精品解析：上海市浦东新区张江集团中学2025--2026学年上学期12月八年级数学月考卷

张江集团中学2025学年第一学期初二年级数学学科阶段练习二 时间：100分钟 满分：100分 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列根式中， 最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，关键是熟练应用定义． 由最简二次根式需满足：①被开方数不含能开方的因数或因式；②被开方数不含分母，进行判断即可得到答案． 【详解】解：A：，不符合题意； B：，不符合题意； C：无法分解为因数或因式的平方且不含分母，是最简二次根式，符合题意； D：被开方数含分母，不符合题意．   故选：C． 2. 下列方程不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义；根据一元二次方程的定义（整式方程、一个未知数、未知数最高次数为2、二次项系数不为0），对每个选项进行化简和判断 【详解】解：A、 是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、即，，不是一元二次方程，故该选项符合题意； C、 是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项不符合题意； 故选：B． 3. 关于x的一元二次方程有一根为零，则m的值为（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，因式分解法解一元二次方程．把代入方程式，再解关于的一元二次方程即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一根为零， 把代入得到，， 解得或， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4. 在关于的一元二次方程中，若与异号，则方程（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】判断一元二次方程的根的情况，只要看根的判别式△=b2-4ac的值的符号即可． 【详解】解：∵a与c异号， ∴ac＜0， ∴-4ac＞0，b2≥0， ∴△=b2-4ac＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，有理数乘法符号法则，完全平方式非负性，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．熟练掌握是解题的关键． 5. 已知下列命题中，正确的是（ ） A. 有一个锐角相等的两个直角三角形全等 B. 在中，若是边的中线，且，则是直角三角形 C. 在直角中，，是斜边上一点，且，则是边的中点 D. 有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形全等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假判断，根据直角三角形全等，中线性质，等腰三角形的性质等知识点逐一分析各选项即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：、一个锐角相等的两个直角三角形，角度对应相等，但边不一定相等，故不一定全等，原选项错误，不符合题意； 、如图， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴，即是直角三角形，原选项正确，符合题意； 、在直角中，，是斜边上一点，且，但不一定是的中点，例如，如图， 当到的距离小于时，上存在两个点使，原选项错误，不符合题意； 、有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形，边角位置不确定，不一定全等，原选项错误，不符合题意； 故选：． 6. 如图，已知中，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交于点G，联结．交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质等知识，由是边上的高，，推导出，而是的平分线，，所以，可判断A不符合题意；假设一定成立，则，所以，推导出，显然与已知条件不符，所以不一定成立，可判断B符合题意；由，证明，得，可判断C不符合题意；再证明，则，可判断D不符合题意，于是得到问题的答案． 【详解】解：∵是边上的高，， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∵， ∴，故A不符合题意； 假设一定成立，则， ∴， ∴，显然与已知条件不符， ∴不一定成立，故B符合题意； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故C不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故D不符合题意， 故选：B． 二、填空题（每题2分，共28分） 7. 等式成立的的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法及二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件及分式有意义的条件，列出不等式，进而得出答案． 【详解】解：∵等式成立， ∴且， 解得：， 故答案为：． 8. 已知，，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一个数的算术平方根；利用平方根的性质，将分解为，然后代入已知近似值进行计算． 【详解】解：因为，且， 所以． 已知， 因此． 故答案为． 9. 比较大小__________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式比较大小，先根据分母有理化的方法得到，，再根据得到，，即可得到，则． 【详解】解：， ， ∵， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 10. 已知最简根式与是同类二次根式，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元二次方程；根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，由此列出方程求解，并检验被开方数非负且根式为最简． 【详解】解：由题意，得． 整理得， 因式分解得， 解得或． 当时，被开方数，，但不是最简二次根式，与已知“最简根式”矛盾． 当时，被开方数，，且是最简二次根式，符合条件． 故答案为． 11. 在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，通过令二次表达式等于零，解关于x的二次方程，利用求根公式得到根，然后写出因式分解形式． 【详解】解：令， ∴， 则， 当时，， 当时，， 所以根为，， 因此，． 故答案为：． 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据所给一元二次方程有两个不相等的实数根，得出关于a的不等式，据此可解决问题． 本题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键． 【详解】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得且， 故答案为：且． 13. 如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为______． 【答案】##36度 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、垂直平分线性质及等腰三角形性质，解题关键是利用这些性质将角度关系转化为方程求解． 利用直角三角形斜边中线性质得，故；结合题设，设，则；由垂直平分线性质得，故；在中，，列方程即可解答． 【详解】在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、， ∴D是斜边的中点， ∴，，， 设， ∵， ∴． 在 中，， ∴ 即， ∴ ∴ ∴． 故答案为：． 14. 如图，在中，，平分，于点，如果，，那么的周长为_____． 【答案】6 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理，解本题的关键是得． 先证明，可得，再利用勾股定理求得，进而利用三角形的周长和等量代换即可得出结论． 【详解】解：∵是的角平分线， ， ， ， 又， ， ， ∵在中，，，， ∴， ， ∴的周长为, 故答案为：6． 15. 如图，在中，，的平分线相交于点，已知，，则__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题解析：∵，， ∴， 又∵，交平分线交于点， ∴平分， ∴， 又∵平分且， ∴． 故答案为110°. 16. 读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是_______岁． 【答案】36 【解析】 【分析】设个位数字，则十位数字为，根据个位平方与寿符，列出一元二次方程进行求解即可． 【详解】解：设个位数字，则十位数字为，由题意，得： ， 整理，得：， 解得：， 当时，两位数为：；当时，两位数为， ∵而立之年， ∴25不合题意，舍去； ∴周瑜去世时的年龄是岁； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的应用．读懂题意，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键． 17. 若关于的方程有增根，则的值为_______． 【答案】4或8 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，理解分式方程的增根意义是解答的关键． 先确定分式方程的增根为使分母为零的x值，即或；然后去分母得到整式方程，代入增根求解k的值 【详解】解：去分母，两边同乘，得， 化简得，即， ∵方程的分母为，，，其中， 故分母为零时，或，即为可能增根， 若增根为，则，解得； 若增根为，则，解得， 故k的值为4或8， 故答案为：4或8． 18. 在中，，，，在三角形内有一点到边、、的距离均相等，那么这个相等的距离为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，先利用勾股定理求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：设点I到各边的距离为x，如图，连接，，， ∵，， ∴, 由题意得，， 即， 解得， 故答案为：2． 19. 将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算与图形面积，一元二次方程的根的计算，理解图示，掌握整式的运算，求根公式的计算是关键． 根据图示，把正方形面积，拼接矩形的面积运用整式的混合运算表示出来，再根据一元二次方程的求根公式的计算即可求解． 【详解】解：根据题意，正方形的面积为， 拼成一个矩形（非正方形）如下图， ∴矩形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴等式两边同时除以，整理得，， 令，则， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 20. 如图，在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，含的直角三角形的性质，能够作出图形并分情况讨论是解题的关键． 通过计算E到的距离即的长度为2，所以根据的长度有两种情况：①当点D在H点上方时，②当点D在H点下方时，两种情况都是利用含的直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度，进而可求的长度，然后利用角度之间的关系证明，再利用等腰三角形的性质、直角三角形的性质求出的长度，最后利用即可求解． 【详解】解：过点E作交于点H，过点G作交于点Q， ，点是中点， ． ∵， ． ， ， ． ，∴分两种情况： ①当点D在H点上方时，如图， ， ，， ， ． 由折叠的性质可知，， ， ， ． 又， ． ， ． ， 即， ． ， ； ②当点D在H点下方时，如图， 同理可得，， ， ． 由折叠的性质可知，， ， ， ． 同理可得． ， ， 综上所述，的面积为或． 故答案为：或． 三、计算题（每题4分，共20分） 21. －－； 【答案】1. 【解析】 【详解】试题分析：先把每一个二次根式分母有理化，然后再计算即可． 试题解析：解：原式＝－－＝4＋－－－3＋＝1． 22. 解方程：． 【答案】, 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，原方程运用公式法求解即可． 【详解】解：， 这里， ， ∴， ∴． 23. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解分式方程，通过因式分解分母、通分将分式方程化为整式方程，求解后检验分母是否为零，得到有效解． 【详解】解：， ∴， ∴ ∴，且， 整理得， ∴， 解得或， 检验：当时，分母，舍去； 当时，， ∴原方程的解为． 24. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理方程的解法、解一元二次方程、解一元一次不等式组，关键在于通过平方去掉根号是关键，同时考虑无理方程有意义．以及对计算结果进行检验． 先求出x的取值范围，再对方程变形进行两次平方，然后解一元二次方程，再检验即可求解． 【详解】解：由题意，， 解得． 将变形，得：， 将方程两边平方可得：，即， 再两边平方可得：． 整理得：． 解得：或． 经检验：是原方程的增根，是无理方程的解． 故原方程的解为． 25. 解方程组：． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元二次方程组．先把原方程组变形为或或或，再分别解出方程组，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴或或或， 解得； 解得； 当或时，方程组无解． 综上可知，方程组的解为或． 四、解答题 26. 已知方程的两根分别为、． （1）求与的值； （2）求的值； （3）求的值； （4）求的值． 【答案】（1）, （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系，解题时要熟练掌握并能列出关系式是关键． （1）依据题意，由根与系数的关系计算可以得解； （2）依据题意，结合（1）计算可以得解； （3）依据题意，由，结合（1）（2）代入计算可以得解； （4）依据题意，由，从而可以计算得解． 【小问1详解】 解：由题意，∵方程， ∴． ∴，． 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：由题意， ， ∵，， ∴，， ∴ ∴． 27. （1）现在你有资金1000万元，准备搞理财现在有下面2种理财方式，请通过计算说明哪种方案收益更多？ 理财模式 期限 年利率 利息计算模式 买支付宝基金 2 复利 发放贷款 2 单利 （2）现在又有一个新的理财产品吸引了你，若你一次投资一笔资金，期限为2年，第一年返还400万元，第二年返还800万元，这笔投资收益折现到当前的金额为1000万元，求这个理财产品的折现率．（参考数据：） 【答案】（1）买支付宝基金收益更多（2） 【解析】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算以及分式方程的应用，理解题意是解题的关键． （1）分别求出两种理财模式的收益，再比较即可； （2）设理财产品的折现率为，根据题意列出方程式，进而得出答案． 【详解】解：（1）复利：（万元）， 单利：（万元）， ， 答：买支付宝基金收益更多． （2）设理财产品的折现率为， 则， 解得：． 答：理财产品的折现率为． 28. 已知，是一元二次方程的两实根. （1）如果，求的值； （2）如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系即可解决问题． （2）根据根与系数的关系定理，得，，结合等腰三角形，三角形三边关系定理解答即可． 【小问1详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵是方程的两个实数根， ∴， 解得． ∵， ∴， ∴， 整理，得， 解得或（舍去）， 故的值为6． 【小问2详解】 解：∵是方程的两个实数根， ∴，， ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴，， ∴， 整理，得， 解得， 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，3，三角形存在， 故三角形的周长为； 当时，， 此时三角形的三边长为7，7，15，三角形不存在； 同理，当时，三角形的周长为17； ∵等腰三角形的一边长为7， 当时， ∴， 解得， ∴， 此时三角形的三边长为7，3，3，三角形不存在； 综上所述，三角形周长为17． 29. 已知：在中，，，为锐角，的面积为9，点为边上的动点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． （1）如图1，当时，求的长? （2）如图2，当点为的中点时，请猜想并证明：线段、、的数量关系？ 【答案】（1） （2）， 理由如下： 延长、交于点O， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵平分交于点， ∴， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查勾股定理、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、角平分线的定义、平行线的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）过E作于H，先利用三角形的面积公式求得，再利用勾股定理求得，然后证明得到，，进而利用勾股定理求解即可； （2）延长、交于点O，证明得到，利用平行线性质和角平分线的定义得到，进而根据等腰三角形的判定可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过E作于H， ∵，的面积为9，， ∴， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：， ∵平分交于点，，， ∴，，又， ∴， ∴，， 在中，，， 由得， 解得； 【小问2详解】 略 30. 已知：如图，在中，，，，点是边的中点，是边上的一动点（点不与点重合），过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，连接． （1）填空：______，______； （2）如图，当点在的延长线上时，设，，试用含的代数式表示； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）2；4 （2） （3）0或4或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形性质得出，根据勾股定理得出，然后求出结果即可； （2）证明，得出，，根据，，得出，，根据勾股定理得出，整理得出答案即可； （3）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：在中，， ∴，且， ∴， 解得：，负值舍去， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∵点D为边的中点， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴，， 根据勾股定理得：，， ∵， ∴， ∴， 整理得：， 解得：． 【小问3详解】 解：当时，连接，如图所示： ∵，D为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴此时点N与点C重合， ∴； 当时，如图所示： ∵中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴此时点E与点C重合， ∵， ∴， ∵， ∴， 即此时； 当时，过点N作交于点G，如图所示： ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则，， ∵， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴； 综上分析可得：的长为0或4或． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，注意进行分类讨论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 张江集团中学2025学年第一学期初二年级数学学科阶段练习二 时间：100分钟 满分：100分 一、选择题（每题2分，共12分） 1. 下列根式中， 最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程不是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于x的一元二次方程有一根为零，则m的值为（ ） A. 或3 B. 3 C. D. 0 4. 在关于的一元二次方程中，若与异号，则方程（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 5. 已知下列命题中，正确的是（ ） A. 有一个锐角相等的两个直角三角形全等 B. 在中，若是边的中线，且，则是直角三角形 C. 在直角中，，是斜边上一点，且，则是边的中点 D. 有一个锐角且一条边对应相等的两个直角三角形全等 6. 如图，已知中，是的平分线，是边上的高，与交于点F，过点D作交于点G，联结．交于点H，则下列结论中，不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题2分，共28分） 7. 等式成立的的取值范围是______． 8. 已知，，那么______． 9. 比较大小__________ 10. 已知最简根式与是同类二次根式，则______． 11. 在实数范围内分解因式：______． 12. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是______． 13. 如图，在中，斜边的垂直平分线分别交、于点、，，则的度数为______． 14. 如图，在中，，平分，于点，如果，，那么的周长为_____． 15. 如图，在中，，的平分线相交于点，已知，，则__________． 16. 读诗词解题：大江东去浪淘尽，千古风流人物；而立之年督东吴，早逝英年两位数；十位恰小个位三，个位平方与寿符；哪位同学算得快，多少年华属周瑜？则周瑜去世时的年龄是_______岁． 17. 若关于的方程有增根，则的值为_______． 18. 在中，，，，在三角形内有一点到边、、的距离均相等，那么这个相等的距离为_______． 19. 将正方形沿虚线（其中）剪成①、②、③、④四块图形，用这四块图形恰好能拼成一个如图所示的矩形，则_____． 20. 如图，在中，，，点是中点，点在上，，将沿着翻折，点的对应点是点，直线与交于点，那么的面积______． 三、计算题（每题4分，共20分） 21. －－； 22. 解方程：． 23. 解方程：． 24. 解方程：． 25. 解方程组：． 四、解答题 26. 已知方程的两根分别为、． （1）求与的值； （2）求的值； （3）求的值； （4）求的值． 27. （1）现在你有资金1000万元，准备搞理财现在有下面2种理财方式，请通过计算说明哪种方案收益更多？ 理财模式 期限 年利率 利息计算模式 买支付宝基金 2 复利 发放贷款 2 单利 （2）现在又有一个新的理财产品吸引了你，若你一次投资一笔资金，期限为2年，第一年返还400万元，第二年返还800万元，这笔投资收益折现到当前的金额为1000万元，求这个理财产品的折现率．（参考数据：） 28. 已知，是一元二次方程的两实根. （1）如果，求的值； （2）如果等腰一边长为7，另两边为，，求的周长． 29. 已知：在中，，，为锐角，的面积为9，点为边上的动点，过点作，交的延长线于点，平分交于点． （1）如图1，当时，求的长? （2）如图2，当点为的中点时，请猜想并证明：线段、、的数量关系？ 30. 已知：如图，在中，，，，点是边的中点，是边上的一动点（点不与点重合），过点作交的延长线于点，过点作交直线于点，连接． （1）填空：______，______； （2）如图，当点在的延长线上时，设，，试用含的代数式表示； （3）当是等腰三角形时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $