期中真题重组卷（重庆专用，人教版九上第25～28章）九年级数学上学期模拟卷

学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C B B A D A C A 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.9 12.⅓>当>为 13.3 14.-1 5 2+6,N6+2 16. 1936 5453 三、解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17. (8分)(1)解：，x2-6x+5=0, :(x-x-5)=0 .x-1=0或x-5=0, ==5: …(4分) (2)解：(x-2)=x-2. :x(x-2)小-(x-2)=0 1/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .(x-2x-）=0 x-2=0或x-1=0, :=25=1 …(8分) 18.(8分)(1) 四边形AEDF即为所求： …(3分) (2)∠DAB=∠DAC;内错角相等，两直线平行；一组邻边相等的平行四边形是菱形…(7分) (3)解：由(2)可得△ABC的内接四边形AEDF为菱形，要使四边形AEDF为正方形，则四边形AEDF 四个内角都为90°，即∠BAC=90°，即△ABC为直角三角形， “小张采用小明设计的方法，作出了△MON的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么△MON一 定是一个直角三角形（填形状），…(8分) 故答案为：直角。 19.(10分)(1)解：由题意，C组人数所占的比例为2 6×100%=30%, .a%=1-10%-20%-30%=40%: ∴.a=40: ,八年级成绩中出现次数最多的是96， .b=96: 九年级中AB 20×(10%+20%)=6 两组的人数之和为 将数据排序后，第10个和第11个数据分别为92,93， 92+93=92.5 2 故c=92.5, 故答案为：40,96,92.5；…(6分) 2/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)九年级的成绩更好，理由如下： 两个年级成绩的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，故九年级的成绩更好；…(8 分) 1200×(30%+40%)=840 (3) (人)： 答：估计参加此次活动成绩优秀(x之90)的九年级学生人数是840人.…(10分) 2a2 （a-2a-2 a'-2a ÷ 20.(10分)解： a2-4a+4 2a2a2-4（a-22 a-2a-2a(a-2) 2a2-a2+4xa-2 a-2 a a2+4、a-2 a-2 a =a2+4 a,…(7分) .x=a是方程x2-8x+4=0的解， ∴.a2-8a+4=0, .a2=8a-4, 原式 8a-4+4_8a=8.…(10分) aa 21.(10分)(1)解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为 x-2元 3600 根据题意，可列出方程：x-12 1.2×4800 x, 解得x=32, 经检验，x=32是原方程的解， B款水杯的售价为x-12=32-12=20(元)， A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元.…(5分) 3/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6×(1-50%)=8 (2)解：B款水杯的进价为 (元)， 4800 九月份A款水杯销量为32 =150(只)， 3600 九月份B款水杯销量为20 =180(只)， 设A款水杯降低了y元， 根据题意，可列出方程： (62-y-16150+3×30+(20-8别x180=4560 解得片=0与6 因为是降价促销，所以少=0不符合题意，舍去， A款水杯降低了6元.…（10分) 22.(10分)(1)解：当0<x≤4时，点P在AB上， -4P.BC2 乃 当时4<x58,为=rB-8-k4=2+16. 2x(0<x≤4) :1={-2x+16(4<x≤8)： 图可如，SaeD-D0-⅓x05x=2. 片-80<x<8,3分) (2) 函数片，”的图象如图所示， 4/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10 98 32 012345678910x 函数”的性质有：当0<x≤4时，片随”的增大而增大，当4<x≤8时，”随”的增大而减小 V 函数”的性质有：当0<x≤8时，片随的增大而减小，…(7分) (3)由图可知.两个函数相交时即2x-80<x≤4)或2x+16-8(4<x≤8) 解得x=2.0或7.5 :>少时产的取值范围2.0<x<75.(10分) 23.(10分)(1)：直线y=-4与双曲线y=x只有一个公共点A(1,-2), [-2=a-4, 2 1 「=2， k=-2.…(5分) 2 (2)若直线y=2x+b与双曲线y=x有两个公共点， y=2x+b 2 则方程组y= 有两个不同的解， 2 2x+b=x有两个不相等的解， 整理得：2x2+br+2=0, 5/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.△=-16>0， 解得：b<-4或b>4. 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，一元二次方程根的判别式：知道反比 例函数的图象与直线y=2x十b有两个公共点时，△>0是解决问题(2)的关键.…(10分) 24.(10分)(1)解：由题意知，当x=0时，y=2, :c02) .0C=2, 又OB=30C, ∴.0B=6」 :B(60) 将点A,B分别代入抛物线得 a= 3 [0=a-b+2,解得1 5 0=36a+6b+2 1 ∴抛物线解析式为y=- x2+。x+2.…(3分) 3 3 (2)解：如图，作AD∥y轴交BC于点D,作PEI‖y轴交BC于点E, D M G B .AD∥PE, B(6,0)C(0,2) 6/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设直线BC的解析式为 =kx+b(k≠0) [0=6k+b k=-1 3 代入得12=b ，解得b=2, ·直线BC的解析式为y=-3x+2, 7 点D坐标为-， D=3, 7 则 BC=2V10. :AD∥PE,∠DOA=∠PQEJ ∴△PQE△AQD PO_PE_3PE PO :A0AD7,则PE最大值时，A0最大， P=+2=-3+3 1 ·3<0, P(3,4) :当=3时，PE最大，此时 作OF⊥BC于点F, .5w-08-0C-BC.OFF0MN 2W105 30 .p1829) 将点P沿MM方向平移5得点(5'， 则PP∥MN,且PP'=MN, .'PN=P'M, 作MGL轴于点G,sin /onC-c=Q=sim∠MGG, BC 10 1O BM=MG, .10 7/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,Pw+Mw+M-PM+Mc+go2小2io-9+而 10 5 55 PN+MN+ v10 BM 当p,M,G三点共线且p'G⊥x轴时取等号，故 10 5 min 0.…(6分) ()解：粒物线=宁+ 5 x+2沿射线BC平移，且过点C, 线解折式为少子+2，对称轴为一2，记对称轴 设∠ACO=a,则∠CED=2a, tan∠ACo= OA 1 1 0C2,即tana= 2 ①当点E在点D下方时： 如图，过点C作 DL4,在直线1上取点E且位于点D下方，使得2D8C=24C0, B 设∠DCE'=2B, 3mc-. 延长CM至点R,与直线交点R, ∴.∠D'FC=∠FCO=∠E'CA=a, 7 tan∠Dpc=D'C-2_1 =DFDp2,解得Dp=7' 8/14 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 设E'F=CE'=a,则D'E'=7-a, 在Rt△D'EC中，D'C2+DE2=E'C2, 品，点*标子别 DE'=7-35=21 7 21 .tan∠D'E'C=tan2a= DE-3.tanLDCE'-t20-DE-8_ D'C_2_4 D'C 7 4, 8 2 7 当点D在直线1移动的过程中，点E的轨迹为直线马，与x=一2的夹角为2B, 烟4 4 设直线！，的解析式为y=一3x+b,将点E代入得 引，￥. 4127 ∴直线2的解析式为y=-?x- 324 联立韆物线解折式调、手妥号-子 3+2 解得=（合去），名=} 24:…(8分) ②当点E在点D上方时： 如图，过点C作 D1,在直线上取点E且位于点D上方，使得∠DEC=24C0, 9/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Dr-- A B不 D 4 .tan 2a= 3 .tan∠D'E'C= D'C_2_4 D'E'D'E3 .D'E'= 8, 7 当点D在直线1移动的过程中，点E的轨迹为直线1，与x=一2的夹角为2B, 则 4 设直线，的解析式为y=3x+C,将点E代入得 3747 4223 “直线的解析式为y=3x+ 24, 422312 联立新抛物线解析式得：3x+ 24 -3 3+2 11,V134 解得=一2十 (舍去)，= 11V134 4 24’ 3V38611V134 综上所述，x的横坐标为24或24 …(10分) 10/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.(10分)(1) 证明：，∠ACB=90°，BD∥AC, .∠CBD=180°-∠ACB=90°， AE⊥CD, .∠ACD+∠CAE=90°」 .∠ACD+∠BCD=90°， .∠CAE=∠BCD」 又：AC=CB,∠CBD=∠ACE=90°， △ACE≌aCBD(ASA) .'BD=CE, :点E是BC的中点， .BC=2CE=2BD, .AC=2BD;…(4分) (2) 证明：如图所示，过点G作GH⊥AB于H,连接HF, BD∥AC, ∴.∠FBD=∠FGA,∠D=∠FAG, 点F是AD的中点， ∴.AF=DF, .△AGF≌ADBF(AAS) .AG=BD,BF=GF, .AC=BC,∠ACB=90° .∠CAB=∠ABC=45°， GH⊥AH, :.△AHG是等腰直角三角形， .AH=54G=2D 2 2 ∠BHG=∠BCG=90,BF=GF, 11/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FH=FC=BF=BG 2 :.∠FBH=∠FHB,∠FBC=∠FCB ∴.∠GFH=∠FBH+∠FHB=2∠FBH,∠GFC=∠FBC+∠FCB=2∠FBC, ∴.∠HFC=LGFH+∠GFC=2LFBH+2∠FBC=2LABC=90°， .FM⊥BG, ∴.∠BFM=90° ∴.∠HFM=∠CFN: 设∠CBG=x,则∠ABG=45°-x,∠CGB=90°-x, .∠HMF=∠BFM+∠FBM=135°-x, ,CN平分∠ACB, .∠GCN=)∠4CB=45 2 ∴.∠CNF=∠CGN+∠GCW=l35°-x, ∴.∠HMF=∠CNF, .△HFM≌aCFN(AAS) .HIM =CN AM =AH+HM, D4C 2 ；…(8分) G 图2 (3)解：如图所示，过点D作DH⊥AC交AC延长线与H,连接FH, .BDAC,∠ACB=90° .∠BCH=∠CBD=90°， 12/14 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :DH⊥AC, ∴.四边形BCHD是矩形， .BC=DH=AC, :点F是AD的中点，且AF=AC, .AD=2AF =2DH =2FH=2DF, .△FDH是等边三角形， ∴.∠DFH=∠FDH=60°. .∠BDA=∠DAH=30°， .∠FHA=∠FAH=30°， 由旋转的性质可得FO=FP∠PFQ=6O°=∠DFH, .∠DFQ=∠HFP、 .△DFO≌△HFP(SAS) .∠FDQ=∠FHP=30° 点Q在直线D0上运动， 设直线D0交FH于K,则DK1FH,FK=Pm∠FDK-DI=30, .∠BD0=60°， 由垂线段最短可知，当BQ⊥DO时，BQ有最小值， .∠DB2=30°， 设MC=DH=60,则MI=V5DH=65Ba, BD=CH=AH-AC=63a-6a :D0-)BD=33a-30. 2 13/14 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :B0=5DQ=9a-35a 在aDFK中，FK=PH=)DH=3a 2 2 DK=DF2-FK3=33a ..OK DK-DO=3a. 在RtFOK中，由勾股定理得FO=V2+OK=32a .aDFO≌△HFP PH-DQ-3a-3a .CP=CH-PH=33a-3a 9=B9=9a-3v3a 由折叠的性质可得 .FT≤FQ+TQ sFO+T0 CP CP FT F9+T9 “当点O在线段T上时，Cp此时有最大值，最大值为CP, FT F+Tg_3V2a+9a-3v3a-6+v2+23 ∴.CP的最大值为CP 33a-3a 2 .…(10分) B F 14/14学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~28章。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.(25-26九上·重庆徐悲鸿中学校期中)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() 2.(25-26九上重庆南川区第一中学校期中)下列方程：①x2-5=0；②a2+bx+c=0:③ (x-x-2-=r+1:@r-x+1-0:⑥r+ =1中，一元二次方程的个数是() A.1 B.2 C.3 D.4 3.(25-26九上·重庆大渡口区第九十四中学期中)若x=3是关于x的一元二次方程x2+x+3b=0的解，则 a+b的值为() A.3 B.-3 C.9 D.-9 4.526九上度大南宇K江南新纹要瑞中学校期中如图，p足反比例随数y经(：<Qk0)的图家上的 任意一点，过点P作PMLx轴，垂足为M.若△PMO的面积为6，则k的值为() 1/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-12 B.-8 C.-6 D.6 5.25,26九上重庆徐悲湾中学校期中考方程+c+c=0(a0)中，a,6,c满足a-b+c=0和 16a+4b+c=0,则方程的根是() A.0,4 B.0,-4 C.-1,4 D.1,4 K 6.25:26九上重庆巴蜀中学校期中如图，点g,点C在反比例函数y=x(k>0,x>0)的图象上，点 A在x轴上，连结AB交y轴于点E,延长BC交x轴于点D.已知BC=CD,AE=BE,若△ABC面积为 3,则k的值为() AO D 3 A.1 B.2 C.2 D.3 7.(25-26九上·重庆第十八中学期中)已知在同一直角坐标系中二次函数y=+br和反比例函数x的 图象如图所示，则一次函数y=。x-b的图象可能是() a 2/10 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 8.2526九上重庆第十八中学期中)如图，二次函数=m+6c+(a40)的西数图象经过点1,2)，且与 轴交点的横坐标分别为，5，其中 -1<x<0,1<x2< 2,下列结论：①c>0,②20+b>0,③ 4a-2b+c>0 0,④当=m1<m< )时，ar+bm<a+b ；其中正确的有()个 寸0 12 A.1 B.2 C.3 D.4 DC=2,连接EC, 9.(25-26九上重庆南开中学校期中)如图，在正方形ABCD中，点E为B上一点，EB AG 将线段EC绕点E逆时针旋转90得到线段EF,连接CF,G是CF的中点，连接AF,AG,则AF的值 为(). A D E B 2 √5 6 A.1 B.2 C.2 D.3 10.(25-26九上·重庆第三十七中学校：期中)己知整式 M:a,x+a,++ax+,其中”为非负整数， 3/10 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 aa,a均为正整数，若 n≤4，n+an+an-1+…+a1+a≤6 下列说法： ①满足条件的整式M中只有4个单项式： ②当”=1，且0sa-0≤2 时，满足条件的整式M其有的个： ③当n>1,且 0≤an-am1≤ 时，所有满足条件的整式M的和为4r+3x+4 其中正确的个数是() A.3 B.2 c.1 D.0 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.(25-26九上重庆南岸区江南新城珊瑚中学校期中)若m是方程2x2-3x+2=0的一个根，则 9m-6m2+3= M1(-3,)M2(2,2)M3(6y3 12.(25-26九上重庆徐悲鸿中学校期中)若点 在=次函数少=-2x+3 的 图像上，则片么乃。 的大小关系为 .(用“>”符号连接) 13.2526九上重庆南岸区江南新城瑞瑚中学校期中)如图，在MBCD中，AB∥x轴，点4L,2), B7.2,D0,),反比例图数y〔x>0)的图象在第一象限内经过点C,且与4B交于点E·则点E的 横坐标为一. D 14.2526九上重庆两江育才中学校期中若二次丽数y=产+饭+c的部分图象如图所示，关于x的一元 4/10 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C次方程)+bx+c=0的一个解5=3，则另一个解元 15.(25-26九上·重庆市永川中学教育集团期中)如图，矩形ABCD中，AC=2AB,将矩形ABCD绕点A旋 转得到矩形AB'CD,使点B的对应点B'落在AC上，B'C交AD于点E,在B'C上取点F,使B'F=AB. 若AB=2,则BF的长为 D 16.(25-26九上·重庆南开中学校期中)对于任意一个四位数M,如果它的千位数字与百位数字的和比十位 (M) 数字与个位数字的和大1，那么称这个四位数M为“勤思数”，记M的各数位上的数字之和为 若c93是“勤思数”，且G93f)=l19,则四位数93了是一，A,B均为“勤思数”， A=1000a+100b+10c+dB=1000x+100y+50-d1≤a,d,x≤90≤b,Gy≤9abcd G(B)-7 x,y均为整数)，若b+c2+G(4)+G(B)=129，且G(4)-1为整数，则满足条件的所有A的值和为 5/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 三、解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤。 17.(25-26九上重庆大渡口区第九十四中学期中)解方程： a)-6x+5=0 x(x-2)=x-2 (2 18.(25-26九上·重庆第三十七中学校期中)下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图 过程. 已知：△ABC; 求作：菱形AEDF(点E在AB上，点D在BC上，点F在AC上)； 作法：①作∠BAC的角平分线，交BC于点D: ②作线段AD的垂直平分线，交AB于点E,交AC于点F; ③连接DE、DF 所以四边形AEDF为所求的菱形. 根据小明设计的尺规作图过程， B (1)使用直尺和圆规，补全图形：（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：：AD平分∠BAC, ① EF是线段AD的垂直平分线， ∴EA=ED,FA=FD .∠BAD=∠ADE,∠CAD=∠ADF. .∠CAD=∠ADE,∠BAD=∠ADF, ∴.ED AC DF∥AB .(②)（填推理的依据） ∴四边形AEDF为平行四边形. 6/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 EA=ED ∴四边形AEDF为菱形.(_③_)（填推理的依据） (3)小张采用小明设计的方法，作出了△MON的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么△MON一 定是一个④_三角形（填形状）· 19.(25-26九上·重庆第十八中学期中)某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生 进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析 如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A.80≤x<85:B.85≤x<90:C.90≤x<95:D. 95≤x<100). 其中，八年级20名学生的成绩是：80,81,82,82,84,85,86,87,89,90,90,91,94,96,96， 96,96,96,99,100 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：94,92,91,90,93,92. 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 九年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图 10% 年级 平均数 中位数 众数 方差 A 20% 八年级 90 90 b 38.7 Da% 九年级 90 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述a、b、c的值：a= b= C= (2)根据以上数据，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条 理由即可)： (3)若该校九年级共1200人参加了此次航天科普知识竞赛活动，请估计参加此次活动成绩优秀(x≥90)的 九年级学生人数是多少？ 2a2 a2-2a -a-2 20.(25-26九上重庆渝北中学校期中)先化简，再求值： a-2 a2-4a+4,其中x=a是方程 x2-8x+4=0 的解。 21.(25-26九上·重庆南开中学校：期中)某商店销售A、B两种款式的水杯.已知每只A款水杯比每只B款 水杯贵12元，今年九月份A款水杯的销售额为4800元，B款水杯的销售额为3600元，且B款水杯的销量 是A款水杯的1.2倍. 7/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求A、B两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对A款水杯进行降价促销：已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价比 A款水杯低50%.若A款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只：B款水杯售价和销量都和九 月份相同.此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求A款水杯降低了多少元？ 22.(25-26九上·重庆育才中学校教共体期中)如图，在正方形ABCD中，边长为4，动点P从点A出发，以 每秒1个单位长度的速度沿折线A→B→C方向运动，到达点C时停止，同时点Q以每秒0.5个单位长度 的速度从点D出发，沿着D→C方向运动，点E是射线DA上一动点，连接CP、E吧、AC,△QDE的面 积为2.设点P、P的运动时间为0<<8)，△1CP 光，D的长为. 面积为， y 0 E 8 3 B 012345678910x 1请直接写出片，”分别关于”的函数表达式，并写出自变量”的取值范围， 2)在给定的平面直角坐标系中画出函数”，”的图象，并分别写出函数少，”的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出1> 2时的取值范围。（近似值保留小数点后一位，误差不超过02） 23,2526九上重庆徐悲酒中学校明时如图，直线y=x-4a≠0)与双曲线y-女k40)只有一个公共点 A(1,-2) ()求k与a的值： 8/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)在)的条件下，如果直线y=+ba≠0)与双曲线y女k≠0)有两个公共点，直接写出b的取值范 围 y=ax+bx+2 24.(25-26九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与 x轴交于4-10)，B两点，与y轴交于点C,0B=30C. 备用图 (1)求抛物线的表达式： (2)点P是射线BC上方抛物线上的一动点，连接AP与射线BC交于点O,过点O作直线I‖BC,点M,N PO 分别为射线BC和直线I上的动点，且MN⊥BC,连接PN.当AQ取得最大值时，求点P的坐标及 PN+MN+ V10 BM 10 的最小值： (3)将抛物线'=+hr+2、 BC 沿射线方向平移，使平移后的新抛物线经过点C,点D为抛物线对称 9/10 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 轴上的一点，连接CD,过点D作DE⊥CD交抛物线y于点E,且点E位于抛物线y对称轴的左侧，连接 CE、AC.若∠CED=2∠ACO,请直接写出所有符合条件的点E的横坐标. 25.(25-26九上重庆南川区第一中学校期中)在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,过点B作 BD∥AC B B D M 图1 图2 备用图 (1)如图1，若点D在点B的左侧，连接CD,过点A作AE⊥CD交BC于点E.若点E是BC的中点，求证： AC=2BD: (2)如图2，若点D在点B的右侧，连接AD,点F是AD的中点，连接BF并延长交AC于点G,连接CF AM-CN+BD 过点F作FM⊥BG交AB于点M,CN平分∠ACB交BG于点N,求证： 2 (3)若点D在点B的右侧，连接AD,点F是AD的中点，且AF=AC,点P是直线AC上一动点，连接FP, 将FP绕点F逆时针旋转6O°得到FQ,连接BQ,点R是直线AD上一动点，连接BR,QR.在点P的运 动过程中，当BO取得最小值时，在平面内将△BR沿直线OR翻折得到△IOR,连接FT.在点R的运动 FT 过程中，直接写出CP的最大值. 10/10 2026-2027学年九年级上学期期中模拟卷 数学·全解全析 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：新教材人教版九年级数学上册第25~28章。 第一部分（选择题 共40分） 一﹑选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．(25-26九上·重庆徐悲鸿中学校·期中)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市徐悲鸿中学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 【分析】本题考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，解题的关键是明确两种图形的定义：轴对称图形是沿一条直线折叠后直线两旁的部分能完全重合的图形；中心对称图形是绕某一点旋转后与原图形重合的图形． 【详解】解：A、是中心对称图形，但不是轴对称图形，此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意． 故选：C． 2．(25-26九上·重庆南川区第一中学校·期中)下列方程：①；②；③；④；⑤中，一元二次方程的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【来源】重庆市南川区第一中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【分析】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是理解定义． 根据一元二次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），即可逐一判断每个方程是否符合． 【详解】解：∵方程①满足定义，是一元二次方程； 方程②中，a、b、c为系数，若则不是二次方程， ∴不一定是一元二次方程； 方程③化简后为，即，是一元一次方程，不是一元二次方程； 方程④满足定义，是一元二次方程； 方程⑤中含有分式，不是整式方程，不是一元二次方程． ∴只有①和④是一元二次方程，个数为2． 故选B． 3．(25-26九上·重庆大渡口区第九十四中学·期中)若是关于x的一元二次方程的解，则的值为（   ） A．3 B． C．9 D． 【答案】B 【来源】重庆市大渡口区第九十四中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解． 将代入方程，得到关于a和b的等式，简化后直接求解的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， 两边同时除以3：， ∴． 故选：B． 4．(25-26九上·重庆南岸区江南新城珊瑚中学校·期中)如图，是反比例函数的图象上的任意一点，过点作轴，垂足为．若的面积为6，则的值为（    ）    A． B． C． D．6 【答案】A 【来源】重庆市南岸区江南新城珊瑚中学校2025-2026学年 2025-2026学年九年级上学期 期中考试数学试题 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．也考查了反比例函数的性质．利用反比例函数k的几何意义得到，然后根据反比例函数图象所在的象限确定k的值． 【详解】解：∵的面积等于6， ∴， 解得：， ∵反比例函数图象在第二象限， ∴， ∴， 故选：A． 5．(25-26九上·重庆徐悲鸿中学校·期中)若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 【答案】C 【来源】重庆市徐悲鸿中学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 【分析】本题考查了一元二次方程的根，熟练掌握一元二次方程的根的定义是解题的关键． 根据当时，；当时，作答即可． 【详解】解：∵把代入得：， ∴方程的一个解是， ∵把代入得：， ∴方程的一个解是． 故选：C． 6．(25-26九上·重庆巴蜀中学校·期中)如图，点，点在反比例函数（，）的图象上，点在轴上，连结交轴于点，延长交轴于点．已知，．若面积为3，则的值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】D 【来源】重庆市巴蜀中学校2025-2026学年上学期11月期中数学考试试卷 【分析】本题考查了反比例函数的的几何意义，三角形中位线定理，与中线有关的三角形的面积的计算，连接、，先求出，证明是的中位线，得出，从而可得，再由反比例函数的的几何意义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，连接、， ∵，面积为3， ∴， ∵，． ∴是的中位线， ∴， ∴， ∵点在反比例函数（，）的图象上， ∴， ∴， 故选：D． 7．(25-26九上·重庆第十八中学·期中)已知在同一直角坐标系中二次函数和反比例函数的图象如图所示，则一次函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】B 【来源】重庆市第十八中学2025--2026学年九年级上学期数学半期考试试卷 【分析】根据反比例函数图象和二次函数图象位置可得出：a﹤0，b﹥0，c﹥0，由此可得出﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴，对照四个选项即可解答． 【详解】由二次函数图象可知：a﹤0，对称轴﹥0， ∴a﹤0，b﹥0， 由反比例函数图象知：c﹥0， ∴﹤0，一次函数图象与y轴的交点在y轴的负半轴， 对照四个选项，只有B选项符合一次函数的图象特征． 故选：B· 【点睛】本题考查反比例函数的图象、二次函数的图象、一次函数的图象，熟练掌握函数图象与系数之间的关系是解答的关键· 8．(25-26九上·重庆第十八中学·期中)如图，二次函数的函数图象经过点，且与轴交点的横坐标分别为，其中，下列结论：①；②；③；④当（）时，；其中正确的有（  ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【来源】重庆市第十八中学2025--2026学年九年级上学期数学半期考试试卷 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质，不等式的性质，根据二次函数的图象和性质，由函数图象可得，，，根据函数图象可知，对称轴，可得，进行判断①和②，当，，可判断③，当，则，推出，根据题意，二次函数的函数图象经过点，可得，，得到，进行判断，即可． 【详解】解：∵二次函数图象开口向下，与y轴交于正半轴 ∴，， ∵对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴，，故①②错误； 由函数图象可知，当时，，故③错误； 由函数图象可知，当，， ∴， ∵二次函数的函数图象经过点， ∴当时，，即， ∴， ∵，对称轴在轴和直线之间， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∴正确的有1个， 故选：A． 9．(25-26九上·重庆南开中学校·期中)如图，在正方形中，点为上一点，，连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，是的中点，连接，，则的值为（   ）． A．1 B． C． D． 【答案】C 【来源】重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】过点作，交延长线于点，连接，设，由可得，利用勾股定理求得，由旋转得，，利用勾股定理求得，由余角性质可得，可证，得，利用勾股定理求得，由，得，再由是的中点可得即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交延长线于点，连接， ∴， 设， ∵在正方形 中， ， ∴，，， ∴，，， 由旋转得：，， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 又∵是中点， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形性质，旋转性质，全等三角形判定及性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等，作出合适的辅助线构建全等三角形及直角三角形是解题的关键． 10．(25-26九上·重庆第三十七中学校·期中)已知整式，其中为非负整数，均为正整数，若，下列说法： ①满足条件的整式中只有个单项式； ②当，且时，满足条件的整式共有个； ③当，且时，所有满足条件的整式的和为． 其中正确的个数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【来源】重庆市第三十七中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数字试题 【分析】本题主要考查整式的规律类探索，理解题意后准确找出变化规律，并运用分类讨论的思想是解题的关键． 根据每个说法所给的条件，利用规律逐项讨论并判断即可解答． 【详解】对于①， 均为正整数，整式要为单项式， ，则， 可以取1，2，3，4共4个，故①正确； 对于②，当，且， 又，即， 时，，共3个； 时，，共2个； 综上，时，且时，满足条件的整式共有5个，故②正确； 对于③，，且时， 当时，，，， 此时，当时，或；当时，； 当时，则，，即， ∵均为正整数， ∴当时，不符合题意； 综上，整式可以为或或， 所有满足条件的整式的和为，故③正确． 故选：A． 第二部分（非选择题 共110分） 二﹑填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．(25-26九上·重庆南岸区江南新城珊瑚中学校·期中)若是方程的一个根，则______． 【答案】9 【来源】重庆市南岸区江南新城珊瑚中学校2025-2026学年 2025-2026学年九年级上学期 期中考试数学试题 【分析】本题考查了一元二次方程的根的定义，理解一元二次方程的根的定义是解题的关键． 将代入方程得到关于m的方程，变形后整体代入求出代数式的值即可． 【详解】 m是方程的一个根，， ， 将代入得 ． 故答案为：9． 12．(25-26九上·重庆徐悲鸿中学校·期中)若点在二次函数的图像上，则的大小关系为__________ ．（用 “ > ”符号连接） 【答案】 【来源】重庆市徐悲鸿中学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 【分析】本题考查二次函数图像上点的大小比较，掌握二次函数的性质，开口向上，点离对称轴越远，函数值越大是解题的关键． 通过确定抛物线的开口方向和对称轴，根据点到对称轴的距离判断函数值大小． 【详解】二次函数的二次项系数，因此抛物线开口向上， 对称轴为直线 ， 由于开口向上，点离对称轴越远，函数值越大， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为， 因为 ，所以． 故答案为：． 13．(25-26九上·重庆南岸区江南新城珊瑚中学校·期中)如图，在中，轴，点，，，反比例函数的图象在第一象限内经过点，且与交于点．则点的横坐标为_____． 【答案】3 【来源】重庆市南岸区江南新城珊瑚中学校2025-2026学年 2025-2026学年九年级上学期 期中考试数学试题 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键． 根据条件可得反比例函数解析式，利用解析式求出当时值即可． 【详解】解：∵在中，轴，点， ∴， ∴点的坐标， ∵反比例函数的图象在第一象限内经过点， ∴， ∴反比例函数解析式为：， 当时，， ∴点的横坐标为3． 故答案为：3． 14．(25-26九上·重庆两江育才中学校·期中)若二次函数的部分图象如图所示，关于x的一元二次方程的一个解，则另一个解________． 【答案】 【来源】重庆市两江育才中学校2025-2026学年九年级 上学期期中数学试卷 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据二次函数的图象与x轴的交点关于对称轴对称，可直接求出的值． 【详解】解：二次函数的对称轴为，关于x的一元二次方程的一个解，另一个解为， ， ， 故答案为：． 15．(25-26九上·重庆市永川中学教育集团·期中)如图，矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形，使点的对应点落在上，交于点，在上取点，使．若，则的长为_______． 【答案】/ 【来源】重庆市永川中学教育集团2024–2025学年九年级上学期期中质量检测 数学试题 【分析】连接，过作，可得是等腰直角三角形，为等边三角形，分别求出，可得结论． 【详解】解：连接，过作， ∵矩形中，，将矩形绕点旋转得到矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， ∴， ∴在中， ， 在中， ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查旋转的性质，矩形的性质，锐角三角函数定义，等边三角形判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识点，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 16．(25-26九上·重庆南开中学校·期中)对于任意一个四位数，如果它的千位数字与百位数字的和比十位数字与个位数字的和大1，那么称这个四位数为“勤思数”，记的各数位上的数字之和为． 若是“勤思数”，且，则四位数是____，， 均为“勤思数”，，（，，且，，，，，均为整数），若 ，且为整数，则满足条件的所有的值和为___． 【答案】 1936 5453 【来源】重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题 【分析】本题考查了整式加减的应用、解二元一次方程组、分式的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用枚举法是解此题的关键． 对于第一部分，根据“勤思数”的定义和数字和条件，列方程求解得到四位数；对于第二部分，根据“勤思数”的定义和给定条件，推导出参数关系，通过枚举可能值并验证条件，得到唯一的值，求和即可． 【详解】解：第一部分：根据“勤思数”定义，有，即， 数字和，即， 联立，解得：，， 故四位数为1936． 第二部分：， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为4，个位数字为． 根据“勤思数”定义，有，， 数字和， ． ， ． 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，，舍去； 当时，， 此时，则，不符合实际； 只有当，时，符合题意． ． ． 为整数，， ，解得． ， ． ． 只有这一种情况符合题意， 故答案为：1936，5453． 三﹑解答题：本题共9小题，共86分。（其中：17-18题每题8分，19-25题每题10分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．(25-26九上·重庆大渡口区第九十四中学·期中)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【来源】重庆市大渡口区第九十四中学2025-2026学年上学期九年级数学期中试题 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）使用因式分解法求解即可； （2）使用因式分解法求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴或， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴． 18．(25-26九上·重庆第三十七中学校·期中)下面是小明设计的“在一个三角形中作内接菱形”的尺规作图过程． 已知：； 求作：菱形（点E在上，点D在上，点F在上）； 作法：①作的角平分线，交于点D； ②作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F； ③连接、． 所以四边形为所求的菱形． 根据小明设计的尺规作图过程， (1)使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹） (2)完成下面的证明： 证明：平分， ∴ ① 是线段的垂直平分线， ， ， ， ，．（ ② ）（填推理的依据） 四边形为平行四边形． ， 四边形为菱形．（ ③ ）（填推理的依据） (3)小张采用小明设计的方法，作出了的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么一定是一个 ④ 三角形（填形状）． 【答案】(1) 四边形即为所求： (2)；内错角相等，两直线平行；一组邻边相等的平行四边形是菱形 (3)直角 【来源】重庆市第三十七中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数字试题 【分析】本题考查了菱形的判定，尺规作图，线段垂直平分线的性质，正方形的判定． （1）根据题意直接作图即可； （2）由作图可得平分，是线段的垂直平分线，利用线段垂直平分线的性质，等边对等角以及角平分线的定义可得，，利用平行线的判定可得，，进而可得四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可得到结论； （3）在菱形的基础上加上一个内角或者对角线相等即可得到正方形，据此判断即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：由（2）可得的内接四边形为菱形，要使四边形为正方形，则四边形四个内角都为，即，即为直角三角形， ∴小张采用小明设计的方法，作出了的一个内接菱形，他发现这个菱形是正方形，那么一定是一个直角三角形（填形状）， 故答案为：直角． 19．(25-26九上·重庆第十八中学·期中)某校为了了解本校学生对航天科技的关注程度，对八、九年级学生进行了航天科普知识竞赛（百分制），并从其中分别随机抽取了20名学生的测试成绩，整理、描述和分析如下：（成绩得分用x表示，共分成四组：A．；B．；C．；D．）． 其中，八年级20名学生的成绩是：80，81，82，82，84，85，86，87，89，90，90，91，94，96，96，96，96，96，99，100． 九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：94，92，91，90，93，92． 八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 90 90 b 38.7 九年级 90 c 100 38.1 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出上述a、b、c的值： ______， ______， ______； (2)根据以上数据，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级共1200人参加了此次航天科普知识竞赛活动，请估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数是多少？ 【答案】(1)40，96，92.5 (2) 九年级的成绩更好，理由如下： 两个年级成绩的平均数相同，但九年级的中位数和众数均大于八年级，故九年级的成绩更好； (3)840 【来源】重庆市第十八中学2025--2026学年九年级上学期数学半期考试试卷 【分析】本题考查统计图，求中位数，众数，利用中位数和众数作决策，从统计图中有效的获取信息，熟练掌握中位数和众数的计算方法，是解题的关键： （1）求出组人数所占的比例，根据比例之和为1，求出的值，根据中位数和众数的确定方法进行求解即可； （2）利用中位数和众数作决策即可； （3）利用样本估计总体的思想进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，组人数所占的比例为， ∴； ∴； ∵八年级成绩中出现次数最多的是， ∴； 九年级中两组的人数之和为， 将数据排序后，第10个和第11个数据分别为，， ， 故， 故答案为：，，； （2）略 （3）（人）； 答：估计参加此次活动成绩优秀（）的九年级学生人数是840人． 20．(25-26九上·重庆渝北中学校·期中)先化简，再求值：，其中是方程的解． 【答案】，． 【来源】重庆市渝北中学校2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题 【分析】本题考查了分式的化简求值，一元二次方程的解，先根据分式的运算法则化简，再根据是方程的解，求得，代入即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∵是方程的解， ∴， ∴， ∴原式． 21．(25-26九上·重庆南开中学校·期中)某商店销售、两种款式的水杯．已知每只款水杯比每只款水杯贵12元，今年九月份款水杯的销售额为4800元，款水杯的销售额为3600元，且款水杯的销量是款水杯的1.2倍． (1)求、两款水杯的售价分别是多少元？ (2)十月份，该商店对款水杯进行降价促销：已知每只款水杯的进价是16元，每只款水杯的进价比款水杯低50%．若款水杯售价每降低2元，销量就比九月份多增加30只；款水杯售价和销量都和九月份相同．此次促销销售完两款水杯的总利润为4560元，求款水杯降低了多少元？ 【答案】(1)A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元 (2)A款水杯降低了6元 【来源】重庆市南开中学校2025-2026学年九年级上学期半期考试数学试题 【分析】本题主要考查分式方程和一元二次方程的应用，根据题意正确列出方程是解题的关键． （1）设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元，根据题意列分式方程求解即可； （2）先求出B款水杯的进价，九月份A款水杯销量，九月份B款水杯销量，设A款水杯降低了元，再根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设A款水杯的售价为元，则B款水杯的售价为元， 根据题意，可列出方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， B款水杯的售价为（元）， ∴A款水杯的售价为32元，B款水杯的售价为20元． （2）解：B款水杯的进价为（元）， 九月份A款水杯销量为（只）， 九月份B款水杯销量为（只）， 设A款水杯降低了元， 根据题意，可列出方程：， 解得，， 因为是降价促销，所以不符合题意，舍去， ∴A款水杯降低了6元． 22．(25-26九上·重庆育才中学校教共体·期中)如图，在正方形中，边长为4，动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿折线方向运动，到达点时停止，同时点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿着方向运动，点是射线上一动点，连接、、，的面积为2．设点、的运动时间为，的面积为，的长为． (1)请直接写出，分别关于的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围．（近似值保留小数点后一位，误差不超过0.2） 【答案】(1)，； (2) 函数，的图象如图所示， 函数的性质有：当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小； 函数的性质有：当时，随的增大而减小； (3)． 【来源】重庆市育才中学校教共体2025-2026学年九年级上学期期中数学试题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及求反比例函数与一次函数的表达式、画函数图象以及两个函数图象的交点问题等，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． （1）根据题意，利用三角形的面积公式求解即可； （2）根据两个函数的表达式画图象，再根据图象说出函数，的性质即可； （3）观察图象可得结论． 【详解】（1）解：当时，点在上， ； 当时，， ∴； 由图可知，， ∴； （2）略 （3）由图可知，两个函数相交时即或 解得或 ∴时的取值范围． 23．(25-26九上·重庆徐悲鸿中学校·期中)如图，直线与双曲线只有一个公共点． 求k与a的值； 在的条件下，如果直线与双曲线有两个公共点，直接写出b的取值范围． 【答案】（1）a=2，k=-2（2）或 【来源】重庆市徐悲鸿中学校2025-2026学年上学期九年级期中数学试卷 【详解】试题分析： （1）把点A坐标分别代入直线与双曲线解析式即可求出k和a的值； （2）联立两个函数的解析式，整理得出一元二次方程，根据根的判别式即可得出结果． 试题解析： 解：（1）∵直线y＝ax－4与双曲线y＝只有一个公共点A（1，）， ∴ ∴ （2）若直线y＝2x＋b与双曲线y＝有两个公共点， 则方程组有两个不同的解， ∴2x＋b＝有两个不相等的解， 整理得：2x2＋bx＋2＝0， ∴△＝b2－16＞0， 解得：b＜－4或b＞4． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，平移的性质，一元二次方程根的判别式；知道反比例函数的图象与直线y＝2x＋b有两个公共点时，△＞0是解决问题（2）的关键． 24．(25-26九上·重庆沙坪坝区重庆第一中学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，． (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点Q，过点O作直线，点M，N分别为射线和直线l上的动点，且，连接．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； (3)将抛物线沿射线方向平移，使平移后的新抛物线经过点C，点D为抛物线对称轴上的一点，连接，过点D作交抛物线于点E，且点E位于抛物线对称轴的左侧，连接、．若，请直接写出所有符合条件的点E的横坐标． 【答案】(1) (2)， (3)x的横坐标为或 【来源】重庆市沙坪坝区重庆市第一中学校2025-2026学年九年级上学期12月期中数学试题 【详解】（1）解：由题意知，当时，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 将点A，B分别代入抛物线得 ，解得， ∴抛物线解析式为． （2）解：如图，作轴交于点D，作轴交于点E， ∴， ∵，， 设直线的解析式为， 代入得，解得， ∴直线的解析式为， ∴点D坐标为，则，， ∵，， ∴， ∴，则最大值时，最大， 设，则， ， ∵， ∴当时，最大，此时， 作于点F， ∴，得， 将点P沿方向平移得点，则，且， ∴， 作轴于点G，， ∴， ∴， 当，M，G三点共线且轴时取等号，故. （3）解：∵抛物线沿射线平移，且过点C， ∴新抛物线解析式为，对称轴为，记对称轴为直线， 设，则， ∴，即， ①当点E在点D下方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点下方，使得， 设， ∴，即， 延长至点F，与直线交点F， ∴， ∴，解得， 设，则， 在中，， ∴，解得， ∴，点坐标为， ∴，， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得，， 解得（舍去），； ②当点E在点D上方时： 如图，过点C作，在直线上取点且位于点上方，使得， ∵， ∴， ∴， ∴， 当点D在直线移动的过程中，点E的轨迹为直线，与的夹角为， 则， 设直线的解析式为，将点代入得 ，解得， ∴直线的解析式为， 联立新抛物线解析式得：， 解得（舍去），， 综上所述，x的横坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与性质，二次函数的图象与性质，锐角三角函数的应用及函数与几何的综合应用． 25．(25-26九上·重庆南川区第一中学校·期中)在中，，，过点作． (1)如图1，若点在点的左侧，连接，过点作交于点．若点是的中点，求证：； (2)如图2，若点在点的右侧，连接，点是的中点，连接并延长交于点，连接．过点作交于点，平分交于点，求证：； (3)若点在点的右侧，连接，点是的中点，且．点是直线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接，．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴； (2) 证明：如图所示，过点G作于H，连接， ∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； (3) 【来源】重庆市南川区第一中学校2025-2026学年九年级上学期期中考试数学试题 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：如图所示，过点D作交延长线与H，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点，且， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴点Q在直线上运动， 设直线交于K，则， ∴， 由垂线段最短可知，当时，有最小值， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴； 在中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得； ∵， ∴， ∴； 由折叠的性质可得， ∵， ∴， ∴当点Q在线段上时，此时有最大值，最大值为， ∴的最大值为． 1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $