1.2 常用逻辑用语讲义-2027届高三数学一轮复习

第一编 · U1 集合、逻辑与不等式 1.2常用逻辑用语 高中数学一轮复习讲义 一、考情与考点定位 本节先回答三个问题：高考怎么考、必须记准什么、这一讲要练哪几类模型。三个问题的答案决定了后面所有内容的重心。 （一）高考怎么考 近三年的逻辑用语题有一个很清楚的分布：京、津两卷稳定在选择题前几题放一道充分必要条件，全国卷则更愿意把它包进全称、存在量词命题的真假判断。表中按这个分布取五道，其余嵌套在函数、数列解答题里的同类语言不单列。 表 1: 高考逻辑用语题考情梳理 年份 卷别 题号 考查点 2026 北京卷 7 数列中的两层量词与充分必要条件 2026 天津卷 2 一元二次不等式与充分不必要条件 2025 北京卷 7 函数值域与“任意—存在”量词句的充分必要条件判断 2025 天津卷 2 三角方程解的充分不必要条件 2024 新课标Ⅱ卷 2 全称、存在量词命题的真假与否定 表 1 给出三条线索。第一条，充分必要条件已经不再考纯定义，而是套在不等式、方程、数列、函数值域上：表 1 中北京卷、天津卷的四道题都是这个路数，先翻译对象、再判断关系。第二条，量词句与充要条件正在合流：北京卷那道把“值域为 ”与“任意 存在 ”放在一起的题，新课标Ⅱ卷那道直接考全称、存在命题真假与否定的题，都是明证。第三条，复习落点只有三件事——范围比较、量词否定、命题真假，它们分别对应本讲五个模型中的不同环节。 （二）必备知识清单 把这一讲要用到的东西一次列全。表 2 的每一行都是后面例题的直接工具，缺一行就会在某道题上卡住。 表 2: 本讲必备知识清单 知识块 必须记准的内容 掌握要求 充分条件与必要条件 时， 是 的充分条件， 是 的必要条件；集合上就是 会判断、会反求参数 充要条件 且 ，记作 ；集合上就是 会证明两个方向 全称量词与存在量词 ∀ 表示“对任意”，∃ 表示“存在”；一个反例可否定全称，一个实例可肯定存在 会判断真假 命题的否定 全称、存在命题：换量词、否结论、范围不变；“若 则 ”的否定是“ 且非 ” 会写否定、会辨真值 四种命题 原、逆、否、逆否；原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价 会改写、会判断 二、知识梳理：把定义变成可操作的动作 逻辑用语的概念少，但每个概念都能直接变成一个动作。本节把定义逐条翻译成可执行的动作，最后收成几只绿色结论框。 （一）充分条件与必要条件：把“推出”翻译成“包含” 设 是两个可以判断真假的陈述句。若“若 则 ”为真命题，就记作 ，并称 是 的充分条件， 是 的必要条件。这里的“充分”指有 就足以保证 ，“必要”指要使 成立， 是必须满足的。 把 各自对应的解集记作 ： 是使 成立的所有 组成的集合， 是使 成立的所有 组成的集合。由定义， 等价于 。于是判断充分必要就变成了比较两个集合的包含关系。 四种情形要背成条件反射： 时， 是 的充分不必要条件； 时， 是 的必要不充分条件； 时， 是 的充要条件；互不包含时， 是 的既不充分也不必要条件。 口诀是“小范围推大范围”：小集合中的每个元素都落在大集合里，所以小范围对应的条件充分；反过来，大范围对应的条件必要。 最容易错的是语序。“ 的充分条件是 ”说的是 ；“ 是 的充分条件”说的是 。两句话只差一个“的”字，箭头方向相反。读题时先把“谁推出谁”写成箭头，再套定义。 判断充分必要的三步 第一步，解出 各自对应的集合 ；第二步，在数轴上比较包含关系；第三步，按题目问法回读方向，写成“ 是 的……条件”。若题目问“ 的……条件是 ”，答案的主语要换成 。 （二）全称量词与存在量词：先找反例，再找实例 全称量词用符号 ∀ 表示，常见说法有“对任意”“所有”“一切”“每一个”；存在量词用符号 ∃ 表示，常见说法有“存在”“至少有一个”“有些”。含全称量词的命题叫全称量词命题，含存在量词的命题叫存在量词命题。 判断真假的标准只有两条。全称量词命题要为真，必须对范围内的每一个 都成立；要否定它，只需举出一个反例。存在量词命题要为真，只需找到一个具体的 ；要否定它，必须说明范围内没有任何 满足结论。 否定规则是本节的核心： 用一句话记：换量词、否结论、范围不变。范围 原样抄下来，不能顺手改成别的集合。例如“”的否定是“”，不是“”。 “都是”的否定是“不都是”，不是“都不是”；“至少有一个”的否定是“一个也没有”。这两组日常语言与量词否定的对应，选择题最爱设坑。 量词命题的真假与否定 判真：全称命题要验全部，存在命题只要举一例。判假：全称命题举反例，存在命题说明无解。写否定：换量词、否结论、抄范围。三件事按顺序做，写完把范围读一遍。 （三）命题的否定与否命题：只改一半，还是两边都改 命题的否定与否命题是两个不同的动作，混用是本章最隐蔽的失分点。 对“若 则 ”形式的命题：它的否定是“ 且非 ”，即“条件成立但结论不成立”，这是一个存在反例的陈述；它的否命题是“若非 则非 ”，条件和结论都要改；它的逆否命题是“若非 则非 ”，先换位再都改。 真值关系也要分清。原命题与逆否命题等价，逆命题与否命题等价；原命题与它的否定一定一真一假；原命题与否命题之间没有固定的真假关系。 例如“若 ，则 ”是真命题；它的否定“存在 使 ”是假命题；它的否命题“若 ，则 ”也是假命题（ 就是反例）。后两者恰好同假，但这只是本例的巧合，不能当成规律。 三句话分清三个对象 否定：只否结论，量词命题还要换量词；否命题：条件、结论都否；逆否命题：先交换条件与结论，再都否。做题时先看题目要哪一个，不要提笔就写“若……则……”。 否定的真假一定相反 命题的否定与原命题的真假一定相反；否命题不一定。写完否定，用它和原命题的真假互相校验：若同真同假，必有一个写错。 三、题型模型分类：先认情境，再选工具 逻辑用语的题面通常很短，但情境不同，动作也不同。按“题面长什么样”分五个模型，先认情境，再选工具。 表 3: 常用逻辑用语的五个模型速查表 模型 一眼认出它的样子 核心动作 例题 一 · 范围型 两个条件都是不等式、解集或区间 解出集合，看包含关系 例 1 二 · 含参反求 条件含参数，已知充分、必要或充要 列包含关系，单验端点 例 2 三 · 命题真假 出现“若……则……”或“且、或、非” 先定真假，再算复合 例 3 四 · 量词句 出现“任意”“所有”“存在”“至少” 翻译量词，找反例 例 4 五 · 充要证明 要求“证明……的充要条件” 两个方向各证一次 例 5 （一）模型一：范围型 识别标志：两个条件都是不等式、方程的解集或区间，题目问“ 是 的什么条件”。标准动作：分别解出 ，画数轴看包含； 回答充分不必要， 回答必要不充分， 回答充要，互不包含回答既不充分也不必要。易错：端点开闭没有单独检查；把“ 的充分条件是 ”读成 。 （二）模型二：含参反求 识别标志：条件里含参数，已知“充分”“必要”“充要”中的某一种，反求参数范围。标准动作：把两个条件都写成集合，按包含关系列不等式组；区间长度相同要单独讨论“相等”的情形；临界值代回原题验证。易错：漏掉“不必要”对应的真包含要求，或者把“必要不充分”的箭头方向写反。 （三）模型三：命题真假 识别标志：出现“若……则……”或“ 且 ”“ 或 ”“非 ”。标准动作：先分别判断 的真假，再按联结词的真值表算复合命题；否定一个“若……则……”命题，去找“条件真、结论假”的反例。易错：把命题的否定写成否命题，或者把“且”“或”的真假记反。 （四）模型四：量词句 识别标志：出现“任意”“所有”“存在”“至少有一个”等量词。标准动作：先把自然语言翻译成 ∀/∃ 与结论，再判断真假；全称找反例，存在找实例；写否定时换量词、否结论、抄范围。易错：量词顺序被交换（ 与 是两句话）；否定时把范围也改了。 （五）模型五：充要证明 识别标志：题目要求“证明……的充要条件”或“求……的充要条件”。标准动作：把待证写成 ，分充分性 与必要性 两个方向，每个方向单独起段、写明依据，最后合并结论。易错：只证一个方向；用结论去证结论，形成循环论证。 四、例题精讲 五道例题一一对应上面五个模型。每题统一按四步展开：认模型 → 翻译条件 → 定关系 → 校验。第四步“校验”专管三件事——端点开闭、量词顺序、方向回读。 （一）模型一：范围型 例题 1（模型一·范围比大小） 已知 ：，：，判断 是 的什么条件。 第 1 步 · 认模型：两个条件都是解集，问充分必要——模型一。先各自解出，再比包含。 第 2 步 · 翻译条件：对 ，先由真数大于零得 ，再由 得 ，故 。对 ，因式分解得 ，故 。 第 3 步 · 定关系：，所以 。取 ，它满足 但不满足 ，所以 。故 是 的充分不必要条件。 第 4 步 · 校验：端点 在 中都取不到； 满足 但不满足 （ 不满足严格小于），恰好落在边界上，说明 的右端确实比 的右端短。回读题目：问的是“ 是 的什么条件”，箭头由 指向 ，故答“充分不必要”。 方向读反是这类题的第一失分点 “ 的充分条件是 ”与“ 是 的充分条件”箭头相反。前者等价于 ，后者等价于 。读题时先把“谁推出谁”写成箭头，再套定义。 （二）模型二：含参反求 例题 2（模型二·含参反求） 已知 ：，：。若 是 的充分不必要条件，求实数 的取值范围。 第 1 步 · 认模型： 是 的充分不必要条件，意味着 对应的集合是 对应集合的真子集； 中含参数——模型二。 第 2 步 · 翻译条件：由 得 。由 得 ，故 ，长度为 6。 第 3 步 · 定关系：由 得 ，且 ，解得 。又 的长度为 6， 的长度为 4，长度不等，所以 时不可能出现 ，真包含自动成立。 第 4 步 · 校验：取 ，，；取 ，，。两个端点都成立。再验“不必要”： 时 但 ，说明 。 故 的取值范围是 [0,2]。 长度相同才要排除相等 若两个区间长度相同， 会逼出 ，此时“充分不必要”要求排除那个使 的参数值；若长度不同，包含关系一旦成立就自动是真包含。本题两个长度分别是 4 与 6，所以不必再排除。 （三）模型三：命题真假 例题 3（模型三·命题真假） 已知命题 ：若 ，则 ；命题 ：若 ，则 。判断 、、、 的真假。 第 1 步 · 认模型：两个命题都是“若……则……”形式，还要判断复合命题——模型三。先定 ，再算联结词。 第 2 步 · 翻译条件： 中 是任意实数。取 ，，，则 但 ，不满足 ，故 为假命题。 是不等式的基本性质：两边同加一个数，不等号方向不变，故 为真命题。 第 3 步 · 定关系： 为真， 为假； 为假； 为真。 第 4 步 · 校验： 的否定是“存在 ，使 ”，这是真命题；不要写成“若 ，则 ”，后者是假命题（ 时 ）。 的否命题是“若 ，则 ”，它是真命题。三个对象的形式与真假都不同，必须分开。 三个对象，三种改法 否定只否结论，否命题条件、结论都否，逆否命题先换位再都否。尤其注意：“若 则 ”的否定是“ 且非 ”，不是“若 则非 ”。 （四）模型四：量词句 例题 4（模型四·量词句判断） 已知 ， 均为无穷数列，则“存在常数 ，使得 对 恒成立”是“ 对 恒成立”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 第 1 步 · 认模型：条件里同时出现“存在常数 ”与“对 恒成立”，是两层量词——模型四。 第 2 步 · 翻译条件：记 第 3 步 · 定关系：：对每个 ，由 得 。：取 ，，则对每个 都有 ，但不存在常数 能同时满足 （ 可以任意大）。故 是 的充分不必要条件，选 A。 第 4 步 · 校验：检查量词顺序： 是“先存在 ，再对所有 ”， 必须与 无关；若写成“对每个 存在 ”，则取 即可，条件会变成恒真。再取有界例子 ， 验证： 使 成立， 确实能推出 。 存在与任意的顺序不能交换 与 是两句话。本题的 要对所有 通用；一旦交换顺序，题意完全改变，答案也会变。 （五）模型五：充要证明 例题 5（模型五·充要证明） 证明：对任意实数 ， 且 的充要条件是 且 。 第 1 步 · 认模型：要证明“ 的充要条件是 ”，就是证 ，两个方向——模型五。 第 2 步 · 翻译条件：令 ： 且 ；： 且 。 第 3 步 · 定关系： 充分性（）：若 且 ，则同号数的积 ，且 。 必要性（）：由 知 同号。若 且 ，则 ，与 矛盾；故 且 。 第 4 步 · 校验：两个方向都已完成，逐条检查依据：充分性只用了正数加法与乘法保号；必要性中“同号”来自 ，“和为正”排除了同为负的情形。结论：，即 且 的充要条件是 且 。 充要条件证明的两条纪律 第一，充分性、必要性各起一段，标题写清楚；第二，每一步写依据，不用“显然”“易得”。只证一个方向，只能得到充分条件或必要条件，不能叫充要条件。 五、易错点辨析 本讲失分不在难，而在概念边界。下面五个错误覆盖了选择、填空与证明题的主要坑。前两条错在方向与端点，中间两条错在否定与否命题，最后一条错在量词的判假方式；逐条对照自己的草稿，比重新看一遍定义更有效。 表 4: 本讲五个高频错误及其纠正 错误表现 错因 正确做法 把“ 的充分条件是 ”当作 语序读反 先写箭头：这句话等价于 含参题只列包含关系，不代回端点 没检查临界值能否取到 把临界值代回两个集合，分别看端点开闭 写否定时只改结论，不换量词 全称、存在量词的否定规则不熟 换量词、否结论、范围不变 把“命题的否定”写成“否命题” 两个概念混淆 否定只改结论；否命题条件、结论都改 量词句举一个例子就下结论 分不清全称与存在的判假方式 全称找反例，存在找实例；否定再换量词 六、当堂检测 A 组练三个基本动作，B 组是两道选择题与一道含参题，C 组把量词与逆否命题放在一起。限时 25 分钟。 （一）A 组：基础过关 先练写否定、判充分必要、辨命题真假，四题都要求写出依据。 A1 写出下列命题的否定，并判断原命题与否定的真假： （1）； （2）。 A2 设 ，判断“”是“”的什么条件，并说明理由。 A3 设 ，判断“”是“”的什么条件，并说明理由。 A4 写出命题“若 ，则 ”的否定，并判断原命题与否定的真假。 （二）B 组：能力提升 这组题把条件藏在具体对象里，先翻译再判断。 B5 已知命题 ；命题 。则（） A. 和 都是真命题 B. 和 都是真命题 C. 和 都是真命题 D. 和 都是真命题 B6 已知函数 的定义域为 ，则“ 的值域为 ”是“对任意 ，存在 ，使得 ”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 B7 已知 ：，：（）。若 是 的充分不必要条件，求 的取值范围。 B8 已知命题 ；命题 。若 为真命题且 为假命题，求 的取值范围。 （三）C 组：压轴突破 两题都要先翻译，再列关系；注意端点与方向。 C9 已知命题 ；命题 。若 中有且只有一个为真命题，求 的取值范围。 C10 已知 ，命题 ：实数 满足 ；命题 ：实数 满足 。若 是 的必要不充分条件，求 的取值范围。 七、参考答案与提示 （一）A 组 A1答案：（1）否定为 ，原命题真，否定假；（2）否定为 ，原命题假，否定真。 提示：（1）配方得 ，全称命题为真，其否定必假。（2）没有任何整数的平方等于 2，存在命题为假，其否定为真。 A2答案：充分不必要条件。 提示：；反之取 ， 但 不成立。 A3答案：充分不必要条件。 提示：；反之取 ， 但 。 A4答案：否定为“存在 ，使 且（ 或 ）”；原命题真，否定假。 提示：“若 则 ”的否定是“ 且非 ”，不是“若 则非 ”。本题中 本身已蕴含 ，所以否定不可能成立。 （二）B 组 B5答案：B。 提示： 时 |0+1|=1，不满足严格大于 1，故 假、 真； 时 ，故 真。 B6答案：A。 提示：若值域为 ，则对任意 ，函数值 必被取到，于是 ，充分性成立。取 ，其值域为 ，但对任意 都可取 使 ，故不必要。 B7答案：。 提示： 的解集为 (0,4)， 的解集为 。由 得 且 ，即 。 时 确实真包含 (0,4)，端点可取。 B8答案：(−2,1)。 提示： 真需 对 恒成立，故 ； 假需方程无实根，，即 ，解得 。取交集得 (−2,1)。 （三）C 组 C9答案：。 提示： 真等价于 ； 真等价于 ，即 或 。分两类： 真 假得 ； 假 真得 。 时 都真， 时也都真，均舍去。 C10答案：。 提示： 是 的必要不充分条件，等价于 ，但反过来不成立。由逆否命题等价，即 ，但 不能推出 。 时 的解集为 ， 的解集为 [−2,3]。由 真包含于 [−2,3] 得 且 ，结合 得 。 学科网（北京）股份有限公司 $