第六单元 因数与倍数（因数与倍数的认识及应用）专项突破讲义（知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习）苏教版数学五年级上册（新教材）

第六单元 因数与倍数（因数与倍数的认识及应用）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、因数与倍数的定义 1. 研究范围：因数与倍数只在非0自然数（1、2、3、4……）范围内研究，不包括0、小数和分数。 2. 定义：在乘法算式 （、、 都是非0自然数）中， 和 是 的因数， 是 和 的倍数。 　　- 也可以从除法角度描述：如果 （整除，没有余数），那么 是 的因数， 是 的倍数。 3. 核心性质：相互依存 因数和倍数是两个数之间的关系，不能单独说某一个数是因数或倍数，必须说清楚"谁是谁的因数""谁是谁的倍数"。 　　- 例：，不能说"3是因数，12是倍数"，正确说法是"3是12的因数，12是3的倍数"。 二、找一个数的因数的方法 1. 成对列举法：从1开始，按顺序一对一对地找，哪两个非0自然数相乘等于这个数，这两个数就是它的因数。 　　- 例：找12的因数： 　　 → 1、12 　　 → 2、6 　　 → 3、4 　　所以12的因数有：1、2、3、4、6、12。 2. 顺序：一般按从小到大的顺序排列书写。 三、找一个数的倍数的方法 1. 依次相乘法：用这个数依次乘1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。 　　- 例：找3的倍数： 　　，，，…… 　　所以3的倍数有：3、6、9、12…… 2. 特点：一个数的倍数可以一直找下去，没有最大的倍数。 四、因数与倍数的特征 类别 个数 最小 最大 一个数的因数 有限个 1 它本身 一个数的倍数 无限个 它本身 没有最大的 五、特殊规律 1. 1是所有非0自然数的因数，所有非0自然数都是1的倍数。 2. 一个数本身既是它自己的最大因数，也是它自己的最小倍数。 3. 一个数的因数一定小于或等于它本身，一个数的倍数一定大于或等于它本身。 六、常见易错点 1. 忽略研究范围：认为0.5、0都是因数或倍数，因数倍数只在非0自然数中研究。 2. 割裂依存关系：单独说"8是因数""4是倍数"，必须成对描述关系。 3. 找因数遗漏：只找一半，漏掉成对的另一个，或者漏掉1和它本身。 4. 找倍数错误：认为一个数的倍数是有限的，或者最小的倍数是1。 5. 概念混淆：认为因数都比倍数小，实际上一个数本身既是因数也是倍数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：成对找因数法 【解题思路】 找一个数的因数，从1开始一对一对地找，写到两个数最接近或相等为止，不重复、不遗漏。 【操作步骤】 第一步：从1开始，想1乘几等于这个数，得到第一对因数； 第二步：依次试2、3、4……每找到一个乘法算式，就得到一对因数； 第三步：写到两个因数相等或交叉时停止； 第四步：按从小到大的顺序整理出所有因数。 【易错提升】 ● 易错点：找到中间就停，漏掉后面的因数；或者重复计算。 　　→ 规避技巧：按顺序成对写，左边从小到大，右边从大到小，最后汇总排序。 方法点拨2：依次乘找倍数法 【解题思路】 找一个数的倍数，用这个数依次去乘非0自然数，乘几就得到第几个倍数。 【操作步骤】 第一步：用这个数乘1，得到最小的倍数（它本身）； 第二步：用这个数乘2、乘3……依次得到更大的倍数； 第三步：写不完用"……"表示无限个。 【易错提升】 ● 易错点：认为倍数比原数大，漏掉它本身。 　　→ 规避技巧：记住"最小倍数是本身"，第一个倍数就是这个数自己。 方法点拨3：概念辨析法 【解题思路】 判断因数倍数相关说法，紧扣定义、研究范围、相互依存三个关键点。 【操作步骤】 第一步：看范围：是不是非0自然数； 第二步：看关系：是不是成对描述，有没有说清谁是谁的因数/倍数； 第三步：看特征：因数有限、倍数无限，最小因数是1等。 【易错提升】 ● 易错点："因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。" 　　→ 规避技巧：看到类似说法，先检查有没有"谁是谁的"，没有就是错的。 【第三部分】考点讲练 考点一：因数与倍数的概念辨析 考查重点：理解因数倍数的定义，掌握相互依存关系和研究范围，能辨析正误。 【典例精讲】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）因为，所以4是因数，12是倍数。（　） （2）所有的自然数都是1的倍数。（　） （3），所以0.5是2的因数。（　） （4）一个数的因数一定比它的倍数小。（　） 【变式训练】 题目：选一选。 下面各组数中，有因数和倍数关系的是（　） A. 2和0.4　　B. 8和4　　C. 5和2.5 考点二：找一个数的因数 考查重点：掌握找因数的方法，能正确、完整找出一个数的所有因数。 【典例精讲】 题目：写出16的所有因数。 【变式训练】 题目：写出24的所有因数。 考点三：找一个数的倍数 考查重点：掌握找倍数的方法，能正确写出一个数的倍数，掌握倍数特征。 【典例精讲】 题目：写出50以内6的所有倍数。 【变式训练】 题目：填空。 （1）7的最小倍数是（　），最大的倍数（　）。 （2）一个数的最小倍数是15，这个数是（　）。 考点四：因数与倍数的综合应用 考查重点：能运用因数、倍数的知识，解决简单的实际问题和推理问题。 【典例精讲】 题目：把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？ 【变式训练】 题目：一个数既是40的因数，又是5的倍数。这个数可能是多少？ 【第四部分】专项提升练习 1．一个数的最大因数是12，它的最小倍数是( )，这个数全部因数有( )。 2．因为，所以28是4和7的( )，4和7是28的( )；28一共有( )个因数。 3．从标有数字1、2、3、5、7、9的六张卡片中任意抽一张，抽出( )的可能性大。（填“单数”或“双数”） 4．吃早饭时，小明数了一下餐桌上盘子的个数，这个数既是5的倍数，又是10的因数，这个数可能是( )。（写出所有可能） 5．我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，和是11，我是( )。 6．算式56÷7＝8，其中( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 7．有一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝21，那么这个自然数是( )，c＋d＝( )。 8．张师傅将54位缫丝工人分成人数相等的小组（每组人数大于1，组数大于1），张师傅可以如何分组？写出所有的分组方案。 9．今天是乐乐的生日，叔叔用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是7的倍数，叔叔给乐乐发的红包可能是多少元？ 10．7个人围成一圈，从1开始报数一直报到2024，问第一个人报到的数字中有多少个10的倍数？ 11．妙想和奇思去商店准备买3个同样的足球，每个足球的单价是整元数，可是标价签模糊不清了，老板说：“3个足球应该付134元。”你认为老板的说法对吗？请判断并说明理由。 12．42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程） 13．五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 14．有四种规格的饮料包装盒：4瓶/盒、8瓶/盒、9瓶/盒、12瓶/盒。现有60瓶饮料，选哪种规格的饮料包装盒正好能装完？为什么？ 15．一块长方形菜地，它的长既是60的因数、又同时是2，3，5的倍数，宽既是42的因数，又是14的倍数。这个长方形菜地的面积最小是多少？（单位：米） 16．一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？ 17．王老师家的电话号码是个7位数，从高到低依次排列为：最小的合数、最小的质数、3的最小倍数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数、最小的奇数、8的最大因数，王老师家的电话号码是多少？ 18．五年级同学参加植树劳动，要植树54棵，要求每行的棵数相同，（行数和每行棵数都不能是1）有几种不同的方法？ 19．早餐店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和2千克装。店长买回75千克豆油，用哪种规格的油桶能正好把豆油装完？需要多少个这样的油桶？ 20．学校买来66盆鲜花，要摆成如图三种图案中的一种，选择哪种图案，鲜花能正好摆完，没有剩余？为什么？ 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 因数与倍数（因数与倍数的认识及应用）专项突破讲义 【知识点详解+方法点拨+考点详解+提升练习】 【第一部分】核心知识点详解 一、因数与倍数的定义 1. 研究范围：因数与倍数只在非0自然数（1、2、3、4……）范围内研究，不包括0、小数和分数。 2. 定义：在乘法算式 （、、 都是非0自然数）中， 和 是 的因数， 是 和 的倍数。 　　- 也可以从除法角度描述：如果 （整除，没有余数），那么 是 的因数， 是 的倍数。 3. 核心性质：相互依存 因数和倍数是两个数之间的关系，不能单独说某一个数是因数或倍数，必须说清楚"谁是谁的因数""谁是谁的倍数"。 　　- 例：，不能说"3是因数，12是倍数"，正确说法是"3是12的因数，12是3的倍数"。 二、找一个数的因数的方法 1. 成对列举法：从1开始，按顺序一对一对地找，哪两个非0自然数相乘等于这个数，这两个数就是它的因数。 　　- 例：找12的因数： 　　 → 1、12 　　 → 2、6 　　 → 3、4 　　所以12的因数有：1、2、3、4、6、12。 2. 顺序：一般按从小到大的顺序排列书写。 三、找一个数的倍数的方法 1. 依次相乘法：用这个数依次乘1、2、3、4……所得的积就是这个数的倍数。 　　- 例：找3的倍数： 　　，，，…… 　　所以3的倍数有：3、6、9、12…… 2. 特点：一个数的倍数可以一直找下去，没有最大的倍数。 四、因数与倍数的特征 类别 个数 最小 最大 一个数的因数 有限个 1 它本身 一个数的倍数 无限个 它本身 没有最大的 五、特殊规律 1. 1是所有非0自然数的因数，所有非0自然数都是1的倍数。 2. 一个数本身既是它自己的最大因数，也是它自己的最小倍数。 3. 一个数的因数一定小于或等于它本身，一个数的倍数一定大于或等于它本身。 六、常见易错点 1. 忽略研究范围：认为0.5、0都是因数或倍数，因数倍数只在非0自然数中研究。 2. 割裂依存关系：单独说"8是因数""4是倍数"，必须成对描述关系。 3. 找因数遗漏：只找一半，漏掉成对的另一个，或者漏掉1和它本身。 4. 找倍数错误：认为一个数的倍数是有限的，或者最小的倍数是1。 5. 概念混淆：认为因数都比倍数小，实际上一个数本身既是因数也是倍数。 【第二部分】方法点拨 方法点拨1：成对找因数法 【解题思路】 找一个数的因数，从1开始一对一对地找，写到两个数最接近或相等为止，不重复、不遗漏。 【操作步骤】 第一步：从1开始，想1乘几等于这个数，得到第一对因数； 第二步：依次试2、3、4……每找到一个乘法算式，就得到一对因数； 第三步：写到两个因数相等或交叉时停止； 第四步：按从小到大的顺序整理出所有因数。 【易错提升】 ● 易错点：找到中间就停，漏掉后面的因数；或者重复计算。 　　→ 规避技巧：按顺序成对写，左边从小到大，右边从大到小，最后汇总排序。 方法点拨2：依次乘找倍数法 【解题思路】 找一个数的倍数，用这个数依次去乘非0自然数，乘几就得到第几个倍数。 【操作步骤】 第一步：用这个数乘1，得到最小的倍数（它本身）； 第二步：用这个数乘2、乘3……依次得到更大的倍数； 第三步：写不完用"……"表示无限个。 【易错提升】 ● 易错点：认为倍数比原数大，漏掉它本身。 　　→ 规避技巧：记住"最小倍数是本身"，第一个倍数就是这个数自己。 方法点拨3：概念辨析法 【解题思路】 判断因数倍数相关说法，紧扣定义、研究范围、相互依存三个关键点。 【操作步骤】 第一步：看范围：是不是非0自然数； 第二步：看关系：是不是成对描述，有没有说清谁是谁的因数/倍数； 第三步：看特征：因数有限、倍数无限，最小因数是1等。 【易错提升】 ● 易错点："因为18÷9=2，所以18是倍数，9是因数。" 　　→ 规避技巧：看到类似说法，先检查有没有"谁是谁的"，没有就是错的。 【第三部分】考点讲练 考点一：因数与倍数的概念辨析 考查重点：理解因数倍数的定义，掌握相互依存关系和研究范围，能辨析正误。 【典例精讲】 题目：判断下列说法是否正确，对的画"√"，错的画"×"。 （1）因为，所以4是因数，12是倍数。（　） （2）所有的自然数都是1的倍数。（　） （3），所以0.5是2的因数。（　） （4）一个数的因数一定比它的倍数小。（　） 【分析】 根据因数倍数的定义、研究范围、相互依存关系和特征逐一判断。 【详解】 （1）×。因数和倍数相互依存，必须说4是12的因数，12是4的倍数，不能单独说。 （2）√。所有非0自然数除以1都得整数，所以都是1的倍数，自然数一般不包含0，说法正确。 （3）×。因数倍数只研究非0自然数，0.5是小数，不属于研究范围。 （4）×。一个数本身既是它的因数也是它的倍数，二者可以相等。 【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）× 【变式训练】 题目：选一选。 下面各组数中，有因数和倍数关系的是（　） A. 2和0.4　　B. 8和4　　C. 5和2.5 【分析】 因数倍数关系必须都是非0自然数，且存在整除关系。 【详解】 A选项0.4是小数，C选项2.5是小数，都不在研究范围； B选项8和4都是自然数，且，所以4是8的因数，8是4的倍数，存在因数倍数关系。 选B。 【答案】B 考点二：找一个数的因数 考查重点：掌握找因数的方法，能正确、完整找出一个数的所有因数。 【典例精讲】 题目：写出16的所有因数。 【分析】 用成对列举法，从1开始一对一对找，哪两个自然数相乘等于16，这两个数就是16的因数。 【详解】 → 1、16 → 2、8 → 4（两个因数相同，只写一个） 按从小到大排列：1、2、4、8、16 答：16的因数有1、2、4、8、16。 【答案】1、2、4、8、16 【变式训练】 题目：写出24的所有因数。 【分析】 从1开始成对找，依次试1、2、3、4…… 【详解】 → 1、24 → 2、12 → 3、8 → 4、6 按从小到大排列：1、2、3、4、6、8、12、24 【答案】1、2、3、4、6、8、12、24 考点三：找一个数的倍数 考查重点：掌握找倍数的方法，能正确写出一个数的倍数，掌握倍数特征。 【典例精讲】 题目：写出50以内6的所有倍数。 【分析】 用6依次乘1、2、3……直到乘积接近50且不超过50为止。 【详解】 （超过50，舍去） 所以50以内6的倍数有：6、12、18、24、30、36、42、48。 【答案】6、12、18、24、30、36、42、48 【变式训练】 题目：填空。 （1）7的最小倍数是（　），最大的倍数（　）。 （2）一个数的最小倍数是15，这个数是（　）。 【分析】 根据倍数的特征：一个数的倍数有无限个，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 【详解】 （1）7的最小倍数是它本身7，倍数有无限个，没有最大的倍数。 （2）一个数的最小倍数是它本身，所以这个数是15。 【答案】（1）7，没有；（2）15 考点四：因数与倍数的综合应用 考查重点：能运用因数、倍数的知识，解决简单的实际问题和推理问题。 【典例精讲】 题目：把18个苹果平均分成若干份，每份大于1个，小于18个。一共有多少种不同的分法？ 【分析】 平均分的每份数量必须是18的因数，找出18的所有因数，去掉1和18，剩下的因数个数就是分法种数。 【详解】 18的因数有：1、2、3、6、9、18。 每份大于1个，小于18个，所以每份可以是2个、3个、6个、9个，共4种分法。 答：一共有4种不同的分法。 【答案】4种 【变式训练】 题目：一个数既是40的因数，又是5的倍数。这个数可能是多少？ 【分析】 先找出40的所有因数，再从中找出是5的倍数的数。 【详解】 40的因数：1、2、4、5、8、10、20、40。 其中是5的倍数的有：5、10、20、40。 答：这个数可能是5、10、20、40。 【答案】5、10、20、40 【第四部分】专项提升练习 1．一个数的最大因数是12，它的最小倍数是( )，这个数全部因数有( )。 【答案】 12 1、2、3、4、6、12 【分析】一个数最大的因数是它本身，根据题意，即可求出这个数；一个数最小的倍数是它本身，即可求出这个数的最小倍数；求一个数的因数，可以从小到大依次找出乘积等于这个数的整数即可。 【详解】一个数的最大因数是12，也就是它本身，则这个数是12，它的最小倍数是它本身，则它的最小倍数是12； 12＝1×12＝2×6＝3×4 所以，这个数全部因数有1、2、3、4、6、12。 2．因为，所以28是4和7的( )，4和7是28的( )；28一共有( )个因数。 【答案】 倍数 因数 【分析】两个整数相乘等于积，积是这两个整数的倍数，这两个整数是积的因数；找一个数的因数，可以用除法。找出28的因数，再统计个数。 【详解】28是4和7的倍数，4和7是28的因数。 28÷1＝28 28÷2＝14 28÷4＝7 28的因数有1，2，4，7，14，28。共6个。 3．从标有数字1、2、3、5、7、9的六张卡片中任意抽一张，抽出( )的可能性大。（填“单数”或“双数”） 【答案】 单数 【分析】根据可能性大小的判断方法，在总抽取情况数固定的前提下，哪种情况的数量多，发生的可能性就大。首先找出卡片上的所有数字，分别统计出单数和双数的个数，然后比较两者的数量多少即可得出结论。 【详解】6张卡片对应的数字：，总共有6种等可能的抽取情况。 单数（不能被2整除的整数）：，一共5个； 双数（能被2整除的整数）：仅2，一共1个。 因为，单数的卡片数量远多于双数的卡片数量，因此抽到单数的可能性更大。 4．吃早饭时，小明数了一下餐桌上盘子的个数，这个数既是5的倍数，又是10的因数，这个数可能是( )。（写出所有可能） 【答案】5或10 【分析】一个数既是5的倍数又是10的因数，即求10以内的5的倍数，那就先求出10的因数和5的倍数，再找共同的数即可。 【详解】10的因数有：1、2、5、10 10以内的5的倍数有：5、10 所以一个数既是5的倍数，又是10的因数，这个数可能是5或10。 5．我是一个偶数，也是一个两位数，十位数字与个位数字的积是18，和是11，我是( )。 【答案】92 【分析】先根据“十位数字与个位数字的积是18”，找出所有乘积为18的两个一位数组合；从这些组合里筛选出和为11的一组，对应得到两个数位的数字；最后结合“我是偶数”的条件，确定个位必须是偶数，最终得到符合要求的两位数。 【详解】因为两个一位数相乘得18，可能的组合只有2和9、3和6。 验证和的条件：计算两组数的和，，，满足“和是11”的只有2和9这一组。 结合偶数条件筛选：用2和9能组成的两位数是29和92，其中偶数要求个位是偶数，29是奇数不符合，92是偶数，完全满足所有条件。 6．算式56÷7＝8，其中( )是( )和( )的倍数，( )和( )是( )的因数。 【答案】 56 7 8 7 8 56 【分析】整数a除以整数b（b不为0），除得的商是整数而且没有余数，我们就说a是b的倍数，b是a的因数。也就是在整数除法中，如果商是整数而且没有余数，被除数就是除数和商的倍数；除数和商是被除数的因数。 【详解】56÷7＝8，56是被除数，7是除数，8是商，能整除且没有余数。 所以，56是7和8的倍数，7和8是56的因数。 7．有一个自然数，它有6个因数，从小到大依次是a、b、c、d、e、f，已知a＋f＝21，那么这个自然数是( )，c＋d＝( )。 【答案】 20 9 【分析】任何自然数最小的因数都是1，也就是这里的a＝1；而一个数最大的因数就是它自己，也就是这里的f；结合a＋f＝21就能求出f，也就是这个自然数本身。 确定该自然数的所有因数并从小到大排序，找到对应的c和d后计算两者之和。 【详解】a ＝1，可算出f＝21－1＝20，也就是这个自然数本身是20。 把20的因数全部列出来排序：1、2、4、5、10、20，刚好6个，符合题目条件，数一下第三位c是4，第四位d是5，加起来就是4＋5＝9。 8．张师傅将54位缫丝工人分成人数相等的小组（每组人数大于1，组数大于1），张师傅可以如何分组？写出所有的分组方案。 【答案】张师傅可以分2组，每组27人；可以分3组，每组18人；可以分6组，每组9人；可以分9组，每组6人；可以分18组，每组3人；可以分27组，每组2人。 【分析】总人数＝每组人数×组数，因此每组人数和组数都是的因数，结合两者均大于的条件，找出所有符合的因数组合即可。 【详解】54＝1×54，54＝2×27，54＝3×18，54＝6×9。 因此的因数有、、、、、、、。排除每组人数为或的情况（不满足组数大于或每组人数大于），剩余分组为： 组数 2 3 6 9 18 27 人数 27 18 9 6 3 2 答：张师傅可以分2组，每组27人；可以分3组，每组18人；可以分6组，每组9人；可以分9组，每组6人；可以分18组，每组3人；可以分27组，每组2人。 9．今天是乐乐的生日，叔叔用微信给乐乐发了一个红包。红包里的钱数既是63的因数，又是7的倍数，叔叔给乐乐发的红包可能是多少元？ 【答案】 元、元或元 【分析】由于红包金额既是的因数又是的倍数，因此先利用乘法配对法找出的所有因数，再从中筛选出的倍数，即可得到红包可能的金额。 【详解】首先找出的所有因数： 所以的因数有：、、、、、。 接着从上述因数中找出的倍数： ，是的倍数； ，是的倍数； ，是的倍数。 因此符合条件的数为、、。 答：叔叔给乐乐发的红包可能是元、元或元。 10．7个人围成一圈，从1开始报数一直报到2024，问第一个人报到的数字中有多少个10的倍数？ 【答案】29个 【分析】（1）确定第一个人报数规律：7人围成一圈，第一个人每7次循环报一次数，报的数为1，8，15，……，即形如（为自然数）； （2）寻找10的倍数条件：10的倍数末位为0，故的末位需为0，即的末位需为9； （3）确定的取值：因（末位为9），故的末位为7，即（为自然数）； （4）计算符合条件的数的个数：代入报数为，求满足的个数即可。 【详解】由分析可知，报数应满足（为自然数）； 当报数为2024时， 因为为自然数，所以可以取 共计：（个） 答：第一个人报到的数字中有29个10的倍数。 11．妙想和奇思去商店准备买3个同样的足球，每个足球的单价是整元数，可是标价签模糊不清了，老板说：“3个足球应该付134元。”你认为老板的说法对吗？请判断并说明理由。 【答案】不对；理由：因为足球的单价是一样的，且是整元数，价格应该是3的倍数，而134并不是3的倍数，所以说法不对。 【分析】总价＝单价×3，要判断老板的说法是否正确，只需验证134是否为3的倍数，因为3个同样足球的总价一定是3的倍数。 【详解】答：3个同样的足球，单价是整元数，因此总价是3的倍数。计算134的各位数字之和：，8不是3的倍数，所以134不是3的倍数。因此老板的说法不对。 12．42名同学去参观水立方，老师要把同学们平均分成若干小组，而且每组人数都是偶数，可以分成几组，每组几人？（组数大于1）（写出思考过程） 【答案】①分成21组，每组2人；②分成3组，每组14人；③分成7组，每组6人 【分析】写出乘积是42的所有乘法算式，偶数因数作为每组人数，另一个因数作为组数，组数不能为1。 【详解】42＝1×42，42＝2×21，42＝3×14，42＝6×7； 由于组数是大于1的数， 所以分成2组，每组21人，不符合题意； 分成21组，每组2人，符合题意； 分成3组，每组14人，符合题意； 分成14组，每组3人，不符合题意； 分成6组，每组7人，不符合题意； 分成7组，每组6人，符合题意。 答：①分成21组，每组2人；②分成3组，每组14人；③分成7组，每组6人。 13．五育并举，体育为基。乐明小学以“多彩运动，活力童年”为主题开展了多项特色体育活动。其中体操队由60人组成、做操时要排成一个长方形的队伍，要求每行和每列的人数都不能少于5人，共有几种排法？都是怎样排的？ 【答案】4种；每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【分析】长方形队伍的总人数等于每行人数乘每列人数，即：每行人数×每列人数＝60。60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。因为每行和每列人数都不能少于5人，所以需找出两个因数相乘等于60，且每个因数都大于或等于5的情况：5×12＝60（每行5人，每列12人），12×5＝60（每行12人，每列5人），6×10＝60（每行6人，每列10人），10×6＝60（每行10人，每列6人）符合条件的因数对共有4组，即有4种排法。据此解答。 【详解】60的因数有：1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 5×12＝60，每行5人，每列12人； 12×5＝60，每行12人，每列5人； 6×10＝60，每行6人，每列10人； 10×6＝60，每行10人，每列6人； 答：共有4种排法，分别是每行5人、每列12人；每行12人、每列5人；每行6人、每列10人；每行10人、每列6人。 【点睛】本题的关键在于，先根据“总人数＝每行人数×每列人数”的关系，分解出60的所有因数，再结合“每行、每列人数不少于5人”的条件筛选出符合要求的因数对，最后通过考虑行数与列数的互换情况，统计出所有符合条件的排法数量并具体列出。 14．有四种规格的饮料包装盒：4瓶/盒、8瓶/盒、9瓶/盒、12瓶/盒。现有60瓶饮料，选哪种规格的饮料包装盒正好能装完？为什么？ 【答案】4瓶/盒、12瓶/盒；4和12是60的因数 【分析】每盒瓶数只要是饮料瓶数的因数，就正好能装完，分别用饮料瓶数÷每盒瓶数，能整除即可。 【详解】60÷4＝15（盒） 60÷8＝7.5（盒） 60÷9≈6.67（盒） 60÷12＝5（盒） 答：选4瓶/盒、12瓶/盒的饮料包装盒正好能装完，因为4和12是60的因数。 15．一块长方形菜地，它的长既是60的因数、又同时是2，3，5的倍数，宽既是42的因数，又是14的倍数。这个长方形菜地的面积最小是多少？（单位：米） 【答案】420平方米 【分析】一个数的因数的个数是有限的，最小的是1，最大的是它本身。一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的。要得到长方形的最小面积，需先确定满足条件的最小长和最小宽。求最小的长时，先写出60的因数，因2、3、5都是质数，所以求2、3、5的倍数时，先用求出2、3、5的最小公倍数，再依次用最小公倍数乘1、乘2、乘3……写出2、3、5的公倍数。最后确定既是60的因数、又同时是2，3，5的倍数的数，并在这些数中确定最小的作为长方形的长。求最小的宽时，先写出42的所有因数，再写出14的不大于42的倍数，最后确定既是42的因数，又是14的倍数的数，并在这些数中确定最小的作为长方形的宽。最后根据长方形的面积＝长×宽进行计算。 【详解】求最小的长： 2、3、5的最小公倍数是，则2、3、5的公倍数有30、60、90…… 60的因数有1，2，3，4，5，6，10，12，15，20，30，60。 综上，同时是2、3、5的倍数的数是30、60，因，所以长最小为30米。 求最小的宽： 42的因数有1，2，3，6，7，14，21，42。 14的倍数（不大于42）有14，28，42。 综上，既是42的因数又是14的倍数的数是14、42，因，所以宽最小为14米。 求长方形菜地的最小面积： （平方米） 答：这个长方形菜地的面积最小是420平方米。 16．一小和二小有同样多的同学参加金杯赛，学校用汽车把学生送往考场，一小用的汽车，每车坐15人，二小用的汽车，每车坐13人，结果二小比一小要多派一辆汽车，后来每校各增加一个人参加竞赛，这样两校需要的汽车就一样多了，最后又决定每校再各增加一个人参加竞赛，二小又要比一小多派一辆汽车，问最后两校共有多少人参加竞赛？ 【答案】184人 【分析】原来二小比一小多一辆车，各增加一人后，两校所需车一样多。由此可见，一小增加一人就要增加一辆车，所以原来一小的汽车恰好全部坐满，即原来一小人数是15的倍数。后来又增加1人，这时二小又要多派一辆车，所以在第二次增加人数之前，二小的车也恰好坐满，即人数是13的倍数。因此，原来每校参加的人数都是15的倍数，而加1之后，是13的倍数。即求15的某个倍数恰巧等于13的倍数减1。因为15×6＝90，13×7＝91，所以，原来两校都有90人参赛，每个学校均增加了2人，即两校各有92人参赛。从而可知，两校共有184人参加竞赛。 【详解】由于：6×15＝90（人） 7×13－1＝91－1＝90（人） 所以每校原来参加人数为90人。 两校共有：（90＋2）×2 ＝92×4 ＝184（人） 答：最后两校共有184人参加竞赛。 【点睛】解决本题的关键是明确原来每校参赛人数是15的倍数，加1后是13的倍数。 17．王老师家的电话号码是个7位数，从高到低依次排列为：最小的合数、最小的质数、3的最小倍数、最大的一位数、既不是质数也不是合数的非0自然数、最小的奇数、8的最大因数，王老师家的电话号码是多少？ 【答案】4239118 【详解】最小的合数是4，最小的质数是2，一个数的最小倍数是它本身，最大因数也是它本身，最大的一位数是9，1不是质数也不是合数，最小的奇数是1，由此得出电话号码为：4239118。 18．五年级同学参加植树劳动，要植树54棵，要求每行的棵数相同，（行数和每行棵数都不能是1）有几种不同的方法？ 【答案】6种 【分析】先找出54的所有因数：1、2、3、6、9、18、27、54；在植树问题中，行数和每行的棵数通常都应大于1，所以排除因数1和54；剩下的因数中，组成因数对，每个因数对应一种不同的植树方法。 【详解】因为54＝1×54＝2×27＝3×18＝6×9， 根据分析，符合条件的因数对有（2，27）、（3，18）（6，9）（9，6）（18，3）（27，2）。 因此有6种不同的植树方法。 答：有6种不同的方法。即每行2棵，27行；每行3棵，18行；每行6棵，9行；每行9棵，6行；每行18棵，3行；每行27棵，2行。 19．早餐店有三种规格的油桶，分别是5千克装、10千克装和2千克装。店长买回75千克豆油，用哪种规格的油桶能正好把豆油装完？需要多少个这样的油桶？ 【答案】5千克装；15个 【分析】在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数；根据“正好把豆油装完”，所以在5、10和2这三个数中，能整除75的数字，即是要选择的桶；因为买回来75千克豆油，75的个位数字是5，得出能被5整除，所以选用5千克装，据此解答即可。 【详解】在5、10和2中，是75因数的只有5。 75÷5＝15（个） 答：用5千克装的油桶能正好把豆油装完；需要15个这样的油桶。 【点睛】解决此题的关键：根据能被5整除的数的特征，进行解答即可。 20．学校买来66盆鲜花，要摆成如图三种图案中的一种，选择哪种图案，鲜花能正好摆完，没有剩余？为什么？ 【答案】选择第一种图案；因为3是66的因数，66盆鲜花摆第一种图案能正好摆完，没有剩余。 【分析】根据题意，如果把66盆鲜花正好摆完，没有剩余，那么每份的盆数一定是66的因数。先根据求一个数的因数的方法，写出66所有的因数，三种摆法的盆数是66的因数的，就能正好摆完，没有剩余。 【详解】66的因数有1，2，3，6，11，22，33，66； 第一种图案是3盆，3是66的因数，这样摆没有剩余； 第二种图案是4盆，4不是66的因数，这样摆有剩余； 第三种图案是5盆，5不是66的因数，这样摆有剩余； 答：选择第一种图案没有剩余；因为3是66的因数，66盆鲜花摆第一种图案能正好摆完，没有剩余。 第 2 页 共 34 页 第 1 页 共 34 页 学科网（北京）股份有限公司 $