期中复习压轴专题01 选择填空题分类训练（15种类型60道）（压轴题专项训练）数学新教材苏科版九年级上册

期中复习压轴专题01 选择填空题分类训练 （新苏科版九年级，15种类型60道） 范围：第1章（一元二次方程）—第3章（圆） 知识点一 一元二次方程的实数根 1.一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 2. 如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D． 3.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 4.设，是方程的两个根，___________． 知识点二 圆周角定理 1.如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2.如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 3.如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 4.如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 知识点三 一元二次方程增长率问题 1.习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 2.某商场9月份的营业额为万元，11月份营业额达到万元，如果每月营业额的平均增长率相同，设平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 3.随着国家抑制房价政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为_____． 4.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为_________． 知识点四 割圆术 1.历史上，我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为． 实际上，由圆的周长，可得 ， 即求圆周率的问题在某种意义上就可归结为求圆的周长，而圆的周长C是可以用圆内接正多边形的周长来近似代替的，因为当圆的内接正多边形的边数不断增加时，它的周长就越来越接近圆的周长．如图，的半径为1，若以圆内接正十边形的周长近似估计的周长，可得的估计值为（     ） A． B． C．3．14 D．3 2.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（    ） A． B．3 C．3.14 D．3.13 3.我国数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”：用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为______． 4.刘徽是中国古代卓越数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，的半径为6，则的内接正六边形的面积为________．（结果保留根号） 知识点五 圆的计算 1.如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 2.如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 3.如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 4.如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 知识点六 反比例函数的增减性 1.若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2.在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 3.若点、是反比例函数图象上的两点，那么_______ ． 4.点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是________（用“”连接） 知识点七 反比例函数“k”的几何意义 1.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 2.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（     ） A． B．1 C． D．2 3.如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 4.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 知识点八 一次函数与反比例函数交点问题 1.如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 2.若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 3.已知直线与双曲线 的交点为，那么代数式的值为_________． 4.直线与双曲线交于，两点，则________． 知识点九 圆的外接圆与内切圆 1.我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 2.等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（    ）． A． B． C． D． 3.如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．    （1）外接圆的直径的最小值是______； （2）内切圆的半径的最大值是______． 4.今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，则该直角三角形的内心与外心的距离是__________步（注：“步”为长度单位）． 知识点十 反比例函数设参求解 1.反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大 2.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3.如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是___． 4.如图，矩形的边和均在坐标轴上，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点D，且与，分别交于点E和点F．若矩形的面积为6，则的面积为________． 知识点十一 反比例函数不等式求解集 1.一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 2.函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 3.如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 4.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 知识点十二 圆中动点相切求t与轨迹 1.如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在射线上，且与点的距离为，如果以的速度沿由向的方向移动，点与直线相切时，的值为（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．6或10 2.某半径为1的圆形游乐设施在运行过程中，圆心从A点运动至B点．若该设施的运动轨迹可看作双曲线在第一象限的部分，与轴相切、与轴相切．若此时的直线距离，那么圆心的运动轨迹满足的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 3.在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点是直线上的点，半径为1的的圆心从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，设点运动的时间为秒，则当______秒时，与y轴相切． 4.如图，半圆的直径，在中，，，，半则以的速度从左向右运动．在运动过程中，点始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．当的一边与半圆相切时，的值为___________． 知识点十三 圆的最值问题 1.如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 2.如图，在中，，，点为三角形内部一点，连接，，且满足，点为边上一动点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3.如图，，，，，在上，，动点在线段上，以为直径作，为弧中点则的最小值为______． 4.如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． 知识点十四 圆中的函数表达式与图像 1.如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（   ） A． B． C． D． 2.如图，为半圆所在的直径，弦为定长且小于的半径（点与点不重合），交于点，交于点，为半圆弧上的中点．当点在上运动时，设的长为，．则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 3.如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为____________________． 4.如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为__________ 知识点十五 圆中的取值范围问题 1.如图，正方形和的边长分别是2和5，将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2.如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 3.如图，四边形内接于，，，，弦与交于点．若，设点到点的距离为，则的取值范围是_______． 4.如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是_____． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期中复习压轴专题01 选择填空题分类训练 （新苏科版九年级，15种类型60道） 范围：第1章（一元二次方程）—第3章（圆） 知识点一 一元二次方程的实数根 1.一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【答案】C 【详解】解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 2. 如果关于x的方程有两个实数根，那么k的取值范围是（     ） A．且 B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】方程有两个实数根，说明这是一元二次方程，首先二次项系数不能为0，再利用一元二次方程根的判别式列不等式，联立求出的取值范围． 【详解】解：方程有两个实数根， ，． ． ， ， 解得． ∴得且． 3.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】 且 【分析】一元二次方程要求二次项系数 ，两个不相等的实数根等价于 ，联立求交集，即可求解． 【详解】解：∵ 方程 是关于 的一元二次方程， ∴ ． 又∵ 方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 即 ，化简得 ， ∴ ． ∴ 的取值范围是 且 ． 4.设，是方程的两个根，___________． 【答案】 【分析】先利用一元二次方程根与系数的关系得到两根和与两根积，再将所求式子变形后代入计算即可． 【详解】解：∵ ，是方程的两个根， ∴，， ∴． 知识点二 圆周角定理 1.如图，是的直径，弦交于点E，连接、．若，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用直角三角形的两个锐角互余可得，然后利用同弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 2.如图，已知四边形内接于，，则的大小是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因为四边形内接于，所以根据圆内接四边形对角互补的性质，可求出的度数．因为是对应的圆心角，是对应的圆周角，所以根据圆周角定理，可得到与的数量关系，进而求出的大小． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴ ∴ 3.如图，四边形是圆的内接四边形，是圆直径，点为半径上一点，连接并延长交圆于点，连接，若，则的度数为___________． 【答案】/度 【分析】连接,则为直角，可以求出的值，根据同弧所对的圆周角相等，即可求出的值． 【详解】解：连接,如图所示． ∵是圆直径， ∴为直角， ∴， ∴, ∵圆周角与圆周角所对同一段弧， ∴, ∴． 4.如图，四边形是的内接四边形，与的延长线交于点，与的延长线交于点，，，则的度数为________． 【答案】/52度 【分析】根据三角形外角的性质可求出，根据圆内接四边形的性质可求出，最后再次利用三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵，， ∴． ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴． 知识点三 一元二次方程增长率问题 1.习总书记说：读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．我校为响应全民阅读活动，校园图书角面向师生全天开放．据统计，开学第一周的图书借阅500人次，第三周的图书借阅845人次，若借阅人次的周平均增长率为x，依题意可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】明确第一周到第三周共经历2次增长，结合增长率关系列方程. 【详解】解：∵第一周借阅人次为500，周平均增长率为x， ∴第二周借阅人次为，第三周借阅人次为. ∵第三周借阅人次为845， ∴可列方程. 2.某商场9月份的营业额为万元，11月份营业额达到万元，如果每月营业额的平均增长率相同，设平均增长率为，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据营业额的增长情况构造方程即可． 【详解】解：设平均增长率是，则该商场10月份的营业额为万元，11月份的营业额为万元， 依题意，得． 3.随着国家抑制房价政策的出台，某楼盘房价连续两次下跌，由原来的每平方米元降至每平方米元，设每次降价的百分率相同，则降价百分率为_____． 【答案】 【分析】设每次降价的百分率为，则第一次降价后的单价是原价的，第二次降价后的单价是原价的，根据题意列方程解答即可． 【详解】解：设降价百分率为， 则有：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：降价百分率为． 4.为了加快数字化城市建设，某市计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩，设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为，根据题意，列出方程为_________． 【答案】 【分析】由平均增长率问题的解法直接求解即可． 【详解】解：由题意可得． 知识点四 割圆术 1.历史上，我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为． 实际上，由圆的周长，可得 ， 即求圆周率的问题在某种意义上就可归结为求圆的周长，而圆的周长C是可以用圆内接正多边形的周长来近似代替的，因为当圆的内接正多边形的边数不断增加时，它的周长就越来越接近圆的周长．如图，的半径为1，若以圆内接正十边形的周长近似估计的周长，可得的估计值为（     ） A． B． C．3．14 D．3 【答案】A 【分析】在上取一点C，连接，使得，根据题意可得，据此可证明，再证明，可得，设，则，证明，得到，即，解方程即可得到答案． 【详解】解：如图所示，在上取一点C，连接，使得， 由题意得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，即， 解得（已检验）或（舍去）， ∴， ∴． 2.我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，其核心是通过圆内接正多边形的面积逐步逼近圆的面积，以此实现对的近似估算．他由正六边形开始，逐次倍增边数，当计算到圆内接正十二边形时，如图，设定⊙O的半径为1，将圆内接正十二边形分成十二个全等的三角形，每个三角形的顶角为，将这十二个全等三角形的面积之和作为面积的近似值．据此计算，可得的估计值为（    ） A． B．3 C．3.14 D．3.13 【答案】B 【分析】本题考查了正多边形与圆，三角形的面积的计算，含30度角的直角三角形性质． 根据正十二边形的性质求出中心角的度数，再根据直角三角形的边角关系求出，进而求出三角形的面积，求出正十二边形的面积即是圆的面积即可． 【详解】解：如图，设是正十二边形的一边，过点A作，垂足为M， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴正十二边形的面积为， 即的面积为3， 此时． 故选：B． 3.我国数学家刘徽在《九章算术注》中提出了著名的“割圆术”：用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积，并以此求取圆周率的方法．刘徽指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径为2，运用“割圆术”，以圆内接正六边形面积估计的面积，，所以的面积近似为，由此可得的估计值为，若用圆内接正十二边形估计的面积，可得的估计值为______． 【答案】3 【分析】本题主要考查了正多边形与圆，直角三角形的性质， 先画出图形，并作，可求出中心角，再根据“含直角三角形的性质”得，然后求出，即可得正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点M， 是正十二边形的一条边，点O是正十二边形的中心，设的半径是2， 在正十二边形中，， 在中，， ∴， ∴正十二边形的面积为， ∴， 解得， ∴的近似值为． 故答案为：． 4.刘徽是中国古代卓越数学家之一，他在《九章算术》中提出了“割圆术”，即用内接或外切正多边形逐步逼近圆来近似计算圆的面积．如图，的半径为6，则的内接正六边形的面积为________．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查正多边形与圆、勾股定理等，正确应用正六边形的性质是解题关键．连接、，根据正多边形和圆的关系可判断出为等边三角形，过点作于点，再利用勾股定理即可求出长，进而可求出的面积，最后利用的面积约为即可计算出结果． 【详解】解：如图，连接、， 由题意可得：， ， 为等边三角形， ， 过点作于点，则， 在中，， ， 的面积约为． 故答案为：． 知识点五 圆的计算 1.如图所示，一个蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱两部分组成，已知圆锥的高与底面圆的半径相等，底面圆的直径，则圆锥的侧面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点P作于点E，根据勾股定理求出的长，再根据圆锥侧面积公式求解即可． 【详解】解：过点P作于点E，如图： 由题意得，， ∴ ， ∴ ． 2.如图，从一块直径是2的圆形铁皮上剪出一个扇形，将此扇形围成一个圆锥，则圆锥底面圆的半径是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用圆周角定理得到，利用勾股定理求得，设该圆锥底面圆的半径为r，根据扇形的弧长等于圆锥底面的周长，结合弧长公式列方程求解r值即可． 【详解】解：由图可知为的直径， ∴， 由题意，，， 由得， 设该圆锥底面圆的半径为r， 则，解得，即该圆锥底面圆的半径为． 3.如图，四边形是的内接四边形，的半径为4，的长为，则的大小是______． 【答案】/45度 【分析】连接，，根据弧长公式求出，再根据圆周角定理求出． 【详解】解：如图，连接，， 设， ∵的长为， ∴， ∴， ∴， ∴． 4.如图，圆锥的高为12，母线长为13，则该圆锥的侧面积为________． 【答案】 【分析】先求出底面圆的半径，再由圆锥的侧面积公式计算． 【详解】解：圆锥的高为12，母线长为13， 圆锥的底面圆的半径， 该圆锥的侧面积为． 知识点六 反比例函数的增减性 1.若点，，在反比例函数的图象上，则的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将点代入反比例函数得：， 同理可得：，， ∵， ∴． 2.在函数（m是常数）的图象上有三点、、，已知，则下列各式中正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，再结合自变量的取值范围，利用函数的增减性与象限特征比较函数值大小． 【详解】解：∵， ∴， ∴函数的图象在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大． ∵， ∴点，在第二象限的图象上， ∴． ∵， ∴点在第四象限的图象上， ∴， ∴． 3.若点、是反比例函数图象上的两点，那么_______ ． 【答案】< 【分析】利用函数解析式求出函数值，然后进行比较大小即可． 【详解】解：将点、代入反比例函数可得， ， ∴． 4.点、、都在反比例函数的图象上，则、、的大小关系是________（用“”连接） 【答案】 【分析】根据解析式判断函数图象经过的象限和在每个象限内的增减性，再根据三个点的横坐标可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大， ∵点、、都在反比例函数的图象上，且， ∴点和在第二象限，点在第四象限， ∴． 知识点七 反比例函数“k”的几何意义 1.如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，顶点B，C分别在y轴的正半轴、x轴的正半轴上，对角线轴．则菱形的面积为（     ） A．3 B．12 C． D．6 【答案】D 【分析】过点D作轴于点E，根据k的几何意义可得，，根据菱形的性质以及三角形的面积可得 k，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E， 对角线轴， , 四边形是矩形， ， k， ∵菱形的顶点A，D都在反比例函数的图象上，， ． 2.如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于、两点，过作轴于点，连接，则的面积为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】由点A与点C关于原点对称得到，再根据反比例函数的比例系数的几何意义即可求出答案． 【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象相交于A、C两点， ∴点A与点C关于原点对称， ∴， ∵作轴于点，，， ∴， ∴的面积． 3.如图，的边在轴上，若过点的反比例函数，的图象还经过边上的中点，且，则_________． 【答案】 【分析】过点、分别作，，垂足为、，根据平行四边形的性质结合已知条件可得，根据反比例函数的的几何意义可得，进而可得，设点，则 ，进而根据面积关系列出方程，解方程求得的值，即可求解． 【详解】解：过点、分别作，，垂足为、， 是的中点， ， 四边形是平行四边形，， ， 点、在反比例函数的图象上， ， ， ， 设点，则 ， 即，，，， ， 解得． 4.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接，，则的面积为_____________． 【答案】4 【分析】如图所示，连接、，可得，由反比例函数中的几何意义可得，，最后由即可得出结果． 【详解】解：如图所示，连接、， ∵轴， ∴轴， ∴， ∵点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上， ∴，， ∴． 知识点八 一次函数与反比例函数交点问题 1.如图，一次函数的图象过点，若反比例函数的图象与线段只有一个交点，则的值不可能为（     ） A． B． C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题意得出，，进而求得的坐标，分情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，②当且反比例函数图象过点时，分别代入反比例函数解析式，求得的值，进而根据，得出的范围，即可求解． 【详解】解：∵一次函数的图象过点，， ，， ，． 反比例函数的图象与线段只有一个交点， ∴分两种情况讨论，①当且反比例函数图象过点时，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时； ②当且反比例函数图象过点，此时， 当反比例函数的图象与线段只有一个交点时， ， ，， 不可能为，故选A． 2.若正比例函数与反比例函数的图象有两个交点，其中一个交点的坐标为，则另一个交点的坐标为 （    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数和反比例函数的交点坐标的求法，解题的关键是求得解析式后再联立方程组即可求出交点坐标．将交点坐标代入解析式中，求出a，b的值，然后再联立方程组求另一个交点坐标． 【详解】解：将代入中，即， ∴正比例函数为：， 将代入中，即， ∴反比例函数为：， 联立方程组：，即：， 整理得： 解之得：， 将代入正比例函数中， 解得 ∴另一个交点的坐标为 故选：D． 3.已知直线与双曲线 的交点为，那么代数式的值为_________． 【答案】5 【分析】利用函数交点坐标同时满足两个函数解析式，得到与的关系式，代数式因式分解后整体代入求解． 【详解】解： 点是直线与双曲线的交点， 由，移项得： ， 由，两边同乘得： ， ， 将，代入， 原式． 4.直线与双曲线交于，两点，则________． 【答案】 【分析】根据正比例函数与反比例函数交点的中心对称性，得到两点坐标的关系，再结合反比例函数图像上点的坐标特征，即可求解． 【详解】解：∵直线与双曲线的图像均关于原点对称， ∴点和点关于原点对称， ∴， ∴，， 把代入中，得， ∴， 把代入中，得， ∴， ∴． 知识点九 圆的外接圆与内切圆 1.我们将一个三角形内切圆的半径与外接圆的半径的比值叫做该三角形的“径比”，已知等腰三角形底为6，腰为5，则该三角形的“径比”为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了新定义，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形的内切圆和外接圆等知识点，解题的关键是求出内切圆和外接圆的半径． 本题需计算等腰三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值，通过勾股定理求高，进而计算面积，分别求出两个半径，最后求比值． 【详解】解：如图所示，为等腰底边上的高，点为三角形的外心， ∴， 由三线合一和勾股定理得，， ， 由勾股定理得， 解得， 如图，点为的内心， ， ∴， ∴ 故选：B． 2.等腰直角三角形的内切圆半径与外接圆半径的比值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，三角形内切圆与外接圆，熟悉直角三角形的内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半；直角三角形外接圆的半径是斜边的一半． 设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是．根据直角三角形的内切圆半径是两条直角边的和与斜边的差的一半，得其内切圆半径；其外接圆半径是斜边的一半，得其外接圆半径，即可求解． 【详解】解：设等腰直角三角形的直角边是1，则其斜边是， ∵等腰直角三角形的内切圆半径是，外接圆半径是， ∴所以它们的比为． 故选：A． 3.如图，在中，，，，点为边上一动点（点D与点A、B不重合），过点D作，连接．    （1）外接圆的直径的最小值是______； （2）内切圆的半径的最大值是______． 【答案】 / /0.2 【分析】本题考查了直角三角形的外接圆和内切圆综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握直角三角形外接圆直径为斜边长，内切圆半径等于两条直角边的和与斜边的差的一半是解题关键． （1）当时，作为外接圆的直径最小，由勾股定理可得，设，则，根据列方程，求出的值，进而得到的长即可求解； （2）令，，,内切圆半径为，则，由相似三角形可得，，即最小时，r最大，作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为，进而即可求解 【详解】解：（1）为直角三角形， 外接圆直径为斜边的长， 当时，作为外接圆的直径最小，如图， ，，， ， ， 设，则， ， 解得：， ， 故答案为：    （2）令，，,内切圆半径为，则 ，， ， ，， ， ，即， ∴， ，即最小时，r最大， 作C关于的对称点，过作交于点D，连接，此时最小，即最小，最小值为， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为： 4.今有一个直角三角形，勾（短直角边）长为8步，股（长直角边）长为15步，则该直角三角形的内心与外心的距离是__________步（注：“步”为长度单位）． 【答案】 【分析】本题考查了直角三角形的内切圆的内心与外心，根据勾股定理求出直角三角形的斜边，根据直角三角形的内切圆的半径的求法确定出内切圆半径，以及求出外接圆的半径． 【详解】解：根据勾股定理得：斜边为， 设该直角三角形内切圆的半径为r，则有： 解得，； 如图，建立平面直角坐标系： 此时，， 内切圆圆心的坐标为，外接圆圆心的坐标为，即， ∴该直角三角形的内心与外心的距离（步） 故答案为：． 知识点十 反比例函数设参求解 1.反比例函数和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，过点作轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点．当点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积（    ） A．逐渐变大 B．逐渐变小 C．不变 D．先变小再变大 【答案】C 【分析】根据反比例函数的解析式和矩形、三角形的面积公式把四边形的面积用含的代数式表示出来，即可得到结果． 【详解】解：点在的图象上， ， ， 设点的坐标为，则点的横坐标为，点的纵坐标为， 点、都在函数上， 点的坐标为，点的坐标为， ，， ， 点的横坐标逐渐变大时，四边形的面积不变． 2.如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，点坐标为．点是边上的动点（不与、重合），反比例函数的图象经过点且与边交于点． ①与的面积一定相等； ②若点是边的中点，则点一定为的中点； ③在点的运动过程中，是一个定值． 上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，反比例函数比例系数的几何意义，矩形的性质等知识，根据反比例函数比例系数的几何意义及矩形的性质逐一判断即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴，即，故①符合题意； ∵是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即点是边的中点，则点一定为的中点，故②符合题意； 由点坐标为，设点，，则， ∴，， ∴，即是一个定值，故③符合题意， 故选：D． 3.如图，已知、是反比例函数与一次函数图象上的两个不同的交点，分别过、两点作轴的垂线，垂足分别为、，连接、，若已知，则的取值范围是___． 【答案】 【分析】本题是反比例函数与一次函数综合题，涉及反比例函数的图象与性质，反比例系数k的几何意义，先根据函数图像上点的坐标特征得出，，于是，再由反比例函数系数k的几何意义可知，那么，进而可求出答案． 【详解】解：、在反比例函数的图象上， ， 、在一次函数图象上， ， 解得， ， 当时，，随自变量的增大而增大，此时． 4.如图，矩形的边和均在坐标轴上，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点D，且与，分别交于点E和点F．若矩形的面积为6，则的面积为________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义、矩形的性质和中点坐标公式，设点，则，由题意得、和，进一步得到和，结合面积公式求得，利用三角形面积公式即可求得答案． 【详解】解：连接，如图所示： 设点，则， ∵矩形的对角线的交点D， ∴，，， ∵点E和点F在反比例函数的图象上， ∴，， 则，即，解得， 那么． 故答案为：． 知识点十一 反比例函数不等式求解集 1.一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【详解】解：由函数图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， 则时，的取值范围是或． 2.函数和的图象如图所示，当时，x的取值范围是（     ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】根据图象即可求解． 【详解】解：观察图像可知，当时，x的取值范围是或． 3.如图，直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是__________． 【答案】 【详解】解：∵直线与反比例函数交于A，B两点，其横坐标分别为1和5， ∴不等式的解集是． 4.如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，当时，的取值范围是______． 【答案】 或 【分析】直接利用图象法找到直线在双曲线上方时的自变量的范围即可. 【详解】解：由图象可知，当时，的取值范围是 或 . 知识点十二 圆中动点相切求t与轨迹 1.如图，直线、相交于点，，半径为的的圆心在射线上，且与点的距离为，如果以的速度沿由向的方向移动，点与直线相切时，的值为（    ） A．4 B．8 C．4或8 D．6或10 【答案】D 【分析】当P移动到位置时，设切点为，根据，得出，求得的值，同理，当P移动到位置时求得，即可求解． 【详解】解：如解图，当P移动到位置时，与直线相切， 设切点为，连接，则．因为， 所以，所以，此时的值为． 如解图，当P移动到位置时，与直线也相切， 同理，所以．此时的值为． 所以与直线相切时移动的秒数是6或10． 故选：D． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 2.某半径为1的圆形游乐设施在运行过程中，圆心从A点运动至B点．若该设施的运动轨迹可看作双曲线在第一象限的部分，与轴相切、与轴相切．若此时的直线距离，那么圆心的运动轨迹满足的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查切线的性质，反比例函数，两点间距离公式，用含k的式子表示出A，B坐标是解题的关键． 设圆心的运动轨迹满足的函数解析式为，用含k的式子表示出A，B坐标，再根据两点间距离公式列方程，解方程求出k的值即可． 【详解】解：设圆心的运动轨迹满足的函数解析式为， 与轴相切、与轴相切，圆的半径为1， ，， ， ，， ， ， 解得，负值舍去， 圆心的运动轨迹满足的函数解析式为， 故选C． 3.在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，点是直线上的点，半径为1的的圆心从点出发以每秒个单位长度的速度沿射线的方向运动，设点运动的时间为秒，则当______秒时，与y轴相切． 【答案】3或5 【分析】本题考查了切线的判定，等腰直角三角形的判定和性质，分类讨论是解题的关键． 设与坐标轴的切点为，根据已知条件得到，，，求得，，，推出是等腰直角三角形，，①如图，与轴和轴都相切时，②当只与轴相切时，根据等腰直角三角形的性质得到结论 【详解】解：设与坐标轴的切点为， 直线与轴、轴分别交于点、，点， 时，；时，；时，； ，，， ，，， 是等腰直角三角形，， ①如图，与轴和轴都相切时， ， ， 的速度为每秒个单位长度， ； ②当只与轴相切时， ， ， 的速度为每秒个单位长度， ． 综上所述，则当或秒时，与坐标轴相切， 故答案为：3或5． 4.如图，半圆的直径，在中，，，，半则以的速度从左向右运动．在运动过程中，点始终在直线上，设运动时间为，当时，半圆在的左侧，．当的一边与半圆相切时，的值为___________． 【答案】1或4或7 【分析】本题主要考查了圆与直线的位置关系应用，分类讨论是解题的关键． 分三种情况讨论：当点Q运动到与点B重合时；当半圆O与相切于点F时；当点P运动到与点B重合时；分别计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 如图，当点Q运动到与点B重合时， 则，与半圆O相切，此时半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 如图，当半圆O与相切于点F时，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴此时点O与点B重合， ∴半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 如图，当点P运动到与点B重合时， 则，与半圆O相切，此时半圆O运动的距离为， ∴运动时间． 综上所述，当的一边与半圆相切时，t的值为1或4或7． 故答案为：1或4或7． 知识点十三 圆的最值问题 1.如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 【答案】D 【分析】先由、得，确定E在以B为圆心4为半径、F在以B为圆心1为半径的圆上；分别用圆上点到定点距离最值判断A、B、C选项均错；取小圆与交点G，由证明得，转化为，根据两点之间线段最短，D、E、G共线时取最小值斜边，故D正确． 【详解】解：点E和正方形在同一平面内，， 点E在以B为圆心，为半径的圆上，点F在以B为圆心，为半径的圆上， 如图1， ，， 当D，E，B三点共线时，取得最小值， 在中，， 的最小值为，故A错误； ，，， 当A，F，B三点共线时，取得最小值， 的最小值为，故B错误； 由题意可知， 当取得最大值时，即可取得最大值， 如图2， 当D，E，B三点共线时，取得最大值，最大值为， 的最大值为，故C错误； 如图3，点F所在的圆与交于点G，连接， ， 在与中， ， ， ， ， ， 当D，E，G三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为5，故D正确． 2.如图，在中，，，点为三角形内部一点，连接，，且满足，点为边上一动点，点为边上一动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作点D关于的对称点E，连接，则，可得当点Q，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再由，可得点D在以为直径的半圆上运动，取的中点O，连接，作关于对称线段，则，当点Q，P，E，G四点共线时，最小，且当时，取得最小值，即可求解． 【详解】解：如图，作点D关于的对称点E，连接，则， ∴， ∴当点Q，P，E三点共线时，取得最小值，最小值为的长， ∵， ∴点D在以为直径的半圆上运动， 如图，取的中点O，连接，作关于对称线段，则， ∴， 当点Q，P，E，G四点共线时，最小，且当时，取得最小值， 在中，，， ∴， 此时为等腰直角三角形， ∴， ∴， 即的最小值为． 3.如图，，，，，在上，，动点在线段上，以为直径作，为弧中点则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，，过点作交的延长线于点，证明，求出即可得到答案． 【详解】解：连接，，过点作交的延长线于点， ，，，， 为弧中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 的最小值为． 4.如图，是中的两条弦，相交于点E，且，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，连接，则最小值为 ____________________ ． 【答案】 【分析】连接，，过点作，交于点，，交于点，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点，连接，连接，推导出点的运动轨迹是以为圆心的圆，连接与圆的交点就是的最小值． 【详解】解：如图所示，连接，，过点作，交于点，，交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴（）， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，作的中点，连接，连接， ∵点是的中点，为中点， ∴， ∴点在以点为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点作， ∴当点，，三点共线时，即点和点重合时，的值最小， ∵点是的中点，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ， ∴的最小值为 知识点十四 圆中的函数表达式与图像 1.如图，中，，，，的长分别为，，．则可以用含，，的式子表示出的内切圆直径，下列表达式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作于点，作于点，作于点，连接、、，先证明四边形是正方形，得到，根据切线长定理得到，，再利用，得出；利用勾股定理得到，结合，利用因式分解的知识得出，则有；利用等面积法得到，代入数据得出，即可得出结论． 【详解】解：如图，作于点，作于点，作于点，连接、、， 是的内切圆， ，，，， ， 四边形是正方形， ， ，， ， ， 整理得：，故A选项表达式正确，不符合题意； ， ， ， ， ，故C选项表达式正确，不符合题意； ， ， 整理得：，故D选项表达式正确，不符合题意； 当时，根据等腰直角三角形的性质可知，此时，故B选项表达式错误，符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直角三角形的内切圆、切线长定理、正方形的性质与判定、因式分解、勾股定理、三角形的面积公式，熟练掌握内切圆半径与三角形周长、面积之间的关系是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何知识储备，适合有能力解决几何难题的学生． 2.如图，为半圆所在的直径，弦为定长且小于的半径（点与点不重合），交于点，交于点，为半圆弧上的中点．当点在上运动时，设的长为，．则下列图象中，能表示与的函数关系的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了动点问题的函数图象及圆的性质，平行四边形的判定和性质，垂径定理，熟练掌握函数图象和性质是解题的关键； 作于点，连接，过O作于点Q，交延长线于点P，得到，再由矩形的性质和判定得到进而得到，再证明得到，推出，由弦长为定值，推出为定值，由函数图象问题可解． 【详解】解：作于点，连接，过O作于点Q，交延长线于点P， 由题意可知， 为的中点，即 交于，交于，于点Q， ∴四边形为矩形， 同理可知四边形和四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 弦为定长， ， ， ，为定值， 为定值， 故选：B 3.如图，的直径，，分别是它的两条切线，与相切于点，并与，分别交于，两点，，，则关于的函数表达式为____________________． 【答案】 【分析】作交于点，由切线的性质可知，，进而可证得四边形是矩形，于是有，，因而可得，由切线长定理可得，，于是可得，在中，根据勾股定理即可求出关于的函数表达式． 本题主要考查了切线的性质定理，垂线的性质，矩形的判定与性质，切线长定理，勾股定理，完全平方公式，用关系式表示变量间的关系等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． 【详解】解：如图，作交于点， ，分别是的两条切线， ，， 又， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 与相切于点， ，， 则， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 整理，得：， 即：， 关于的函数表达式为， 故答案为：． 4.如图，锐角三角形内接于于点D，连结并延长交线段于点E（点E不与点B，D重合），设（m，n为正数），则m关于n的函数表达式为__________ 【答案】 【分析】设，得到，，根据三角形的内角和定理得到，根据平角的定义即可得到结论．本题考查了三角形的外接圆与外心，三角形内角和公式，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：连接， 设， ，， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 知识点十五 圆中的取值范围问题 1.如图，正方形和的边长分别是2和5，将正方形绕点C旋转，在旋转过程中，的面积S的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，垂线段最短，勾股定理，旋转的性质，利用数形结合的思想是解题关键． 由题意可求出，可判断点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，交点A的运动轨迹于点和，从而得出以为底时，高的取值范围，进而即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长5， ∴． ∵正方形的边长是2， ∴点A的运动轨迹为以C为圆心，为半径的圆，设线段的中点为，连接，交点A的运动轨迹于点和，如图， ∵，， ∴点A在运动过程中，距离的最小距离为， 最长距离为， ∴， ， ∴S的取值范围是． 故选：D． 2.如图，点P是函数的图象上的一点，的半径为，当与直线有公共点时，点P的横坐标x的取值范围是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图所示，即为与直线有一个公共点的情况，点P只有在线段上，即符合题意，根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形，求得，设，则，则的中点M在直线上，得到，解方程得到（不合题意，舍去），于是得到结论． 【详解】解：如图所示，即为与直线有一个公共点的情况， 点P只有在线段上，即符合题意，    根据图象的对称性可知，是等腰直角三角形， ∵的半径为， ∴， ∴， ，则， 则的中点M在直线上， ∴， ∴， 解得：（不合题意，舍去）， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，直线与圆的位置关系，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 3.如图，四边形内接于，，，，弦与交于点．若，设点到点的距离为，则的取值范围是_______． 【答案】 【分析】连接，以为直径作，点在以为直径的上运动，且在圆内接四边形的内部，分别求出与重合时，最小值；与重合时，最大值即可得出取值范围. 【详解】解：连接，以为直径作， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵点在以为直径的上运动，且在圆内接四边形的内部， ∴与重合时，最小，； 与重合时，最大，， ∴. 4.如图，已知正方形的边长为2，的直角顶点M落在线段上，直角边经过点A，直角边与直线交于点E，连接．设点O为的内心，当点O在的内部（包括边界）时，的取值范围是_____． 【答案】 【分析】当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O在上．此时最短，当点O落在上时，最大，过点M作于点F，于点G，于点K，由角平分线的性质得，证明四边形为矩形，得，，进而证得，得，进而得，，，再根据等角对等边得，即可求解． 【详解】解：当点M与点D重合时，点E与点C重合，此时点O为的内心． 四边形为正方形， 为的平分线， 点O在上．此时最短． 如图，当点O落在上时，最大． 过点M作于点F，于点G，于点K． ， ， 是等腰直角三角形， ． ，，，， 四边形是正方形， ． ，，， 四边形为矩形， ， ． ， ， ． 在和中，， ， ， 为等腰直角三角形． 点O为的内心， ， ． 又， ， ， 的取值范围是． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的判定与性质、三角形的内切圆与内心及正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $