2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中考试模拟试卷突破卷（前5章）

2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中考试模拟试卷突破卷 （测试范围：前5章 考试时间:120分钟 试卷满分:150分) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分24分） 1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 2．下列函数中，是反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 3．已知的半径为4，平面内有一点．若，则点与的位置关系是（    ）． A．在圆内 B．在圆上 C．在圆外 D．不能确定 4．若一组数据2，3，5，x，7的平均数为5，则x的值是（    ） A．6 B．7 C．4 D．8 5．从甲，乙，丙三人中任选两名代表，甲被选中的可能性是（　　） A． B． C． D． 6．对于一元二次方程（），下列说法正确的个数是（    ） ①若方程的两个根为和1，则．②若，则方程一定有解． ③若，则． ④若，且，则方程的两实数解一定互为相反数． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．在同一直角坐标系中，函数与的图象大致是（     ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，于D，为的内切圆，设的半径为R，的长为h，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 9．若为方程的解，则的值为______． 10．数据5，5，4，5，3，1的中位数是______． 11．已知反比例函数的图象分布在第二、第四象限，则的取值范围是__________． 12．如图，四边形ABCD是的内接四边形，连接AO、OC，，，则∠OCD的度数为______°． （第12题） （第18题） 13．抛一枚质地均匀的硬币，前次都是反面朝上，则抛第次时反面朝上的概率是_____． 14．在一次聚会上，每两个人之间都互相赠送了一份礼物，若一共送出了56份礼物，则参加聚会的人有________人． 15．一个圆锥的母线长为10，高为8，那么这个圆锥的侧面积是______． 16．一组数据：，这组数据的方差是______． 17．小慧用小孔成像实验装置研究像高和物距的关系．在保持物体高度、小孔到光屏的距离不变的条件下，像高与小孔到物体的距离成反比例函数关系．已知当小孔到物体的距离为时，光屏上的像高为．若要使像高为，则小孔到物体的距离为____________． 18．如图，是的直径，P是外一点，与相切于点A，连接与交于点C，D是优弧上一点，连接，．若，则的度数为______． 三、解答题（本大题共10小题，共计96分，其中19、20、21、22每题8分，23、24、25、26每题10分，27、28每题12分，解答题要有必要的文字说明） 19．解方程： (1)； (2)． 20．若是关于的一元二次方程的两个实数根． (1)求出实数的取值范围； (2)若方程的两个实数根满足，求的值． 21．某中学开展知识竞赛活动，九（1）班、九（2）班根据初赛成绩各选出5名选手参加复赛，两个班各选出的5名选手的复赛成绩（满分为100分）如图所示．根据图中数据解决下列问题： 平均数 中位数 众数 九（1）班 85 九（2）班 85 100 (1)__________，_________，___________； (2)小明同学已经算出了九（2）班复赛成绩的方差：．请你求出九（1）班复赛成绩的方差； (3)根据（1）、（2）中的计算结果，分析哪个班级的复赛成绩较好． 22．小明和小丽在做一个“配紫色”游戏：一个不透明的袋子中装有1个白球，1个蓝球和2个红球，它们除颜色外都相同．从中摸出2个球，若一个是红色，一个是蓝色，则可以配成紫色，游戏获胜、搅匀后，小明从中任意摸出一个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出一个球；搅匀后，小丽从中任意摸出1个球（不放回），再从余下的3个球中任意摸出1个球．这个游戏公平吗？为什么？ 23．已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)若点、、均在这个反比例函数的图象上，直接写出a、b、c的大小关系________．（用“”连接） 24．如图，在平面直角坐标系中，点． (1)经过A，B，C三点的圆弧所在圆的圆心D点的坐标为_______； (2)的半径为_____，的度数为_____． 25．如图，已知的直径为，点在圆周上(异于，)，，是的平分线， (1)求证：直线是的切线． (2)若，，求的直径． 26．根据以下素材，探索完成任务 素材1 如图，果农计划利用已有的一堵长为的墙，用篱笆围成一个面积为的矩形种植基地，边的长不超过墙的长度．设． 素材2 现有长的塑料薄膜可用于覆盖在篱笆的外围．（其中薄膜宽度与篱笆高度相同，薄膜与篱笆的间隙忽略不计） 任务1 求y关于x的函数表达式： 任务2 若塑料薄膜用了，求的长； 任务3 若x、y都是整数，请设计一个塑料薄膜用料最省的围建方案． 27．对于一平面图形而言，若点M、N是该图形上的任意两点，我们规定：线段MN长度的最大值称为该平面图形S的“绝对距离”．例如，圆的“绝对距离”等于它的直径．如图2，在平面直角坐标系中，已知点A（0，﹣1）、B（0，1），C是坐标平面内的点，连接AB、BC、CA所形成的图形为S，记S的“绝对距离”为d． （1）写出下列图形的“绝对距离”： ①边长为1的正方形的“绝对距离”：　 ； ②如图1，上方是半径为1的半圆，下方是等边三角形的“绝对距离”：　 　； （2）动点C从（﹣5，0）出发，沿x轴以每秒一个单位的速度向右运动，当d＝3时，请求出t的值； （3）若点C在⊙M上运动，⊙M的半径为1，圆心M在x轴上运动．对于⊙M上任意点C，都有4≤d≤8，直接写出圆心M的横坐标x的取值范围． 28．如图，为的内接三角形，，，点为弧上一点，连接． (1)如图1，当时，垂足为，连接并延长分别交，于点． ①______； ②求证：． (2)如图，若与不垂直，过点作，垂足为，连接，如果，求线段的长． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《2026—2027学年苏科版九年级上学期数学期中考试模拟试卷突破卷（前5章）》参考答案 1．C 【分析】本题考查了一元二次方程的识别，根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项． 【详解】解：A、中未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，选项错误； B、中含有两个未知数x和y，不是一元二次方程，选项错误； C、可化为，只含一个未知数x且最高次数为2，是一元二次方程，选项正确； D、展开后化为，最高次数为1，不是一元二次方程，选项错误； 故选：C． 2．C 【分析】本题考查了反比例函数的定义，一般地，形如（k为常数，）的函数叫做反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．为一次函数，不符合题意； B．为二次函数，不符合题意； C．是反比例函数，符合题意； D．为正比例函数，不符合题意． 故选C． 3．C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：设圆的半径为r，点P到圆心的距离为d，当时，则点P在圆外；当时，点P在圆上；当时，点P在圆内，根据点P与圆的位置关系的判定方法对点M与位置关系进行判断． 【详解】解：∵的半径为4， ∴点M到圆心的距离大于圆的半径， ∴点M在圆外． 故选：C． 4．D 【分析】根据平均数求出该组数据的和，减去其它数即可求出x的值． 【详解】解：， 故选D． 5．A 【分析】先列举出所有可能发生的情况数，再让甲被选中的情况数除以总情况数即为所求的可能性． 【详解】解：选两名代表共有以下情况：甲，乙；甲，丙；乙，丙；三种情况． 故甲被选中的可能性是． 故选：A． 6．C 【分析】由根与系数的关系得到，则可推出，据此可判断①；当时，可证明是原方程的解，据此可判断②；根据题意可得都是关于的一元二次方程的实数根，而关于的一元二次方程可以有两个不相等的实数根，据此可判断③；可证明，，则可证明，由根与系数的关系可得原方程的两实数解的和为，即原方程的两实数解一定互为相反数，据此可判断④. 【详解】解：①若方程的两个根为和，由根与系数的关系得，， ，， ，故①正确； ②， 将代入方程得， 是方程的根，即方程一定有解，故②正确； ③若，则都是方程的实数根， 一元二次方程可以有两个不相等的实数根， 不一定等于，故③错误； ④若，则， ，，与异号， ，即， ， ， 方程有两个不相等的实数根， 由根与系数的关系，两根之和为， 方程的两实数解一定互为相反数，故④正确， 故正确的有①②④，共3个. 7．B 【分析】梳理函数图象与参数的对应关系，分情况讨论k的取值，综合分析确定正确选项． 【详解】解：①当时，一次函数经过第一、三、四象限，反比例函数的图象位于第一、三象限，故B选项的图象符合要求； ②当时，一次函数经过第一、二、四象限，反比例函数的图象位于第二、四象限，没有符合条件的选项； 综上，只有B选项符合要求． 8．C 【分析】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接，结合，可得三角形周长为．一方面面积，另一方面三角形面积等于内切圆半径乘以周长的一半，即．因为两个表达式都表示的面积，所以联立两个式子消去和，即可得到与的比值． 【详解】设与的切点为E、F、G，，，的半径为R，连接， 由题得，， ∴的周长为． 以为底、为高，的面积为， 又∵的面积可表示为 ， ∴联立等式， 得， ∴． 9． 【分析】本题考查一元二次方程的解的概念和代数式求值．将代入原方程，得到，再对所求代数式进行变形，整体代入计算． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 10．4.5 【分析】把数据从小到大排列，然后根据中位数的求法即可进行求解． 【详解】解：由题意可把数据从小到大排列为1，3，4，5，5，5，则中位数为； 故答案为4.5． 11． 【分析】根据反比例函数图象所在象限可得比例系数小于0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象分布在第二、第四象限， ∴， 解得． 12．40 【分析】根据圆周角定理得到的度数，再利用两直线平行同旁内角互补即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为：． 13． 【分析】抛一枚质地均匀的硬币，有可能是正面朝上，也有可能是反面朝上，由此问题可求解． 【详解】解：∵抛一枚质地均匀的硬币，有可能是正面朝上，也有可能是反面朝上， ∴抛第次时反面朝上的概率是； 故答案为． 14．8 【详解】解：设有人参加这次聚会， ∵每两人都互赠了一件礼物， ∴每人要送出件礼物， 依题意得， 解得：，（不符合题意，舍去）， 参加聚会的人有8人． 15． 【分析】本题考查圆锥的计算，勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式． 首先利用勾股定理求得底面半径，根据圆锥的侧面展开图是扇形，且扇形的弧长等于圆锥底面圆和周长，扇形半径等于圆锥母线长，则利用扇形的面积等于弧长乘以半径的一半计算即可． 【详解】解：圆锥的底面半径是：， ∴侧面积是： 故答案为：． 16． 【分析】本题考查了数据的方差，先求出数据的平均数，再根据方差公式计算即可求解，掌握方差计算公式是解题的关键． 【详解】解：数据的平均数， ∴， 故答案为：． 17． 【分析】已知与成反比例函数关系，先设出反比例函数表达式，利用已知条件求出比例系数，再代入目标像高计算对应小孔到物体的距离即可． 【详解】解：设与的反比例函数解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 反比例函数解析式为， 当时，代入得， 解得， 即小孔到物体的距离为． 18．/度 【分析】由切线的性质定理得，在中利用直角三角形两个锐角互余求出，最后根据同弧所对的圆周角相等得． 【详解】解：∵与相切于点A， ∴， ∴， ∴，即， ∵和都是所对的圆周角， ∴． 19．(1)， (2)， 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∴， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∴或， ∴，． 20．(1) (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【详解】（1）解：由题意得， ， 解得； （2）解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 21．(1) (2)70 (3)由（1）（2）可知，两个年级的平均数相同，（1）班的方差小于（2）班的方差，成绩较为稳定，故（1）班的复赛成绩较好．（答案不唯一，合理即可） 【分析】本题考查求平均数，中位数，众数和方差，从条形图中有效的获取信息，熟练掌握相关数据的计算方法，是解题的关键： （1）根据平均数，中位数和众数的计算方法，求解即可； （2）根据方差的计算公式进行计算即可； （3）利用方差作决策即可． 【详解】（1）解：， 九（2）班的五位成绩排序后，； 九（1）班成绩中出现次数最多的是，故； 故答案为：； （2）； （3）略 22．此游戏不公平，见解析 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式分别计算出两人获胜的概率，比较是否相等即可得出答案． 【详解】解：不公平，理由如下： 小明摸球情况列表如下： 白 蓝 红 红 白 （白，白） （蓝，白） （红，白） （红，白） 蓝 （白，蓝） （蓝，蓝） （红，蓝） （红，蓝） 红 （白，红） （蓝，红） （红，红） （红，红） 红 （白，红） （蓝，红） （红，红） （红，红） 由表知，共有16种等可能结果，其中小明能配成紫色的有4种结果， 所以小明获胜的概率为； 小丽摸球情况列表如下： 白 蓝 红 红 白 （蓝，白） （红，白） （红，白） 蓝 （白，蓝） （红，蓝） （红，蓝） 红 （白，红） （蓝，红） （红，红） 红 （白，红） （蓝，红） （红，红） 由表知，共有12种等可能结果，其中小丽能配成紫色的有4种结果， 所以小丽获胜的概率为， ∵， ∴此游戏不公平． 23．(1) (2) 【详解】（1）解：设反比例函数， ∵当时，， ， ∴函数的解析式为； （2）解：∵，， ∴双曲线位于一，三象限，在每一个象限内，随着的值的增大而减小， ∵点、、在反比例函数的图象上，且， ∴，即. 24．(1) (2)， 【分析】本题主要考查了三角形的外心，利用网格求线段长度，勾股定理逆定理等，掌握三角形的外心是三边垂直平分线的交点是正确解答此题的关键． （1）的垂直平分线所在的直线为，可知圆心在直线上，设，根据，可求点坐标． （2）通过点坐标可求出长度，即为半径，然后再求出长度，进而通过勾股定理逆定理即可求得． 【详解】（1）解：， 的垂直平分线所在直线上， 圆心在直线上，设， ， ， 解得， 故答案为：． （2）解：∵圆心D点坐标为：， ∴半径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，， 故答案为：，． 25．(1)证明： 连接，如图， ， ， 是的平分线， ， ， ， 又， ， 是的半径， 直线是的切线． (2) 【分析】（1）要证明是圆的切线，根据切线判定定理，需证半径与直线垂直，因此先连接，利用得出，结合是角平分线得到，进而推出，再由得到，结合是圆的半径，即可证明是切线； （2）求圆的直径，先设半径为，过点作于，结合、的条件判定四边形为矩形，得出、，进而表示出，再在中运用勾股定理列出关于的方程，求解出半径后，即可得到圆的直径． 【详解】（1）略 （2）解：过点作于点，如图， ，， 四边形是矩形， ，， 设的半径为，则， ，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得， 直径． 26．（1）；（2）25；（3）最省． 【分析】题目主要考查反比例函数的应用及分式方程的解法，不等式的应用、方案问题，理解题意，列出相应的函数关系式及方程是解题关键． 任务1、根据面积直接得出函数关系式； 任务2、根据题意得，得出，然后联立求解即可，最后进行验证即可； 任务3、根据题意得出x可以为20、24、25、30，然后分别求解比较即可． 【详解】解：任务1：根据题意得：，即． 任务2：根据题意得， ∵塑料薄膜用了， ∴， 将代入得：， 解得：或， 经检验：或是原分式方程的解， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴的长为25米； 任务3：∵x、y都是整数，，， ∴， ∴x可以为20、24、25、30， ∴共有四种方案： 方案一、，此时塑料膜用料为； 方案二、，此时塑料膜用料为； 方案三、，此时塑料膜用料为； 方案四、，此时塑料膜用料为； ∴用料最省的围建方案是最省． 27．（1）①；②1+；（2）t=5-2或=5+2；（3）圆心M的横坐标x的取值范围为+1≤x≤4或-4≤x≤--1． 【分析】（1）由“绝对距离”的定义可求解； （2）根据“绝对距离”的定义可得AC=BC=3，求出满足条件的点C的坐标即可解决问题（注意有两种情形）； （3）当点M在y轴的右侧时，连接AM，求出d=4或8时，点M的坐标，即可判断，再根据对称性求出点M在y轴左侧的情形即可． 【详解】解：（1）①∵边长为1的正方形的“绝对距离”是对角线的长， ∴边长为1的正方形的“绝对距离”=； ②如图1， ∴上方是半径为1的半圆，下方是等边三角形的“绝对距离”是CH， ∴CH=1+， 故答案为：，1+； （2）如图2中， ∵A（0，-1），B（0，1）， ∴OA=OB=1，AB=2， ∵CO⊥AB， ∴CA=CB， ∵d=3，不妨设AC=BC=3，则OC=， ∴t=5-2或=5+2； （3）如图3中，当点M在y轴的右侧时，连接AM． ∵对于⊙M上任意点C，都有4≤d≤8， ∴当d=4时，点C在x轴上，此时OC=，OM=+1， 当d=8时，AM=7，此时OM=， ∴点M的横坐标+1≤x≤4， 根据对称性，-4≤x≤--1也满足条件． 综上所述，满足条件的圆心M的横坐标x的取值范围为+1≤x≤4或-4≤x≤--1． 28．(1)①； ②证明：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ． (2)4 【分析】（1）①由垂径定理可得，由等腰三角形的性质可得，再由8字模型求解即可； ②连接，根据圆周角定理及等腰三角形的判定和性质证明即可； （2）连接，延长，过A作于D，根据圆周角定理可得平分，再根据角平分线的性质和全等三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ， ∵， ∴， ∵， ， ， ∴， 故答案为：； 略 ② （2）解：连接，延长，过A作于D， ， ， ，， ， ， ， ， 平分， ，， ，， ， ， ， ， ，， ， ． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $