第五单元 可能性（事件发生的可能性大小及应用）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学五年级上册（新教材）

第五单元 可能性（事件发生的可能性大小及应用）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、可能性大小的核心规律 在随机事件中，可能性的大小和物体数量（区域面积）有关： 1. 在总数量里，某一类物体数量越多，摸到它的可能性就越大； 2. 在总数量里，某一类物体数量越少，摸到它的可能性就越小； 3. 如果各类物体数量相等，那么对应的可能性大小相等（等可能性）。 - 转盘类问题：对应颜色区域面积越大，指针停在这个区域的可能性越大；面积相等，可能性相等。 ⚠️重要提醒：可能性大≠一定发生；可能性小≠不可能发生。只是出现的机会多少不同。 二、可能性大小的逆向推理 通过多次试验的结果，可以反过来推测物体数量多少： 重复试验后，某一种结果出现的次数多，说明它对应的物体数量大概率更多；出现次数少，对应物体数量大概率更少。 - 注意：试验推测是猜想，不是绝对结论，试验次数越多，推测越可靠。 三、游戏规则的公平性 1. 判断标准：参与游戏的各方，获胜的可能性相等，游戏就是公平的；可能性不相等，游戏不公平。 2. 修改不公平规则思路：调整数量或者调整获胜判定方式，让双方获胜可能性一样。 四、简单可能性的分数表示（基础认知，不超纲） 总数当作分母，目标物体数量当作分子，用来表示可能性大小。 例：盒子里有3红1黄，一共4个球，摸到红球的可能性是，摸到黄球可能性是。 五、常见易错点 1. 误区：可能性大就一定会发生。例：红球很多，摸到红球可能性大，但是仍然有可能摸到黄球。 2. 误区：单次试验结果直接判断数量多少。只摸一次摸到黄球，不能说明黄球数量多。 3. 误区：公平游戏就是输赢各一次。公平只是可能性相等，实际玩的时候仍然会有输赢。 4. 误区：放回和不放回混淆。摸后不放回，总数和各类数量会变化，可能性跟着改变；放回摸球，每次条件不变。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：数量对比法（判断可能性大小） 【解题思路】 比较不同种类物体的数量，数量多→可能性大，数量少→可能性小，数量相同→可能性相等。转盘题比较区域面积大小。 【操作步骤】 ① 找出每种物体的数量（或者每个区域面积）； ② 比较数量大小； ③ 得出可能性大小关系。 【易错提升】 不要只看种类，要看数量多少，不是种类多可能性就大。 方法点拨2：试验反推法（根据摸球结果猜数量） 【解题思路】 根据多次试验出现的频次，反向推测数量：出现次数多，对应物体数量可能更多。 【操作步骤】 ① 整理试验记录，统计每种结果出现次数； ② 次数多→可能性大→数量可能多；次数少→可能性小→数量可能少； ③ 写结论时带上"可能"，不能绝对化。 【易错提升】 单次结果不能用来推理，试验次数少的时候，误差会很大。 方法点拨3：公平性判定与修改法 【解题思路】 先算出双方获胜对应的可能性，相等则公平；不相等就调整条件，让可能性一致。 【操作步骤】 ① 找出所有可能结果，分别统计双方获胜情况； ② 对比双方获胜可能性； ③ 不公平的话，可以增加、减少球，或者重新制定判定规则。 【易错提升】 修改方案要保证规则清晰，不改变题意基础条件。 方法点拨4：按要求设计方案法 【解题思路】 根据可能性大小要求，分配各类物体数量。 - 要求A可能性最大：A数量最多； - 要求B可能性最小：B数量最少； - 要求可能性相等：数量一样多。 【易错提升】 如果题目要求"每种都有可能摸到"，每种至少要有1个。 【第三部分】考点讲练 考点一：直接判断可能性大小（摸球、转盘） 考查重点：根据数量、区域面积，直接比较可能性大小。 【典例精讲】 题目：盒子里有6个红球，3个蓝球，1个绿球，球大小、形状完全相同。从中任意摸一个球，摸到（　）球可能性最大，摸到（　）球可能性最小。 【分析】 比较三种球的数量：。红球数量最多，摸到红球可能性最大；绿球数量最少，摸到绿球可能性最小。 【详解】 红球数量最多，绿球数量最少。 摸到红球可能性最大，摸到绿球可能性最小。 【答案】红；绿 【变式训练】 题目：一个转盘，红色区域占4份，黄色占2份，蓝色占2份。转动转盘，指针停在（　）区域可能性最大，停在（　）和（　）的可能性相等。 【分析】 比较各区域份数：，份数越多，面积越大，可能性越大。黄色、蓝色份数相同，可能性相等。 【详解】 红色份数最多，黄色、蓝色份数相同。 指针停在红色可能性最大，黄色和蓝色可能性相等。 【答案】红色；黄色；蓝色 考点二：根据试验结果反向推测物体数量 考查重点：根据多次摸球记录，合理猜想哪种球数量多。 【典例精讲】 题目：盒子里只有红球和黄球，每次摸完放回，一共摸30次，摸到红球22次，摸到黄球8次。猜一猜，盒子里（　）球的数量可能更多。 【分析】 摸球试验中，摸到红球次数远多于黄球，说明摸到红球可能性更大，所以推测红球数量可能更多。注意结论要写"可能"，不是一定。 【详解】 摸到红球次数多，说明摸到红球可能性更大，因此盒子里红球的数量可能更多。 【答案】红 【变式训练】 题目：小浩摸卡片，每次摸完放回，一共摸40次：梅花出现28次，方块出现12次。下面说法正确的是（　） A. 盒子里一定梅花多 B. 盒子里可能梅花多 C. 下次一定摸到梅花 【分析】 梅花出现次数多，说明摸到梅花可能性大，推测梅花卡片可能数量多；试验结果只是推测，不能用"一定"，可能性大也不代表下一次肯定摸到。 【详解】 试验只能用来推测，不能绝对判定，不能说一定梅花多，也不能确定下一次摸到梅花。选B。 【答案】B 考点三：游戏规则的公平性判断与修改 考查重点：判断游戏公平，并且会修改不公平的游戏规则。 【典例精讲】 题目：小明和小红玩摸球游戏，盒子里有4个红球、2个黄球，摸到红球小明赢，摸到黄球小红赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请修改规则，使游戏公平。 【分析】 红球4个，黄球2个，数量不一样，两人获胜可能性不相等，游戏不公平。想要公平，需要让红球和黄球数量一样。 【详解】 红球数量4个，黄球2个，，摸到红球、黄球可能性不相等，游戏不公平。 修改方案（任选一种）： 方案1：拿走2个红球，红球2个、黄球2个； 方案2：增加2个黄球，红球4个、黄球4个； 方案3：摸到红球小明得1分，摸到黄球小红得2分，摸多次累计得分。 答：游戏不公平，可以拿走2个红球（方案不唯一）。 【答案】不公平；拿走2个红球（答案不唯一） 【变式训练】 题目：掷一枚骰子，点数大于3，小刚赢；点数小于3，小丽赢。这个游戏公平吗？ 骰子点数：1、2、3、4、5、6 【分析】 大于3：4、5、6，共3种；小于3：1、2，共2种。两人获胜对应的情况数量不一样，可能性不相等。 【详解】 大于3：4、5、6，3种； 小于3：1、2，2种； ，小刚赢的可能性更大，游戏不公平。 修改示例：点数是奇数小刚赢，点数是偶数小丽赢。 答：不公平。 【答案】不公平 考点四：按可能性大小要求设计方案 考查重点：根据要求安排物体数量，控制可能性大小。 【典例精讲】 题目：往袋子里一共放10个球，有红球、黄球、绿球，要求：摸到红球可能性最大，摸到绿球可能性最小，三种球都有可能摸到。请写出一种放球方案。 【分析】 条件：总数10，三种颜色都要有；红球数量最多，绿球数量最少。绿球至少1个，黄球数量比绿球多，红球最多。 【详解】 示例：红球6个，黄球3个，绿球1个 检验：，三种都存在，满足红球可能性最大，绿球可能性最小。 （其他合理方案：红球5、黄球4、绿球1；红球5、黄球3、绿球2等） 【答案】红球6个，黄球3个，绿球1个（答案不唯一） 【变式训练】 题目：给转盘6个相等的小区域涂色，有红色、蓝色，要求指针停在红色的可能性比蓝色大。怎么涂？ 【分析】 一共6格，红色格数＞蓝色格数，两种颜色都要有。 【详解】 示例：红色涂4格，蓝色涂2格；或者红5蓝1。 检验：，红色份数多，停在红色可能性更大。 【答案】红色4格，蓝色2格（答案不唯一，红色格数大于蓝色即可） 考点五：可能性综合应用题 考查重点：结合放回、不放回，综合分析可能性变化。 【典例精讲】 题目：盒子中有5个白球，3个黑球。 （1）任意摸一个，摸到（　）可能性大； （2）摸出1个白球，不放回，这时再摸一个，摸到（　）可能性大。 【分析】 第一问：，白球多； 第二问：拿走1白球，白球剩4，黑球3，仍然白球数量多。 【详解】 （1），摸到白球可能性大； （2）白球：（个），黑球3个，，摸到白球可能性大。 【答案】（1）白球；（2）白球 【变式训练】 题目：盒子：7白，2黑。摸出一个白球不放回，再摸，这时摸到黑球的可能性变（　）（填大、小、不变） 【分析】 原来白球7黑2；拿走1白后白球6，黑2。黑球占的比例变大，摸到黑球可能性变大。 【详解】 原来总数9；拿走白球后总数8，黑球数量不变，占比提升，摸到黑球可能性变大。 【答案】大 【第四部分】专项提升练习 1．盒子里有10个球，分别是6个红球、3个蓝球和1个黄球，任意摸出一个球，这个球是( )球的可能性最大，是( )球的可能性最小。 【答案】 红 黄 【分析】盒子里哪种颜色球的数量多摸出该种颜色球的可能性就比较大，盒子里哪种颜色球的数量少摸出该种颜色球的可能性就较小，据此解答。 【详解】因为1＜3＜6，则黄球数量＜蓝球数量＜红球数量，所以任意摸出一个球，摸出红球的可能性最大，摸出黄球的可能性最小。 2．一个正方体木块的六个面上有3个“A”，2个“B”，1个“C”，掷出后，字母“( )”朝上的可能性最大。 【答案】A 【分析】正方体木块的六个面中，哪个字母的面数最多，该字母朝上的可能性就最大，哪个字母的面数最少，该字母朝上的可能性就最小，据此解答。 【详解】因为3＞2＞1，所以掷出后，字母“A”朝上的可能性最大。 3．从数字卡片5，3，3，3，2，2中随意抽取一张，抽到数字________（填“5”“3”或“2”）的可能性最小。如果想让抽到5的可能性最大至少需要添加________张5。 【答案】 【分析】事件发生的可能性大小和对应卡片数量相关，卡片数量越多，摸到的可能性越大，卡片数量越少，摸到的可能性越小。要让抽到5的可能性最大，那么5的数量需要多于数量最多的现有卡片的数量，据此解答。 【详解】数字3有3张，数字2有2张，数字5只有1张。 3＞2＞1，所以抽到数字5的可能性最小。 数量最多的数字是3，有3张。要让抽到5的可能性最大，最少要有4张5。 4－1＝3（张），所以如果想让抽到5的可能性最大至少需要添加3张5。 4．一个不透明的袋子里装有材质、大小相同的3个红球、5个黄球和2个蓝球。从中任意摸出一个球，摸到( )球的可能性最大；要使摸到红球和蓝球的可能性相等，可以____________（写出一条即可）。 【答案】 黄 放入一个蓝球 【分析】袋子里球的总数量固定时，哪种颜色球的数量越多，摸到它的可能性就越大，要让摸到红球和蓝球的可能性相等，只需要让两种球的数量变一样多就行。 【详解】5＞3＞2 三种颜色的球，黄球个数最多，所以摸到黄球的可能性最大； 要使摸到红球和蓝球的可能性相等，就让红球和蓝球的数量相同即可。如：可以放入一个同样的蓝球。（答案不唯一，合理即可） 5．如图，转动转盘，转盘停止后指针指向数字( )的可能性最大。 【答案】4 【分析】可能性的大小和转盘上对应数字的区域面积有关：区域面积越大，指针指向它的可能性越大；区域面积越小，可能性越小，观察转盘即可。 【详解】转盘平均分为6份，其中数字“1”区域的面积占1份，数字“3”区域的面积占2份，数字“4”区域的面积占3份。3＞2＞1，所以指针指向数字“4”的可能性最大。 6．盒子里有大小相同的1个白球、2个红球、3个黄球，从盒子里任意摸出一个球，有( )种可能，摸到( )的可能性最大， 【答案】 黄球 【分析】盒子里有几种颜色的球，摸出的结果就有几种可能；在总数一定的情况下，哪种颜色的球数量最多，摸到该颜色球的可能性就最大。 【详解】盒子里有白球、红球、黄球共种颜色的球，所以任意摸出一个球，有种可能。 摸到黄球的可能性最大。 7．口袋里有3个黑球和4个白球（如下图）。 (1)如果摸到黑球的可能性大，至少要往口袋里再放( )个黑球。 (2)如果摸到黑球和白球的可能性相等，可以拿出( )个白球。 【答案】(1)2 (2)1 【分析】（1）要想摸到黑球的可能性大，黑球的数量至少比白球大1个，用白球的数量加上1，再减去黑球的数量，求出需要放入黑球的数量。 （2）要想摸到黑球和白球的可能性相等，白球和黑球的数量应相等，用白球的数量减去黑球的数量解答。 【详解】（1）4＋1＝2（个） （2）（个） 8．口袋里有红、黄两种颜色的球共20个，要求任意摸出1个球，使摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大，口袋里至少要放红球( )个。 【答案】11 【详解】根据可能性知识，要使摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大，应使口袋中红球的个数至少比黄球个数多1个，据此结合题意分析解答即可。 【解答】20÷2＋1 ＝10＋1 ＝11（个） 9．盒子里面有3个红球、4个白球和2个黄球。从中任意摸出两个球，可能出现哪些情况？列出所有可能的结果。 【答案】2个红球、2个白球、2个黄球、1个红球和1个白球、1个红球和1个黄球、1个黄球和1个白球。 【分析】按两个球颜色是否相同分类枚举，可避免重复或遗漏，先统计同色的组合，再统计不同色的组合，最后汇总得到所有结果。 【详解】1. 两个球颜色相同的情况： 红球有3个，可摸出2个红球；白球有4个，可摸出2个白球；黄球有2个，可摸出2个黄球。 同色组合共（种）。 2. 两个球颜色不同的情况： 红球和白球搭配，得1红1白；红球和黄球搭配，得1红1黄；白球和黄球搭配，得1白1黄。 不同色组合共（种）。 3. 总情况数： （种） 答：所有可能的结果为：2个红球、2个白球、2个黄球、1个红球1个白球、1个红球1个黄球、1个白球1个黄球。 10．妈妈买回一些外形一样、口味不同的巧克力，从中拿出5颗夹心巧克力、3颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力和1颗杏仁巧克力放在一起，让贝贝任意选出2颗巧克力，贝贝选的巧克力有哪几种可能的结果？（写出3种） 【答案】2颗夹心巧克力、1颗夹心巧克力和1颗黑巧克力、1颗黑巧克力和1颗杏仁巧克力（答案不唯一） 【分析】选出的2颗巧克力口味相同时，2颗夹心巧克力、2颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力；选出的2颗巧克力口味不同时，夹心巧克力和黑巧克力、夹心巧克力和牛奶巧克力、夹心巧克力和杏仁巧克力，黑巧克力和牛奶巧克力、黑巧克力和杏仁巧克力、牛奶巧克力和杏仁巧克力，据此按顺序列举，做到不重复不遗漏，最后任选3种。 【详解】分析可知： 夹心巧克力 （5颗） 黑巧克力 （3颗） 牛奶巧克力 （2颗） 杏仁巧克力 （1颗） 选法1 2颗 选法2 2颗 选法3 2颗 选法4 1颗 1颗 选法5 1颗 1颗 选法6 1颗 1颗 选法7 1颗 1颗 选法8 1颗 1颗 选法9 1颗 1颗 答：贝贝选的巧克力可能是2颗夹心巧克力、1颗夹心巧克力和1颗黑巧克力、1颗黑巧克力和1颗杏仁巧克力。（答案不唯一） 11．爸爸在三个盒子上贴上标签，盒子里分别装着两个红球、两个白球和一红一白两个球，但是标签全贴错了，爸爸要求曲米只能从其中一个盒子里摸出一个球，然后就说出三个盒子里分别装的是什么颜色的球。曲米该怎样摸球？如何判断？ 【答案】见详解 【分析】三个盒子上的标签全贴错了，从标有一红一白两个球的盒子里摸出一个球，摸出的球可能是红球，也可能是白球，如果摸出的球是红球，那么这个盒子里装的是两个红球；如果摸出的球是白球，那么这个盒子里装的是两个白球，最后根据“标签全贴错了”确定剩下两个盒子里的球即可。 【详解】分析可知，曲米从贴有“一红一白”标签的盒子里摸出一个球，如果摸出的球是红球，那么这个盒子里装的是两个红球，贴有“两个白球”标签的盒子里装的是一红一白，贴有“两个红球”标签的盒子里装的是两个白球；如果摸出的球是白球，那么这个盒子里装的是两个白球，贴有“两个红球”标签的盒子里装的是一红一白，贴有“两个白球”标签的盒子里装的是两个红球。（答案不唯一） 【点睛】根据从“一红一白”标签的盒子里摸出的球确定该盒子里装的球的颜色，并结合“标签全贴错了”推断出其它两个盒子里的球是解答题目的关键。 12．小红和小刚玩游戏，规则如下：四张牌5，6，7，8，两人从中各摸出一张相乘，积为奇数小红胜，积为偶数小刚胜。小红胜数是小刚胜数的几分之几。 【答案】 【分析】根据搭配方法，找出所有相乘的情况，求出积，用奇数个数÷偶数个数即可。 【详解】5×6＝30 5×7＝35 5×8＝40 6×7＝42 6×8＝48 7×8＝56 奇数有1个，偶数有5个。 1÷5＝ 答：小红胜数是小刚胜数的。 【点睛】关键是确定乘积情况，分数的分子相当于被除数，分母相当于除数。 13．国庆节期间，某商家举办“砸金蛋”活动准备了含有一等奖、二等奖、三等奖和纪念奖四个等级的金蛋共100个。如果你是活动主办方，你会怎样设定这四个等级的金蛋数量？ 【答案】一等奖1个金蛋，二等奖5个金蛋，三等奖10个金蛋，纪念奖84个金蛋。 【分析】根据题意，联系生活实际，我们都知道作为活动的主办方，肯定希望一等奖最少，二等奖次之，三等奖再次之，纪念奖最多的。 【详解】由分析可知，我会设一等奖1个金蛋，二等奖5个金蛋，三等奖10个金蛋，纪念奖84个金蛋。 【点睛】此题主要考查概率在实际生活中的应用。 14．学习完《可能性》这一单元后，小东和小亮在课后继续玩摸球游戏，每次从盒中任意摸出一个球，再放回去摇匀继续摸，摸20次。规定摸到黑球次数多时小东赢，摸到白球次数多时小亮赢。从下面的哪个盒中摸球最公平？请说明理由。 【答案】 从③号盒中摸球最公平。理由：③号盒中黑球和白球的数量相等，摸到黑球和白球的可能性相等，因此游戏最公平。 【分析】明确游戏公平的判断标准：因为摸球游戏公平的前提是双方获胜的可能性相等，所以需要先确定摸到黑球和摸到白球的可能性相等的条件是盒中黑球和白球的数量相同。 逐个统计三个盒子中黑球、白球的数量，对比每个盒内两种球的数量是否相等。 找到黑球和白球数量相等的盒子，结合可能性相等的原理说明公平的理由。 【详解】①号盒中有8个白球，5个黑球，8＞5； ②号盒中有10个白球，4个黑球，10＞4； ③号盒中有6个白球，6个黑球，6＝6； 答：从③号盒中摸球最公平。因为③号盒中黑球和白球的数量相等，摸到黑球和白球的可能性相等，因此游戏最公平。 15．已知一个盒子里有10个红球，6个黄球和1个白球，从中任意摸出一个球，则： (1)摸到的球，可能是( )球，可能是( )球，也可能是( )球。 (2)摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 (3)要想摸到白球的可能性增大，应该怎么做？ 【答案】(1) 红 黄 白 (2) 红 白 (3)增加白球的个数（答案不唯一） 【分析】（1）先根据盒子里球的颜色种类判断摸球的所有可能结果； （2）比较三种球的数量，判断可能性的大小，数量多的球摸到的可能性大，数量少的球摸到的可能性小； （3）根据可能性和数量的关系，想出增大白球可能性的方法。 【详解】（1）盒子里有红球、黄球、白球三种颜色的球，从中任意摸出一个球，摸到的球可能是红球，可能是黄球，也可能是白球。 （2）红球有10个，黄球有6个，白球有1个，因为10＞6＞1，红球数量最多，白球数量最少，所以摸到红球的可能性最大，摸到白球的可能性最小。 （3）摸到某种球的可能性大小与该种球的数量有关，数量越多，摸到的可能性越大。因此要增大摸到白球的可能性，可以往盒子里增加白球的数量；也可以减少红球或黄球的数量，使白球的数量相对增多（答案不唯一，合理即可）。 16．某超市春节开展促销活动，为了吸引顾客，设计了一个抽奖环节，准备了红色和黄色的乒乓球共20个，规定摸到红色的乒乓球，可以免费领取一份精美的新年礼物，每个顾客只能抽一次，抽完后乒乓球放回抽奖盒里重新摇匀接着抽奖。如果你是超市经理，怎样设计乒乓球放抽奖盒里的个数对超市有利？ 【答案】可以在抽奖盒里放2个红色乒乓球和18个黄色乒乓球。 【分析】根据数量越多，抽到的可能性越大；数量越少，抽到的可能性越小。所以抽奖盒里的红色乒乓球的数量越少对超市越有利。 【详解】可以在抽奖盒里放2个红色乒乓球和18个黄色乒乓球。（答案不唯一） 17．某社区为测试“AI垃圾分类助手”的识别准确性，开展了一次体验活动。助手的识别盒里有不同类型的虚拟垃圾卡片若干张，所有卡片除类型外完全相同。 刘奶奶从盒子任意抽出一张卡片，记录类型后放回摇匀，再抽下一次，重复抽了20次。结果如下表： 类型 可回收垃圾卡片 厨余垃圾卡片 其他垃圾卡片 有害垃圾卡片 次数 13 6 1 0 (1)从上面的记录推测，刘奶奶第21次抽出( )卡片的可能性最大，推测的依据是( )。 (2)刘奶奶再抽5次，那么这5次抽到厨余垃圾卡片的次数( )大于抽到可回收垃圾卡片的次数。（填“可能”、“一定”或“不可能”） (3)刘奶奶没有抽到有害垃圾卡片，再抽一次也不可能抽到有害垃圾卡片。你同意这种说法吗？为什么？ 【答案】(1) 可回收垃圾 前20次抽取中，可回收垃圾卡片被抽到的次数最多，抽到的可能性最大 (2) 可能 (3) 不同意。因为识别盒里有有害垃圾卡片，每次抽取的结果是随机的，之前没有抽到不代表之后也抽不到，再抽一次有可能抽到有害垃圾卡片。 【分析】（1）抽到某类卡片的次数越多，说明这类卡片的数量可能越多，抽到的可能性越大，先比较四类卡片的抽取次数。 （2）（3）随机事件的结果具有不确定性，不能仅凭有限次的试验结果断定后续一定不会发生某件事。 【详解】（1）四类卡片的抽取次数：，可回收垃圾卡片被抽到的次数最多，说明它的数量可能最多，所以刘奶奶第21次抽到可回收垃圾卡片的可能性最大。 （2）每次抽取卡片的结果是随机的，再抽5次的结果无法提前确定，有可能抽到厨余垃圾卡片的次数比可回收垃圾卡片多。 因此，刘奶奶再抽5次，那么这5次抽到厨余垃圾卡片的次数可能大于抽到可回收垃圾卡片的次数。 （3）识别盒里有不同类型的虚拟垃圾卡片，说明有害垃圾卡片是存在的，只要有这种卡片，就有可能被抽到。之前20次没抽到，只是试验次数少，不代表不会抽到，因此不同意这种说法。 18．学校文化节上同学们抽签表演节目，李老师有12张卡片，同学们任意抽取1张，并进行表演。 项目 讲故事 唱歌 跳舞 朗诵 张数 3 4 3 2 (1)同学们最有可能抽到的项目是_______，抽到_______的可能性最小。 (2)抽到________和_______的可能性一样大。 (3)要使抽到跳舞的可能性最大，你有什么办法？把你的想法写出来。_____________________。 【答案】(1) 唱歌 朗诵 (2) 讲故事 跳舞 (3)可以增加2张跳舞的卡片，此时跳舞的卡片数为3＋2＝5（张），比唱歌的4张多，就满足跳舞的可能性最大。（答案不唯一） 【分析】（1）某种项目的卡片数量越多，抽到的可能性越大；数量越少，可能性越小。 （2）找到相同数量的项目，可能性一样大。 （3）要使抽到跳舞的可能性最大，需要让跳舞的卡片数量超过其他所有项目，即跳舞的卡片数量要最多，写出对应想法。 【详解】（1）比较数量：唱歌有4张，讲故事和跳舞各有3张，朗诵有2张。其中唱歌的数量最多，朗诵的数量最少；最有可能抽到的是唱歌，抽到朗诵的可能性最小。 （2）讲故事的卡片数和跳舞的卡片数都是3张，数量相等，抽到讲故事和跳舞的可能性一样大。 （3）可以增加2张跳舞的卡片，此时跳舞的卡片数为3＋2＝5（张），比唱歌的4张多，就满足跳舞的可能性最大。（答案不唯一） 19．转盘游戏。 (1)转动甲转盘，转盘停止转动后，指针( )指向黄色区域；转动乙转盘，转盘停止转动后，指针( )指向红色区域。（填“一定”“可能”或“不可能”） (2)请你设计一个丙转盘，使转盘停止转动后，指针指向的情况有红、黄、蓝3种可能，且指向红色区域的可能性比蓝色区域大。 【答案】(1) 不可能 一定 (2)（画法不唯一） 【分析】（1）在一定条件下，一些事件的结果是可以预知的，具有确定性，确定的事件用“一定”或“不可能”来描述；一些事件的结果是不可预知的，具有不确定性，不确定的事件用“可能”来描述；可能性有大有小，每种颜色所占区域面积越大，指针指向它的可能性越大。 （2）使转盘停止转动后，指针指向的情况有红、黄、蓝3种可能，说明转盘上有红、黄、蓝三种颜色；指向红色区域的可能性比蓝色区域大，说明红色区域大于蓝色区域；据此画图。（画法不唯一） 【详解】（1）甲转盘中只有红和蓝两种颜色，没有黄色，指向黄色这件事确定不会发生，所以转盘停止转动后，指针不可能指向黄色区域； 乙转盘中只有红色，所以转盘停止转动后，指针必然落在红色区域，结果确定，所以指针一定指向红色区域； （2）由分析可知，丙转盘中，红色占两份，蓝色一份，黄色一份，画图略。（画法不唯一） 20．某超市要举行有奖促销活动，具体方案如下表。 方案一：摸球 任意摸出一个， 摸到红球即中奖。 方案二：转盘 指针指到红色 区域即中奖。 方案三：掷骰子 掷到1点朝上 即中奖。 (1)如果你是一名顾客，你认为选择哪种方案中奖的可能性最大？（在括号里画“√”） 方案一（    ）    方案二（    ）    方案三（    ） (2)中奖可能性一样大的是方案( )和方案( )。 【答案】(1)方案二（√） (2) 一 三 【分析】（1）分别算出三个方案的中奖概率，哪个概率高就选哪个方案。 方案一：总共有1＋2＋3＝6个球，红球1个，摸到红球的中奖概率是1÷6≈0.17。 方案二：可以把转盘看作是被平均分成4份，红色区域占了2份，中奖概率是2÷4＝0.5。 方案三：骰子一共6个面，掷到1点的中奖概率是1÷6≈0.17。 （2）对比（1）计算出来的概率即可。 【详解】（1）方案一：1÷6≈0.17 方案二：2÷4＝0.5 方案三：1÷6≈0.17 0.5＞0.17 所以方案二中奖可能性最大。 （2）方案一中奖概率是0.17，方案三中奖概率是0.17，所以中奖可能性一样大的是方案一和方案三。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五单元 可能性（事件发生的可能性大小及应用）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、可能性大小的核心规律 在随机事件中，可能性的大小和物体数量（区域面积）有关： 1. 在总数量里，某一类物体数量越多，摸到它的可能性就越大； 2. 在总数量里，某一类物体数量越少，摸到它的可能性就越小； 3. 如果各类物体数量相等，那么对应的可能性大小相等（等可能性）。 - 转盘类问题：对应颜色区域面积越大，指针停在这个区域的可能性越大；面积相等，可能性相等。 ⚠️重要提醒：可能性大≠一定发生；可能性小≠不可能发生。只是出现的机会多少不同。 二、可能性大小的逆向推理 通过多次试验的结果，可以反过来推测物体数量多少： 重复试验后，某一种结果出现的次数多，说明它对应的物体数量大概率更多；出现次数少，对应物体数量大概率更少。 - 注意：试验推测是猜想，不是绝对结论，试验次数越多，推测越可靠。 三、游戏规则的公平性 1. 判断标准：参与游戏的各方，获胜的可能性相等，游戏就是公平的；可能性不相等，游戏不公平。 2. 修改不公平规则思路：调整数量或者调整获胜判定方式，让双方获胜可能性一样。 四、简单可能性的分数表示（基础认知，不超纲） 总数当作分母，目标物体数量当作分子，用来表示可能性大小。 例：盒子里有3红1黄，一共4个球，摸到红球的可能性是，摸到黄球可能性是。 五、常见易错点 1. 误区：可能性大就一定会发生。例：红球很多，摸到红球可能性大，但是仍然有可能摸到黄球。 2. 误区：单次试验结果直接判断数量多少。只摸一次摸到黄球，不能说明黄球数量多。 3. 误区：公平游戏就是输赢各一次。公平只是可能性相等，实际玩的时候仍然会有输赢。 4. 误区：放回和不放回混淆。摸后不放回，总数和各类数量会变化，可能性跟着改变；放回摸球，每次条件不变。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：数量对比法（判断可能性大小） 【解题思路】 比较不同种类物体的数量，数量多→可能性大，数量少→可能性小，数量相同→可能性相等。转盘题比较区域面积大小。 【操作步骤】 ① 找出每种物体的数量（或者每个区域面积）； ② 比较数量大小； ③ 得出可能性大小关系。 【易错提升】 不要只看种类，要看数量多少，不是种类多可能性就大。 方法点拨2：试验反推法（根据摸球结果猜数量） 【解题思路】 根据多次试验出现的频次，反向推测数量：出现次数多，对应物体数量可能更多。 【操作步骤】 ① 整理试验记录，统计每种结果出现次数； ② 次数多→可能性大→数量可能多；次数少→可能性小→数量可能少； ③ 写结论时带上"可能"，不能绝对化。 【易错提升】 单次结果不能用来推理，试验次数少的时候，误差会很大。 方法点拨3：公平性判定与修改法 【解题思路】 先算出双方获胜对应的可能性，相等则公平；不相等就调整条件，让可能性一致。 【操作步骤】 ① 找出所有可能结果，分别统计双方获胜情况； ② 对比双方获胜可能性； ③ 不公平的话，可以增加、减少球，或者重新制定判定规则。 【易错提升】 修改方案要保证规则清晰，不改变题意基础条件。 方法点拨4：按要求设计方案法 【解题思路】 根据可能性大小要求，分配各类物体数量。 - 要求A可能性最大：A数量最多； - 要求B可能性最小：B数量最少； - 要求可能性相等：数量一样多。 【易错提升】 如果题目要求"每种都有可能摸到"，每种至少要有1个。 【第三部分】考点讲练 考点一：直接判断可能性大小（摸球、转盘） 考查重点：根据数量、区域面积，直接比较可能性大小。 【典例精讲】 题目：盒子里有6个红球，3个蓝球，1个绿球，球大小、形状完全相同。从中任意摸一个球，摸到（　）球可能性最大，摸到（　）球可能性最小。 【变式训练】 题目：一个转盘，红色区域占4份，黄色占2份，蓝色占2份。转动转盘，指针停在（　）区域可能性最大，停在（　）和（　）的可能性相等。 考点二：根据试验结果反向推测物体数量 考查重点：根据多次摸球记录，合理猜想哪种球数量多。 【典例精讲】 题目：盒子里只有红球和黄球，每次摸完放回，一共摸30次，摸到红球22次，摸到黄球8次。猜一猜，盒子里（　）球的数量可能更多。 【变式训练】 题目：小浩摸卡片，每次摸完放回，一共摸40次：梅花出现28次，方块出现12次。下面说法正确的是（　） A. 盒子里一定梅花多 B. 盒子里可能梅花多 C. 下次一定摸到梅花 考点三：游戏规则的公平性判断与修改 考查重点：判断游戏公平，并且会修改不公平的游戏规则。 【典例精讲】 题目：小明和小红玩摸球游戏，盒子里有4个红球、2个黄球，摸到红球小明赢，摸到黄球小红赢。这个游戏公平吗？如果不公平，请修改规则，使游戏公平。 【变式训练】 题目：掷一枚骰子，点数大于3，小刚赢；点数小于3，小丽赢。这个游戏公平吗？ 骰子点数：1、2、3、4、5、6 考点四：按可能性大小要求设计方案 考查重点：根据要求安排物体数量，控制可能性大小。 【典例精讲】 题目：往袋子里一共放10个球，有红球、黄球、绿球，要求：摸到红球可能性最大，摸到绿球可能性最小，三种球都有可能摸到。请写出一种放球方案。 【变式训练】 题目：给转盘6个相等的小区域涂色，有红色、蓝色，要求指针停在红色的可能性比蓝色大。怎么涂？ 考点五：可能性综合应用题 考查重点：结合放回、不放回，综合分析可能性变化。 【典例精讲】 题目：盒子中有5个白球，3个黑球。 （1）任意摸一个，摸到（　）可能性大； （2）摸出1个白球，不放回，这时再摸一个，摸到（　）可能性大。 【变式训练】 题目：盒子：7白，2黑。摸出一个白球不放回，再摸，这时摸到黑球的可能性变（　）（填大、小、不变） 【第四部分】专项提升练习 1．盒子里有10个球，分别是6个红球、3个蓝球和1个黄球，任意摸出一个球，这个球是( )球的可能性最大，是( )球的可能性最小。 2．一个正方体木块的六个面上有3个“A”，2个“B”，1个“C”，掷出后，字母“( )”朝上的可能性最大。 3．从数字卡片5，3，3，3，2，2中随意抽取一张，抽到数字________（填“5”“3”或“2”）的可能性最小。如果想让抽到5的可能性最大至少需要添加________张5。 4．一个不透明的袋子里装有材质、大小相同的3个红球、5个黄球和2个蓝球。从中任意摸出一个球，摸到( )球的可能性最大；要使摸到红球和蓝球的可能性相等，可以____________（写出一条即可）。 5．如图，转动转盘，转盘停止后指针指向数字( )的可能性最大。 6．盒子里有大小相同的1个白球、2个红球、3个黄球，从盒子里任意摸出一个球，有( )种可能，摸到( )的可能性最大， 7．口袋里有3个黑球和4个白球（如下图）。 (1)如果摸到黑球的可能性大，至少要往口袋里再放( )个黑球。 (2)如果摸到黑球和白球的可能性相等，可以拿出( )个白球。 8．口袋里有红、黄两种颜色的球共20个，要求任意摸出1个球，使摸到红球的可能性比摸到黄球的可能性大，口袋里至少要放红球( )个。 9．盒子里面有3个红球、4个白球和2个黄球。从中任意摸出两个球，可能出现哪些情况？列出所有可能的结果。 10．妈妈买回一些外形一样、口味不同的巧克力，从中拿出5颗夹心巧克力、3颗黑巧克力、2颗牛奶巧克力和1颗杏仁巧克力放在一起，让贝贝任意选出2颗巧克力，贝贝选的巧克力有哪几种可能的结果？（写出3种） 11．爸爸在三个盒子上贴上标签，盒子里分别装着两个红球、两个白球和一红一白两个球，但是标签全贴错了，爸爸要求曲米只能从其中一个盒子里摸出一个球，然后就说出三个盒子里分别装的是什么颜色的球。曲米该怎样摸球？如何判断？ 12．小红和小刚玩游戏，规则如下：四张牌5，6，7，8，两人从中各摸出一张相乘，积为奇数小红胜，积为偶数小刚胜。小红胜数是小刚胜数的几分之几。 13．国庆节期间，某商家举办“砸金蛋”活动准备了含有一等奖、二等奖、三等奖和纪念奖四个等级的金蛋共100个。如果你是活动主办方，你会怎样设定这四个等级的金蛋数量？ 14．学习完《可能性》这一单元后，小东和小亮在课后继续玩摸球游戏，每次从盒中任意摸出一个球，再放回去摇匀继续摸，摸20次。规定摸到黑球次数多时小东赢，摸到白球次数多时小亮赢。从下面的哪个盒中摸球最公平？请说明理由。 15．已知一个盒子里有10个红球，6个黄球和1个白球，从中任意摸出一个球，则： (1)摸到的球，可能是( )球，可能是( )球，也可能是( )球。 (2)摸到( )球的可能性最大，摸到( )球的可能性最小。 (3)要想摸到白球的可能性增大，应该怎么做？ 16．某超市春节开展促销活动，为了吸引顾客，设计了一个抽奖环节，准备了红色和黄色的乒乓球共20个，规定摸到红色的乒乓球，可以免费领取一份精美的新年礼物，每个顾客只能抽一次，抽完后乒乓球放回抽奖盒里重新摇匀接着抽奖。如果你是超市经理，怎样设计乒乓球放抽奖盒里的个数对超市有利？ 17．某社区为测试“AI垃圾分类助手”的识别准确性，开展了一次体验活动。助手的识别盒里有不同类型的虚拟垃圾卡片若干张，所有卡片除类型外完全相同。 刘奶奶从盒子任意抽出一张卡片，记录类型后放回摇匀，再抽下一次，重复抽了20次。结果如下表： 类型 可回收垃圾卡片 厨余垃圾卡片 其他垃圾卡片 有害垃圾卡片 次数 13 6 1 0 (1)从上面的记录推测，刘奶奶第21次抽出( )卡片的可能性最大，推测的依据是( )。 (2)刘奶奶再抽5次，那么这5次抽到厨余垃圾卡片的次数( )大于抽到可回收垃圾卡片的次数。（填“可能”、“一定”或“不可能”） (3)刘奶奶没有抽到有害垃圾卡片，再抽一次也不可能抽到有害垃圾卡片。你同意这种说法吗？为什么？ 18．学校文化节上同学们抽签表演节目，李老师有12张卡片，同学们任意抽取1张，并进行表演。 项目 讲故事 唱歌 跳舞 朗诵 张数 3 4 3 2 (1)同学们最有可能抽到的项目是_______，抽到_______的可能性最小。 (2)抽到________和_______的可能性一样大。 (3)要使抽到跳舞的可能性最大，你有什么办法？把你的想法写出来。_____________________。 19．转盘游戏。 (1)转动甲转盘，转盘停止转动后，指针( )指向黄色区域；转动乙转盘，转盘停止转动后，指针( )指向红色区域。（填“一定”“可能”或“不可能”） (2)请你设计一个丙转盘，使转盘停止转动后，指针指向的情况有红、黄、蓝3种可能，且指向红色区域的可能性比蓝色区域大。 20．某超市要举行有奖促销活动，具体方案如下表。 方案一：摸球 任意摸出一个， 摸到红球即中奖。 方案二：转盘 指针指到红色 区域即中奖。 方案三：掷骰子 掷到1点朝上 即中奖。 (1)如果你是一名顾客，你认为选择哪种方案中奖的可能性最大？（在括号里画“√”） 方案一（    ）    方案二（    ）    方案三（    ） (2)中奖可能性一样大的是方案( )和方案( )。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $