3.2 第二课时 零点的存在性及其近似值的求法（学习讲义）-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书word（人教B版）

本讲义聚焦高中数学函数零点存在定理及二分法求近似值，先通过“价格猜猜猜”情境引入，系统梳理零点存在定理（连续函数区间端点函数值异号则存在零点），再构建二分法步骤（缩小区间、取中点判断符号），形成从理论到方法的学习支架。 资料以情境激发兴趣，用“想一想”辨析定理条件与二分法适用范围，培养数学思维。例题与跟踪训练结合三次函数等实例，通过通性通法归纳提升解题能力，课中助教师引导学生从具体到抽象，课后学生可借资料回顾方法、强化练习，查漏补缺。

第二课时　零点的存在性及其近似值的求法 某电视台有一个节目为“价格猜猜猜”，就是主持人给大家展示一件新式产品，让竞猜者去猜物品的价格，主持人会提示价格“高了”还是“低了”，然后继续猜…… 【问题】　怎样用最少的次数猜出物品的价格呢？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　函数零点存在定理 如果函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，并且　　　　　　（即在区间两个端点处的函数值异号），则函数y＝f（x）在区间（a，b）中　　　　　　　零点，即∃x0∈（a，b），f（x0）＝0. 【想一想】 1.函数y＝f（x）在区间（a，b）上有零点，是不是一定有f（a）f（b）＜0？ 2.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f（b）＜0时，能否判断函数在区间（a，b）上的零点个数？ 知识点二　二分法 用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时（即f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的，且f（a）f（b）＜0），给定近似的精确度ε，用二分法求零点x0的近似值x1，使得｜x1－x0｜＜ε的一般步骤如下： 第一步：检查｜b－a｜≤2ε是否成立，如果成立，取x1＝，计算结束；如果不成立，转到第二步. 第二步：计算区间（a，b）的中点对应的函数值，若f＝0，取x1＝，计算结束；若f≠0，转到第三步. 第三步：若f（a）f＜0，将的值赋给b，回到第一步；否则必有ff（b）＜0，将的值赋给a，回到第一步. 【想一想】 是否所有的函数都可以用二分法求函数的零点？ 1.方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间是（　　） A.[－1，0]　　　　　B.[0，1] C.[1，2] D.[2，3] 2.观察下列函数的图象，判断能用二分法求其零点的是（　　） 3.用二分法研究函数f（x）＝x3＋3x－1的零点时，第一次经计算得f（0）＜0，f（0.5）＞0，可得其中一个零点x0∈　　　　，第二次应计算　　　　. 　　 题型一｜判断函数零点个数或所在区间 【例1】　（1）已知函数y＝f（x）的图象是连续不断的一条曲线，有如下的对应值表： x 1 2 3 4 5 6 y 123.56 21.45 －7.82 11.45 －53.76 －128.88 则下列说法正确的是（　　） A.函数y＝f（x）在区间[1，6]上有3个零点 B.函数y＝f（x）在区间[1，6]上至少有3个零点 C.函数y＝f（x）在区间[1，6]上至多有3个零点 D.函数y＝f（x）在区间[1，2]上无零点 （2）函数f（x）＝x3＋x－2的零点所在的区间是（　　） A.（0，1）　　　　　　 B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 尝试解答 通性通法 1.判断函数零点所在区间的三个步骤 （1）代入：将区间端点值代入函数求出相应的函数值； （2）判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断； （3）结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点. 2.判断函数存在零点的2种方法 （1）方程法：若方程f（x）＝0的解可求或能判断解的个数.可通过方程的解来判断函数是否存在零点或判定零点的个数； （2）图象法：由f（x）＝g（x）－h（x）＝0，得g（x）＝h（x），在同一平面直角坐标系内作出y1＝g（x）和y2＝h（x）的图象，根据两个图象交点的个数来判定函数零点的个数. 【跟踪训练】 函数f（x）＝x3＋x2－5的一个零点所在区间为（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 题型二｜根据函数零点求参数 【例2】　已知a是实数，函数f（x）＝2｜x－1｜＋x－a，若函数y＝f（x）有且仅有两个零点，求实数a的取值范围. 尝试解答 通性通法 根据函数零点个数求参数值（范围）的方法 　　已知函数有零点（方程有根）求参数取值范围的方法： （1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，通过解不等式确定参数的取值范围； （2）分离参数法：先将参数分离，然后转化成求函数值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝2ax－a＋3，若∃x0∈（－1，1），f（x0）＝0，则实数a的取值范围是（　　 ） A.（－∞，－3）∪（1，＋∞） B.（－∞，－1）∪（3，＋∞） C.（－3，1） D.（－1，3） 题型三｜二分法 角度1　对二分法概念的理解 【例3】　下列图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求函数零点的是（　　） 尝试解答 通性通法 　　二分法是求一般函数的零点的一种通法，使用二分法的前提条件是函数零点的存在性.对“函数在区间[a，b]上连续”的理解如下：不管函数在整个定义域内是否连续，只要找得到包含零点的区间上函数图象是连续的即可. 【跟踪训练】 如图，函数f（x）的图象与x轴交于M（x1，0），N（x2，0），P（x3，0），Q（x4，0）四点，则下列零点中不能用二分法求出的是（　　 ） A.x1　 B.x2　 C.x3　 D.x4 角度2　用二分法求方程的近似解 【例4】　用二分法求方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解.（精确度为0.1） 尝试解答 通性通法 用二分法求函数零点的近似值应遵循的原则 （1）需依据图象估计零点所在的初始区间[m，n]（一般采用估计值的方法完成）； （2）取区间端点的中点c，计算f（c），确定有解区间是（m，c）还是（c，n），逐步缩小区间的“长度”，直到区间的两个端点符合精确度要求，终止计算，得到函数零点的近似值. 【跟踪训练】 已知函数f（x）＝x3－x－1在区间[1，1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算的结果如表所示， x 1 1.5 1.25 1.375 1.312 5 f（x） －1 0.875 －0.296 9 0.224 6 －0.051 51 那么方程x3－x－1＝0的一个近似解（精确度为0.1）为（　　） A.1 B.1.5 C.1.25 D.1.312 5 　　 乒乓球是我国的国球，其地位是其他球类无法比拟的.乒乓球虽小，但对战时的速度快，变化多，技术要求高，特别是对判断力的锻炼，要求运动员眼疾手快，抓住稍纵即逝的机会，对培养顽强拼搏的精神很有好处.因此，乒乓球已经成为一项世界性、普遍性的体育运动. 现有a个乒乓球，从外观上看完全相同，除了1个乒乓球质量不符合标准外，其余的乒乓球质量均相同.用一架天平，限称b次，把这个“坏乒乓球”找出来，并说明此乒乓球是偏轻还是偏重. 【问题探究】 1.当a＝12，b＝3时，该如何称？ 提示：第一次，天平左右各放4个乒乓球，有两种情况： （1）若平，则“坏乒乓球”在剩下的4个乒乓球中.第二次，取剩下的4个乒乓球中的3个乒乓球为一边，取3个好乒乓球为另一边，放在天平上. ①若仍平，则“坏乒乓球”为剩下的4个乒乓球中未取到的那个乒乓球，将此乒乓球与1个好乒乓球放到天平上，即知“坏乒乓球”是偏轻还是偏重； ②若不平，则“坏乒乓球”在取出的3个乒乓球之中，且知是轻还是重.任取其中2个乒乓球放在天平两边，无论平还是不平，均可确定“坏乒乓球”. （2）若不平，则“坏乒乓球”在天平上的8个乒乓球中，不妨设右边较重.从右边4个乒乓球中取出3个乒乓球置于一容器内，然后从左面4个乒乓球中取3个乒乓球移入右边，再从外面好乒乓球中取3个乒乓球补入左边.看天平，有三种可能. ①若平，则“坏乒乓球”是容器内3个乒乓球之一且偏重； ②若左边重，“坏乒乓球”已从一边换到另一边.因此，“坏乒乓球”只能是从左边移入右边的3个乒乓球之一，并且偏轻； ③若右边重，据此知“坏乒乓球”未变动位置，而未被移动过的乒乓球只有两个（左右各一），“坏乒乓球”是其中之一（暂不知是轻还是重）. 显然对于以上三种情况的任一种，再用一次天平，即可找出“坏乒乓球”，且知其是轻还是重. 2.若“坏乒乓球偏轻”，当a＝26时，又该如何称？ 提示：将26枚乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那13个乒乓球里面；从这13个乒乓球中拿出1个，然后将剩下的12个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，若天平平衡，则“坏乒乓球”一定是拿出的那一个，若天平不平衡，则“坏乒乓球”一定在质量小的那6个乒乓球里面；将这6个乒乓球平均分成两份，分别放在天平两端，则“坏乒乓球”一定在质量小的那3个乒乓球里面；从这3个乒乓球中任拿出2个，分别放在天平两端，若天平平衡，则剩下的那一个即是“坏乒乓球”，若天平不平衡，则质量小的那一枚即是“坏乒乓球”. 综上可知，最多称4次就可以发现这个“坏乒乓球”. 【迁移应用】 　将“a个乒乓球”改为“从A地到B地的海底电缆有15个接点”，现某接点发生故障，需及时修理，为了尽快找出故障的发生点，则怎样检测最合理？ 1.若函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象为连续不断的一条曲线，则下列说法中正确的是（　　） A.若f（a）f（b）＞0，则不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 B.若f（a）f（b）＜0，则存在且只存在一个实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 C.若f（a）f（b）＞0，则有可能存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 D.若f（a）f（b）＜0，则有可能不存在实数c∈（a，b），使得f（c）＝0 2.已知函数f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且f（0）＞0，f（1）＞0，f（2）＞0，f（3）＜0，f（4）＜0，则在下列区间中，一定包含f（x）零点的区间是（　　） A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4） 3.（2025·大连期末）用二分法研究函数f（x）＝x5＋8x3－1的零点时，第一次经过计算得f（0）＜0，f（ ）＞0，则零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（　　） A.（ ，1），f（ ） B.（ 0，），f（ ） C.（ 0，），f（ ） D.（ 0，），f（ ） 4.〔多选〕下列函数图象与x轴均有交点，其中能用二分法求其零点的是（　　） 5.已知函数f（x）＝2x－b的零点为x0，且x0∈（－1，1），那么b的取值范围是　　　　. 提示：完成课后作业　第三章　3.2　第二课时 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二课时　零点的存在性及其近似值的求法 【基础落实】 新知初探 知识点一 　f（a）f（b）＜0　至少有一个 想一想 1.提示：不一定，如f（x）＝x2在区间（－1，1）上有零点0，但是f（－1）f（1）＝1×1＝1＞0. 2.提示：不能.函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，f（a）f（b）＜0只能判断y＝f（x）在[a，b]上有零点，并不能判断零点的个数，如图. 知识点二 想一想 　提示：不是，只有满足函数图象在零点附近连续，且在该零点左右函数值异号时，才能应用“二分法”求函数零点. 自我诊断 1.C　令f（x）＝x3－x－3，易知函数f（x）＝x3－x－3在R上的图象是连续不断的，f（1）＝－3＜0，f（2）＝8－2－3＝3＞0，f（－1）＝－3＜0，f（0）＝－3＜0，f（3）＝21＞0，结合选项知，f（1）·f（2）＜0， 故函数f（x）＝x3－x－3的零点所在的区间为[1，2]， 即方程x3－x－3＝0的实数解所在的区间为[1，2]. 2.A 3.（0，0.5）　f（0.25） 【典例研析】 【例1】　（1）B　（2）B　解析：（1）由表可知，f（2）·f（3）＜0，f（3）·f（4）＜0，f（4）·f（5）＜0.由函数零点存在定理知，函数y＝f（x）在区间（2，3），（3，4），（4，5）上分别至少存在一个零点，所以函数y＝f（x）在区间[1，6]上的零点至少有3个.虽然f（1）·f（2）＞0，但函数y＝f（x）在[1，2]上也有可能存在一个或多个零点. （2）由题可知，f（x）为增函数，再由f（0）＝－2＜0，f（1）＝－＜0，f（2）＝＞0，f（3）＝10＞0，f（4）＝＞0，所以f（1）f（2）＜0，根据函数零点存在定理知，零点在区间（1，2）内.故选B. 跟踪训练 　B　因为y＝x3与y＝x2－5均在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝x3＋x2－5在（0，＋∞）上单调递增，又f（0）＝－5，f（1）＝－3，f（2）＝7，所以f（1）f（2）＜0，所以f（x）在（1，2）上存在一个零点.故选B. 【例2】　解：函数f（x）＝2｜x－1｜＋x－a有且仅有两个零点，即函数y＝2｜x－1｜＋x的图象与y＝a的图象有且仅有两个交点. 分别作出函数y＝2｜x－1｜＋x与y＝a的图象，如图所示. 由图易知，当a＞1时，两函数的图象有两个不同的交点，故实数a的取值范围是（1，＋∞）. 跟踪训练 　A　函数f（x）＝2ax－a＋3，若∃x0∈（－1，1），f（x0）＝0，可得f（1）f（－1）＝（－3a＋3）（a＋3）＜0，解得a＜－3或a＞1，则实数a的取值范围是（－∞，－3）∪（1，＋∞），故选A. 【例3】　B　利用二分法求函数的零点必须满足零点两侧函数值异号，在选项B中，不满足零点两侧函数值异号，不能用二分法求零点.由于A、C、D中零点的两侧函数值异号，故可采用二分法求零点. 跟踪训练 　B　由图象可知，在x＝x2附近，函数f（x）均大于0，故x2不能用二分法求出.其他零点附近函数值符号均变号，可以用二分法求解.故选B. 【例4】　解：令f（x）＝2x3＋3x－3， 经计算，f（0）＝－3＜0，f（1）＝2＞0，f（0）·f（1）＜0， 所以函数f（x）在（0，1）内存在零点， 即方程2x3＋3x＝3在（0，1）内有解. 取（0，1）的中点0.5，经计算f（0.5）＜0， 又f（1）＞0，所以方程2x3＋3x－3＝0在（0.5，1）内有解. 如此继续下去，得到方程的正实数根所在的区间，如表： （a，b） 中点c f（a） f（b） f （0，1） 0.5 f（0）＜0 f（1）＞0 f（0.5）＜0 （0.5，1） 0.75 f（0.5）＜0 f（1）＞0 f（0.75）＞0 （0.5，0.75） 0.625 f（0.5）＜0 f（0.75）＞0 f（0.625）＜0 （0.625，0.75） 0.687 5 f（0.625）＜0 f（0.75）＞0 f（0.687 5）＜0 （0.687 5，0.75） ｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1 由于｜0.687 5－0.75｜＝0.062 5＜0.1，所以0.75可作为方程2x3＋3x－3＝0的一个正实数近似解. 跟踪训练 　D　由于f（x）＝x3－x－1在R上的图象是连续不断的，f（1.375）＝0.224 6＞0，f（1.312 5）＝－0.051 51＜0，且1.375－1.312 5＝0.062 5＜0.1，而1.5－1＝0.5＞0.1，1.5－1.25＝0.25＞0.1，1.375－1.25＝0.125＞0.1，均不合要求，故方程x3－x－1＝0的一个近似解为1.312 5.D正确. 拓视野　二分法实际应用举例 迁移应用 　解：如下图所示，把从A地到B地的海底电缆抽象成一条线段，图中的15个点代表电缆上的15个接点.按照从左到右的顺序将其编号为1，2，3，…，15.先检查最中间的接点，即第8号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查1～7号中间的接点，即第4号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点，检查完毕；若其中一端为断路，则故障点必在此端.假设此时左端断路，则检查第2号接点，若此时两端都是通路，则此接点即为故障点；若左端断路，则故障点为第1号接点；若右端断路，则故障点为第3号接点，到此检查完毕. 随堂检测 1.C　对于函数f（x）＝x2，f（－1）·f（1）＞0，但f（0）＝0，故A错误；对于函数f（x）＝x3－x，f（－2）·f（2）＜0，但f（0）＝f（－1）＝f（1）＝0，故B错误；函数f（x）＝x2满足C，故C正确；由函数零点存在定理知D错误. 2.C　因为f（x）的图象是一条连续不断的曲线，且f（0）f（1）＞0，f（1）f（2）＞0，f（2）f（3）＜0，f（3）f（4）＞0，所以由函数零点存在定理可知一定包含f（x）零点的区间是（2，3）.故选C. 3.C　因为f（0）＜0，f（ ）＞0，所以零点所在的区间为（ 0，），再计算f（ ）的值.故选C. 4.AC　由二分法的定义知，若函数f（x）在区间[a，b]上的图象是连续的，且满足f（a）f（b）＜0，则可以利用二分法求函数f（x）的零点的近似值，所以选项B、D中函数零点左右函数值不变号，不能用二分法求函数零点；选项A、C中函数零点左右函数值变号，能用二分法求函数零点.故选A、C. 5.（－2，2）　解析：因为函数f（x）＝2x－b的零点为x0，且x0∈（－1，1），所以f（－1）·f（1）＜0，即（－2－b）·（2－b）＜0，解得－2＜b＜2，所以b的取值范围是（－2，2）. 学科网（北京）股份有限公司 $