精品解析：新疆乌鲁木齐市第97中学(金英外国语学校)2026-2027学年第一学期第一次月考高二数学试题

乌鲁木齐市第97中学（金英外国语学校）2026-2027学年（第一学期）第一次月考 高二年级数学 命题教师：周静 试卷审核人：王中华 一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 3. 下列命题中正确的是 ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这 些面围成的几何体是棱锥； ③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面； ④棱锥的各侧棱长相等． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 4. 如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 5. 球的体积是，则此球的表面积是（ ） A. B. C. D. 6. 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是（ ） A. 相交 B. b∥α C. b⊂α D. b∥α或b⊂α 7. 如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和所成的角为 A. B. C. D. 8. 一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 下列关于棱柱的说法正确的是（ ） A. 所有的棱柱两个底面都平行 B. 所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行 C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 D. 棱柱至少有五个面 10. 已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（　　） A. 若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B. 若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D. 若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β 11. 已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PD⊥BD D. PA⊥BD 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 如图所示正方体中，与平面所成角的大小是______. 13. 已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积_________ 14. 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ． 四、解答题（共6题，共77分） 15. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 16. 如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面. 18. 如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 19. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点． （1）求证：平面PAC； （2）求证： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 乌鲁木齐市第97中学（金英外国语学校）2026-2027学年（第一学期）第一次月考 高二年级数学 命题教师：周静 试卷审核人：王中华 一、选择题（共8题，每题5分，共40分） 1. 已知，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由复数除法即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出集合后结合交集的定义可求. 【详解】，故， 故选：D. 3. 下列命题中正确的是 ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形，由这 些面围成的几何体是棱锥； ③四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面； ④棱锥的各侧棱长相等． A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据棱锥的定义和结构特点,分别判断四个选项即可. 【详解】由棱锥的定义,可知棱锥的各侧面都是三角形,故①正确； 有一个面是多边形,其余各面都是三角形,如果这些三角形没有一个公共顶点,那么这个几何体就不是棱锥,故②错； 四面体是由四个三角形所围成的几何体,因此四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故③正确； 棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,故④错． 综上可知,正确的有①③ 故选:B 【点睛】本题考查了棱锥的定义及结构特点,要有一定的空间想象能力,属于基础题. 4. 如图，是一个平面图形的直观图，若，则这个平面图形的面积是（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合斜二测法的转化关系，求出平面图形的底和高，即可求解. 【详解】由已知得中，直角边，，则平面图中该三角形，对应底面边长不变为，三角形的高应为，则平面三角形的面积为. 故选：C 5. 球的体积是，则此球的表面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先计算出球的半径，再计算表面积得到答案. 【详解】设球的半径为R，则由已知得，解得，故球的表面积. 故选： 【点睛】本题考查了圆的体积和表面积的计算，意在考查学生的计算能力. 6. 如果两直线a∥b，且a∥α，则b与α的位置关系是（ ） A. 相交 B. b∥α C. b⊂α D. b∥α或b⊂α 【答案】D 【解析】 【分析】由线面平行的判定定理，分析可判断 【详解】由a∥b，且a∥α，结合线面平行的判定定理， 知b与α平行或b⊂α. 故选：D 7. 如图，点分别是正方体的面对角线的中点，则异面直线和所成的角为 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】连接,中,,又,所以直线和所成的角即与所成角，故选C. 8. 一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出过球心的截面，利用勾股定理可求得球的半径，由球的体积公式可求得结果. 【详解】设球心为，截面圆心为，连接，则垂直于截面圆，如图所示， 在中，，， 球的半径，球的体积． 故选：B. 二、多选题（共3题，每题6分，共18分） 9. 下列关于棱柱的说法正确的是（ ） A. 所有的棱柱两个底面都平行 B. 所有的棱柱一定有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公共边互相平行 C. 有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱 D. 棱柱至少有五个面 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据棱柱的定义判断． 【详解】由棱柱的定义: 有两个面互相平行，其余各面都是四边形且相邻四边形的公共边互相平行的几何体是棱柱，知A、B正确的；对于C，如棱台，有两个面互相平行，其余各个面都是四边形，但它不是棱柱，所以C错误．三棱柱有五个面，棱柱有个面，D正确. 故选：ABD 10. 已知α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，下列说法中正确的是（　　） A. 若m⊥α，m∥n，n⊂β，则α⊥β B. 若α∥β，m⊥α，n⊥β，则m∥n C. 若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n D. 若α⊥β，m⊂α，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥β 【答案】ABD 【解析】 【分析】由线面垂直和平行的判定定理、性质定理，对选项进行一一判断，即可得答案； 【详解】由α、β是两个不同的平面，m、n是两条不同的直线，知： 在A中，由m⊥α，m∥n，得，又n⊂β，所以α⊥β，故A正确； 在B中，若α∥β，m⊥α，得，又n⊥β，所以m∥n，故B正确； 在C中，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m与n相交、平行或异面，故C错误； 在D中，若α⊥β，m⊂α，a∩β＝n，m⊥n， 则由面面垂直的性质定理得m⊥β，故D正确． 故选：ABD． 【点睛】本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面位置关系等基础知识，考查空间想象能力. 11. 已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，则下列结论中正确的是（ ） A. PB⊥BC B. PD⊥CD C. PD⊥BD D. PA⊥BD 【答案】ABD 【解析】 【分析】由矩形，得，若，则平面，又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直，不成立，故不正确． 【详解】解：矩形，矩形， ，故正确． 若，则平面， 又平面，则过平面外一面有两条直线与平面垂直， 故不正确，故不正确； 矩形， ，， 平面，，故正确； 矩形， 由三垂线定理得，故正确； 故选：． 三、填空题（共3题，每题5分，共15分） 12. 如图所示正方体中，与平面所成角的大小是______. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，找出直线在平面内的射影，确定直线与平面所成的角，再利用根据直角三角形的性质，求得其正弦值，进而求出角的大小. 【详解】如图，连接，交于点，连接，则是的中点，且， 又平面，平面，所以， 又，平面，平面， 所以平面，故为与平面所成的角， 在中，，所以， 即与平面所成角的大小为. 13. 已知圆锥的底面半径为1，高为，求圆锥的表面积_________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，求得母线长，即可用圆锥的表面积公式求得结果. 【详解】根据题意，求得母线长，即可用圆锥的表面积公式求得结果. 设圆锥的母线长为，则， 所以圆锥的表面积为. 故答案为：. 14. 正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为 ． 【答案】 【解析】 【详解】由题意可得：该三棱锥的三条侧棱两两垂直，长都为，所以三棱锥的体积. 考点：三棱锥的体积公式. 四、解答题（共6题，共77分） 15. 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G. 【答案】 证明：连接BC1，则由E，F分别是BC，CC1的中点，知EF∥BC1. 又ABA1B1D1C1，所以四边形ABC1D1是平行四边形， 所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1. 又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G， 所以EF∥平面AD1G. 【解析】 【分析】连接BC1，由四边形ABC1D1是平行四边形，可得BC1∥AD1，进而EF∥BC1，利用线面平行的判定定理证得命题成立. 【详解】略 【点睛】本题考查线面平行的判定定理,考查学生的直观想象能力与逻辑思维能力,属于基础题. 16. 如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形. 【答案】 用平行于棱AB，CD的平面截此四面体， 可得平面，平面， 又平面平面，平面平面， 则，，即， 同理可证， 所以截面MNPQ是平行四边形. 【解析】 【分析】利用线面平行的性质定理，，即证. 【详解】略 17. 如图，四棱锥的底面是正方形，平面，求证：平面. 【答案】证明：∵底面是正方形，. 平面，平面， . 又，平面，平面. 平面. 【解析】 【分析】要证平面，即证平面内的两条相交直线，显然，再寻找一条直线垂直于，由平面可得，从而得证本题。 【详解】略. 【点睛】本题考查了线面垂直的判定定理，证明的关键是对定理中的每一条件都要证明到位。 18. 如图，在正方体中，求直线和平面所成的角. 【答案】 【解析】 【分析】根据正方体性质作出直线和平面所成角的平面角，即可求得结果. 【详解】设正方体的棱长为a. 易知，，，平面， 所以平面， 又平面，所以. 又易知，，平面， 可得平面. 因此为斜线在平面上的射影，即为和平面所成的角， 在中，，，， 可得. 所以. 即直线和平面所成的角为30°. 19. 如图，在三棱锥P－ABC中，底面ABC，，D，E分别是AB，PB的中点． （1）求证：平面PAC； （2）求证： 【答案】（1） ∵点D、E分别是棱AB、PB的中点， ∴， 又∵平面，平面； ∴平面． （2） ∵底面，底面， ∴， ∵，，平面， ∴平面， 又∵平面， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线的性质得到，即可得证； （2）由线面垂直的性质得到，再根据，即可得到平面，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $