学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（重庆专用，范围：新教材人教版九上第25～28章）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D．0 2．下面图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，y随x的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而增大 5．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2025个菱形，则n 的值为（     ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 6．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为x步，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，正方形的边长为6，点E在边上，连接，作交的角平分线于点F，交于点H，连接交于点M．若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中n，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法： ①若，则当时，满足条件的整式M共有4个； ②若，则当时，满足条件的整式M共有7个； ③若，且，则当且时，满足条件的整式M共有28个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．抛物线的对称轴是_________． 12．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围为_____． 13．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 14．若实数x，y同时满足，，则的值为_____． 15．如图，在中，，，，D是边上一点，线段绕点D顺时针旋转得到，连结，若F是的中点，则的最小值为_________． 16．已知一个三位数正整数N的各数位上的数字互不相等且均不为0，若其十位数字与个位数字之和等于百位上的数字，则称数N为“博专数”．例如：数523，∵，∴523是“博专数”，数123，∵，∴123不是“博专数”，则最小的“博专数”为______；若将“博专数”的百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，记，当被7除余2时，记，则当取得最大值时，“博专数”N为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18．如图，在中，为边上的高线． （1）尺规作图：过点E作直线的垂线，在垂线上截取一点M，点M在直线右侧，使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵为边上的高线， ∴， 又∵①_________， ∴． 在和中， ∴（③_________）， ∴④__________， ∵， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．百度推出了“文心一言” AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了甲，乙两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：组不满意，B组比较满意，C组满意，D组非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款AI聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 抽取的对乙款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89 抽取的对甲，乙款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 83.3 84.5 c 乙 83.3 b 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表：a=_____，b=_____；c=_____； （2）通过以上数据分析，你认为甲，乙款AI聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款AI聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对AI聊天机器人非常满意的共有多少人？ 20．先化简，再求值：， 其中． 21．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 22．如图，在矩形中，，，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→D方向运动；动点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动．当点P追上点Q时，P、Q均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． （3）结合函数图象，若直线与函数图象只有1个交点，请直接写出t的取值范围． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，A，C分别在x轴，y轴上，B在反比例函数的图象上，将矩形绕原点O按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，B． （1）求点B的坐标； （2）求直线与x轴的交点D的坐标； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点D，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点E为点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程． 25．在中，，D为平面内一点，连接，以为边作 ，使得，． （1）如图1，点D在内，当点E与点C重合时，，，求的值； （2）如图2，，点D在左上方，且B在的延长线上，连接 交于点P，Q为上一点，连接，若，求证：； （3）如图3，绕点D顺时针旋转恰好与重合，，，连接，点M为线段上靠近E的三等分点，连接，，直线交直线于点N，当面积取最大值时，请直接写出的面积． 试题 第7页（共10页） 试题 第8页（共10页） 试题 第5页（共10页） 试题 第6页（共10页） 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1 2 4 5 6 10 B B D 0 C D 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11.直线x=3 k号 12. 13.4 14.1 15.2W2 16.312,981 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步 骤，画出必要的图形（包括辅助线)，请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17.【解析】(1)解：x+2r-5=0 x2+2x=5 (x+1)2=6 x+1=±6 解得与=-1-6，为=-1+6,4分) (2)解： 3x(x-2)=2(2-x) 3x(x-2)+2(x-2)=0 (x-2)3x+2)=0 x-2=03x+2=0 或 1/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 解得=2，一 3.(8分) 2/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.【解析】解：(1)如图即为所求： (4分) D (2)证明：，DH为EF边上的高线， .DH⊥EF, 又：EG⊥EF, .DH∥ME. 在Rt△DHE和Rt△MEH中， DE =MH HE EH :RtADHE≌RtAMEH(HL) .DH=ME, .DH∥ME ∴四边形DEMH是平行四边形.(8分) 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理 步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 6 ×100%=30% 19.【解析】(1)解：根据题意，得对乙款AI聊天机器人的评分数据C组占比为：20 D组占比为：1-10%-30%-20%=40%=a%, 故a=40,(1分) 根据题意，得A等级：20×20%=4（人），B等级：20×10%=2（人） C等级：80,82,83,87,88,89有6人， 3/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 故中位数是b=87+88 2 87.5,(2分) 由对甲款AI聊天机器人的评分数据：60,65,65,71,74,76,80,82,84,84,85,85,92,92， 92,92,96,96,97,98 故众数C=92.(3分) (2)解：乙款AI聊天机器人的使用满意度更好.在甲乙平均数相同的情况下，乙的中位数87.5，高于甲 的中位数84.5，故乙款AI聊天机器人的使用满意度更好.(6分) (3)解：根据题意，得甲款AI聊天机器人非常满意的人数为8， 乙款AI聊天机器人非常满意的占比为40%，有20×40%=8（人）， 8+8 2000× =800 此次测验中对AI聊天机器人非常满意的共有 20+20 (人)，(9分) 答：对AI聊天机器人非常满意的共有800人.(10分) x+2 20.【解析】解：x2-4 /2-3x+6-x+2-(x-1(4x+1+(2x- x-2 x+22-3x+6-x-2y-(4x-3x-1）+(4x-4+0 (x-2)(x+2） x-2 =1÷x+2 x-2x-2 4x2+3x+1+4x2-4x+1 1x-2 -x+2 x-2x+2 +2r+2 =-2-5 x+2,(8分) =6+2026-(=1-4=-3 将x=-3代入化简后的式子得： 4/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 （-3)}2-54 原式=（-3)+2-1 4.(10分) 21.【解析】(1)解：设月平均增长率为x. ,2024年12月销售量为5万件，近三个月月平均增长率相同，2025年2月销售量为7.2万件. :50+x)2=7.2 解得5=0.2=20%6=-2.2 (不符合题意，舍去)· 答：月平均增长率为20%.(5分) (2)解：设售价应降低x元 ,进价为每件60元，原售价为每件100元，原每天销量为20件，售价每降价10元每天可多售出20件， 每天销售获利1200元. 20420) ∴.单件利润为(100-x-60)=(40-x)元，每天销售量为10 0x=20+20件. :(40-20+2)）=1200 整理得-30x+200=0 解得=10.5=20 ,要求尽量减少库存，即每天销售量尽可能大. ∴选择降价幅度更大的x=20 答：售价应降低20元.(10分) 22.【解析】(1)解：由题意得，2x-6=x, .x=6, .0<x<6. 当0<x<3时.A0=xBP=2x 时， 5/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 、y=BP.Ag=×2x·x=x 2 当3≤r<6时，40=x,AP=2x-6 :P0=x-(2x-6)=6-x ayP0B×6x6-)=-3x+1s x2(0<x<3) .s -3x+183≤x<6):(2分) (2)解：函数y的图象如下， 10 9 8 6 ---r 012345B78910x 由题意，y=x,抛物线顶点为(0,0)：y=-3x+18过(3,9)和(6.0) 如图所示：当术=3。 △BPQ 时， 的面积最大为9（答案不唯一）；(7分) 1 1 (3)解：由题意，直线'=2+‘与 y=- 与直线”2平行， 10 87 6 0123458文890x 6/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 y= 2x+t过(6.0)时，则2 6+t=0 又当直线2 t=3 1 1 又当直线”=-2x+‘过(3,9)时，则2× ×3+t=9 .t=10.5. 1 y=-一x+t ∴结合图象，根据直线2 与函数图象只有1个交点，则0<t≤3或t=10.5.(10分) 23.【解析】(1)解：由旋转得 OC=OC OA=OA .C4=5 :C0+04=5 :0c+01=5,即0C+0C+C4=5, .GA=3 ,20C+3=5 OC=1 ，解得 :0C=1.0A=0A=4 ,四边形OABC是矩形， .AB=OC=1,CB=OA=4. :B(4,) (2分) (2)解：由(1得0A=4 4(0,-4) 7/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5 q= -4=b 4 把4(0，-4)”B4,)代入为=ax+b得{1=4如+b解得 得 b=-4 2x-4 4 5 16 x-4=0 x= 令2=0得4 ，解得5， (6分) (3)解：0<h<y x应取y轴正半轴上片的图象在2上方的部分， 16 <x<4 当0<<乃时， 5 (10分) 3 X= 24.【解析】解：(1)因为抛物线的对称轴是直线2， 6 3 所以-2×(-1)2， 解得b=3, 把点4(-l,0)代入抛物线y=-x2+bx+c得0=-（-1旷+bx(-)+C, 即c-b=1, 所以c-3=1, 解得c=4, 所以抛物线的表达式：y=-r+3r+4:(2分) 8/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)令y=-x2+3x+4=0 解得=-】书3=4 :B(4,0) 令x=0y=4 :c(0,4). BC y=-x+4 ∴.由待定系数法得直线 过P作 PO//OC BC 交 于点Q,如图所示： D M D B主 设点P的坐标为x,-x2+3x+4) (x,-x+4) 则点Q的坐标为 P0=-x2+4x Polloc △CDO∽AQDP PDPg_P=-↓x2+x ..OD OC 44 9/17 西学科网学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 1 X= =2 当 24 时， PD取得最大值1， O :P的坐标为2,6)，0的坐标（2,2)，4分) :MN=3,所以把P向下平移3个单位得到P, 过P作PH⊥AB,连结AP',如图所示： A ·点B关于对称轴的对称点为点A, 当点P',A,N三点共线时BN+PM最小，(5分) 即BN+PM=AP', 令y=-x2+3x+4=0 解得=-1为=4 :A(-1,0).PH=y,-3=6-3=3 :4H=。-x4=2-(-1)=3 AP=VAH2+P'H2=3 BN+PM-MN AP'-MN=32-3 :.BN+PM-MN的最小值为3N2-3.(7分 10117 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 （3点r的整标为：，7)或2+5，-10-35)，9分) 将抛物线y'=-术+br+C沿射线BC方向平移V2个单位长度得到抛物线广， 即将抛物线左移一个单位长度又向上移动一个单位长度， 则y=-(x+12+3(x+)+4+1=-2+x+7 PW⊥y 过P作 轴交y轴于点W, 、E H W▣ GAO B 如图点P沿射线BC方向平移至点E,所以∠EPW=∠CBO=45°， .∠FGB+45°=∠OPE,∠OPE=∠OPW+∠WPE=∠OPW+45°， .∠OPW=∠FGB. PO∥GF, 2,6) ,P的坐标为 Kop Kor=3 ∴直线 GF y=3x+4 =-3x-4 (如上图)或 (如下图)， 11/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 4 G 点F为直 GF与抛物线的交点， :.-r+x+7=3x+4或+x+7=-3r-4) 解得：=1，名=-3（合去）或=2+5，。=2- 《舍去)， ÷点r的坐标为：4，刀或(2+5，-10-31⑤).(10分) 25.【解析】(1)解：如图，过点D作DH⊥BE交BE于点H, D H C(E AD=DE, △ADE是等腰三角形， .∠DAE=∠DEA, 又：∠BAC+∠ADE=180°， ∴设∠DAE=∠DEA=a,则∠ADE=180°-2a, :∠BAC=180°-(180°-2a)=2a 12/17 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠BAD=∠DAE=a,即AD平分∠BAE, 又BA=AE,DH⊥BE, ,点A,D,H三点共线，则AH是△BAE的垂直平分线， BH-HE=1BE=4 2 AD=DE=2V5 ∴在Rt△DHE中，由勾股定理得，DH=VDE2-CH=2, :.AH=AD+DH=25+2 在RtaAHC中，an∠ACB=-25+25+1 CH42.(3分) (2)证明：如图，过点B作 作BM/P吧交MD于点M过点C作CH L AD交DA的延长线于点H, H M .∠BAC=90°，∠BAC+∠ADE=180°， ∠ADE=90°， 又：DE=AD,AB=AC, .△ADE和△BAC是等腰直角三角形， :∠BAC=∠BDA=∠H=90°， .∠DBA+∠DAB=∠DAB+∠CAH=∠CAH+∠HCA, 13117 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 则∠DAB=∠HCA, 在△ABD和△CAH中， ∠BDA=∠H=90° ∠DAB=∠HCA AB=AC :△ABD≌△CAH(AAS) .AD=HC=DE. 在△DEP和△HCP中， ∠EPD=∠CPH ∠EDP=∠H=90° DE=HC :.△DEP≌aHCP(AAS) :.CP=EP,DP=HP, :BM//PQ.∠EBA-∠AOP=45° :∠AOP=∠ABM.∠EBA-∠ABM=∠DBM=45 .∠BDM=90°. .△BDM为等腰直角三角形， .BD=DM, DP=HP,DM=BD=AH, .AP=MP,即点P为MA中点， DM=8M=52P0=P0 2 14117 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 DA=2PQ+2AP 即DE=V2PQ+2AP (8分) (3)解：由题意知，AD绕点D顺时针旋转120°恰好与DE重合，且△ADE始终是顶角为120°的等腰 三角形， ∴如图，△ADE始终绕点A旋转，其运动轨迹为圆，此时点M的运动轨迹同样跟随△ADE的运动轨迹在 变化， 要使△ABM的面积取最大值， ,当AD与AC重合时，此时△ABM的面积取最大值， 如图，过点A作AK⊥DE交DE的延长线于点K,过点M作MH⊥NE交NE于点H, K 15117 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠BAC+∠ADE=180°，∠ADE=120°， .∠BAC=60°， 又：AB=AC, ∴.△ABC是等边三角形，AB=BC=AC=9, 又，△ADE是顶角为120°的等腰三角形， ∴.AD=DE=6,∠DAE=∠AED=30°， .∠ADK=∠CDE=2∠DAE=60°， 在RtAKD中， DK=二AD=3 2 ,由勾股定理得，AK=VAD2-DK2=V6-32=3V3, 在Rt△AKE中，由勾股定理得， AE=VAK2+KE2-35+92=6N5 24m-DE=0·-5.怨-5 ∴△AKEAECA,即∠K=∠ACE=90°，∠KAE=∠CEA=60°， :CE=3V5,∠DEC=∠AEC-LAED=60°-30°=30° :点M为线段CE上靠近E的三等分点， :.ME-ICE-3, 3 在RtEMH中，Mn=)EM=5 ,定理.=aw-wr-水阿可- ·KH=KE-EH=9-3-15 22, .∠K=∠NHM=90°，∠ANK=∠MWH, 16117 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .△AKN∽aMHN, 5-HN 33 KH-HN 2 ·AKKN,即√3 HN HN,解得 MH HN 2 W=5, 14 ·WE=MH+EH=15+318 1427, 4m-mwi-分49-n8 17117 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D．0 【答案】B 【解析】解：3.14是有限小数，、0是整数，均为有理数．是无理数． 2．下面图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：A．该图形不是轴对称图形，不符合题意； B．该图形是轴对称图形，符合题意； C．该图形不是轴对称图形，不符合题意 D．该图形不是轴对称图形，不符合题意． 3．一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 【答案】B 【解析】解：由得，解得，． 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，y随x的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而增大 【答案】A 【解析】解：∵反比例函数中， ∴图象位于第一、三象限，故B错误． ∵时，在每个象限内y随x的增大而减小， ∴当时，y随x的增大而减小，A正确； 当时，y随x的增大而减小，D错误． ∵当时，， ∴图象不经过点，故C错误． 5．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2025个菱形，则n 的值为（     ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 【答案】B 【解析】解：根据给出的示例可知，第n 幅图中有个菱形， ∴， 解得． 6．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：A．反比例函数图象在第一、三象限，则，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； B．二次函数的图象开口向下，则，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； C．反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向下，抛物线与y轴交于正半轴，则，前后矛盾，故此选项不合题意； D．反比例函数图象在第二、四象限，，二次函数的图象开口向上，抛物线与y轴交于负半轴，则，前后一致，故此选项符合题意． 7．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为x步，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：设矩形田地的宽为x步，则长为步， 由题意得：． 8．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【解析】解：由抛物线开口向上得； ∵抛物线的对称轴为，则，故； ∵抛物线交y轴于负半轴得， ∴，故①正确； 根据①可将抛物线的解析式化为， 由函数的图象知，当时，，即，故②正确； 根据抛物线的对称性可知：关于对称轴的对称点是， 当时，， 所以当时，也有，即，故③正确． 所以正确的有3个． 9．如图，正方形的边长为6，点E在边上，连接，作交的角平分线于点F，交于点H，连接交于点M．若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：如图，延长交的延长线于点N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵是的角平分线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 10．已知整式，其中n，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法： ①若，则当时，满足条件的整式M共有4个； ②若，则当时，满足条件的整式M共有7个； ③若，且，则当且时，满足条件的整式M共有28个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解析】解：①若，当时，为正整数，，，为非负整数，且． 分两种情况讨论： 当时，，对应整式，共1个； 当时，，非负整数解为，，对应整式、、，共3个； 综上，总计个，故①正确； ②若，当时，n为正整数， 分和讨论： 当时，，为正整数，为非负整数，式子变形为． 正整数解满足，解得、， 对应整式、，共2个； 当时，为正整数，，为非负整数，式子为． 当时，式子变形为， 解得、，对应整式、，共2个； 当时，式子变形为， 解得、，对应整式、，共2个； 当时，式子变形为， 解得，对应整式，共1个； 当时，左边，无符合条件的解； 综上，时总计个，结合的2个，共个，故②正确； ③若，且，当且时： 由相邻项差，得，，，，故； 结合，得且，解得且， 结合，得，故； 由，得，即，结合为非负整数，得； 由，得，即；由，得；由，得； 列举的取值： 时，可取9，10，…，15，共7个； 时，可取10，11，…，15，共6个； 时，可取11，12，…，15，共5个； 时，可取12，13，…，15，共4个； 时，可取13，14，15，共3个； 时，可取14，15，共2个； 时，可取15，共1个； 总计个； 又，若，则，无符合条件的解，故n只能为4，满足条件的整式M共28个，故③正确； 综上，①②③均正确，正确的个数为3． 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．抛物线的对称轴是_________． 【答案】直线 【解析】解：∵抛物线解析式中，， ∴抛物线的对称轴为直线． 12．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围为_____． 【答案】 【解析】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴根的判别式， 即， 解得：． 13．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【解析】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 14．若实数x，y同时满足，，则的值为_____． 【答案】1 【解析】解：∵实数x，y同时满足，， ∴ ， ， 解得， ∵ ， ∴，即，整理得， 将代入 ，得 ， 整理得 ， 当时， ，舍去该情况， 当时， ，解得， 将代入，得 ， ∴ ． 15．如图，在中，，，，D是边上一点，线段绕点D顺时针旋转得到，连结，若F是的中点，则的最小值为_________． 【答案】 【解析】解：如图，连接，过点F作于点N，于点M， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵线段绕点D顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∵F是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点F在的平分线上， ∴， 当时，的值最小，此时是等腰直角三角形， ∴， 故的最小值为． 16．已知一个三位数正整数N的各数位上的数字互不相等且均不为0，若其十位数字与个位数字之和等于百位上的数字，则称数N为“博专数”．例如：数523，∵，∴523是“博专数”，数123，∵，∴123不是“博专数”，则最小的“博专数”为______；若将“博专数”的百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，记，当被7除余2时，记，则当取得最大值时，“博专数”N为______． 【答案】312，981 【解析】解：（1）最小的百位数字需满足十位与个位数字之和等于它且互不相等、均不为0， 百位最小可能为，对应最小三位数为312（十位＜个位使数更小）． 故答案为：312． （2）设博专数，由条件得（a，b，c互不相等且均不为0）， 新数， 则， 由被7除余2，得（k为正整数）， 当时，， 若，，则，不符合题意，舍去； 若，，则，此时； 若，，则，此时； 若，，则，此时； ∵， ∴越来越小． ∴当时，的最大值为． 当，3，4，5，6，7，8，9时，均不是9的倍数，不符合题意； 当时，， 则，， ∴． 此时． ∵， ∴的最大值为10． ∴N为981． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1），；（2）， 【解析】（1）解： 解得，； （2）解： 或 解得，． 18．如图，在中，为边上的高线． （1）尺规作图：过点E作直线的垂线，在垂线上截取一点M，点M在直线右侧，使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵为边上的高线， ∴， 又∵①_________， ∴． 在和中， ∴（③_________）， ∴④__________， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【答案】（1）作图见解析；（2）①；②；③；④ 【解析】解：（1）如图即为所求： （2）证明：∵为边上的高线， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵． ∴四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．百度推出了“文心一言” AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了甲，乙两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：组不满意，B组比较满意，C组满意，D组非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款AI聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 抽取的对乙款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89 抽取的对甲，乙款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 83.3 84.5 c 乙 83.3 b 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表：a=_____，b=_____；c=_____； （2）通过以上数据分析，你认为甲，乙款AI聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款AI聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对AI聊天机器人非常满意的共有多少人？ 【答案】（1）40，87.5，92；（2）乙款AI聊天机器人的使用满意度更好，理由见解析；（3）800人 【解析】（1）解：根据题意，得对乙款AI聊天机器人的评分数据C组占比为：， D组占比为：， 故， 根据题意，得A等级：（人），B等级：（人） C等级：80，82， 83，87，88， 89有6人， 故中位数是， 由对甲款AI聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 故众数． （2）解：乙款AI聊天机器人的使用满意度更好．在甲乙平均数相同的情况下，乙的中位数87.5，高于甲的中位数84.5，故乙款AI聊天机器人的使用满意度更好． （3）解：根据题意，得甲款AI聊天机器人非常满意的人数为 8， 乙款AI聊天机器人非常满意的占比为，有（人）， 此次测验中对AI聊天机器人非常满意的共有（人）， 答：对AI聊天机器人非常满意的共有800人． 20．先化简，再求值：， 其中． 【答案】，4 【解析】解： ， ， 将代入化简后的式子得： 原式． 21．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为；（2）售价应降低20元 【解析】（1）解：设月平均增长率为x． ∵2024年12月销售量为5万件，近三个月月平均增长率相同，2025年2月销售量为7.2万件． ∴． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． （2）解：设售价应降低x元． ∵进价为每件60元，原售价为每件100元，原每天销量为20件，售价每降价10元每天可多售出20件，每天销售获利1200元． ∴单件利润为元，每天销售量为件． ∴． 整理得． 解得，． ∵要求尽量减少库存，即每天销售量尽可能大． ∴选择降价幅度更大的． 答：售价应降低20元． 22．如图，在矩形中，，，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→D方向运动；动点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动．当点P追上点Q时，P、Q均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． （3）结合函数图象，若直线与函数图象只有1个交点，请直接写出t的取值范围． 【答案】（1）；（2）作图见解析，当时，的面积最大为9（答案不唯一）；（3）或 【解析】（1）解：由题意得，， ∴， ∴， 当时，，， ∴， 当时，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：函数y的图象如下， 由题意，，抛物线顶点为：过和． 如图所示：当时，的面积最大为9（答案不唯一）； （3）解：由题意，直线与直线平行， 又当直线过时，则， ∴． 又当直线过时，则， ∴． ∴结合图象，根据直线与函数图象只有1个交点，则或． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，A，C分别在x轴，y轴上，B在反比例函数的图象上，将矩形绕原点O按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，B． （1）求点B的坐标； （2）求直线与x轴的交点D的坐标； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】（1）解：由旋转得，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴，解得， ∴，， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴； （2）解：由（1）得， ∴， 把，代入得，解得， ∴， 令得，解得， ∴； （3）解：∵， ∴x应取y轴正半轴上的图象在上方的部分， ∴当时，． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点D，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点E为点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）；（2）P的坐标为，的最小值为；（3）或 【解析】解：（1）因为抛物线的对称轴是直线， 所以， 解得， 把点代入抛物线得， 即， 所以， 解得， 所以抛物线的表达式：； （2）令， 解得，， ∴， 令，， ∴， ∴由待定系数法得直线：， 过P作交于点Q，如图所示： 设点P的坐标为， 则点Q的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值1， ∴P的坐标为，Q的坐标， ∵，所以把P向下平移3个单位得到， 过作，连结，如图所示： ∵点B关于对称轴的对称点为点A， 当点，A，N三点共线时最小， 即， 令， 解得，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． （3）点F的坐标为：或， 将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线， 即将抛物线左移一个单位长度又向上移动一个单位长度， 则， 过P作轴交y轴于点W， 如图点P沿射线方向平移至点E，所以， ∵，， ∴， ∴， ∵P的坐标为， ∴， ∴直线：（如上图）或（如下图）， 点F为直线与抛物线的交点， ∴或， 解得：，（舍去）或，（舍去）， ∴点F的坐标为：或． 25．在中，，D为平面内一点，连接，以为边作 ，使得，． （1）如图1，点D在内，当点E与点C重合时，，，求的值； （2）如图2，，点D在左上方，且B在的延长线上，连接 交于点P，Q为上一点，连接，若，求证：； （3）如图3，绕点D顺时针旋转恰好与重合，，，连接，点M为线段上靠近E的三等分点，连接，，直线交直线于点N，当面积取最大值时，请直接写出的面积． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】（1）解：如图，过点D作交于点H， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， 又∵， ∴设，则， ∴， ∴，即平分， 又∵，， ∴点A，D，H三点共线，则是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴在中，由勾股定理得，， ∴， ∴在中，． （2）证明：如图，过点B作交于点M，过点C作交的延长线于点H， ∵，， ∴， 又∵，， ∴和是等腰直角三角形， ∵， ∴， 则， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴，即点P为中点， ∴， ∴， 即． （3）解：由题意知，绕点D顺时针旋转恰好与重合，且始终是顶角为的等腰三角形， ∴如图，始终绕点A旋转，其运动轨迹为圆，此时点M的运动轨迹同样跟随的运动轨迹在变化， 要使的面积取最大值， ∴当与重合时，此时的面积取最大值， 如图，过点A作交的延长线于点K，过点M作交于点H， ∵，， ∴， 又∵， ∴是等边三角形，， 又∵是顶角为的等腰三角形， ∴，， ∴， 在中，，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵，，， ∴，即，， ∴，， ∵点M为线段上靠近E的三等分点， ∴， 在中，，由勾股定理得，， ∴， ∵，， ∴， ∴，即，解得， ∴， ∴． 8 / 28 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 ========一=-===-=-======一===一=======-== 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ☐ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][][/] 一、单项选择题：本题共10小题， 每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.[A][B]LC][D] 5.[A][B][C]LD] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.LA][BJ[C][D] 3[A][B][C][D] 7[AJ[B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][C][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 12 13. 15 16. 三、解答题：（本大题2个小题， 每小题8分，共16分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或推 理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17.(8分) (1)x2+2x-5=0: (2)3x(x-2)=2(2-x). 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(8分) ① ② ③】 ④】 E H 四、解答题： (本大题7个小题，每小题10分，共70分)解答时每小题必须给出必要的演算过程或 推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19.(10分) (1)上述图表：a=，b=一；c=: (2) (3) 20.(10分) ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21.(10分) 22.(10分) 10 9876 54 012345678910x (1) (2) (3) 23.(10分) 本y y y2 B C C D A □B 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24.(10分) C D B衣 B古 备用图 25.(10分) E D D M E B C(E) 图1 图2 图3 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11._______________ 15. ________________ 12. ___________ 16. _______________ 13. _________________ 14. __________________ 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17.（8分） （1）； （2）． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（8分） ①_________，②_________，③_________，④_________ 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．（10分） （1）上述图表：a=_____，b=_____；c=_____； （2） （3） 20．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ （1） （2） （3） 23．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 24．（10分） 25．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版九年级上册第25~28章。 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。 1．下列各数中，是无理数的是（     ） A．3.14 B． C． D．0 2．下面图形中，是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 3．一元二次方程的根是（     ） A． B．， C．， D．， 4．对于反比例函数，下列说法正确的是（     ） A．当时，y随x的增大而减小 B．图象位于第二、四象限 C．图象经过点 D．当时，y随x的增大而增大 5．如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第 1 幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n 幅图中有2025个菱形，则n 的值为（     ） A．1012 B．1013 C．2024 D．2025 6．如图，函数与（其中），同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（     ） A． B． C． D． 7．中国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”大意：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形田地的宽为x步，根据题意，下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数的图象如图，有下列结论：①；②；③，其中正确的有（     ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 9．如图，正方形的边长为6，点E在边上，连接，作交的角平分线于点F，交于点H，连接交于点M．若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 10．已知整式，其中n，为正整数，，，，…，为非负整数．下列说法： ①若，则当时，满足条件的整式M共有4个； ②若，则当时，满足条件的整式M共有7个； ③若，且，则当且时，满足条件的整式M共有28个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．抛物线的对称轴是_________． 12．关于x的一元二次方程有两个实数根，则k的取值范围为_____． 13．如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 14．若实数x，y同时满足，，则的值为_____． 15．如图，在中，，，，D是边上一点，线段绕点D顺时针旋转得到，连结，若F是的中点，则的最小值为_________． 16．已知一个三位数正整数N的各数位上的数字互不相等且均不为0，若其十位数字与个位数字之和等于百位上的数字，则称数N为“博专数”．例如：数523，∵，∴523是“博专数”，数123，∵，∴123不是“博专数”，则最小的“博专数”为______；若将“博专数”的百位上的数字和个位上的数字对调，组成一个新的三位数记为，记，当被7除余2时，记，则当取得最大值时，“博专数”N为______． 三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 17．用适当的方法解下列方程： （1）； （2）． 18．如图，在中，为边上的高线． （1）尺规作图：过点E作直线的垂线，在垂线上截取一点M，点M在直线右侧，使得，连接（不要求写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）所作的图中，求证：四边形是平行四边形．（请补全下面的证明过程） 证明：∵为边上的高线， ∴， 又∵①_________， ∴． 在和中， ∴（③_________）， ∴④__________， ∵， ∴四边形是平行四边形． 四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上。 19．百度推出了“文心一言” AI聊天机器人（以下简称甲款），抖音推出了“豆包”AI聊天机器人（以下简称乙款）．有关人员开展了甲，乙两款AI聊天机器人的使用满意度评分测验，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（评分分数用x表示，分为四个等级：组不满意，B组比较满意，C组满意，D组非常满意），下面给出了部分信息： 抽取的对甲款AI聊天机器人的评分数据：60，65，65，71，74，76，80，82，84，84，85，85，92，92，92，92，96，96，97，98． 抽取的对乙款AI聊天机器人的评分数据中“满意”的数据：82，88，83，87，80，89 抽取的对甲，乙款AI聊天机器人的评分统计表 设备 平均数 中位数 众数 甲 83.3 84.5 c 乙 83.3 b 93 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表：a=_____，b=_____；c=_____； （2）通过以上数据分析，你认为甲，乙款AI聊天机器人中哪一款的使用满意度更好？请说明理由（写出一条即可）； （3）在此次测验中，共有2000人参加对甲，乙款AI聊天机器人使用满意度评分，估计此次测验中对AI聊天机器人非常满意的共有多少人？ 20．先化简，再求值：， 其中． 21．在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 22．如图，在矩形中，，，动点P以每秒2个单位长度的速度从点B出发，沿折线B→A→D方向运动；动点Q以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿射线方向运动．当点P追上点Q时，P、Q均停止运动．设运动时间为x秒，的面积为y． （1）请直接写出y关于x的函数表达式，并注明自变量x的取值范围． （2）在给定的平面直角坐标系中，画出函数y的图象，并写出函数y的一条性质． （3）结合函数图象，若直线与函数图象只有1个交点，请直接写出t的取值范围． 23．如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，A，C分别在x轴，y轴上，B在反比例函数的图象上，将矩形绕原点O按顺时针方向旋转，得到矩形，，，直线经过点，B． （1）求点B的坐标； （2）求直线与x轴的交点D的坐标； （3）根据图象，直接写出当时x的取值范围． 24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴是直线． （1）求抛物线的表达式； （2）点P是射线上方抛物线上的一动点，连接与射线交于点D，点M，N为抛物线对称轴上的动点（点N在点M的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点P的坐标及的最小值； （3）在（2）中取得最大值的条件下，将抛物线沿射线方向平移个单位长度得到抛物线，点E为点P的对应点，点F为抛物线上的一动点，G为x轴上一定点，且．若，请直接写出所有符合条件的点F的坐标，并写出求解点F的坐标的其中一种情况的过程． 25．在中，，D为平面内一点，连接，以为边作 ，使得，． （1）如图1，点D在内，当点E与点C重合时，，，求的值； （2）如图2，，点D在左上方，且B在的延长线上，连接 交于点P，Q为上一点，连接，若，求证：； （3）如图3，绕点D顺时针旋转恰好与重合，，，连接，点M为线段上靠近E的三等分点，连接，，直线交直线于点N，当面积取最大值时，请直接写出的面积． 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $