1.2　常用逻辑用语（讲义） -2027届高三数学一轮复习

1.2　常用逻辑用语 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.　2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.　3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 pq且q⇒p p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp |微点拨| 在判断充分、必要条件时,小范围可以推大范围,大范围不可以推小范围,如x>2(小范围)⇒x>1(大范围),x>1(大范围) x>2(小范围) 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词:所有的、任意一个等,用符号“∀”表示. (2)存在量词:存在一个、至少有一个等,用符号“∃”表示. (3)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为∀x∈M,p(x). (4)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为∃x∈M,p(x). 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) ∃x∈M, p(x) ∃x∈M,p(x) ∀x∈M, p(x) |微点拨| 含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 1.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则 (1)若A⊆B,则p是q的充分条件. (2)若B⊆A,则p是q的必要条件. (3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件. (4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件. (5)若A=B,则p是q的充要条件. 2.p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件. 3.命题p和p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假. 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.(×) (2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.(√) (3)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件.(√) (4)已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件. (√) 2.(人教A版必修第一册习题改编)命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是(　　) A.∃x∈R,x2+x≤0 B.∃x∈R,x2+x<0 C.∀x∈R,x2+x≤0 D.∀x∈R,x2+x<0 解析　B　全称量词命题的否定是存在量词命题,需“改量词,否结论”,故选项B正确. 3.(人教A版必修第一册例题改编)“xy>0”是“x<0,y<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　B　因为xy>0x<0,y<0,且x<0,y<0⇒xy>0,所以“xy>0”是“x<0,y<0”的必要不充分条件. 4.(人教B版必修第一册习题改编)“∀x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.   答案　[1,+∞) 解析　∵x2≥1,即x≥1或x≤-1,且原命题是真命题,∴a的取值范围是a≥1. 考点一　充分、必要条件的判定 例1 (1)(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)(2026·四川成都诊断)已知a,b为非零向量,则“存在实数λ,使a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　(1)A　(2)B 解析　(1)由x=0⇒sin 2x=sin 0=0,则“x=0”是“sin 2x=0”的充分条件; 又当x=π 时,sin 2x=sin 2π=0,可知sin 2x=0⇒/x=0, 故“x=0”不是“sin 2x=0”的必要条件. 综上可知,“x=0”是“sin 2x=0”的充分不必要条件. (2)由存在实数λ,使a=λb, 则|a+b|=|λb+b|=|λ+1||b|,|a|+|b|=|λb|+|b|=(|λ|+1)|b|, 当λ<0时,|a+b|≠|a|+|b|,故充分性不成立, 由|a+b|=|a|+|b|,则|a+b|2=(|a|+|b|)2, 故|a|2+2a·b+|b|2=|a|2+2|a||b|+|b|2,所以a·b=|a||b|, 即|a||b|cos<a,b>=|a||b|⇒cos<a,b>=1,故<a,b>=0, 所以a,b同向共线,即存在实数λ,使a=λb,必要性成立, 所以“存在实数λ,使a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的必要不充分条件. 判断充分条件、必要条件的三种方法 定义法 直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件是什么、结论是什么 集合法 利用集合中包含思想判定的特点,抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分性、必要性问题 等价转 化法 对于带有否定性词语的命题,要判断p是q的什么条件,只需判断q是p的什么条件 1.(2026·山东青岛模拟)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC ”是“A∩B=⌀ ”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　C　由B⊆∁UC,得B∩C=⌀,而A⊆C,则A∩B=⌀, 故“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC ”是“A∩B=⌀ ”的充分条件; 由A∩B=⌀,存在一个集合C=A,使得A⊆C,B⊆∁UC,如图, 所以“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC ”是“A∩B=⌀ ”的必要条件. 2.(2026·河南洛阳模拟)如果x,y 是实数,那么“xy<0”是“|x-y|=|x|+|y| ”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　A　当xy<0时,不妨设x<0,y>0,x-y<0,则|x-y|=-(x-y)=-x+y=|x|+|y|.而当|x-y|=|x|+|y| 时,可能y=0,此时|x-0|=|x|,而xy=0.综上所述“xy<0”是“|x-y|=|x|+|y| ”的充分不必要条件. 考点二　充分、必要条件的应用 例2 (1)命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥9 B.a≤9 C.a≥10 D.a≤10 (2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则实数m的取值范围为　　　　.  答案　(1)C　(2)[0,3] 解析　(1)命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”⇒“∀x∈[1,3],x2≤a”⇒“a≥9”.则“a≥10”是命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件. (2)由x2-8x-20≤0,得-2≤x≤10,所以P={x|-2≤x≤10}.因为x∈P是x∈S的必要条件,则S⊆P,又S≠⌀,所以解得0≤m≤3,故实数m的取值范围为[0,3]. 1.(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“P是S的必要不充分条件”,其他条件不变,则实数m的取值范围为　　　　.  答案　[9,+∞) 解析　由例题知P={x|-2≤x≤10}.因为P是S的必要不充分条件,所以P是S的充分不必要条件,所以P⇒S且SP.所以[-2,10]⫋[1-m,1+m].所以或所以m≥9,则实数m的取值范围是[9,+∞). 2. (变设问)本例(2)条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由. 解　不存在m,理由如下:由例题知P={x|-2≤x≤10}. 若x∈P是x∈S的充要条件,则P=S, 所以所以这样的m不存在. 由充分条件、必要条件求参数范围的策略 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形. 2.在求参数范围时,要注意端点值的检验,处理不当容易造成漏解或增解. 3.(2026·江西南昌模拟)已知p:x>2,q:x2-x-a>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞,2] C. D.[2,+∞) 解析　B　若p是q的充分不必要条件,故x2-x-a>0在x>2时恒成立,故得a<x2-x,令f(x)=x2-x,由二次函数性质得f(x)在(2,+∞)上单调递增,则f(x)>f(2)=2,可得a∈(-∞,2]. 4.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　　　,若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　　.  答案　1　4 解析　因为|x|≤m(m>0),所以-m≤x≤m. 由p是q的充分条件,得解得0<m≤1,所以m的最大值为1. 由p是q的必要条件,得解得m≥4,所以m的最小值为4. 考点三　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定 例3 (1)(2026·四川绵阳诊断)设命题p:∃x∈R,x=sin x,则p(　　) A.∀x∈R,x=sin x B.∃x∈R,x≠sin x C.∃x∈R,x=sin x D.∀x∈R,x≠sin x (2)已知命题p:∀x∈,sin x<x,则p为(　　) A.∃x∉,sin x>x B.∃x∈,sin x>x C.∃x∉,sin x≥x D.∃x∈,sin x≥x 答案　(1)D　(2)D 解析　(1)p:∃x∈R,x=sin x, p:∀x∈R,x≠sin x. (2)命题p:∀x∈,sin x<x为全称量词命题,则p为∃x∈,sin x≥x. 角度2　含量词命题的真假判断 例4 (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则(　　) A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D. p和q都是真命题 解析　B　对于p而言,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题, p是真命题,对于q而言,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题, q是假命题,综上, p和q都是真命题. (人教A版必修第一册P35T7)写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根; (2)每个正方形都是平行四边形; (3)∃m∈N,∈N; (4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°. 解　(1)∃a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0无实根;假命题. (2)存在一个正方形,它不是平行四边形;假命题. (3)∀m∈N,∉N;假命题. (4)任意四边形ABCD的内角和等于360°;真命题. 高考真题(2024·新课标Ⅱ卷)是教材习题(人教A版必修第一册P35T7)的整合式改编:将教材∀/∃命题的真假判断与否定规则,以组合命题的形式融入选择题,但核心考点(量词转换、反例验证)、解题逻辑(特例构造)与教材完全一致.这进一步证实高考命题对教材素材的高度依赖,教学应紧扣教材,通过同类习题的反复训练夯实逻辑推理基础,并适当拓展组合命题的解题策略. 角度3　由含量词命题的真假求参数的值(范围) 例5 已知命题“∃x∈R,使ax2-x+2≤0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.(1,+∞) 解析　C　因为命题“∃x∈R,使ax2-x+2≤0”是假命题,所以命题“∀x∈R,ax2-x+2>0”是真命题,当a=0时,得x<2,不符合题意;当a≠0时,得解得a>. 含量词命题的解题策略 1.判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时,可以先判断其否定的真假. 2.由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真假求参数的范围;二是可利用等价命题求参数的范围. 5.下列命题的否定是真命题的为(　　) A.任意两个等边三角形都相似 B.∃x∈R,x2-x+1=0 C.存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直 D.∀x∈R,x+|x|≥0 解析　B　对于A,任意两个等边三角形都相似是真命题,所以其否定是假命题,故A错误;对于B,x2-x+1=0,Δ=1-4<0,所以方程无解,所以该命题是假命题,其否定是真命题,故B正确;对于C,存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直,是真命题,其否定是假命题,故C错误;对于D,∀x∈R,x+|x|≥0是真命题,其否定是假命题,故D错误. 6.已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0,若命题p和q都是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2]∪{1} B. C.(-∞,1] D. 解析　A　当p:∀x∈[1,2],x2-a≥0为真命题时,a≤x2在[1,2]上恒成立,因为x∈[1,2],所以x2∈[1,4],所以a≤1;命题q:∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0的否定q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0为真命题时,Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2或a≥1.因为命题p和q都是真命题,所以a=1或a≤-2. 1.命题p:∀x>0,x2-ax+2>0的否定是(　　) A.∀x>0,x2-ax+2≤0 B.∀x≤0,x2-ax+2>0 C.∃x>0,x2-ax+2≤0 D.∃x≤0,x2-ax+2≤0 解析　C　由于全称量词命题的否定为存在量词命题,所以命题p:∀x>0,x2-ax+2>0的否定是∃x>0,x2-ax+2≤0. 2.下列命题中既是全称量词命题,又是真命题的是(　　) A.菱形的四条边都相等 B.∃x∈N,使2x为偶数 C.∀x∈R,x2+2x+1>0 D.π是无理数 解析　A　对于A,所有菱形的四条边都相等,是全称量词命题,且是真命题;对于B,∃x∈N,使2x为偶数,是存在量词命题;对于C,∀x∈R,x2+2x+1>0,是全称量词命题,当x=-1时,x2+2x+1=0,故是假命题;对于D,π是无理数,是真命题,但不是全称量词命题. 3.已知a,b,c∈R,则“a=b”是“ac2=bc2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　A　若a=b,则ac2=bc2,即充分性成立; 若ac2=bc2,例如a=1,b=-1,c=0,可得ac2=bc2=0,满足题意,但a≠b,即必要性不成立. 综上所述,“a=b”是“ac2=bc2”的充分不必要条件. 4.“a>b”的一个充分条件是(　　) A.ea-b>2 B.ln>0 C.aa>bb D.< 解析　A　由ea-b>2,可知ea-b>1,a-b>0,a>b,故ea-b>2是a>b的一个充分条件,故A正确;由ln>0,可得>1,不妨取a=-2,b=-1,推不出a>b,故B错误;由aa>bb,比如取a=-2,b=-1,满足aa=>bb=-1,推不出a>b,故C错误;由<,比如取a=-2,b=1,满足<,推不出a>b,故D错误. 5.已知命题“∃x∈R,方程x2+4x+a=0有实根”是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,4) B.(-∞,4] C.(4,+∞) D.[4,+∞) 解析　B　“∃x∈R,方程x2+4x+a=0有实根”是真命题,故Δ=16-4a≥0,解得a≤4. 6.(2026·湖北武汉模拟)若命题“∃a∈[1,3],ax2+(a-2)x-2>0”是假命题,则x不能等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 解析　C　根据题意,知原命题的否定“∀a∈[1,3],ax2+(a-2)x-2≤0”为真命题.令f(a)=(x2+x)a-2x-2, 解得-1≤x≤. 7.已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|x2-3mx+2m2+m-1<0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为(　　) A.[-3,2] B.[-1,3] C. D. 解析　C　由题意得集合A={x|x2-x-12≤0}=[-3,4],B={x|x2-3mx+2m2+m-1<0}={x|(x-m-1)(x-2m+1)<0}, 若m>2,则2m-1>m+1,此时B=(m+1,2m-1),因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,故B⫋A, 故所以2<m≤; 若m<2,则2m-1<m+1,此时B=(2m-1,m+1),因为“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,故B⫋A, 故所以-1≤m<2; 若m=2,则2m-1=m+1,此时B=⌀,满足B⫋A.综上,可得m∈. 8.(多选)已知命题p:∀x∈R,x2-2x-3>0,命题q:∃x∈N,ln(x-4)<0,则(　　) A. p和q都是真命题 B.p和q都是假命题 C.p和q都是假命题 D. p和q都是真命题 解析　BD　x2-2x-3=(x+1)(x-3)>0,解得x<-1或x>3,即命题p为假命题. ln(x-4)<0=ln 1,0<x-4<1,即4<x<5,但x∈N,即不存在这样的x, 即命题q为假命题,则p和q都是真命题. 9.(多选)下列说法正确的有(　　) A.“x∈A”是“x∈A∪B”的必要不充分条件 B.“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分条件 C.命题p:∀x∈R,x2>0,则p:∃x∈R,x2<0 D.“x,y为无理数”是“x+y为无理数”的既不充分也不必要条件 解析　BD　对于A,若x∈A,则x∈A∪B,但由x∈A∪B不能推出x∈A,所以x∈A是x∈A∪B的充分不必要条件,故A错误; 对于B,a>1,b>1时,ab>1一定成立,所以a>1,b>1是ab>1成立的充分条件,故B正确; 对于C,命题p:∀x∈R,x2>0,则p:∃x∈R,x2≤0,故C错误; 对于D,当x=,y=-时,x+y=0, 当x=2,y=时,x+y为无理数, 所以x,y为无理数是x+y为无理数的既不充分也不必要条件,故D正确. 10.(2026·辽宁沈阳质检)“sin x=1”的一个充分不必要条件是　　　　.   答案　x=(答案不唯一) 解析　当x=时,sin x=1, 由sin x=1可得x=+2kπ,k∈Z,故“sin x=1”的一个充分不必要条件是“x=”. 11.已知命题p:∀x∈R,x2-a≥0;命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0.若命题p,q都是真命题,则实数a的取值范围为　　　　.  答案　(-∞,-2] 解析　由命题p为真,得a≤0,由命题q为真,得Δ=4a2-4(2-a)≥0,即a≤-2或a≥1,所以a≤-2. 12.命题A:|x-1|<3,命题B:(x+2)(x+a)<0,若A是B的充分不必要条件,则a的取值范围是　　　　.  答案　(-∞,-4) 解析　由题意得|x-1|<3,解得-2<x<4, 当a<2时,由题意得(x+2)(x+a)<0,解得-2<x<-a,由于A是B的充分不必要条件,则A⫋B, 故得-a>4,解得a∈(-∞,-4); 当a=2时,B是空集,不符合要求,故排除; 当a>2时,由题意得(x+2)(x+a)<0,解得-a<x<-2,此时不满足题意,故排除. 13.(2025·北京卷)已知函数f(x) 的定义域为D,则“函数f(x) 的值域为R ”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　A　若函数f(x)的值域为R,则对任意M∈R,存在x1∈D,使得f(x1)=|M|+1, 取x0=x1,则|f(x0)|=|M|+1>M,充分性成立; 取f(x)=2x,D=R,则对任意M∈R,一定存在x1∈D,使得f(x1)=|M|+1, 取x0=x1,则|f(x0)|=|M|+1>M,但此时函数f(x) 的值域为(0,+∞),必要性不成立, 所以“函数f(x) 的值域为R ”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的充分不必要条件. 14.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年,由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想,使它终成为费马大定理.根据前面叙述,则下列命题正确的为(　　) A.至少存在一组正整数组(x,y,z)是关于x,y,z的方程x3+y3=z3的解 B.关于x,y的方程x3+y3=1有正有理数解 C.关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解 D.当整数n>3时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn有正实数解 解析　CD　当正整数n>2时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解,故方程x3+y3=z3没有正整数解,故A错误; x3+y3=z3没有正整数解,即+=1(z≠0)没有正有理数解,故B错误,C正确; 方程xn+yn=zn,当x=y=1,z=时满足条件,故有正实数解,故D正确. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　常用逻辑用语 1.理解必要条件、充分条件与充要条件的意义.　2.通过生活和数学中的丰富实例,理解全称量词与存在量词的意义.　3.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 1.充分条件、必要条件与充要条件 若p⇒q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的_________条件 p⇒q且qp p是q的_________条件 pq且q⇒p p是q的_________条件 p⇔q p是q的__________________条件 pq且qp |微点拨| 在判断充分、必要条件时,小范围可以推大范围,大范围不可以推小范围,如x>2(小范围)⇒x>1(大范围),x>1(大范围) x>2(小范围) 2.全称量词和存在量词 (1)全称量词:所有的、任意一个等,用符号“_________”表示. (2)存在量词:存在一个、至少有一个等,用符号“_________”表示. (3)含有全称量词的命题,叫做全称量词命题.“对M中任意一个x,p(x)成立”可用符号简记为_________. (4)含有存在量词的命题,叫做存在量词命题.“存在M中的元素x,p(x)成立”可用符号简记为_________. 3.含有一个量词的命题的否定 命题 命题的否定 ∀x∈M,p(x) _____________ ∃x∈M,p(x) _____________ |微点拨| 含有一个量词的命题的否定规律是“改量词,否结论”. 1.若p以集合A的形式出现,q以集合B的形式出现,即p:A={x|p(x)},q:B={x|q(x)},则 (1)若A⊆B,则p是q的充分条件. (2)若B⊆A,则p是q的必要条件. (3)若A⫋B,则p是q的充分不必要条件. (4)若B⫋A,则p是q的必要不充分条件. (5)若A=B,则p是q的充要条件. 2.p是q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件. 3.命题p和p的真假性相反,若判断一个命题的真假有困难时,可判断此命题的否定的真假. 1.思考辨析(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)至少有一个三角形的内角和为π是全称量词命题.( ) (2)写全称量词命题的否定时,全称量词变为存在量词.( ) (3)当p是q的充分条件时,q是p的必要条件.( ) (4)已知p:x>1和q:x≥1,则p是q的充分不必要条件. ( ) 2.(人教A版必修第一册习题改编)命题“∀x∈R,x2+x≥0”的否定是(　　) A.∃x∈R,x2+x≤0 B.∃x∈R,x2+x<0 C.∀x∈R,x2+x≤0 D.∀x∈R,x2+x<0 3.(人教A版必修第一册例题改编)“xy>0”是“x<0,y<0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.(人教B版必修第一册习题改编)“∀x∈[a,+∞),x2≥1”是真命题,则实数a的取值范围是　　　　.   考点一　充分、必要条件的判定 例1 (1)(2025·天津卷)设x∈R,则“x=0”是“sin 2x=0”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 课堂笔记： (2)(2026·四川成都诊断)已知a,b为非零向量,则“存在实数λ,使a=λb”是“|a+b|=|a|+|b|”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 课堂笔记： 判断充分条件、必要条件的三种方法 定义法 直接判断“若p,则q”“若q,则p”的真假.在判断时,确定条件是什么、结论是什么 集合法 利用集合中包含思想判定的特点,抓住“以小推大”的技巧,即小范围推得大范围,即可解决充分性、必要性问题 等价转 化法 对于带有否定性词语的命题,要判断p是q的什么条件,只需判断q是p的什么条件 1.(2026·山东青岛模拟)设U为全集,A,B是集合,则“存在集合C使得A⊆C,B⊆∁UC ”是“A∩B=⌀ ”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2026·河南洛阳模拟)如果x,y 是实数,那么“xy<0”是“|x-y|=|x|+|y| ”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 考点二　充分、必要条件的应用 例2 (1)命题“∀x∈[1,3],x2-a≤0”为真命题的一个充分不必要条件是(　　) A.a≥9 B.a≤9 C.a≥10 D.a≤10 课堂笔记： (2)已知P={x|x2-8x-20≤0},非空集合S={x|1-m≤x≤1+m}.若x∈P是x∈S的必要条件,则实数m的取值范围为　　　　.  课堂笔记： 1.(变条件)本例(2)中条件“若x∈P是x∈S的必要条件”变为“P是S的必要不充分条件”,其他条件不变,则实数m的取值范围为　　　　.  课堂笔记： 2. (变设问)本例(2)条件不变,问是否存在实数m,使x∈P是x∈S的充要条件?并说明理由. 由充分条件、必要条件求参数范围的策略 1.把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系,然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解,注意条件的等价变形. 2.在求参数范围时,要注意端点值的检验,处理不当容易造成漏解或增解. 3.(2026·江西南昌模拟)已知p:x>2,q:x2-x-a>0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是(　　) A. B.(-∞,2] C. D.[2,+∞) 4.设条件p:|x|≤m(m>0),q:-1≤x≤4,若p是q的充分条件,则m的最大值为　　　　,若p是q的必要条件,则m的最小值为　　　　.  考点三　全称量词与存在量词 角度1　含量词命题的否定 例3 (1)(2026·四川绵阳诊断)设命题p:∃x∈R,x=sin x,则p(　　) A.∀x∈R,x=sin x B.∃x∈R,x≠sin x C.∃x∈R,x=sin x D.∀x∈R,x≠sin x 课堂笔记： (2)已知命题p:∀x∈,sin x<x,则p为(　　) A.∃x∉,sin x>x B.∃x∈,sin x>x C.∃x∉,sin x≥x D.∃x∈,sin x≥x 课堂笔记： 例4 (2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则(　　) A.p和q都是真命题 B. p和q都是真命题 C.p和q都是真命题 D. p和q都是真命题 课堂笔记： (人教A版必修第一册P35T7)写出下列命题的否定,并判断它们的真假: (1)∀a∈R,一元二次方程x2-ax-1=0有实根; (2)每个正方形都是平行四边形; (3)∃m∈N,∈N; (4)存在一个四边形ABCD,其内角和不等于360°. 高考真题(2024·新课标Ⅱ卷)是教材习题(人教A版必修第一册P35T7)的整合式改编:将教材∀/∃命题的真假判断与否定规则,以组合命题的形式融入选择题,但核心考点(量词转换、反例验证)、解题逻辑(特例构造)与教材完全一致.这进一步证实高考命题对教材素材的高度依赖,教学应紧扣教材,通过同类习题的反复训练夯实逻辑推理基础,并适当拓展组合命题的解题策略. 角度3　由含量词命题的真假求参数的值(范围) 例5 已知命题“∃x∈R,使ax2-x+2≤0”是假命题,则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D.(1,+∞) 课堂笔记： 含量词命题的解题策略 1.判定全称量词命题是真命题,需证明都成立;要判定存在量词命题是真命题,只要找到一个成立即可.当一个命题的真假不易判定时,可以先判断其否定的真假. 2.由命题真假求参数的范围,一是直接由命题的真假求参数的范围;二是可利用等价命题求参数的范围. 5.下列命题的否定是真命题的为(　　) A.任意两个等边三角形都相似 B.∃x∈R,x2-x+1=0 C.存在一个四边形,它的两条对角线互相垂直 D.∀x∈R,x+|x|≥0 6.已知命题p:∀x∈[1,2],x2-a≥0,命题q:∀x∈R,x2+2ax+2-a≠0,若命题p和q都是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,-2]∪{1} B. C.(-∞,1] D. 1.命题p:∀x>0,x2-ax+2>0的否定是(　　) A.∀x>0,x2-ax+2≤0 B.∀x≤0,x2-ax+2>0 C.∃x>0,x2-ax+2≤0 D.∃x≤0,x2-ax+2≤0 2.下列命题中既是全称量词命题,又是真命题的是(　　) A.菱形的四条边都相等 B.∃x∈N,使2x为偶数 C.∀x∈R,x2+2x+1>0 D.π是无理数 3.已知a,b,c∈R,则“a=b”是“ac2=bc2”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.“a>b”的一个充分条件是(　　) A.ea-b>2 B.ln>0 C.aa>bb D.< 5.已知命题“∃x∈R,方程x2+4x+a=0有实根”是真命题,则实数a的取值范围是(　　) A.(-∞,4) B.(-∞,4] C.(4,+∞) D.[4,+∞) 6.(2026·湖北武汉模拟)若命题“∃a∈[1,3],ax2+(a-2)x-2>0”是假命题,则x不能等于(　　) A.-1 B.0 C.1 D. 7.已知集合A={x|x2-x-12≤0},B={x|x2-3mx+2m2+m-1<0},若“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件,则实数m的取值范围为(　　) A.[-3,2] B.[-1,3] C. D. 8.(多选)已知命题p:∀x∈R,x2-2x-3>0,命题q:∃x∈N,ln(x-4)<0,则(　　) A. p和q都是真命题 B.p和q都是假命题 C.p和q都是假命题 D. p和q都是真命题 9.(多选)下列说法正确的有(　　) A.“x∈A”是“x∈A∪B”的必要不充分条件 B.“a>1,b>1”是“ab>1”成立的充分条件 C.命题p:∀x∈R,x2>0,则p:∃x∈R,x2<0 D.“x,y为无理数”是“x+y为无理数”的既不充分也不必要条件 10.(2026·辽宁沈阳质检)“sin x=1”的一个充分不必要条件是　　　　.   11.已知命题p:∀x∈R,x2-a≥0;命题q:∃x∈R,x2+2ax+2-a=0.若命题p,q都是真命题,则实数a的取值范围为　　　　.  12.命题A:|x-1|<3,命题B:(x+2)(x+a)<0,若A是B的充分不必要条件,则a的取值范围是　　　　.  13.(2025·北京卷)已知函数f(x) 的定义域为D,则“函数f(x) 的值域为R ”是“对任意M∈R,存在x0∈D,使得|f(x0)|>M”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 14.(多选)十七世纪法国数学家费马提出猜想:“对任意正整数n>2,关于x,y,z的方程xn+yn=zn没有正整数解”.经历三百多年,由数学家安德鲁·怀尔斯证明了费马猜想,使它终成为费马大定理.根据前面叙述,则下列命题正确的为(　　) A.至少存在一组正整数组(x,y,z)是关于x,y,z的方程x3+y3=z3的解 B.关于x,y的方程x3+y3=1有正有理数解 C.关于x,y的方程x3+y3=1没有正有理数解 D.当整数n>3时,关于x,y,z的方程xn+yn=zn有正实数解 学科网（北京）股份有限公司 $