精品解析：新疆维吾尔自治区昌吉回族自治州第一中学2026-2027学年高二上学期10月质量监测数学试题

昌吉州一中2026-2027学年第一学期10月质量监 高二学年第一学期第一次月考数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 3. 已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 4. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，，为平面内异于，的两点.若的中点在上，且，，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 8. 在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论不正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 直线恒过定点 D. 方程可以表示平面内所有过点的直线 10. 已知圆和圆，则（ ）． A. 圆的半径为4 B. y轴为圆与的公切线 C. 圆与公共弦所在的直线方程为 D. 圆与上共有3个点到直线的距离为1 11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交所得弦长是 B. 的最大值是 C. 圆上恰有个点到直线的距离等于 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 13. 若直线和直线将圆的周长四等分，则______． 14. 若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知三点. （1）若直线过点且与直线BC垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，求直线的方程. 16. 已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线相交于、两点，且，求直线的方程. 17. 如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过三点. （1）求圆C的一般方程; （2）在圆C区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 18. 已知一动圆C与圆外切，与圆内切， （1）求动圆圆心C的轨迹方程. （2）设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 19. 已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州一中2026-2027学年第一学期10月质量监 高二学年第一学期第一次月考数学试卷 时间：120分钟 分值：150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知直线l经过点，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设直线l的倾斜角为θ，先求出直线的斜率，结合直线的斜率与倾斜角的关系，分析可得答案. 【详解】根据题意，设直线的倾斜角为，直线经过点 , 则直线的斜率 , 则有 , 而 ，则有 . 故选: A 2. 若是一个圆的方程，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆的一般方程满足条件来求解即可. 【详解】因为是一个圆的方程， 所以，由得: ， 解得， 故选：C. 3. 已知椭圆方程为，椭圆上的点到左焦点的最大值为3，最小值为1，则椭圆方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合椭圆的性质可分别求得的值，即可得到结果. 【详解】椭圆上的点到左焦点的最大值为，椭圆上的点到左焦点的最小值为， 联立，解得，， 根据，得，则椭圆方程是. 故选：D. 4. 圆：与圆：的公切线有且仅有（ ） A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 【答案】B 【解析】 【分析】将两圆方程化为标准方程，通过两圆的圆心距及半径关系，判断两圆的位置关系即可求解． 【详解】解：圆，则圆心，半径， 圆，则圆心，半径， 得两圆的圆心距为：， 则， 得两圆相交，得两圆的公切线有且仅有2条． 故选：B 5. 已知直线：和直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线平行求得或，再结合包含关系分析充分、必要条件. 【详解】若，则，解得或， 若，则直线：、直线：，可知； 若，则直线：、直线：，可知； 综上所述：或. 因为是的真子集， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 6. 已知直线：，若直线与连接，两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出直线所过定点的坐标，数形结合可求出直线的斜率的取值范围，即可得出直线的倾斜角的取值范围． 【详解】直线的方程可化为，由，可得， 所以，直线过定点， 设直线的斜率为，直线的倾斜角为，则 因为直线的斜率为，直线的斜率为， 因为直线经过点，且与线段总有公共点， 将代入方程： 可得：不成立，不在直线上， 所以，即， 因为所以或 故直线的倾斜角的取值范围是． 故选：D． 7. 已知椭圆的左右焦点分别为，，，为平面内异于，的两点.若的中点在上，且，，则（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，，依题意可得，分别是和的中位线，即可得到，，再根据椭圆的定义计算可得. 【详解】如图所示，连接，，，， ，分别为线段，的中点， 为的中点， ，分别是和的中位线， ，， 在上，， . 故选：D. 8. 在平面直角坐标系中，记动点P为，若点P在直线上，则的最小值为（   ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】过点作点关于直线的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于直线的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为的最小值，此时与重合. 又，所以的最小值为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论不正确的有（ ） A. 直线在轴上的截距为1 B. 如果，那么直线不经过第三象限 C. 直线恒过定点 D. 方程可以表示平面内所有过点的直线 【答案】BD 【解析】 【分析】求出横截距判断A；求出直线横纵截距的正负判断B；求出直线恒过的点判断C；由直线点斜式方程的意义判断D. 【详解】对于A，当时，，即直线在轴上的截距为1，A正确； 对于B，由，得直线的斜率，纵截距， 因此直线不经过第四象限，B错误； 对于C，直线，即恒过定点，C正确； 对于D，方程不能表示平面内过点垂直于的直线，D错误. 故选：BD 10. 已知圆和圆，则（ ）． A. 圆的半径为4 B. y轴为圆与的公切线 C. 圆与公共弦所在的直线方程为 D. 圆与上共有3个点到直线的距离为1 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A项，将圆的方程化成标准式即得；对于B项，判断圆心到直线的距离等于圆的半径即得；对于C项，只需将两圆方程相减化简，即得公共弦直线方程；对于D项，需要结合图像作出两条和已知直线平行且距离等于1的直线，通过观察分析即得. 【详解】对于A，圆化为标准方程为，则圆的半径为2，故A错误． 对于B，因为圆心到y轴的距离为1，等于圆的半径， 所以圆与y轴相切， 同理圆心到y轴的距离等于圆的半径， 所以圆与y轴相切，故y轴为圆与的公切线，故B正确． 对于C，将与左右分别相减，得圆与的公共弦所在的直线方程为，故C正确． 对于D，如图， 因为直线同时经过两圆的圆心， 依题意可作两条与该直线平行且距离为1的直线与， 其中与和圆都相切，各有一个公共点， 与和圆都相交，各有两个交点， 故圆与上共有6个点到直线的距离为1，故D错误. 故选：BC. 11. 已知圆，点是圆上的点，直线，则（ ） A. 直线与圆相交所得弦长是 B. 的最大值是 C. 圆上恰有个点到直线的距离等于 D. 过点向圆引切线，为切点，则最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】根据点到直线的距离判断弦长及圆上的点到直线的距离，根据的几何意义可得最值，再根据切线长的计算公式可得最值. 【详解】 如图所示， 由已知圆，则圆心，半径， A选项：圆心到直线的距离， 则弦长为，A错； B选项：可表示点与点连线的斜率， 易知当直线与圆相切时，斜率取得最值， 设斜率，则直线，即， 则，解得， 所以，其最大值为，B错； C选项：，，所以圆上恰有个点到直线的距离等于，正确； D选项：由圆可知圆心，半径， 由切线长可知， 所以当取得最小值时，取最小值， 又，即的最小值为， 所以的最小值为，D选项正确； 故选：CD. 【点睛】结论点睛：常见的非线性目标函数的几何意义： （1）：表示点与点连线的斜率； （2）：表示点到点的距离； （3）：表示点到直线的距离的倍. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 13. 若直线和直线将圆的周长四等分，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】由已知可得两直线互相垂直，进而可得圆心在两直线上，进而可得解. 【详解】由圆，可知圆心为， 又直线和直线互相垂直， 且两直线将圆的周长四等分， 则圆心在两条直线上， 即，解得， 所以， 故答案为：. 14. 若曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】将曲线方程化为半圆方程，求直线定点为，作草图确定由两个交点的临界位置，即可求解参数取值范围. 【详解】如图， 化简曲线得：， 表示以为圆心，1为半径的圆的上半圆. 直线经过定点且斜率为， 半圆与直线有两个交点， 设直线与半圆的切线为，半圆的左端点为， 当直线的斜率大于的斜率且小于或等于的斜率时， 直线与半圆有两个相异的交点，由点到直线的距离公式， 当直线与半圆相切时满足， 解之得，即， 又因为直线的斜率， 所以直线的斜率的范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在平面直角坐标系中，已知三点. （1）若直线过点且与直线BC垂直，求直线的方程； （2）若直线经过点，且在轴上的截距是轴上截距的倍，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）先求得直线的斜率，再根据两直线垂直斜率关系结合点斜式求解即可； （2）分析当截距均为时的情况，再设直线方程为，根据直线经过点求解即可. 【小问1详解】 由可得直线的斜率为， 因，故直线的斜率为， 则直线的方程为，即 【小问2详解】 当截距均为时，直线方程为，符合题意， 当截距不为时，不妨设直线方程为， 又直线经过点，故，即，所以直线方程为， 综上，所求直线方程为或. 16. 已知两个定点、，动点满足，设动点的轨迹为曲线， （1）求曲线的方程； （2）过点的直线与曲线相交于、两点，且，求直线的方程. 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）结合两点距离公式求轨迹方程即可； （2）根据圆中的弦长公式结合点斜式计算即可. 【小问1详解】 设，则， 因为，则， 整理得， 即曲线的方程为：； 【小问2详解】 不妨设，如上图所示，设曲线是以为圆心的圆， 由（1）知，半径为， 取中点C，则， 由，则， 即圆心到直线的距离，解之得或， 所以的方程为：或. 17. 如图，某海面上有三个小岛（面积大小忽略不计），A岛在岛的北偏东方向距岛千米处，岛在岛的正东方向距岛20千米处.以为坐标原点，的正东方向为轴的正方向，1千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆经过三点. （1）求圆C的一般方程; （2）在圆C区域内有未知暗礁，现有一船在岛的南偏西方向距岛40千米处，正沿着北偏东方向行驶，若不改变方向，试问该船有没有触礁的危险？ 【答案】（1）； （2）该船没有触礁的危险. 【解析】 【分析】（1）由图中坐标系得坐标，设出圆的一般方程，代入三点坐标求解即得圆的一般方程. （2）先求出航行方向所在直线方程，再求出圆心到直线的距离，与半径比较可得． 【小问1详解】 依题意，， 设过O、A、B三点的圆C的方程为， 则有，解得， 所以圆C的方程为， 【小问2详解】 由（1）知，圆C的圆心，半径， 依题意，该船初始位置为点，且该船航线所在直线l的斜率为， 则该船航线所在直线的方程为，即， 圆心C到直线l的距离，则直线与圆相离， 所以该船没有触礁的危险. 18. 已知一动圆C与圆外切，与圆内切， （1）求动圆圆心C的轨迹方程. （2）设动圆圆心轨迹上的点为P，定点，求的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求得圆和的圆心坐标和半径，根据题意，得到，，进而得到，结合椭圆的定义，即可求解； （2）由（1）得到椭圆的左焦点，根据椭圆的定义，转化为,结合三角形边的性质，即可求解. 【小问1详解】 解：由圆的圆心为，半径为 圆的圆心为，半径为， 设动圆圆心为，半径为， 因为圆与圆相外切，与圆相内切，则，， 两式相加，可得 所以动圆圆心的轨迹是以为焦点的椭圆，且， 可得，则， 所以椭圆的轨迹方程为. 【小问2详解】 解：由（1）知，椭圆的方程为，可得左焦点，且， 又由椭圆的定义，可得，即， 所以, 如图所示，当且仅当三点共线时，等号成立， 所以的最大值为. 19. 已知圆：和点，为圆外一点，直线与圆相切于点，. （1）求点的轨迹方程； （2）记（1）中的点的轨迹为，是否存在斜率为的直线，使以被曲线截得得弦为直径得圆过点？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据圆的切线性质，结合两点间距离公式进行求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数关系，结合直径所对圆周角为直角的性质、互相垂直两直线的斜率关系进行求解即可. 【小问1详解】 设点坐标为，直线与圆相切于点， 则，所以， 即， 化简得. 【小问2详解】 设直线方程为，点，. 联立方程，得， 所以. 因为以为直径得圆过点，则， 即， 化简得， 代入根与系数关系中，得， 解得或， 故直线的方程为或. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直径所对圆周角为直角、一元二次方程根与系数关系进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $