2026～2027学年苏科版数学九年级上册期中模拟卷(2)

2026~2027学年九年级上学期数学期中原创模拟卷(2) 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B。 【解析】把 代入原方程，得 ，解得 。 2．用水泵抽完同一水池中的水，不考虑进水及损耗。若每分钟的抽水量增大到原来的 倍，则所需时间变为原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 【答案】A。 【解析】设原来每分钟抽水量为 ，所需时间为 ，则水池总水量为 。改用新的抽水量后，所需时间为 ，故选 A。 3．从圆外一点 引圆的两条切线，切点分别为 、。圆的另一条切线分别交线段 、 于点 、，切点 在线段 上。若 ，则三角形 的周长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D。 【解析】由切线长定理，得 ，，。因为 在线段 上，所以三角形 的周长为 。 4．将方程 的两个实数根分别表示在数轴上，则这两个点（　　） A．都在原点左侧 B．都在原点右侧 C．分居原点两侧 D．有一个与原点重合 【答案】C。 【解析】方程的两个根为 ，。因为 ，所以 ，两个根对应的点分居原点两侧。 5．已知 、 是方程 的两个实数根，则以 、 为根的一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A。 【解析】由根与系数的关系，得 ，。因此 ，，所以所求方程可以是 。 6．若关于 的方程 恰有一个实数解，则 的值为（　　） A．只有 B．只有 C．小于 的任意实数 D． 或 【答案】D。 【解析】当 时，原方程为一元一次方程 ，恰有一个实数解。当 时，要使原方程恰有一个实数解，须有 ，解得 。综上， 或 。 7．如图，点 、、、 按顺序在同一个圆上，，，。则 的度数为（　　） A． B． C． D． （第7题图） 【答案】B。 【解析】因为四边形 内接于圆，所以 。在等腰三角形 中，，所以 。由图中点的顺序，。 8．反比例函数 （）的图象上，横坐标满足 的所有点中，最高点与最低点的纵坐标之差为 。则 的值为（　　） A．只有 B．只有 C． 或 D． 或 【答案】C。 【解析】当 时，函数在 上随 的增大而减小，所以 ，解得 。当 时，函数在该区间上随 的增大而增大，所以 ，解得 。因此 或 。 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。 9．小明解方程 时，只抄错了一次项系数，算得两个根为 、。若原方程的一个根为 ，则原方程的另一个根为________。 【答案】。 【解析】因为只有一次项系数抄错，所以常数项没有改变，即 。设原方程的另一个根为 ，由根与系数的关系，得 ，所以 。 10．若函数 是反比例函数，则 ________。 【答案】。 【解析】反比例函数要求未知数的指数为 ，且比例系数不为 ，所以 且 。由 ，得 或 ，排除 ，故 。 11．四边形 内接于圆，若 ，则 ________。 【答案】。 【解析】设 ，，。因为圆内接四边形的对角互补，所以 ，解得 。于是 ，。 12．修复一扇圆形木窗时，需要给窗上两段劣弧形边框镶边。测得这两段弧所对的圆心角相差 ，弧长相差 cm。则该圆形木窗的半径为________cm。 【答案】。 【解析】同一圆中，两段弧长之差等于两圆心角之差所对的弧长。设圆的半径为 cm，由弧长公式，得 ，解得 。 13．若一元二次方程 的两个根均为正整数且不相等，则 的最大值为________。 【答案】。 【解析】设两个根为正整数 、，且 ，则 ，。满足条件的根只能为 、 或 、，对应 为 或 。因此 的最大值为 ；两根均为 的情况不符合不相等的要求。 14．点 、 在反比例函数 的第一象限分支上，点 的横坐标为点 横坐标的 倍。若线段 的中点 在直线 上，则点 的坐标为________。 【答案】。 【解析】设 ，其中 ，则 ，因此中点 的横、纵坐标分别为 、。由 在直线 上，得 ，所以 。结合 ，得 ，故 。 15．在半径为 的圆中，弦 的长始终为 ，点 为弦 的中点。当弦 在圆内转动并取遍所有位置时，点 组成一个圆，则这个圆的周长为________。 【答案】。 【解析】设原圆圆心为 ，连接 、。由垂径定理，，且 。由勾股定理，得 。因为弦取遍所有位置，所以其中点恰好组成以 为圆心、半径为 的圆，其周长为 。 16．如图， 是圆的直径，点 在圆上，点 在线段 上，。若 ，，则 ________。 （第16题图） 【答案】。 【解析】因为 是直径，所以 。设 ，则 ，。在直角三角形 和 中，由勾股定理分别得 ，。两式相减，得 ，所以 ，从而 。 三、解答题：本大题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分5分）用配方法解方程：． 【解析】方程两边同除以，得．（⁠1⁠分⁠） 两边同时加上，得，即．（⁠2⁠分⁠） 所以．（⁠1⁠分⁠） 所以原方程的解为，．（⁠1⁠分⁠） 18．（本题满分5分）已知关于的方程的两个实数根中，一个是另一个的平方．求的所有可能的值． 【解析】由，知方程的两个根是和．（⁠2⁠分⁠） 若是的平方，则．（⁠1⁠分⁠） 若是的平方，则，所以或．（⁠1⁠分⁠） 以上三个值均符合题意，故的所有可能的值为、、．（⁠1⁠分⁠） 19．（本题满分6分）反比例函数的图象经过点和点． （1）求的值及该反比例函数的表达式； （2）另一反比例函数的图象上有一点，其纵坐标与点相同．求点的坐标及线段的长． 【解析】（1）图象上各点的横、纵坐标之积相等，故．（⁠1⁠分⁠） 解得，所以，函数的表达式为．（⁠2⁠分⁠） （2）点的纵坐标为，代入，得，解得．（⁠1⁠分⁠） 所以．（⁠1⁠分⁠） 由（1）知，两点纵坐标相同，故．（⁠1⁠分⁠） 20．（本题满分6分）如图，内接于圆，点是不含点的弧的中点．连接、、，的平分线与交于点． （1）求证：； （2）求证：． （第20题图） 【解析】（1）因为点是不含点的弧的中点，所以弧与弧相等．（⁠1⁠分⁠） 在同圆中，相等的弧所对的弦相等，所以．（⁠1⁠分⁠） （2）由（1）中两弧相等，得．设这两个角均为，设．（⁠1⁠分⁠） 同弧所对的圆周角相等，故，于是．（⁠1⁠分⁠） 因为、、依次在一条直线上，是的外角，所以．（⁠1⁠分⁠） 所以，从而在中，．（⁠1⁠分⁠） 21．（本题满分6分）【数学文化·圆与正多边形】如图，正方形内接于半径为的圆，点、、、分别为劣弧、、、的中点，依次连接这八个点，得到八边形． （1）说明八边形是正八边形； （2）连接，交于点，求该正八边形的面积． （第21题图） 【解析】（1）正方形的相邻两顶点所对圆心角均为．四段劣弧再分别二等分后，八段小弧所对的圆心角均为．因此八条边分别相等，每个内角均为，故它是正八边形．（⁠2⁠分⁠） （2）正方形的对角线长为，所以，正方形的面积为．（⁠1⁠分⁠） 由弧中点的性质，且．在直角三角形中，，从而．（⁠1⁠分⁠） 所以．（⁠1⁠分⁠） 四个外添小三角形的面积相等，故正八边形的面积为．（⁠1⁠分⁠） 22．（本题满分8分）【非遗工艺·苏绣装裱】苏绣体验工坊为一批长、宽的长方形绣片配制边衬．边衬覆盖绣片四周，上、下两条等宽，左、右两条等宽，且左、右边衬的宽均为上、下边衬宽的倍．中间露出的长方形绣面面积为． （1）求上、下边衬的宽和左、右边衬的宽； （2）现有总面积为的边衬材料．若边衬覆盖的四角不重复计算，且不计剪裁损耗，最多能为多少件这样的绣片配制边衬？ 【解析】（1）设上下边衬宽为，左右边衬宽为，．（⁠1⁠分⁠） 由露出绣面的长、宽分别为、，得．（⁠2⁠分⁠） 整理，得，即，解得，．（⁠2⁠分⁠） 由，取．故上下边衬宽为，左右边衬宽为．（⁠1⁠分⁠） （2）每件边衬的覆盖面积为．总材料面积为．（⁠1⁠分⁠） 因为，而，所以最多能配制件．（⁠1⁠分⁠） 23．（本题满分8分）【跨学科实践·恒功率照明】某科技小组研究一款恒功率照明模块．已知功率（单位：）、输入电压（单位：）与电流（单位：）之间满足．模块工作时，保持不变，允许的输入电压范围为．实验记录：第二次的输入电压比第一次增加了，电流由第一次的降为第二次的． （1）求两次输入电压及该模块的功率； （2）写出电流关于输入电压的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （3）保护线路要求电流不超过．在允许的输入电压范围内，求满足此要求的电压范围，并说明理由． 【解析】（1）设第一次的输入电压为，则第二次为．因为功率相同，所以．（⁠1⁠分⁠） 解得，所以两次输入电压分别为和．（⁠1⁠分⁠） 功率．（⁠1⁠分⁠） （2）由，得，其中．（⁠2⁠分⁠） （3）当时，由，得．（⁠1⁠分⁠） 正数范围内，随增大而减小，故电流不超过时，．（⁠1⁠分⁠） 结合，得满足要求的输入电压范围为，单位为．（⁠1⁠分⁠） 24．（本题满分8分）【传统文化与数字实践】某校非遗体验课把一段长为厘米的传统纹样扫描成数字图样。设备有精细、快速两种模式，快速模式比精细模式每分钟多扫描厘米；扫描这段纹样时，快速模式比精细模式少用分钟。两种模式的扫描速度分别保持不变。 （1）求精细模式的扫描速度。 （2）现需扫描总长为厘米的纹样，其中至少有总长度的采用精细模式，其余采用快速模式。若整个任务（含分钟校准）须在分钟内完成，求采用精细模式扫描的长度范围。 【解析】（1）设精细模式每分钟扫描厘米，则，快速模式每分钟扫描厘米。根据同长任务的时间差，得。（⁠2⁠分⁠） 整理得，即，所以或。由，舍去，故精细模式每分钟扫描厘米，快速模式每分钟扫描厘米。（⁠2⁠分⁠） （2）设采用精细模式扫描的长度为厘米。由题意，，快速模式扫描的长度为厘米。（⁠1⁠分⁠） 总用时不超过分钟，故，化简得。（⁠2⁠分⁠） 与长度要求合并，得。所以精细模式扫描的长度不少于厘米且不超过厘米。（⁠1⁠分⁠） 25．（本题满分10分）如图，直线与反比例函数（）在第一象限内的图象交于、两点。点在该反比例函数图象的、之间移动，且不与、重合。过点分别作平行于轴、轴的直线，交线段于点、。 （1）求的值和点的坐标。 （2）当的面积为时，求所有满足条件的点的坐标。 （3）求线段长度的最大值，并求此时点的坐标。 （第25题图） 【解析】（1）因为在反比例函数图象上，所以。联立与，得，解得或。除去点，得。（⁠2⁠分⁠） （2）设，则。由构造可得，。因为，所以，且。（⁠1⁠分⁠） 由面积为，得。由于，得，即。（⁠2⁠分⁠） 解得或，均满足，故所有满足条件的点为或。（⁠1⁠分⁠） （3）因为是等腰直角三角形，所以。（⁠1⁠分⁠） 当时，，所以。等号成立的充要条件为，且该值属于区间。（⁠2⁠分⁠） 因此长度的最大值为，此时。（⁠1⁠分⁠） 26．（本题满分10分）如图，是圆的直径，弦，点、在直径的同一侧，点靠近点、点靠近点。过点作圆的切线，与直线交于点，点、、、依次排列。连接、。已知圆的半径为，。 （1）求证：。 （2）过点作，垂足为，求及的长。 （3）连接，求与梯形的面积之比。 （第26题图） 【解析】（1）连接。因为是圆的切线，所以。又因为，所以。由图中各点位置，。（⁠2⁠分⁠） 因为是直径，所以，从而。又，故与相似，得，即。（⁠2⁠分⁠） （2）过点作，垂足为。由垂径定理，。在直角三角形中，。因为，所以四边形是矩形，故，。（⁠1⁠分⁠） 在直角三角形中，为斜边上的高。由与相似，得，故。（⁠1⁠分⁠） 由勾股定理，。（⁠1⁠分⁠） （3）因为点在直线上，且，所以以为底的的高为，故其面积为。（⁠1⁠分⁠） 又，梯形的面积为，因此所求面积之比为。（⁠2⁠分⁠） 27．（本题满分10分）【新定义·从特例到一般】如图，是圆的直径，。点在直径上方的半圆弧上移动（不含端点、），过点作，垂足为。本题把数量定义为点的“折线差”，记为，即。 （1）【理解定义】当与圆心重合时，求的值。 （2）【研究特例】当时，求的长，并求出所有可能的的长。 （3）【一般结论】随着点的移动，求的取值范围；并对任意实数，说明满足的点分别有多少个。 （第27题图） 【解析】（1）当时，，。由勾股定理，，故。（⁠2⁠分⁠） （2）设，。因为是直径，所以，从而。比较直角三角形的两种面积表示，得，故。（⁠1⁠分⁠） 由，得。代入前式，得，即。因，舍去，得，所以。（⁠1⁠分⁠） 设，则，。由直角三角形的高与两侧相似关系，得，故，即。（⁠1⁠分⁠） 解得或，均满足。这两种位置关于直径的垂直平分线对称，且都在指定半圆弧上，故均存在。因此，或。（⁠1⁠分⁠） （3）由于点位于开半圆弧上，。由及，得。于是，故。（⁠2⁠分⁠） 在区间内，为正且随增大而增大，所以随增大而严格减小。因此任取范围内的值，都唯一确定，继而唯一确定。（⁠1⁠分⁠） 当时，，只有半圆弧的最高点满足条件，共个点；当时，，与平行且到的距离为的直线在指定半圆弧上交出个点，两点关于的垂直平分线对称；当或时，没有满足条件的点。（⁠1⁠分⁠） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年九年级上学期数学期中原创模拟卷(2) 一、选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知 是一元二次方程 的一个根，则 的值是（　　） A． B． C． D． 2．用水泵抽完同一水池中的水，不考虑进水及损耗。若每分钟的抽水量增大到原来的 倍，则所需时间变为原来的（　　） A． 倍 B． 倍 C． 倍 D． 倍 3．从圆外一点 引圆的两条切线，切点分别为 、。圆的另一条切线分别交线段 、 于点 、，切点 在线段 上。若 ，则三角形 的周长为（　　） A． B． C． D． 4．将方程 的两个实数根分别表示在数轴上，则这两个点（　　） A．都在原点左侧 B．都在原点右侧 C．分居原点两侧 D．有一个与原点重合 5．已知 、 是方程 的两个实数根，则以 、 为根的一元二次方程可以是（　　） A． B． C． D． 6．若关于 的方程 恰有一个实数解，则 的值为（　　） A．只有 B．只有 C．小于 的任意实数 D． 或 7．如图，点 、、、 按顺序在同一个圆上，，，。则 的度数为（　　） A． B． C． D． （第7题图） 8．反比例函数 （）的图象上，横坐标满足 的所有点中，最高点与最低点的纵坐标之差为 。则 的值为（　　） A．只有 B．只有 C． 或 D． 或 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。 9．小明解方程 时，只抄错了一次项系数，算得两个根为 、。若原方程的一个根为 ，则原方程的另一个根为________。 10．若函数 是反比例函数，则 ________。 11．四边形 内接于圆，若 ，则 ________。 12．修复一扇圆形木窗时，需要给窗上两段劣弧形边框镶边。测得这两段弧所对的圆心角相差 ，弧长相差 cm。则该圆形木窗的半径为________cm。 13．若一元二次方程 的两个根均为正整数且不相等，则 的最大值为________。 14．点 、 在反比例函数 的第一象限分支上，点 的横坐标为点 横坐标的 倍。若线段 的中点 在直线 上，则点 的坐标为________。 15．在半径为 的圆中，弦 的长始终为 ，点 为弦 的中点。当弦 在圆内转动并取遍所有位置时，点 组成一个圆，则这个圆的周长为________。 16．如图， 是圆的直径，点 在圆上，点 在线段 上，。若 ，，则 ________。 （第16题图） 三、解答题：本大题共11小题，共82分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（本题满分5分）用配方法解方程：． 18．（本题满分5分）已知关于的方程的两个实数根中，一个是另一个的平方．求的所有可能的值． 19．（本题满分6分）反比例函数的图象经过点和点． （1）求的值及该反比例函数的表达式； （2）另一反比例函数的图象上有一点，其纵坐标与点相同．求点的坐标及线段的长． 20．（本题满分6分）如图，内接于圆，点是不含点的弧的中点．连接、、，的平分线与交于点． （1）求证：； （2）求证：． （第20题图） 21．（本题满分6分）【数学文化·圆与正多边形】如图，正方形内接于半径为的圆，点、、、分别为劣弧、、、的中点，依次连接这八个点，得到八边形． （1）说明八边形是正八边形； （2）连接，交于点，求该正八边形的面积． （第21题图） 22．（本题满分8分）【非遗工艺·苏绣装裱】苏绣体验工坊为一批长、宽的长方形绣片配制边衬．边衬覆盖绣片四周，上、下两条等宽，左、右两条等宽，且左、右边衬的宽均为上、下边衬宽的倍．中间露出的长方形绣面面积为． （1）求上、下边衬的宽和左、右边衬的宽； （2）现有总面积为的边衬材料．若边衬覆盖的四角不重复计算，且不计剪裁损耗，最多能为多少件这样的绣片配制边衬？ 23．（本题满分8分）【跨学科实践·恒功率照明】某科技小组研究一款恒功率照明模块．已知功率（单位：）、输入电压（单位：）与电流（单位：）之间满足．模块工作时，保持不变，允许的输入电压范围为．实验记录：第二次的输入电压比第一次增加了，电流由第一次的降为第二次的． （1）求两次输入电压及该模块的功率； （2）写出电流关于输入电压的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （3）保护线路要求电流不超过．在允许的输入电压范围内，求满足此要求的电压范围，并说明理由． 24．（本题满分8分）【传统文化与数字实践】某校非遗体验课把一段长为厘米的传统纹样扫描成数字图样。设备有精细、快速两种模式，快速模式比精细模式每分钟多扫描厘米；扫描这段纹样时，快速模式比精细模式少用分钟。两种模式的扫描速度分别保持不变。 （1）求精细模式的扫描速度。 （2）现需扫描总长为厘米的纹样，其中至少有总长度的采用精细模式，其余采用快速模式。若整个任务（含分钟校准）须在分钟内完成，求采用精细模式扫描的长度范围。 25．（本题满分10分）如图，直线与反比例函数（）在第一象限内的图象交于、两点。点在该反比例函数图象的、之间移动，且不与、重合。过点分别作平行于轴、轴的直线，交线段于点、。 （1）求的值和点的坐标。 （2）当的面积为时，求所有满足条件的点的坐标。 （3）求线段长度的最大值，并求此时点的坐标。 （第25题图） 26．（本题满分10分）如图，是圆的直径，弦，点、在直径的同一侧，点靠近点、点靠近点。过点作圆的切线，与直线交于点，点、、、依次排列。连接、。已知圆的半径为，。 （1）求证：。 （2）过点作，垂足为，求及的长。 （3）连接，求与梯形的面积之比。 （第26题图） 27．（本题满分10分）【新定义·从特例到一般】如图，是圆的直径，。点在直径上方的半圆弧上移动（不含端点、），过点作，垂足为。本题把数量定义为点的“折线差”，记为，即。 （1）【理解定义】当与圆心重合时，求的值。 （2）【研究特例】当时，求的长，并求出所有可能的的长。 （3）【一般结论】随着点的移动，求的取值范围；并对任意实数，说明满足的点分别有多少个。 （第27题图） 学科网（北京）股份有限公司 $