专题1.2 常用逻辑用语 讲义-2027届高三数学一轮复习

专题1.2 常用逻辑用语（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　命题及其关系与四种命题 4 知识点2　充分条件与必要条件 5 知识点3　充要条件的判断与应用 6 知识点4　全称量词与存在量词 6 知识点5　量词命题的否定与含参恒成立、能成立问题 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　命题的真假判断与四种命题　★★ 9 重难点培优02　充分条件与必要条件的判断　★★ 11 重难点培优03　由充分、必要条件求参数范围　★★★ 15 重难点培优04　充分、必要条件的综合判断（向量与数列交汇）　★★★ 18 重难点培优05　全称量词与存在量词命题的真假判断　★★★ 21 重难点培优06　含量词命题的否定及求参　★★★ 24 重难点培优07　恒成立与能成立（存在性）问题　★★★★ 27 重难点培优08　逻辑推理与命题综合（新定义、交汇）　★★★★ 30 五、过关检测 34 一、单选题 34 二、多选题 36 三、填空题 38 四、解答题 39 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 命题及其关系 理解命题的概念，能判断命题的真假；了解"若 ，则 "形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 充分条件与必要条件 理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能结合具体实例进行判断，并能由条件关系求参数的取值范围 全称量词与存在量词 理解全称量词与存在量词的意义，能正确判断含量词命题的真假，掌握"改量词、否结论"的否定规则 含参逻辑问题 能运用最值法、分离参数法解决恒成立与能成立问题，会处理双层量词与交汇情境下的逻辑推理 近三年高考真题对本板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 北京卷 T7 无穷数列的有界性与充分不必要条件的判断 ★★★ 2026 天津卷 T2 一元二次不等式的解与充分不必要条件的判断 ★★ 2026 上海卷 复数新定义背景下的充要条件判断 ★★★★ 2025 天津卷 T2 三角方程的解与充分不必要条件的判断 ★★ 2025 北京卷 T7 函数值域、量词与充分不必要条件的判断 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T2 全称命题与特称命题的真假判断 ★★ 2024 天津卷 T2 幂函数、指数函数的单调性与充要条件的判断 ★★ 2024 北京卷 T5 向量数量积与必要不充分条件的判断 ★★★ 2024 全国甲卷·理 T9 向量垂直、平行与充分、必要条件的判断 ★★★ 2024 上海卷 空间向量共面与新定义充分条件 ★★★★ 考情分析 常用逻辑用语是高考中"小而稳"的考点，近三年在全国卷与自主命题卷中稳定出现 道小题，分值约 分。2024 年全国甲卷（理）、北京卷把"充分、必要条件"与向量垂直、平行的坐标运算交汇，天津卷把它与幂函数、指数函数的单调性结合，新课标Ⅱ卷则以"全称命题与特称命题的真假判断"直接考查量词；2025 年天津卷把充分条件与三角方程的解集结合，北京卷以函数值域为背景考查量词与存在性的转化；2026 年北京卷以无穷数列的有界性为情境考查充分不必要条件，天津卷与一元二次不等式交汇，上海卷在复数新定义背景下考查充要条件。整体来看，命题重心已由"机械改写四种命题"转向"在交汇情境中翻译条件、用反例否定、用最值法求参"。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本专题集中体现"逻辑推理、数学抽象与数学运算"三大素养。预测 2027 年高考仍以充分、必要条件的判断为主线，以含量词命题的否定、恒成立与能成立问题提升区分度。 复习目标 1．准确辨析命题的条件与结论，熟练写出四种命题并利用"原命题与逆否命题同真假"快速判断真假； 2．牢固掌握"定义法、集合法、等价法"三把武器，能快速判断充分条件、必要条件与充要条件； 3．理解全称量词与存在量词的意义，牢记"改量词、否结论"的否定规则与常见关键词的否定； 4．突破含参的恒成立与能成立问题，熟练运用分离参数法与最值法求参数的取值范围。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　常用逻辑用语知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　命题及其关系与四种命题 可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。命题通常写成"若 ，则 "的形式， 叫做命题的条件， 叫做命题的结论。 以"若 ，则 "为原命题，四种命题的表述形式及其相互关系如下表： 命题名称 表述形式 相互关系 原命题 若 ，则 与逆否命题同真假 逆命题 若 ，则 与否命题同真假 否命题 若 ，则 与逆命题同真假 逆否命题 若 ，则 与原命题同真假 由表可得两条核心结论：①原命题与其逆否命题互为等价命题，逆命题与其否命题互为等价命题；②四个命题中，真命题的个数只能是 个，不可能为奇数。 【方法技巧】 1．写否命题要"条件、结论同时否定"，写逆否命题要"先交换条件与结论、再同时否定"，写命题的否定则"只否定结论"，三种写法必须分清； 2．判断命题真假的两条路径：证明为真需严格推证，判断为假只需举出一个反例； 3．遇到较难判断的原命题，可改判其逆否命题，因为二者真假完全相同。 【易错清单】 1．""的否定是""；"都是"的否定是不都是，而不是"都不是"； 2．命题的否定与否命题不是同一概念：命题的否定只否定结论，否命题条件与结论都否定； 3．"若 ，则 "为真，不能推出"若 ，则 "为真，二者是互逆而非等价。 知识点2　充分条件与必要条件 对于两个命题 、，若 （即"若 成立，则 一定成立"），则称 是 的充分条件，同时 是 的必要条件；若 且 ，则称 是 的充分不必要条件；若 且 ，则称 是 的必要不充分条件。 用集合的语言描述更为直观：设 对应集合 ， 对应集合 ，则 ①若 ，则 是 的充分条件，口诀是"小范围可推出大范围"； ②若 ，则 是 的充要条件； ③若 且 ，即 是 的真子集，则 是 的充分不必要条件。 【方法技巧】 1．"顺势"判方向： 即 是 的充分条件、 是 的必要条件，先固定一个方向再交换比较； 2．集合视角最稳：把 、 各自化简成解集，比较两个集合的包含关系，由"谁的范围小"直接定"谁是充分条件"； 3．否定推出关系用反例：只需构造一个满足条件而结论不成立的实例，即可判定该方向的推出关系不成立。 【易错清单】 1．" 是 的充分条件"与" 是 的充分条件"方向相反、结论相反，读题时务必圈出主语； 2．判断前必须先化简再比较，如 的隐含条件是 ，遗漏定义域会造成误判； 3．集合包含中等号能否取到决定了结论是"充分不必要"还是"充要"，端点必须单独检验。 知识点3　充要条件的判断与应用 若 且 ，即 ，则称 是 的充要条件（也说 与 等价）。判断充要条件常用三种方法： 定义法：分别验证""与""两个方向，缺一不可； 集合法：把 、 化为解集 、，则 与 互为充要条件； 等价法（传递法）：当条件之间可以"接力"时，利用 一次判定。 【方法技巧】 1．转化思想：原命题与逆否命题等价，遇到"若 则 "正面难证时，改为证"若 则 "； 2．传递思想：若 而 ，则 是 的充分不必要条件，反之亦然； 3．参数问题用"端点检验法"：把充要条件写成集合相等后，逐个代入端点值验证是否满足。 【易错清单】 1．充要条件必须双向验证，只证一个方向便下结论是最高频的失分点； 2． 与 的推出关系与原命题方向一致（ 等价于 ），不可颠倒； 3．"且"与"或"在条件中不可互换，如" 且 "与" 或 "含义完全不同。 知识点4　全称量词与存在量词 短语"所有的""任意一个"在逻辑中称为全称量词，用符号 表示；短语"存在一个""至少有一个"称为存在量词，用符号 表示。含有全称量词的命题叫全称量词命题，形如 ；含有存在量词的命题叫存在量词命题，形如 。 命题形式 含义 判断真假的方法 集合 中每一个元素都使 成立 真需证明，假需一个反例 集合 中至少有一个元素使 成立 真需一个实例，假需证明 判断含参的量词命题时，常转化为函数最值问题： ①对任意（恒成立型）：； ②存在（能成立型）：。 【方法技巧】 1．"全称看反例、存在看实例"：否定全称命题只需一击，肯定存在命题只需一举； 2．二次函数在闭区间上的最值问题，先比较对称轴与区间的相对位置，再分类讨论； 3．含参命题转化为最值后，务必检查区间的开闭与等号能否取到。 【易错清单】 1．量词的讨论范围不可随意扩大或缩小，""与""的结论可能完全相反； 2．判定命题为真必须给出证明，仅凭"试了几个数都对"不能下结论； 3．""型问题求最值时，不要忘记验证取到最值的 是否属于 。 知识点5　量词命题的否定与含参恒成立、能成立问题 含有一个量词的命题的否定规则是"改量词、否结论"： ①； ②。 常见关键词与其否定如下表所示： 关键词 否定 关键词 否定 都是 不都是 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 且 或 含参不等式中的两类核心问题（恒成立与能成立）可直接转化为最值问题： ①恒成立（对任意）：； ②能成立（存在）：。 对于双层量词问题，遵循"先内层、后外层"的原则：如""等价于 的值域是 值域的子集；而""则等价于 的值域是 值域的子集。 【方法技巧】 1．求参首选分离参数法：把参数孤立到不等式一侧，转化为求另一侧函数的最值； 2．若分离时除以的式子符号不确定，必须对参数分类讨论后再分离； 3．"恒成立"与"能成立"常同时出现，先分别求出对应的最值，再取交集或并集。 【易错清单】 1．"恒成立"对应最小值、"能成立"对应最大值，两者结论相反，切忌混用； 2．命题" 为假"与" 为真"等价，求参时要把""改""并点对点否定结论； 3． 的否定是 、 的否定是 ，开闭方向不能写反。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　命题的真假判断与四种命题　★★ 【解题技巧】判断命题真假的"两条路径"：证明为真须严格推证，判断为假只需举出一个反例。四种命题的转化用"原命题与逆否命题同真假、逆命题与否命题同真假"这条等价链一次解决；写命题时先分清是"否命题"（条件与结论都否定）还是"命题的否定"（只否定结论）。 【注意事项】本重难点的三个易错点：①"都是"的否定是"不都是"而非"都不是"；②四个命题中真命题个数只能为 ，若算出奇数个必错；③"若 则 "为真推不出"若 则 "为真。读题时先圈出量词与关键词，再动笔。 【例1-1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题 ，；命题 ，，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 【答案】B 【解题思路】对全称命题举出反例即可否定，对存在命题举出实例即可肯定，再结合"命题与其否定真假相反"逐一比对选项。 【解答过程】取 ，则 ，故 是假命题， 是真命题； 取 ，则 ，故 是真命题， 是假命题。 所以 和 都是真命题。故选 B。 【例1-2】（2026·江苏·南京·一模）命题"若 ，则 "的否命题是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】A 【解题思路】否命题要求"条件与结论同时否定"，只否定、不交换位置，据此对照四个选项。 【解答过程】原命题的条件是 ，结论是 。 条件的否定为 ，结论的否定为 ，故否命题是"若 ，则 "。 对照选项：B 是逆命题，C 是逆否命题，D 只否定结论即命题的否定。故选 A。 【变式1-1】下列命题为真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】全称命题判断为假只需一个反例，存在命题判断为真只需一个实例，逐一验证四个选项。 【解答过程】A 中 恒成立，故 A 是假命题； B 中 ，方程 有实根，故 B 是真命题； C 中取 ，则 不成立，故 C 是假命题； D 中指数函数的值恒为正， 对一切实数成立，故 D 是假命题。故选 B。 【变式1-2】命题"若 ，则 "的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先判断原命题的真假，再用"原命题与逆否命题同真假、逆命题与否命题同真假"整体求解，避免逐一验证。 【解答过程】取 ，，则 成立但 ，故原命题为假命题，其逆否命题也为假命题； 取 ，，则 成立但 ，故逆命题"若 ，则 "为假命题，其否命题"若 ，则 "也为假命题。 所以三个命题全为假命题，真命题的个数为 。故选 A。 【变式1-3】命题"若 ，则 "的逆否命题是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【答案】B 【解题思路】逆否命题的写法是"先交换条件与结论，再同时否定"。 【解答过程】条件 的否定为 ，结论 的否定为 。 交换位置并同时否定，得逆否命题"若 ，则 "。故选 B。 【变式1-4】命题 ：若 都是偶数，则 是偶数，则 的否命题是（　　） A．若 都是偶数，则 不是偶数 B．若 不是偶数，则 不都是偶数 C．若 不都是偶数，则 不是偶数 D．若 是偶数，则 都是偶数 【答案】C 【解题思路】写否命题要"条件、结论同时否定"，其中"都是"的否定是"不都是"。 【解答过程】条件" 都是偶数"的否定为" 不都是偶数"，结论" 是偶数"的否定为" 不是偶数"。 所以 的否命题是"若 不都是偶数，则 不是偶数"。（A 是命题的否定，B 是逆否命题，D 是逆命题。）故选 C。 【变式1-5】已知命题 ，；命题 ，。则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 【答案】A 【解题思路】分别判断两个命题的真假，全称命题用分类讨论证明，存在命题用具体实例肯定。 【解答过程】当 时 ；当 时 。故对任意实数 都有 ， 是真命题， 是假命题。 由 得 ，即 或 ，取 使等式成立，故 是真命题， 是假命题。 所以 和 都是真命题。故选 A。 重难点培优02　充分条件与必要条件的判断　★★ 【解题技巧】判断 与 关系的"三步定音"：①先明确定义—— 则 是 的充分条件、 是 的必要条件；②再判方向——只验证一个方向的推出关系；③受阻就找反例。集合视角记口诀："小范围可推出大范围"，即 对应集合 、 对应集合 ， 则 是 的充分不必要条件。 【注意事项】三类高频错点：①把"充分"与"必要"的方向弄反；②忽略隐含定义域（对数真数为正、分式分母不为零）；③用"逆命题成立"冒充"必要性成立"。判断之前务必先把 、 各自等价化简，再比较。 【例2-1】（2025·天津卷·高考真题）已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先验证""，再求出 的解集并找出反例否定反向推出。 【解答过程】若 ，则 ，即""是""的充分条件； 若 ，则 ，即 ，取 得 ，即""不是""的必要条件。 综上，""是""的充分不必要条件。故选 A。 【例2-2】（2024·天津卷·高考真题）已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】分别利用幂函数与指数函数的单调性，把两个等式都等价转化为 ，再由"二者与同一命题等价"下结论。 【解答过程】因为 在 上单调递增，所以 ； 因为 在 上单调递增，所以 。 可见两个条件都等价于 ，故""是""的充要条件。故选 C。 【例2-3】（2025·北京卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ，则" 的值域为 "是"对任意 ，存在 ，使得 "的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先验证充分性（值域为 能否保证 可任意大），再构造一个满足后者但值域不为 的函数来否定必要性。 【解答过程】若 的值域为 ，则 的值域为 。对任意 ，取 即可，故充分性成立。 取 ，。对任意 ，取 使 ，则 成立；但 的值域为 ，故必要性不成立。 综上，" 的值域为 "是"对任意 ，存在 ，使得 "的充分不必要条件。故选 A。 【变式2-1】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】正向直接由不等式性质推出，反向取一个满足 但不满足 的值作为反例。 【解答过程】若 ，则 成立，充分性成立； 若 ，则 或 ，取 ，此时 但 不成立，必要性不成立。 所以""是""的充分不必要条件。故选 A。 【变式2-2】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】把 看成一个分段函数 ，判断其单调性，再由单调性得到等价关系。 【解答过程】设 。 当 时 单调递增，当 时 也单调递增，且 在 上连续，故 在 上单调递增。 于是 ，即 ，两者互为充要条件。故选 C。 【变式2-3】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先各自的等价条件写清楚：前者隐含真数大于零，后者只等价于 ，再比较方向。 【解答过程】 成立的隐含条件是 ，此时必有 ，而 单调递增，故 ，充分性成立； 取 ，，则 成立，但 无意义，必要性不成立。 所以""是""的充分不必要条件。故选 A。 【变式2-4】设 是一个平面， 是两条不同的直线，则" 且 "是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】两个方向分别用"线面垂直的性质定理"与"线面垂直的判定定理"判断。 【解答过程】若 且 ，由线面垂直的性质知 ，充分性成立； 若 且 ，则由线面垂直的传递性知 ，必要性成立。 所以二者互为充要条件。故选 C。 【变式2-5】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】两个方向各举一个反例，即可说明既不充分也不必要。 【解答过程】取 ，，则 成立但 ，充分性不成立； 取 ，，则 成立但 ，必要性不成立。 所以""是""的既不充分也不必要条件。故选 D。 重难点培优03　由充分、必要条件求参数范围　★★★ 【解题技巧】求参数的"集合转化法"：把 、 各自化为解集 、，" 是 的充分不必要条件"等价于 ，" 是 的必要不充分条件"等价于 ，"互为充要条件"等价于 。解题固定三步：先化简、再比较、后把端点画上数轴标虚实。遇到" 与 "，利用 等价于 先翻回正向。 【注意事项】"充分不必要"对应真包含，切忌写成包含而把端点值全部留下；②含参区间 在特定参数下会"退化"，讨论时要交代；③" 是 的…条件"必须先翻译成 与 的关系，方向极易弄反。每求出一个范围，都要把端点值回代原条件检验一次。 【例3-1】（2026·山东·青岛·二模）已知 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】" 是 的必要不充分条件"即 且 ，翻译成解集的真包含关系 ，再由端点比较求 。 【解答过程】记 ，。 由题意 是 的必要不充分条件，即 且 ，等价于 。 因为 ，所以 ，由 得 且 ，解得 。 当 时， 是 的真子集，满足 且 。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【例3-2】（2026·浙江·杭州·二模）已知 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先用" 是 的必要不充分条件 是 的充分不必要条件"把否命题关系翻回正向，再化为解集的真包含关系。 【解答过程】由 得 ，即 ，所以 的解集 。 由 得 ，因为 ，所以 ，即 的解集 。 " 是 的必要不充分条件"等价于 且 ，即 的反面，也即 且 ，所以 。 要使 ，需 且 ，解得 ，此时 。 所以 的取值范围是 。故选 B。 【变式3-1】已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】分别化简两个不等式的解集，再把"充分不必要"翻译为真包含关系。 【解答过程】由 得 ，所以 的解集 ； 由 得 ，又 ，所以 的解集 。 是 的充分不必要条件等价于 ，需 且 ，解得 。 所以 的取值范围是 。故选 B。 【变式3-2】已知 ，，若""是""的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解二次不等式得 ，再由"充分不必要"得 是 的真子集，列端点不等式组。 【解答过程】由 得 ，所以 。 ""是""的充分不必要条件即 ，所以 且两集合不相等， 需 且 ，解得 。当 时 ，当 时 ，均真包含于 。 所以实数 的取值范围是 。故选 A。 【变式3-3】已知""是""的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】把两个条件化为区间，用"小范围可推出大范围"确定端点不等关系。 【解答过程】设 ，，由题意 ，需 。 当 时，，仍满足充分不必要。 所以 。故选 A。 【变式3-4】已知命题 ，命题 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先把两个命题的解集写出来，再由" 是 的充分不必要条件"得 的解集真包含于 的解集。 【解答过程】由 得 ，即 的解集 ； 由 得 ，即 的解集 。 是 的充分不必要条件等价于 ，需 且 ，解得 。 所以实数 的取值范围是 。故选 A。 【变式3-5】已知条件 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】" 是 的必要不充分条件"即 且 ，翻译为解集的真包含关系。 【解答过程】 的解集 ， 的解集 。 由题意 且 ，即 ，需 。 所以实数 的取值范围是 。故选 A。 重难点培优04　充分、必要条件的综合判断（向量与数列交汇）　★★★ 【解题技巧】交汇型条件判断题的通用套路：先用交汇知识（向量垂直平行、数列有界性、函数单调性）把条件翻译成简洁的数学关系，再套用"小范围可推出大范围"判方向，受阻就构造反例。向量题牢记两把钥匙：，。 【注意事项】三个高频陷阱：① 只等价于 ，推不出 ；②充要条件要双向验证，只证一个方向就下结论必错；③数列问题中"存在常数界定"与"逐项不等式成立"是两回事，不可混为一谈。 【例4-1】（2026·北京卷·高考真题） 是无穷数列，则"存在常数 ，使 "是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先由不等式的传递性验证充分性，再构造一个逐项不等式成立但不存在公共常数界的数列例子来否定必要性。 【解答过程】若存在常数 ，使 ，则由不等式传递性得 ，充分性成立。 取 ，，显然 恒成立；但 对一切正整数 成立要求固定的 同时"不小于无限增大的 "且"不大于无限增大的 "，这样的常数 不存在，故必要性不成立。 综上，"存在常数 ，使 "是""的充分不必要条件。故选 A。 【例4-2】（2024·北京卷·高考真题）已知向量 ，则""是" 或 "的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解题思路】先把 化简为 ，再分别检验两个方向的推出关系，受阻方向举反例。 【解答过程】，即 。 若 ，取 ，，此时既没有 也没有 ，故充分性不成立； 若 ，则 ，；若 ，则 ，同样有 。故必要性成立。 综上，是必要不充分条件。故选 B。 【例4-3】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知向量 ，，则（　　） A．""是""的必要条件 B．""是""的必要条件 C．""是""的充分条件 D．""是""的充分条件 【答案】C 【解题思路】把向量垂直、平行的坐标条件分别解成关于 的方程，再逐个选项用"由条件能否推出结论"判断充分性与必要性。 【解答过程】若 ，则 ，解得 或 ； 若 ，则 ，即 ，解得 。 对 A， 时确有 ，但 还可能是 ，故 不是必要条件，A 错误； 对 C， 时 ，，，故 是 的充分条件，C 正确； 对 B，由 得 ，与 无关，B 错误； 对 D，当 时不满足 ，故 不成立，D 错误。 故选 C。 【变式4-1】已知向量 ，，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先用坐标法把平行条件解成关于 的方程，再比较""与平行条件的包含关系。 【解答过程】由 得 ，即 ，解得 或 。 所以 ，充分性成立；而 时 还可能是 ，必要性不成立。 所以""是""的充分不必要条件。故选 A。 【变式4-2】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】先解分式不等式得到简明解集，再判断两个方向的推出关系，注意分母不能为零。 【解答过程】 或 。 若 ，则必有 或 成立，充分性成立； 取 ，则 满足 ，但 不成立，必要性不成立。 所以""是""的充分不必要条件。故选 A。 【变式4-3】已知函数 ，，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】先判断 的奇偶性与单调性，再把 等价变形为 。 【解答过程】 的定义域为 ，且 ，故 为奇函数；又 与 都在 上单调递增，所以 在 上单调递增。 于是 。 所以""是""的充要条件。故选 C。 【变式4-4】设 是公比为 的等比数列，则""是" 为递增数列"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】递增数列需要 对一切 成立，它同时受 与 制约，两个方向各取一反例即可。 【解答过程】取 ，，则数列为 ，是递减数列，故充分性不成立； 取 ，，则数列为 ，是递增数列，故必要性不成立。 所以""是" 为递增数列"的既不充分也不必要条件。故选 D。 【变式4-5】设 ， 表示不超过 的最大整数，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】新定义题先理解""的含义（两个数落在同一个单位区间 内），再分别验证两个方向。 【解答过程】若 ，则 且 ，故 ，充分性成立； 取 ，，则 ，但 、，，必要性不成立。 所以""是""的充分不必要条件。故选 A。 重难点培优05　全称量词与存在量词命题的真假判断　★★★ 【解题技巧】判断量词命题真假的总原则：全称命题为真要证遍所有元素，为假只需一个反例；特称命题为真要举出一个实例，为假要证遍所有元素。含参命题直接转化为最值：，。 【注意事项】三个必查项：①判定为假必须写出反例，判定为真必须给出证明，只"试数"不得分；②量词的讨论范围不可擅自扩大，""与""结论可能相反；③存在型问题用最值法时，要验证取到最值的 确实落在给定区间内。 【例5-1】（2026·湖北·武汉·二模）下列命题中，真命题是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】逐个判断：全称命题配方后判断，存在命题找实例或用取值范围否定。 【解答过程】A 中 对一切实数成立，是真命题； B 中 ，故 无解，是假命题； C 中取 ，则 ，不满足 ，是假命题； D 中当 时 ，故 ，是假命题。 故选 A。 【例5-2】（2026·四川·成都·二模）已知命题 ，，若 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】存在实根等价于判别式非负，由 解出 的范围。 【解答过程】命题 为真，即方程 有实数根， 需 ，解得 。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【变式5-1】下列命题中真命题是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【解题思路】两个全称命题用配方或基本不等式判断，两个存在命题用取值范围判断。 【解答过程】A 中取 ，则 不成立，是假命题； B 中 ，故 无解，是假命题； C 中指数函数的值恒为正， 无解，是假命题； D 中当 时由基本不等式得 ，等号在 时取到，是真命题。 故选 D。 【变式5-2】（2026·陕西·西安·三模）已知命题 ， 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上的二次式恒非负，等价于判别式不大于零。 【解答过程】因为 的系数为 ，要使 对一切实数 成立， 需 ，解得 。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【变式5-3】下列命题中是假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】逐一验证，全称命题找反例、存在命题找实例，找出那个不成立的即假命题。 【解答过程】A 中 恒成立，是真命题； B 中取 ，则 ，是真命题； C 中取 ，则 ，故"，"是假命题； D 中取 ，则 ，是真命题。 故选 C。 【变式5-4】若命题"，"是真命题，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】存在实根等价于判别式非负，由此解出 的上界。 【解答过程】命题为真，即方程 有实数根， 需 ，解得 。 所以实数 的最大值为 。故选 C。 【变式5-5】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【解题思路】先用量词符号筛出全称量词命题，再判断其真假。 【解答过程】A、D 中含""，是存在量词命题，先排除； C 中取 ，则 ，故 C 是假命题； B 中 对一切实数成立，既是真命题又是全称量词命题，符合要求； D 中 在自然数范围内无解，是假命题。 故选 B。 重难点培优06　含量词命题的否定及求参　★★★ 【解题技巧】否定口诀"改量词、否结论"：，。常见否定要熟记： 的否定是 ， 的否定是 ，"都是"的否定是"不都是"，"且"的否定是"或"。含参命题求参时，先写出 并把量词换成反向，再解不等式。 【注意事项】三个易错点：①命题的否定只改量词和结论，条件中的范围与参数不能乱改；② 与 是一对、 与 是一对，开闭方向写反必错；③" 为假"与" 为真"是一回事，两种说法要能互相翻译。 【例6-1】（2024·山东·青岛·三模）已知命题 ，，则 为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解题思路】按"改量词、否结论"操作：全称量词 改为存在量词 ，结论""改为""，范围不动。 【解答过程】命题 是含全称量词的命题，其否定应把 改为 ，并把结论""否定为""。 所以 ，。故选 C。 【例6-2】（2026·河北·石家庄·一模）已知命题 ， 为假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】" 为假"等价于" 为真"，先写 （改量词、否结论），再把二次式恒非负翻译成判别式不大于零。 【解答过程】命题 为假命题，即 ， 为真命题。 因为 的系数为正，故需 ，解得 。 所以实数 的取值范围是 。故选 A。 【变式6-1】命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】把存在量词改为全称量词，同时把结论""否定为""，范围 保持不变。 【解答过程】原命题是含存在量词的命题，改 为 ，并把 否定为 ， 得否定"，"。故选 A。 【变式6-2】命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】"改量词、否结论"，注意""的否定是""而不是""。 【解答过程】原命题含全称量词 ，否定时应改为存在量词 ，并把结论""否定为""， 所以否定是"，"。故选 A。 【变式6-3】若命题"，"是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先把假命题改写为其否定为真，得到恒成立问题，再转化为求最小值。 【解答过程】命题"，"是假命题，等价于其否定"，"是真命题， 即 对一切 成立，故 小于 在 上的最小值。 因为 在 上单调递增，最小值为 ，所以 。 故选 A。 【变式6-4】已知命题 ， 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】恒成立转化为" 不超过左边式子的最小值"，再用基本不等式求最小值。 【解答过程】由 为真命题得 对一切 成立，即 。 因为当 时 ，且 时取到等号，所以最小值是 。 故 。故选 A。 【变式6-5】命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】改量词为存在量词，并把结论""否定为""，其余部分照抄。 【解答过程】原命题含全称量词，否定时把 改为 ，并把结论 否定为 ， 所以否定是"，"。故选 A。 重难点培优07　恒成立与能成立（存在性）问题　★★★★ 【解题技巧】含参不等式求参的"两把钥匙"：（恒成立），（能成立）。求最值首选分离参数法——把参数孤立到不等式一侧，转化为求另一侧式子的最值；二次函数在闭区间上则比较对称轴与区间的位置后分类讨论。 【注意事项】四个必查点：①"恒成立"对应最小值、"能成立"对应最大值，两者结论相反，混用必错；②分离参数时若除以的式子符号不确定，必须对参数分类讨论；③双层量词问题要"先内层、后外层"， 与 的先后顺序不同，结论完全不同；④转化为最值后要验证取到最值的 是否落在给定区间内。 【例7-1】（2026·江苏·南京·三模）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上的二次式大于零恒成立，等价于判别式小于零，直接解出 的范围。 【解答过程】因为 的系数为 ，要使 对一切实数 恒成立，需 。 由 得 ，解得 。 所以实数 的取值范围是 。故选 A。 【例7-2】（2025·浙江·宁波·二模）若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先分离参数把不等式化为 ，再转化为" 不小于该式在区间上的最小值"。 【解答过程】 且 ，两边同除以 得 。 因为存在 使不等式成立，所以 。 设 ，则 在 上成立，故 在 上单调递增，最小值为 。 所以 。故选 A。 【例7-3】（2026·广东·深圳·二模）已知 ，，若对任意 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】双层量词问题遵循"先内层、后外层"：把"对任意 ，总存在 "翻译为 在 上的值域是 在 上值域的子集，再由端点列不等式组。 【解答过程】，当 时， 的最小值为 ，最大值为 ，故 的值域为 。 在 上单调递增，故 的值域为 。 "对任意 ，总存在 使 "等价于 ， 需 且 ，解得 且 。 所以 的取值范围是 。故选 A。 【变式7-1】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】开口向上的二次式恒正等价于判别式小于零。 【解答过程】需 ，解得 。 所以实数 的取值范围是 。故选 A。 【变式7-2】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 恒成立，再求右边在 上的最大值。 【解答过程】由 得 对一切 成立，故 。 设 ，当 时 的最大值为 。 所以 。故选 A。 【变式7-3】若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先排除 的情形，再分离参数转化为" 大于左侧式子的最小值"。 【解答过程】当 时， 不成立，故 。 由 得 ，存在性等价于 。 当 时 ，等号在 时取到，故最小值为 。 所以 。故选 A。 【变式7-4】已知 ，，若对任意 都有 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 对区间内一切 成立，转化为求该式的最小值。 【解答过程】由 且 ，两边同除以 得 对一切 成立。 设 ，则 在 上成立，故 单调递增，最小值为 。 所以 。故选 A。 【变式7-5】若命题"，"为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分离参数得 能成立，转化为求右边在区间上的最大值。 【解答过程】由 得 ，命题为真即 （）。 设 ，当 时 的最大值为 。 所以 。故选 A。 重难点培优08　逻辑推理与命题综合（新定义、交汇）　★★★★ 【解题技巧】新定义与交汇型逻辑题的"四步走"：读（逐字读清定义中的条件与量词）→ 译（把新符号翻译成熟悉的方程、不等式或值域关系）→ 特（用特殊值试探方向）→ 反（否定推出关系时构造反例）。抽象问题一律先等价化再判方向，向量、函数、数列背景都要先化为最简形式。 【注意事项】三个关键提醒：①充要条件的证明必须"两个方向都写"，只写一支不得满分；②新定义中"任意"与"存在"的先后次序不同，结论可能完全相反；③交汇题中隐含的定义域、值域限制是判定充分必要性的关键，漏掉定义域必错。 【例8-1】（2026·湖南·长沙·二模）设 ， 表示不超过 的最大整数，记 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】把新记号 翻译成 ，则两个条件都等价于" 是整数"，双向验证后判定。 【解答过程】由定义 ，故 。 因为 ，所以 ，即 ，充分性成立； 反之若 ，则 ，此时 ，，必要性成立。 所以""是""的充要条件。故选 C。 【例8-2】（2025·福建·福州·三模）已知函数 ，则""是" 在 上单调递增"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】先把"在 上单调递增"等价化为"对称轴不在区间内部"，再与 比较。 【解答过程】 是开口向上的二次函数，其对称轴为 。 在 上单调递增等价于对称轴落在区间左侧或端点上，即 。 所以""是" 在 上单调递增"的充要条件。故选 C。 【变式8-1】已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】利用指数函数 在 上的单调性，把两个条件互相翻译。 【解答过程】因为 在 上单调递增，所以 。 所以""是""的充要条件。故选 C。 【变式8-2】已知函数 ，则""是"不等式 对任意 恒成立"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解题思路】先用绝对值三角不等式求 的最小值，再把恒成立条件化为 ，最后与 比较方向。 【解答过程】由绝对值三角不等式 ，等号在 时取到，故 。 " 对任意 恒成立"等价于 。 取 ，满足 但 不成立，充分性不成立；取 ，满足 但 不成立，必要性不成立。 所以""是" 恒成立"的既不充分也不必要条件。故选 D。 【变式8-3】已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】正向用基本不等式（或完全平方）推出，反向取一组反例否定。 【解答过程】若 ，则 ，充分性成立； 取 ，则 成立，但 ，必要性不成立。 所以""是""的充分不必要条件。故选 A。 【变式8-4】已知 ：关于 的方程 有两个不相等的正实根，则 成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 或 【答案】A 【解题思路】"两个正实根"需同时满足三个条件：判别式为正、两根之和为正、两根之积为正，取交集即得充要条件。 【解答过程】设两个实根为 ，则需 ，即 或 ； ，即 ； ，恒成立。 三者取交集得 。故选 A。 【变式8-5】设 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】分别把两个命题化为区间，再由"充分不必要"得真包含关系，最后检验端点是否造成两区间相等。 【解答过程】由 得 ，即 的解集 ； 由 得 ，即 的解集 。 是 的充分不必要条件等价于 ，需 且 ，解得 。 当 时 ，是充要条件而非充分不必要，故舍去。 所以实数 的取值范围是 。故选 A。 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解题思路】"改量词、否结论"：存在量词改全称量词，结论""否定为""。 【解答过程】把 改为 ，并把 否定为 ， 得否定"，"。故选 A。 2．【巩固】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题 ，；命题 ，，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 【答案】B 【解题思路】对全称命题取反例否定，对存在命题取实例肯定，再由"真假相反"判断否定命题。 【解答过程】取 ，则 ，故 是假命题， 是真命题； 取 ，则 ，故 是真命题， 是假命题。 所以 和 都是真命题。故选 B。 3．【巩固】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】正向由不等式性质推出，反向取反例否定。 【解答过程】若 ，则 ，充分性成立； 取 ，则 但 不成立，必要性不成立。 所以""是""的充分不必要条件。故选 A。 4．【巩固】（2025·天津卷·高考真题）已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】正向直接代入验证，反向求出解集后举出反例。 【解答过程】若 ，则 ，充分性成立； 若 ，则 ，取 得 ，必要性不成立。 所以""是""的充分不必要条件。故选 A。 5．【进阶】已知命题 ， 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】恒成立问题分离参数后转化为求最小值。 【解答过程】由 为真得 对一切 成立，即 。 因为 在 上单调递增，最小值为 ，所以 。故选 A。 6．【进阶】（2026·北京卷·高考真题） 是无穷数列，则"存在常数 ，使 "是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解题思路】充分性由传递性直接得到，必要性构造 、 的反例否定。 【解答过程】若存在常数 使 对一切正整数 成立，则 恒成立，充分性成立； 取 ，，则 恒成立，但不存在固定的 同时满足 与 对一切 成立，必要性不成立。 所以是充分不必要条件。故选 A。 7．【进阶】已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先解二次不等式得 的解集，再把"充分不必要"翻译为真包含关系。 【解答过程】由 得 ，即 的解集 ； 的解集 。 是 的充分不必要条件等价于 ，需 （当 时 ，满足）。 所以实数 的取值范围是 。故选 A。 8．【进阶】已知函数 ，则""是" 在 上单调递增"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】二次函数在区间上单调递增等价于对称轴不在区间内部，双向验证。 【解答过程】 开口向上，对称轴为 ， 在 上单调递增等价于 ，两者互为充要条件。故选 C。 二、多选题 9．【进阶】下列命题是真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】ACD 【解题思路】存在命题找实例、全称命题用配方证明，逐一验证。 【解答过程】A 中 恒成立，正确； B 中 ，方程 无实根，错误； C 中取 ，则 ，正确； D 中取 ，则 ，正确。 故选 ACD。 10．【进阶】已知条件 ，条件 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的否定是 B． 的否定是 C． 是 的充分条件 D． 是 的必要不充分条件 【答案】ABD 【解题思路】先把两个条件化为区间，再逐项验证否定是否正确、推出关系是否成立。 【解答过程】 的解集为 ， 的解集为 。 A 正确： 的否定为 ； B 正确： 的否定为 ，即 ； C 错误：取 ，但 ，不满足 ，故 不是 的充分条件； D 正确： 的解集为 ， 的解集 是其真子集，故 是 的必要不充分条件。 故选 ABD。 11．【进阶】已知 ，则下列说法正确的是（　　） A．""是""的充分不必要条件 B．" 且 "是""的充要条件 C．""是""的必要不充分条件 D．""是""的充要条件 【答案】ABD 【解题思路】逐项用"由条件能否推出结论"判断，能推得动的一支举反例即可否定。 【解答过程】A 中 成立，但取 有 而 ，故为充分不必要条件，正确； B 中 且 （因两个非负数之和为零），互为充要条件，正确； C 中取 ，，则 但 ，故""不是""的必要条件，错误； D 中 要求 且 同号，此时 ；反之 时有 且 ，故为充要条件，正确。 故选 ABD。 12．【培优】已知命题 ，；命题 ，。若 是真命题， 是假命题，则（　　） A． 为真命题时 B． 为假命题时 C． 的最大值为 D． 的取值范围是 【答案】ABC 【解题思路】分别求出 为真、 为假对应的参数范围，再取交集逐项判断。 【解答过程】 为真等价于 对一切 成立，即 ，故 A 正确； 为假等价于 ， 为真，需 ，即 ，故 B 正确； 两式取交集得 ，所以 的最大值为 ，故 C 正确； 的取值范围是 而非 ，故 D 错误。 故选 ABC。 三、填空题 13．【巩固】命题"，"的否定是 ______． 【答案】， 【解题思路】改量词、否结论，只把全称量词改为存在量词并否定结论。 【解答过程】把 改为 ，并把结论 否定为 ， 所以否定是"，"。 14．【进阶】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知向量 ，，则""是""的 ______ 条件（填"充分不必要""必要不充分""充要""既不充分也不必要"）． 【答案】充分不必要 【解题思路】先由坐标运算求出 的全部解，再比较 与解集的包含关系。 【解答过程】由 得 ，解得 或 。 所以 ，但 时 还可能是 ， 故""是""的充分不必要条件。 15．【进阶】若命题"，"是真命题，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】分离参数后转化为" 小于右侧式子在区间上的最大值"。 【解答过程】由 得 ，命题为真即 （）。 因为 在 上单调递增，最大值为 ，所以 。 16．【培优】已知条件 ，条件 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ______． 【答案】 【解题思路】" 是 的充分不必要条件"即 是 的真子集，由端点列不等式组并检验端点。 【解答过程】由题意 ，即 且两集合不相等， 需 且 ，解得 。 当 时 ，当 时 ，均真包含于 。 所以实数 的取值范围是 。 四、解答题 17．【进阶】已知 ，． (1) 当 时，求 的解集； (2) 若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 直接代入 解一元二次不等式；(2) 先把否命题关系翻回正向，再化为解集的真包含关系。 【解答过程】(1) 当 时，，即 ，解得 ， 所以 的解集为 。 (2) 由 得 ，即 的解集 ； 由 得 ，又 ，所以 的解集 。 " 是 的必要不充分条件"等价于 且 ，即 且 ，也就是 。 要使 ，需 且 ，解得 。 所以实数 的取值范围是 。 18．【培优】已知 ：函数 在 上单调递增；：关于 的方程 没有实数根． (1) 若 为真命题，求 的取值范围； (2) 若 与 恰有一个为真命题，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) 或 ． 【解题思路】(1) 由对称轴与区间的位置关系求范围；(2) 先求 为真的范围，再按" 真 假"与" 假 真"两种情形分类。 【解答过程】(1) 开口向上，对称轴为 。 在 上单调递增等价于对称轴落在区间左侧或端点上，即 。 (2) 为真等价于 ，即 。 ①若 真 假： 且 ，解得 ； ②若 假 真： 且 ，解得 。 综上， 的取值范围是 或 。 19．【培优】已知 ，；，． (1) 若 为真命题，求 的取值范围； (2) 若 与 都是真命题，求 的取值范围． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】(1) 分离参数后转化为求函数最小值；(2) 先由判别式求 为真的范围，再与 (1) 的结果取交集。 【解答过程】(1) 且 ，两边同除以 得 对一切 成立。 设 ，则 在 上成立，故 单调递增，最小值为 。 所以 为真时 。 (2) 为真等价于方程 有实数根，需 ，即 。 与 都是真命题，取交集得 。 所以 的取值范围是 。 20．【培优】某公司生产某种产品的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万件）满足 ． (1) 若对任意 ，恒有 成立，求实数 的最小值； (2) 若存在 ，使得 成立，求实数 的最大值． 【答案】(1) ；(2) ． 【解题思路】先把利润函数配方求出最大值，再分别按"恒成立对应最小值"与"能成立对应最大值"转化。 【解答过程】，因为 ，所以 的最大值为 。 (1) 对任意 恒有 ，等价于 ，所以 的最小值为 。 (2) 存在 使得 ，等价于 ，所以 的最大值为 。 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 常用逻辑用语（培优复习讲义） 【全国通用】 目　录 一、命题透视·考情前瞻 2 二、思维建模·脉络梳理 3 三、知识精讲·靶向突破 4 知识点1　命题及其关系与四种命题 4 知识点2　充分条件与必要条件 5 知识点3　充要条件的判断与应用 6 知识点4　全称量词与存在量词 6 知识点5　量词命题的否定与含参恒成立、能成立问题 7 四、重难点培优 9 重难点培优01　命题的真假判断与四种命题　★★ 9 重难点培优02　充分条件与必要条件的判断　★★ 10 重难点培优03　由充分、必要条件求参数范围　★★★ 11 重难点培优04　充分、必要条件的综合判断（向量与数列交汇）　★★★ 13 重难点培优05　全称量词与存在量词命题的真假判断　★★★ 14 重难点培优06　含量词命题的否定及求参　★★★ 15 重难点培优07　恒成立与能成立（存在性）问题　★★★★ 16 重难点培优08　逻辑推理与命题综合（新定义、交汇）　★★★★ 18 五、过关检测 20 一、单选题 20 二、多选题 21 三、填空题 22 四、解答题 22 一、命题透视·考情前瞻 ——对标素养，研判高考命题趋势 考点要求 具体要求 命题及其关系 理解命题的概念，能判断命题的真假；了解"若 ，则 "形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系 充分条件与必要条件 理解充分条件、必要条件与充要条件的意义，能结合具体实例进行判断，并能由条件关系求参数的取值范围 全称量词与存在量词 理解全称量词与存在量词的意义，能正确判断含量词命题的真假，掌握"改量词、否结论"的否定规则 含参逻辑问题 能运用最值法、分离参数法解决恒成立与能成立问题，会处理双层量词与交汇情境下的逻辑推理 近三年高考真题对本板块的考查一览（2024—2026；全国一、二卷即新课标Ⅰ、Ⅱ卷）： 年份 试卷·题号 考查内容 难度 2026 北京卷 T7 无穷数列的有界性与充分不必要条件的判断 ★★★ 2026 天津卷 T2 一元二次不等式的解与充分不必要条件的判断 ★★ 2026 上海卷 复数新定义背景下的充要条件判断 ★★★★ 2025 天津卷 T2 三角方程的解与充分不必要条件的判断 ★★ 2025 北京卷 T7 函数值域、量词与充分不必要条件的判断 ★★★ 2024 新课标Ⅱ卷 T2 全称命题与特称命题的真假判断 ★★ 2024 天津卷 T2 幂函数、指数函数的单调性与充要条件的判断 ★★ 2024 北京卷 T5 向量数量积与必要不充分条件的判断 ★★★ 2024 全国甲卷·理 T9 向量垂直、平行与充分、必要条件的判断 ★★★ 2024 上海卷 空间向量共面与新定义充分条件 ★★★★ 考情分析 常用逻辑用语是高考中"小而稳"的考点，近三年在全国卷与自主命题卷中稳定出现 道小题，分值约 分。2024 年全国甲卷（理）、北京卷把"充分、必要条件"与向量垂直、平行的坐标运算交汇，天津卷把它与幂函数、指数函数的单调性结合，新课标Ⅱ卷则以"全称命题与特称命题的真假判断"直接考查量词；2025 年天津卷把充分条件与三角方程的解集结合，北京卷以函数值域为背景考查量词与存在性的转化；2026 年北京卷以无穷数列的有界性为情境考查充分不必要条件，天津卷与一元二次不等式交汇，上海卷在复数新定义背景下考查充要条件。整体来看，命题重心已由"机械改写四种命题"转向"在交汇情境中翻译条件、用反例否定、用最值法求参"。依据《普通高中数学课程标准》与《中国高考评价体系》，本专题集中体现"逻辑推理、数学抽象与数学运算"三大素养。预测 2027 年高考仍以充分、必要条件的判断为主线，以含量词命题的否定、恒成立与能成立问题提升区分度。 复习目标 1．准确辨析命题的条件与结论，熟练写出四种命题并利用"原命题与逆否命题同真假"快速判断真假； 2．牢固掌握"定义法、集合法、等价法"三把武器，能快速判断充分条件、必要条件与充要条件； 3．理解全称量词与存在量词的意义，牢记"改量词、否结论"的否定规则与常见关键词的否定； 4．突破含参的恒成立与能成立问题，熟练运用分离参数法与最值法求参数的取值范围。 二、思维建模·脉络梳理 ——搭建知识框架，构建系统思维 图 1　常用逻辑用语知识体系思维导图 三、知识精讲·靶向突破 ——拆解核心知识，归纳题型技巧 知识点1　命题及其关系与四种命题 可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题。命题通常写成"若 ，则 "的形式， 叫做命题的条件， 叫做命题的结论。 以"若 ，则 "为原命题，四种命题的表述形式及其相互关系如下表： 命题名称 表述形式 相互关系 原命题 若 ，则 与逆否命题同真假 逆命题 若 ，则 与否命题同真假 否命题 若 ，则 与逆命题同真假 逆否命题 若 ，则 与原命题同真假 由表可得两条核心结论：①原命题与其逆否命题互为等价命题，逆命题与其否命题互为等价命题；②四个命题中，真命题的个数只能是 个，不可能为奇数。 【方法技巧】 1．写否命题要"条件、结论同时否定"，写逆否命题要"先交换条件与结论、再同时否定"，写命题的否定则"只否定结论"，三种写法必须分清； 2．判断命题真假的两条路径：证明为真需严格推证，判断为假只需举出一个反例； 3．遇到较难判断的原命题，可改判其逆否命题，因为二者真假完全相同。 【易错清单】 1．""的否定是""；"都是"的否定是不都是，而不是"都不是"； 2．命题的否定与否命题不是同一概念：命题的否定只否定结论，否命题条件与结论都否定； 3．"若 ，则 "为真，不能推出"若 ，则 "为真，二者是互逆而非等价。 知识点2　充分条件与必要条件 对于两个命题 、，若 （即"若 成立，则 一定成立"），则称 是 的充分条件，同时 是 的必要条件；若 且 ，则称 是 的充分不必要条件；若 且 ，则称 是 的必要不充分条件。 用集合的语言描述更为直观：设 对应集合 ， 对应集合 ，则 ①若 ，则 是 的充分条件，口诀是"小范围可推出大范围"； ②若 ，则 是 的充要条件； ③若 且 ，即 是 的真子集，则 是 的充分不必要条件。 【方法技巧】 1．"顺势"判方向： 即 是 的充分条件、 是 的必要条件，先固定一个方向再交换比较； 2．集合视角最稳：把 、 各自化简成解集，比较两个集合的包含关系，由"谁的范围小"直接定"谁是充分条件"； 3．否定推出关系用反例：只需构造一个满足条件而结论不成立的实例，即可判定该方向的推出关系不成立。 【易错清单】 1．" 是 的充分条件"与" 是 的充分条件"方向相反、结论相反，读题时务必圈出主语； 2．判断前必须先化简再比较，如 的隐含条件是 ，遗漏定义域会造成误判； 3．集合包含中等号能否取到决定了结论是"充分不必要"还是"充要"，端点必须单独检验。 知识点3　充要条件的判断与应用 若 且 ，即 ，则称 是 的充要条件（也说 与 等价）。判断充要条件常用三种方法： 定义法：分别验证""与""两个方向，缺一不可； 集合法：把 、 化为解集 、，则 与 互为充要条件； 等价法（传递法）：当条件之间可以"接力"时，利用 一次判定。 【方法技巧】 1．转化思想：原命题与逆否命题等价，遇到"若 则 "正面难证时，改为证"若 则 "； 2．传递思想：若 而 ，则 是 的充分不必要条件，反之亦然； 3．参数问题用"端点检验法"：把充要条件写成集合相等后，逐个代入端点值验证是否满足。 【易错清单】 1．充要条件必须双向验证，只证一个方向便下结论是最高频的失分点； 2． 与 的推出关系与原命题方向一致（ 等价于 ），不可颠倒； 3．"且"与"或"在条件中不可互换，如" 且 "与" 或 "含义完全不同。 知识点4　全称量词与存在量词 短语"所有的""任意一个"在逻辑中称为全称量词，用符号 表示；短语"存在一个""至少有一个"称为存在量词，用符号 表示。含有全称量词的命题叫全称量词命题，形如 ；含有存在量词的命题叫存在量词命题，形如 。 命题形式 含义 判断真假的方法 集合 中每一个元素都使 成立 真需证明，假需一个反例 集合 中至少有一个元素使 成立 真需一个实例，假需证明 判断含参的量词命题时，常转化为函数最值问题： ①对任意（恒成立型）：； ②存在（能成立型）：。 【方法技巧】 1．"全称看反例、存在看实例"：否定全称命题只需一击，肯定存在命题只需一举； 2．二次函数在闭区间上的最值问题，先比较对称轴与区间的相对位置，再分类讨论； 3．含参命题转化为最值后，务必检查区间的开闭与等号能否取到。 【易错清单】 1．量词的讨论范围不可随意扩大或缩小，""与""的结论可能完全相反； 2．判定命题为真必须给出证明，仅凭"试了几个数都对"不能下结论； 3．""型问题求最值时，不要忘记验证取到最值的 是否属于 。 知识点5　量词命题的否定与含参恒成立、能成立问题 含有一个量词的命题的否定规则是"改量词、否结论"： ①； ②。 常见关键词与其否定如下表所示： 关键词 否定 关键词 否定 都是 不都是 至少有一个 一个也没有 至多有一个 至少有两个 且 或 含参不等式中的两类核心问题（恒成立与能成立）可直接转化为最值问题： ①恒成立（对任意）：； ②能成立（存在）：。 对于双层量词问题，遵循"先内层、后外层"的原则：如""等价于 的值域是 值域的子集；而""则等价于 的值域是 值域的子集。 【方法技巧】 1．求参首选分离参数法：把参数孤立到不等式一侧，转化为求另一侧函数的最值； 2．若分离时除以的式子符号不确定，必须对参数分类讨论后再分离； 3．"恒成立"与"能成立"常同时出现，先分别求出对应的最值，再取交集或并集。 【易错清单】 1．"恒成立"对应最小值、"能成立"对应最大值，两者结论相反，切忌混用； 2．命题" 为假"与" 为真"等价，求参时要把""改""并点对点否定结论； 3． 的否定是 、 的否定是 ，开闭方向不能写反。 四、重难点培优 ——聚焦高频难点，突破思维瓶颈 重难点培优01　命题的真假判断与四种命题　★★ 【例1-1】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题 ，；命题 ，，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 【例1-2】（2026·江苏·南京·一模）命题"若 ，则 "的否命题是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式1-1】下列命题为真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】命题"若 ，则 "的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数为（　　） A． B． C． D． 【变式1-3】命题"若 ，则 "的逆否命题是（　　） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ，则 D．若 ，则 【变式1-4】命题 ：若 都是偶数，则 是偶数，则 的否命题是（　　） A．若 都是偶数，则 不是偶数 B．若 不是偶数，则 不都是偶数 C．若 不都是偶数，则 不是偶数 D．若 是偶数，则 都是偶数 【变式1-5】已知命题 ，；命题 ，。则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 重难点培优02　充分条件与必要条件的判断　★★ 【例2-1】（2025·天津卷·高考真题）已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2-2】（2024·天津卷·高考真题）已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例2-3】（2025·北京卷·高考真题）已知函数 的定义域为 ，则" 的值域为 "是"对任意 ，存在 ，使得 "的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-1】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-2】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-3】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-4】设 是一个平面， 是两条不同的直线，则" 且 "是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式2-5】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点培优03　由充分、必要条件求参数范围　★★★ 【例3-1】（2026·山东·青岛·二模）已知 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例3-2】（2026·浙江·杭州·二模）已知 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】已知 ，，若""是""的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】已知""是""的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-4】已知命题 ，命题 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式3-5】已知条件 ，，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优04　充分、必要条件的综合判断（向量与数列交汇）　★★★ 【例4-1】（2026·北京卷·高考真题） 是无穷数列，则"存在常数 ，使 "是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4-2】（2024·北京卷·高考真题）已知向量 ，则""是" 或 "的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例4-3】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知向量 ，，则（　　） A．""是""的必要条件 B．""是""的必要条件 C．""是""的充分条件 D．""是""的充分条件 【变式4-1】已知向量 ，，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-2】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-3】已知函数 ，，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-4】设 是公比为 的等比数列，则""是" 为递增数列"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式4-5】设 ， 表示不超过 的最大整数，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 重难点培优05　全称量词与存在量词命题的真假判断　★★★ 【例5-1】（2026·湖北·武汉·二模）下列命题中，真命题是（　　） A．， B．， C．， D．， 【例5-2】（2026·四川·成都·二模）已知命题 ，，若 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】下列命题中真命题是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式5-2】（2026·陕西·西安·三模）已知命题 ， 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式5-3】下列命题中是假命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式5-4】若命题"，"是真命题，则实数 的最大值为（　　） A． B． C． D． 【变式5-5】下列命题中，既是真命题又是全称量词命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 重难点培优06　含量词命题的否定及求参　★★★ 【例6-1】（2024·山东·青岛·三模）已知命题 ，，则 为（　　） A．， B．， C．， D．， 【例6-2】（2026·河北·石家庄·一模）已知命题 ， 为假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-1】命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式6-2】命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式6-3】若命题"，"是假命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-4】已知命题 ， 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式6-5】命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 重难点培优07　恒成立与能成立（存在性）问题　★★★★ 【例7-1】（2026·江苏·南京·三模）若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例7-2】（2025·浙江·宁波·二模）若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【例7-3】（2026·广东·深圳·二模）已知 ，，若对任意 ，总存在 ，使得 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-2】若不等式 对任意 恒成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】若存在 ，使得 成立，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-4】已知 ，，若对任意 都有 ，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式7-5】若命题"，"为真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 重难点培优08　逻辑推理与命题综合（新定义、交汇）　★★★★ 【例8-1】（2026·湖南·长沙·二模）设 ， 表示不超过 的最大整数，记 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【例8-2】（2025·福建·福州·三模）已知函数 ，则""是" 在 上单调递增"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-1】已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-2】已知函数 ，则""是"不等式 对任意 恒成立"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-3】已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式8-4】已知 ：关于 的方程 有两个不相等的正实根，则 成立的充要条件是（　　） A． B． C． D． 或 【变式8-5】设 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 五、过关检测 ——分层训练，验收获能 一、单选题 1．【巩固】命题"，"的否定是（　　） A．， B．， C．， D．， 2．【巩固】（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）已知命题 ，；命题 ，，则（　　） A． 和 都是真命题 B． 和 都是真命题 C． 和 都是真命题 D． 和 都是真命题 3．【巩固】设 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．【巩固】（2025·天津卷·高考真题）已知 ，则""是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．【进阶】已知命题 ， 是真命题，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 6．【进阶】（2026·北京卷·高考真题） 是无穷数列，则"存在常数 ，使 "是""的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．【进阶】已知 ，，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．【进阶】已知函数 ，则""是" 在 上单调递增"的（　　） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．【进阶】下列命题是真命题的是（　　） A．， B．， C．， D．， 10．【进阶】已知条件 ，条件 ，则下列说法正确的是（　　） A． 的否定是 B． 的否定是 C． 是 的充分条件 D． 是 的必要不充分条件 11．【进阶】已知 ，则下列说法正确的是（　　） A．""是""的充分不必要条件 B．" 且 "是""的充要条件 C．""是""的必要不充分条件 D．""是""的充要条件 12．【培优】已知命题 ，；命题 ，。若 是真命题， 是假命题，则（　　） A． 为真命题时 B． 为假命题时 C． 的最大值为 D． 的取值范围是 三、填空题 13．【巩固】命题"，"的否定是 ______． 14．【进阶】（2024·全国甲卷·理·高考真题）已知向量 ，，则""是""的 ______ 条件（填"充分不必要""必要不充分""充要""既不充分也不必要"）． 15．【进阶】若命题"，"是真命题，则实数 的取值范围是 ______． 16．【培优】已知条件 ，条件 ，若 是 的充分不必要条件，则实数 的取值范围是 ______． 四、解答题 17．【进阶】已知 ，． (1) 当 时，求 的解集； (2) 若 是 的必要不充分条件，求实数 的取值范围． 18．【培优】已知 ：函数 在 上单调递增；：关于 的方程 没有实数根． (1) 若 为真命题，求 的取值范围； (2) 若 与 恰有一个为真命题，求 的取值范围． 19．【培优】已知 ，；，． (1) 若 为真命题，求 的取值范围； (2) 若 与 都是真命题，求 的取值范围． 20．【培优】某公司生产某种产品的年利润 （单位：万元）与年产量 （单位：万件）满足 ． (1) 若对任意 ，恒有 成立，求实数 的最小值； (2) 若存在 ，使得 成立，求实数 的最大值． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $