精品解析：陕西西安高新唐南中学2026-2027学年度第一学期高二年级第一次质量检测数学试卷

高二第一学期第一次数学检测 （本试卷共4页，在答题卷规定区域作答，写在范围外的答案无效，满分150分） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 复数（ ） A. 1 B. i C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数除法的分母实数化规则，分子分母同乘分母的共轭复数，化简即可得到结果. 【详解】. 2. 设直线.若，则（ ） A. 0或1 B. 0或-1 C. 1 D. -1 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线垂直可得出关于实数的等式，即可解得实数的值. 【详解】因为，则， 解得或. 故选：A. 3. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据偶函数性质，利用特殊值法求出值，再检验即可. 【详解】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数. 故选：B. 4. 与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出已知双曲线的焦点参数，设所求双曲线的标准方程，结合过已知点的条件联立求解参数即可. 【详解】 对于双曲线，得， 设所求双曲线方程为， 因为所求双曲线与双曲线有公共焦点，所以 将点代入得：， 将代入上式，去分母整理得： . 可得，，符合题意. 因此所求双曲线方程为. 5. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由的象限，求得和的值，然后利用二倍角公式化简代数式，即可求得答案. 【详解】因为，且是第二象限的角，则． 所以. 故选： B． 6. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助椭圆定义可得，再借助两点间距离公式计算即可得. 【详解】如图，取椭圆右焦点，则， 则由椭圆定义可知， 则， 当且仅当、、三点共线，且在之间时取等， 故的最大值为. 故选：A. 7. 已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】设内切圆圆心为，三个切点分别为，由切线长定理可得，进而可得，设，利用余弦定理可得，利用三角形面积公式可得，进而得，利用勾股定理可求离心率. 【详解】设内切圆圆心为，三个切点分别为， 如图，由切线长定理可得， 即 ，圆与轴切于左端点．内切圆半径． 设，， ， •， ，，， 由勾股定理，整理得， 所以，解得，即或（舍去）， 所以. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 如图，在正四棱柱中，，E，F分别是，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面 【答案】AB 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法逐一判断各选项中线面平行、线线垂直及线面垂直的关系. 【详解】以点为原点，，，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 设，则，则，，，，，，，， 因为，分别是，的中点， 所以，， 选项A：，， 所以，即， 又平面，平面， 所以平面，故选项A正确； 选项B：，， ， 所以，故选项B正确； 选项C：，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，，所以， 又， ， 所以与平面不平行，故选项C错误； 选项D：，， 设平面的法向量为， 则， 取，则，所以. 又， 与不共线， 所以不垂直于平面，故选项D错误. 10. 已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积是 B. 的内切圆的半径为 C. 点M的纵坐标为2 D. 若点P是C上的一动点，则的最大值为6 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据椭圆定义，余弦定理，三角形面积公式可求得答案；对B，在A选项基础上，，可求得；对C，在A选项基础上，由可求得；对D，由向量可得，，两式平方化简得，当最大时，得解. 【详解】如图所示，令 A选项，设，，由椭圆定义得， 又由余弦定理可得，解得，，故A选项正确； B选项，由，可得：，故B选项正确； C选项，由，可得：，即，故C选项错误； D选项，因为，所以，即，① 同理，，可得，②两式相减可得， ，故D选项正确． 故选：ABD. 11. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】可设，，，则结合辅助角公式计算可得A、B；设，则可结合直线与圆的位置关系计算得C；可以看作是圆上某点到原点的距离的平方，则可借助原点到圆心的距离加半径的平方得D. 【详解】因为圆，则， 设，，， 对A：， 所以当时，的最大值为，故A正确； 对B：， 所以当时，的最大值为，故B错误； 对C：设，则，圆， 圆心，半径为，则圆心到直线的距离小于等于半径，， 所以，计算得， 所以的最大值为，故C正确； 对D：可以看作是圆上某点到原点的距离的平方， ，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知向量，则_________. 【答案】7 【解析】 【分析】用向量的模长公式和数量积计算即可. 【详解】已知向量,则, 又 ,即, 又 ,则,即, 故答案为: 7 . 13. 若则的最小值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】换元设再代入利用基本不等式即可. 【详解】设,,则,当且仅当时等号成立.故的最小值为 故答案为 【点睛】本题主要考查换元求基本不等式的最值问题,属于基本题型. 14. 已知椭圆，直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点，若为定值，则实数t的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】联立直线与椭圆方程，借助韦达定理表示出两向量的数量积，令数量积与参数无关即可求解的值. 【详解】由题可知，直线：恒过定点， 所以直线与椭圆C 必有两个交点， 联立，整理得：， 设，，由韦达定理得：，， 向量，， 所以， 又，， 故， 所以 ， 因为为定值，所以，解得. 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦和角公式得即可求. （2）利用正弦型函数的性质即可. 【小问1详解】 因为， 所以. 所以． 【小问2详解】 因为，所以． 所以． 当，即时，取得最大值． 所以在区间上的最大值为． 16. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 【答案】（1）或； （2）. 【解析】 【分析】（1）求出圆心与半径，当过点的直线斜率不存在时为，当过点的直线存在斜率k时，设，利用点到直线的距离转化求解直线的斜率，推出直线方程； （2）利用圆心到直线的距离，再应用圆的弦长公式列方程求解. 【小问1详解】 由题意，圆心的坐标为，半径，且，即点在圆外， 当过点的直线斜率不存在时，直线为，显然与圆相切， 当过点的直线存在斜率k时，设，即， 由题意知，解得，直线l的方程为， 故过点M的圆的切线方程为或. 【小问2详解】 圆心到直线的距离为，则， 所以，解得. 17. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明：建立如图所示空间直角坐标系： 则， ， 所以，易知平面ABCD的一个法向量为：， 又，且平面， 所以平面； （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得，易知平面ABCD的一个法向量为：，由证明； （2）求得平面的一个法向量，设直线与平面所成的角为，由求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知：， 设平面的一个法向量为：， 则，即， 令，得，则， 设直线与平面所成的角为， 所以. 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）由题，联立方程组求出a，b即可得解； （2）①将直线与椭圆联立，得到韦达定理式，再根据共线向量得到，代入计算即可；②利用弦长公式和点到直线的距离公式得到面积表达式，再利用换元法及二次函数得到其范围即可． 【小问1详解】 由题可得：，解得：， 所以椭圆的方程为：； 【小问2详解】 设直线交于，两点，点在椭圆内， ①若直线的斜率不存在，易得，，不满足， 故设直线的方程为， 联立，化简得：， 所以，（1）， 又，，， 所以（2）， 由（1）（2）两式解得：，所以直线的方程为； ②当直线的斜率不存在时，直线与的交点为，，则， 当斜率为0时，直线过点，故不能构成三角形， 当斜率存在且不为0时， 由①知， ， 点到直线的距离， 所以， 令，则，， 则， ， 因为，所以， 综上，的面积的取值范围为． 【点睛】关键点睛：本题主要考查了直线与椭圆相交问题以及椭圆中三角形面积范围问题，难度较大，解答本题的关键在于联立直线与椭圆方程，结合韦达定理以及三角形面积公式代入计算. 19. 已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为，． ①求证：为定值； ②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①由题意及（1）证明如下， 直线，的方程分别为， 设椭圆的“卫星圆”的圆心为， 因为直线，为“卫星圆”的两条切线， 则， 化简得，， 所以，为方程的两根， 故， 又因为， 所以， ∴为定值. ②是定值，定值为 【解析】 【分析】（1）由已知条件列方程组求出，可得椭圆C的标准方程； （2）设直线，的方程，由相切列等式利用韦达定理求；直线方程与椭圆方程联立，表示出，利用已知条件化简即可. 【小问1详解】 依题意得，解得， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 ①略. ②设，由 ，，解得， ，由于，所以， 得， 所以为定值． 【点睛】方法点睛： 解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为0或不存在等特殊情形．强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二第一学期第一次数学检测 （本试卷共4页，在答题卷规定区域作答，写在范围外的答案无效，满分150分） 一、单选题（本大题共8小题，共40分） 1. 复数（ ） A. 1 B. i C. D. 2. 设直线.若，则（ ） A. 0或1 B. 0或-1 C. 1 D. -1 3. 若为偶函数，则（ ）． A. B. 0 C. D. 1 4. 与双曲线有公共焦点，且过点的双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且是第二象限的角，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是椭圆的左焦点，为椭圆上任意一点，点，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 已知分别是双曲线的左、右焦点，是左支上一点，且的面积为，若的内切圆与轴相切，则双曲线的离心率（ ） A. B. C. 2 D. 二、多选题（本大题共3小题，共18分） 9. 如图，在正四棱柱中，，E，F分别是，的中点，则（ ） A. 平面 B. C. 平面 D. 平面 10. 已知，是椭圆C：的左右焦点，点M在C上，且，则下列说法正确的是（ ） A. 的面积是 B. 的内切圆的半径为 C. 点M的纵坐标为2 D. 若点P是C上的一动点，则的最大值为6 11. 已知圆，则下列说法正确的是（ ） A. 的最大值为 B. 的最大值为 C. 的最大值为 D. 的最大值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12. 已知向量，则_________. 13. 若则的最小值为___________. 14. 已知椭圆，直线与椭圆C交于不同的两点A，B，点，若为定值，则实数t的值为______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 15. 已知函数． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值． 16. 已知点，圆. （1）若过点的直线l与圆相切，求直线的方程； （2）若直线与圆相交于两点，弦的长为，求a的值. 17. 如图，在直四棱柱中，底面是正方形，，，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值. 18. 已知椭圆的短轴长为，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线交于M，N两点， ①若，求直线的方程； ②若点，求的面积的取值范围． 19. 已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成的四边形的面积为． （1）求椭圆C的标准方程； （2）我们称圆心在椭圆C上运动，半径为的圆是椭圆C的“卫星圆”，过原点O作椭圆C的“卫星圆”的两条切线，分别交椭圆C于A，B两点，若直线OA，OB的斜率存在，记为，． ①求证：为定值； ②试问是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $