第五章 二元一次方程（单元自测卷·四川成都专用）数学新教材北师大版八年级上册

2026-2027学年八年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第五章 二元一次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 5．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（） A． B． C． D． 6．关于x，y的方程组，有正整数解，则正整数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知，若 ，则m的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 8．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是___________． 10．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么该一次函数的解析式为_____． 11．方程组的解与的和是，则______． 12．用八个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为________． 13．现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．用代入消元法解下列方程组： (1) (2)． 15．已知函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)该图象与轴的交点坐标为（________，________），与轴的交点坐标为（________，________）； (3)在（2）的条件下，求的面积． 16．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图．小丽若要从这两种食品中投入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 17．已知含实数的二元一次方程组，且，求的值． 18．在平面直角坐标系中，点，在直线上． (1)直接写出：______，______． (2)如图1，若点Q是直线上的一个动点，且满足的面积为6，求点Q的坐标； (3)如图2，直线分别与x轴、y轴交于点M、N，将直线沿着y轴平移得到直线，与另一条直线（n为常数，且）交于点H，当p的值发生变化时，的面积始终不变，求出n的值和点H到直线的距离． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为______________． 20．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________． 21．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 22．已知关于，的方程组的解是整数，且是正整数，则________． 23．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，则点的坐标为_________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．解答下面的问题： (1)若，求x 、y的值； (2)已知a、b、c是等腰的三边长，且满足，求此三角形的周长． 25．在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们一起用类似的方法验证一个新的公式． (1)【探索公式】 ①如图1是四个长为a，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形．图2的阴影部分的正方形的边长是___________（用含a，b的式子表示）． ②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 【方法1】_______________________；【方法2】____________________； ③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系： _____________________________________________________； (2)【应用公式】 如图3，点C在线段上，．以和为边分别作两个正方形，已知，的面积是4，求和的长度． 26．已知函数的图象为L，L经过点和． (1)求b，c的值； (2)过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第五章 二元一次方程（参考答案） A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 A D D A C C C B 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．5 10． 11．5 12． 13．4 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．【详解】（1）解：（1）把①代入②，得 ，解得：． 把代入①， 得：． 故原方程组的解是...............6分 （2）解：（2）由②，得 ③ 把③代入①得 ， 解得． 把代入③，得 ． 故原方程组的解是...............12分 15．【详解】(1)解：函数图象如下： ................2分 （2）解：由（1）知，；................6分 （3）解：∵，， ∴， ∴． ................8分 16．【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包．................8分 17．【详解】解：， ， ， 将已知方程组上下两式相加，得：， ， ．................10分 18．【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴， ∴；.................2分 （2）解：如下图，过点Q作轴，交直线于点D， 点Q在上， 设， 轴，且点D在上， ， ， ， 又， ， 解得：或， 或；.................5分 （3）解：联立，解得， ， 随着p的变化，的面积始终不变， 点H所在的直线与直线平行， 设直线：， 将代入得：， 整理可得：， 与p无关， ，解得，则， ， ， ：，过点， 直线分别与x轴、y轴交于点M、N， ，， 则，， 根据平行线间的距离相等，点到直线的距离等于点H到直线的距离， 在中，由三角形的面积法可知， ， ∴点H到直线的距离为.................10分 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19.(答案不唯一) 20. 21. 22. 或或 23. 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．【详解】（1） 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得；................3分 （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵是等腰三角形， ∴第三边长为5或6， 当时，三边长为，满足三角形三边关系，周长为； 当时，三边长为，满足三角形三边关系，周长为； 综上所述，此三角形的周长为16或17．................8分 25．【详解】（1）①由图形可得，图2的阴影部分的正方形的边长是；................2分 ②直接利用正方形面积公式可得阴影部分的面积为； 利用大正方形面积减去四个小长方形的面积可得阴影部分的面积为；................4分 ③根据阴影部分的面积相等可得；................5分 （2）解：设，， 根据题意得， ∴，， 由（1）可知，即， ∴， ∵， ∴． 则， 解得， ∴和的长度分别为2，4．................10分 26．【详解】（1）解：∵L经过点， ∴，解得：， 又∵L经过点，且， ∴，解得：， ∴b的值为，c的值为1．................2分 （2）解：①由（1）知，， 当，时， ，，直线为， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴；................4分 ②由题意知， 如图，当时： ∴与均呈上升趋势， ∵点M和点N不重合， ∴， 又∵过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N， 如图，此时分情况讨论： （i）当时，； （ii）当时，， 同理，如图，当时，与时，线段的表达式相同， ................6分 对于线段的长进行分类讨论： （i）如图，当时， 此时恒成立，存在最小值，在取得， ∴；................8分 （ii）如图，当时， ∴， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是；................10分 （iii）如图，当时， ∴无论和在任何位置都肯定不存在最小值， ∴此时恒不成立， 综上所述，a的取值范围是．................12分 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第五章 二元一次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】从整式方程、未知数个数、含未知数项的次数三个维度逐一判断各选项． 【详解】解：A.是整式方程，含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程要求； B.中项的次数为2，不符合题意； C.分母含有未知数，不是整式方程，不符合题意； D.含有3个未知数，不符合题意． 2．三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用加减消元法，将三元一次方程组逐步降元，先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再逐步求解即可得到结果． 【详解】解：， ∵得， 得，解得， 将代入①得，解得， 将代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 3．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用完全平方式与算术平方根的非负性列方程组，求解、后代入计算的值即可． 【详解】解：，， ， ，， 两式相加得：， 解得：， 将代入， 解得：， ． 4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【详解】解：∵是方程的一组解， ∴； ∴. 5．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若消去未知数，则运算后的系数为，计算整理即可得到和满足的条件． 【详解】解：，得： ， 整理得：， 消去了未知数， 的系数为， 即． 6．关于x，y的方程组，有正整数解，则正整数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了方程组的整数解，首先由第二个方程得到，代入第一个方程，求得，根据是3的正倍数即可求解． 【详解】解：， 由②得：，代入①得：， 则， ∵原方程组有正整数解， ∴则或或， 解得：或或， 为正整数， 则或， 则正整数的个数为2， 故选：C． 7．已知，若 ，则m的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用得到 ，根据题意得到 ，解方程求出m的值即可． 【详解】解： 得： ， ， 解得： ， 8．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用， 根据一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国愧树叶一年的平均滞尘量得2倍少4毫克，可得，两片银杏树叶与三片国愧树叶一年的平均滞尘量为146，可得可得方程组． 【详解】解：根据题意，得． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是___________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中两个方程相加得到，再由题意可得，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：依题意， 得：， ∵关于的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 10．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么该一次函数的解析式为_____． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，先根据两直线平行的问题得到，然后把点坐标代入求出即可，根据两直线平行得到两直线的相等是解题的关键． 【详解】解：∵直线与平行， ∴， 把代入得，解得， ∴一次函数的解析式为， 故答案为：． 11．方程组的解与的和是，则______． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，利用加减法求出方程组的解，再根据与的和是列出关于的一元一次方程，解方程即可求解，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：， 得，， ∴， 把代入①得，， 解得， ∵与的和是， ∴， 解得， 故答案为：． 12．用八个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】设小长方形的长为m，宽为n，根据点A的坐标，即可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值，进而可得出和的值，再结合点B所在的象限即可得出点B的坐标． 【详解】解：设小长方形的长为m，宽为n， 依题意，得， 解得， ∴，， ∴点B的坐标为． 13．现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______． 【答案】 【分析】设直角三角形的两条直角边长分别为，，根据图①大正方形边长为可得，根据图②小正方形边长为可得，联立求解即可得出直角边长，进而求出面积． 【详解】解：设直角三角形的两条直角边长分别为，，且， 图①中大正方形的边长为，且由四个直角三角形的直角边拼接而成， ， 图②中小正方形的边长为，且等于直角三角形两直角边之差， ， 联立上述两式，解得，， 一个直角三角形的面积为． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．用代入消元法解下列方程组： (1) (2)． 【答案】(1)；(2) 【分析】(1)将①代入②，即可消去，求出值，再把值代入①，求出即可得解；(2)将②变形得到．③代入①消去，求出的值，然后把值代入③求出值，即可得解． 【详解】（1）解：（1）把①代入②，得 ， 解得：． 把代入①， 得：． 故原方程组的解是 （2）解：（2）由②，得 ③ 把③代入①得 ， 解得． 把代入③，得 ． 故原方程组的解是 【点睛】本题考查代入消元法解二元一次方程组．解题关键是掌握运用代入法解二元一次方程组的方法． 15．已知函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)该图象与轴的交点坐标为（________，________），与轴的交点坐标为（________，________）； (3)在（2）的条件下，求的面积． 【答案】(1)解：函数图象如下： (2)1，0；0， (3) 【分析】（1）标出图象与两坐标轴的交点，再用直线连接这两点即可； （2）由（1）即可求解； （3）由（2）及三角形面积即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：由（1）知，； （3）解：∵，， ∴， ∴． 16．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图．小丽若要从这两种食品中投入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 【答案】应选用A种食品4包，B种食品2包 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用．设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意列二元一次方程组计算即可． 【详解】解：设选用A种食品x包，B种食品y包，根据题意，得： ， 解得． 答：应选用A种食品4包，B种食品2包． 17．已知含实数的二元一次方程组，且，求的值． 【答案】的值为 【分析】根据二次根式有意义的条件，得到，将方程组上下两式相加，代入，即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 将已知方程组上下两式相加，得：， ， ． 18．在平面直角坐标系中，点，在直线上． (1)直接写出：______，______． (2)如图1，若点Q是直线上的一个动点，且满足的面积为6，求点Q的坐标； (3)如图2，直线分别与x轴、y轴交于点M、N，将直线沿着y轴平移得到直线，与另一条直线（n为常数，且）交于点H，当p的值发生变化时，的面积始终不变，求出n的值和点H到直线的距离． 【答案】(1)， (2)或 (3)； 【分析】（1）将点代入函数解析式进行求解即可； （2）过点Q作轴，交直线于点D，设，铅垂法求三角形的面积，即可得出结果； （3）联立直线解析式求出交点坐标，根据题意得到点H所在的直线与直线平行，得到，根据p的值发生变化时，的面积始终不变，求出的值，根据平行线间的距离处处相等，以及等积法进行求解即可. 【详解】（1）解：∵点，在直线上， ∴， ∴； （2）解：如下图，过点Q作轴，交直线于点D， 点Q在上， 设， 轴，且点D在上， ， ， ， 又， ， 解得：或， 或； （3）解：联立，解得， ， 随着p的变化，的面积始终不变， 点H所在的直线与直线平行， 设直线：， 将代入得：， 整理可得：， 与p无关， ，解得，则， ， ， ：，过点， 直线分别与x轴、y轴交于点M、N， ，， 则，， 根据平行线间的距离相等，点到直线的距离等于点H到直线的距离， 在中，由三角形的面积法可知， ， ∴点H到直线的距离为. B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为______________． 【答案】 (答案不唯一) 【分析】已知所求方程组的解为，只需构造一个满足该解的二元一次方程即可． 【详解】解：∵要求新方程和已知方程组成的方程组的解为， ∴是所求方程的解， ∵， ∴所求方程可以为 ． 20．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________． 【答案】 【分析】首先根据甲、乙的解求出、的值，即可得到正确的方程组，解方程组求出方程组的正确解． 【详解】解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 原方程组为， 解方程组可得：． 21．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 【答案】 【分析】根据“2性质”方程的定义和方程解的定义，列出关于,的二元一次方程组，求解得到,后即可计算出，考查二元一次方程组的求解． 【详解】解：将原方程整理为符合“2性质”要求的形式，得 ， 该方程是具有“2性质”的方程，满足， 可得， 整理得， 是该方程的一个解，代入原方程得， ， 整理得， 由①得，代入②得， ， 展开计算得， 解得把代入，得 ， 因此． 22．已知关于，的方程组的解是整数，且是正整数，则________． 【答案】或或 【分析】先解方程组，根据方程组的解是整数，且是正整数，可得可能取值为，再将的值代入中验证是否为整数，即可得解． 【详解】解：解方程组 ，得， 解得，代入①，得 ， 解得， ∵是整数，且是正整数， ∴是的正因数， ∵的正因数有， 又∵是正整数， ∴， ∴可能取值为， 当时，，此时，，均为整数，符合要求； 当时，，此时，，均为整数，符合要求； 当时，此时，，均为整数，均为整数，符合要求； 综上，的值为或或． 23．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，则点的坐标为_________． 【答案】 【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可求出点A，B的坐标，进而可得出的长，如图：过点C作轴于点E，易证，利用全等三角形的性质可得出的长，进而可得出点C的坐标，由点A，C的坐标，利用待定系数法，可求出直线的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点D的坐标． 【详解】解：当时，， ∴点A的坐标为， ； 当时，，解得， ∴点B的坐标为， ， 如图：过点C作轴于点E，则， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴， ，， ， ∴点C的坐标为， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，，解得， ∴点D的坐标为． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．解答下面的问题： (1)若，求x 、y的值； (2)已知a、b、c是等腰的三边长，且满足，求此三角形的周长． 【答案】(1)，；(2)此三角形的周长为16或17 【分析】（1）将等式左边化为两个完全平方式的和，利用平方的非负性列方程组求解； （2）同（1）先求出a，b的值，再结合等腰三角形的性质分类讨论第三边长，验证三边关系后计算周长． 【详解】（1） 解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵是等腰三角形， ∴第三边长为5或6， 当时，三边长为，满足三角形三边关系，周长为； 当时，三边长为，满足三角形三边关系，周长为； 综上所述，此三角形的周长为16或17． 25．在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们一起用类似的方法验证一个新的公式． (1)【探索公式】 ①如图1是四个长为a，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形．图2的阴影部分的正方形的边长是___________（用含a，b的式子表示）． ②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 【方法1】_______________________；【方法2】____________________； ③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系： _____________________________________________________； (2)【应用公式】 如图3，点C在线段上，．以和为边分别作两个正方形，已知，的面积是4，求和的长度． 【答案】(1)①；②；；③ (2)和的长度分别为2，4 【分析】（1）①根据图形即可得出结果；②直接利用正方形面积公式可得阴影部分的面积；利用大正方形面积减去四个小长方形的面积可得阴影部分的面积；③根据阴影部分的面积相等即可得出结果； （2）设，，结合题意可得，，由（1）可知，由此计算即可得出结果． 【详解】（1）①由图形可得，图2的阴影部分的正方形的边长是； ②直接利用正方形面积公式可得阴影部分的面积为； 利用大正方形面积减去四个小长方形的面积可得阴影部分的面积为； ③根据阴影部分的面积相等可得； （2）解：设，， 根据题意得， ∴，， 由（1）可知，即， ∴， ∵， ∴． 则， 解得， ∴和的长度分别为2，4． 26．已知函数的图象为L，L经过点和． (1)求b，c的值； (2)过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围． 【答案】(1)b的值为，c的值为1 (2)①1；② 【分析】（1）根据已知条件将点和分别代入图象为L的函数解析式即可求得结果； （2）①先将已知条件代入，得到图象为L的函数解析式，点T的坐标和直线的解析式，再分别令，求得点M和点N的坐标，从而利用纵坐标之差求出线段的长度； （3）根据题意先分析出和的图象，再由点M和点N不重合得到，从而分情况讨论出线段的表达式，最后对线段进行分类讨论，结合图象并利用解一元一次不等式求得a的取值范围． 【详解】（1）解：∵L经过点， ∴，解得：， 又∵L经过点，且， ∴，解得：， ∴b的值为，c的值为1． （2）解：①由（1）知，， 当，时， ，，直线为， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴； ②由题意知， 如图，当时： ∴与均呈上升趋势， ∵点M和点N不重合， ∴， 又∵过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N， 如图，此时分情况讨论： （i）当时，； （ii）当时，， 同理，如图，当时，与时，线段的表达式相同， 对于线段的长进行分类讨论： （i）如图，当时， 此时恒成立，存在最小值，在取得， ∴； （ii）如图，当时， ∴， ∴， 解得：， ∴a的取值范围是； （iii）如图，当时， ∴无论和在任何位置都肯定不存在最小值， ∴此时恒不成立， 综上所述，a的取值范围是． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年八年级上册数学单元自测(四川成都专用) 第五章 二元一次方程 建议用时：120分钟，满分：150分 A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．下列方程中是二元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．如果，那么的值为（     ） A． B． C． D． 4．如果是方程的一组解，那么代数式的值是（     ） A．2 B．1 C．0 D． 5．小灵同学在解关于和的二元一次方程组时，利用就将未知数消去了，则和应该满足的条件是（） A． B． C． D． 6．关于x，y的方程组，有正整数解，则正整数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 7．已知，若 ，则m的值为（     ） A．1 B． C．2 D． 8．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘净化空气的作用，已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，两片银杏树叶与三片国槐树叶一年的平均滞尘总量为146毫克．设一片银杏树叶一年的平均滞尘量为毫克，一片国槐树叶一年的平均滞尘量为毫克．依据题意，可列方程组（   ） A． B． C． D． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 9．如果关于的二元一次方程组的解满足，那么的值是___________． 10．已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，那么该一次函数的解析式为_____． 11．方程组的解与的和是，则______． 12．用八个大小形状完全一样的长方形在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知，则点的坐标为________． 13．现有四个完全相同的直角三角形、按图①方式摆放．形成两个正方形，其中大正方形的边长为，按图②方式摆放，形成两个正方形，其中小正方形的边长为，则一个直角三角形的面积为______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题卡上） 14．用代入消元法解下列方程组： (1) (2)． 15．已知函数． (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象； (2)该图象与轴的交点坐标为（________，________），与轴的交点坐标为（________，________）； (3)在（2）的条件下，求的面积． 16．为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了A，B两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分表如图．小丽若要从这两种食品中投入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ 17．已知含实数的二元一次方程组，且，求的值． 18．在平面直角坐标系中，点，在直线上． (1)直接写出：______，______． (2)如图1，若点Q是直线上的一个动点，且满足的面积为6，求点Q的坐标； (3)如图2，直线分别与x轴、y轴交于点M、N，将直线沿着y轴平移得到直线，与另一条直线（n为常数，且）交于点H，当p的值发生变化时，的面积始终不变，求出n的值和点H到直线的距离． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小題，每小題4分，共20分，答案写在答题卡上） 19．已知方程，请你写出一个二元一次方程，使它与已知方程所组成的方程组的解为______________． 20．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得，原方程组的正确解为________． 21．如果一个关于、的一次方程可化为：（，都是不为0的常数）的形式，并且满足，那么我们就把这个一次方程叫做具有“2性质”的方程，如果关于、的方程是具有“2性质”的方程，且是该方程的一个解，那么________． 22．已知关于，的方程组的解是整数，且是正整数，则________． 23．如图，已知一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，过点作线段且，直线交轴于点，则点的坐标为_________． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24．解答下面的问题： (1)若，求x 、y的值； (2)已知a、b、c是等腰的三边长，且满足，求此三角形的周长． 25．在学习乘法公式时，我们借助几何图形对平方差公式和完全平方公式做了直观的解释和描述．下面我们一起用类似的方法验证一个新的公式． (1)【探索公式】 ①如图1是四个长为a，宽为b的小长方形，按如图2的形状拼成一个正方形．图2的阴影部分的正方形的边长是___________（用含a，b的式子表示）． ②用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积． 【方法1】_______________________；【方法2】____________________； ③请在下面直线上直接写出，，这三个代数式之间的等量关系： _____________________________________________________； (2)【应用公式】 如图3，点C在线段上，．以和为边分别作两个正方形，已知，的面积是4，求和的长度． 26．已知函数的图象为L，L经过点和． (1)求b，c的值； (2)过点作x轴的垂线，交L于点M，交直线于点N（点M和点N不重合）． ①若，，直接写出线段的长； ②若线段的长在上有最小值，求a的取值范围． 试题 第3页（共4页） 试题 第4页（共4页） 试卷 第1页（共4页） 试卷 第2页（共4页） 学科网（北京）股份有限公司 $