专题04 二元一次方程组的应用（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题04 二元一次方程组的应用 常考题型·精准突破 题型1 二元一次方程组的应用之年龄问题（重） 题型2 二元一次方程组的应用之分配问题（高频） 题型3 二元一次方程组的应用之古代问题（高频） 题型4 二元一次方程组的应用之方案问题（难） 题型5 二元一次方程组的应用之行程问题（难） 题型6 二元一次方程组的应用之工程问题（重） 题型7 二元一次方程组的应用之销售、利润问题（难） 题型8 二元一次方程组的应用之几何图形问题（高频） 题型9 二元一次方程组的应用之数字问题（重） 题型10 二元一次方程组的应用之图表信息问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二元一次方程组的应用之年龄问题 1．（2026七年级下·吉林长春·专题练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． ◆题型2 二元一次方程组的应用之分配问题 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）某宾馆的客房有单人间和双人间两种，单人间每间每天的住宿费是300元，双人间每间每天的住宿费是360元．一个30人的旅行团到该宾馆住宿，住了若干间客房，且每间客房正好住满，一天共花去住宿费6600元．这个旅行团分别住了多少间单人间和双人间？ 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 6．（25-26六年级下·上海·期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，A生产线的加工时间是 小时，B生产线的加工时间是 小时． (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给生产线分配了m吨原材料，给生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为9吨，则m和n的值分别为多少？ ◆题型3 二元一次方程组的应用之古代问题 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）解决问题： (1)一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？（选自《算法统宗》） 题目大意：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．大和尚、小和尚各有多少人？ (2)对比“雉兔同笼”问题和第（1）题，比较列出的两个方程组，说说它们的共同点． 8．（2026·江苏南通·三模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 9．（2026·北京石景山·二模）《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    ◆题型4 二元一次方程组的应用之方案问题 10．（26-27八年级上·山东济南·开学考试）随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 11．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 12．（25-26八年级下·云南红河·期末）请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣，某市建立了综合实训基地．该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客车，接送学生前往实训基地． 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等． 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元． 素材三 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需租赁． 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐，且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案． ◆题型5 二元一次方程组的应用之行程问题 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）某环形道路长，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔相遇一次；如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．甲、乙两人的速度分别是多少？ 14．（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 15．（2026·安徽六安·模拟预测）爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． ◆题型6 二元一次方程组的应用之工程问题 16．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 17．（25-26六年级下·上海·期末）夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 18．（2026·安徽阜阳·二模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． ◆题型7 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 19．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． (1)求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ (2)该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． 20．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球、足球共10个，设购买篮球m个，篮球、足球的总费用为w元，求w关于m的函数解析式 (3)在（2）的条件下，且购买足球的个数不超过篮球个数的2倍．请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 21．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ ◆题型8 二元一次方程组的应用之几何图形问题 22．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，是由10个相同的小长方形纸片组成的大长方形，根据图中数据，请求出大长方形的面积． 23．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 24．（25-26七年级下·浙江台州·期中）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ ◆题型9 二元一次方程组的应用之数字问题 25．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解答） 26．（26-27八年级上·全国·课后作业）小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数． 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7． 十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了． 比时看到的两位数中间多了个0． 27．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． ◆题型10 二元一次方程组的应用之图表信息问题 28．（2026·江苏淮安·中考真题）某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 29．（25-26七年级下·广东广州·期末）每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 30．（25-26七年级下·广东广州·期末）对每个人来说，膳食结构至关重要，它直接影响人们的身体健康．某校组织部分学生去参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，其营养成分如图所示： (1)根据图表填空：_____________，_____________；学生小天在运动过后需要快速补充能量，优先摄入高碳水、适量蛋白、少量脂肪的食物，那么小天的午餐应该选择食品__________（填A或B）； (2)学生小河要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (3)若要使每份午餐中的蛋白质含量正好是（两种食品均需包含，且每种食品整份搭配），直接写出A，B两种食品的搭配方案． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线要，则飞机在无风时的平均速度是（　　） A． B． C． D． 2．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为（　　　） A． B． C． D． 3．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 4．为了实现教育部部长怀进鹏提出的在大课间15分钟内让学生心里有阳光，身体能出汗，实验中学计划出资5000元全部用于采购A，B，C三种健身器材，A种健身器材每个300元，B种健身器材每个250元，C种健身器材每个200元，其中A种健身器材至少买5个，最多买6个（三种健身器材都要买），则此次采购的方案有（   ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 5．将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 二、填空题 6．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 7．大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有 种． 8．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度．设绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为 ． 9．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 10．某校为了解学生对不同竞赛科目的感兴趣程度，老师对学生们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（只可选择数学、物理、化学、生物学其中1个科目）．若4个科目都有人选且选物理的人数比选生物学的人数少8，选数学的人数是选生物学人数的整数倍，选生物学与数学的人数之和是选物理与化学的人数之和的5倍，选化学与数学的人数之和比选物理与生物学的人数之和多24，则选数学的人数是 ． 三、解答题 11．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 12．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 13．某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多少名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 14．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 15．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 16．某品牌制衣厂现有240名制作服装的工人，每天都制作某款运动服装T恤和短裤，每名工人每天可制作这种T恤3件或短裤5条． (1)若该厂要求每天制作的T恤和短裤数量相等，则应各安排多少名工人制作T恤和短裤？ (2)已知制作1件T恤可获利25元，制作1条短裤可获利18元．若该厂要求每天获得利润18900元，则需要安排多少名工人制作T恤？ 17．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 18．贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元． A种春联 B种春联 进价（元/副） 15 12 售价（元/副） 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副？ (2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？ 19．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． (1)求，两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售个种头盔可获利元，销售个种头盔可获利元，求该商店共有哪几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 20．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组的应用 常考题型·精准突破 题型1 二元一次方程组的应用之年龄问题（重） 题型2 二元一次方程组的应用之分配问题（高频） 题型3 二元一次方程组的应用之古代问题（高频） 题型4 二元一次方程组的应用之方案问题（难） 题型5 二元一次方程组的应用之行程问题（难） 题型6 二元一次方程组的应用之工程问题（重） 题型7 二元一次方程组的应用之销售、利润问题（难） 题型8 二元一次方程组的应用之几何图形问题（高频） 题型9 二元一次方程组的应用之数字问题（重） 题型10 二元一次方程组的应用之图表信息问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二元一次方程组的应用之年龄问题 1．14 2． 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 3． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． ◆题型2 二元一次方程组的应用之分配问题 4． 【答案】这个旅行团住了10间单人间，10间双人间． 【分析】设这个旅行团住了x间单人间，y间双人间，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可作答． 【详解】解：设这个旅行团住了x间单人间，y间双人间， 根据题意有：， 解得：， 答：这个旅行团住了10间单人间，10间双人间． 5． 【答案】(1) 每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生. (2) 最省钱的租车方案为租小客车2辆，大客车8辆，最少租金是2300元. 【分析】先根据题干给出的两种运送人数的条件，设未知数列出方程组求解得到每辆车的载客量，再根据总人数和每辆车坐满的条件列出等式，求出所有符合要求的非负整数租车方案，分别计算各方案租金后比较，得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 根据题意得 解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得，租车满足 ，其中，为非负整数 整理等式得 ， 变形得 因为为非负整数， 所以必须是4的倍数， 分情况计算租金： 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当时，，不符合要求， 因为 ， 所以最省钱的方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元 答：最省钱的租车方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元． 6． 【答案】(1)5，5 (2)分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨 (3)m与n的关系为，当时，， 【分析】（1）因为已知、的取值，所以直接将数值分别代入A、B生产线的加工时间公式计算即可； （2）首先设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨，根据总吨数5吨和两条生产线加工时间相同，可以列二元一次方程组求解； （3）先根据第一天的分配结果，写出第二天A、B生产线各自的总加工吨数；因为加工时间相同，所以令两者的加工时间表达式相等，整理即可得到和的数量关系；再结合的条件，联立两个方程求解、的值． 【详解】（1）解：当时，A生产线加工时间为（小时）； 当时，B生产线加工时间为（小时）． （2）解：设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨， 根据题意得：，解得 ， 答：分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨． （3）解：由第（2）问可知第一天A分配了2吨、B分配了3吨，额外分配后A的总加工量为吨，B的总加工量为吨． 根据加工时间相同列等式： 展开化简：， 得，即， 当时，， 解得，则． ◆题型3 二元一次方程组的应用之古代问题 7． 【答案】(1)大和尚有25人，小和尚有75人． (2)两个方程组的共同点： ①都含有两个未知数； ②每个方程都是一次方程，均属于二元一次方程组； ③第一个方程表示两类事物的总数量，第二个方程表示两类事物对应另一属性的总数量． 【分析】（1）根据和尚总人数与馒头总个数两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解． （2）先明确“雉兔同笼”问题的方程组形式，再与第（1）题的方程组对比，归纳结构共同点． 【详解】（1）解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 由题意得，， 解得， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． （2）略 8． 【答案】(1)每头牛值金两，每头羊值金两 (2)方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 9． 【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． ◆题型4 二元一次方程组的应用之方案问题 10． 【答案】(1) A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2) 共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量； （2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 11． 【答案】(1)420元 (2)B奖品6件，C奖品10件 (3)共3种可能方案，方案一：再购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件；方案二：再购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件；方案三：再购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件 【分析】（1）由数据直接列式计算即可； （2）由表格数据可知，B，C两种奖品的数量和为（件），总金额为（元），列方程组即可解答； （3）设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件，根据题意列二元一次方程，求二元一次方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：购买D种奖品的金额为：（元）． （2）解：设B奖品数量为件，C奖品的数量为件， 解得 答：B奖品6件，C奖品10件． （3）解：设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件． 由题意得： 因为为正整数， 所以： 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种可能购买方案，分别为： 方案一：购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件； 方案二：购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件； 方案三：购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件． 12． 【答案】(1)每辆A 型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； (2)单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车4辆，B型客车4辆． 【详解】（1）解：设每辆 A 型客车单日租赁费用为 x 元，每辆B型客车单日租赁费用为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆A型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； （2）解：设租赁A型客车a辆，则B型客车辆；单日租赁总费用为W元， ， ∵A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍， ∴， ∴， ∵A型客车不少于4辆， ∴， ∴， 由知，W随a增大而增大， 时，W最小值为3840元， 答：单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车 4 辆，B型客车4辆． ◆题型5 二元一次方程组的应用之行程问题 13． 【答案】甲的速度为，乙的速度为． 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， ∵反向而行时，两人相遇，总路程等于环形道路周长， ∴， ∵同向而行时，乙追上甲，路程差等于环形道路周长， ∴， 联立得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 14． 【答案】(1)每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件 (2)快递车的总配送路程是330千米 【分析】（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣x件包裹，新手分拣员每天可以分拣y件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 v千米/小时，总路程为S千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天分拣x件，新手分拣员每天分拣y件，根据题意得： ， 解得：， 每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件； （2）设原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意得： 解得：， 快递车的总配送路程是330千米． 15． 【答案】(1)；；； (2)，时里程表上的数为51 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程表上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程表上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； （2）解：根据题意，得， 解得：． ∴小靖在时看到里程表上的两位数． 答：小靖在时看到里程表上的两位数是51． ◆题型6 二元一次方程组的应用之工程问题 16． 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 17． 【答案】每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 【分析】设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台，然后根据每天安装的空调数乘以天数等于安装的总空调数，列出方程组即可解答． 【详解】解：设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台， 依题意得 解得 答：每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 18． 【答案】(1)， (2)甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶 【分析】（1）根据“甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了”，用含x，y的代数式表示现加工效率； （2）根据原计划总工作量和现计划总工作量均为，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：甲现加工效率：； 乙现加工效率：． 故答案为：． （2）解：由题意得 由第一个方程得 ，代入第二个方程： 则 ． 答：甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶． ◆题型7 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 19． 【答案】(1) 每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元 (2) 的值为16 【分析】（1）根据两组总销售额的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）分别表示9月两款产品的销售额，结合总销售额的增长比例列方程求解． 【详解】（1）解：设每罐A款土蜂蜜售价为元，每袋B款菌菇售价为元， 根据题意，得 解得 答：每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元； （2）解：8月总销售额为（元）， 9月A款蜂蜜销量为罐，B款菌菇销量为袋，B款菌菇售价为元/袋， 根据题意，得 化简得 解得 答：的值为16． 20． 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)w关于m的函数解析式为 (3)购买4个篮球时花费最少，最少费用540元 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数解析式即可； （3）根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）解：购买篮球个，则足球个，依题意，得 ∴w关于m的函数解析式为； （3）解：由题意，得 解得， ∵为正整数， ∴，且为正整数， ∵函数中，，随增大而增大， ∴当取最小值4时，总费用最少，为 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用540元． 21． 【答案】(1)采购科创套装套，采购美术套装套 (2)当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低 【分析】（1）设采购科创套装套，采购美术套装套，列二元一次方程组求解； （2）设采购套科创套装，采购美术套装套，可列二元一次方程，根据，均为非负整数，且，求出方程的解即为采购方案． 【详解】（1）解：设采购科创套装套，采购美术套装套， 根据题意得：， 解得：， 答：采购科创套装套，采购美术套装套； （2）解：设采购套科创套装，采购美术套装套， 根据题意得：， 整理可得：， 又，均为非负整数，且， 或， 共有种采购方案， 方案1：采购总成本为（元） 方案2：采购总成本为（元）； ， 当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低． ◆题型8 二元一次方程组的应用之几何图形问题 22． 【答案】 【分析】设小长方形的宽为，长为，根据图中大长方形的对边相等列出方程组，解方程组，进而求出大长方形的长和宽，从而求出大长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的宽为，长为， 根据题意得：， 解得：， 则大长方形的面积为：， 答：大长方形的面积为． 23． 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 24． 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． ◆题型9 二元一次方程组的应用之数字问题 25． 【答案】原来两位数为29． 【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设原来两位数个位上的数字为x，十位上的数字为y， 依题意有， 解得， 答：原来两位数为29． 26． 【答案】小明在时看到的里程碑上的数是16． 【分析】设看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据两数字之和为7，匀速行驶1小时的路程相等列方程组求解． 【详解】解：设时看到的数的十位数字为，个位数字为． 根据题意，得， 解得：， ∴． 答：小明在时看到的里程碑上的数是16． 27． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． ◆题型10 二元一次方程组的应用之图表信息问题 28． 【答案】(1)该团成人有4人，儿童有3人 (2)最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 【分析】（1）设该团队成人有x人，儿童有y人，根据题意列方程组去求解即可； （2）根据成人有4人，儿童有3人，结合票务信息制定不同方案，分别求出所需费用，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：设该团队成人有x人，儿童有y人， 根据题意，得 解得 答：该团队成人有4人，儿童有3人； （2）解：方案一：按照A方案购票，则所需费用为1190元； 方案二：购买两个B套票，一个儿童票，则所需费用为（元）； 方案三：购买一个B套票，两个C套票，则所需费用为（元）； 方案四：购买四个C套票，则所需费用为（元）； ∵， ∴按照方案三购票最省钱， 答：最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元． 29． 【答案】 【分析】设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 根据题意得 化简整理得 用得， 解得， 将代入中得， 解得， ∴方程组的解为， 答：每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 30． 【答案】(1)50，14，A (2)选用A食品4包，B食品2包 (3)搭配方案有：①9包A食品，2包B食品；②6包A食品，4包B食品；③3包A食品，6包B食品 【分析】（1）利用A食品含脂肪量除以其所占的百分比可得的值；利用A食品含其他的重量除以A食品的总重量可得的值；根据两种食品的营养成分表和小天补充能量的要求解答即可得； （2）设选用A食品包，B食品包，根据题意建立方程组，解方程组即可； （3）设搭配A食品包，B食品包，则可得一个关于，的二元一次方程，结合，都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ∴， ， ∵每的A食品含碳水高于每的B食品含碳水、每的A食品含蛋白质和脂肪均低于每的B食品的， ∴小天的午餐应该选择食品A． （2）解：设选用A食品包，B食品包， 由题意得：， 解得， 答：选用A食品4包，B食品2包． （3）解：设搭配A食品包，B食品包， 由题意得：， ∴， ∵，都是正整数， ∴搭配方案有：①当时，； ②当时，； ③当时，； 答：A，B两种食品的搭配方案有：①9包A食品，2包B食品；②6包A食品，4包B食品；③3包A食品，6包B食品． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．A 3．B 4．C 5．D 二、填空题 6．28 7．5 8． 9．10 200 10．30 三、解答题 11． 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 12． 【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱． 【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 根据题意得：， 解得：， 答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文. 13． 【答案】每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，根据共有140名工人及一个卷筒与两个圆板配成一套，可得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，由题意得， ， 解得：， ∴每天生产卷筒：（个）， 每天生产圆板：（个）， ∴圆板数量恰好为卷筒数量的2倍，则可配成1000套，无剩余 答：每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板才能使每天生产出来的产品配成最多套． 14． 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 15． 【答案】(1)本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆 (2)租用1辆型客车，7辆型客车，更划算 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程， （1）设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，根据原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．结合两种客车的载客量，列出二元一次方程组，解方程组即可； (2) 设租用型客车辆，型客车辆，根据同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，列出二元一次方程，解方程， 再根据两种客车的租金计算比较即可． 【详解】（1）解：设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，由题意，得： ，解得：； 答：本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆； （2）解：设租用型客车辆，型客车辆，由题意，得： ， 解得：， ∵均为正整数， ∴或或； 共3种租车方案： 方案一：租用9辆型客车，辆型客车，费用为：（元）； 方案二：租用5辆型客车，4辆型客车，费用为：（元）； 方案三：租用1辆型客车，7辆型客车，费用为：（元）； ∵， ∴租用1辆型客车，7辆型客车，更划算． 16． 【答案】(1)应安排名工人制作掹，名工人制作短裤． (2)需要安排名工人制作恤． 【分析】（1）问根据恤和短裤数量相等的关系，设未知数建立方程求解； （2）问根据利润的关系，设未知数建立方程求解． 【详解】（1）解：（1）设应安排名工人制作恤，名工人制作短裤． 根据题意，得解得 答：应安排150名工人制作掹，90名工人制作短裤． （2）解：（2）设需要安排名工人制作恤，名工人制作短裤． 根据题意，得 即解得 答：需要安排名工人制作恤． 17． 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 18． 【答案】(1)该超市购进A种春联120副，B种春联180副 (2)有4种购买方案，方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；方案四：购买7副A种春联，80副B种春联 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解的应用． （1）设购进副A种春联，副B种春联，根据表格信息建立方程组求解即可． （2）设购进A种春联副，B种春联副，根据题意，得，再利用方程的正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设购进副A种春联，副B种春联， 根据题意，得， 解得， 答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副． （2）解：设购进A种春联副，B种春联副， 根据题意，得， 整理，得． 因为均为正整数， 所以满足题意的值为 所以有4种购买方案， 方案一：购买58副A种春联，20副B种春联； 方案二：购买41副A种春联，40副B种春联； 方案三：购买24副A种春联，60副B种春联； 方案四：购买7副A种春联，80副B种春联． 19． 【答案】(1)种头盔的单价是元，种头盔的单价是元 (2)该商店共有种购买方案：①购进种头盔个，种头盔个；②购进种头盔个，种头盔个；③购进种头盔个，种头盔个；最大利润是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）种头盔的单价是元，种头盔的单价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进种头盔个，种头盔个，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元， 根据题意得， 解得， 答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元； （2）设购进种头盔个，种头盔个， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或， 该商店共有种购买方案： ①购进种头盔个，种头盔个，利润为元； ②购进种头盔个，种头盔个，利润为元； ③购进种头盔个，种头盔个，利润为元； ， 最大利润是元． 20． 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组的应用 常考题型·精准突破 题型1 二元一次方程组的应用之年龄问题（重） 题型2 二元一次方程组的应用之分配问题（高频） 题型3 二元一次方程组的应用之古代问题（高频） 题型4 二元一次方程组的应用之方案问题（难） 题型5 二元一次方程组的应用之行程问题（难） 题型6 二元一次方程组的应用之工程问题（重） 题型7 二元一次方程组的应用之销售、利润问题（难） 题型8 二元一次方程组的应用之几何图形问题（高频） 题型9 二元一次方程组的应用之数字问题（重） 题型10 二元一次方程组的应用之图表信息问题（重） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1 二元一次方程组的应用之年龄问题 1．（2026七年级下·吉林长春·专题练习）聪聪在给妈妈过生日时发现自己的年龄与妈妈的年龄的十位数字与个位数字正好相反，他同时还发现，过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7．则聪聪______岁． 【答案】14 【分析】设聪聪的年龄为岁，妈妈的年龄为岁，根据“过10年，妈妈岁数减1（岁）刚好是自己岁数加1（岁）的2倍；再过1年，他们两人的年龄又一次相反，且十位数字与个位数字的和为7”，即可得出关于，的二元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设聪聪的年龄为岁，则妈妈的年龄为岁， 根据题意得：， 解得：， ∴聪聪的年龄为岁． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）小明和小亮比年龄．小明说：“再过年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过年，我的年龄就是你现在年龄的倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄．（列二元一次方程组解应用题） 【答案】小明现在岁，小亮现在岁． 【分析】设小明现在岁，小亮现在岁，根据题意得，然后解方程组即可． 【详解】解：设小明现在岁，小亮现在岁， 根据题意得， 解得：， 答：小明现在岁，小亮现在岁． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）小明和小亮比年龄．小明说：“再过4年，我就和你现在一样大．”小亮说：“再过4年，我的年龄就是你现在年龄的2倍．”根据小明和小亮的对话，求他们现在的年龄． 【答案】小明现在8岁，小亮现在12岁 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，理解题意，正确列出方程组是解答的关键． 设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁，根据题意列出方程组，然后解方程组即可解答． 【详解】解：设小明现在的年龄x岁，小亮现在的年龄y岁， 根据题意，得 解得 答：小明现在8岁，小亮现在12岁． ◆题型2 二元一次方程组的应用之分配问题 4．（26-27八年级上·全国·课后作业）某宾馆的客房有单人间和双人间两种，单人间每间每天的住宿费是300元，双人间每间每天的住宿费是360元．一个30人的旅行团到该宾馆住宿，住了若干间客房，且每间客房正好住满，一天共花去住宿费6600元．这个旅行团分别住了多少间单人间和双人间？ 【答案】这个旅行团住了10间单人间，10间双人间． 【分析】设这个旅行团住了x间单人间，y间双人间，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可作答． 【详解】解：设这个旅行团住了x间单人间，y间双人间， 根据题意有：， 解得：， 答：这个旅行团住了10间单人间，10间双人间． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期末）七年级有400名学生到厦门参加研学活动，已知用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生105人，用1辆小客车和2辆大客车每次可运送学生110人． (1)每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ (2)若计划租小客车m辆，大客车n辆，一次送完，且恰好每辆车都坐满；已知小客车每辆租金150元，大客车每辆租金250元，请设计出最省钱的租车方案，并求出最少租金． 【答案】(1) 每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生. (2) 最省钱的租车方案为租小客车2辆，大客车8辆，最少租金是2300元. 【分析】先根据题干给出的两种运送人数的条件，设未知数列出方程组求解得到每辆车的载客量，再根据总人数和每辆车坐满的条件列出等式，求出所有符合要求的非负整数租车方案，分别计算各方案租金后比较，得到最省钱的方案． 【详解】（1）解：设每辆小客车能坐名学生，每辆大客车能坐名学生 根据题意得 解得 答：每辆小客车能坐20名学生，每辆大客车能坐45名学生； （2）解：由题意得，租车满足 ，其中，为非负整数 整理等式得 ， 变形得 因为为非负整数， 所以必须是4的倍数， 分情况计算租金： 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当，时，租金为 (元)； 当时，，不符合要求， 因为 ， 所以最省钱的方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元 答：最省钱的租车方案是租小客车2辆，大客车8辆，最少租金为2300元． 6．（25-26六年级下·上海·期末）某企业有A，B两条加工相同原材料的生产线，A生产线共加工a吨原材料，加工时间为小时；生产线共加工b吨原材料，加工时间为小时． (1)当时，A生产线的加工时间是 小时，B生产线的加工时间是 小时． (2)第一天，该企业把5吨原材料分配到，两条生产线，两条生产线都在一天内完成了加工，且加工时间相同，则分配到两条生产线的原材料分别是多少吨？ (3)第二天开工前，该企业按第一天的分配方案分配了5吨原材料后，又给生产线分配了m吨原材料，给生产线分配了n吨原材料，若两条生产线都能在一天内加工完各自分配到的所有原材料，且加工时间相同，则m和n有怎样的数量关系？若此时m与n的和为9吨，则m和n的值分别为多少？ 【答案】(1)5，5 (2)分配到生产线2吨，则分配到生产线3吨 (3)m与n的关系为，当时，， 【分析】（1）因为已知、的取值，所以直接将数值分别代入A、B生产线的加工时间公式计算即可； （2）首先设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨，根据总吨数5吨和两条生产线加工时间相同，可以列二元一次方程组求解； （3）先根据第一天的分配结果，写出第二天A、B生产线各自的总加工吨数；因为加工时间相同，所以令两者的加工时间表达式相等，整理即可得到和的数量关系；再结合的条件，联立两个方程求解、的值． 【详解】（1）解：当时，A生产线加工时间为（小时）； 当时，B生产线加工时间为（小时）． （2）解：设分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨， 根据题意得：，解得 ， 答：分配到A生产线吨，则分配到B生产线吨． （3）解：由第（2）问可知第一天A分配了2吨、B分配了3吨，额外分配后A的总加工量为吨，B的总加工量为吨． 根据加工时间相同列等式： 展开化简：， 得，即， 当时，， 解得，则． ◆题型3 二元一次方程组的应用之古代问题 7．（26-27八年级上·全国·课后作业）解决问题： (1)一百馒头一百僧，大和三个更无争，小和三人分一个，大小和尚得几丁？（选自《算法统宗》） 题目大意：100个和尚分100个馒头，大和尚1人分3个馒头，小和尚3人分1个馒头．大和尚、小和尚各有多少人？ (2)对比“雉兔同笼”问题和第（1）题，比较列出的两个方程组，说说它们的共同点． 【答案】(1)大和尚有25人，小和尚有75人． (2)两个方程组的共同点： ①都含有两个未知数； ②每个方程都是一次方程，均属于二元一次方程组； ③第一个方程表示两类事物的总数量，第二个方程表示两类事物对应另一属性的总数量． 【分析】（1）根据和尚总人数与馒头总个数两个等量关系，设未知数列二元一次方程组求解． （2）先明确“雉兔同笼”问题的方程组形式，再与第（1）题的方程组对比，归纳结构共同点． 【详解】（1）解：设大和尚有x人，小和尚有y人， 由题意得，， 解得， 答：大和尚有25人，小和尚有75人． （2）略 8．（2026·江苏南通·三模）《九章算术》中记载：“今有牛五、羊二，值金十两；牛二、羊五，值金八两．问牛羊各值金几何？”译文：“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两．” (1)问牛、羊每头各值金多少两？ (2)若同时购买牛和羊恰好用金34两，则有哪几种购买方案？ 【答案】(1)每头牛值金两，每头羊值金两 (2)方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头 【分析】（1）设每头牛值金两，每头羊值金两，根据“今有牛5头，羊2头，共值金10两，牛2头，羊5头，共值金8两”，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买牛头，羊头，根据购买牛和羊恰好用金34两，列出方程，求方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：设每头牛值金两，每头羊值金两， 可得方程组， 解得：， 答：每头牛值金两，每头羊值金两． （2）解：设购买牛头，羊头， 可得方程：， ， 是正整数 ∴，， 答：有2种方案：方案一是购买牛1头，羊34头；方案二是购买牛11头，羊17头． 9．（2026·北京石景山·二模）《营造法式》是北宋官方颁布的建筑设计与施工规范，其创立的“材份制”规定所有建筑构件的尺寸均以“份”为基本单位，不同材等对应的份的实际长度（单位：寸）不同，具体如表： 材等 一等 二等 三等 四等 五等 六等 份实际长度（寸） 书中记载：栌斗的长度为份，高度为份；华栱的长度为份，高度为份；散斗的长度为份，高度为份．图为斗拱结构示意图，标注了栌斗、散斗、华栱等构件在整体斗拱结构中的具体位置与形态． 某考古队在一处建筑群遗址中，发现了两座采用不同材等建造的建筑遗存，出土了栌斗、华栱、散斗三种构件的完整标本．经精密测量，采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为．判断该建筑群所用的两种材等分别对应几等材，并说明理由．    【答案】两种材等分别为三等材、六等材 【分析】设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸，根据“采用第一种材等制作的栌斗实际长度与采用第二种材等制作的华栱实际高度之和为寸；采用第一种材等制作的散斗实际高度与采用第二种材等制作的散斗实际高度之比为”列方程组求解即可． 【详解】解：设第一种材等1份的实际长度为x寸，第二种材等1份的实际长度为寸， 第一种材等栌斗实际长度 + 第二种材等华栱实际高度寸，栌斗长32份，华栱高21份，因此得； 第一种材等散斗实际高度：第二种材等散斗实际高度，散斗高都是10份，因此得， ∴， 解得 对照表格可知：1份实际长度0.5寸对应三等材，0.4寸对应六等材， 因此两种材等分别为三等材、六等材． ◆题型4 二元一次方程组的应用之方案问题 10．（26-27八年级上·山东济南·开学考试）随着低空经济的快速发展，无人机吊运作业有效解决了山地运输难、成本高的问题．在某山区水果种植基地，果农计划租用，两款无人机进行吊运作业．据了解，2架款无人机和1架款无人机每次满载可吊运水果共300千克；1架款无人机和2架款无人机每次满载可吊运水果共330千克． (1)求，两款无人机每架次满载可吊运水果各多少千克？ (2)现要吊运一批重1020千克的水果至山下，计划租用，两款无人机若干架（每架飞机都是满载），恰好一次运完，则需要分别租用，两款无人机各多少架？并写出所有的租赁方案． 【答案】(1) A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克 (2) 共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 【分析】（1）根据两组不同架数组合的吊运总质量，列二元一次方程组求解两款无人机的单架次吊运量； （2）根据总吊运质量列二元一次方程，结合租用架数为正整数的条件，枚举所有符合要求的解． 【详解】（1）解：设A款无人机每架次满载可吊运水果千克，B款无人机每架次满载可吊运水果千克， 根据题意，得 ， 解得 ， 答：A款无人机每架次满载可吊运水果90千克，B款无人机每架次满载可吊运水果120千克． （2）解：设租用A款无人机架，B款无人机架， 根据题意，得 ， 整理得， ∵，均为正整数， ∴，即，且是3的正倍数， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上所述，共有3种租赁方案： 方案一：租用A款无人机10架，B款无人机1架； 方案二：租用A款无人机6架，B款无人机4架； 方案三：租用A款无人机2架，B款无人机7架． 11．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期末）某校七年级开展了主题为“同住地球村，共筑绿色梦”的环保知识竞赛，对活动中表现优秀的选手予以评奖，并颁发A，B，C，D四种奖品，购买奖品的收据如下表，其中部分数据因污渍遮盖缺失，请根据表格提供的信息，解决下列问题： 奖名 单价（元/件） 数量/件 金额/元 A 90 2 180 B 60 C 40 D 30 14 合计 32 1360 (1)购买D种奖品的金额为_______元； (2)求购买的B，C两种奖品的数量； (3)为进一步培养学生的环保意识，鼓励更多的学生学习环保知识，该校决定扩大受奖人数并以上面的价格再购进B，C，D三种奖品共20件，计划刚好花费700元．请确定所有可能的购买方案． 【答案】(1)420元 (2)B奖品6件，C奖品10件 (3)共3种可能方案，方案一：再购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件；方案二：再购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件；方案三：再购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件 【分析】（1）由数据直接列式计算即可； （2）由表格数据可知，B，C两种奖品的数量和为（件），总金额为（元），列方程组即可解答； （3）设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件，根据题意列二元一次方程，求二元一次方程的正整数解即可． 【详解】（1）解：购买D种奖品的金额为：（元）． （2）解：设B奖品数量为件，C奖品的数量为件， 解得 答：B奖品6件，C奖品10件． （3）解：设再购进B奖品件，购进C奖品件，则购进D奖品件． 由题意得： 因为为正整数， 所以： 当时，； 当时，； 当时，． 共有3种可能购买方案，分别为： 方案一：购进B奖品1件，购进C奖品7件，购进D奖品12件； 方案二：购进B奖品2件，购进C奖品4件，购进D奖品14件； 方案三：购进B奖品3件，购进C奖品1件，购进D奖品16件． 12．（25-26八年级下·云南红河·期末）请你根据下列素材，完成有关任务： 背景 为了落实教育目标，实现知行合一，培养核心素养，让孩子开阔眼界、锻炼能力、激发兴趣，某市建立了综合实训基地．该市一学校开展“研学实践”项目式活动，计划租赁两种型号的客车，接送学生前往实训基地． 素材一 租赁1辆A型客车与租赁2辆B型客车的单日费用相等． 素材二 租赁3辆A型客车和4辆B型客车的单日总费用为3200元． 素材三 该校计划租赁两种客车共8辆，且A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍，两种客车均需租赁． 请完成下列任务： (1)任务一：每辆A型客车、每辆B型客车的单日租赁费用分别是多少元？ (2)任务二：若A型客车可乘坐40人、B型客车可乘坐25人，研学学生共260人，要求所有学生都能乘坐，且A型客车不少于4辆，求单日租赁总费用的最小值及对应的租赁方案． 【答案】(1)每辆A 型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； (2)单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车4辆，B型客车4辆． 【详解】（1）解：设每辆 A 型客车单日租赁费用为 x 元，每辆B型客车单日租赁费用为y元， 依题意，得：， 解得：， 答：每辆A型客车单日租赁费用为640元，每辆B型客车单日租赁费用为320元； （2）解：设租赁A型客车a辆，则B型客车辆；单日租赁总费用为W元， ， ∵A型客车的数量不超过B型客车数量的3倍， ∴， ∴， ∵A型客车不少于4辆， ∴， ∴， 由知，W随a增大而增大， 时，W最小值为3840元， 答：单日租赁总费用的最小值为3840元，此时对应的租赁方案为：租用A型客车 4 辆，B型客车4辆． ◆题型5 二元一次方程组的应用之行程问题 13．（26-27八年级上·全国·课后作业）某环形道路长，甲、乙两人从同一地点出发，分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔相遇一次；如果同向而行，那么每隔乙就追上甲一次．甲、乙两人的速度分别是多少？ 【答案】甲的速度为，乙的速度为． 【分析】设甲的速度为，乙的速度为，根据题意列出方程组，然后解方程组即可． 【详解】解：设甲的速度为，乙的速度为， ∵反向而行时，两人相遇，总路程等于环形道路周长， ∴， ∵同向而行时，乙追上甲，路程差等于环形道路周长， ∴， 联立得， 解得， 答：甲的速度为，乙的速度为． 14．（25-26六年级下·上海浦东新·期末）某快递公司为应对“618”购物节，根据网站预售情况，提前安排了分拣员，如果3名熟练分拣员和1名新手分拣员一天能分拣130件包裹；1名熟练分拣员和2名新手分拣员一天能分拣80件包裹． (1)每名熟练分拣员和新手分拣员每天分别可以分拣多少件包裹？ (2)如果该公司为了按时完成配送任务，快递车按原速度行驶，刚好能在6小时内送完所有包裹；若将速度提高10千米/小时，行驶4小时后，还剩70千米的路程未完成配送．求快递车的总配送路程是多少千米？ 【答案】(1)每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件 (2)快递车的总配送路程是330千米 【分析】（1）设每名熟练分拣员每天可以分拣x件包裹，新手分拣员每天可以分拣y件包裹，根据题意列出方程组，解方程组即可求解； （2）设快递车原速度为 v千米/小时，总路程为S千米，根据题意列出方程组，解方程组即可求解． 【详解】（1）解：设每名熟练分拣员每天分拣x件，新手分拣员每天分拣y件，根据题意得： ， 解得：， 每名熟练分拣员每天分拣36件，新手分拣员每天分拣22件； （2）设原速度为v千米/小时，总路程为S千米，根据题意得： 解得：， 快递车的总配送路程是330千米． 15．（2026·安徽六安·模拟预测）爸爸骑摩托车带着小靖在公路上匀速行驶，小靖每隔一段时间看到的里程表上的数如下所示： 时刻 里程表 上的数 是一个两位数，它的两个数字之和是6 是一个两位数，它的十位与个位数字与8:00所看到的正好互换了 是一个三位数，它比8:00时看到的两位数中间多了个0 设8:00时里程表上的这个两位数十位数字为，个位数字为，回答下列问题： (1)用含的代数式表示：时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数_____，时看到里程表上的数____； (2)列方程组并求出时里程表上的数． 【答案】(1)；；； (2)，时里程表上的数为51 【分析】（1）根据数位的概念用十位数字的10倍加上个位数字可求得时两位数；同样用数位的概念进行表达即可表示时和时的数； （2）分别根据两位数的两个数字之和为6和行驶过程中速度不变两个等量关系列出方程． 【详解】（1）解：∵时里程表上的这个两位数十位数字为x，个位数字为y， ∴时里程表上的数可表示为； ∵时看到的两位数十位与个位数字与时所看到的正好互换了 ∴十位数字为y，个位数字为x， ∴时看到里程表上的数表示为； ∵看到的数字是一个三位数，比时看到的两位数的数字中间多了个0， ∴此三位数百位数字是x，十位数字是0，个位数字是y， ∴时看到里程表上的数； （2）解：根据题意，得， 解得：． ∴小靖在时看到里程表上的两位数． 答：小靖在时看到里程表上的两位数是51． ◆题型6 二元一次方程组的应用之工程问题 16．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）骑自行车出行是一种健康环保的出行方式．某自行车制造厂计划月份生产安装辆新款自行车，已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．求一名熟练工和一名新工人每日分别可以安装多少辆新款自行车？ 【答案】一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车 【分析】设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车．已知名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车；名熟练工和名新工人每日可安装辆新款自行车．据此列出方程组并解方程组即可． 【详解】解：设一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 由题意得． 解得． 一名熟练工每日可以安装辆新款自行车，一名新工人每日可以安装辆新款自行车． 17．（25-26六年级下·上海·期末）夏天来临，广大市民对空调的需求不断上涨．某空调公司现有300台已申请空调待装，此外每天另有新申请空调待装．设每天申请安装的空调数相同，如果安排3个安装小组，6天恰好完工；如果安排5个安装小组，2天恰好完工．问：每天新申请安装空调多少台？每个安装小组每天安装空调多少台？ 【答案】每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 【分析】设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台，然后根据每天安装的空调数乘以天数等于安装的总空调数，列出方程组即可解答． 【详解】解：设每天新申请安装空调x台，每个安装小组每天安装空调y台， 依题意得 解得 答：每天新申请安装空调100台，每个安装小组每天安装空调50台． 18．（2026·安徽阜阳·二模）“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶文化是中国传统文化的重要部分．现有甲、乙两个茶叶加工厂，计划合作一周完成茶叶的加工任务，由于加工人员调整，甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了，最终甲、乙两厂按原计划完成了加工任务． (1)设甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶，直接用含x，y的代数式填表： 工厂 原加工效率 现加工效率 甲 周 __________周 乙 周 __________周 一周总工作量 (2)求甲、乙两个工厂原计划一周分别加工茶叶多少千克． 【答案】(1)， (2)甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶 【分析】（1）根据“甲工厂的加工效率比原来提高了，乙工厂的加工效率比原来降低了”，用含x，y的代数式表示现加工效率； （2）根据原计划总工作量和现计划总工作量均为，列二元一次方程组求解． 【详解】（1）解：甲现加工效率：； 乙现加工效率：． 故答案为：． （2）解：由题意得 由第一个方程得 ，代入第二个方程： 则 ． 答：甲工厂原计划一周加工茶叶，乙工厂原计划一周加工茶叶． ◆题型7 二元一次方程组的应用之销售、利润问题 19．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）列方程（组）解下列问题： 某乡镇农产品展销店售卖A款土蜂蜜与B款菌菇干货．已知卖出1罐A款土蜂蜜和1袋B款菌菇的总销售额为65元；卖出5罐A款土蜂蜜和2袋B款菌菇的总销售额为250元． (1)求每罐A款土蜂蜜、每袋B款菌菇的售价分别为多少元？ (2)该展销店在8月份共销售A款土蜂蜜2000罐，B款菌菇3000袋．由于B款菌菇采摘成本上涨，从9月1日起，每袋B款菌菇的售价增加，A款蜂蜜的售价保持不变．统计9月的销量和销售额发现：A款蜂蜜的销量在8月的基础上降低，B款菌菇的销量在8月的基础上增加，这两款产品的总销售额在8月的基础上增加，求的值． 【答案】(1) 每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元 (2) 的值为16 【分析】（1）根据两组总销售额的等量关系，设未知数列二元一次方程组求解； （2）分别表示9月两款产品的销售额，结合总销售额的增长比例列方程求解． 【详解】（1）解：设每罐A款土蜂蜜售价为元，每袋B款菌菇售价为元， 根据题意，得 解得 答：每罐A款土蜂蜜售价为40元，每袋B款菌菇售价为25元； （2）解：8月总销售额为（元）， 9月A款蜂蜜销量为罐，B款菌菇销量为袋，B款菌菇售价为元/袋， 根据题意，得 化简得 解得 答：的值为16． 20．（25-26八年级下·陕西商洛·期末）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下： ①篮球、足球、排球各买一个的价格共为140元 ②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元 ③购买5个篮球与购买6个足球花费相同 (1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价； (2)学校要购买篮球、足球共10个，设购买篮球m个，篮球、足球的总费用为w元，求w关于m的函数解析式 (3)在（2）的条件下，且购买足球的个数不超过篮球个数的2倍．请问购买多少个篮球时花费最少，最少费用是多少？ 【答案】(1)每个篮球60元，每个足球50元 (2)w关于m的函数解析式为 (3)购买4个篮球时花费最少，最少费用540元 【分析】（1）设每个篮球元，每个足球元，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）根据题意列出函数解析式即可； （3）根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可． 【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得： 或或，（三个方程组任选一个即可） 解得：； 答：每个篮球60元，每个足球50元． （2）解：购买篮球个，则足球个，依题意，得 ∴w关于m的函数解析式为； （3）解：由题意，得 解得， ∵为正整数， ∴，且为正整数， ∵函数中，，随增大而增大， ∴当取最小值4时，总费用最少，为 答：购买4个篮球时花费最少，最少费用540元． 21．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）项目化学习 校园社团器材采购规划 素材一 学校学生会采购两类活动器材套装：科创套装、美术套装，每套所需管理志愿者人数、单套采购费用如下表： 器材类型 每套需管理志愿者人数 单套采购费用（元） 科创套装 2 800 美术套装 3 1100 素材二 本次采购分配志愿者共 34 名，所有志愿者全部用来管理两类器材，每人只负责一类器材；两类器材采购总花费 12800 元． (1)求科创套装、美术套装分别采购多少套？ (2)学校新增社团后，可用志愿者共 40 名，全部投入器材管理，要求美术套装采购数量多于 9 套．若要让器材采购总花费最低，科创套装、美术套装应各采购多少套？ 【答案】(1)采购科创套装套，采购美术套装套 (2)当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低 【分析】（1）设采购科创套装套，采购美术套装套，列二元一次方程组求解； （2）设采购套科创套装，采购美术套装套，可列二元一次方程，根据，均为非负整数，且，求出方程的解即为采购方案． 【详解】（1）解：设采购科创套装套，采购美术套装套， 根据题意得：， 解得：， 答：采购科创套装套，采购美术套装套； （2）解：设采购套科创套装，采购美术套装套， 根据题意得：， 整理可得：， 又，均为非负整数，且， 或， 共有种采购方案， 方案1：采购总成本为（元） 方案2：采购总成本为（元）； ， 当采购科创套装套，美术套装套时，采购总花费最低． ◆题型8 二元一次方程组的应用之几何图形问题 22．（25-26七年级下·江苏宿迁·期末）如图，是由10个相同的小长方形纸片组成的大长方形，根据图中数据，请求出大长方形的面积． 【答案】 【分析】设小长方形的宽为，长为，根据图中大长方形的对边相等列出方程组，解方程组，进而求出大长方形的长和宽，从而求出大长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的宽为，长为， 根据题意得：， 解得：， 则大长方形的面积为：， 答：大长方形的面积为． 23．（25-26七年级下·江苏南京·期末）某包装生产企业承接了一批礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：） (1)列出方程（组），求出图1中与的值． (2)在生产阶段，若将150张标准板材用裁法一裁剪，将得到的A型与B型板材做侧面和底面，请问能做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒各多少个？ 【答案】(1)， (2)做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个 【分析】（1）根据图1的两种裁法，可得到关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个，根据将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材个，B型板材个，竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；列出关于、的二元一次方程组，解方程组即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得， 解得：； （2）解：设做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个， 将150张标准板材用裁法一裁剪，得到A型板材（个），B型板材（个）， ∵竖式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材；横式无盖礼品盒需要个A型板材和个B型板材； ∴， 解得， ∴做成竖式无盖礼品盒个，横式无盖礼品盒个． 24．（25-26七年级下·浙江台州·期中）用如图1的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等）作侧面和底面，做成如图2的竖式和横式的两种无盖的长方体容器．    (1)根据题意可列出以下表格： 1个竖式无盖容器 1个横式无盖容器 长方形铁片的数量 4张 张 正方形铁片的数量 张 2张 则________，________； (2)现有长方形铁片240张，正方形铁片110张，如果两种铁片刚好全部用完，那么可加工成竖式和横式长方体容器各有几个？ (3)已知此竖式容器的售价为50元/个，横式容器的售价为60元/个．若五金店老板计划支付1000元用于采购一批竖式容器和横式容器（两种容器都要），则有哪几种方案可供选择？ 【答案】(1)， (2)可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个 (3)方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器；方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器；方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器 【分析】（1）观察两种无盖容器的结构，分别数出制作1个容器所需的长方形、正方形铁片数量，直接得出、的值； （2）设竖式、横式容器的数量为未知数，根据长方形和正方形铁片的总数量列二元一次方程组，解方程组得到结果； （3）设两种容器的采购数量为未知数，根据总费用列二元一次方程，结合正整数的条件求出所有符合的解，得到采购方案． 【详解】（1）解：，； 1个横式无盖容器：个正方形侧面个长方形面（前后+底面），故； 1个竖式无盖容器：个正方形底面个长方形侧面，故； （2）解：设可加工成竖式长方形容器个，横式长方体容器个． 可以列出方程组，     解得．     答：可加工成竖式长方形容器30个，横式长方体容器40个． （3）解：设采购个竖式容器，个横式容器， 根据题意得：，     解得， 又因为，均为正整数， 所以或或， 故共有3种方案可供选择： 方案1：采购14个竖式容器，5个横式容器； 方案2：采购8个竖式容器，10个横式容器； 方案3：采购2个竖式容器，15个横式容器． ◆题型9 二元一次方程组的应用之数字问题 25．（25-26七年级下·陕西榆林·期末）一个两位数，个位上的数字与十位上的数字之和是11，如果把十位上的数字与个位上的数字对调，那么所得的两位数比原两位数大63，求原来两位数．（列方程组解答） 【答案】原来两位数为29． 【分析】设个位上的数字为x，十位上的数字为y，根据题意列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设原来两位数个位上的数字为x，十位上的数字为y， 依题意有， 解得， 答：原来两位数为29． 26．（26-27八年级上·全国·课后作业）小明爸爸开车带着小明在公路上匀速行驶，小明每隔看到一个里程碑上的数，下面是对三个数的描述．请确定小明在时看到的里程碑上的数． 是一个两位数，它的十位数字与个位数字之和为7． 十位数字和个位数字与时所看到的正好互换了． 比时看到的两位数中间多了个0． 【答案】小明在时看到的里程碑上的数是16． 【分析】设看到的两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据两数字之和为7，匀速行驶1小时的路程相等列方程组求解． 【详解】解：设时看到的数的十位数字为，个位数字为． 根据题意，得， 解得：， ∴． 答：小明在时看到的里程碑上的数是16． 27．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）一个两位数的十位数字与个位数字的和是8，把这个两位数加上18，结果恰好等于它的十位数字与个位数字对调后组成的两位数． (1)求这个两位数． (2)若将这个两位数的十位数字和个位数字对调后，得到一个新两位数，则新两位数比原两位数大多少？ (3)是否存在一个两位数，它的十位数字与个位数字的和是8，且对调后得到的新两位数恰好是原两位数的2倍？如果存在，请求出这个两位数；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)35 (2)大18 (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解，然后进一步即可得出答案． （2）对调后的新两位数为53，然后和原数相减即可得出答案． （3）设该两位数的十位数字为a，个位数字为b，根据题意列出关于a，b的二元一次方程组，求解即可得出，由a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8，此时（不是个位数），不符合题意， 【详解】（1）解：设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y， 根据题意，得 解得， ∴这个两位数是． （2）解：对调后的新两位数为53， 答：新两位数比原两位数大18． （3）解：不存在 理由：设该两位数的十位数字为a，个位数字为b， 根据题意得 整理方程②： ，即 ． ∵ a、b均为0−9的整数，且，a必须是8的倍数，符合条件的a只有8， 此时（不是个位数），不符合题意， 故不存在这样的两位数． ◆题型10 二元一次方程组的应用之图表信息问题 28．（2026·江苏淮安·中考真题）某旅游团队（包含成人和儿童，儿童身高均超过）一行7人来淮安西游乐园游玩．当日的票务信息如图所示： 经过测算，若按照A方案购票，则共需支付1190元． (1)求该团队成人与儿童的人数． (2)请你直接给出一个最优惠的购票方案及所需费用． 【答案】(1)该团成人有4人，儿童有3人 (2)最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元 【分析】（1）设该团队成人有x人，儿童有y人，根据题意列方程组去求解即可； （2）根据成人有4人，儿童有3人，结合票务信息制定不同方案，分别求出所需费用，然后比较大小即可解答． 【详解】（1）解：设该团队成人有x人，儿童有y人， 根据题意，得 解得 答：该团队成人有4人，儿童有3人； （2）解：方案一：按照A方案购票，则所需费用为1190元； 方案二：购买两个B套票，一个儿童票，则所需费用为（元）； 方案三：购买一个B套票，两个C套票，则所需费用为（元）； 方案四：购买四个C套票，则所需费用为（元）； ∵， ∴按照方案三购票最省钱， 答：最优惠的购票方案是购买一个B套票，两个C套票，所需费用为964元． 29．（25-26七年级下·广东广州·期末）每个人的日常消费都会产生二氧化碳排放，积极倡导并实践 “低碳” 生活是我们每一个人的社会责任．小亮统计自家5、6月的能耗数据，制成家庭月度 “碳足迹” 统计表． 姓名：小亮 家庭人数：4人 月份 家庭用电消耗量（度） 天然气消耗量（） 总碳足迹（） 月 月 （家庭碳足迹计算公式：总碳足迹=家庭用电消耗量×每度电的碳排放量+天然气消耗量×每立方米天然气的碳排放量） 设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，请列二元一次方程组求出，的值． 【答案】 【分析】设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 根据题意得 化简整理得 用得， 解得， 将代入中得， 解得， ∴方程组的解为， 答：每度电的碳排放量为，每立方米天然气的碳排放量为． 30．（25-26七年级下·广东广州·期末）对每个人来说，膳食结构至关重要，它直接影响人们的身体健康．某校组织部分学生去参加研学活动，并准备了A，B两种食品作为午餐，其营养成分如图所示： (1)根据图表填空：_____________，_____________；学生小天在运动过后需要快速补充能量，优先摄入高碳水、适量蛋白、少量脂肪的食物，那么小天的午餐应该选择食品__________（填A或B）； (2)学生小河要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用A，B两种食品各多少包？ (3)若要使每份午餐中的蛋白质含量正好是（两种食品均需包含，且每种食品整份搭配），直接写出A，B两种食品的搭配方案． 【答案】(1)50，14，A (2)选用A食品4包，B食品2包 (3)搭配方案有：①9包A食品，2包B食品；②6包A食品，4包B食品；③3包A食品，6包B食品 【分析】（1）利用A食品含脂肪量除以其所占的百分比可得的值；利用A食品含其他的重量除以A食品的总重量可得的值；根据两种食品的营养成分表和小天补充能量的要求解答即可得； （2）设选用A食品包，B食品包，根据题意建立方程组，解方程组即可； （3）设搭配A食品包，B食品包，则可得一个关于，的二元一次方程，结合，都是正整数求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， ， ∴， ， ∵每的A食品含碳水高于每的B食品含碳水、每的A食品含蛋白质和脂肪均低于每的B食品的， ∴小天的午餐应该选择食品A． （2）解：设选用A食品包，B食品包， 由题意得：， 解得， 答：选用A食品4包，B食品2包． （3）解：设搭配A食品包，B食品包， 由题意得：， ∴， ∵，都是正整数， ∴搭配方案有：①当时，； ②当时，； ③当时，； 答：A，B两种食品的搭配方案有：①9包A食品，2包B食品；②6包A食品，4包B食品；③3包A食品，6包B食品． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．A地至B地的航线长，一架飞机从A地顺风飞往B地需，它逆风飞行同样的航线要，则飞机在无风时的平均速度是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，熟练掌握顺风速度无风速度风速，逆风速度无风速度风速是解题的关键．设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时，根据飞机顺风速度时间路程，飞机逆风速度时间路程，列方程组进行求解． 【详解】解：设飞机无风时的平均速度为x千米/时，风速为y千米/时， 由题意得，， 解得，， 答：飞机无风时的平均速度为765千米/时， 故选：C． 2．中国古代人民在生产生活中发现了许多数学问题，在《孙子算经》中记载了这样一个问题，大意为：有若干人乘小舟过江，若每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；若每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，问共有多少只小舟，多少人，设共有x只小舟，y人，则可列方程组为（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找到等量关系并列出方程组是关键；根据等量关系：每舟乘坐4人，则1只小舟无人乘坐；每舟乘坐3人，则1人无舟可乘，列出方程组即可． 【详解】解：由题意共有x只小舟，y人， 则得方程组， 故选：A． 3．如图所示为两个形状、大小完全一样的小长方形拼接而成的图形．设小长方形的宽为，长为，则可列方程组为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解题关键是要读懂题干配图，根据配图给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程组． 根据设小长方形的长和宽为y、x，可得到关于x、y的两个方程，即得答案． 【详解】解：∵设小长方形的宽为，长为， 如图可知，1个小长方形的宽加1个小长方形的长等于7；1个小长方形的长减去1个小长方形的宽等于3． ∴． 故选：B． 4．为了实现教育部部长怀进鹏提出的在大课间15分钟内让学生心里有阳光，身体能出汗，实验中学计划出资5000元全部用于采购A，B，C三种健身器材，A种健身器材每个300元，B种健身器材每个250元，C种健身器材每个200元，其中A种健身器材至少买5个，最多买6个（三种健身器材都要买），则此次采购的方案有（   ）种． A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的实际应用，设购买B种健身器材x个，C种健身器材y个，分购买A种健身器材5个和购买A种健身器材6个两种情况，列出关于的二元一次方程，求出方程的正整数解即可得到答案． 【详解】解：设购买B种健身器材x个，C种健身器材y个， 当购买A种健身器材5个时，则， ∴， ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴购买A种健身器材5个时，共有3种方案； 当购买A种健身器材6个时，则， ∴ ∵x、y都是正整数， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴购买A种健身器材6个时，共有3种方案； 综上所述，一共有种方案， 故选：C． 5．将9个数填入九宫格的空格中，使每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等．如图所示的是一个未完成的九宫格，则x与y的和是（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：∵将个数填入幻方的空格中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为：或， 最右下角的数为：或， 依题意得：， 解得：， ∴与的和为， 故选：D． 二、填空题 6．甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 【答案】28 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 7．大学生运动会召开时，某校有56名学生报名参加志愿者活动，这些学生被分为4人小组或6人小组，则分组的方案共有 种． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程的非负整数解，设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得，求出方程的非负整数解，问题得解﹒ 【详解】解：设4人小组有x组，6人小组有y组，则 化简得， 方程的非负整数解有， ∴有5种分组方案﹒ 故答案为：5 8．我国古代数学著作《算法统宗》中记载了“绳索量竿”问题，其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺，求绳索和竿的长度．设绳索长m尺，竿长n尺，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组以及数学常识，设绳索长m尺，竿长n尺，根据“用绳索去量竿，绳索比竿长7尺；如果将绳索对半折后再去量竿，绳索比竿短7尺”，即可得出关于m， n的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：设绳索长m尺，竿长n尺， 根据题意得：， 故答案为：． 9．已知铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒．如果火车速度不变，那么火车的速度是 米/秒，火车的长度为 米． 【答案】 10 200 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，设火车的速度为米／秒，火车的长度为米，根据铁路桥长1000米，一列火车从桥上通过，测得火车从开始上桥到完全下桥共用120秒，火车通过一条长600米的隧道的时间为80秒，再建立方程组求解即可. 【详解】解：设火车的速度为米／秒，火车的长度为米， 根据题意，得， 解得， 即火车的速度为10米／秒，火车的长度为200米． 故答案为：， 10．某校为了解学生对不同竞赛科目的感兴趣程度，老师对学生们做了一次“我最喜爱的竞赛科目”问卷调查（只可选择数学、物理、化学、生物学其中1个科目）．若4个科目都有人选且选物理的人数比选生物学的人数少8，选数学的人数是选生物学人数的整数倍，选生物学与数学的人数之和是选物理与化学的人数之和的5倍，选化学与数学的人数之和比选物理与生物学的人数之和多24，则选数学的人数是 ． 【答案】30 【分析】设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人， 【详解】解：设选物理的有人，则选生物学的有人，选数学的有人，为正整数， 选化学的有人.依题意得： 联立①②，消去：， ∵均为正整数， ， 为正整数，由①得：， 将的解带入上式，只有当时，， 故选数学的有， 故答案为：． 三、解答题 11．一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字之和是9．若交换个位上的数字与十位上的数字的位置，新得到的数比原来的数小63，求原来的两位数 【答案】原来的两位数是81． 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，准确列出等量关系是解决问题的关键． 根据等量关系，设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为，列出二元一次方程组并求解即可． 【详解】解：设原来两位数的十位上的数字为，个位上的数字为． 根据题意，得 解得 故原来的两位数是81． 12．我国古代数学名著《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，只知道每尺罗布比绫布便宜文，问两种布每尺各多少钱？ 【答案】每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用，设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文，根据一匹7尺长的绫布和一匹尺长的罗布恰好一样贵，可以列方程，根据每尺罗布比绫布便宜文，可列方程，解方程组即可求出两种布每尺各多少钱． 【详解】解：设每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文， 根据题意得：， 解得：， 答：每尺绫布的价格为文，每尺罗布的价格为文. 13．某厂共有140名生产工人，每个工人每天可生产卷筒25个或圆板20个，如果一个卷筒与两个圆板配成一套，那么每天安排多少名工人生产圆板，多少名工人生产卷筒，才能使每天生产出来的产品配成最多套？ 【答案】每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题的关键． 设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，根据共有140名工人及一个卷筒与两个圆板配成一套，可得出方程组，解出即可得出答案． 【详解】设每天安排多x名工人生产卷筒，y名工人生产圆板，由题意得， ， 解得：， ∴每天生产卷筒：（个）， 每天生产圆板：（个）， ∴圆板数量恰好为卷筒数量的2倍，则可配成1000套，无剩余 答：每天安排可安排40名工人生产卷筒，100名工人生产圆板才能使每天生产出来的产品配成最多套． 14．某建工集团下有甲、乙两个工程队，现中标承建一段公路．若让两队合做，24天可以完工，需费用120万元；若让两队合做20天后，剩下的工程由乙队做，还需20天才能完成，这样只需费用110万元问： (1)甲、乙两队单独完成此项工程各需多少天？ (2)甲、乙两队单独完成此项工程各需费用多少万元？ 【答案】(1)甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 (2)甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元 【分析】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，根据题意找出等量关系列出方程． （1）设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b，根据工作效率工作时间=工作量，列方程组即可解答； （2）设甲队单独完成此项工程需费用x万元，乙队单独完成此项工程需费用y万元，费用=甲乙费用和，列二元一次方程进行计算即可得． 【详解】（1）解：设甲队每天工作效率为a，乙队每天工作效率为b， 由题意得： 解得： ∴甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需天， 答：甲队单独完成此项工程需30天，乙队单独完成此项工程需120天 （2）设甲队单独做需x万元，乙队单独做需y万元， 由题意得： 解得： 答：甲队单独做需135万元，乙队单独做需60万元． 15．某中学组织七年级学生春游，原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．两种客车的载客量、租金如下表． 类型 载客量（人） 租金（元／辆） 型客车 45 250 型客车 60 320 (1)本次春游学生共多少人，原计划租型客车多少辆？ (2)若同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，请问怎样租车更合算？ 【答案】(1)本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆 (2)租用1辆型客车，7辆型客车，更划算 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程， （1）设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，根据原计划租用型客车若干辆，此时有15名同学没有座位；若改为租用型客车，则可以少租用两辆车，同时还有15个空座位．结合两种客车的载客量，列出二元一次方程组，解方程组即可； (2) 设租用型客车辆，型客车辆，根据同时租用两种客车，要求所有客车的座位刚好坐满，列出二元一次方程，解方程， 再根据两种客车的租金计算比较即可． 【详解】（1）解：设原计划租型客车辆，本次春游学生共人，由题意，得： ，解得：； 答：本次春游学生共465人，原计划租型客车10辆； （2）解：设租用型客车辆，型客车辆，由题意，得： ， 解得：， ∵均为正整数， ∴或或； 共3种租车方案： 方案一：租用9辆型客车，辆型客车，费用为：（元）； 方案二：租用5辆型客车，4辆型客车，费用为：（元）； 方案三：租用1辆型客车，7辆型客车，费用为：（元）； ∵， ∴租用1辆型客车，7辆型客车，更划算． 16．某品牌制衣厂现有240名制作服装的工人，每天都制作某款运动服装T恤和短裤，每名工人每天可制作这种T恤3件或短裤5条． (1)若该厂要求每天制作的T恤和短裤数量相等，则应各安排多少名工人制作T恤和短裤？ (2)已知制作1件T恤可获利25元，制作1条短裤可获利18元．若该厂要求每天获得利润18900元，则需要安排多少名工人制作T恤？ 【答案】(1)应安排名工人制作掹，名工人制作短裤． (2)需要安排名工人制作恤． 【分析】（1）问根据恤和短裤数量相等的关系，设未知数建立方程求解； （2）问根据利润的关系，设未知数建立方程求解． 【详解】（1）解：（1）设应安排名工人制作恤，名工人制作短裤． 根据题意，得解得 答：应安排150名工人制作掹，90名工人制作短裤． （2）解：（2）设需要安排名工人制作恤，名工人制作短裤． 根据题意，得 即解得 答：需要安排名工人制作恤． 17．某眼镜厂家的一个车间共有22名工人生产镜片和镜架，每人每天生产12个镜架或20片镜片，一副镜架要配两个镜片，此车间为了使每天生产的产品刚好配套． (1)应该分配多少名工人生产镜片，多少名工人生产镜架； (2)为迎合市场需求，生产镜片的工人中分出一部分生产B镜片，剩余工人生产A镜片，生产镜架的工人中留下恰好能生产配套A镜片所需的镜架的工人，其余工人也生产B镜片，并将配套好的眼镜和B镜片分别出售，若每副眼镜利润为170元，每片B镜片的利润是43元，想共获利19660元，从生产镜片的工人中需要分出多少人生产B镜片？ 【答案】(1)生产镜架10人，生产镜片12人 (2)6人 【分析】题目主要考查一元一次方程和二元一次方程的应用，理解题意列出方程和方程组是解题关键． （1）设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架，根据题意列出方程求解即可； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：设分配x名工人生产镜片，名工人生产镜架， 根据题意得：， 解得：， ∴， ∴生产镜架10人，生产镜片12人； （2）设生产镜片的工人中分出z人生产B镜片，生产镜架的工人中有y人生产B镜片， 根据题意得：， 解得：， ∴分出6人生产B镜片． 18．贴春联是中国人过年的重要习俗．春节临近，某百货超市用3960元购进A，B两种春联进行销售，春联的进价和售价如下表所示．全部销售后可获得利润810元． A种春联 B种春联 进价（元/副） 15 12 售价（元/副） 18 14.5 (1)该超市购进两种春联各多少副？ (2)由于销量比较好，该超市决定再用1500元购进这两种春联（1500元正好用完且两种春联均购买），因货品紧俏，批发市场春联涨价，A种春联为20元/副，B种春联为17元/副，请问有哪几种购买方案？ 【答案】(1)该超市购进A种春联120副，B种春联180副 (2)有4种购买方案，方案一：购买58副A种春联，20副B种春联；方案二：购买41副A种春联，40副B种春联；方案三：购买24副A种春联，60副B种春联；方案四：购买7副A种春联，80副B种春联 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，二元一次方程的整数解的应用． （1）设购进副A种春联，副B种春联，根据表格信息建立方程组求解即可． （2）设购进A种春联副，B种春联副，根据题意，得，再利用方程的正整数解的含义可得答案． 【详解】（1）解：设购进副A种春联，副B种春联， 根据题意，得， 解得， 答：该超市购进A种春联120副，B种春联180副． （2）解：设购进A种春联副，B种春联副， 根据题意，得， 整理，得． 因为均为正整数， 所以满足题意的值为 所以有4种购买方案， 方案一：购买58副A种春联，20副B种春联； 方案二：购买41副A种春联，40副B种春联； 方案三：购买24副A种春联，60副B种春联； 方案四：购买7副A种春联，80副B种春联． 19．随着交通安全意识的增强，某城镇居民开始积极购买头盔以保证骑行安全．某小商店购进种头盔个和种头盔个共需元，种头盔个和种头盔个共需元． (1)求，两种头盔的单价各是多少元； (2)若该商店计划正好用元购进，两种头盔（，两种头盔均购买），销售个种头盔可获利元，销售个种头盔可获利元，求该商店共有哪几种购买方案？假如这些头盔全部售出，最大利润是多少元？ 【答案】(1)种头盔的单价是元，种头盔的单价是元 (2)该商店共有种购买方案：①购进种头盔个，种头盔个；②购进种头盔个，种头盔个；③购进种头盔个，种头盔个；最大利润是元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出二元一次方程组． （1）种头盔的单价是元，种头盔的单价是元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购进种头盔个，种头盔个，根据题意列出二元一次方程，求出正整数解，即可解决问题． 【详解】（1）解：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元， 根据题意得， 解得， 答：种头盔的单价是元，种头盔的单价是元； （2）设购进种头盔个，种头盔个， 由题意得：， 整理得：， 、均为正整数， 或或， 该商店共有种购买方案： ①购进种头盔个，种头盔个，利润为元； ②购进种头盔个，种头盔个，利润为元； ③购进种头盔个，种头盔个，利润为元； ， 最大利润是元． 20．某科研团队对两款仿生机器人A，B进行步行性能测试，计划让一台A型机器人和一台B型机器人共同完成步行接力任务，A型机器人走一段路程后立即由B型机器人接着走．在接力测试中发现：A型机器人走10步，接着B型机器人走8步，共需要14秒；A型机器人走15步，接着B型机器人走20步，共需要27秒． (1)求A型机器人和B型机器人走一步各需要多少秒？ (2)已知A型机器人的单步步长为75厘米，B型机器人的单步步长为65厘米，在一次接力测试中，一台A型机器人和一台B型机器人需共同完成一段30米的接力任务，每台机器人的总步数均为整数，求完成这次接力任务的时间可能是多少秒？ 【答案】(1)A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； (2)完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，二元一次方程的应用． （1）设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒，根据题意列方程组求解即可； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步根据题意列出二元一次方程，求出所有符合条件的情况即可． 【详解】（1）解：设A型机器人走一步需要a秒，B型机器人走一步需要b秒 由题意可得 解得 答：A型机器人走一步需要秒，B型机器人走一步需要秒； （2）设A型机器人走了m步，B型机器人走了n步 由题意可得 因为m、n为正整数，n为15的整数倍， ，， 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 当时，完成接力任务的时间为（秒） 答：完成接力任务的时间可能为秒，秒，秒． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $