2.3二次函数与一元二次方程、不等式教材深挖讲义-2027届高三数学一轮复习

人教A版·必修第一册　第2章 2.3　二次函数与一元二次方程、不等式 教材结论与考点深挖 一、条目逐条展开 条目一　三个二次的对应关系：图象、零点、解集 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 正文，由二次函数图象与 轴交点引入一元二次不等式解法的内容；课后习题中解不等式与由解集求参数的基本题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：正文定理公式。 设 ，记 。二次函数 的图象、方程 的根、不等式 （或 ）的解集，由图象与 轴的位置关系统一决定： 判别式 图象与 轴 的解集 的解集 两个交点 ，且 或 一个交点 无交点 全体实数 当 时，先把不等式两边乘 化为二次项系数为正，再查表；乘 时不等号方向改变。 图 1　 时二次函数图象与 轴位置的三种情形 （3）推导证明 对 配方： 因为 ，所以 的符号由 决定。 · 当 时，，方程有两个不等实根 。抛物线开口向上，在两个交点之间图象位于 轴下方，在交点两侧位于 轴上方，故 的解集为两根之外， 的解集为两根之间。 · 当 时，。除顶点 外函数值恒正，故 的解集为除顶点外的全体实数， 的解集为空集。 · 当 时，，平方项非负，故 对一切实数 成立， 无解。 由求根公式还可得到韦达定理： （4）适用条件与易错提醒 · 口诀“大于取两边、小于取中间”只适用于 且 ； 必须先化正， 时不能套口诀。 · 解集端点开闭由不等号决定： 用开区间； 时把对应根并入解集。 · 时 的解集是 ，不是全体实数； 的解集才是全体实数。 · 二次项系数含参数时必须先讨论 ，否则不是二次不等式，判别式也不能用。 · 由解集反求系数时，解集端点就是对应方程的根；解集为两根之间说明 ，解集为两根之外说明 。 （5）考点定位与命题角度 选填与解答题第一问；常见设问：解一元二次不等式、判断解集、由解集求参数、与集合交并补结合。难度基础到中档。对应 2023 新课标Ⅰ·1（集合与一元二次不等式）、2024 上海·3（解一元二次不等式）、2025 全国二卷·4（分式不等式化为一元二次不等式）。 （6）方法归纳 · 第一步　化正：两边乘 或提取负号，把二次项系数化为正，注意不等号方向。 · 第二步　判根：计算 ，能因式分解先因式分解，求出方程 的根。 · 第三步　画图：画开口向上的抛物线，标出与 轴交点，确定函数值正负区间。 · 第四步　写解集：按“大于取两边、小于取中间”写出，检查端点开闭与 的符号。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 解不等式 。 解析 方程 可因式分解为 ，根为 ，且 ，抛物线开口向上。故不等式的解集为 或 。 例题 2（教材原题改编） 解不等式 。 解析 两边乘 ，不等号方向改变： 方程 可因式分解为 ，根为 。抛物线开口向上， 取两根之间，故解集为 。 （8）变式训练 变式 1-1（高考真题改编） 已知集合 ，，求 。 变式 1-2（优质模拟改编） 已知不等式 的解集为 ，求关于 的不等式 的解集。 条目二　含参一元二次不等式的三级分类讨论 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 正文例 1 至例 3 的解法，以及课后习题中的含参不等式；三级分类由这些例题与习题的解题步骤归纳。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：例题结论。 解含参一元二次不等式 （或 ）按三级顺序讨论： 1. 第一级看二次项系数 ： 时退化为一次不等式或常数不等式，单独处理； 时再看 还是 ， 可两边乘 化正。 1. 第二级看判别式 ： 有两个不等实根； 有两个相等实根； 无实根。 1. 第三级看两根大小：根含参数时，比较 与 的大小，按 、、 分别写解集。 在 且 时， 的解集为两根之外， 的解集为两根之间； 时 为除重根外的全体实数， 为空集； 时 为全体实数， 为空集。 （3）推导证明 以 为例，先因式分解： · 若 ：原不等式为 ，即 。 · 若 ：抛物线开口向下，方程两根为 与 ，且 。 的解集为两根之外，即 或 。 · 若 ：抛物线开口向上，， 取两根之间，即 。 · 若 ：原不等式为 ，无解。 · 若 ：抛物线开口向上，， 取两根之间，即 。 可见分界点来自“二次项系数是否为 ”“开口方向”“两根是否相等、谁大谁小”，这正是三级分类的依据。 （4）适用条件与易错提醒 · 先看二次项系数能否为 ；直接写 会把一次不等式的情形漏掉。 · 时先化正，不能直接套“大于取两边、小于取中间”。 · 两根含参数时必须比较两根大小；例如 与 的大小以 为分界，不要漏掉 。 · 时 的解集是空集， 的解集是除重根外的全体实数；不要把重根写成两个不同根。 · 解集要写成集合或区间；用不等式描述时，端点开闭与不等号一致。 （5）考点定位与命题角度 解答题第一问或选填；常见设问：解含参不等式、由解集求参数、含参不等式在区间上恒成立。难度中档。对应 2024 上海·3（由解集确定参数）、2025 天津·15（含参二次不等式在区间上恒成立）。 （6）方法归纳 · 第一步　定类型：看二次项系数是否含参，先讨论 与 。 · 第二步　定开口： 开口向上； 两边乘 化正并改变不等号方向。 · 第三步　定根：计算 ，因式分解或求根公式；根含参时比较两根大小。 · 第四步　定解集：结合图象写解集，按参数分界点分段列出，最后合并。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 解关于 的不等式 （ 取一切实数）。 解析 因式分解得 。按 与 的大小分三种情形： · 当 时，解集为 ； · 当 时，，解集为 ； · 当 时，解集为 。 例题 2（教材原题改编） 解关于 的不等式 （ 取一切实数）。 解析 因式分解得 ，按 的符号与 和 的大小分五种情形： · 当 时，原不等式为 ，解集为 ； · 当 时，，抛物线开口向下，解集为 或 ； · 当 时，，解集为 ； · 当 时，，解集为 ； · 当 时，，解集为 。 （8）变式训练 变式 2-1（高考真题改编） 已知关于 的不等式 的解集为 ，求 。 变式 2-2（优质模拟改编） 解关于 的不等式 （ 取一切实数）。 条目三　不等式恒成立与分离参数 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 课后习题中“不等式在实数集上恒成立”的基本题；章末复习参考题中在给定区间上恒成立与存在性问题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：习题结论。 设 。 · 在实数集上恒成立： · 对一切实数 恒成立 且 ，或 且 。 · 对一切实数 恒成立 且 ，或 且 。 · （或 ）恒成立的条件，由两边乘 转化为上述情形。 · 在区间 上恒成立： · 对任意 恒成立 在 上的最小值 。 · 对任意 恒成立 。 · 存在性： · 存在 使 。 · 存在 使 。 · 分离参数：若 对任意 恒成立，则 ；若 对任意 恒成立，则 。 图 2　区间上恒成立与存在性的图象判据 （3）推导证明 · 在实数集上： 时抛物线开口向上， 恒成立等价于图象全部在 轴上方，即与 轴无交点，故 ； 允许相切，故 。 时开口向下，不可能恒正； 时退化为一次函数或常数，需单独讨论。 · 在区间上：恒成立要求区间内每个函数值都不小于 ，等价于区间上的最小值不小于 ；存在性只要求至少一个函数值不小于 ，等价于最大值不小于 。这两个结论由“最小值是下界、最大值是上界”直接得到。 · 分离参数： 对每个 成立，等价于 不超过 的所有取值，即 ； 对每个 成立，等价于 不小于 的所有取值，即 。 （4）适用条件与易错提醒 · “恒成立”与“存在”不能混：恒成立看最小值（或最大值），存在看最大值（或最小值），方向相反。 · 在实数集上恒成立时，若二次项系数含参，必须先讨论 ；只写 会漏掉一次不等式的情形。 · 在区间上恒成立不能只用 ； 只保证在实数集上恒正，区间上还要看端点与对称轴。 · 分离参数时，若两边除以含 的式子，必须先确定其符号；符号不确定时要分类讨论。 · 端点能否取等： 恒成立允许 ；若题目写 ，则需 ，端点取等要单独检验。 （5）考点定位与命题角度 选填压轴或解答题；常见设问：求参数范围、判断命题真假、由恒成立求最值。难度中档到压轴。对应 2025 天津·15（含参二次不等式在区间上恒成立）。 （6）方法归纳 · 第一步　定主元：看清“对谁恒成立”，把参数与自变量分开；能分离参数先分离。 · 第二步　求最值：配方或利用单调性求 在区间上的最小值或最大值。 · 第三步　列不等式：恒成立列 或 ；存在性列 或 。 · 第四步　回验端点：检查等号能否取到，二次项系数为 的情形是否遗漏。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 当 取什么值时，关于 的不等式 对一切实数 都成立？ 解析 二次项系数为 ，抛物线开口向上。要使不等式对一切实数 成立，只需判别式非正： 即 ，解得 。故 的取值范围为 。 例题 2（教材原题改编） 对任意 ，不等式 恒成立，求 的取值范围。 解析 因为 ，所以 。分离参数得 设 。对 ，，故 在 上单调递增，最小值为 所以 。当 时，，等号在 处取到，符合题意。故 的取值范围为 。 （8）变式训练 变式 3-1（高考真题改编） 若 取一切实数，对任意 ，均有 恒成立，求 的最小值。 变式 3-2（优质模拟改编） 若存在 ，使不等式 成立，求 的取值范围。 条目四　一元二次方程根的分布与区间根 （1）教材出处 必修第一册 第二章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式 正文中二次函数零点与方程根的关系；课后习题中“两根都大于某数”“一根在区间内、另一根在另一区间内”的根的分布问题。 （2）教材结论/公式/性质 结论类型：习题结论。 设 （），方程 的根的分布由开口方向、判别式、对称轴、区间端点函数值四个要素共同确定： · 两根都大于 ：，，。 · 两根都小于 ：，，。 · 一根小于 、一根大于 ：。 · 两根都在 内：，，，。 · 一根在 内、另一根在 内（）： 且 。 · 在区间 上有解：若 ，则由零点存在定理至少有一解；若 ，还需 且对称轴在 内。 当 时，先两边乘 化为 ，不等号方向改变后再用上述条件。 图 3　二次方程根的两种典型分布 （3）推导证明 以 为例，抛物线开口向上。 · 两根都在 内： 保证有两个实根；对称轴在 内保证两根的中点落在区间内； 且 保证区间两端都在 轴上方，结合开口向上，两根不可能落在区间外，故两根都在 内。 · 一根在 内、另一根在 内： 说明在 内函数值变号，由零点存在定理至少有一根；二次函数至多有两个根，再用 说明在 内也至少有一根，故两根分别落在两个区间内。 · 一根小于 、一根大于 ： 说明 处图象在 轴下方，开口向上，故 介于两根之间，即一根小于 、一根大于 。 反过来，若根的分布已知，则上述条件可由图象直接读出，因此条件是充要的（端点取等问题需单独检验）。 （4）适用条件与易错提醒 · 只写 不够，必须同时看对称轴与端点函数值。 · 端点取等要单独检验：根恰在区间端点时 ，不属于“两根都在开区间内”的情形。 · 二次项系数含参时先讨论 ； 先化正，不能直接套 的条件。 · 两根都在 内时，若要求“两个不同实根”，用 ；若允许重根，用 。 · 一根在 内、另一根在 内时，必须保证 ，两个区间不重叠。 · 不要用韦达定理代替图象条件；韦达定理只能给出和与积的符号，不能定位根所在的区间。 （5）考点定位与命题角度 选填与解答题；常见设问：由根的分布求参数范围、判断方程在区间内是否有解、由零点个数求参数。难度中档到压轴。对应 2022 天津·15（二次函数零点分布）、2024 上海·3 的方程与根的关系。 （6）方法归纳 · 第一步　画图：确定开口方向、对称轴位置，标出区间端点。 · 第二步　列条件：判别式、对称轴、端点函数值三件套；两根分居两区间时用端点乘积小于 。 · 第三步　解不等式组：把各条件取交集，注意端点能否取等。 · 第四步　回验：检查重根、端点根、二次项系数为 的情形是否遗漏。 （7）典型例题 例题 1（教材原题） 已知关于 的方程 有两个实根，且两根都大于 ，求 的取值范围。 解析 设 ，开口向上。两根都大于 需同时满足： 由 得 ；由 得 。故 。当 时，方程变为 ，重根 ，符合“两根都大于 ”的要求。 例题 2（教材原题改编） 已知关于 的方程 的一根在区间 内，另一根在区间 内，求 的取值范围。 解析 设 ，开口向上。由根的分布得： 逐项计算： · ，恒成立； · ，即 ； · ，即 ； · ，即 。 取交集得 。故 的取值范围为 。 （8）变式训练 变式 4-1（高考真题改编） 已知关于 的方程 的两个根都在区间 内，求 的取值范围。 变式 4-2（优质模拟改编） 已知关于 的方程 的一根在区间 内，另一根大于 ，求 的取值范围。 二、答案与解析 变式 1-1 答案与解析 答案：。 解析：解不等式 ，因式分解得 ，故 在 中，满足 或 的元素为 ，所以 。 变式 1-2 答案与解析 答案：。 解析：不等式 的解集为 ，说明 ，且方程 的两根为 。由韦达定理： 故 ，。代入所求不等式： 因为 ，所以 因式分解得 ，故解集为 。 变式 2-1 答案与解析 答案：。 解析：不等式 的解集为 ，说明方程 的两根为 。由韦达定理： 解得 ，。故 。回代验证： 的解集为 ，符合题意。 变式 2-2 答案与解析 答案： · 当 时，解集为 ； · 当 时，解集为 ； · 当 时，解集为 ； · 当 时，解集为 ； · 当 时，解集为 。 解析：因式分解得 · 当 时，不等式为 ，即 。 · 当 时，两边除以 得 。因为 ，所以解集为 。 · 当 时，，不等式 的解集为 。 · 当 时，不等式为 ，解集为 。 · 当 时，，解集为 。 变式 3-1 答案与解析 答案：。 解析：设 ，则 。原不等式化为 它对任意 成立。取 ，则 ，，代入得 即 ，解得 。 再说明 可以取到：取 ，，此时 ，原不等式为 即 ，亦即 ，对一切实数 都成立，当然对 成立。故 的最小值为 。 变式 3-2 答案与解析 答案：。 解析：存在 使 ，等价于存在 使 设 。当 时，，由基本不等式 等号在 时取到。故 的最小值为 ，存在 使 等价于 。当 时， 在 处成立，符合题意。故 。 变式 4-1 答案与解析 答案：。 解析：设 ，开口向上。两根都在 内，需同时满足： 由 得 ；对称轴 自动成立； 得 ； 得 。取交集得 。 当 时，方程为 ，重根 ，符合要求。故 的取值范围为 。 变式 4-2 答案与解析 答案：。 解析：设 ，开口向上。一根在 内、另一根大于 ，由图象得 逐项计算： · ，即 ； · ，即 ； · ，即 。 取交集得 。故 的取值范围为 。 人教A版·必修第一册　第2章 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式　第 1 页　共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $