期中复习专题05 基本不等式【知识清单+10大考点+强化训练】讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

专题05 基本不等式 知识点1：基本不等式常用的结论 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 推论：（） 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）； 3、 知识点2：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 知识点3：利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 考点一 对基本不等式的理解 考点二 直接利用均值不等式求最值 考点三 利用“1”的妙用求最值 考点四 利用配凑法求最值 考点五 利用消元法求最值 考点六 利用换元法求最值 考点七 一不正、三不等求最值 考点八 多次使用均值不等式求最值 考点九 基本不等式恒成立问题求参数 考点十 基本不等式的实际问题的应用 考点一 对基本不等式的理解 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由完全平方公式的非负性可知，对任意实数,有， 展开整理得，移项后可得， 由于该不等式对全体实数都成立，故A正确，B错误； 再由不等式成立的前提是均为非负数， 若都为负数，根号内有意义且不等式显然不成立，故C错误； 若都为正数，则可得，故D错误. 2．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题图可知，，. 在中，由勾股定理可得. ，. 3．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据，整理变形，可判断A的正误；根据基本不等式可判断B、C的正误；利用作差法，可判断D的正误. 【详解】选项A：因为，所以， 所以，当且仅当时取等号，故A正确； 选项B：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故B错误； 选项C：因为，，所以，即， 当且仅当时取等号，故C正确； 选项D：， 当且仅当时取等号，所以，故D正确. 故选：ACD 4．（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 【答案】ABD 【详解】对于A，由正方形的面积为，8个朱色图形的面积为，显然，故A正确； 对于B，由图得正方形的面积为，4个朱色图形的面积为，由图可知，故B正确； 对于C，由三角形面积大于黄色图形面积得，所以，故C错误； 对于D，由正方形面积的2倍大于正方形面积得，故D正确. 考点二 直接利用均值不等式求最值 5．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知，则的最大值为__________． 【答案】 【详解】由，得， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最大值为. 6．（26-27高一上·云南大理·阶段检测）已知，，且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】利用基本不等式，结合已知为定值求解即可. 【详解】因为，，则，当且仅当时，等号成立. 联立，解得，，均满足，，故等号可取. 因此的最小值为. 7．（26-27高一上·广东江门·阶段检测）已知，则的最小值为（     ） A．2 B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】已知，因此，， 所以 ，当且仅当，即时等号成立. 因此的最小值为8. 8．（25-26高二下·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 【答案】/0.25 【详解】（当且仅当时，取等号），所以的最大值为 考点三 利用“1”的妙用求最值 9．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____________. 【答案】 【分析】利用，将式子里面的替换为，展开化简分式，再利用基本不等式求最小值. 【详解】因为，， 所以. 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. 10．（26-27高三上·宁夏吴忠·阶段检测）若，，且，则的最小值是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的代换求解最值即可. 【详解】因为，，且，即， 则， 当且仅当，即，时，等号成立. 11．（26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为______． 【答案】/ 【分析】对已知等式两边同除以，构造出和为定值的分式，使用乘“”法，将目标表达式乘这个定值，展开后利用基本不等式求最小值，最后验证等号成立条件. 【详解】因为，，在两边同时除以，得. 所以. 因为，，所以，. 由基本不等式得，. 所以. 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 12．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若正实数，满足，则的最小值为__________． 【答案】/ 【分析】先将转换成只有分母有未知数的形式，再利用基本不等式中的乘1法求解即可. 【详解】化简得. 当且仅当时取得最小值，结合正实数，满足可得，符合题意. 考点四 利用配凑法求最值 13．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）若的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当即时取等号. 14．（26-27高一上·天津和平·阶段检测）已知，，且，则的最小值为____________． 【答案】 【分析】转化所求的形式，利用“1”的代换的方法，结合基本不等式求得最小值. 【详解】观察，可知， 其中 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以. 15．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为，，且， 则，当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为. （2）因为，，且， 则 ， 即， 当且仅当，即或时，取等号， 的最小值为. 16．（26-27高一上·山东菏泽·阶段检测）（1）已知均为正数，且，求的最小值. （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的最大值. 【答案】（1）16；（2）1；（3） 【分析】（1）利用基本不等式“1”的代换进行求解；（2）和（3）变形后利用基本不等式进行求解 【详解】（1）， ， 当且仅当，即取等号. 最小值为； （2），则 ， 当，即取等号，最大值为； （3） ， 当，即取等号，最大值为. 考点五 利用消元法求最值 17．（26-27高一上·全国·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由条件消去，得到，再用基本不等式求最小值. 【详解】由得. 因为，，故，且， 所以，因为， 当，时等号成立， 又，所以，故， 所以的最小值为. 18．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】原等式变形为，再由基本不等式求解即可． 【详解】由得，得， 则， 等号成立时，，即， 故的最小值为． 19．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）若正数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，且，消去y，得到，由基本不等式求得最小值即可. 【详解】由，可得， 不等式变形得，结合，解得. , 当且仅当，即时取等号. 20．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从已知等式中解出关于的表达式，代入目标式后利用基本不等式求最小值，验证等号成立条件即可得到结果. 【详解】由得，即，则. 所以， 当且仅当，即时等号成立. 此时，因此的最小值为. 考点六 利用换元法求最值 21．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）对原式拆项变形，凑出与，利用基本不等式求最小值并验证等号成立条件； （2）先由条件推出，换元简化目标式，再使用基本不等式求得最小值． 【详解】（1），则， ， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为3； （2），则，即， 由，且，故，故， 令，则， ， 当且仅当，即时取等号，故最小值为． 22．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）已知正实数 ， 满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】对A：因为， 所以（舍去）或. 所以，当且仅当时取“”.故A正确； 对B：因为， 所以（舍去）或（当且仅当时取“”）.故B错误； 对C:由， 因为，均为正实数，且，所以，. 所以，所以.故C正确； 对D：因为，且，， 所以，当且仅当即时取“”.故D正确. 23．（26-27高三·全国·二轮复习）若正实数，满足，则的最小值为 __． 【答案】 【分析】法一：根据换元法，先对条件式因式分解后设，将用表示，再把目标表达式转化为关于的代数式，最后利用均值不等式求解最小值并验证等号条件即可；法二：根据齐次化结合一元二次方程判别式，先根据条件与目标式齐次的特点，设比值，然后将二元最值问题转化为单变量方程存在大于2的正实数根的问题，利用一元二次方程判别式建立不等式，最后需要检验等号对应的根满足，进而求出目标式的最小值. 【详解】法一：， 设 ， ∵， ∴，， ∴，， ∵，， ∴ 由基本不等式： 当且仅当 ，即 时取等号， ， 验证等号条件：当，结合，，均为正数， ，满足 ， 可解出正实数，等号可取， 的最小值为 . 法二（齐次化）：设 ，令 ， 由 ，将 代入： ， 两式相除：，整理得：， 该方程存在大于2的正实根， ， 即， 解得 或 ， 检验： 对应的根不满足 ，舍去， 将 代入方程，解得正根 ，符合条件， 故 的最小值为 . 24．（26-27高一上·天津和平·阶段检测）若实数（，），则的最小值为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】先对所求分式拆分化简，结合已知等式得到两个正数的和为定值，利用基本不等式求解最小值。 【详解】对任意，，有，，因此. 由已知，可得，令，，则，，且. 此时只需求的最小值，即. 因为，，所以，当且仅当，即时等号成立. 代入得，即. 验证等号成立条件：当时，结合得，即，，满足的已知条件，等号可取。 故的最小值为. 考点七 一不正、三不等求最值 25．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）将原函数解析式变形为，利用基本不等式处理； （2）由可得，则，展开利用基本不等式处理. （3）应用基本不等式结合一元二次不等式计算求解. 【详解】（1）∵，∴. ∴ ， 当且仅当，即时等号成立， ∴的最大值为. （2）因为，，则由得， 则，当且仅当，即时等号成立. ∴的最小值是. （3），所以，所以， 所以或，又因为，所以 所以，当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为； 26．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）（多选）下列四个命题中，正确的选项为（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A、B需通过拆凑项和提取负号构造条件，再利用基本不等式定值，并注意验证等号条件与定义域是否匹配；C通过换元由对勾函数的单调性求最值；D需连续两次使用均值不等式，关键在于验证两次等号条件能否同时满足. 【详解】选项A因为 ，所以 ，将原式拆凑：， 由基本不等式，， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以 ，选项A正确； 选项B因为 ，所以 ， 则， 当且仅当 ，即 时取等号， 所以最大值为 ，选项B正确； 选项C令 ，则 ，且 ，代入得：， 对勾函数 在 上单调递增， 故在 处取最小值：，选项C错误； 选项D，因为，当且仅当 （即 ）时取等， 于是：， 因为 ，又，当且仅当 ，即 时取等. 验证两次等号能否同时取到：由 得 ，代入 得， ，存在实数解，所以最小值为 ，选项D正确. 27．（26-27高一上·全国·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．当时，的最大值是-1 B．当时，的最大值是5 C．的最小值是2 D．对正实数，若，则的最小值为3 【答案】C 【分析】逐项利用基本不等式求解最值，检验等号成立条件，识别 C 选项等号无法成立，判定 C 为错误说法. 【详解】对于A：因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，A正确； 对于B：，当且仅当，即时取等号， 所以的最大值是，B正确； 对于C：，因为无解， 所以等号不成立，即，所以不是的最小值，C错误； 对于D：由得， 所以， 当且仅当时取等号，结合可得此时， 所以的最小值为3，D正确. 28．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）（多选）下列选项正确的有（   ） A．已知实数，，则 B．的最小值为2 C．已知，，，则最小值为11 D．已知，，的最小值为22 【答案】AC 【分析】利用基本不等式即可结合选项逐一求解. 【详解】A选项，，A正确； B选项，，由于无实数解，故等号取不到，因此取不到2，B错误； C选项，，当且仅当，即，时等号成立，C正确； D选项，令，，则 当且仅当，即，，即，时等号成立，D错误； 考点八 多次使用均值不等式求最值 29．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知 ，，，且 ，则 的最小值为_______． 【答案】 【详解】先用 把 化成关于的式子求最小值，再把与 配成“积为定值”． 【解答】由 得 ，，，，． 令 ，则 ，当时，即时等号成立， ，记 ，， 则原式 ， 而 ， 原式， 当 （即 ）、（即 ）时取等号，最小值为 ． 故答案为：． 30．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）已知，，，且，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】先由，把化成，利用不等式求其最小值，从而得，再结合基本不等式求得的最小值. 【详解】因为， 当且仅当，即时，等号成立. 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立. 所以当且仅当且时， 取得最小值，最小值为. 31．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过换元再结合基本不等式可得，再用基本不等式求的最小值可得. 【详解】已知，则， 所以 ， 当且仅当时等号成立，将代入得. 因此. 所以， 当且仅当时等号成立，由解得. 因此当，时，取得最小值. 32．（26-27高一上·全国·课后作业）已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 【答案】 【分析】先对进行拆分，分别求出和的最小值．对于，提取后，利用，构造齐次式，从而借助基本不等式求得最小值；对于，将看作常数，借助基本不等式求得最小值．求得的两个最小值都与有关，观察后再次借助基本不等式求得最小值． 【详解】， 当且仅当，即，时，等号成立． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以， 当且仅当，即时，等号成立． 故的最小值为，此时，，，． 考点九 基本不等式恒成立问题求参数 33．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是________． 【答案】 【分析】利用“1”的代换结合基本不等式可求的最小值，从而可求满足条件的整数的个数. 【详解】因为，故，所以 ， 当且仅当即时等号成立， 故的最小值为，故，解得， 故满足条件的整数的个数是. 34．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【分析】利用将一次项齐次化，分离参数后用基本不等式求右侧的最小值，并核对取等条件． 【详解】由得，故原不等式等价于． 因为，两边同除以，移项得． 由基本不等式得， 当且仅当，即且即，时等号成立． 因此，原不等式恒成立可得：． 故实数的取值范围为. 35．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测），恒成立，则实数的最大值为（     ） A．8 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】对不等式变形分离参数，利用齐次特征换元转化为单变量函数，借助基本不等式求函数最小值，从而得到的最大值. 【详解】，， 令，由，得，， 问题转化为：在恒成立.求，即求最小值， 令， ， 由基本不等式：，当且仅当取等， ， ，即，， 所以，最大值为. 36．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知，，且，若存在，使成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对化简得到，利用基本不等式“1”的代换求解即可. 【详解】由题可得，其中， 存在，使成立，则， 当且仅当，即，时，有最小值， 所以，即实数的取值范围是. 考点十 基本不等式的实际问题的应用 37．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为40米， （i），为何值时，菜园面积最大； （ii），为何值时，有最小值，最小值是多少． 【答案】(1)， (2)（i），（ii）， 【详解】（1）由题意可得：菜园面积 ，篱笆总长 . 因为， 由基本不等式：， 等号成立条件：当且仅当，即， 当米，米时，篱笆总长最小. （2）（i）由基本不等式， 得， 两边平方得：.等号条件：， 联立，解得， 所以，当米，米时，菜园面积最大. （ii）设 已知 ，所以 . 所以 ， ，由基本不等式得：， 所以，当且仅当，等号条件. 联立，解得， 所以当米，米时，最小值为. 38．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下面模型中，恒有的是（     ） A．点到长度为10的线段的两端点，的距离分别为， B．用不等臂长天平称重时，将5克的砝码放在左托盘，右托盘放入克黄金令天平平衡；再将5克的砝码放在右托盘，左托盘放入克黄金令天平平衡 C．以10米/分钟的平均速度走完100米，前4分钟走得比较快，速度为米/分钟；后面走得比较慢，速度为米/分钟 D．受价格的波动，分两次购买某物品其单价分别为，千元，且，的平均值是1，每次都用5千元购买，购得物品量分别为， 【答案】BCD 【详解】选项A：当点在线段上时，，不满足，故A错误. 选项B：设天平左右臂长为（），由杠杆平衡原理得，， 则，， 因此（等号取不到），故B正确. 选项C：总用时为分钟，后段用时6分钟，总路程， 由前半段速度更快得即，则， 故，故C正确. 选项D：由题意得（），，，则， 由（等号取不到），得，故D正确. 39．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若，满足，则菜园面积最小为多少平方米？ 【答案】(1) 当 ， 时，所用篱笆总长最小 (2) 【分析】 （1）根据矩形面积公式得到 ，利用基本不等式求 的最小值及取等条件； （2）将已知等式变形为 ，利用基本不等式 构建关于 的不等式求解. 【详解】（1）由题意可知，菜园的面积 ，且 ，． 所用篱笆总长 ． 根据基本不等式，可得 将 ,代入上式， 得 ,当且仅当 时，等号成立． 联立 ，解得 , 所以，当 ， 时，所用篱笆总长最小． （2） 由题意可知，，，且满足 ，即 ． 根据基本不等式，有 ，当且仅当 时等号成立． 所以 ． 令 ()，则 ． 上述不等式可化为 ，即 ． 因为 ，所以 ，故 ，解得 ． 所以 ，即 ． 当且仅当 时，等号成立，此时满足 ． 所以菜园面积最小为 平方米. 40．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）某工厂拟建造一个长方体无盖蓄水池，要求容积为，深为．已知池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元． (1)设池底的一边长为，试写出总造价（元）关于的函数关系式，并指出其定义域； (2)当池底的两边长各为多少米时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 【答案】(1)，定义域为． (2)池底两边长均为时总造价最低，最低总造价为元． 【详解】（1）池底面积为，则池底另一边长为． 由于池底边长为正，所以． 池底造价为元． 池壁面积为． 池壁造价为元． 所以总造价为，定义域为． （2）由，有且． 由基本不等式得． 当且仅当，即时取等号，即当时等号成立， 此时池底另一边长为，且总造价的最小值为元． 1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】令，则，因为，可得， 可得， 当且仅当时，即时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 2．（26-27高一上·四川广元·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【详解】因为 ，，， 所以 当且仅当 ，即 时取等号； 即，时，的最小值为8. 选项A正确. 3．（26-27高三·全国·二轮复习）已知，为非负实数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分离常数法，构造积定的形式，利用基本不等式进行计算；或直接利用权方和不等式代入计算即可． 【详解】法一：因为，为非负实数，且，即， 则 ， 当且仅当，即，时取等号． 法二：考虑， 当且仅当时等号成立，此时，． 4．（26-27高一上·海南海口·阶段检测）学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划．如图，墙角线和互相垂直，学校欲建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上．若欲建一条长为米的走廊，当的面积最大时，的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【详解】设 ，，因为 ，且，所以由勾股定理可得， 又三角形的面积， 要使面积最大，只需使 最大， 由基本不等式可得，当且仅当 时取等号， 结合可得当时，的面积取最大值，此时 5．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）下列说法中正确的个数是（　　） ①的最小值为               ②的最小值为 ③已知，则          ④已知，则 A． B． C． D． 【答案】C 【详解】①令 ，则原式 ，等号成立时，取不到， 故的最小值不是，故①错误； ②，当时取等号，故②正确； ③，，，，当时取等，故③正确； ④，当 时取等号，故④正确． 6．（26-27高一上·浙江温州·阶段检测）已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．最小值为4 B．最大值为4 C．xy最小值为2 D．xy最大值为2 【答案】A 【分析】利用基本不等式，通过换元分别构造关于和的不等式，求解最值后判断选项正误 【详解】已知，由基本不等式可得，当且仅当时等号成立， 设，，由基本不等式得，即，将题设条件变形为，代入上述不等式得 ， 两边同乘4整理得，因式分解为.因为，故， 即的最小值为4，当且仅当时取等号，因此A正确，B错误； 将题设条件变形为，代入基本不等式，得 ， 即 ，令，不等式变为， 因式分解为，因为，故，即，平方得， 即的最小值为4，因此C、D均错误. 7．（26-27高一上·浙江湖州·阶段检测）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，， ， 当 ，即 时取等号，最小值为 ． 8．（26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）若对任意正数a，b，c，满足，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法确定分配的系数，再利用基本不等式即可. 【详解】由题意得， 设，其中， 则，令， 从而， 当且仅当即时等号成立， 所以，故. 9．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABC 【分析】利用基本不等式求解判断AC；利用基本不等式“1”的妙用求出最小值判断B；举例说明判断D. 【详解】对于A，由正实数满足，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，，当且仅当时取等号，C正确； 对于D，取，满足，而，D错误. 10．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值 C．的最大值是2 D．的最大值是 【答案】ABD 【分析】对于A由即可判断，对于B，利用基本不等式即可判断，对于C利用基本不等式即可判断，对于D转化为，令，则，转化为，令，，则，最后利用基本不等式即可判断. 【详解】对于A，由，所以，所以，故A正确； 对于B，由题意得，， 当时，即，等号成立，故B正确； 对于C，由，所以，当时，等号成立， 所以的最大值是，故C错误； 对于D，由，得， 令，则， 原式， 令，，则，所以， 当，即时，等号成立，所以，故D正确. 11．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知，，，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最小值为1 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】BD 【分析】对于A直接用基本不等式可得；对B由得，再用基本不等式可得；对于C，利用“1”的妙用变形为，再结合基本不等式推导可得；对于D先将变形为，再结合，并利用基本不等式可得． 【详解】对于选项A：由基本不等式，当且仅当时取等号， 所以的最大值为1，没有最小值（可趋近于），A错误； 对于选项B：由得， 又因为， 当且仅当，即，时等号成立，B正确； 对于选项C：， 当且仅当时取等号，C错误； 对于选项D：因为 ， 又因为，，，所以，即，所以 ， 当且仅当​时取等号，由得， 即代入，得，． 故当，时，的最小值为，D正确． 12．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）设为正数，且，则的最大值为______． 【答案】16 【分析】先对条件式变形得到，则，直接用和定积最大的基本不等式求最大值. 【详解】由，，两边同除以得， 即，故， ， 当且仅当即时取等号，此时，． 则的最大值为. 13．（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）已知正数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为________． 【答案】（或） 【分析】由恒成立，得，利用基本不等式即可求解. 【详解】由题意得：恒成立，即， ，所以， 当时，即时，等号成立， 所以. 14．（26-27高一上·天津南开·阶段检测）已知正数，满足，则的最大值为________． 【答案】 【分析】应用已知化简，再结合基本不等式计算求解. 【详解】正数，满足， 所以，化简得， 所以， 又因为，所以，所以， 当且仅当时取等号，所以， 则的最大值为. 15．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． (3)已知正数，满足，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) （或） 【分析】（1）凑项构造和为定值的形式，利用基本不等式求最小值； （2）通过1的代换构造乘积为定值的结构，结合基本不等式求最小值； （3）利用完全平方公式将原式转化为关于的二次函数，结合基本不等式确定的范围，再求二次函数的最大值 【详解】（1）由得，， 则， 当且仅当，即（舍去负值）时等号成立，所以的最小值为. （2） 因为，且， 则, 当且仅当即时取等号， 故最小值为. （3）因为，且， 由完全平方公式得， 则原式， 令，原式化为 由基本不等式得， 即，解得，即， 二次函数开口向下，对称轴为直线，， 故在上单调递增， 当时，取最大值， 当且仅当即时取等号，故最大值为. 16．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）问题：正实数、满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，满足，且恒成立，求实数的最大值； (3)若实数，，，满足，求证：． 【答案】(1) (2) (3)证明：. 因为， 所以. 所以， 即. 【分析】（1）仿照题干中的解法，将与相乘之后，再用基本不等式可以解决； （2）仿照题干中的解法，将与相乘之后求出的最小值，恒成立问题中的最大值等于的最小值； （3）仿照题干中的解法，将与相乘展开，再利用基本不等式放缩完成证明. 【详解】（1）因为，， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为. （2）因为，， 所以， 当且仅当且，即时取等号. 所以的最小值为， 因为恒成立，所以， 故的最大值为. （3）略 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 基本不等式 知识点1：基本不等式常用的结论 1、如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 推论：（） 2、如果，,则，（当且仅当时取等号“=”）. 推论：（，）； 3、 知识点2：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 知识点3：利用基本不等式求最值的方法 1、直接法：条件和问题间存在基本不等式的关系 2、配凑法：凑出“和为定值”或“积为定值”，直接使用基本不等式。 3、代换法：代换法适用于条件最值中，出现分式的情况 类型1：分母为单项式，利用“1”的代换运算，也称乘“1”法； 类型2：分母为多项式时 方法1：观察法 适合与简单型，可以让两个分母相加看是否与给的分子型成倍数关系； 方法2：待定系数法，适用于所有的形式， 如分母为与，分子为， 设 ∴，解得： 4、消元法：当题目中的变元比较多的时候，可以考虑削减变元，转化为双变量或者单变量问题。 5、构造不等式法：寻找条件和问题之间的关系，通过重新分配，使用基本不等式得到含有问题代数式的不等式，通过解不等式得出范围，从而求得最值。 考点一 对基本不等式的理解 考点二 直接利用均值不等式求最值 考点三 利用“1”的妙用求最值 考点四 利用配凑法求最值 考点五 利用消元法求最值 考点六 利用换元法求最值 考点七 一不正、三不等求最值 考点八 多次使用均值不等式求最值 考点九 基本不等式恒成立问题求参数 考点十 基本不等式的实际问题的应用 考点一 对基本不等式的理解 1．（26-27高一上·全国·课堂例题）下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高一上·安徽阜阳·阶段检测）《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法是后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，可以直接通过比较线段与线段的长度完成的无字证明为（  ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一上·四川眉山·期中）（多选）对于，，下列不等式中正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（2026·辽宁锦州·模拟预测）（多选）魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中利用图1给出了勾股定理的证明．设每个直角三角形的两条直角边长分别为和如图2．由刘徽构造的图形可以得到许多重要结论，则下列推理正确的是（   ） A．由正方形面积大于8个朱色图形面积得 B．由正方形面积大于4个朱色图形面积得 C．由三角形面积大于黄色图形面积得 D．由正方形面积的2倍大于正方形面积得 考点二 直接利用均值不等式求最值 5．（26-27高一上·北京西城·阶段检测）已知，则的最大值为__________． 6．（26-27高一上·云南大理·阶段检测）已知，，且，则的最小值为________． 7．（26-27高一上·广东江门·阶段检测）已知，则的最小值为（     ） A．2 B．4 C． D．8 8．（25-26高二下·福建福州·期末）设，为正数，且，则的最大值为__________． 考点三 利用“1”的妙用求最值 9．（26-27高一上·天津河西·阶段检测）已知正实数，满足，则的最小值为____________. 10．（26-27高三上·宁夏吴忠·阶段检测）若，，且，则的最小值是（ ） A．8 B．6 C．4 D．2 11．（26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）已知，，且，则的最小值为______． 12．（26-27高一上·上海浦东新·阶段检测）若正实数，满足，则的最小值为__________． 考点四 利用配凑法求最值 13．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）若的最小值是（    ） A．4 B．5 C．6 D．9 14．（26-27高一上·天津和平·阶段检测）已知，，且，则的最小值为____________． 15．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）已知，，且． (1)求的最小值； (2)求的最小值． 16．（26-27高一上·山东菏泽·阶段检测）（1）已知均为正数，且，求的最小值. （2）已知，求的最大值； （3）已知，求的最大值. 考点五 利用消元法求最值 17．（26-27高一上·全国·阶段检测）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 18．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知，，，则的最小值为（     ） A． B． C． D．2 19．（26-27高一上·天津滨海新区·阶段检测）若正数，满足，则的最小值是（     ） A． B． C． D． 20．（26-27高一上·江苏连云港·阶段检测）已知，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点六 利用换元法求最值 21．（26-27高一上·江苏徐州·阶段检测）（1）已知，求的最小值； （2）已知正数，满足，求的最小值． 22．（26-27高一上·江苏淮安·阶段检测）（多选）已知正实数 ， 满足，则（    ） A． B． C． D． 23．（26-27高三·全国·二轮复习）若正实数，满足，则的最小值为 __． 24．（26-27高一上·天津和平·阶段检测）若实数（，），则的最小值为（     ） A．6 B．4 C．3 D．2 考点七 一不正、三不等求最值 25．（26-27高一上·河北唐山·阶段检测）（1）已知，求的最大值； （2）设，，且，求的最小值． （3）若，求的最小值 26．（26-27高一上·山西太原·阶段检测）（多选）下列四个命题中，正确的选项为（    ） A．若，则的最小值为 B．若，则的最大值为 C．函数的最小值为 D．若，则的最小值为 27．（26-27高一上·全国·阶段检测）下列说法错误的是（     ） A．当时，的最大值是-1 B．当时，的最大值是5 C．的最小值是2 D．对正实数，若，则的最小值为3 28．（26-27高一上·甘肃兰州·阶段检测）（多选）下列选项正确的有（   ） A．已知实数，，则 B．的最小值为2 C．已知，，，则最小值为11 D．已知，，的最小值为22 考点八 多次使用均值不等式求最值 29．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）已知 ，，，且 ，则 的最小值为_______． 30．（26-27高一上·上海宝山·阶段检测）已知，，，且，则的最小值为__________． 31．（26-27高一上·浙江宁波·阶段检测）已知，，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．（26-27高一上·全国·课后作业）已知正实数，，，满足且，则的最小值为________． 考点九 基本不等式恒成立问题求参数 33．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知实数，且，若恒成立，则满足条件的整数的个数是________． 34．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知正实数，满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是__________． 35．（26-27高一上·江苏扬州·阶段检测），恒成立，则实数的最大值为（     ） A．8 B．4 C．6 D．12 36．（26-27高一上·河南·阶段检测）已知，，且，若存在，使成立，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点十 基本不等式的实际问题的应用 37．（26-27高一上·安徽马鞍山·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小； (2)若使用的篱笆总长为40米， （i），为何值时，菜园面积最大； （ii），为何值时，有最小值，最小值是多少． 38．（26-27高一上·广东佛山·阶段检测）（多选）下面模型中，恒有的是（     ） A．点到长度为10的线段的两端点，的距离分别为， B．用不等臂长天平称重时，将5克的砝码放在左托盘，右托盘放入克黄金令天平平衡；再将5克的砝码放在右托盘，左托盘放入克黄金令天平平衡 C．以10米/分钟的平均速度走完100米，前4分钟走得比较快，速度为米/分钟；后面走得比较慢，速度为米/分钟 D．受价格的波动，分两次购买某物品其单价分别为，千元，且，的平均值是1，每次都用5千元购买，购得物品量分别为， 39．（26-27高一上·安徽阜阳·阶段检测）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙足够长）的矩形菜园．设菜园的长为米，宽为米． (1)若菜园面积为72平方米，则，为何值时，所用篱笆总长最小？ (2)若，满足，则菜园面积最小为多少平方米？ 40．（26-27高一上·浙江金华·阶段检测）某工厂拟建造一个长方体无盖蓄水池，要求容积为，深为．已知池底每平方米的造价为元，池壁每平方米的造价为元． (1)设池底的一边长为，试写出总造价（元）关于的函数关系式，并指出其定义域； (2)当池底的两边长各为多少米时，总造价最低？最低总造价是多少元？ 1．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）已知，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 2．（26-27高一上·四川广元·阶段检测）已知，则的最小值为（   ） A．8 B．4 C． D． 3．（26-27高三·全国·二轮复习）已知，为非负实数，且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 4．（26-27高一上·海南海口·阶段检测）学校为创建高品质特色高中，准备对校园内现有一处墙角进行规划．如图，墙角线和互相垂直，学校欲建一条直线型走廊，其中的两个端点分别在这两墙角线上．若欲建一条长为米的走廊，当的面积最大时，的长度为（     ） A．米 B．米 C．米 D．米 5．（26-27高一上·天津武清·阶段检测）下列说法中正确的个数是（　　） ①的最小值为               ②的最小值为 ③已知，则          ④已知，则 A． B． C． D． 6．（26-27高一上·浙江温州·阶段检测）已知，，，则下列说法正确的是（    ） A．最小值为4 B．最大值为4 C．xy最小值为2 D．xy最大值为2 7．（26-27高一上·浙江湖州·阶段检测）已知 ，则 的最小值为（　　） A． B． C． D． 8．（26-27高一上·安徽淮南·阶段检测）若对任意正数a，b，c，满足，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．（26-27高一上·江苏苏州·阶段检测）（多选）已知正实数a，b满足，则下列结论正确的是（   ） A．ab的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值为 D．的最大值为 10．（26-27高一上·黑龙江哈尔滨·阶段检测）（多选）已知且，则下列说法正确的是（    ） A． B．的最小值 C．的最大值是2 D．的最大值是 11．（26-27高一上·江苏无锡·阶段检测）（多选）已知，，，则下列说法正确的有（   ） A．ab的最小值为1 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最小值为 12．（26-27高三上·陕西榆林·阶段检测）设为正数，且，则的最大值为______． 13．（26-27高一上·河北沧州·阶段检测）已知正数，满足，且恒成立，则实数的取值范围为________． 14．（26-27高一上·天津南开·阶段检测）已知正数，满足，则的最大值为________． 15．（26-27高一上·湖北武汉·阶段检测）已知，都是正实数，解决下列问题： (1)若，求的最小值； (2)若，求的最小值． (3)已知正数，满足，求的最大值． 16．（26-27高一上·上海普陀·阶段检测）问题：正实数、满足，求的最小值． 其中一种解法是：，当且仅当且时，即且时取等号．学习上述解法并解决下列问题： (1)若正实数，满足，求的最小值； (2)若正实数，满足，且恒成立，求实数的最大值； (3)若实数，，，满足，求证：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $