专题三 ·期中综合复习讲义（第21～22章） ·2026--2027学年沪科版九年级数学上册

专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第21~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质，能由开口、对称轴、顶点判断系数 a、b、c 的符号 · 掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系，会利用图象求方程的根与不等式解集 · 理解反比例函数的图象与性质，会用 k 的几何意义与面积关系求解析式 · 掌握相似三角形的判定与性质，能综合相似、勾股、旋转解决几何压轴题 · 认识位似图形的坐标特征，会运用相似与函数模型解决实际测量与综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 三种解析式：一般式 y=ax2+bx+c，顶点式 y=a(x-h)2+k，交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，其中 a≠0 a 定开口与宽窄，对称轴 x=-，顶点坐标为(-, ) a、b 同号时对称轴在 y 轴左侧，异号时在右侧；c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 判别式 Δ=b2-4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：Δ>0 两个，Δ=0 一个，Δ<0 没有 概念辨析例题：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，且与 y 轴交于负半轴，试判断 a、b、c 的符号。 答案：a>0，b<0，c<0。 解析：开口向上得 a>0；对称轴 x=->0 且 a>0，故 b<0；与 y 轴交点在负半轴，故 c<0。 ☆ 2.二次函数与一元二次方程、不等式 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax2+bx+c=0 的根 a>0 时，ax2+bx+c>0 的解集为 x<x1 或 x>x2，小于 0 的解集为 x1<x<x2 根据表格中函数值的对应变化，可以估计一元二次方程根的大致范围 实际最值问题常设顶点式，结合自变量的取值范围求最优解 概念辨析例题：已知抛物线 y=x2-2x-3，求它与 x 轴的交点坐标，并写出 y>0 时 x 的取值范围。 答案：与 x 轴交于(-1,0)与(3,0)；y>0 时 x<-1 或 x>3。 解析：令 x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3；又 a=1>0，图象开口向上，故 y>0 的解集为两根之外。 ☆ 3.反比例函数的图象、性质与 k 的几何意义 y=（k≠0）的图象是双曲线；k>0 时在第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 增大而减小 k<0 时图象在第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 增大而增大 图象上任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 |k| 反比例函数与一次函数图象的交点坐标，就是相应方程组的解 概念辨析例题：反比例函数 y= 的图象经过点(2,3)，求 k 的值，并求图象上一点向两坐标轴作垂线所得矩形的面积。 答案：k=6，矩形面积为 6。 解析：把点(2,3)代入得 k=2×3=6；由 k 的几何意义，矩形面积等于 |k|=6。 ☆ 4.相似三角形的判定、性质与位似 判定方法：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例 性质：对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 常见模型：A 字型、8 字型、一线三等角、斜射影模型 位似图形是特殊的相似，以原点为位似中心时对应点的坐标乘 ±k 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，较小三角形的周长为 8，求较大三角形的周长与面积比。 答案：较大三角形的周长为 12，面积比为 4:9。 解析：周长比等于相似比 2:3，故较大三角形周长为 8×=12；面积比等于相似比的平方，即 4:9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数解析式 一般式 y=ax2+bx+c；顶点式 y=a(x-h)2+k 用待定系数法时，先根据已知条件选择合适的形式 对称轴与顶点 x=-，顶点(-, ) a 决定开口方向与宽窄，a、b 共同决定对称轴的位置 判别式 Δ Δ=b2-4ac 用韦达定理与求根公式前，先确认 Δ≥0 反比例函数 k 的意义 矩形面积 S=|k| 面积与所在象限无关，恒等于 |k|；k 的符号决定图象象限 相似三角形性质 周长比=相似比，面积比=相似比2 对应边、对应角必须找准，面积比勿忘平方 位似图形 对应点连线交于位似中心，坐标比为 ±k 位似有同向与反向两种，注意坐标符号 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质（第1-9题） · 先定 a 的符号与大小，再由对称轴 x=- 判断 b 的符号 · 比较函数值大小时，利用对称性把两点转化到对称轴同侧 · 判断代数式符号时，把 x=±1、±2 等特殊值代入解析式 · 顶点式 y=a(x-h)2+k 可直接读出最值与平移规律 1．（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】整式加减的应用、用一元一次不等式解决实际问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，一元一次不等式的应用，整式加减的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质及求解不等式组是解题的关键．先将，，代入，得到，，，然后根据推得，，可得，，再用作差法证明，，即得答案． 【详解】解：抛物线上有三点，，， ，，， ， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ， 同理， ， ． 故选：D． 2．（24-25九年级上·湖北·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论正确的是（   ）    A．当时， B．若为任意实数，则 C． D．若且，则 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 对于A、当，的值可以为正数也可以为负数；对于B、只有当时，，即；对于C、由于抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线，则抛物线与轴的另一个交点在的右侧，故当时，，即可判断；对于D、，化简得，则，再根据，代入即可求解． 【详解】解：A、当，的值可以为正数也可以为负数或零，故不符合题意； B、∵抛物线的对称轴为直线，开口向下，因此函数的最大值为， ∴当时，，即，故B错误，不符合题意； C、抛物线与轴的一个交点在的左侧，而对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点在的右侧， 当时，， ，C错误，不符合题意； D、， ，化简得， ， ， ∴， ． 对称轴是， ， ， ，D正确，符合题意． 故选：D． 3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】A 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数图像上的点和因式分解，比较点和的纵坐标大小，需分析二次函数对称轴及开口方向，结合不同a的取值区间判断函数值关系，解题的关键是比较两个数的大小用作差法； 【详解】解：求对称轴：二次函数的对称轴为. ∴   （代入），  （代入）. ∴   .    分析表达式的符号： 当：均为负，乘积为负，故，故选项A正确. 当：，乘积为正，故，故故选项B、C错误. 当：，乘积为负，故 ， 当：均为正，乘积为正，故，但选项D包含区间，故整体错误. 故选项：A 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，抛物线与轴交点分别为和，且．下列结论：①；②；③方程有两个实数根分别为和；④．其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题 【分析】利用抛物线开口方向得到，利用对称轴位置得到，利用抛物线与y轴的交点在x轴下方得，则可对①进行判断；根据二次函数的对称性对②③进行判断；利用函数与坐标轴的交点列出不等式即可判断④. 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线，， ∴ ∵抛物线与y轴的交点在轴下方， ∴， ∴，所以①正确； ∵对称轴为直线 ∴，即， ∵， ∴， 即，所以②正确； ∵抛物线与轴交点分别为和， ∴， ∵，给方程两边分别除以， 得， 整理得：， 同理可得：， ∴和是方程的两个实数根，故③错误， 当时，二次函数值，由图像可知时函数值小于，即； 当时，二次函数值，由图像可知时函数值大于，即； 所以， ∴，因此④正确; 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小．当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置;当与同号时，对称轴在轴左；当与异号时，对称轴在轴右；常数项决定抛物线与轴交点位置：抛物线与y轴交于．也考查了二次函数的性质． 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值 【分析】根据可得，即抛物线的顶点坐标是，然后分三种情况结合抛物线的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即抛物线的顶点坐标是， ∵， ∴抛物线的开口向下，， 若P、Q在对称轴的左侧， ∵y随着x的增大而增大， ∴，此时，满足题意； 当点M在P、Q之间，即，则离对称轴越近，函数值越大， ∵， ∴，解得； 若P、Q在对称轴的右侧， ∵y随着x的增大而减小，且， ∴此时不满足题意； 特别地，当M与Q重合时，也满足； 综上，m的取值范围是． 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知表示不超过实数的最大整数，如．函数的部分图象如图所示，满足方程的解集为_____；若方程在有且只有1个解，则实数的取值范围是_____． 【答案】 或 【知识点】新定义下的实数运算、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查函数的性质，根据题干已知即可知方程的解集；再应用分类讨论思想分为、和，各自求得对应的a值，再结合在有且只有1个解的要求进一步求得满足题干的解即可． 【详解】解：∵表示不超过实数的最大整数，， ∴， 当时，，则方程为， ∵， ∴，方程无解； 当时，，则方程为， ∴， 解得； 当时，，则方程为， ∴， 解得； ∵方程在有且只有1个解， ∴或， ∵方程在时只有1个解，即与的交点， ∴成立， 故答案为：①，②或． 7．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为________． 【答案】 【知识点】点坐标规律探索、二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】设，则以为顶点的抛物线为，进而可根据，求坐标，根据题意确定，则；同理可求，；；进而可得，最后代值求解即可． 【详解】解：设，，， ∵抛物线沿直线向上平移， ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得，， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴以为顶点的抛物线为， ∵与的交点为， ∴，即， 解得：， ∵为整数点， ∴，； ∴， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标，点的规律探究．熟练掌握二次函数图象的平移，二次函数的顶点式，交点坐标并推导一般性规律是解题的关键． 8．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是_________． 【答案】①②③④ 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、二次函数图象与各项系数符号、根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值、根据交点确定不等式的解集 【分析】由开口方向和与y轴的交点位置可判断a、c的符号，根据顶点坐标可得对称轴，据此可得a与b的关系式，进而可判断①和③；由对称性可求出抛物线经过点，可判断③；由对称性可得此抛物线经过点，结合函数图象可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下，与y轴交于正半轴， ∴， ∵顶点为， ∴对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故①③正确； ∵抛物线经过点，对称轴为直线， ∴由对称性可知，抛物线经过点， ∴，故②正确； 若此抛物线经过点， 则此抛物线经过点， ∴不等式的解集是，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④． 9．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为．已知在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是___________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、已知抛物线上对称的两点求对称轴、根据二次函数的对称性求函数值、其他问题(二次函数综合) 【分析】由得开口向上且，开口向上时函数值由点到对称轴的距离决定，据此建立不等式求． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向上，． 开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵， ∴点到对称轴的距离为． ∵， ∴或． 若，则，即； 要使满足的所有都有，须使的所有都满足， 即且， ∴且， 解得且， 又， ∴的取值范围是． 【点睛】本题考查二次函数的性质与绝对值不等式：开口向上时，抛物线上的点离对称轴越远函数值越大；注意隐含条件，容易遗漏，端点能取到、取不到． 【考点2】二次函数与一元二次方程、不等式（第10-13题） · 抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的根 · 由表格对应值估计根的范围：找函数值变号的相邻区间 · 不等式解集结合开口方向：a>0 取两根之外，a<0 取两根之间 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题主要考查了一元二次方程与二次函数的关系，掌握一元二次方程的解为对应函数图象与x轴交点的横坐标． 当，即，再根据表格以及交点的前后的函数值异号，据此即可解答． 【详解】解：当，即，可得如下列表： 1 ∵当时，；当时，， ∴方程必有一个解满足． 故选：B． 11．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题 【分析】确定翻折后图象的分段解析式，求出直线经过图象与轴交点及与翻折部分相切时的值，结合图象判断交点个数． 【详解】解：令， 解得 ， 当时，图象的解析式为：， 当或时，图象的解析式为：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线经过点时，， 解得：， 当直线与相切时，联立得：， ， 解得：， 结合图象可知：当时，直线与图象共2个交点，当时，直线与图象共2个交点， 综上所述，的取值范围是或． 12．（2026·江苏扬州·一模）某同学利用计算机软件绘制函数 （m，n为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结论中选项正确的是（   ） A． B． C．该函数自变量x的取值范围为一切实数 D．方程有两个不等实数根 【答案】D 【知识点】求自变量的取值范围、从函数的图象获取信息、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了函数图像的性质，y随x的变化趋势，方程根的问题；解题的关键是通过观察函数间断点和变化趋势来判断m，n正负，根据分式分母不为0判断函数值域，代入具体函数值来将方程变形化简． 【详解】解：A.由图像可知，当时， ，分子是一个常数，要使得y的值达到正无穷，只能是分母为0，故，当时，y随x的减小而增大且，分母，故分子也大于0，故， A选项错误． B.由A的分析可知B选项错误． C.由分式的性质知分母不能为0，故，C选项错误． D.由图可知当时，函数与有两个不同交点，即 ，化简得 ，故方程 有两个不同实数根，D选项正确． 13．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列五个结论：①；②；③对任意实数，不等式恒成立；④若方程的两根为，，则；⑤关于的方程的两根之和为．则结论正确的有_____（填写序号） 【答案】①②③⑤ 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号、y=ax²+bx+c的最值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题根据二次函数图像的开口方向、对称轴、与坐标轴交点等特征，结合系数符号、函数取值、最值、图像对称性和平移规律，依次分析并判断各个结论是否成立． 【详解】解：二次函数的图象开口向下， ， 对称轴为， ， ， 抛物线与轴交点在轴正半轴， ， ，①正确； ， ， 令，则， 抛物线与轴的正半轴交点位于与之间，对称轴为， 抛物线与轴的负半轴交点位于与之间， ，②正确； 抛物线顶点坐标为， 抛物线开口向下， 函数在顶点处取得最大值， 对任意实数，不等式恒成立， 对任意实数，不等式恒成立，即恒成立，③正确； ，， ， 对称轴为， ，即， ， ，即，④错误； 方程可看作原抛物线向右平移个单位后与轴的交点方程， 则平移后抛物线的对称轴为， 两根之和为，⑤正确； 综上所述，正确的为①②③⑤． 【考点3】二次函数的综合应用与实际问题（第14-25题） · 实际问题先建立平面直角坐标系，再用待定系数法求抛物线解析式 · 最值问题先看顶点的横坐标是否落在自变量取值范围内 · 与几何综合时设图象上点的坐标，用线段长列方程 · 销售、拱桥、喷水等模型求出结果后要检验是否符合实际意义 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】动点问题的函数图象、一次函数与几何综合、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了一次函数及二次函数与几何动点问题的综合运用．熟练掌握动点产生的三角形面积计算方法，是解题关键． 根据题意，当Q点分别在、上运动时，形成了不同情况下的三角形，据此进一步用x将相对应的情况下的三角形的面积表示出来，最后观察解析式即可． 【详解】正方形的边长为，点P的速度为，点Q的速度为，P，Q两点同时出发，运动的时间为， ①当时，如下图， ，， ∴， ∵的面积为， ∴， 是开口向下顶点为的抛物线， ∴B、D符合； ②当时，如下图， ， 是y随x增大而减小的线段， ∴只有B符合． 故选：B． 15．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为______．    【答案】 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质、相似三角形问题(二次函数综合) 【分析】本题考查的知识点是一次函数与二次函数的 综合应用，涉及到联立方程求交点、根与系数的关系的运用、全等三角形的判定与性质以及两点间距离公式等知识；利用相似三角形的性质找出是解题的关键．联立两函数解析式成方程组，通过解方程组求出点、的坐标，利用两点间的距离公式可求出、、的长度，设直线与轴的交点为，由直线的解析式为可得出，结合公共角可得出∽，根据相似三角形的性质可得出，代入数据即可得出，解之即可得出值． 【详解】：联立两函数解析式成方程组， ， 解得：，， 点，， ，，． 设直线与轴的交点为如图所示，则点的坐标为．    直线的解析式为， ． 又， ∽， ， ，即， 整理得：， 解得：或不合题意，舍去． 故答案为：． 16．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，顶点为，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．若，求抛物线的解析式． 【答案】抛物线的解析式为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质、与三角形的高有关的计算问题、面积问题(二次函数综合) 【分析】通过配方法或对称轴公式​计算得到对称轴，因为抛物线与y轴交点的横坐标为0，代入解析式即可得到C点纵坐标．将顶点D的横坐标代入抛物线解析式，得到用参数a表示的D点纵坐标，确定D点坐标的含a表达式．因为点P纵坐标为2，可知Ｅ点纵坐标，求出抛物线与ｙ轴交点Ｃ的纵坐标，得到的长度，根据同底三角形面积比等于高的比列方程，求解得到a的值，即可确定抛物线解析式． 【详解】对抛物线， 令，得， ∴与y轴交点； 由对称轴公式，代入得对称轴为． ∵轴，且点P纵坐标为2， ∴线段上所有点的纵坐标都为2， ∵E是与y轴的交点， 故． ∵和共享底边， ∴面积比等于边上的高的比： 中，边的高是C到直线（）的距离：； 设顶点D的纵坐标为， ∵D在对称轴上， ∴， ∴中边的高是D到直线（）的距离： ． ∵​， ∴高的关系：，∴ 解得或（舍去）． ∴抛物线解析式． 17．（25-26九年级上·广东江门·期末）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点记为C，将抛物线绕点A旋转后得到新抛物线，抛物线与x轴的另一交点为，顶点为，点D旋转后的对应点为． (1)如图1，当时，此时抛物线的顶点． ①求抛物线的解析式： ②作直线，若抛物线的对称轴与x轴交于点E，以为圆心，为直径的圆恰好经过点，请判断与直线的位置关系，并说明理由． (2)如图2，当抛物线的顶点C恰好与点D重合，连接、、、得到的四边形能否成为矩形，若能，请求出a，c应满足的关系式，若不能，请说明理由． 【答案】(1)①； ②与直线相切；理由如下： 对于， 令，则， ， 点D旋转后的对应点为， ， 由（1）知抛物线的对称轴与x轴交于点， 以为圆心，为直径的圆恰好经过点， ， ，， ， ， 判断与直线相切； (2)能， 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、证明某直线是圆的切线、根据旋转的性质求解 【分析】（1）①先求出抛物线的解析式，并求出A，B两点的坐标，再根据图形旋转的性质，求出，即可求得答案； ②先求出，再根据勾股定理的逆定理证明即可； （2）设，则抛物线的解析式可表示为，可求得，根据图形旋转的性质可证明四边形是平行四边形，当时，四边形是矩形，此时可列方程，求得，即可进一步求得答案． 【详解】（1）解：①当时，此时抛物线的顶点， ， 令，则， 解得，， ，， ， 抛物线绕点A旋转后得到新抛物线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的对称轴为直线， 其顶点坐标为， 抛物线的解析式为； ② 略 （2）解：当抛物线的顶点C恰好与点D重合， 则， 设，则， 抛物线的解析式可表示为， ， 抛物线绕点A旋转后得到新抛物线， ，且，， 四边形是平行四边形， 当时，四边形是矩形， ， ， ， 化简整理，得， ，， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，图形旋转的性质，求二次函数的解析式，切线的判定，勾股定理的逆定理，矩形的判定，熟练掌握二次函数的图象与性质及切线的判定是关键． 18．（2024·河南·二模）如图，矩形中，，，抛物线顶点为M． (1)若抛物线对称轴左侧部分图象交y轴于点． ①求此时抛物线的表达式； ②设直线的解析式为，求当时x的取值范围． (2)若矩形的边与抛物线恰好有2个交点，直接写出此时m的取值范围． 【答案】(1)①；②或 (2) 【知识点】求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象的平移、图象法解一元二次不等式 【分析】（1）把代入解方程即可； （2）先求直线表达式，再与二次函数解析式联立，求出交点坐标，再根据函数图像确定的解集； （3）找到两个临界状态，经过点C时，代入点C坐标，求出此时的m值，随着m的增大，当经过点B时，代入点B坐标，求出此时的m值即可． 【详解】（1）解：①把代入得：， 解得：或， 由题意得，对称轴在y轴右侧， ∴，即， ∴， ∴抛物线的表达式为； ②将，代入 得：， 解得：， ∴直线表达式为：， 联立，可得， 解得：， ∴的解集为：或； （2）解：， ∴抛物线开口方向不变，且顶点在直线上运动， 而对称轴为直线，随着m的增大，当抛物线经过点C时， 代入点得：， 解得：或（舍），此时， ∴此时抛物线与边有两个交点， 当抛物线经过点B时，代入点得：， 解得：或（舍）， ∴当时，矩形的边与抛物线恰好有2个交点． 【点睛】本题是一道二次函数综合题，待定系数法求二次函数解析式，一次函数解析式，根据函数图像求不等式的解集，矩形的性质，熟练掌握知识点，正确理解题意是解题的关键． 19．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线的顶点为P，双曲线经过点P和点B． (1)求k的值； (2)轴于D，轴于C，E为上一点，连接和．求的面积； (3)在（2）的条件下，当A为中点时，经过E和A点的双曲线，求m的值． 【答案】(1) (2)6 (3) 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、求反比例函数解析式、已知比例系数求特殊图形的面积、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】（1）先根据二次函数求出点P的坐标，然后利用待定系数法求解析式即可； （2）根据三角形的面积与反比例函数的比例系数k的关系解题即可； （3）过点E作轴于H，过点A作轴于M，设，利用中位线的性质可以表示和长，进而表示A点坐标，然后把点A和点E的坐标代入解题即可． 【详解】（1）抛物线的顶点 ∵双曲线经过点P， ∴， ∴ （2）∵点B在双曲线上，设， ∵轴，轴 ∴ ∴是矩形, ∴，, ∴； （3）过点E作轴于H，过点A作轴于M． 设， 在中，A为中点， ∴为的中位线， ∴， ∴ ∴ 把和代入双曲线 中得， ∴， ， ，解得 【点睛】本题考查反比例函数的图像和性质，待定系数法，比例系数k的几何意义，三角形的中位线，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 20．（2024·山东青岛·三模）如图，在矩形中，为矩形的对角线，，． (1)如图①，将绕点逆时针旋转得到，其中，点、的对应点分别是点、，延长交于点，求的长； (2)如图②，将（）中的以每秒个单位长度的速度沿射线向右平行移动，得到，其中，点、、的对应点分别是点、、，当点移动到边上时停止移动．设移动的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如图③，在移动过程中，直线与线段交于点，直线与线段交于点，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，求出时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【知识点】列二次函数关系式、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算 【分析】（1）证明，求出即可求解； （2）分情况讨论，当在矩形外部时，重叠部分是三角形，可利用解直角三角形求出面积；当在矩形内部时，重叠部分是四边形，分和； （3）根据已知用表示相关线段，根据等腰列出一元二次方程，判断方程的根即可． 【详解】（1）解：在矩形中，， ，， ， 、、三点在一条直线上，， 又由旋转知， ，， ， ， 的长为 （2）如图所示重合部分是三角形， ∵， ∴ 当在上时， 当时， 当在矩形内部时，重叠部分是四边形， 当时，如图所示， ∴ ∴ ∴ 当时，如图所示，重叠部分是四边形， ∴ 则 ； 综上所述， （3）， 过点作于点（如图）， ∵为等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ①当时， 解得：或（舍去） ②当时， 解得：或,（舍去） ③当时， 解得：（舍去）或 综上所述， 或或 【点睛】本题考查矩形综合题，解直角三角形，旋转的性质，函数解析，四边形的面积，等腰三角形的性质，解题的关键是分类讨论思想的运用． 21．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】求一次函数解析式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、面积问题(二次函数综合) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）如图，过F作轴于H，过D作轴于K，，得出，设，则，得出方程，解方程即可得，，，然后再利用三角形面积公式计算即可得解； （3）过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G，证出，然后再证出，得出，，设，则，用含a的代数式表示出，再代入抛物线解析式即可得解． 【详解】（1）解：将，，代入得： 解得 ∴； （2）解：如图，过F作轴于H，过D作轴于K，， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴ 解得，（舍）， ∴，，， 又∵， ∴，，， ∴ ； （3）解：过E作轴于N，过F作轴于M，延长交x轴于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得，（舍）， ∴． 【点晴】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，全等三角形的判定和性质，一次函数的性质，解一元二次方程，等腰三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 22．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为抛物线上第四象限中的点，过点作轴，垂足为，延长至点，且，求五边形的面积的最大值； (3)如图，作，且与抛物线交于点，连接，点为延长线上点，且，若点为直线上动点，求最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、根据平行线的性质探究角的关系、相似三角形的判定与性质综合、面积问题(二次函数综合) 【分析】把，，代入，求出，，的值即可求出抛物线的解析式； 求出直线和直线的解析式，设点，则，，根据表示五边形的面积，通过二次函数的增减性求出面积的最值； 有题意得，从而证明∽，∽，得到直线的解析式为直线，根据轴对称得到的最小值． 【详解】（1）解：把，，代入， 得，解得， 抛物线的解析式为； （2）解：设直线的解析式为，把，代入， 得，则， 即直线的解析式为， 由，设直线的解析式为， 把代入，得直线的解析式为， 设点，则，， 点为抛物线上第四象限中的点， ，， ， 整理得， 当，五边形的面积取最大值，最大值为； （3）解：联立，解得点的坐标，舍去，， 点的坐标为， 延长交轴于点，与交于点， ，， ， ∽， ， ， ， ∽， ， ， ， ， 是等腰直角三角形，， 轴， 直线的解析式为直线， 作点关于直线的对称点， 当点为和直线的交点时，的值最小，且最小值即为线段的长度， ，， ， 的最小值为． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用二次函数解决面积最值问题，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质等． 23．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图1，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A 处着火点．已知A，C的水平距离和竖直距离均为10m，水流在与点A水平距离为4m处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系，一个单位长度表示1 m． (1)求水流所在抛物线的解析式； (2)若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2m 到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4m处的B着火点？请说明理由； (3)如图2，将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移8m到点T处，同时改变水枪喷口的方向，使水流所在抛物线的解析式中二次项系数为，若水流在高度下降之前到达A处着火点，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)解：水流不经过着火点B，比着火点B高出2米；理由如下： 若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2m 到点D处， ∴平移后抛物线的解析式为：， ∴当时，，即水流过点， ， 答：水流不经过着火点B，比着火点B高出2米； (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，能够求出二次函数解析式是解题关键； （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）直接求出平移后的解析式，然后代入当时，，求出水流比着火点B高出2米； （3）设抛物线的解析式为：，代入点，，求出，进而根据对称轴，求出即可． 【详解】（1）解：设抛物线的解析式为：，由题意得抛物线经过点，， ， 解得：， ∴水流抛物线的解析式为：； （2）略 （3）解：设抛物线的解析式为：，由题意得抛物线经过点，， ， 整理得：， ∵若水流在高度下降之前到达A处着火点， ∴， ∴， 解得： ∴； 若水流在高度下降之前到达A处着火点， 的取值范围为． 24．（2024·广东广州·二模）已知抛物线和直线，抛物线的顶点为M． (1)若抛物线与x轴有两个交点，求实数a的取值范围； (2)存在实数，使得当时，，并且存在实数k，使对于任意实数x都成立，求a的取值范围； (3)已知直线与抛物线交于，，且． ①求a的取值范围； ②求抛物线的顶点M到直线距离的最小值． 【答案】(1)且 (2) (3)①，②最小值为0 【知识点】一元二次方程的根与系数的关系、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据交点确定不等式的解集、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）根据根的判别式为0和二次项系数不为0，建立不等式组，解不等式组，即得； （2）当时，存在实数，使；当时，联立，当时，，，，存在实数，得，综合且；根据对于任意实数x都成立，的图象恒在x轴的上方，，，即且，得，得，综合； （3）①联立解析式得，根据根与系数的关系得到，结合， 化简得到，得直线，根判别式，；②配方得，得到顶点在直线（）上，根据直线与直线交于第四象限，得到抛物线的顶点M到直线距离的最小值为0． 【详解】（1）依题意有两个不相等的实数根， ， ， 又， 且， （2）①当时，显然存在实数，使， ②当时，联立， 得， 当时，， 此时， 如图所示， 只需就存在实数，使， ， 综上：且， 又存在实数k，对于任意实数x都成立， 即恒成立， 的图象恒在x轴的上方， ， 即存在实数k使且， ， 解得（舍去）或， ， 综上所述：； （3）①联立， 得， 则，，， （，，，）， ， ， 化简得， ，直线， ，， 即a的取值范围是， ②， 顶点为， 顶点在直线（）上， 画图可知直线与直线，（）的交点在第四象限， 抛物线的顶点M到直线距离的最小值为0． （法二：过点M作直线）的垂线，再化斜为铅垂，同样可以得到最小值为0） 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合．熟练掌握二次函数图象和性质，一次函数图象和性质，二次函数图象与坐标轴交点判断和性质，两函数图象交点判断和性质，函数与方程的关系，函数与不等式的关系，是解决问题的关键． 25．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、面积问题(二次函数综合)、其他问题(二次函数综合) 【分析】（1）令，求出点C的坐标，得到的长，根据直线平行于轴，交抛物线于点D，得到点D的坐标，运用待定系数法即可求解； （2）令，求出点B的坐标，由题意得到，，过点P作于点E，表示出的长，根据三角形的面积公式即可求解； （3）设，求出，，因此．过点D作，交x轴对于点F，则，则．设，则．证明四边形是正方形，推出，进而证明，得到，，，．连接，证明，得到，又，从而在中，根据勾股定理构造方程，求出a的值，即可得出点M的坐标，运用待定系数法求出直线的解析式，联立抛物线与直线的解析式，求出点P的坐标，根据的面积关于点P的横坐标t的函数关系式即可求解． 【详解】（1）解：对于二次函数，令，则， ∴， ∴， ∵直线平行于轴，交抛物线于点D，， ∴， ∵二次函数（）的图象过点，， ∴，解得， ∴该二次函数的解析式为． （2）解：对于二次函数，令，则， 解得，， ∴． ∵点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为， ∴，， 过点P作于点E， ， ∴， ∴关于t的函数关系式为． （3）解：设， ∵轴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 过点D作，交x轴于点F，则， ∴， ∴． 设，则． 过点D作轴于点G，则，轴， ∵轴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴是正方形， ∴，， ∴， ∴，即． ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴． ∵在中，，， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ∴， ∴． 设直线的解析式为， ∵直线过点，， ∴，解得， ∴直线的解析式为 解方程组得或， ∴点P的坐标为， 由（2）有，的面积S关于点P的横坐标t的函数关系式为， ∴当时，， ∴的面积为． 【考点4】反比例函数的图象、性质与几何综合（第26-33题） · 由图象所在象限先定 k 的符号，再用面积条件求 |k| · k 的几何意义：点向两坐标轴作垂线所得矩形面积为 |k| · 与一次函数的交点问题，联立方程组后利用交点坐标列关系 26．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象有两个不同的交点分别为，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题及利用函数图象解不等式，先利用一次函数图象上的点求出a的值，再代入反 比例函数求出k，最后分和两种情况解分式不等式确定解集． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴，解得， ∴交点为和， ∵点在反比例函数的图象上， ∴，解得， 则不等式为， 分两种情况讨论： ①当时，不等式两边同乘x（不等号方向不变） 得，即 ∵， ∴， ②当时，不等式两边同乘x（不等号方向改变） 得，即， ∵， ∴， 综上，不等式的解集为或， 故选：D． 27．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若，，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、已知反比例函数的增减性求参数、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】分和两种情况，结合反比例函数增减性求的最小值，列不等式求解． 【详解】解：将代入，得 分两种情况讨论： ①当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而减小，且， ∴当时，取得最小值，最小值为 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向不变， 得， 解得，符合条件； ②当，即时， ∵在每个象限内，随的增大而增大，且，， ∴，且当时，取得最小值，最小值为 要使，需，即， ∵， ∴，结合，得 ∵对恒成立， ∴， ∵， ∴，不等式两边同时除以，不等号方向改变， 得， 解得，结合，得， 综上，的取值范围是或． 28．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，反比例函数的图象分别交矩形的边于点D，E，连接．若把沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，且，，则k的值为_______． 【答案】12 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、矩形与折叠问题、折叠问题 【分析】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的图象和性质，矩形与折叠，相似三角形的判定和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．过D作于点H，设，则．根据反比例函数解析式，得到，得，进而得到，，，由翻折的性质得：，证明，得到，求出m的值，即可得到k的值． 【详解】解：过D作于点H，如图， ∵沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵， ∴设，则． ∵，反比例函数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 由翻折的性质得：， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 解得：， ∴， ∴， ∴． 故答案为：12． 29．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，经过点的一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，其中点，，连接，若为直线上的一点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，的长为___________． 【答案】或． 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、相似三角形的判定与性质综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先计算出一次函数和反比例函数的解析式，再将需要的点的坐标都计算出来，根据勾股定理和逆定理可得是以为斜边的直角三角形，则也是直角三角形．分为点为直角顶点和点为直角顶点两种情况讨论，根据对应边成比例计算出． 【详解】解：将代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， 将，，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 由对称性可知，点的坐标为， 由勾股定理可得，，，， ∵， ∴是以为斜边的直角三角形，即， ∵与相似， ∴也是直角三角形， ①当时，如图， ∵，， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， ∵，， ∴， ∴，即， 解得； ∵与不垂直， ∴． 综上所述，或． 【点睛】本题考查相似三角形存在问题，对于对应点不确定的情况，要使用分类讨论，解题关键在于根据三边长确定是直角三角形． 30．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图象与交于点．若与函数的交点为，则点的“倒数点”为________．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为________． 【答案】 或 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长、分式方程的其它实际问题 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，矩形的性质，解分式方程，坐标与图形． 先求出点的坐标，再根据“倒数点”的定义作答即可；根据题意，点B不可能在坐标轴上，可对点B进行讨论分析：①当点B在边上时；②当点B在边上时；分别求出点B的坐标，然后求出的面积即可． 【详解】解：当时，，即， 则点的“倒数点”为； 根据题意， ∵点称为点的“倒数点”， ∴，， ∴点B不可能在坐标轴上； ∵点A在函数的图像上， 设点A为，则点B为， ∵点C为， ∴， ①当点B在边上时； 点A与点B都在边上， ∴点A与点B的纵坐标相同， 即，解得：， 经检验，是原分式方程的解； ∴点B为， ∴的面积为：； ②当点B在边上时； 点B与点C的横坐标相同， ∴，解得：， 经检验，是原分式方程的解； ∴点B为， ∴的面积为：； 故答案为：，或． 31．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论： ①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 【答案】①③/③① 【知识点】一次函数与几何综合、反比例函数与几何综合、根据成轴对称图形的特征进行求解、根据旋转的性质求解 【分析】①运用反比例函数几何意义得出，求解即可； ②运用反比例函数几何意义得出，推出，再比较即可； ③首先求出，并根据勾股定理求值，再将绕逆时针旋转至，证明，得到，最后求出点，点坐标，即可求出直线的解析式； ④运用轴对称的性质得到当点、点、点三点共线时，有最小值，再用勾股定理求解即可． 【详解】解：①：∵点和点在同一反比例函数上， ∴，即， ∴． 故①符合题意； ②：∵正方形， ∴， ∵点和点在同一反比例函数上， ∴ 即 ∴ ∴点为中点时，，则点为的中点， 故②不符合题意； ③由②可得， ∴， ∴的等腰直角三角形． ∵， ∴． ∵将绕逆时针旋转至， ∴， ∴，，．． ∴． ∴三点共线， ∵， ∴， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点，点． ∵设直线的解析式为：， 代入点，点， ， 解得：． ∴设直线的解析式为：． 故③符合题意； ④：作点关于的对称点点，连接， 当点、点、点三点共线时，有最小值． ∵正方形，且边长为， ∴，． ∵点关于的对称点点， ∴． 在中， ∴． 即的最小值为， 故④不符合题意． ∴符合题意的有①③． 故答案为：①③． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形全等、图形的旋转、面积的计算等，综合性强，难度较大． 32．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图1，点为的角平分线上一点，以为顶点的角的两边分别与射线，交于，两点，如果绕点旋转时始终满足，我们就把叫做的互智角． (1)若，是的互智角，求的度数； (2)若（），，是的互智角，连接，用含的式子分别表示的度数和的面积； (3)如图2，是函数（）图象上的一个动点，过点的直线分别交轴和轴于，两点，且满足，请求出的互智角的顶点的坐标． 【答案】(1)的度数为 (2)； (3)点的坐标为； 【知识点】反比例函数与几何综合、角平分线的有关计算、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题是反比例函数综合题目，考查了角平分线的性质、相似三角形的判定与性质、新定义以及运用、三角形面积的计算,掌握知识点是解题的关键． （1）证明，得到，则，即可解答． （2）由是的互智角，得出，证出，得出对应角相等，即可得出；过点作于，由三角形的面积公式得出：，即可得出； （3）设点， 分类讨论：①当点B在y轴的正半轴，且时，②当点B在y轴的正半轴，且时，③当点B在y轴的负半轴时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：∵点为的角平分线上一点，， ∴， ∵是的互智角， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 答：的度数为． （2）是的互智角， ， ， 为的平分线上一点， ， ， ， ， 即； 过点作于，连接；如图所示 则， ， ； （3）①当点B在y轴的正半轴，且时，如图 设点，过点作于， 则，， ， ， ， ， ， ，， ∴， 是的互智角， ∴， 过点P作轴于点D，如图， 有， ，平分， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 点的坐标为； ②当点B在y轴的正半轴，且时，如图 ∴， 与矛盾，不符合题意，舍去． ③当点B在y轴的负半轴时，如图 ∴， 与矛盾，不符合题意，舍去． 综上所述，点的坐标为． 33．（25-26八年级上·上海·期中）如图，矩形的面积为，其顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上．反比例函数的图像与、分别交于点、，．连结、、． (1)若的面积为3，求：的面积； (2)若，求反比例函数解析式． 【答案】(1)8 (2) 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质求面积 【分析】（1）设反比例函数的解析式为，，根据的面积为3，可求得，由此可得出，再求出，然后利用的面积为；求解； （2）当时，作，交延长线于点M，作，交延长线于N，构造等腰直角三角形，先求出的解析式，再用表示出的坐标，从而可求出反比例函数解析式． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为，， ， ， ， ∵矩形的面积为， ∴，，， ∴， ∴， 的面积为3， ∴， ∴，解得：， ∴， 又点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式 又在反比例函数的图象上， ∴，解得：（负值舍去）， ∴， ，， ， ， 的面积为； ； （2）∵矩形的面积为，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， 设反比例函数的解析式为， ∵在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， 当时，作，交延长线于点M，作，交延长线于N， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴M的横坐标为， ∴， 设直线的解析式为, ∵点在直线上， ∴，解得：， ∴直线的解析式为, 又点在直线上， ∴，解得：， ∴， ∴反比例函数解析式为． 【点睛】本题考查了根据图形面积求比例系数（解析式），反比例函数与几何综合，全等的性质和（）综合（或者），根据矩形的性质求面积，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 【考点5】相似三角形的判定与性质综合（第34-42题） · 有平行先找两角相等，有直角想斜射影与一线三等角模型 · 求线段长常设未知线段，用对应边成比例列方程 · 旋转、折叠问题先找不变的相似关系与相等线段 · 面积比勿忘等于相似比的平方 34．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，中，，在上，且，连接，作分别交于，于，为的中点，连接交于．现有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，取中点，连接，过点C作交延长线于点N，过点D作，交于点P，根据同角的余角相等可以判断①，由点G，H，分别是的中点，证明，即可判断②，由，，证明，得到，即可判断③，由，得到，得到，再证明，得到即可判断④． 【详解】解：如图，取中点，连接，过点C作交延长线于点N，过点D作，交于点P， ， ，故①正确； 点G，H，分别是的中点， ， ， ， ， ， ，即， ，故②正确； ， ， ， ， ， 和，和不一定相等， 和不一定相等，故③错误； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 故选：B． 35．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，点为边上的中点，以为顶点作一个的角交、边于、两点，连结，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（    ） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 【答案】B 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的性质、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质．熟练掌握相关性质与判定是银题的关键，此题综合性较强，有一定难度，属中考压轴题． 取中点，连结，在上截取，连结，先证明，得，根据，得出，从而证得，即，得到，从而可证，得出，进而可证明，得到，即可得出 ，即可得出结论． 【详解】解：取中点，连结，在上截取，连结，如图， 由， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 在和中， ， ∴， ， ， 由相似可知：，， ， ， ， 即为周长的一半． 故选：B． 36．（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点、．对于下列结论： ①；②；③；④．    其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 【答案】D 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形等知识点，在等积式和比例式的证明中应注意采用倒推的方法寻找相似三角形进行证明，进而得到答案．①求出，根据相似三角形的判定推出即可； ②求出，得出比例式，把代入，即可求出答案； ③通过等积式倒推可知，证明即可； ④转化为，证明，问题可证． 【详解】解：∵在的同侧作等腰和等腰，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴，故①正确； 由已知：，， ∴， ∵ ∴ ∴， ∴，即，即，故②错误； ∵ ∴ ∵ ∴ ∴， ∴，故③正确； 由可得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵， ∴，故④正确； 即正确的为：①③④， 故选D． 37．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】由题意，先求出，证明，得到比例式，由比例证明得到比例式求即可． 【详解】解：∵， ∴， 在中，∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得． 38．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图所示，已知四边形是矩形，延长到点E，使，连接．点F为的中点，分别连接，，交于点G．观察下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【知识点】全等三角形综合问题、利用矩形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、利用网格求三角形面积 【分析】连接，设的交点为，证明，判断①；过作，判断出，利用面积公式判断②；证明，判断③；证明，推出平分，利用同（等）高的三角形的面积比等于底边比，得到，等量代换，判断④． 【详解】解：连接，设的交点为， ∵，F为的中点， ∴， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴；故①正确； 过作， 在中：， 在中：， ∵， ∴， ∵， ∴；故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故③正确； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴平分， ∴点到的距离相等， ∴ ∵， ∴；故④正确； 综上所述：①②③④正确. 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，等腰三角形的性质，斜边上的中线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，角平分线的判定和性质，综合性强，难度大，属于选择题中的压轴题，掌握相关性质，添加辅助线，构造全等三角形和特殊三角形，是解题的关键． 39．（26-27九年级上·四川·期中）如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长______． 【答案】 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】连接，菱形的对角线互相平分且垂直，矩形每个角都是直角，对边平行且相等，从而证明，利用勾股定理求出的值，得到的值，利用两角相等的两个三角形相似证明，用相似比求出答案． 【详解】解：连接交于， ∵四边形是菱形， ，， ∵四边形是矩形， ，， ， 在与中，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ． 40．（25-26九年级上·河北唐山·期中）“甑炊地碓新舂米，衣拆天吴旧绣图．”图1是捣谷物用的“碓”，图2是其示意图，其中为转动支点，于点，与水平线的夹角，已知，，．当点绕点旋转下落捣在上时，点上升了________． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、根据旋转的性质求解、相似三角形的判定与性质综合 【分析】将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上，设上升的高度为h，过点B作于点F，过作于点E，于点G，则，，得，求出，证明，得，得，得，根据，即得． 【详解】解：将和绕点O旋转到和，使点C的对应点为落在上， 设上升的高度为h， 过点B作于点F，过作于点E，于点G， 则四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵于点B，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转变换，矩形判定和性质，含30度直角三角形性质，勾股定理，相似三角形判定和性质等知识，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键． 41．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________．    【答案】①② 【知识点】用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、相似三角形的判定与性质综合、求两个位似图形的相似比 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理，位似图形的性质．由斜边中线的性质，可判断①；由斜边中线的性质，求得，得到，证明，可判断②；利用勾股定理求得斜边的长，证明和，利用相似三角形的性质求得的长，推出，可判断③；求得的值，据此可判断③④． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴，故①说法正确； ∵，点是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故②说法正确； ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， ∴，，， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴和不是以点为位似中心的位似图形，故③说法错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故④说法错误， 综上，正确的有①②． 故答案为：①②． 42．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【答案】 【知识点】运用完全平方公式进行运算、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】根据直角三角形的面积，求出，再根据勾股定理求出，进而结合等积变换求出，根据矩形性质得，，，即可得，，再根据，即可证明，，根据相似性质得 ， ，设，则，进而得，，即可求出，设矩形的面积为，再根据矩形面积公式即可得，配方后根据偶次方的非负性即可得矩形台面面积的最大值． 【详解】解：如图， ∵直角三角形木板的面积为，一条直角边长为， ∴,即：，解得：， ∴， ∵， ∴，即：，解得：， 在矩形中有：，，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴ ， ， 设，则， ∴，， ∴，， ∴， 设矩形的面积为，则： ，   ∵， ∴， ∴当时，， ∴矩形台面面积的最大值为． 【考点6】位似图形与相似三角形的实际应用（第43-45题） · 坐标系中的位似先定位似中心，对应点坐标按 ±k 缩放 · 测量高度问题构造相似三角形，把物体高与影长对应成比例 43．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，高为的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距（院墙厚度不计），上午的阳光和煦灿烂，樟树的影子爬过院墙，伸出院墙外的影子长1m，此时人的影子长恰好是人身高的两倍．求这棵樟树的高． 【答案】这棵樟树的高为 【知识点】相似三角形实际应用 【分析】根据题意画出示意图，因为太阳光是平行光，可以推出，设m，根据相似三角形的性质列方程求解，就可以计算出樟树的高． 【详解】解：根据题意，画出示意图如图所示． 由题意，得． ， ． ， ． 设， 则，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 故这棵樟树的高为． 【点睛】本题考查的是相似三角形的应用，掌握相关知识是解题的关键． 44．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图1，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)请在图1中画出以点O为位似中心的位似图形（原点右侧），使与的位似比为； (2)若（1）中的直线与双曲线交于M、N两点（点M在点N的左侧），请在备用图中画出草图，解答下列问题： ①请求出点M与点N的坐标： ②点P在双曲线即第三象限的图像上，求面积S的最小值． 【答案】(1) 解：如图所示，即为所求；    (2)①草图如图所示： ， ，； ② 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）根据位似比为，且两三角形在原点两侧确定出A、B、C对应点的位置，然后顺次连接即可； （2）①根据（1）所求得到，，进而求出直线的解析式为，据此画出对应的图形，联立直线的解析式与反比例函数解析式，即可求出M、N的坐标；②先分别过点和作轴的平行线，再过点作轴的平行线，与前两线分别交于点、．设，则，，，，，由得到，根据完全平方公式的变形得到 则，据此可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：①由（1）作图可得，， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为． 联立得：或 ∴，； ②如备用图，先分别过点和作轴的平行线，再过点作轴的平行线，与前两线分别交于点、． 设，则由题意可得：，，，， ∴，，，，， ∴ ∵， ∴，， ∵， ∵ ∴ ∴当且仅当即时，的面积取得最小值．    【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数综合，完全平方公式的变形求值，画位似图形，求位似图形对应点坐标等等，通过位似比，以及关于原点位似的图形的特点求出A、B的坐标，进而求出M、N的坐标是解题的关键． 45．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 【答案】(1)（米） (2)（米） 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、相似三角形实际应用 【分析】本题考查了“相似三角形的判定与性质”​ 在实际问题中的应用，相似三角形对应边成比例，平行线的性质，解题的关键在于利用相似三角形，相似三角形对应边成比例，列出比例式，求对应边； （1）识别出相似三角形，对应边成比例，列出比例式，计算求得即可； （2）识别出相似三角形，利用高也对应成比例，再根据几组平行，得到等于的边上的高，从而得到，求出，再加上，即可得． 【详解】（1）∵，，， ∴， ，即 ． 答：路灯的高度为米． （2）过点作于． ∵由题意得，， ∴（米），（米）， ∴等于的边上的高， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，即， ∴（米）， ∴（米）． 答：路灯主杆的高度为米． 💯 课后巩固 复习建议 · 每天先默写一遍二次函数 a、b、c、Δ 的符号判断，再做两道图象判断题 · 反比例函数牢记 k 的几何意义，面积题直接写出 |k| · 相似题先圈出对应边与对应角，面积比记得平方 · 压轴综合题先建立坐标系、设出点的坐标，再联立函数与相似 · 每周把错题按考点归档，重做一遍同类模型 【作业1】．（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【知识点】数字类规律探索、整式加减的应用、根据判别式判断一元二次方程根的情况、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】①可通过分析单项式条件判断； ②通过时列出所有符合的整式，然后计算它们的和即可验证； ③通过时列出所有的二次三项式，然后根据其开口方向，和判别式判断非负性即可． 【详解】解：①∵单项式为只有一项的整式，当时，为常数单项式，代入条件得，即，得单项式； 当时，均为正整数，故一次项到次项共项均存在，若为单项式，则需且，代入条件得，即，得单项式； 当时，项数，不可能为单项式，∴满足条件的单项式共2个，①正确． ②当时，由条件得，即， ∵， ∴， 当时，，此时，对应整式为； 当时，，此时三个正整数和为4，即一个为2、其余为1，对应整式为、、；将所有整式相加，得常数项和为，项系数和为，项系数和为，项系数和为，即总和为，②正确． ③∵二次三项式满足且有3项，又，故需，代入条件得，即，其中， 二次函数的图象开口向上，对任意实数值非负等价于，枚举所有正整数解： 当时，，解为，其中，，，故前2组符合； 当时，，解为，其中，，故2组都符合； 当时，，解为，，符合； 当时，，与矛盾，无解； 综上，符合条件的整式共个，③正确． 【作业2】．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次根式的混合运算、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】延长至，使，连接，，与交于点，设正方形边长为，根据正方形和得到，，，，，再根据，求出，，接着证明，得到是等腰直角三角形，得到，推出，则四边形为平行四边形，，，最后根据，求出，代入计算即可． 【详解】解：延长至，使，连接，，与交于点， 设正方形边长为， ∵正方形， ∴，，， ∵， ∴，，，，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【作业3】．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线的性质，抛物线顶点在轴上说明其与轴仅有一个交点，即判别式，通过代入系数计算判别式方程即可求解的值． 【详解】解：抛物线的顶点在轴上， 抛物线与轴仅有一个交点， ，，， ， 整理得：， 两边同除以得：， 因式分解得：， 或． 故选：C． 【作业4】．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知两点坐标求两点距离、相似三角形的判定与性质综合、求位似图形的对应坐标 【分析】过点作轴的垂线，交轴于点，容易求得 ，进而可求得，得到点的坐标，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴的垂线，交轴于点， 由题意得， ∴ ， ∴． ，， ． ∴， 又∵，， ，． ． ∴点的坐标为． ． 【作业5】．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 连接，根据反比例函数k的几何意义可得，进而得到，结合，可推出，得到，再结合图象可知，，从而求得答案． 【详解】解：如图所示，连接， 由题意得， ∴， 同理，即． ∴， ∵， ∴，即． ∵， ∴． ∴，即． 由图象可知，， ∴， ∴． 故选：D． 【作业6】．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，已知顶点A的坐标为，点B在y轴上，且轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，则的面积为___________． 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质、利用平行四边形的性质求解 【分析】根据抛物线顶点坐标设出顶点式，利用平行四边形性质及抛物线对称性确定长度，进而得到长度及点坐标，求出抛物线解析式后得到点纵坐标，最后利用平行四边形面积公式求解． 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的表达式为， 四边形是平行四边形， 轴，， 点与点关于抛物线对称轴对称， 点在轴上， 点的横坐标为，点的横坐标为， ， ， 点的坐标为，轴， 点的坐标为， 将点代入抛物线中得， 解得． 抛物线的表达式为， 令，得， 点的坐标为， 边上的高为， 平行四边形的面积为． 【作业7】．（2025九年级·全国·专题练习）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形．若点的坐标分别为，，则的面积为_______． 【答案】18 【知识点】在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点位置进而得出答案． 【详解】解：与是以坐标原点为位似中心的位似图形，且点的坐标分别为 ∴相似比为2， 点的坐标分别为， 的面积为． 故答案为：18． 【点睛】此题主要考查了位似变换以及三角形面积求法，正确得出对应点位置是解题关键． 【作业8】．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，，点M为的中点，过点M作，垂足为点N，点P为上一个动点，过点P作交于点Q，点O为的中点，连接．当点P恰好为的三等分点时，的面积为_______． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了菱形的性质，相似三角形的判定和性质，过点A作交于点I，先求出，，再证，由此得，再根据点M为的中点，进而可得，，因为的三等分点有两个，所以分两种情况讨论，当时，先由得出，再，再由即可得出面积；同理当时，可求出的面积． 【详解】解：过点A作交于点I， ∵是菱形，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵点M为的中点， ∴， ∴，， 分以下两种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点O为的中点， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的面积为或． 【作业9】．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为．_________（用含的代数式表示）． 【答案】 【知识点】数字类规律探索、反比例函数与几何综合 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，图形类的规律探索，先利用反比例函数求出点的坐标，进而求出点，再根据三角形的面积公式求出，求出和，找到规律，据此即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，， ∴，，， ∵轴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 同理可得，，， ∴， ， ， ∴，， ， ∴， 故答案为：． 【作业10】．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“型闭函数”，下列结论中，正确的是____________（填序号）． ①一次函数是“型闭函数”； ②若一次函数是“型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“型闭函数”，且，则； ④二次函数是“型闭函数”．则的取值范围是． 【答案】①③④ 【知识点】根据一次函数增减性求参数、y=ax²+bx+c的图象与性质、y=ax²+bx+c的最值、判断反比例函数的增减性 【分析】根据“k型闭函数”的定义，结合一次函数反比例函数二次函数的增减性，逐个计算验证四个结论即可． 【详解】解：①对于一次函数，可知y随x的增大而增大， ∴根据定义，当时，；时，， ∴，故， 故①正确； ②对于一次函数是“1型闭函数”， 故有， 当时，y随x的增大而增大，，得； 当时，y随x的增大而减小，，得， 综上，，故②错误； ③对应反比例函数（，且） 可知y随x的增大而减小， 故，， ∴， 又∵反比例函数（，且）是“型闭函数”， ∴， ∴， ∵， ∴，故③正确； ④二次函数的开口向下，对称轴为直线，且， 由定义可得，故． 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， 故， ∴； 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， ∴， ∵， ∴， 解得； 当时，最大值在处取得，； 最小值在处取得，， ∴， 解得， 综上，，故④正确， 综上，正确结论为①③④， 【作业11】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数与不等式，由已知不等式解集可确定对应二次函数的根，从而求出常数关系且，代入第二个不等式并求解． 【详解】解：不等式的解集为， 则二次函数的根为和， ∴当时，，即， ∴，解得； ∵的解集为， ∴抛物线的开口向上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴或 解得：无解或； 故答案为：． 【作业12】．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A，B，顶点为P． (1)求顶点P的坐标； (2)若的面积为8， ①当时，抛物线G与直线能有两个公共点，求m的取值范围； ②点M为y轴上一点，当最大时，求此时：的值． 【答案】(1)顶点P的坐标为 (2)①；② 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、抛物线与x轴的交点问题、解直角三角形的相关计算、角度问题(二次函数综合) 【分析】本题为二次函数综合运用，涉及到解直角三角形、圆的基本性质等． （1）由题意得：，则，再根据顶点式可得顶点P的坐标； （2）①先根据的面积为8，求出，再根据直线l的解析式得，直线经过定点，当时，直线，联立抛物线解析式解方程得抛物线与直线的交点为和，画出图象，进而可得答案； ②作的外接圆，过点作轴于点，连接、、，推出，当最大时，也最大，即有最大值，中，，进而可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得：， ， 顶点P的坐标为； （2）解：①由（1）得，， 令，则， 解得：， ， 的面积为8， ， 解得：， 抛物线； 直线， 当时，， 直线经过定点， 当时，直线， 联立， 解得：或， 抛物线与直线的交点为和， 当时，抛物线与直线能有两个公共点，即符合题意； 当时，则，直线中的随增大而增大， 由图象可得，此时抛物线与直线有两个交点，一个在点的下方，另一个在点的上方， 又当时，抛物线与直线能有两个公共点， ； 综上所述，的取值范围为； ②由①中的结论得，抛物线， 抛物线的对称轴为， 令，则， 解得：， 设点在点的左侧，则， 如图，作的外接圆，过点作轴于点，连接、、， ， 点在的垂直平分线上，即抛物线的对称轴上， 点到轴的距离为3， 点在轴上， 与轴至少有1个交点， 的半径点到轴的距离，即， 轴，， ， 又， ， 当最大时，也最大，即有最大值， 在中，， ， ， 的最大值为，此时最大， 当最大时，． 【作业13】．（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段检测）某商店销售一种成本为40元的水产品，若按50元销售，一个月可售出，售价每涨1元，月销售量就减少． (1)写出月销售利润y（元）与售价x（元）之间的函数表达式； (2)当售价定为多少元时，该商店月销售利润为8000元？ (3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【答案】(1)； (2)当售价定为60元或80元时，该商店月销售利润为8000元； (3)当售价为70元，利润最大，最大利润是9000元． 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、已知二次函数的函数值求自变量的值、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用以及二次函数的最值问题，根据实际问题列出二次函数式解决此题的关键． （1）根据公式：销售利润=单件利润×总销量，单件利润为元，总销量为千克，得到二次函数即可； （2）令以上二次函数为8000，求出x的值即可； （3）二次函数化成顶点式，求出最值即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∴y与x之间的函数关系式为：． （2）由题意得：， 解得：或， 答：当售价定为60元或80元时，该商店月销售利润为8000元； （3）∵， ∴当时，利润最大为9000元． 答：当售价为70元，利润最大，最大利润是9000元． 【作业14】．（2022九年级·重庆北碚·专题练习）已知一次函数与x 轴交于点A， 与反比例函数在第一、三象限分别交于C、B 两点，其中，点C 的横坐标为2． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将直线向左平移个单位长度得直线，与在第一象限交于点E、在第三象限交于点F， 求的面积： (3)当时，请直接写出符合条件的x 的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象平移问题、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出A的坐标，然后把A的坐标代入，求出a 的值，然后求出C的坐标，再把C的坐标代入求解即可； （2）根据平移的规律求出的解析式，联立方程组求出E、F的坐标，设直线与x轴交于点G，求出点G的坐标，然后根据求解即可； （3）先求出点B的坐标，然后根据图象求出x的取值范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得， ∴， 把代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵直线向左平移个单位长度得直线， ∴直线的解析式为， 联立方程组， 解得或， ∴，， 设直线与x轴交于点G， 当时，， 解得， ∴， ∴ ； （3）解：联立方程组， 解得或， ∴， 观察图象可知：当或时，；当或时，， ∴当时，x 的取值范围为或． 【作业15】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图1，中，于点在边上，交于，过点作于点． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1) 证明：∵ ∴ ∵， ∴ ∴ 又∵，， ∴ ∴ ∴； (2) (3) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边对等角、用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合 【分析】（1）先证明，再证明，再由全等三角形的性质可得结果； （2）由可得，设，由可得 ，再代入求得x的值，最后由勾股定理求得结果； （3）由得，，证明得，从而，由得，可得，得出，求出，进而可求出的值． 【详解】（1）略． （2）解：由（1）知 ∴ 设 ∵ ∴， ∴ ∴ 解得 在中，，， ∴； （3）解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴或（不符合题意，舍去）， ∵， ∴， ∴的值是． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质、证明三角形全等与三角形相似是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题三·期中综合复习·满分压轴讲义 （第21~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 梳理二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与性质，能由开口、对称轴、顶点判断系数 a、b、c 的符号 · 掌握二次函数与一元二次方程、不等式的关系，会利用图象求方程的根与不等式解集 · 理解反比例函数的图象与性质，会用 k 的几何意义与面积关系求解析式 · 掌握相似三角形的判定与性质，能综合相似、勾股、旋转解决几何压轴题 · 认识位似图形的坐标特征，会运用相似与函数模型解决实际测量与综合问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 三种解析式：一般式 y=ax2+bx+c，顶点式 y=a(x-h)2+k，交点式 y=a(x-x1)(x-x2)，其中 a≠0 a 定开口与宽窄，对称轴 x=-，顶点坐标为(-, ) a、b 同号时对称轴在 y 轴左侧，异号时在右侧；c 是抛物线与 y 轴交点的纵坐标 判别式 Δ=b2-4ac 决定抛物线与 x 轴的交点个数：Δ>0 两个，Δ=0 一个，Δ<0 没有 概念辨析例题：已知二次函数 y=ax2+bx+c 的图象开口向上，对称轴在 y 轴右侧，且与 y 轴交于负半轴，试判断 a、b、c 的符号。 答案：a>0，b<0，c<0。 解析：开口向上得 a>0；对称轴 x=->0 且 a>0，故 b<0；与 y 轴交点在负半轴，故 c<0。 ☆ 2.二次函数与一元二次方程、不等式 抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴交点的横坐标，就是方程 ax2+bx+c=0 的根 a>0 时，ax2+bx+c>0 的解集为 x<x1 或 x>x2，小于 0 的解集为 x1<x<x2 根据表格中函数值的对应变化，可以估计一元二次方程根的大致范围 实际最值问题常设顶点式，结合自变量的取值范围求最优解 概念辨析例题：已知抛物线 y=x2-2x-3，求它与 x 轴的交点坐标，并写出 y>0 时 x 的取值范围。 答案：与 x 轴交于(-1,0)与(3,0)；y>0 时 x<-1 或 x>3。 解析：令 x2-2x-3=0，解得 x1=-1，x2=3；又 a=1>0，图象开口向上，故 y>0 的解集为两根之外。 ☆ 3.反比例函数的图象、性质与 k 的几何意义 y=（k≠0）的图象是双曲线；k>0 时在第一、三象限，在每个象限内 y 随 x 增大而减小 k<0 时图象在第二、四象限，在每个象限内 y 随 x 增大而增大 图象上任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积等于 |k| 反比例函数与一次函数图象的交点坐标，就是相应方程组的解 概念辨析例题：反比例函数 y= 的图象经过点(2,3)，求 k 的值，并求图象上一点向两坐标轴作垂线所得矩形的面积。 答案：k=6，矩形面积为 6。 解析：把点(2,3)代入得 k=2×3=6；由 k 的几何意义，矩形面积等于 |k|=6。 ☆ 4.相似三角形的判定、性质与位似 判定方法：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例 性质：对应角相等，对应边成比例；周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方 常见模型：A 字型、8 字型、一线三等角、斜射影模型 位似图形是特殊的相似，以原点为位似中心时对应点的坐标乘 ±k 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，较小三角形的周长为 8，求较大三角形的周长与面积比。 答案：较大三角形的周长为 12，面积比为 4:9。 解析：周长比等于相似比 2:3，故较大三角形周长为 8×=12；面积比等于相似比的平方，即 4:9。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数解析式 一般式 y=ax2+bx+c；顶点式 y=a(x-h)2+k 用待定系数法时，先根据已知条件选择合适的形式 对称轴与顶点 x=-，顶点(-, ) a 决定开口方向与宽窄，a、b 共同决定对称轴的位置 判别式 Δ Δ=b2-4ac 用韦达定理与求根公式前，先确认 Δ≥0 反比例函数 k 的意义 矩形面积 S=|k| 面积与所在象限无关，恒等于 |k|；k 的符号决定图象象限 相似三角形性质 周长比=相似比，面积比=相似比2 对应边、对应角必须找准，面积比勿忘平方 位似图形 对应点连线交于位似中心，坐标比为 ±k 位似有同向与反向两种，注意坐标符号 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的图象与性质（第1-9题） · 先定 a 的符号与大小，再由对称轴 x=- 判断 b 的符号 · 比较函数值大小时，利用对称性把两点转化到对称轴同侧 · 判断代数式符号时，把 x=±1、±2 等特殊值代入解析式 · 顶点式 y=a(x-h)2+k 可直接读出最值与平移规律 1．（2025·福建福州·二模）已知抛物线上有三点，，，若，则，，的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·湖北·阶段检测）二次函数的图象如图所示．下列结论正确的是（   ）    A．当时， B．若为任意实数，则 C． D．若且，则 3．（24-25八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有，两点．下列选项正确的是（   ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 4．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数的图像如图所示，对称轴为，抛物线与轴交点分别为和，且．下列结论：①；②；③方程有两个实数根分别为和；④．其中正确的是（    ）． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 5．（25-26八年级下·福建福州·期末）已知点，，均在抛物线上，其中，若，则的取值范围是__________． 6．（25-26九年级上·广东广州·期中）已知表示不超过实数的最大整数，如．函数的部分图象如图所示，满足方程的解集为_____；若方程在有且只有1个解，则实数的取值范围是_____． 7．（25-26九年级上·黑龙江·期中）如图，抛物线在第一象限内经过的整数点（横坐标、纵坐标都为整数的点）依次为，，，…，，将抛物线沿直线：向上平移，得到一系列抛物线，且满足条件：①抛物线的顶点，，，…，都在直线上；②抛物线依次经过点，，，…，，则顶点的坐标为________． 8．（26-27九年级上·湖北荆州·阶段检测）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论：①；②；③；④若此抛物线经过点，则不等式的解集是．其中所有正确结论的序号是_________． 9．（26-27九年级上·福建厦门·阶段检测）在平面直角坐标系中，已知抛物线，设该抛物线的对称轴为．已知在抛物线上，若对于，都有，则的取值范围是___________． 【考点2】二次函数与一元二次方程、不等式（第10-13题） · 抛物线与 x 轴交点的横坐标就是对应方程的根 · 由表格对应值估计根的范围：找函数值变号的相邻区间 · 不等式解集结合开口方向：a>0 取两根之外，a<0 取两根之间 10．（25-26九年级上·山东青岛·期中）根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个解满足（    ） A． B． C． D． 1 11．（2022·贵州贵阳·模拟预测）如图，将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象M，若直线与图象M有两个公共点，则b的取值范围为（     ） A． B． C．或 D．或 12．（2026·江苏扬州·一模）某同学利用计算机软件绘制函数 （m，n为常数）的图象如图所示，由学习函数的经验，可以推断下列结论中选项正确的是（   ） A． B． C．该函数自变量x的取值范围为一切实数 D．方程有两个不等实数根 13．（2026·湖北武汉·模拟预测）如图是二次函数的图象，图象对称轴为直线，与轴的正半轴交点位于与之间，对于这个函数有下列五个结论：①；②；③对任意实数，不等式恒成立；④若方程的两根为，，则；⑤关于的方程的两根之和为．则结论正确的有_____（填写序号） 【考点3】二次函数的综合应用与实际问题（第14-25题） · 实际问题先建立平面直角坐标系，再用待定系数法求抛物线解析式 · 最值问题先看顶点的横坐标是否落在自变量取值范围内 · 与几何综合时设图象上点的坐标，用线段长列方程 · 销售、拱桥、喷水等模型求出结果后要检验是否符合实际意义 14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如图，正方形的边长为，点P以的速度从点A出发沿着方向运动到点B停止，点Q以的速度沿运动到点D停止，P，Q两点同时出发，设运动的时间为，的面积为，则y关于x的函数图象大致是（    ） A． B． C． D． 15．（2025·四川凉山·模拟预测）如图，直线与抛物线相交于、两点，若，则的值为______．    16．（2026·福建厦门·模拟预测）如图，抛物线与轴交于点，顶点为，点在抛物线上，点的纵坐标为，过点作轴的平行线交抛物线于另一点，交轴于点．若，求抛物线的解析式． 17．（25-26九年级上·广东江门·期末）抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点D，顶点记为C，将抛物线绕点A旋转后得到新抛物线，抛物线与x轴的另一交点为，顶点为，点D旋转后的对应点为． (1)如图1，当时，此时抛物线的顶点． ①求抛物线的解析式： ②作直线，若抛物线的对称轴与x轴交于点E，以为圆心，为直径的圆恰好经过点，请判断与直线的位置关系，并说明理由． (2)如图2，当抛物线的顶点C恰好与点D重合，连接、、、得到的四边形能否成为矩形，若能，请求出a，c应满足的关系式，若不能，请说明理由． 18．（2024·河南·二模）如图，矩形中，，，抛物线顶点为M． (1)若抛物线对称轴左侧部分图象交y轴于点． ①求此时抛物线的表达式； ②设直线的解析式为，求当时x的取值范围． (2)若矩形的边与抛物线恰好有2个交点，直接写出此时m的取值范围． 19．（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）抛物线的顶点为P，双曲线经过点P和点B． (1)求k的值； (2)轴于D，轴于C，E为上一点，连接和．求的面积； (3)在（2）的条件下，当A为中点时，经过E和A点的双曲线，求m的值． 20．（2024·山东青岛·三模）如图，在矩形中，为矩形的对角线，，． (1)如图①，将绕点逆时针旋转得到，其中，点、的对应点分别是点、，延长交于点，求的长； (2)如图②，将（）中的以每秒个单位长度的速度沿射线向右平行移动，得到，其中，点、、的对应点分别是点、、，当点移动到边上时停止移动．设移动的时间为秒，与矩形重叠部分的面积为，请直接写出与之间的函数关系式，并写出的取值范围； (3)如图③，在移动过程中，直线与线段交于点，直线与线段交于点，是否存在某一时刻，使为等腰三角形，若存在，求出时间；若不存在，请说明理由． 21．（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）已知抛物线交x轴于点，，与y轴交于点． (1)如图1，求抛物线的解析式． (2)如图2，点D 为第一象限的抛物线上一点，，点F 在线段上方抛物线上一点，设点F的横坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式． (3)如图3，在（2）的条件下，当点F在第一象限，过点F作的平行线，交线段于点E，连接和，若时，求点F的坐标． 22．（22-23九年级上·四川绵阳·期末）如图，抛物线交轴于，两点，交轴于点，连接． (1)求抛物线的解析式； (2)如图，点为抛物线上第四象限中的点，过点作轴，垂足为，延长至点，且，求五边形的面积的最大值； (3)如图，作，且与抛物线交于点，连接，点为延长线上点，且，若点为直线上动点，求最小值． 23．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段检测）消防水枪喷出的水流可以看作是抛物线的一部分．如图1，水枪喷口位于点C处时，水流恰好到达A 处着火点．已知A，C的水平距离和竖直距离均为10m，水流在与点A水平距离为4m处达到最高点，建立如图所示的平面直角坐标系，一个单位长度表示1 m． (1)求水流所在抛物线的解析式； (2)若将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移2m 到点D处，其他条件不变，此时水流能否到达点A正上方4m处的B着火点？请说明理由； (3)如图2，将水枪喷口从点C处沿水平方向向左平移8m到点T处，同时改变水枪喷口的方向，使水流所在抛物线的解析式中二次项系数为，若水流在高度下降之前到达A处着火点，请直接写出的取值范围． 24．（2024·广东广州·二模）已知抛物线和直线，抛物线的顶点为M． (1)若抛物线与x轴有两个交点，求实数a的取值范围； (2)存在实数，使得当时，，并且存在实数k，使对于任意实数x都成立，求a的取值范围； (3)已知直线与抛物线交于，，且． ①求a的取值范围； ②求抛物线的顶点M到直线距离的最小值． 25．（26-27九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，二次函数（）的图象与x轴分别交于点、B两点，与y轴交于点C，直线平行于轴，交抛物线于点D，． (1)求该二次函数的解析式； (2)点P在第一象限的抛物线上，其横坐标为，连接、，设的面积为S，求S关于t的函数关系式； (3)在（2）的条件下，延长交轴于点M，点N在C点上方的轴上，连接，使，若，求的面积． 【考点4】反比例函数的图象、性质与几何综合（第26-33题） · 由图象所在象限先定 k 的符号，再用面积条件求 |k| · k 的几何意义：点向两坐标轴作垂线所得矩形面积为 |k| · 与一次函数的交点问题，联立方程组后利用交点坐标列关系 26．（25-26九年级上·四川绵阳·期末）已知反比例函数的图象与一次函数的图象有两个不同的交点分别为，，则不等式的解集为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 27．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点，若，，都有，则的取值范围是（     ） A． B． C．或 D．或 28．（25-26九年级上·广东深圳·期中）如图，反比例函数的图象分别交矩形的边于点D，E，连接．若把沿翻折，点B恰好落在x轴上的点F处，且，，则k的值为_______． 29．（25-26九年级上·河南周口·期末）如图，在平面直角坐标系中，经过原点的直线与反比例函数的图象交于点，，经过点的一次函数的图象与反比例函数的图象的另一个交点为，其中点，，连接，若为直线上的一点，当以点，，为顶点的三角形与相似时，的长为___________． 30．（25-26九年级上·重庆·阶段检测）在平面直角坐标系中，对于不在坐标轴上的任意一点，我们把点称为点的“倒数点”．如图，矩形的顶点为，顶点在轴上，函数的图象与交于点．若与函数的交点为，则点的“倒数点”为________．若点是点的“倒数点”，且点在矩形的一边上，则的面积为________． 31．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点与原点重合，顶点分别在轴，轴的正半轴上，反比例函数的图象在第一象限与正方形的两边分别交于点，过点作轴于点，连接，，，，线段与相交于点．设正方形边长为．有如下结论： ①四边形与面积相等；②当点为中点时，点为的三等分点；③若，，则直线的解析式为；④的最小值为．上述结论中，所有正确结论的序号是______． 32．（25-26九年级上·湖南·阶段检测）如图1，点为的角平分线上一点，以为顶点的角的两边分别与射线，交于，两点，如果绕点旋转时始终满足，我们就把叫做的互智角． (1)若，是的互智角，求的度数； (2)若（），，是的互智角，连接，用含的式子分别表示的度数和的面积； (3)如图2，是函数（）图象上的一个动点，过点的直线分别交轴和轴于，两点，且满足，请求出的互智角的顶点的坐标． 33．（25-26八年级上·上海·期中）如图，矩形的面积为，其顶点A、C分别在y轴和x轴的正半轴上．反比例函数的图像与、分别交于点、，．连结、、． (1)若的面积为3，求：的面积； (2)若，求反比例函数解析式． 【考点5】相似三角形的判定与性质综合（第34-42题） · 有平行先找两角相等，有直角想斜射影与一线三等角模型 · 求线段长常设未知线段，用对应边成比例列方程 · 旋转、折叠问题先找不变的相似关系与相等线段 · 面积比勿忘等于相似比的平方 34．（23-24九年级上·湖南邵阳·阶段检测）如图，中，，在上，且，连接，作分别交于，于，为的中点，连接交于．现有以下结论：①；②；③；④．其中正确结论有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 35．（2024·浙江宁波·一模）如图，在中，，点为边上的中点，以为顶点作一个的角交、边于、两点，连结，则知道下列哪个条件就可以计算的周长（    ） A．的周长 B．的周长 C．的周长 D．的周长 36．（22-23九年级上·四川眉山·期末）如图，点在线段上，在的同侧作等腰和等腰，其中，与、分别交于点、．对于下列结论： ①；②；③；④．    其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．①②③ D．①③④ 37．（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，中，，，垂足为D，E，连接．若，，，则的长度是（     ） A． B． C． D． 38．（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图所示，已知四边形是矩形，延长到点E，使，连接．点F为的中点，分别连接，，交于点G．观察下列结论：①；②；③；④其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（26-27九年级上·四川·期中）如图，矩形中，，．点在边上，点在边上，点、在对角线上．若四边形是菱形，则的长______． 40．（25-26九年级上·河北唐山·期中）“甑炊地碓新舂米，衣拆天吴旧绣图．”图1是捣谷物用的“碓”，图2是其示意图，其中为转动支点，于点，与水平线的夹角，已知，，．当点绕点旋转下落捣在上时，点上升了________． 41．（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，点是的中点，连接，分别交、于点、．给出下面四个结论： ①； ②； ③和是以点为位似中心的位似图形； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是________．    42．（26-27九年级上·陕西西安·开学考试）【主题】如何裁剪木板使面积最大． 素材1：利用配方法求解一元二次方程的解是常用的解题方法，这种方法还可以用来求解代数式的最值． 素材2：求解代数式的最大值． 解：原式． ∵， ∴， ∴ ∴的最大值为4． 【问题解决】 如图，有一块直角三角形木板的面积为，一条直角边长为，现王师傅要沿着边截一个矩形台面，D，G分别在边，上，，分别与，交于点M，H，求该矩形台面面积的最大值． 【考点6】位似图形与相似三角形的实际应用（第43-45题） · 坐标系中的位似先定位似中心，对应点坐标按 ±k 缩放 · 测量高度问题构造相似三角形，把物体高与影长对应成比例 43．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，高为的院墙正东方有一棵樟树，且与院墙相距（院墙厚度不计），上午的阳光和煦灿烂，樟树的影子爬过院墙，伸出院墙外的影子长1m，此时人的影子长恰好是人身高的两倍．求这棵樟树的高． 由题意，得． ， ． ， ． 设， 则，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 故这棵樟树的高为． 44．（23-24九年级上·福建泉州·期中）如图1，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，．    (1)请在图1中画出以点O为位似中心的位似图形（原点右侧），使与的位似比为； (2)若（1）中的直线与双曲线交于M、N两点（点M在点N的左侧），请在备用图中画出草图，解答下列问题： ①请求出点M与点N的坐标： ②点P在双曲线即第三象限的图像上，求面积S的最小值． 45．（25-26九年级上·江苏无锡·期中）某校初三学生开展关于“测量路灯高度”的综合实践活动，对校园门口的不同路灯进行测量． 方案一：小树投影法 如图1，同学们在路灯旁竖立小树，小树在路灯的照射下形成投影，测得树高为3米，树影为4米，树与路灯的水平距离为5米． 方案二：标杆共线法 如图2，为路灯主杆，为路灯的悬臂，是长为米的标杆，路灯悬臂与地面平行．同学们发现当标杆竖立于地面时，主杆顶端、标杆顶端和地面上一点共线，此时路灯、标杆顶端和地面上另一点也共线（路灯主杆底端、标杆底端和地面上点、点在同一水平线上）．这时同学们测得点距离点的距离为1.5米，路灯的正下方点距离路灯主杆底端的距离为3米． 请根据以上数据，完成下列计算： (1)利用方案一求路灯的高度； (2)利用方案二求路灯主杆的高度． 💯 课后巩固 复习建议 · 每天先默写一遍二次函数 a、b、c、Δ 的符号判断，再做两道图象判断题 · 反比例函数牢记 k 的几何意义，面积题直接写出 |k| · 相似题先圈出对应边与对应角，面积比记得平方 · 压轴综合题先建立坐标系、设出点的坐标，再联立函数与相似 · 每周把错题按考点归档，重做一遍同类模型 【作业1】．（26-27九年级上·重庆巴南·阶段检测）已知整式A：，其中和n为自然数，，，…，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式A中有且只有2个单项式； ②当时，满足条件的所有整式A的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定是非负数的整式A共5个．其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【作业2】．（26-27九年级上·重庆江北·阶段检测）如图，在正方形中，点、分别是、上一点，且，连接、相交于点，若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26九年级上·安徽淮南·期末）已知抛物线的顶点在轴上，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【作业4】．（2026·山西晋中·二模）如图，在平面直角坐标系中，，，，以点为中心，将放大为，满足．连接，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【作业5】．（25-26九年级上·湖南邵阳·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的平行线，交轴于点，交反比例函数的图象于点．过点作轴的平行线，交轴于点，交的图象于点．若，则的值为（    ） A．15 B．12 C．9 D．6 【作业6】．（26-27九年级上·陕西安康·阶段检测）如图，已知顶点A的坐标为，点B在y轴上，且轴，过B，C，D三点的抛物线的顶点坐标为，则的面积为___________． 【作业7】．（2025九年级·全国·专题练习）如图，与是以坐标原点为位似中心的位似图形．若点的坐标分别为，，则的面积为_______． 【作业8】．（24-25九年级上·河南郑州·期中）如图，在菱形中，，点M为的中点，过点M作，垂足为点N，点P为上一个动点，过点P作交于点Q，点O为的中点，连接．当点P恰好为的三等分点时，的面积为_______． 【作业9】．（24-25九年级上·山东德州·期末）如图，点为反比例函数 图象上的点，其横坐标依次为．过点作轴的垂线，垂足分别为点；过点作于点，过点作于点，，过点作于点．记的面积为，的面积为，，的面积为．_________（用含的代数式表示）． 【作业10】．（25-26九年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对某一个函数给出如下定义：对于函数，若当，函数值满足，且满足，则称此函数为“型闭函数”，下列结论中，正确的是____________（填序号）． ①一次函数是“型闭函数”； ②若一次函数是“型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“型闭函数”，且，则； ④二次函数是“型闭函数”．则的取值范围是． 【作业11】．（25-26九年级上·江苏南京·期中）已知a，k为常数，若关于的不等式的解集是，则不等式的解集为__________． 【作业12】．（24-25九年级下·广东广州·阶段检测）已知抛物线与x轴交于点A，B，顶点为P． (1)求顶点P的坐标； (2)若的面积为8， ①当时，抛物线G与直线能有两个公共点，求m的取值范围； ②点M为y轴上一点，当最大时，求此时：的值． 【作业13】．（24-25九年级上·辽宁辽阳·阶段检测）某商店销售一种成本为40元的水产品，若按50元销售，一个月可售出，售价每涨1元，月销售量就减少． (1)写出月销售利润y（元）与售价x（元）之间的函数表达式； (2)当售价定为多少元时，该商店月销售利润为8000元？ (3)当售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润． 【作业14】．（2022九年级·重庆北碚·专题练习）已知一次函数与x 轴交于点A， 与反比例函数在第一、三象限分别交于C、B 两点，其中，点C 的横坐标为2． (1)求一次函数和反比例函数的解析式： (2)将直线向左平移个单位长度得直线，与在第一象限交于点E、在第三象限交于点F， 求的面积： (3)当时，请直接写出符合条件的x 的取值范围． 【作业15】．（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）如图1，中，于点在边上，交于，过点作于点． (1)求证：； (2)如图2，当时，求的长； (3)连接，若，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $