精品解析：上海市张江集团中学2026-2027学年第一学期八年级数学练习卷A(四)

张江集团中学2026学年第一学期初二数学练习A（四） 一．选择题 1. 下列方程不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列根式中， 最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 3. 若a+c=b，那么方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D. 0 4. 下列方程中有两个相等实数根的是（） A. B. C. D. 5. 已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（ ）． A. B. C. D. 6. 使等式成立的不同实数的个数有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题 7. 一元二次方程的各项系数之和等于________． 8. 已知，则的平方根是_____． 9. 计算：________． 10. 实数，化简：________． 11. 计算：________． 12. 解不等式：的解集是________． 13. 一元二次方程的根是_________． 14. 已知最简根式与是同类二次根式，则______． 15. 已知，，且，则________． 16. 已知与都是整数，则的值为________． 17. 若一元二次方程的二次项系数为，两根为和，则该方程的一般式为________． 18. 已知，则的值是________． 19. 已知是实数，，则的最大值为________． 20. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________． 21. 任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则___________；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 三．计算 22. 计算： （1）； （2）． 23. 解关于的方程： （1）； （2）； （3）；（用配方法） （4）； （5）； （6）． 三．解答题 24. 若，求的值． 25. 先化简，再求值，其中，． 26. 已知是方程的根，求的值． 27. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：该方程必定有一个实数根是． （2）用含的代数式表示方程的另外一个实数根． 28. 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”． （1）关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为______； （2）若关于的一元二次方程是“幸运方程”，求正整数的值． （3）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，直接写出的值为_______． 四．附加题： 29. 已知关于的方程，和有一个公共根，求证：这个公共根只能是． 30. 设实数，满足，，，求的值． 31. 若，是方程的两根，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张江集团中学2026学年第一学期初二数学练习A（四） 一．选择题 1. 下列方程不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0），对每个选项进行化简和判断 【详解】解：A、 是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、即，，不是一元二次方程，故该选项符合题意； C、 是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列根式中， 最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，关键是熟练应用定义． 由最简二次根式需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母，进行判断即可得到答案． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：无法分解为因数或因式的平方且不含分母，是最简二次根式，符合题意； D：被开方数含分母，不符合题意．   故选：C． 3. 若a+c=b，那么方程ax2+bx+c=0（a≠0）必有一根是（　　） A. 1 B. ﹣1 C. ±1 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据题意：当x=﹣1时，方程左边=a﹣b+c，而a+c=b，即a﹣b+c=0，所以当x=﹣1时，方程ax2+bx+c=0成立．故x=﹣1是方程的一个根．故选B． 4. 下列方程中有两个相等实数根的是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：A．，，该方程没有实数根． B．方程整理为，，该方程没有实数根． C．方程整理为，，该方程有两个相等实数根． D．，，该方程有两个不相等实数根． 5. 已知x是无理数，但是有理数，则下列各式中是有理数的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查多项式的运算，理解有理数加或减有理数结果为有理数是解题的关键． 由是有理数，则为有理数，再判断选项即可． 【详解】解：由是有理数，则为有理数， A、，又是有理数，x是无理数 所以是无理数，不符合题意； B、， 同理是无理数，不符合题意； C、，又是有理数，x是无理数 所以为无理数，即是无理数，不符合题意； D、，又是有理数， 所以是有理数，即是有理数，符合题意． 故选：D． 6. 使等式成立的不同实数的个数有（ ）． A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】C 【解析】 【分析】将看作整体换元，降次求解即可． 【详解】解：设，原方程可化为， 因式分解得， 解得，， ∵， ∴，不符合题意，舍去， 当时，， 解得，， 共2个不同实数解． 二．填空题 7. 一元二次方程的各项系数之和等于________． 【答案】 【解析】 【分析】方程已经是一元二次方程的一般形式，直接找出二次项系数、一次项系数、常数项后相加即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程符合一般形式（） ∴二次项系数为，一次项系数为，常数项为 各项系数之和为 ． 8. 已知，则的平方根是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，平方根的意义，先根据算术平方根的非负性求出a，b的值，然后代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 故答案为：． 9. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】利用完全平方公式分别展开两个式子，再合并同类二次根式计算得到结果． 【详解】解：根据完全平方公式展开计算， 展开第一个平方项： 展开第二个平方项： 将两个结果相加： 原式． 10. 实数，化简：________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件确定被开方数符号，利用二次根式性质化简，结合去绝对值得到结果． 【详解】解：∵ 二次根式有意义， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∴， 对被开方数因式分解得： ∵ ， ∴ ， ∴ 原式． 11. 计算：________． 【答案】 【解析】 【分析】将根号内的被开方数凑成完全平方式，再根据二次根式的性质计算即可. 【详解】解： ∵ ∴ ∵ ，即 ∴ 12. 解不等式：的解集是________． 【答案】 【解析】 【分析】通过移项整理不等式，系数化1后对结果分母有理化即可得到解集． 【详解】解：移项，得， 提取公因式，得， ∵， ∴不等式两边同时除以，不等号方向不变，得， 对右侧分母有理化，分子分母同乘，得， 即原不等式的解集为． 13. 一元二次方程的根是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一解一元二次方程—因式分解法，利用因式分解法将原方程分解成两个一元一次方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：， ， ， ∴或， ∴． 故答案为：． 14. 已知最简根式与是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元二次方程；根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，由此列出方程求解，并检验被开方数非负且根式为最简． 【详解】解：由题意，得． 整理得， 因式分解得， 解得或． 当时，被开方数，，但不是最简二次根式，与已知“最简根式”矛盾． 当时，被开方数，，且是最简二次根式，符合条件． 故答案为． 15. 已知，，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】先对，分母有理化，求出和的表达式，再将给定等式变形后代入求解． 【详解】解：∵ ， ∴ 对分母有理化，得 对分母有理化，得 ， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴ ∴ ， 代入，得 解得． 16. 已知与都是整数，则的值为________． 【答案】或 【解析】 【分析】设两个表达式的值为整数参数，利用，结合有理数和无理数的性质列方程组求解参数，即可得到的值． 【详解】解：设，，其中都是整数， 可得，， ∵ ， ∴ ， 展开整理得， ∵ 是整数，是无理数， ∴ 等式成立需满足，， 将代入，得， 解得或， 当时，； 当时，． 经检验，两个值都满足条件． 17. 若一元二次方程的二次项系数为，两根为和，则该方程的一般式为________． 【答案】 【解析】 【分析】已知二次项系数和方程的两根，利用根与系数的关系求出一次项系数和常数项，即可得到方程的一般式． 【详解】解：设该一元二次方程为，两根为，． 根据根与系数的关系可得： ， ， 计算，代入得，解得， 计算，代入得，解得， 因此该方程的一般式为． 18. 已知，则的值是________． 【答案】或 【解析】 【分析】将原式变形为关于的二次式，因式分解得到与的关系，再代入所求分式计算即可． 【详解】解：， 可变形为， 因式分解得：， 或， 两边平方得：或， 当时，代入得： ， 当时，代入得： ． 19. 已知是实数，，则的最大值为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则可推出，利用偶次方的非负性可得答案． 【详解】解：设，根据二次根式的定义，可得，变形得． 将代入，得： ， ∵， ∴， ∴，当且仅当时取得等号， ∴y的最大值为． 20. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的倍，则称这样的方程为“倍根方程”，若是倍根方程，则的值是________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出方程的两个根，根据倍根方程定义得到两种情况，求出和的关系，代入所求分式计算即可． 【详解】解：解方程，得，， ∵方程是倍根方程， ∴分两种情况讨论： 第一种情况：，即，可得， 代入得：； 第二种情况：，即，可得， 代入得： 综上，的值为． 21. 任意一个四位正整数，如果它的各个数位上的数字均不为零，千位与十位上的数字之和是10，百位与个位上的数字之和是9，则这个数称为“十拿九稳数”．将的千位与十位对调、百位与个位对调后的四位数记为，其中，则___________；若为整数，则满足条件的“十拿九稳数”的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. 9316 【解析】 【分析】①根据定义表示出，再代入计算即可； ②代入，根据定义，用仅含a，b的式子表示，再化简出所需式子的值为完全平方数的最简式，根据a，b的取值范围找出对应最大值的等式，再通过令a取得最大值的方式，求出最大值时b的取值，从而确定m． 【详解】解：由题意，得，，， ∴， ∴； 化简得， 由，，得，， ∴原式， 由题意，得是完全平方数， 又因数4是完全平方数， ∴是完全平方数， 由题意，得，， ∴， 满足题意的值有，，，和， ∵要使得m最大，故应千位数字a最大， 令，则，解得，（另两种情况显然不如该种情况数值大，故忽略） ∴，， ∴的最大值为9316． 三．计算 22. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 23. 解关于的方程： （1）； （2）； （3）；（用配方法） （4）； （5）； （6）． 【答案】（1） ， （2） ， （3） ， （4） ， （5） 当时，解为；当时，解为， （6） ， 【解析】 【分析】（1）用配方法变形后直接开方求解； （2） 移项提取公因式因式分解后求解； （3）按配方法步骤，先化二次项系数为，再配方开方求解； （4）利用换元，转化为普通一元二次方程，结合绝对值性质求解； （5）分和两种情况讨论，时因式分解求解； （6） 展开整理方程后因式分解求解． 【小问1详解】  解： 移项得：，  配方得：， 即，  开方得：， 解得，； 【小问2详解】 解：， 移项得：，  提取公因式得：，  化简得：， ∴或， 解得，； 【小问3详解】 解：， 移项得， 二次项系数化为得：， 配方得：， 即， 开方得：， 解得，，； 【小问4详解】 解：， 原方程可化为：， 因式分解得， 由，得：， ∴， 解得，； 【小问5详解】 解：， 当时，原方程化为：， 解得； 当时，因式分解得：， ∴或， 解得，， 综上所述，当时，方程的解为；当时，方程的解为，； 【小问6详解】 解：， 展开整理得，  则，  因式分解得 ， ∴或， 解得，． 三．解答题 24. 若，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】对等式左边分组配方，利用平方的非负性求出的值，代入所求分式化简得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， 把代入得： 原式= ． 25. 先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分母有理化和完全平方公式可以化简题目中的式子，然后将、的值代入化简后的式子即可解答本题． 【详解】解： ， 当，时，原式． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值、分母有理化，解答本题的关键是明确二次根式化简求值的方法． 26. 已知是方程的根，求的值． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得到，，，然后代入化简即可． 【详解】解：∵是方程的根 ∴，即， ∴， ∴ ． 27. 已知关于的一元二次方程 （1）求证：该方程必定有一个实数根是． （2）用含的代数式表示方程的另外一个实数根． 【答案】（1）证明：将代入方程的左边， ∵左边 ， ∴左边右边， ∴是该方程的一个实数根； （2）方程的另一个实数根为 【解析】 【分析】（1）将代入方程左边计算，验证其值为0即可证明是方程的根； （2）利用一元二次方程根与系数的关系，结合已知根求出另一根． 【小问1详解】 解：略 【小问2详解】 解：设方程的另一个实数根为， ∵该方程是关于的一元二次方程， ∴，即， 由根与系数的关系得， 解得． 28. 我们定义：两根都为整数的一元二次方程（，，，均为整数）称为“幸运方程”，两整数根称为“幸运根”，代数式的值为该“幸运方程”的“幸运数”． （1）关于的一元二次方程是一个“幸运方程”． ①当时，该幸运方程的“幸运数”是______； ②若该“幸运方程”的“幸运数”是，则的值为______； （2）若关于的一元二次方程是“幸运方程”，求正整数的值． （3）若关于的一元二次方程（为整数，且）是“幸运方程”，直接写出的值为_______． 【答案】（1）①；②或3 （2）3 （3）5或13 【解析】 【分析】（1）①把代入方程得到方程，根据“幸运数”的定义即可求解； ②根据“幸运数”的定义可得方程解方程可求得m的值； （2）先根据一元二次方程的定义得出，则且，再由求根公式求出，，再根据“幸运方程”的定义及的取值范围确定的值； （3）通过m的取值范围确定根的判别式的范围，继而根据“整数根”特点确定根的判别式的取值，最后结合m为整数确定m取值，按照“幸运数”定义求解即可． 【小问1详解】 解：①当时，为， 此时， 即该幸运方程的“幸运数”是； ②当该“幸运方程”的“幸运数”是时， ， 整理得， 解得，， 即m的值为或3； 【小问2详解】 解：∵是一元二次方程， ∴， ∴且， ∵， ∴方程的根为， ∴，， ∵为“幸运方程”， ∴两根都为整数， 又∵为正整数，且，， ∴m的值为3； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是“幸运方程”， ∴是完全平方数， 即是完全平方数， ∴或64或81， 解得或或13， ∵m为整数， ∴或13， 当时，， 解得，， 两根都是整数，符合“幸运方程”的定义； 当时，， 解得，， 两根都是整数，符合“幸运方程”的定义； 综上所述，的值为5或13． 四．附加题： 29. 已知关于的方程，和有一个公共根，求证：这个公共根只能是． 【答案】 证明：设三个方程的公共根为，则 ， ， ， ，得， 即， 对配方，得 ∵， ∴， 即， ∴，即， 将代入①，得， 整理得， 即， ∴或； 若且，假设，则，即， 将代入②，得， 整理得， 即， ∵， ∴，即， ∴， 两边乘，得， 整理得， ∵， ∴当且仅当且时等式成立，即，与，矛盾， ∴假设不成立，即； 若，由得，即. 代入①得，即. ∵（否则，三个方程系数全为0，无意义）， ∴； 若，同理可得； 综上，三个方程的公共根只能是． 【解析】 【分析】设三个方程的公共根为，则，，，，整理得到，根据，，即，再利用反证法证明这个公共根只能是． 【详解】略 30. 设实数，满足，，，求的值． 【答案】 的值为 【解析】 【分析】两方程作差得，结合完全平方公式求，变形所求式代入计算． 【详解】解：已知， ①②，得， 因式分解，得， 即， ∵， ∴， ∴， ∴ ①②，得， 将代入，得：， ∴， 由完全平方公式得， 代入，， 得， 解得， ∴ ． 31. 若，是方程的两根，求的值． 【答案】12 【解析】 【分析】由根与系数的关系得出，，，然后化简分式进行计算即可得出答案． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，，， ∴，， ∴ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $