在区间上单调递增且，所以函数在区间上单调递增且， 因此，当或时，；当或时，， 不等式等价于或，解得或， 所以不等式的解集为. 18．函数，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】构造函数，证明函数的奇偶性，推理得到其单调性，利用函数的单调性和奇偶性求解不等式即可. 【详解】设，该函数的定义域为， ，都有，且， 所以函数是奇函数， 因是上的增函数，则是上的增函数且恒为正数， 故是上的减函数，是上的增函数， 由，得，则， 则，解得. 19．（2026·重庆沙坪坝·模拟预测）已知函数 则不等式的解集为（    ） A． B． C．(1，0) D． 【答案】B 【分析】首先化简函数，再判断函数的奇偶性和单调性，根据函数的性质解不等式. 【详解】， 设，，所以为偶函数， 所以，是偶函数， 当时，， 所以在单调递增，根据复合函数单调性可知，在单调递增， 所以不等式， 即，两边平方，整理为， 解得：或 所以不等式的解集为. 20．（2026·河北邢台·一模）已知定义在上的奇函数满足，且，则（   ） A． B．0 C． D．2 【答案】A 【分析】利用奇函数和已知方程结合周期性公式推导出周期为6，进而可将转化为，由此求解即可. 【详解】因为是奇函数，则，且， 即①，则， 即，代入①得， 整理得，即， 所以的最小正周期， 所以， 其中，， 所以， 即 21．（2025·河北张家口·一模）已知定义在实数集上的函数满足以下条件：①；②；③.则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】A 【分析】根据对称性可得函数的周期为8，即可求解. 【详解】由①可得， 由②可得， 因此，所以的周期为8， ， 由于， ， 故选:A 22．已知函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，则（    ） A．480 B．320 C．640 D．1280 【答案】C 【分析】利用已知函数的奇偶性，可推出周期性，再赋值求和即可得到答案. 【详解】因为为奇函数，所以，且， 可得：，且， 又因为为偶函数，所以，则， 所以，，所以， 则16是的一个周期. 因为，，，， ，，，， 故. 故选：C. 23．（25-26高三上·上海·期中）已知函数的定义域为，且满足下列三个条件： ①对任意的，当时，都有； ②； ③是偶函数； 若，则的大小关系正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由①可得函数在上单调递增，由②可得函数为周期函数，周期为8，由③可得函数关于直线对称，进而得到，，，进而根据单调性判断大小即可. 【详解】由①，对任意的，当时，都有， 则，故函数在上单调递增， 由②，，则， 则函数为周期函数，周期为8， 由③，是偶函数，则函数关于直线对称， 所以， ， 而，且函数在上单调递增， 所以，即. 故选：C. 24．设函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，当时，，.若，则（    ） A． B．2 C．3 D．6 【答案】B 【分析】根据条件，整理变形，可得的周期和对称中心，结合的解析式，代入求解，可得a，b的值，根据的周期，即可求得答案. 【详解】因为为偶函数，所以，则， 因为为奇函数，所以，则， 所以，则， 所以，则， 所以，则的周期为8， 所以， 又为奇函数，图象关于对称， 所以的图象关于对称，即，则， 所以，解得，则， 所以. 故选：B 25．（25-26高三上·安徽·开学考试）已知函数的定义域为，，函数的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1014 D．2028 【答案】B 【分析】根据对称轴定义得出对称轴，再由直线对称得出，进而得出函数周期，最后根据周期性得出函数值即可. 【详解】因为，即，故的图象关于直线对称. 由的图象关于直线对称得， 即对任意x恒成立，则， 又，所以，即， 所以，所以是周期为6的周期函数. 所以，. 故选：B. 26．已知函数是定义域为的奇函数，且为偶函数，则下列结论一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据奇函数性质和偶函数的性质，推导的对称性与周期性，再逐一验证各选项即可. 【详解】因为是定义域为的奇函数，所以对任意，有； 因为为偶函数，所以， 令可得，即的图象关于直线对称， 故对任意，. 所以， 所以，即是周期为4的周期函数. 选项A，，故A错误； 选项B，，故B正确； 选项C，，故C错误； 选项D，，故D错误. 27．（2025·辽宁·三模）已知定义在R上的函数满足为奇函数，且的图象关于直线对称，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】B 【分析】通过已知条件推导出函数的对称中心、对称轴，进而得出函数的周期，再利用周期的性质计算给定求和式的值. 【详解】由为奇函数，得， 所以图象的对称中心为，令 由的图象关于直线对称，得， 由得，所以， 则的一个周期为4，则 则． 故选：B. 28．（2026·湖北宜昌·二模）已知函数的图象关于直线对称，则（    ） A．2 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的定义域，利用对称性的特征可得，再利用求解，最后得到即可. 【详解】函数的定义域满足，即， 由函数的图象关于直线对称，得的定义域关于对称， 则的解集只能为，故. 由，得， 故，即得 则，解得，故. 29．已知函数的导函数为偶函数，函数为偶函数，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的奇偶性与对称性可判断函数周期，进而可得解. 【详解】由函数为偶函数知图象关于直线对称， 由为偶函数知，（为常数）为奇函数，由得， 即为奇函数，则图象关于点中心对称， 所以是函数的一个周期，又，， ，， 所以. 故选：A. 30．（2025·海南海口·模拟预测）已知函数的定义域为R，其导数，且和都为奇函数．若，则（    ） A．1 B．0 C． D． 【答案】C 【分析】利用函数的导数结合函数的奇偶性，对称性，周期性求解，结合函数奇偶性和对称性确定出的周期为4，即可求解． 【详解】因为为奇函数、则，则， 可知的图象关于点对称、可得，即， 可知的图象关于对称，则， 又因为为奇函数且定义域为R，则，可得， 可知的周期为4，所以，． 所以． 故选：C． 31．已知为上的奇函数，为的导函数，若，则（    ） A．1 B． C．2 D．2025 【答案】C 【分析】的图象既关于点对称，又关于轴对称，那么据此可推断出的周期. 【详解】，求导得，即①， 因为为上的奇函数，则，求导得， 所以是上的偶函数，所以， 结合①式可得，， 所以，两式相减得， 所以是周期为4的周期函数，所以， 由①式，令，得，所以． 故选：C 32．（24-25高三上·海南省直辖县级单位·开学考试）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则（    ） A．4050 B．4048 C．4044 D．4036 【答案】A 【分析】根据题中为奇函数，为偶函数，从而可得出该函数的周期为4，从而可求解. 【详解】由为奇函数，所以， 即，所以函数关于点中心对称， 由为偶函数，则，即， 即，所以函数关于对称， 所以，即，可得， 所以，所以函数为周期为4的函数， 由，所以，则， 所以，且，即， 又，所以， 所以， 所以. 故选：A. 33．已知函数，若不等式有解，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】使用导数确定函数的单调性，结合奇偶性使用脱壳法将抽象函数不等式转化为，进而分离参数并运用基本不等式求解. 【详解】由题意得，其中， 即，所以恒成立，即恒成立， 设，， ，所以是奇函数， ，所以是奇函数， 此时，， 所以也是奇函数， 因为单调递增，单调递减，单调递减，则单调递减， ，所以单调递增，单调递减， 所以单调递减， ， 由奇函数得， 由单调递减得有解， 即. 令，则， 当且仅当即时等号成立，易得一定有解， 则. 34．（25-26高三上·江西景德镇·期末）已知定义在上的函数在区间上单调递增，且满足，函数的对称中心为，则下述结论正确的是（   ）（注：） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用迭代求周期，利用平移变换求对称中心，取求得，可得奇偶性，利用周期性、对称性和奇偶性，结合单调性逐一判断即可. 【详解】，故 所以， 函数的对称中心为，往左平移3单位得到函数， 故函数的对称中心为，则， 因为， 取可得， 又，所以，所以， 因为函数的对称中心为， 故，所以，所以为偶函数； 对于A，在区间上单调递增，故，且， 所以，故A错误： 对于B，在区间上单调递增，对称中心为， 所以在区间上单调递增， 所以，故B错误； 对于C，因为， 故， 且，所以， 所以， 因为在区间上单调递增，故，故C错误； 对于D，结合在区间上单调递增， 故，故D正确. 故选：D 创新能力提升 1．已知函数为定义在R上的奇函数，函数．则（   ） A．2000 B．1999 C．4000 D．3999 【答案】D 【分析】由题意得，采用倒叙相加法即可求解. 【详解】函数为定义在R上的奇函数，函数， 所以， 设 则， 两式相加可得，解得， 所以． 故选：D. 2．已知函数的最小值为5，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得，进而得到，令，结合函数单调性、奇偶性，化简不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，则， ，解得， 当且仅当，即时等号成立； 所以， 令，原式化为， 由对勾函数单调性可知：，在单调递增，在单调递减， 函数在上单调递增，且当时，， 所以函数在上单调递增， 令，则函数在上单调递增， 因为 所以为偶函数，且函数在上单调递减， 不等式， 则 解得或. 故选：A 3．已知为上的奇函数，，若对，，当时，都有，则不等式的解集为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题设可推导出，当 时，，令并判断其单调性、奇偶性，进而利用不等式性质求不等式的解集. 【详解】由，得， 因为，，所以，即， 设，则在上单调递减， 而，则，解得； 因为为上的奇函数，所以， 则为上的偶函数，故在上单调递增， 而，则，解得； 当时，，故该点不在解集内. 综上，原不等式的解集为. 4．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）已知函数是定义在上的偶函数，关于中心对称，则下列说法正确的是（   ） A．的一个周期为6 B． C． D． 【答案】B 【分析】解题的关键在于根据已知条件推导出函数的周期，结合函数的性质逐一分析选项求解. 【详解】选项A，的图像向左平移个单位得到， 又关于中心对称， 关于中心对称，， 将式子中的用代替，得到， 是定义在上的偶函数，， ，将此式子中的用代替，得到， 则是一个以为周期的周期函数，故选项A错误； 选项B，关于中心对称，的定义域为，， 是定义在上的偶函数，，故选项B正确； 选项C，，，但是根据题中已知条件无法得到，故选项C错误； 选项D，是一个以为周期的周期函数， ，， ，，， ， ，， ， 仅根据已知条件无法确定其值，故不能得出，故选项D错误. 5．（2026·甘肃张掖·二模）已知定义在上的函数和满足，，若是偶函数，且，则（     ） A．34 B．36 C．38 D．40 【答案】C 【分析】利用递推关系式及函数的奇偶性得出的周期，再由赋值法求的值即可. 【详解】因为是偶函数，， 所以，所以， 又，两式相减可得， 所以可得，两式相减可得， 即，所以函数的周期， 由，令，可得，所以， 由，令，可得，所以， 由，令，可得， 由，令，可得，两式相减可得， 由，令，可得， 故一个周期中， 所以. 6．（25-26高三下·北京·阶段检测）设函数，下列说法正确的是（   ） A．存在实数，使得曲线为轴对称图形； B．存在实数，使得曲线为中心对称图形； C．存在实数，使得曲线为轴对称图形； D．存在实数，使得曲线为中心对称图形. 【答案】C 【分析】由函数的对称性进行判断求解． 【详解】对于A，B两项，函数的定义域为，则曲线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故A，B都是错误； C.令（或）， 由对称性知，若存在对称轴或对称中心，必在直线上， 考虑 （或）， 当时，， 所以， 所以关于对称，故C正确； D.考虑 （或）， 所以不存在实数，使得， 即不存在实数，使得曲线为中心对称图形，故D错误. 7．（多选题）（25-26高三下·山东聊城·阶段检测）已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则下列结论正确的是（   ） A．的图象关于点对称 B． C．是周期函数 D． 【答案】ACD 【分析】根据已知等式结合函数奇偶性、对称性定义可判断A选项；在A选项中的等式中，利用赋值法求出的值，可判断B选项；利用奇偶性的定义可判断C选项；利用函数周期性的定义求出所求代数式的值，可判断D选项. 【详解】A选项，因为函数的定义域为，且为奇函数， 故对任意的，，即， 所以的图象关于点对称，故A正确； B选项，因为函数为偶函数，则对任意，， 令，则，故函数的图象关于直线对称， 在等式中，令可得，解得， 在等式中，令可得，故B错误； C选项，在等式中，用替代得， 即①， 在等式中，用替代可得， 即②， ②代入①可得，于是得出， 所以，即函数是周期为的周期函数，故C正确； D选项，因为，令可得， 又因为，，且函数是周期为的周期函数， 则 ，故D正确. 8．（多选题）已知周期函数及其导函数的定义域均为R，记，若为奇函数，为偶函数，则下列结论不一定正确的是（    ） A． B．的周期为2 C． D． 【答案】BCD 【分析】根据抽象函数的对称性，复合函数的求导法则，可得函数的周期性，进而可求解． 【详解】因为，又为奇函数，为偶函数， 所以，， 所以，，，所以A选项正确； 所以，，， 所以，， 所以，，所以的周期为4，所以B选项错误； 所以，而已知条件无法推出，故C选项不一定正确； 所以，c不一定为0，D选项不一定正确. 9．（多选题）（2026·湖南长沙·三模）已知函数及其导函数的定义域均为，若，函数和均为偶函数，则（    ） A． B． C．函数的图象关于点对称 D． 【答案】BD 【分析】根据是偶函数得出函数关于轴对称，即，两边求导得出导函数关于点中心对称；为偶函数，则，得出，由中心对称得出，进而得出，故是周期为4的周期函数；再根据上述性质求出判断选项A；由周期性判断选项B；由的性质判断选项C；求出一个周期内的和，再利用导函数的周期性计算判断选项D． 【详解】是偶函数，则，两边对求导得， 则导函数关于点中心对称，令，得， 为偶函数，则， 则导函数关于轴对称，故， 由中心对称性，， 联立可得， 令，则， 则，故是周期为4的周期函数； 选项A：由，令得， 已知，故，故A错误； 选项B：是周期为4的周期函数，故，故B正确； 选项C：关于轴对称，无法证明关于点中心对称，故C错误； 选项D：，，，， 一个周期内的和为：， 又，， 故，故D正确． 10．（多选题）（2026·福建泉州·模拟预测）已知定义在上的连续函数的导函数是，且满足，为奇函数，则（   ） A． B． C． D．若是的一个极值点，则函数在区间至少有7个零点 【答案】BCD 【分析】由为奇函数，可得，即可求得，由，可得4是的一个周期，对两边求导，可得，用赋值法求得，即可判断A；根据二项式展开式及周期为4，可判断B；利用及倒序相加，可判断C；根据函数的周期性及极值点的定义，求出函数在区间的零点，即可判断D. 【详解】对于B，C两个选项：因为为奇函数， 所以，即， 故，即①， 取，得，解得，又，所以， 则有，因此有 ②，所以4是的一个周期； （1）当，时，，除以4的余数为0； （2）当，时， ，除以4的余数为1； （3）当， 时， 除以4的余数为3； 结合的周期性，可知： ，故B正确； 因为，所以，所以， 令， 又， 两式相加得，结合①式，得，所以， 即，故C正确； 对于A，D两个选项：由，， 两边分别求导得：，③ ， 所以有一个对称中心，一条对称轴； 两式相减得，故， 所以4是的一个周期；所以， 由，得，故A错误； 所以， 由，得， 所以， 若是的一个极值点，则函数； 又因为函数关于对称， 所以，又因为，所以， 所以为奇函数，所以， 所以， 由周期性得，， 所以，，，，，，均是函数的零点， 所以在区间至少有7个零点，故D正确. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $