专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式讲义-2027届高三数学一轮复习

专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　三个"二次"的关系与图象 4 知识点2　一元二次不等式的解法 5 知识点3　含参一元二次不等式的讨论 6 知识点4　一元二次不等式恒成立问题 7 知识点5　一元二次方程根的分布 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　一元二次不等式的解法与解集表示　★★ 9 重难点培优02　分式不等式与高次不等式　★★ 10 重难点培优03　含参一元二次不等式（按根的大小/判别式讨论）　★★★ 12 重难点培优04　一元二次不等式恒成立求参范围　★★★ 13 重难点培优05　二次函数在闭区间上的最值　★★★ 14 重难点培优06　一元二次方程根的分布与韦达定理　★★★ 16 重难点培优07　二次不等式与函数、数列、导数的交汇　★★★★ 17 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 18 五、过关检测 21 一、单选题 21 二、多选题 22 三、填空题 23 四、解答题 23 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 二次函数的图象与性质 理解二次函数的图象、对称轴、顶点与最值，能借助图象分析单调性与值域 一元二次不等式的解法 掌握"三个二次"的关系，会用因式分解与图象法求一元二次不等式的解集，并会表示解集 一元二次方程 理解判别式与韦达定理，掌握一元二次方程根的分布问题的基本模型 恒成立与存在性问题 能解决一元二次不等式在给定区间上恒成立、有解、无解问题，掌握分离参数法 近三年高考真题对"二次函数与一元二次方程、不等式"板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T1 一元二次不等式的解集与集合交集 ★ 2026 全国二卷 T3 一元二次不等式的解集表示 ★ 2026 上海卷 T6 含参一元二次不等式的解集 ★★ 2026 北京卷 T9 创新情境下的不等关系判断 ★★ 2025 全国二卷 T2 分式不等式转化为一元二次不等式 ★★ 2025 天津卷 T15 二次不等式在闭区间上恒成立，求最小值 ★★★★ 2025 上海卷 T4 一元二次不等式与分式不等式的解集 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 含二次函数的分段函数单调性 ★★★ 2024 全国甲卷·理 T2 一元二次不等式与集合运算 ★★ 2024 天津卷 T15 一元二次方程根的分布与零点 ★★★ 考情分析 二次函数与一元二次方程、不等式是高中数学的"内核知识"，也是高考的"高频·高价值"考点。从近三年命题看：2026 年全国一、二卷都在选择题中直接考查一元二次不等式的解集及与集合的交汇，上海卷考查含参二次不等式的解集，北京卷以"博物馆参观人数"的情境考查不等关系判断；2025 年全国二卷把分式不等式 转化为一元二次不等式求解，天津卷以二次不等式在 上恒成立为背景求 的最小值，属压轴填空；2024 年新课标Ⅰ卷以含二次函数的分段函数单调性为背景设题，全国甲卷把一元二次不等式与集合运算结合，天津卷则考查二次方程根的分布。总体特征是：由"会解"走向"会用"，以恒成立、根的分布、含参讨论为核心载体，突出数学抽象、逻辑推理与数学运算三大素养。预测 2027 年高考仍会以选择题或填空题的形式考查解不等式，并以恒成立与根的分布为主线，向函数、数列、导数方向交汇，形成"低起点、高落点"的命题风格。 复习目标 1．洞悉"三个二次"的统一联系，能由方程根、函数图象快速写出不等式的解集； 2．熟练掌握含参一元二次不等式的"三步讨论"，做到分类讨论不重不漏； 3．突破恒成立与存在性问题，牢记"分离参数＋求最值"与"开口＋判别式"两套通法； 4．掌握二次方程根的分布模型与韦达定理的整体代入思想，能解决与函数、数列、导数的交汇问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　二次函数与一元二次方程、不等式知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　三个"二次"的关系与图象 二次函数 、一元二次方程 、一元二次不等式 （或 ）统称"三个二次"。三者以二次函数的图象为纽带联系在一起：方程 的根，就是抛物线与 轴交点的横坐标；不等式 的解集，就是抛物线位于 轴上方部分对应的 的取值范围。 设 ，以 为例，"三个二次"的对应关系如下表： 判别式 方程 的根 函数图象 不等式 的解集 不等式 的解集 两根 与 轴有两个交点 两根相等 与 轴相切 无实根 与 轴无交点 二次函数的性质：对称轴为 ，顶点坐标为 。当 时开口向上、顶点处取最小值；当 时开口向下、顶点处取最大值。 【方法技巧】 1．"三个二次"是一体的：解不等式先看图象，求根用方程，画图定开口与对称轴，三者互相印证； 2．记表有口诀： 且 时"大于取两边、小于取中间"， 时结合图象"全取或全不取"； 3． 时先"化正"——两边同乘 （注意变号），把二次项系数化为正再套用结论。 【易错清单】 1．"大于取两边"的前提是 且 ，缺少任一条件就会用错； 2． 时 的解集是 而不是 ，只有 的解集才是 ； 3．含参不等式讨论时，必须先判断二次项系数 是否为零，漏掉 会丢解。 知识点2　一元二次不等式的解法 解一元二次不等式 的一般步骤： 第一步：将二次项系数化为正数（若 ，两边同乘 并改变不等号方向）； 第二步：计算判别式 ，判断对应方程的根的情况； 第三步：求方程的根，能因式分解的优先因式分解； 第四步："大于取两边，小于取中间"，结合图象写出解集； 时借助图象直接判断。 分式不等式的转化：把分式不等式化为一边为 的形式后，按下列等价关系转化—— ①；②； ③ 且 ；④ 且 。 高次不等式可用"数轴穿根法（序轴标根法）"：将多项式因式分解，把各因式的根在数轴上从小到大标出，从最右端上方起、遇根"奇穿偶不穿"，按符号变化写出解集。 【方法技巧】 1．解一元二次不等式"一化正、二判别、三求根、四写集"四步走，能因式分解的优先分解，比套公式更快； 2．分式不等式"先移项通分化为 的标准形式，再转化为整式不等式"，注意分母不为零的限制； 3．高次不等式因式分解后标根穿线，含偶次因式时"奇穿偶不穿"，重根处不变号。 【易错清单】 1．分式不等式不能直接去分母（分母正负未知），必须移项通分转化为整式不等式； 2．把 直接化为 时，漏掉 的限制是最高频失分点； 3．穿根法要"从右往左、自上而下"，并把最高次项系数化为正，否则符号方向会整体反掉。 知识点3　含参一元二次不等式的讨论 解含参一元二次不等式，关键是"分类讨论"，讨论的层次一般为： ①讨论二次项系数 的符号（含 的情形）——决定开口方向，也决定是否退化为一次不等式； ②讨论判别式 的符号——决定方程有无实根、有几根； ③讨论两根的大小——决定解集区间的排列顺序。 以 、 为例，两根为 （），则解集为 。当两根大小不确定（含参）时，必须比较 与 的大小，并逐段写出解集；若二次项系数含参，还要先讨论 。 【方法技巧】 1．含参不等式"三步讨论口诀：一看开口（ 的正负与是否为零），二看判别式，三比根大小"； 2．比较两根大小时，可作差： 的符号，或借助因式分解后的形式直接观察； 3．讨论要"不重不漏"：每一层分类都在上一层的条件下进行，最后把各段结果合并、注明参数范围。 【易错清单】 1．含参二次不等式只讨论 而漏掉 ，是一轮复习最常见的错误； 2．两根大小不确定时默认 直接写解集，导致区间顺序错误； 3．讨论结束后忘记"合并各段并标明参数范围"，答案不完整。 知识点4　一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立的基本结论（设 ）： ① 对一切 恒成立 且 ； 对一切 恒成立 且 ； ② 对一切 恒成立 且 ； 对一切 恒成立 且 ； ③若 时不等式退化为 ，则须单独讨论一次函数在 上能否恒正。 在给定区间 上恒成立的问题，常用两种方法： ①分离参数法：把参数分离到不等式一侧，转化为求另一侧函数在区间上的最大值或最小值； ②数形结合法：结合二次函数图象的开口、对称轴与区间端点的位置关系，分"轴在区间左、内、右"讨论。 【方法技巧】 1． 上恒成立"看开口、看判别式"： 是"上开口且与 轴无交点"的代数刻画； 2．区间上恒成立优先"分离参数"： 恒成立 ； 恒成立 ； 3．参数在二次项系数上时"结合图象分 讨论"，不要贸然分离。 【易错清单】 1．把"恒成立"与"有解""无解"混淆： 有解 ，恒成立 ，方向相反； 2． 上恒成立时忘记讨论 ，"退化为一次"的情形最容易遗漏； 3．区间上恒成立只看端点、不看顶点，对称轴落在区间内时必须比较顶点处的函数值。 知识点5　一元二次方程根的分布 设二次方程 的两根为 ，对应二次函数 的图象为开口向上的抛物线。根的分布问题，本质是把"根的位置"翻译成"抛物线与 轴交点的位置"，再转化为 、对称轴、端点函数值 三者的混合条件。 根的分布 图象特征 等价条件 两根都大于 ，对称轴在 右侧，与 轴有两交点 两根都小于 ，对称轴在 左侧，与 轴有两交点 一根小于 、一根大于 图象在 处穿过 轴 两根都在区间 内 ，对称轴在 内 韦达定理：若 是方程 的两根，则 ，。 【方法技巧】 1．根的分布"三件套：判别式、对称轴、端点值"，缺一不可，画图辅助判断条件取不取等号； 2．"两根都大于 "用"＋对称轴位置＋ 符号"三重制约，画草图定位最直观； 3．涉及根的对称式（如 、）时，优先用韦达定理化为 与 ，避免解出具体根。 【易错清单】 1．根的分布问题只检验 而漏看对称轴或端点函数值，"两根都大于 "会被误判； 2．用韦达定理前必须确认方程有实根（），否则结论无意义； 3．"区间端点开闭"易错：两根都落在 内要求 ，若落在 内则端点函数值可取 ，需按题意区分。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　一元二次不等式的解法与解集表示　★★ 【例1-1】（2025·上海卷·高考真题）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【例1-2】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例1-3】（2026·湖北·武汉市第二中学·5月模拟）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·上海卷·高考真题改编）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式1-4】已知不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【变式1-5】若关于 的不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式1-6】不等式 的整数解的个数为（　　） A． B． C． D． 重难点培优02　分式不等式与高次不等式　★★ 【例2-1】（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【例2-2】（2026·江苏·南京师范大学附属中学·模拟）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【例2-3】（2026·山东·济南市历城第二中学·5月大练兵）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式2-1】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式2-3】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式2-4】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式2-5】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【变式2-6】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 重难点培优03　含参一元二次不等式（按根的大小/判别式讨论）　★★★ 【例3-1】（2026·上海卷·高考真题）已知关于 的不等式 ，则当 时，其解集是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·湖南·长沙市雅礼中学·考前模拟）解关于 的不等式 时，需要对根的大小进行分类讨论，则分类标准是（　　） A．，， B．，， C．， D．， 【例3-3】（2026·河南·郑州市第一中学·5月调研）已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】解关于 的不等式 时，两根为（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】解关于 的不等式 ：若 ，则解集为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】设 ，解关于 的不等式 ：当 时，解集为（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】解关于 的不等式 ：当 时，解集为（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-6】已知关于 的不等式 的解集是 ，则 （　　） A． B． C． D． 重难点培优04　一元二次不等式恒成立求参范围　★★★ 【例4-1】（2025·天津卷·高考真题）若 ，对任意 ，均有 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【例4-2】（2026·浙江·杭州市第二中学·模拟）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例4-3】（2026·福建·厦门双十中学·5月模拟）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题改编）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-2】若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-3】若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-4】若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-5】若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式4-6】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优05　二次函数在闭区间上的最值　★★★ 【例5-1】（2026·河北·石家庄市第二中学·模拟）函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【例5-2】（2026·广东·深圳中学·5月模拟）设函数 在区间 上的最小值为 ，则当 时 （　　） A． B． C． D． 【例5-3】（2026·安徽·芜湖市第一中学·三模）若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】函数 在区间 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【变式5-2】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】设函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【变式5-4】若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-6】已知函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优06　一元二次方程根的分布与韦达定理　★★★ 【例6-1】（2024·天津卷·高考真题改编）若关于 的方程 有两个不相等的实根，且两根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6-2】（2026·江苏·苏州中学·模拟）若方程 的两根都落在区间 内，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例6-3】（2026·江西·南昌市第二中学·5月模拟）已知 是方程 的两根，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-1】若关于 的方程 有两个不相等的正实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【变式6-2】已知方程 的一根大于 、一根小于 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-3】若 是方程 的两根，则 （　　） A． B． C． D． 【变式6-4】若关于 的方程 的两根都在区间 内，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】若关于 的方程 在区间 内有实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优07　二次不等式与函数、数列、导数的交汇　★★★★ 【例7-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2026·辽宁·大连市第八中学·5月模拟）设数列 的通项为 ，若对一切 都有 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例7-3】（2026·浙江·宁波市效实中学·模拟）已知函数 ，则 的单调递增区间是（　　） A． B． 和 C． D． 【变式7-1】设函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】已知数列 满足 ，则 的最大项是第几项（　　） A． B． C． D． 或 【变式7-3】若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】已知函数 ，若 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】已知数列 的通项 ，则 中的最小项为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【变式7-6】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 【例8-1】（2026·北京卷·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往。已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（　　） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【例8-2】（2026·湖南·长沙市第一中学·5月模拟）定义集合运算 。已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【例8-3】（2026·湖北·华中师范大学第一附属中学·适应考）对于二次函数 ，定义满足 的实数 为 的"不动点"。若 有不动点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-1】定义运算 。若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-2】定义集合运算 。已知 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】定义：若 对 恒成立，则称 在 上"优良"。则下列函数在 上"优良"的是（　　） A． B． C． D． 【变式8-4】定义：若不等式 的解集为 ，则称 为该不等式的"跨度值"。则不等式 的"跨度值"为（　　） A． B． C． D． 【变式8-5】对于实数 ，定义 表示 中的较小者。若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式8-6】定义运算""：。若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 2．【巩固】（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 3．【巩固】（2026·全国一卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 4．【巩固】（2024·全国甲卷·文·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 5．【进阶】若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】（2026·浙江·模拟）函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 7．【进阶】（2026·山东·模拟）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 8．【进阶】（2026·福建·模拟）若 是方程 的两根，则 （　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．【进阶】（2026·全国·模拟）已知不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 10．【进阶】（2026·安徽·模拟）若函数 在区间 上的最小值为 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D． 的最小值为 11．【进阶】（2026·四川·模拟）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 12．【培优】（2026·辽宁·模拟）定义集合运算 。已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 三、填空题 13．【巩固】（2026·全国·模拟）不等式 的解集是 ______． 14．【进阶】（2026·山西·模拟）若函数 的最小值为 ，则 ______． 15．【进阶】（2026·重庆·模拟）已知方程 有两个不相等的正实根，则 的取值范围是 ______． 16．【培优】（2026·陕西·模拟）若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 四、解答题 17．【进阶】解关于 的不等式：． (1) 当 时，求不等式的解集； (2) 讨论 的取值，写出不等式的解集． 18．【培优】已知函数 在区间 上的最小值为 ． (1) 求 的表达式； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 19．【培优】已知方程 有两个不相等的实根 ． (1) 求实数 的取值范围； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 20．【培优】某公司生产一种产品，每件产品的成本为 元，售价为 元（）。经市场调研，销售量 （件）与售价 （元）满足 ，利润记为 （元）． (1) 写出利润 关于售价 的函数关系式； (2) 若要求利润不低于 元，求售价 的取值范围． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.5 二次函数与一元二次方程、不等式（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　三个"二次"的关系与图象 4 知识点2　一元二次不等式的解法 5 知识点3　含参一元二次不等式的讨论 6 知识点4　一元二次不等式恒成立问题 7 知识点5　一元二次方程根的分布 8 四、重难点培优 9 重难点培优01　一元二次不等式的解法与解集表示　★★ 9 重难点培优02　分式不等式与高次不等式　★★ 12 重难点培优03　含参一元二次不等式（按根的大小/判别式讨论）　★★★ 15 重难点培优04　一元二次不等式恒成立求参范围　★★★ 18 重难点培优05　二次函数在闭区间上的最值　★★★ 21 重难点培优06　一元二次方程根的分布与韦达定理　★★★ 24 重难点培优07　二次不等式与函数、数列、导数的交汇　★★★★ 27 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 30 五、过关检测 34 一、单选题 34 二、多选题 36 三、填空题 37 四、解答题 39 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 二次函数的图象与性质 理解二次函数的图象、对称轴、顶点与最值，能借助图象分析单调性与值域 一元二次不等式的解法 掌握"三个二次"的关系，会用因式分解与图象法求一元二次不等式的解集，并会表示解集 一元二次方程 理解判别式与韦达定理，掌握一元二次方程根的分布问题的基本模型 恒成立与存在性问题 能解决一元二次不等式在给定区间上恒成立、有解、无解问题，掌握分离参数法 近三年高考真题对"二次函数与一元二次方程、不等式"板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 全国一卷 T1 一元二次不等式的解集与集合交集 ★ 2026 全国二卷 T3 一元二次不等式的解集表示 ★ 2026 上海卷 T6 含参一元二次不等式的解集 ★★ 2026 北京卷 T9 创新情境下的不等关系判断 ★★ 2025 全国二卷 T2 分式不等式转化为一元二次不等式 ★★ 2025 天津卷 T15 二次不等式在闭区间上恒成立，求最小值 ★★★★ 2025 上海卷 T4 一元二次不等式与分式不等式的解集 ★★ 2024 新课标Ⅰ卷 T6 含二次函数的分段函数单调性 ★★★ 2024 全国甲卷·理 T2 一元二次不等式与集合运算 ★★ 2024 天津卷 T15 一元二次方程根的分布与零点 ★★★ 考情分析 二次函数与一元二次方程、不等式是高中数学的"内核知识"，也是高考的"高频·高价值"考点。从近三年命题看：2026 年全国一、二卷都在选择题中直接考查一元二次不等式的解集及与集合的交汇，上海卷考查含参二次不等式的解集，北京卷以"博物馆参观人数"的情境考查不等关系判断；2025 年全国二卷把分式不等式 转化为一元二次不等式求解，天津卷以二次不等式在 上恒成立为背景求 的最小值，属压轴填空；2024 年新课标Ⅰ卷以含二次函数的分段函数单调性为背景设题，全国甲卷把一元二次不等式与集合运算结合，天津卷则考查二次方程根的分布。总体特征是：由"会解"走向"会用"，以恒成立、根的分布、含参讨论为核心载体，突出数学抽象、逻辑推理与数学运算三大素养。预测 2027 年高考仍会以选择题或填空题的形式考查解不等式，并以恒成立与根的分布为主线，向函数、数列、导数方向交汇，形成"低起点、高落点"的命题风格。 复习目标 1．洞悉"三个二次"的统一联系，能由方程根、函数图象快速写出不等式的解集； 2．熟练掌握含参一元二次不等式的"三步讨论"，做到分类讨论不重不漏； 3．突破恒成立与存在性问题，牢记"分离参数＋求最值"与"开口＋判别式"两套通法； 4．掌握二次方程根的分布模型与韦达定理的整体代入思想，能解决与函数、数列、导数的交汇问题。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　二次函数与一元二次方程、不等式知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　三个"二次"的关系与图象 二次函数 、一元二次方程 、一元二次不等式 （或 ）统称"三个二次"。三者以二次函数的图象为纽带联系在一起：方程 的根，就是抛物线与 轴交点的横坐标；不等式 的解集，就是抛物线位于 轴上方部分对应的 的取值范围。 设 ，以 为例，"三个二次"的对应关系如下表： 判别式 方程 的根 函数图象 不等式 的解集 不等式 的解集 两根 与 轴有两个交点 两根相等 与 轴相切 无实根 与 轴无交点 二次函数的性质：对称轴为 ，顶点坐标为 。当 时开口向上、顶点处取最小值；当 时开口向下、顶点处取最大值。 【方法技巧】 1．"三个二次"是一体的：解不等式先看图象，求根用方程，画图定开口与对称轴，三者互相印证； 2．记表有口诀： 且 时"大于取两边、小于取中间"， 时结合图象"全取或全不取"； 3． 时先"化正"——两边同乘 （注意变号），把二次项系数化为正再套用结论。 【易错清单】 1．"大于取两边"的前提是 且 ，缺少任一条件就会用错； 2． 时 的解集是 而不是 ，只有 的解集才是 ； 3．含参不等式讨论时，必须先判断二次项系数 是否为零，漏掉 会丢解。 知识点2　一元二次不等式的解法 解一元二次不等式 的一般步骤： 第一步：将二次项系数化为正数（若 ，两边同乘 并改变不等号方向）； 第二步：计算判别式 ，判断对应方程的根的情况； 第三步：求方程的根，能因式分解的优先因式分解； 第四步："大于取两边，小于取中间"，结合图象写出解集； 时借助图象直接判断。 分式不等式的转化：把分式不等式化为一边为 的形式后，按下列等价关系转化—— ①；②； ③ 且 ；④ 且 。 高次不等式可用"数轴穿根法（序轴标根法）"：将多项式因式分解，把各因式的根在数轴上从小到大标出，从最右端上方起、遇根"奇穿偶不穿"，按符号变化写出解集。 【方法技巧】 1．解一元二次不等式"一化正、二判别、三求根、四写集"四步走，能因式分解的优先分解，比套公式更快； 2．分式不等式"先移项通分化为 的标准形式，再转化为整式不等式"，注意分母不为零的限制； 3．高次不等式因式分解后标根穿线，含偶次因式时"奇穿偶不穿"，重根处不变号。 【易错清单】 1．分式不等式不能直接去分母（分母正负未知），必须移项通分转化为整式不等式； 2．把 直接化为 时，漏掉 的限制是最高频失分点； 3．穿根法要"从右往左、自上而下"，并把最高次项系数化为正，否则符号方向会整体反掉。 知识点3　含参一元二次不等式的讨论 解含参一元二次不等式，关键是"分类讨论"，讨论的层次一般为： ①讨论二次项系数 的符号（含 的情形）——决定开口方向，也决定是否退化为一次不等式； ②讨论判别式 的符号——决定方程有无实根、有几根； ③讨论两根的大小——决定解集区间的排列顺序。 以 、 为例，两根为 （），则解集为 。当两根大小不确定（含参）时，必须比较 与 的大小，并逐段写出解集；若二次项系数含参，还要先讨论 。 【方法技巧】 1．含参不等式"三步讨论口诀：一看开口（ 的正负与是否为零），二看判别式，三比根大小"； 2．比较两根大小时，可作差： 的符号，或借助因式分解后的形式直接观察； 3．讨论要"不重不漏"：每一层分类都在上一层的条件下进行，最后把各段结果合并、注明参数范围。 【易错清单】 1．含参二次不等式只讨论 而漏掉 ，是一轮复习最常见的错误； 2．两根大小不确定时默认 直接写解集，导致区间顺序错误； 3．讨论结束后忘记"合并各段并标明参数范围"，答案不完整。 知识点4　一元二次不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立的基本结论（设 ）： ① 对一切 恒成立 且 ； 对一切 恒成立 且 ； ② 对一切 恒成立 且 ； 对一切 恒成立 且 ； ③若 时不等式退化为 ，则须单独讨论一次函数在 上能否恒正。 在给定区间 上恒成立的问题，常用两种方法： ①分离参数法：把参数分离到不等式一侧，转化为求另一侧函数在区间上的最大值或最小值； ②数形结合法：结合二次函数图象的开口、对称轴与区间端点的位置关系，分"轴在区间左、内、右"讨论。 【方法技巧】 1． 上恒成立"看开口、看判别式"： 是"上开口且与 轴无交点"的代数刻画； 2．区间上恒成立优先"分离参数"： 恒成立 ； 恒成立 ； 3．参数在二次项系数上时"结合图象分 讨论"，不要贸然分离。 【易错清单】 1．把"恒成立"与"有解""无解"混淆： 有解 ，恒成立 ，方向相反； 2． 上恒成立时忘记讨论 ，"退化为一次"的情形最容易遗漏； 3．区间上恒成立只看端点、不看顶点，对称轴落在区间内时必须比较顶点处的函数值。 知识点5　一元二次方程根的分布 设二次方程 的两根为 ，对应二次函数 的图象为开口向上的抛物线。根的分布问题，本质是把"根的位置"翻译成"抛物线与 轴交点的位置"，再转化为 、对称轴、端点函数值 三者的混合条件。 根的分布 图象特征 等价条件 两根都大于 ，对称轴在 右侧，与 轴有两交点 两根都小于 ，对称轴在 左侧，与 轴有两交点 一根小于 、一根大于 图象在 处穿过 轴 两根都在区间 内 ，对称轴在 内 韦达定理：若 是方程 的两根，则 ，。 【方法技巧】 1．根的分布"三件套：判别式、对称轴、端点值"，缺一不可，画图辅助判断条件取不取等号； 2．"两根都大于 "用"＋对称轴位置＋ 符号"三重制约，画草图定位最直观； 3．涉及根的对称式（如 、）时，优先用韦达定理化为 与 ，避免解出具体根。 【易错清单】 1．根的分布问题只检验 而漏看对称轴或端点函数值，"两根都大于 "会被误判； 2．用韦达定理前必须确认方程有实根（），否则结论无意义； 3．"区间端点开闭"易错：两根都落在 内要求 ，若落在 内则端点函数值可取 ，需按题意区分。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　一元二次不等式的解法与解集表示　★★ 【解题技巧】解一元二次不等式牢记"一化正、二判别、三求根、四写集"四步：先把二次项系数化为正，再算判别式，能因式分解的优先分解，最后"大于取两边、小于取中间"写出解集，并规范地用区间或集合表示。 【注意事项】三个高频陷阱：①二次项系数为负时忘记变号；② 时把 的解集错写成 （应为 ）；③解集用"或"连接的两段忘记取并集。 【例1-1】（2025·上海卷·高考真题）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先因式分解求根，再按"大于取两边"写出解集。 【解答过程】不等式 可化为 。 对应方程 的两根为 ，二次项系数 。 由"大于取两边"，解集为 。故选 C。 【例1-2】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解一元二次不等式化简 ，再与 取交集。 【解答过程】由 得 ，解得 ，即 。 又 ，所以 。故选 A。 【例1-3】（2026·湖北·武汉市第二中学·5月模拟）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】解集的端点即对应方程的两根，由韦达定理求 。 【解答过程】由解集为 知， 是方程 的两根。 由韦达定理：，，解得 ，。 所以 。故选 A。 【变式1-1】（2025·上海卷·高考真题改编）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】因式分解求根，按"大于取两边"（含等号）写解集。 【解答过程】由 得 ，解得 或 ，即解集为 。故选 B。 【变式1-2】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先化二次项系数为正（两边同乘 并变号），再求解。 【解答过程】不等式两边同乘 ，得 ，即 ，解得 。 所以解集为 。故选 A。 【变式1-3】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】 时，抛物线开口向上且与 轴相切，除切点外均满足 。 【解答过程】，不等式即 ，故 ，解集为 。故选 C。 【变式1-4】已知不等式 的解集为 ，则 的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解集端点即两根，用韦达定理求 。 【解答过程】由解集为 知 是方程 的两根。 由韦达定理：，，解得 ，。 所以 。故选 B。 【变式1-5】若关于 的不等式 的解集是 ，则不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由第一个不等式的解集求 ，再解第二个不等式（注意 变号）。 【解答过程】由 的解集为 知 是方程 的两根。 所以 ，，即 ，。 于是 即 ，即 ，解得 或 。 所以解集为 。故选 C。 【变式1-6】不等式 的整数解的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】两边同乘 化整系数，解出区间后在整数范围内列举元素。 【解答过程】不等式两边同乘 得 ，即 ，解得 。 整数解为 ，共 个。故选 C。 重难点培优02　分式不等式与高次不等式　★★ 【解题技巧】分式不等式的通法：先移项、通分，把一边化为 ，再按""等价转化为整式不等式，转化时千万别漏掉分母 的限制；高次不等式因式分解后用"数轴穿根法"，奇穿偶不穿。 【注意事项】两大易错：①直接去分母（分母符号未知，绝不可行）；②把 与 混为一谈，前者须附加 。穿根时先把最高次项系数化为正，从最右端点上方起由右向左穿。 【例2-1】（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先移项通分，把右边化为 ，再转化为整式不等式（附分母不为零）。 【解答过程】原不等式移项得 ，通分得 ，即 。 等价于 ，等价于 。 由 得 ，又 ，所以 。 故解集为 。故选 C。 【例2-2】（2026·江苏·南京师范大学附属中学·模拟）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】移项通分，化为 的标准形式再转化。 【解答过程】原不等式移项得 ，通分得 ，即 。 等价于 。 由 得 ，又 ，所以 。 故解集为 。故选 A。 【例2-3】（2026·山东·济南市历城第二中学·5月大练兵）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】最高次项系数为正，标根后用穿根法确定符号区间。 【解答过程】三个根由小到大为 ，最高次项系数为正，从最右端 上方起由右向左穿根。 在 上 ，在 上 ，在 上 ，在 上 。 故满足 的解集为 。故选 A。 【变式2-1】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化为 ，并注意分母不为零。 【解答过程】原不等式等价于 且 ，由 得 ，满足 。 故解集为 。故选 A。 【变式2-2】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】化为 ，并注意分母不为零。 【解答过程】原不等式等价于 且 。 由 得 或 ，又 ，故 或 ，解集为 。故选 A。 【变式2-3】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】移项通分，化为标准形式后转化为整式不等式。 【解答过程】原不等式移项得 ，通分得 ，即 。 等价于 且 ，解得 或 ，又 。 故解集为 。故选 A。 【变式2-4】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】最高次项系数为正，标根 ，从右向左穿根定号。 【解答过程】三个根由小到大为 ，最高次项系数为正，从最右端上方起由右向左穿根。 在 上 ，在 上 ，在 上 ，在 上 。 故满足 的解集为 。故选 A。 【变式2-5】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分子因式分解后转化为三次不等式，注意分母不为零。 【解答过程】原不等式等价于 ，即 且 。 三个根由小到大为 ，最高次项系数为正，穿根可得 的解为 。 又 已自动排除，故解集为 。故选 A。 【变式2-6】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】移项通分，把常数项并入分子后转化为整式不等式。 【解答过程】原不等式移项得 ，通分得 ，即 。 等价于 且 ，即 ，解得 或 。 故解集为 。故选 B。 重难点培优03　含参一元二次不等式（按根的大小/判别式讨论）　★★★ 【解题技巧】含参二次不等式"三步讨论"：一讨论二次项系数（正负、是否为零），二讨论判别式 的符号，三比较两根的大小。若不等式能因式分解为 的形式，则直接把 作差比大小，按 、、 分段写解集。 【注意事项】含参讨论"不重不漏"是得分关键：①二次项系数含参时先讨论 （退化为一次不等式）；②两根含参必须先比大小，不能默认 ；③每段结论都要标注对应的参数范围，最后汇总。 【例3-1】（2026·上海卷·高考真题）已知关于 的不等式 ，则当 时，其解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先因式分解求根，再由 确定两根大小，按"小于取中间"写解集。 【解答过程】原不等式可化为 ，对应两根为 。 因为 ，所以 。由"小于取中间"，解集为 。故选 A。 【例3-2】（2026·湖南·长沙市雅礼中学·考前模拟）解关于 的不等式 时，需要对根的大小进行分类讨论，则分类标准是（　　） A．，， B．，， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】把不等式因式分解，两根为 与 ，比较二者大小即得分类标准；注意 已给定。 【解答过程】，对应两根为 与 。 比较两根：，在 下其符号由 决定，故分 、、 三类。 所以分类标准为 ，，。故选 A。 【例3-3】（2026·河南·郑州市第一中学·5月调研）已知关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】开口向上，要使 无解，抛物线不能有两个交点，即 。 【解答过程】 的解集为空集，即抛物线 （开口向上）不存在使函数值小于 的 ， 须 ，解得 。故选 B。 【变式3-1】解关于 的不等式 时，两根为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用十字相乘法因式分解，确定两根。 【解答过程】，令其为 得两根 与 。故选 C。 【变式3-2】解关于 的不等式 ：若 ，则解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两根为 ，由 及"小于取中间"写解集。 【解答过程】两根为 ，由 及"小于取中间"，解集为 。故选 A。 【变式3-3】设 ，解关于 的不等式 ：当 时，解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】因式分解求根，由 确定两根大小，按"大于取两边"写解集。 【解答过程】，两根为 与 。 当 时 ，由"大于取两边"，解集为 。故选 A。 【变式3-4】解关于 的不等式 ：当 时，解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】因式分解求根，由 确定两根大小，按"大于取两边"写解集。 【解答过程】，两根为 与 。 当 时 ，即 ，又 ， 由"大于取两边"，解集为 。故选 A。 【变式3-5】若关于 的不等式 对一切实数 恒成立，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上，恒成立等价于判别式小于零。 【解答过程】 对一切 恒成立 。故选 A。 【变式3-6】已知关于 的不等式 的解集是 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】因式分解知两根为 与 ，由解集端点确定 。 【解答过程】，两根为 与 。 由解集为 知 ，即 （此时两根为 ，符合）。故选 A。 重难点培优04　一元二次不等式恒成立求参范围　★★★ 【解题技巧】恒成立问题"三看定法"：一看是否在 上——用"开口＋判别式"；二看是否在某区间上——优先"分离参数"转化为求最值；三看参数位置——参数在二次项系数上时结合图象分类讨论。核心口诀： 恒成立 ； 恒成立 。 【注意事项】三类高频错误：①把"恒成立"错当成"有解"（ 有解为 ，方向相反）；② 上恒成立漏掉 的退化情形；③区间上恒成立只看端点、忽略顶点——对称轴落在区间内时必须比较顶点值。 【例4-1】（2025·天津卷·高考真题）若 ，对任意 ，均有 恒成立，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设 ，选取能消去 的特殊值 代入，得到 的必要条件；再验证等号可取。 【解答过程】记 ，题意即 对 恒成立。 取 （该值使 的系数 为零，从而消去 ）： 。 由恒成立知 ，即 ，所以 。 取 ，此时 ，不等式化为 对任意 成立，符合题意。 所以 的最小值为 。故选 B。 【例4-2】（2026·浙江·杭州市第二中学·模拟）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上，恒成立等价于判别式小于零。 【解答过程】 对一切 恒成立 。 即 ，解得 。故选 A。 【例4-3】（2026·福建·厦门双十中学·5月模拟）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】恒成立转化为求左端函数在区间上的最小值。 【解答过程】 恒成立 。 设 ，对称轴 ，故最小值 。 所以 。故选 A。 【变式4-1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题改编）若关于 的不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先讨论 的退化情形，再对 用"开口＋判别式"。 【解答过程】当 时， 恒成立，符合题意； 当 时，须 ，解得 。 综上，，即 。故选 A。 【变式4-2】若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数化为 ，再用基本不等式求最小值。 【解答过程】由 ，原不等式化为 对 恒成立。 设 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，即最小值 。 所以 。故选 A。 【变式4-3】若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数化为 ，求其最小值。 【解答过程】由 ，原不等式化为 恒成立，只需 。 由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，故最小值为 ，所以 。故选 A。 【变式4-4】若关于 的不等式 在 上有解，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"有解"转化为求右端函数在区间上的最大值。 【解答过程】 在 上有解，等价于存在 使 。 设 ，在 上的最大值为 。 所以只需 。故选 A。 【变式4-5】若对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，再用换元与基本不等式求最小值。 【解答过程】当 时，不等式为 ，恒成立； 当 时，，不等式化为 。 令 ，则 ，当且仅当 （即 ）时取等号。 所以 。故选 A。 【变式4-6】若对任意 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向下且与 轴无交点，联立不等组求解。 【解答过程】恒成立需开口向下且判别式小于零，即 。 由 得 ，即 或 ；与 取交集得 。 所以 。故选 A。 重难点培优05　二次函数在闭区间上的最值　★★★ 【解题技巧】二次函数 在闭区间 上的最值，关键看对称轴 与区间的位置关系：①：区间在对称轴右侧，利用单调性；②：最值在顶点处取得；③：区间在对称轴左侧。含参时按"轴在区间左、内、右"三类讨论，最值随对称轴的移动而变化。 【注意事项】求闭区间最值的三个易错点：①不判断对称轴位置就直接代端点；②开口方向判断错误导致"最大值/最小值"互换；③含参最值问题讨论不完全、遗漏"轴在区间内"的情形。建议先配方定对称轴，再画图定位三类情形。 【例5-1】（2026·河北·石家庄市第二中学·模拟）函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】配方定对称轴，比较端点与顶点处的函数值。 【解答过程】，开口向上，对称轴 。 计算各关键值：，，。 故最大值为 。故选 A。 【例5-2】（2026·广东·深圳中学·5月模拟）设函数 在区间 上的最小值为 ，则当 时 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对称轴在区间左侧时函数单调递增，最小值在左端点取得。 【解答过程】，开口向上，对称轴 。 当 时，对称轴在区间 的左侧， 在 上单调递增，最小值在 处取得。 所以 。故选 A。 【例5-3】（2026·安徽·芜湖市第一中学·三模）若函数 在区间 上的最小值为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】最小值在顶点处取得，需顶点横坐标落入区间。 【解答过程】，最小值 在 处取得。 当 时，，最小值 ； 当 时， 在 上递减，最小值 。 故需 。故选 A。 【变式5-1】函数 在区间 上的值域为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对称轴在区间内，最小值为顶点值，最大值为两端点值的较大者。 【解答过程】，对称轴 。 ，，。故值域为 。故选 A。 【变式5-2】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】开口向下，最大值在顶点处取得。 【解答过程】，开口向下，对称轴 ，最大值 。故选 C。 【变式5-3】设函数 在 上的最小值为 ，则 的值为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解题思路】按对称轴与区间的位置关系分三类讨论，分段求解。 【解答过程】，对称轴 。 ①若 ， 在 上递增，最小值为 ，令 得 ，取 ； ②若 ，最小值为 ，无解； ③若 ， 在 上递减，最小值为 ，令其为 得 或 ，取 。 综上， 或 。故选 C。 【变式5-4】若函数 在区间 上是增函数，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上的二次函数在对称轴右侧递增，将"区间递增"转化为端点不等式。 【解答过程】，开口向上，其单调递增区间为 。 要使 在 上递增，需 ，即 。故选 A。 【变式5-5】函数 在区间 上的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对称轴在区间内，比较端点值与顶点值。 【解答过程】，对称轴 。 ，，。故最大值为 。故选 A。 【变式5-6】已知函数 在 上的最大值为 ，最小值为 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】最小值 要求顶点落入区间，最大值不超过 要求右端点的函数值受限。 【解答过程】，对称轴 ，。 最小值为 需 ，即 ； 最大值不超过 需 ，即 ，解得 。 综上，。故选 A。 重难点培优06　一元二次方程根的分布与韦达定理　★★★ 【解题技巧】根的分布"三件套"：判别式 、对称轴位置、区间端点函数值 三者联立。把"根在哪个范围"翻译成"抛物线在该处与 轴的相对位置"，画草图定位；涉及根的对称式（、、 等）时，优先用韦达定理整体代入，不必求出具体根。 【注意事项】根的分布三类易错：①只算 就下结论，忽略对称轴与端点值；②用韦达定理前未检验 ，导致"无实根"也套公式；③端点取等号判断错误——"根在 内"与"根在 内"条件不同，务必按题意区分开闭。 【例6-1】（2024·天津卷·高考真题改编）若关于 的方程 有两个不相等的实根，且两根都大于 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用"判别式＋韦达定理"刻画两根均为正。 【解答过程】设两根为 ，需 、、。 由 （自动成立）且 ，得 ； 又 ，得 。 综上，。故选 A。 【例6-2】（2026·江苏·苏州中学·模拟）若方程 的两根都落在区间 内，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】方程左边是完全平方减 ，可直接求出两根，再限制范围。 【解答过程】，两根为 与 。 两根都落在 内，需 且 ，解得 。故选 A。 【例6-3】（2026·江西·南昌市第二中学·5月模拟）已知 是方程 的两根，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】用韦达定理把对称式化为和与积的组合。 【解答过程】由韦达定理 ，。 所以 。故选 B。 【变式6-1】若关于 的方程 有两个不相等的正实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． 或 D． 【答案】A 【解题思路】联立"判别式大于零、两根和大于零、两根积大于零"三个条件。 【解答过程】设两根为 ，需 、、。 恒成立；，即 ； ，即 或 。 取交集得 。故选 A。 【变式6-2】已知方程 的一根大于 、一根小于 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上的抛物线与 轴交点分居 两侧，等价于 。 【解答过程】设 ，开口向上。一根大于 、一根小于 ，等价于 。 由 得 。故选 A。 【变式6-3】若 是方程 的两根，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把目标式通分为 ，再用韦达定理。 【解答过程】由韦达定理 ，。 所以 。故选 A。 【变式6-4】若关于 的方程 的两根都在区间 内，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"两根都在 内"用"判别式＋对称轴大于 ＋端点值 "刻画。 【解答过程】设 ，开口向上。需： 对称轴 ；端点值 ；判别式 。 由 得 ；由 得 或 ；与 取交集得 。故选 A。 【变式6-5】若关于 的方程 在区间 内有实根，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 ，求其在 上的取值范围。 【解答过程】由 且 ，方程化为 。 设 ，在 上递减、在 上递增，最小值 ；又 时 ， 故 在 上的值域为 ，所以 。故选 A。 重难点培优07　二次不等式与函数、数列、导数的交汇　★★★★ 【解题技巧】交汇问题的通法：先识别结构——把二次不等式看作某个函数的符号问题，再用函数的单调性、最值或导数工具解决。与数列交汇时，把 视为变量 ，转化为"对 恒成立"的问题；与导数交汇时，先求导，利用二次不等式确定导数的符号，进而判断单调性。 【注意事项】交汇题的三个失分点：①忽略变量的实际范围（如 、区间限制）；②把"能成立"与"恒成立"混用；③含分段函数时忘记在分界点处衔接两段。先明确"对谁、在哪个范围内"满足不等式是解题第一步。 【例7-1】（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数 在 上单调递增，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别让两段在其区间上递增，再在分界点处衔接两段（左侧极限不超过右侧函数值）。 【解答过程】当 时， 是开口向下的抛物线，其单调递增区间为 。 要使 在 上递增，需 ，即 。 当 时，，，故 在 上递增。 又 在 上递增需在分界点处衔接：，即 。 综上，。故选 B。 【例7-2】（2026·辽宁·大连市第八中学·5月模拟）设数列 的通项为 ，若对一切 都有 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】把 视为关于 的二次函数，对称轴应使 处取到正整数范围内的最小值。 【解答过程】把 看作关于 的二次函数，对称轴为 。 要使 对一切 成立，只需对称轴落在 与 之间（即最接近 ）， 即 ，解得 。故选 B。 【例7-3】（2026·浙江·宁波市效实中学·模拟）已知函数 ，则 的单调递增区间是（　　） A． B． 和 C． D． 【答案】B 【解题思路】求导后解二次不等式 ，即得单调递增区间。 【解答过程】。 令 ，即 ，解得 或 。 所以 的单调递增区间为 和 。故选 B。 【变式7-1】设函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】两段分别递增，并检验分界点处衔接。 【解答过程】当 时， 的对称轴为 ，要在 上递增，需 ，即 ； 当 时， 要递增，需 。 且在 处两段值均为 ，衔接连续。故 。故选 A。 【变式7-2】已知数列 满足 ，则 的最大项是第几项（　　） A． B． C． D． 或 【答案】B 【解题思路】配方后找对称轴处的正整数。 【解答过程】，是关于 的二次函数，对称轴 。 故当 时取得最大值。故选 B。 【变式7-3】若函数 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】二次函数的单调递减区间为对称轴左侧，转化为区间包含关系。 【解答过程】，其单调递减区间为 。 要使 在 上递减，需 ，即 。故选 A。 【变式7-4】已知函数 ，若 在区间 上单调递减，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先由 求出递减区间，再要求给定区间为其子集。 【解答过程】，令 得 ，即 的单调递减区间为 。 要使 在 上递减，需 ，即 且 ，解得 。故选 C。 【变式7-5】已知数列 的通项 ，则 中的最小项为（　　） A． B． C． 或 D． 或 【答案】C 【解题思路】对称轴落在两个正整数之间且距离相等时，两处同时取最小值。 【解答过程】，对称轴 位于 与 之间且到二者距离相等。 ，，二者相等且均为最小值。故选 C。 【变式7-6】已知函数 在 上单调递增，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】"在 上递增"转化为导函数（二次式）恒非负，用开口与判别式刻画。 【解答过程】， 在 上递增需 恒成立。 开口向上，需 ，解得 。故选 D。 重难点培优08　新定义与创新问题　★★★★ 【解题技巧】新定义问题的"三步走"：读定义（逐字圈出条件与"且/或"等关键词）→ 译符号（把新记号翻译成解不等式、判根、求最值等旧运算）→ 验证（代入检验，注意变量的范围与端点）。涉及"对任意/存在"时，先明确量与量词，再分别对应到最值。 【注意事项】新定义题"最忌想当然"：①把新运算当成熟悉的交并补或常规不等式直接套用；②忽略定义中的隐含范围（如 、）；③对"任意""存在"量词处理方向颠倒。把定义抄在草稿纸上、逐步代入是稳妥做法。 【例8-1】（2026·北京卷·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往。已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（　　） A．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数 B．去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数 C．去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数 D．去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数 【答案】B 【解题思路】设四个未知量，把两个不等关系相加，消去"同地同类"的部分，得到目标关系。 【解答过程】设高一去甲、乙地的人数分别为 ，高二去甲、乙地的人数分别为 。 由"高一总人数多于高二"得 ；由"去甲地总数多于去乙地总数"得 。 两式相加：，化简得 ，即 。 即去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数。故选 B。 【例8-2】（2026·湖南·长沙市第一中学·5月模拟）定义集合运算 。已知 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先各自解不等式求出集合（注意 ），再按新定义求"对称差"。 【解答过程】由 得 ，又 ，故 。 由 得 ，又 ，故 。 ，， 按定义 为"在并集中而不在交集中"的元素，即 。故选 A。 【例8-3】（2026·湖北·华中师范大学第一附属中学·适应考）对于二次函数 ，定义满足 的实数 为 的"不动点"。若 有不动点，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把"有不动点"翻译成方程 有实根，用判别式求参。 【解答过程】由不动点定义，需方程 有实根，即 有实根。 所以 ，解得 。故选 A。 【变式8-1】定义运算 。若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义代入，转化为一元二次不等式。 【解答过程】由定义 ，即 ，解得 。故选 A。 【变式8-2】定义集合运算 。已知 ，，则 中元素的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】按定义列出所有可能的差，再用互异性去重。 【解答过程】所有可能的 ：，，，，，。 去重得 ，含 个元素。故选 B。 【变式8-3】定义：若 对 恒成立，则称 在 上"优良"。则下列函数在 上"优良"的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】逐项求函数在 上的最大值，判断是否恒小于 。 【解答过程】A． 在 上恒正，不满足；B． 在 处为 ，不满足 ； C． 在 上的最大值为 ，满足；D． 在 处为 ，不满足。 故选 C。 【变式8-4】定义：若不等式 的解集为 ，则称 为该不等式的"跨度值"。则不等式 的"跨度值"为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解不等式求出解集端点，再求两端点之和。 【解答过程】由 得 ，解集为 。 故"跨度值"为 。故选 A。 【变式8-5】对于实数 ，定义 表示 中的较小者。若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】"较小者小于 "等价于 ，转化为一元二次不等式。 【解答过程】因为 取 与 中的较小者，所以 等价于 ，即 。 由 解得 或 。故选 A。 【变式8-6】定义运算""：。若 ，则 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】按定义代入化为 ，因式分解求解。 【解答过程】由定义 ，即 ，解得 。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】因式分解求根，按"小于取中间"写解集。 【解答过程】由 得 ，解得 ，解集为 。故选 A。 2．【巩固】（2025·全国二卷·高考真题）不等式 的解集是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】移项通分转化为整式不等式，注意分母不为零。 【解答过程】原不等式即 ，等价于 ，即 且 。 解得 。故选 C。 3．【巩固】（2026·全国一卷·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先解一元二次不等式化简 ，再求交集。 【解答过程】由 得 ，即 ，所以 。 又 ，所以 。故选 C。 4．【巩固】（2024·全国甲卷·文·高考真题）已知集合 ，，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解一元二次不等式化简 ，再与 求交集。 【解答过程】由 得 ，解得 ，即 。 所以 。故选 A。 5．【进阶】若不等式 的解集为 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上，恒成立等价于判别式小于零。 【解答过程】 恒成立 ，解得 。故选 A。 6．【进阶】（2026·浙江·模拟）函数 在区间 上的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】配方定对称轴，判断其是否在区间内。 【解答过程】，对称轴 ，故最小值 。故选 A。 7．【进阶】（2026·山东·模拟）已知不等式 的解集为 ，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解集端点即方程的两根，用韦达定理求 。 【解答过程】由解集为 知 是方程 的两根。 由韦达定理 得 ； 得 。所以 。故选 B。 8．【进阶】（2026·福建·模拟）若 是方程 的两根，则 （　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】用韦达定理把对称式化为和与积的组合。 【解答过程】由韦达定理 ，。 所以 。故选 A。 二、多选题 9．【进阶】（2026·全国·模拟）已知不等式 的解集为 ，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】由解集为两根之间的区间确定 与两根，再用韦达定理推出 的符号，并计算 。 【解答过程】由解集为 知 ，且 是方程 的两根。 由韦达定理：，即 ，A、B 正确； ，即 ，故 C 错误； ，D 正确。 故选 ABD。 10．【进阶】（2026·安徽·模拟）若函数 在区间 上的最小值为 ，则下列结论正确的是（　　） A．当 时， B．当 时， C．当 时， D． 的最小值为 【答案】ABC 【解题思路】按对称轴与区间的位置关系分类求最小值，再检验 D 项。 【解答过程】，对称轴 。 当 时， 在 上递增，，A 正确； 当 时，，B 正确； 当 时， 在 上递减，，C 正确； 取 ，则 ，故最小值不为 ，D 错误。 故选 ABC。 11．【进阶】（2026·四川·模拟）已知关于 的不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解题思路】恒成立转化为 的最大值。 【解答过程】 在 上恒成立，等价于 对 恒成立。 设 ，在 上的最大值为 ，故需 。 选项中 均大于 ， 不大于 。故选 BCD。 12．【培优】（2026·辽宁·模拟）定义集合运算 。已知 ，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解题思路】先各自解不等式求出集合，再按新定义求 ，逐项判断。 【解答过程】由 得 ，又 ，故 ； 由 得 ，又 ，故 。 ，，故 ，A 正确； ，B 正确；，不在 中，C 错误；，D 正确。 故选 ABD。 三、填空题 13．【巩固】（2026·全国·模拟）不等式 的解集是 ______． 【答案】 【解题思路】转化为整式不等式，注意分母不为零。 【解答过程】原不等式等价于 且 ，由 得 ，又 ，故解集为 。 14．【进阶】（2026·山西·模拟）若函数 的最小值为 ，则 ______． 【答案】 【解题思路】配方后令最小值为零。 【解答过程】，最小值为 。由 得 。 15．【进阶】（2026·重庆·模拟）已知方程 有两个不相等的正实根，则 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】联立"判别式大于零、两根和大于零、两根积大于零"。 【解答过程】设两根为 ，需 、、。 自动成立；；，即 。 综上，。 16．【培优】（2026·陕西·模拟）若不等式 对 恒成立，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】分离参数化为 ，再用基本不等式求最小值。 【解答过程】由 ，，原不等式化为 恒成立。 设 ，由基本不等式 ，当且仅当 时取等号，故 。 所以 ，即 。 四、解答题 17．【进阶】解关于 的不等式：． (1) 当 时，求不等式的解集； (2) 讨论 的取值，写出不等式的解集． 【答案】(1) ；(2) 当 时解集为 ，当 时解集为 ，当 时解集为 ． 【解题思路】(1) 代入 因式分解求解；(2) 因式分解后按两根大小分类讨论。 【解答过程】(1) 当 时，不等式为 ，即 ，解得 ，解集为 。 (2) 原不等式化为 ，两根为 与 。 当 时，，解集为 ； 当 时， 无解，解集为 ； 当 时，，解集为 。 18．【培优】已知函数 在区间 上的最小值为 ． (1) 求 的表达式； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 按对称轴与区间的位置关系分三类求最小值；(2) 分段解不等式后取并集。 【解答过程】(1) ，对称轴 。 当 时， 在 上递增，； 当 时，； 当 时， 在 上递减，。 (2) 分段求解 ： 当 时， 得 ，与 矛盾，无解； 当 时， 得 ，符合； 当 时， 得 ，与 矛盾，无解。 综上，。 19．【培优】已知方程 有两个不相等的实根 ． (1) 求实数 的取值范围； (2) 若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 由判别式大于零求 ；(2) 用韦达定理把 化为含 的式子再解不等式。 【解答过程】(1) 方程有两个不相等的实根，需 ，解得 。 (2) 由韦达定理 ，， 所以 。 由 得 。结合(1)的 ，得 。 20．【培优】某公司生产一种产品，每件产品的成本为 元，售价为 元（）。经市场调研，销售量 （件）与售价 （元）满足 ，利润记为 （元）． (1) 写出利润 关于售价 的函数关系式； (2) 若要求利润不低于 元，求售价 的取值范围． 【答案】(1) （）；(2) ． 【解题思路】(1) 由"利润＝（售价－成本）×销售量"建立函数式；(2) 由 转化为一元二次不等式求解。 【解答过程】(1) 由题意 ， 整理得 ，其中 。 (2) 由 得 ，即 ， 两边同除以 并变号得 ，即 ，解得 。 结合 ，得 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $