专题02 二元一次方程（组）中含参数问题（专项训练）数学新教材北师大版八年级上册

专题02 二元一次方程（组）中含参数问题 常考题型·精准突破 题型1 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值（重） 题型2 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值（高频） 题型3 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值（高频） 题型4 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值（难） 题型5 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1．0 2． 3． ◆题型2 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 4．4 5．1 6．7 ◆题型3 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 7． 8． 9． ◆题型4 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 10． 11． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后得出，即可求出这个固定解． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）． （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为． （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得 12． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）求出方程组的解，然后进行判断； （2）表示出方程组解的和，根据定义列出方程求参数即可； （3）解方程组，表示出解的和，然后根据要求确定参数的取值． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵， ∴该方程组是“美好方程组”； （2）解： ，得， ∴， ∵是“美好方程组”， ∴， ∴， 解得； （3）解： 得：， ∴， ∵方程组是“美好方程组”， ∵， ∴， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，得（符合题意）， 当或时，m不为正整数，舍去， ∴． ◆题型5 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 13． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据无论取何值，方程都有固定解，说明该解与无关，因此含的项的系数必须为，即，再将代入方程求出的值，即可得到固定解． （2）通过将两个方程相减消去，得到关于和的表达式，再根据为正整数、为整数的条件，分析分母的可能取值，进而求出的值． 【详解】（1）解：无论m取何值，方程都有固定解， 该方程的解与m的取值无关， ． 将代入，得， 解得． 方程的固定解为． （2）解： ，得． ． ． 恰为正整数，m也为整数， 或． 解得或． 14． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 15． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）根据新定义的运算法则解方程组即可； （3）根据新定义结合方程无解可得．即，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵，，， ∴方程组的解为  ； （3）解：∵二元一次方程组无解， ，． 即．             ， ． ． 将代入得， 即． ．         ∵方程有整数解且，均为整数， ，． ，，，． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．C 2．A 3．A 4．A 5．A 6．A 二、填空题 7． 8． 9．2 10． 11．2 12．①③ 三、解答题 13． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解．先解二元一次方程组，再把方程组的解代入方程中即可求解． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， ∵二元一次方程组的解也是关于x，y的方程的一个解， ∴， ∴． 14． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求出，，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入， 得， ②①得，即， ②①得，即， 所以． 15． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 16． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程组，理解题意是解答的关键． （1）将原方程整理为，根据题意得到，进而解方程可得公共解； （2）根据题意，列出方程组，解方程组证明即可． 【详解】（1）解：方程 整理得：， 由条件可得， 解得， 这个公共解为； （2）解：把化为下面的形式；， ， 解得 无论a取何值，这个公共解都是原二元一次方程的解． 17． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）把代入原方程组得，用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）原方程组中两个方程相加得出，再根据得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程组变为： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 18． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 19． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． （1）令取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， 方程的一组正整数解是； （2）解：由和得， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 20． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法． （1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可； （2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出、的值． 【详解】（1）解：二元一次方程变形为， ∴二元一次方程的伴随数是， 故答案为：； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是， ∴原方程为， ∵，是方程的两组解， ∴， 解得． 21． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程组，整理可得：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后代入计算即可； （2）由题意可知，和互为相反数，由此可得，即，把代入方程，可得，则，把的值代入方程，进而得出的值； （3）将方程整理为关于的等式，令的系数为，从而确定和的值即可． 【详解】（1）解：把代入方程组，可得 ， ，得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵和互为相反数， ，即， 把代入方程，得：， 解得：， ∴， 把，代入方程，得：， 解得：； （3）解：， ， ， 解得：， ∴无论取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为， 故答案为：． 22． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程（组）中含参数问题 常考题型·精准突破 题型1 利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值（重） 题型2 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值（高频） 题型3 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值（高频） 题型4 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值（难） 题型5 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值（难） 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）若是关于x，y的二元一次方程，则m的值为______． 【答案】0 【分析】二元一次方程需满足：方程含两个未知数，未知项的次数为，且未知数的系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】解：是关于，的二元一次方程， ，且， 由得或，解得或， ，即， ． 2．（25-26七年级下·陕西安康·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则n的值为____________． 【答案】 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴， 解得. 3．（25-26七年级下·江苏徐州·期末）若方程组是关于x，y的二元一次方程组，则代数式的值是________． 【答案】 【分析】根据二元一次方程组的定义，含未知数的项的最高次数都为1，且方程组共含两个未知数，由此得到系数和次数的关系，求出，的值，再计算即可． 【详解】解：∵方程组是关于，的二元一次方程组， ∴二次项的系数必须为，且的次数为， ∴， 解得， ∴． ◆题型2 已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 4．（25-26七年级下·黑龙江黑河·期末）若是关于x，y的二元一次方程的一个解，则a的值为___________． 【答案】4 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将已知的解代入原方程即可求出的值． 【详解】解：把代入，得， 解得． 5．（25-26七年级下·辽宁大连·期末）若是二元一次方程的一组解，则________． 【答案】1 【分析】根据二元一次方程的解的定义，将解代入原方程得到的值，再利用整体代入法计算所求代数式的值． 【详解】解：将代入方程得：， ∴ ． 6．（25-26七年级下·山东临沂·期末）已知是二元一次方程的一组解，则代数式的值为________． 【答案】7 【分析】根据二元一次方程解的定义，将方程的解代入原方程得到的值，再将所求代数式变形，利用整体代入法计算即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴． ◆题型3 已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 7．（25-26七年级下·甘肃定西·期末）若是二元一次方程组的解，则的值是________． 【答案】 【分析】将方程组的解代入原方程组，得到关于、的二元一次方程组，解出、的值，再计算． 【详解】解：把代入方程组， 可得：， ①+②得：，解得． 将代入①式： ， ， ， ． 8．（25-26七年级下·河北保定·期末）已知是方程组的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】根据方程组的解的定义，将已知的的值代入原方程组，得到关于的二元一次方程组，求解得到的值后，代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程组，可得， 解方程，解得， 将代入，得， 将，代入，得． 9．（25-26七年级下·重庆永川·期中）若关于、的二元一次方程组的解为，则代数式的值是_____________． 【答案】 【分析】将代入二元一次方程组中，得到，①+②得，，可求得，即可求解． 【详解】解：关于、的二元一次方程组的解为， ∴， ∴①+②得，， ∴， ∴． ◆题型4 已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 10．（26-27八年级上·重庆·阶段检测）已知关于、的二元一次方程组的解满足，则________． 【答案】 【分析】将方程组两个方程作差，得到关于的表达式，再结合已知条件求解． 【详解】解： 得 整理得 ∵ ∴ 解得． 11．（25-26七年级下·河南安阳·期末）已知关于，的方程组 (1)请写出方程的一组正整数解： ； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不论取任何值，方程总有一组固定解，请直接写出这组固定解． 【答案】(1)（或） (2) (3) 【分析】（1）令x取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出x、y的值，再将x、y代入代数式求出m即可； （3）将原式进行变换后得出，即可求出这个固定解． 【详解】（1）方程的正整数解可为（或）． （2）联立 解得 代入第二个方程 得， 故的值为． （3）将方程 整理为． 为使该式对任意 成立，需满足， 解得 12．（25-26七年级下·河南周口·期末）若关于x，y的二元一次方程组的解满足，则称该方程组为“美好方程组”．例如：方程组的解为，满足，所以是“美好方程组”． (1)试判断二元一次方程组   （填“是、否”）“美好方程组”； (2)若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，求a的值； (3)若关于x，y的二元一次方程组是“美好方程组”，且m，n为正整数，求出m，n的值． 【答案】(1)是 (2) (3) 【分析】（1）求出方程组的解，然后进行判断； （2）表示出方程组解的和，根据定义列出方程求参数即可； （3）解方程组，表示出解的和，然后根据要求确定参数的取值． 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 将代入①得， 解得， ∴该方程组的解为， ∵， ∴该方程组是“美好方程组”； （2）解： ，得， ∴， ∵是“美好方程组”， ∴， ∴， 解得； （3）解： 得：， ∴， ∵方程组是“美好方程组”， ∵， ∴， ∴， ∵m，n为正整数， ∴当时，，得（符合题意）， 当或时，m不为正整数，舍去， ∴． ◆题型5 已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 13．（25-26七年级下·河南新乡·期中）已知关于x，y的方程组． (1)无论m取何值，方程都有一组固定的解，求这组解； (2)若方程组的解中y恰为正整数，m也为整数，求m的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据无论取何值，方程都有固定解，说明该解与无关，因此含的项的系数必须为，即，再将代入方程求出的值，即可得到固定解． （2）通过将两个方程相减消去，得到关于和的表达式，再根据为正整数、为整数的条件，分析分母的可能取值，进而求出的值． 【详解】（1）解：无论m取何值，方程都有固定解， 该方程的解与m的取值无关， ． 将代入，得， 解得． 方程的固定解为． （2）解： ，得． ． ． 恰为正整数，m也为整数， 或． 解得或． 14．（2026七年级下·福建泉州·专题练习）已知关于的方程组． (1)无论数取何值，方程总有一个固定的解，请直接写出这个解； (2)若方程组的解中恰为整数，也为整数，求的值． 【答案】(1) (2) 或 【分析】（）由固定的解与无关，可得，代入可得固定的解； （）求出方程组中的值，根据恰为整数，也为整数，可确定的值． 【详解】（1）解：， 整理得， ∵该方程的解与的取值无关， ∴且， 解得：， 即固定的解为； （2）解：方程组， 得：， ∴， ∴， ∵恰为整数，也为整数， ∴或， 故或． 15．（25-26七年级下·重庆·期末）行列式最早源于中国古代数学经典《九章算术》（约公元1世纪），书中用方程术通过算筹排列与消元求解线性方程组，已隐含行列式的思想．17世纪末，德国数学家莱布尼茨在研究线性方程组时，系统引入了行列式的记号与运算．18世纪中叶，瑞士数学家克拉默在其著作《线性代数分析导论》中正式提出了求解线性方程组的“克拉默法则”，即用系数行列式表示方程组的解． 材料一：形如的式子称为行列式，计算公式是． 材料二：对于一般的二元一次方程组， 记，，， 其中叫作系数行列式．当，不全为时，方程组无解；当系数行列式时，方程组有解，解为． (1)根据材料一，计算； (2)根据材料二，用行列式解法求二元一次方程组的解； (3)根据以上材料，关于，的二元一次方程组无解，其中，均为整数，关于的方程有整数解，求的值． 【答案】(1) (2) (3)，，， 【分析】（1）根据新定义的运算法则求解即可； （2）根据新定义的运算法则解方程组即可； （3）根据新定义结合方程无解可得．即，再进一步分析求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵，，， ∴方程组的解为  ； （3）解：∵二元一次方程组无解， ，． 即．             ， ． ． 将代入得， 即． ．         ∵方程有整数解且，均为整数， ，． ，，，． 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1．关于x，y的方程是二元一次方程，则a的值是 （   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握二元一次方程必须符合以下三个条件：（1）方程中含有且只含有2个未知数；（2）含未知数项的最高次数为1；（3）方程是整式方程．利用二元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程是二元一次方程， ∴， 解得：， 故选C． 2．若是关于x，y的二元一次方程的解，则m的值为（   ） A． B．4 C． D．5 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解题的关键是熟练掌握二元一次方程的解的意义． 将方程的解代入原方程，然后进行求解即可． 【详解】解：将代入，得， 解得， 故选：A． 3．已知是二元一次方程组的解，则的值是（    ） A． B． C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程组解的应用及二元一次方程组的解法．将代入方程组的两个方程，构造关于m、n的二元一次方程组，求出m、n的值，从而可求得答案． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴ 解①得，代入②得，则， ∴， 故选：A． 4．若是二元一次方程的一个解，则的值是（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】先将方程的解代入二元一次方程，得到关于、的等式，再对所求式子进行变形求值．本题主要考查了二元一次方程的解，熟练掌握方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入，得． ∴． 故选：A． 5．关于的方程组有正整数解，则正整数为（   ） A．1或2 B．2或5 C．1或5 D．1或2或5 【答案】A 【分析】本题考查的是二元一次方程的解法．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 解题时先把两方程相加，去掉x，然后根据方程组有正整数解，进行分析，再确定正整数a的值，即可作答． 【详解】解：∵方程组有正整数解， ∴两式相加有，即， ∵a，y均为正整数， ∴或或或， ∴时，不合题意，舍去， 时，，，符合题意； 时，，，符合题意； 时，，，不合题意，舍去， ∴或2． 故选：A． 6．若关于的方程组无解，则的值为（    ） A． B．1 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的无解问题，对于二元一次方程组，当时，方程组无解． 根据方程组无解的情况对原方程进行整理，进而计算即可． 【详解】整理得， ∵关于的方程组无解， ∴， 解得：， 故选：A 二、填空题 7．若方程 是关于，的二元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的定义，解题关键是理解含有两个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程是二元一次方程，特别含未知数项前面的系数不为0．根据二元一次方程的定义解答即可． 【详解】解：∵方程是关于x，y的二元一次方程， ∴，， 解得， 故答案为：． 8．已知和是二元一次方程的两个解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解和解二元一次方程组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 把方程的解代入方程，得到一个关于、k的方程组，求出方程组的解，再求出的值即可． 【详解】解：和是二元一次方程的两个解， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， ， 故答案为：． 9．如果是方程的一个解，那么代数式的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值．将代入方程得到，代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴． 故答案为：2． 10．已知关于的方程组的解互为相反数，则k的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据解的情况求参数，相反数的定义等知识点，解题的关键是掌握解二元一次方程组的特殊解法． 根据二元一次方程组的特殊解法整理出方程，根据互为相反数整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意得，， 得，， ∴， 将代入得，， 解得， 故答案为：． 11．已知方程组有非负整数解，则正整数m的值有 个． 【答案】2 【分析】本题考查了解二元一次方程组和非负整数解的应用．熟练掌握解二元一次方程组的方法和非负整数解的应用是解题的关键． 首先解含参方程组，得到，的表达式，再根据，是非负整数找出正整数的所有可能取值即可． 【详解】解：解方程组 得， ∵方程组的解是非负整数 ∴ 即， ∵方程组的解是非负整数，且为正整数， ∴和为非负整数， 由为非负整数可知，为8的正约数， ∵为正整数， ∴， ∴可取2，4，8， 解得可取1，3，7， 当时，，符合题意；当时，，符合题意；当时，，不符合题意； 综上，正整数的值有1和3，共2个 故答案为：2． 12．已知关于的方程组有下列结论：①当这个方程组的解的值互为相反数时，；②当时，原方程组的解也是方程的解；③无论取何值，的值始终不变．其中正确的是 （填序号） 【答案】①③ 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，关键是根据条件，求出、的表达式． 解方程组得出、的表达式，根据的值确定、的值，逐一判断即可． 【详解】解：∵， , 当与互为相反数时，，解得，故①正确； 当时，原方程组的解为，此时，故②错误； ∵，无论取何值，的值始终不变，故③正确． 故答案为：①③． 三、解答题 13．已知二元一次方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 【答案】． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程的解．先解二元一次方程组，再把方程组的解代入方程中即可求解． 【详解】解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 所以方程组的解是， ∵二元一次方程组的解也是关于x，y的方程的一个解， ∴， ∴． 14．已知是关于，的方程组的解，则的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解和解二元一次方程组．把方程组的解代入方程组可得到关于a、b的方程组，解方程组可求出，，再整体代入计算即可． 【详解】解：把代入， 得， ②①得，即， ②①得，即， 所以． 15．已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有非负整数解． (2)若该方程组的解也满足方程，求m的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了二元一次方程的解，解二元一次方程组，关键是掌握解二元一次方程（组）的思路：消元． （1）直接列举即可； （2）先联立求出x、y的值，再代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴所有非负整数解有，； （2）解：依题意得：， 得， 把代入①得： 解得 方程组的解为： 把代入到得， 解得． 16．已知关于x，y的二元一次方程． (1)当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解． (2)试说明：无论a取何值，该公共解都是原二元一次方程的解． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查二元一次方程的解、解二元一次方程组，理解题意是解答的关键． （1）将原方程整理为，根据题意得到，进而解方程可得公共解； （2）根据题意，列出方程组，解方程组证明即可． 【详解】（1）解：方程 整理得：， 由条件可得， 解得， 这个公共解为； （2）解：把化为下面的形式；， ， 解得 无论a取何值，这个公共解都是原二元一次方程的解． 17．已知关于的方程组． (1)若，求这个方程组的解； (2)若这个方程组的解满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组解的情况求参数，解题的关键是熟练掌握加减消元法． （1）把代入原方程组得，用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）原方程组中两个方程相加得出，再根据得出关于k的方程，解关于k的方程即可． 【详解】（1）解：当时，原方程组变为： ， 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解：， 得：， ∵， ∴， 解得：． 18．若是关于的二元一次方程，则（   ） A．        B． C．        D． 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由． 解：因为2025是关于的二元一次方程， 所以． 解得．故选A． 【答案】马虎的解法不正确．正确选项为D，见解析 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解答本题的关键．方程的两边都是整式，含有两个未知数，并且未知数的项的次数都是1次的方程叫做二元一次方程． 马虎的解法未考虑未知数的系数不能为0，故错误；根据二元一次方程的定义求解即可. 【详解】解：马虎的解法不正确．正确选项为D．理由如下： 因为是关于，的二元一次方程， 所以 解得 故选D． 19．已知关于、的方程组． (1)请写出方程的一组正整数解； (2)若方程组的解满足，求的值； (3)不管取任何值，方程总有一个公共解，请直接写出这个解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查解二元一次方程组求参数，解题的关键在于先用参数分别表示出解，再利用代数式求参数． （1）令取一正整数，代入求出即可； （2）先通过方程组解出、的值，再将、代入代数式求出即可； （3）将原式进行变换后即可求出这个固定解． 【详解】（1）解：把，代入得， ， 解得， 方程的一组正整数解是； （2）解：由和得， 解得，代入得， ， 解得； （3）解：整理得， ， 根据题意得， 解得， 所以，这个固定不变的解为． 20．阅读理解：我们把关于字母、的二元一次方程的系数、、称为该方程的伴随数，记作．例如：二元一次方程的伴随数是． (1)二元一次方程的伴随数是___________； (2)已知关于、的二元一次方程的伴随数是，且，是该方程的两组解，求、的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二元一次方程的解及其解法． （1）把化成一般式，然后根据伴随数的定义求解即可； （2）先根据新定义写出方程，然后把x、y的值代入即可求出、的值． 【详解】（1）解：二元一次方程变形为， ∴二元一次方程的伴随数是， 故答案为：； （2）解：∵关于x、y的二元一次方程的伴随数是， ∴原方程为， ∵，是方程的两组解， ∴， 解得． 21．已知关于x，y的方程组． (1)当时，的值为________； (2)若x和y互为相反数，求m的值； (3)无论m取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为________． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程的解，解二元一次方程组等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）把代入方程组，整理可得：，利用加减消元法解方程组求出，的值，然后代入计算即可； （2）由题意可知，和互为相反数，由此可得，即，把代入方程，可得，则，把的值代入方程，进而得出的值； （3）将方程整理为关于的等式，令的系数为，从而确定和的值即可． 【详解】（1）解：把代入方程组，可得 ， ，得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵和互为相反数， ，即， 把代入方程，得：， 解得：， ∴， 把，代入方程，得：， 解得：； （3）解：， ， ， 解得：， ∴无论取何值，方程总有一个恒定不变的解，该解为， 故答案为：． 22．（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题02二元一次方程（组）中含参数问题 内容概览 目常考题型精准突破 题型1利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值（重） 题型2已知二元一次方程的解求参数或代数式的值（高频） 题型3已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值（高频） 题型4已知二元一火方程组的解的情况求参数或代数式的值（难） 题型5已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值（难） 目综合攻坚知能拔高 常考题型精准突破 ◆题型1利用二元一次方程的定义求参数或代数式的值 1,(25-26七年级下辽宁大连期末)若(2-m)x+3y=0是关于x,y的二元一次方程，则m的值为 2.(25-26七年级下陕西安康期末)若方程(n-2)x+3y”=1是关于x,y的二元一次方程，则n的值为 [x-(a-3)xy=3 3.(25-26七年级下江苏徐州期末)若方程组 2x一y3=4是关于x,y的二元一次方程组，则代数式 a-b的值是 ◆题型2已知二元一次方程的解求参数或代数式的值 x=1 4.(25-26七年级下·黑龙江黑河期末)若 y=2是关于x,y的二元一次方程x+y=9的一个解，则a的 值为 x=a 5.(25-26七年级下辽宁大连期末)若=b是二元一次方程2x+3y=-1的一组解，则6a+96+4= 1/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [x=a 6.(25-26七年级下-山东临沂期末)已知=b是二元一次方程2x-y=3的一组解，则代数式 4a-2b+1的值为 ◆题型3已知二元一次方程组的解求参数或代数式的值 7.(25-26七年级下·甘肃定西期末)若 =1是二元一次方程组-21的解，则的值是 x= mx+ny=11 m+n x=4 2x-ny=m 8.(25:26七年级下河北保定期末)已知y=2是方程组x+y=6的解，则m+n的值为一， 2ax-by=2 x=1 9.(25-26七年级下重庆永川期中)若关于xy的二元一次方程组-y=-1的解为y=-1,则代 数式6a+4b-3的值是 ◆题型4已知二元一次方程组的解的情况求参数或代数式的值 [2x+3y=m 10.(26-27八年级上：重庆：阶段检测)己知关于xy的二元一次方程组3x+4y=2m-3的解满足 x+y=1,则m= 2x+y=5 11.(25-26七年级下河南安阳期末)已知关于x'y的方程组m+2y-mx-6=0 (1)请写出方程2x+y=5的一组正整数解：一： (2)若方程组的解满足x-y=4,求m的值： (3)不论m取任何值，方程m+2y-mr-6=0总有一组固定解，请直接写出这组固定解。 12.(25-26七年级下河南周口期末)若关于x,y的二元一次方程组的解满足x+y=1,则称该方程组为 2x+y=2 x=1 2x+y=2 “美好方程组”，例如：方程组 x-y=1的解为y=0:满足1+0=1？所以x-y=1是“美好方程 组”. x+2y=3 ()试判断二元一次方程组2x-y=-4一（填“是、否”)“美好方程组”： 2/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3x-y=a-1 (2)若关于x,y的二元一次方程组 x+5y=7是“美好方程组”，求a的值； 7 4x-y=-m (3)若关于x,y的二元一次方程组 是“美好方程组”，且m,n为正整数，求出m,n的值. 3x+8y=-n 4 ◆题型5已知二元一次方程组的解为整数解时求参数或代数式的值 3x+2y=6 13.(25-26七年级下·河南新乡期中)已知关于x,y的方程组13x-y=my+3: (1)无论m取何值，方程3x-y=四+3都有一组固定的解，求这组解； (2)若方程组的解中y恰为正整数，m也为整数，求m的值. 2x+y-6=0 14.(2026七年级下福建泉州：专题练习)已知关于x,y的方程组 2x-y+my-5=0: (1)无论数m取何值，方程2x-y+my-5=0总有一个固定的解，请直接写出这个解： (2)若方程组的解中y恰为整数，m也为整数，求m的值. 15.(25-26七年级下·重庆期末)行列式最早源于中国古代数学经典《九章算术》（约公元1世纪），书 中用方程术通过算筹排列与消元求解线性方程组，已隐含行列式的思想.17世纪末，德国数学家莱布尼茨 在研究线性方程组时，系统引入了行列式的记号与运算，18世纪中叶，瑞士数学家克拉默在其著作《线性 代数分析导论》中正式提出了求解线性方程组的“克拉默法则”，即用系数行列式表示方程组的解. a b a b 材料一：形如cd的式子称为行列式，计算公式是cd =ad-bc ax+by=c 材料二：对于一般的二元一次方程组 ax+bay=c2' 记M% =a6-a4,N=9 =ch-64,p=89 b a =aC2-a291, b2 a,c, 其中M叫作系数行列式.当M=0,N,P不全为0时，方程组无解；当系数行列式M≠0时，方程组有解， N X= M 解为P =M 34 (①)根据材料一，计算-2 -1 3/7 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 [3x+2y=4 (②)根据材料二，用行列式解法求二元一次方程组4x+5y=3的解： [ax-2y=4 (3)根据以上材料，关于x'y的二元一次方程组bx+6y=8无解，其中。'b均为整数，关于，的方程 t-b+1 2t 7a =3+2a有整数解，求的值. 综合攻坚·知能拔高 一、单选题 1.关于x,y的方程5x-3y=7是二元一次方程，则a的值是() A.0 B.1 C.2 D.3 x=-2 2.若y=2是关于x,y的二元一次方程mx-3y=2的解，则m的值为（） A.-4 B.4 C.-8 D.5 x=1 (3x+m=y 3.已知y=1是二元一次方程组x+my=n的解，则m+n的值是() m+n A.-3 B.-2 C.3 D.5 x=2 4.若y=-1是二元一次方程ax+by=2的一个解，则2a-b-4的值是（） A.-2 B.2 C.-1 D.1 x+y=5 5.关于x,y的方程组y-x=1有正整数解，则正整数。为（) A.1或2 B.2或5 C.1或5 D.1或2或5 2x+y=1 6。若关于x,y的方程组(3k+)x-y=3无解，则k的值为〔） 417 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.-1 B.1 C.3 D.5 二、填空题 7.若方程(a+3)x+3y2=1是关于x,y的二元一次方程，则a的值为 x=2「x=4 8.已知y=-2和y=2是二元一次方程y=:+b的两个解，则k+b= x=a 9如果y=b是方程x-3y=-3的一个解，那么代数式5+a-3动的值是 x+4y=2k+1 10.己知关于x,y的方程组 2x-y=1的解互为相反数，则k的值是。 x-y=2 11.已知方程组 mx+y=6有非负整数解，则正整数m的值有一个. x+3y=4-a 12.己知关于x,y的方程组 x-y=3a 有下列结论：①当这个方程组的解x,y的值互为相反数时， a=-2;②当a=1时，原方程组的解也是方程x+y=4+2a的解；③无论a取何值，x+2y的值始终不变. 其中正确的是 (填序号) 三、解答题 [2x+5y=-6 13.已知二元一次方程组3x-5y=16的解也是关于x,y的方程x-by=4的一个解，求a+b的值. [x=-2 ax+by=1 14.已知y=1是关于x'y的方程组br+w=7的解，则(a+b)(a-b)的值. x+2y=3 15.已知关于x,y的方程组x-2y+mx=-5 ()请直接写出方程x+2y=3的所有非负整数解。 (②)若该方程组的解也满足方程x+y=2,求m的值. 16.己知关于x,y的二元一次方程(a-3)x+(2a-5)y+a-1=0 (I)当a每取一个值时就有一个方程，这些方程有一个公共解，试求这个公共解. (2)试说明：无论α取何值，该公共解都是原二元一次方程的解 17.已知关于的方程组 3-2y-合3 x,y -2x+3y=-3k-1 (1)若k=2,求这个方程组的解； (②)若这个方程组的解满足x+y=8,求k的值. 517 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 18.若(m-2025)+4+(a+8)y7=2025是关于x,y的二元一次方程，则() A.m=±2025，n=t8B.m=-2025,n=±8 C.m=±2025，n=-8D.m=-2025,n=8 下面是马虎的解答，你认为他的解法正确吗？若不正确，请给出正确答案，并说明理由， 解：因为(m-2025)x04+(n+8)y41=2025是关于x,y的二元一次方程， 所以m-2024=1,m-7=1 解得m=±2025，n=±8.故选A. x+2y=5 19.已知关于xy的方程组m-2y+mx+9=0 ()请写出方程x+2y=5的一组正整数解； (2)若方程组的解满足x+y=0,求m的值； (3)不管m取任何值，方程m-2y+mr+9=0总有一个公共解，请直接写出这个解. 20.阅读理解：我们把关于字母x、y的二元一次方程ax+by+c=0的系数a、b、c称为该方程的伴随数， 记作(a,b,c).例如：二元一次方程5x-y+3=0的伴随数是(5，-l,3) ()二元一次方程2x-3y=-4的伴随数是 x=1x=2 (②已知关于xy的二元一次方程的件随数是(2，m,川）且y=2:y=-1是该方程的两组解，求m'n 的值. 〔x+2y-6=0 21.己知关于x,y的方程组1x-2y+mx+2=0: (1)当m=4时，x-y的值为. ； (2)若x和y互为相反数，求m的值： (3)无论m取何值，方程x-2y+mx+2=0总有一个恒定不变的解，该解为 x+y=4① 22.(1)观察发现：材料：解方程组3(x+y)+y=14②· x=2 将①整体代入②，得3×4+y=14解得y=2把y=2代入①，得x-2所以y=2这种解法称为 “整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， x-y-1=0① 请直接写出方程组4(x-y)-y=5@的解为一： 617 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2x-y-2=0 (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组2x-y+1, 3+x=3: 2x+y=-3m+2 (3)拓展运用：若关于x’y的二元一次方程组x+2y=7 的解满足x+y>-1,请直接写出满足条 件的m的所有正整数值一· 717