第21章· 二次函数与反比例函数·期中复习·培优讲义 ·2026--2027学年沪科版九年级数学上册

第21章·二次函数与反比例函数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，能根据图象判断a、b、c及判别式的符号 · 会用配方法将二次函数化为顶点式，求对称轴、顶点坐标与最值 · 理解二次函数与一元二次方程的关系，能由抛物线与x轴交点情况判断方程根的情况 · 掌握反比例函数y=的图象与性质，理解k的几何意义，能求反比例函数解析式 · 能解决二次函数的实际应用（最值问题）、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数交点问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念与图象 一般地，形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项 二次函数y=a(x-h)²+k的图象是抛物线，顶点为(h,k)，对称轴为直线x=h 当a>0时抛物线开口向上，当x=h时y有最小值k；当a<0时开口向下，当x=h时y有最大值k 抛物线平移规律：左加右减、上加下减（针对x和y整体） 概念辨析例题：若函数y=(m-2)xm^{2}-2+3x-1是关于x的二次函数，求m的值。 答案：m=-2 解析：由二次函数定义，未知数x的最高次数为2且二次项系数不为0：m2-2=2且m-2≠0，解得m=±2，又m≠2，故m=-2。 ☆ 2.二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 对称轴为直线x=-，顶点坐标为(-, ) a决定开口方向与大小：a>0向上，a<0向下；|a|越大开口越窄 a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧（左同右异） c为抛物线与y轴交点的纵坐标；判别式Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴交点个数 概念辨析例题：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，且与y轴交于正半轴，判断a、b、c的符号。 答案：a<0，b<0，c>0 解析：开口向下→a<0；对称轴在y轴左侧→-<0，a<0故b<0；与y轴正半轴相交→c>0。 ☆ 3.二次函数与一元二次方程 抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根 Δ>0时抛物线与x轴有两个交点；Δ=0时有一个交点（顶点在x轴上）；Δ<0时无交点 利用抛物线的对称性可由一个交点横坐标求出另一个交点横坐标 不等式ax²+bx+c>0（或<0）的解集就是抛物线在x轴上方（或下方）对应的x取值范围 概念辨析例题：已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点(1,0)和点(3,0)，求b、c的值。 答案：b=-4，c=3 解析：由交点式y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3，对比得b=-4，c=3；也可由对称轴x=2=-得b=-4，再代入(1,0)得c=3。 ☆ 4.反比例函数的图象、性质与综合应用 形如y=（k≠0）的函数叫反比例函数，自变量x≠0 k>0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大 k的几何意义：过图象上任一点作两坐标轴垂线，与坐标轴围成的矩形面积为|k| 一次函数与反比例函数图象交点问题：联立解析式求方程组的解，结合图象判断不等式解集 概念辨析例题：已知反比例函数y=的图象经过点(2,-3)，求k的值并判断图象所在象限。 答案：k=-6，图象在第二、四象限 解析：把(2,-3)代入y=得-3=，解得k=-6<0，故图象位于第二、四象限。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数定义 y=ax²+bx+c（a≠0） 二次项系数a不能为0 顶点式 y=a(x-h)²+k，顶点(h,k) 配方法：y=a(x+)2+ 对称轴 直线x=- a、b同号左、异号右 判别式Δ Δ=b2-4ac Δ>0两个交点、Δ=0一个、Δ<0无 反比例函数 y=（k≠0） x≠0；k的几何意义矩形面积=|k| 实际最值问题 设自变量x→列二次函数→配方求顶点 注意x的取值范围要符合实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与定义（第1-4题） · · 由二次函数定义列方程：最高次为2且二次项系数≠0，两者缺一不可 · · 含参数时务必检验二次项系数是否为0，防止漏解或增解 · · 结合开口方向（a>0向上，a<0向下）进一步缩小参数范围 1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）若函数是二次函数，则m的值为_______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴且，解得：． 2．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 【答案】或 【知识点】根据二次函数的定义求参数、因式分解法解一元二次方程、二次函数的识别、求一元一次不等式的解集 【分析】根据二次函数的定义，的指数，二次项系数，解方程后再排除系数为的解即可． 【详解】解：∵函数是关于的二次函数， ∴，，即， 解得：或， ∵和都满足， ∴或． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：是二次函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ________ ． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的定义以及性质，解题的关键是熟练运用二次函数的定义以及性质．根据二次函数的定义以及性质，求解即可； 【详解】∵ 是二次函数， ∴ ， 解得或， 当时，随的增大而减小， 抛物线开口向下，即， ， ， 故答案为：． 4．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数、y=ax²的图象和性质 【分析】根据二次函数的定义得到的次数为，由开口向上得到二次项系数大于，联立方程和不等式解答即可求解． 【详解】解：∵是二次函数，且开口向上， ∴， 解方程，得， ∴或， 解不等式，得， ∴不符合题意，舍去， ∴． 【考点2】二次函数的图象与性质（第5-15题） · · 一看开口（a的符号）、二看对称轴（x=-）、三看与y轴交点（c的符号） · · 比较函数值大小：离对称轴越远，函数值越大（a<0时越小） · · 判断a、b、c、Δ符号结合图象：开口、对称轴位置、与y轴交点、与x轴交点个数 · · 含字母系数的结论题用特殊值法或数形结合逐一排除 5．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【知识点】求抛物线与y轴的交点坐标、y=ax²+bx+c的图象与性质 【详解】解：二次函数的对称轴为直线， ， 当时，随的增大而增大， 当时，， 当时，， 结合选项可知的值可以是． 6．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】将点A，B，C代入抛物线解析式，求出，，，即可比较． 【详解】解：∵点，，都在抛物线上， ∴，，， ∴． 7．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】根据解析式可得函数图象的开口方向向下和对称轴，则可得到离对称轴越远，函数值越小，求出三个点到对称轴的距离，比较即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为，， ∴该二次函数的图象开口向下，对称轴为直线， ∴离对称轴越远，函数值越小， ∵， ∴． 8．（2025·四川成都·二模）已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象与系数关系即可得，掌握二次函数的性质，数学结合思想是解题的关键． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 故A结论正确； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 故B结论正确； ∵， ∴， 故C结论错误，符合题意； 当时，，当时，， ∴ ∴ ∴， ∴ 故D结论正确； 故选：． 9．（2026·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 【答案】A 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线开口方向，结合与x轴交点性质、顶点坐标特征、联立方程判断交点个数，逐一分析选项即可． 【详解】解：∵抛物线 的二次项系数 ∴抛物线开口向下，且与轴交于，，， 对选项A：点在抛物线上，当时，，A正确； 对选项B：当时，可得或，B错误； 对选项C：将抛物线配方得 ，顶点纵坐标为， ∵，当时顶点纵坐标最小，该抛物线的顶点没有到达最高处，C错误； 对选项D：联立与， 消去整理得 ， 该方程判别式 ，总有实数根， ∴抛物线与直线总有交点，D错误． 10．（26-27九年级上·湖北黄石·阶段检测）关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最大值 【答案】C 【知识点】y=ax²+k的图象和性质 【分析】根据的图象与性质，逐项分析判断即可求解． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴，. ∵， ∴图象开口向下，A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线，B正确，不符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大，当时，随的增大而减小， ∴时，不随的增大而一直增大，C错误，符合题意； ∵图象开口向下，对称轴为直线， ∴当时，代入解析式得，即有最大值，D正确，不符合题意． 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】y=ax²的图象和性质、从函数的图象获取信息 【分析】根据二次函数的图象与性质，即可解答． 【详解】解：由图知顶点坐标为，开口向下， ∴当时，可取最大值为， 当时，， 当时，， ∴当时，结合图象知函数y的取值范围是． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，二次函数的最小值为0，则___________． 【答案】 【知识点】y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的最值；二次函数图象上点的坐标特征． 分两组情况讨论，当 时，则当 时，有最小值求得 当 时，则 时，y有最小解得 即可解题． 【详解】解：， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线： 若 ，则 当时，y有最小值，解得： 若 ，在时， y随x的增大而减小， 时，y有最小值， 解得：（不合题意，舍去）， 综上： 故答案为：． 13．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，在平面直角坐标系中，点所在的象限是第___________象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限、二次函数图象与各项系数符号 【分析】根据抛物线的开口方向判断的符号，根据对称轴的位置判断的符号，根据抛物线与轴的交点位置判断的符号，进而确定点所在的象限． 【详解】解：抛物线开口向下， ， 抛物线的对称轴在轴左侧， ， ， 抛物线与轴交于正半轴， ， ，， 点在第二象限． 14．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）抛物线（a、b、c是常数且a≠0）经过、、三点，且，下列四个结论：①；②当时，y随x增大而减少；③一元二次方程有一个实数根；④不等式的解集是．其中正确的结论是________（填写序号）． 【答案】①②④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、图象法解一元二次不等式、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数与一元二次方程的联系、二次函数与一次函数的综合，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线经过的点坐标可得，再根据对称轴可得，由此可判断①；根据抛物线的对称轴，开口方向，由此可判断②；先根据抛物线经过点经过、，由此可判断③；先求出直线经过点和，再画出函数图象，结合函数图象可得不等式的解集，从而可判断④． 【详解】解：∵抛物线（a、b、c是常数且）经过、、三点，且， ∴，，抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴． 故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，， ∴当时，y随x增大而减少，故结论②正确； ∵抛物线（a、b、c是常数且）经过、， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故结论③不正确； ∵， ∴直线经过点， 令，得， ∴直线经过点， ∴抛物线与直线的交点分别为和， 由图可知，不等式的解集是， 故结论④正确． 综上所述，正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 15．（25-26九年级上·安徽六安·期中）二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】两个二次函数图象综合判断、y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，结合题意，可知两个二次函数图象的开口向下，那么，当时，，从而得到，最后解得答案． 【详解】解：由题意可知，两个二次函数图象的开口向下，那么， 解得，； 根据图象，可知当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， 综上，； 故答案为：． 【考点3】抛物线与坐标轴的交点及一元二次方程（第16-19题） · · 与x轴交点横坐标即方程ax²+bx+c=0的根，由Δ判断交点个数 · · 利用抛物线对称性：两交点关于对称轴对称，已知一个可求另一个 · · 不等式解集看图象：x轴上方对应y>0，下方对应y<0 16．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）二次函数（为常数）与轴的交点情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 【答案】A 【知识点】根据判别式判断一元二次方程根的情况、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点，由题意得：，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 故不论m取何值时，该二次函数图象总与x轴有两个交点， 故选：A． 17．（25-26九年级上·云南昆明·期末）若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为_____． 【答案】2 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查二次函数与一元二次方程的根，把抛物线与x轴交点的横坐标，转化为方程的根是解题的关键． m是方程的根，由根的定义可得，进而求的值． 【详解】解：因为m是抛物线与x轴交点的横坐标， 所以m是方程的根，即， 所以， 则． 故答案为：2． 18．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为________ 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程间的关系“二次函数图象与轴的交点横坐标即为对应一元二次方程的解”，结合列出关于的不等式是解题的关键．结合二次函数与轴的交点横坐标与一元二次方程的联系，用根的判别式列不等式即可求出的取值范围． 【详解】解：抛物线与轴有两个不同的交点， 关于的方程有两个不同的实数根， ， ， 故答案为：． 19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点横坐标是___________． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、因式分解的应用、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】先根据图像得到二次函数的对称轴为，并由此得到，再由函数与轴正半轴的交点横坐标为得，综合两个式子可得，则函数表达式可推得，将该式子进行因式分解后结合图像即可求解． 【详解】解：依图得：该二次函数的对称轴为，与轴正半轴的交点横坐标为， 即，， 由可得， 将代入可得， 则函数表达式， 该函数图像与轴负半轴交点的横坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是函数的图像与性质、用待定系数法求二次函数解析式、求抛物线与的交点坐标、因式分解，解题关键是根据图像找到、、的关系． 【考点4】二次函数图象的平移（第20-23题） · · 平移规律：左加右减（针对x）、上加下减（针对y） · · 坐标系平移与图象平移相反：坐标系右移=图象左移 · · 平移不改变形状和开口方向，只改变顶点坐标 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）将二次函数的图象向下平移个单位长度，使其经过点，则m的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】y=ax²+k的图象和性质、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】根据二次函数图象的平移规律得到平移后的函数解析式为，再将点代入求解即可． 【详解】解：∵二次函数的图象向下平移个单位长度， ∴平移后的函数解析式为． ∵平移后的函数图象过点， ∴， ∴． 21．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数（为常数）． （1）当时，该函数图象的顶点坐标为________； （2）若将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，则的值为________． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、抛物线与x轴的交点问题、二次函数图象的平移、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，平移的性质： （1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据平移的性质可得到新函数的解析式为，令，解出方程可得，再根据新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，即可求解． 【详解】解：（1）当时，， ∴该函数图象的顶点坐标为； 故答案为：； （2）∵， ∴将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴新函数与x轴的交点坐标为， ∵新函数的图象与轴两交点之间的距离为2， ∴， 解得：． 故答案为：． 22．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知抛物线与轴相交于点，其对称轴与抛物线相交于点，与轴相交于点．平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为．若新抛物线经过原点，且，新抛物线对应的函数表达式为_________． 【答案】或 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的平移变换，熟练掌握平移的规律是解题的关键． 先求出点A、B的坐标，然后根据平移的规律即可求得新抛物线对应的函数表达式． 【详解】解：当时，， ， ∵， ∴顶点， 抛物线向上平移个单位经过原点，此时四边形是平行四边形， ， 此时新抛物线对应的函数表达式为， 抛物线，关于轴对称的抛物线为：，图象经过原点，且 ， 新抛物线对应的函数表达式为或． 23．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线，其对称轴交轴于点，将点向右平移1个单位得到点，点与点的横坐标相同，且点的纵坐标为，则点是抛物线的“派生点”，直线称为该抛物线的“派生直线”． (1)若抛物线的解析式为（为常数），求其派生直线的表达式； (2)已知抛物线的派生点为点，抛物线与其派生直线有两个交点，其中一个交点的横坐标为，求抛物线的解析式． 【答案】(1)该函数的派生直线表达式为 (2)抛物线解析式为 【知识点】坐标系中的平移、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】（1）用待定系数法求一次函数解析式； （2）先根据点在直线上的性质求出各点坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式． 【详解】（1）解：对于，可得对称轴为， ∴对称轴与轴交点坐标为， 将点向右平移个单位得到点，则的坐标为， 根据定义，横坐标为，纵坐标为，即， 设派生直线解析式为， 代入得． ∴该函数的派生直线表达式为． （2）解：由题意，点是派生直线与轴的交点，纵坐标为， 将代入得，解得， ∴， ∴抛物线对称轴为， 根据定义，点的横坐标为， ∴点的横坐标为， 将代入得， ∴， ∴，解得， ∵抛物线与其派生直线有两个交点，其中一个交点的横坐标为，设该点为， ∴将代入得， ∴， 设抛物线解析式为， 将点代入得， 解得， ∴抛物线解析式为． 【考点5】二次函数的实际应用（第24-29题） · · 步骤：设自变量→列函数关系式→配方求顶点→结合x的实际范围求最值 · · 几何面积问题：用一个变量表示底和高，面积即为二次函数 · · 最值不一定在顶点取得，必须检验顶点横坐标是否在实际取值范围内 24．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的应用，根据题意列出二次函数是解题的关键． 设P、Q同时出发后经过，的面积为，则，，，进而得到S的表达式；由于S的表达式为二次函数的形式，将其化为顶点式，再结合t的取值范围就能得出面积的最大值． 【详解】解：设P、Q同时出发后经过，的面积为S cm2． 则，，， 则． ∵，，点P的运动速度为，点Q的运动速度为， ∴， ∴， ∴时，S有最大值，最大值为9，即的最大面积为 故选：C． 25．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 _____s时，达到最大高度． 【答案】2 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答． 把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ∵， 当时，h的最大值为20， 即时，h的值最大， 故答案为：2． 26．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 【答案】(1)8；32 (2)36 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数)、等腰三角形的性质和判定、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题主要考查勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质，熟练掌握勾股定理、等腰直角三角形的性质与判定、正方形的性质及二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意先得出当正方形的边在等腰的斜边上时的的长，然后分别求当和时，y的值即可； （2）由（1）可分①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，②当时，然后列出函数关系式，进而根据二次函数的性质可进行求解． 【详解】（1）解：当正方形的边在等腰的斜边上时，如图所示： ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵在等腰中，，， ∴都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，即，正方形的边在等腰的斜边上； 当时，则有， ∴，， 此时正方形在等腰内部， ∴； 当时，则有，如图所示： ∴， ∴， 同理可得：， 此时； 故答案为：8；32； （2）解：由（1）可分：①当时，正方形和等腰重合部分的面积为正方形的面积，即， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最大值，最大值为32； ②当时，如图， 此时正方形和等腰重合部分的面积为， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当时，y有最大值，最大值为36； 综上所述：点E在整个运动过程中y的最大值为36． 27．（24-25九年级上·广东东莞·期中）友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个．调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与单价x（元/个）有如下关系：（，x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求出w与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 【答案】(1) (2)销售单价定为45元/个时，最大利润是225元 (3)每天要获得200元的销售利润，销售单价定为40元/个 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数)、营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程的应用等知识点， （1）由每天的销售利润＝每天的销售量×每件产品的利润列式，即可得解； （2）根据配方法和二次函数的性质，即可得答案； （3）根据自变量与函数值的对应关系，列方程，解方程，即可得解； 正确得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键． 【详解】（1） ， ∴w与x之间的函数解析式； （2）根据题意得：， ∵， ∴当时，w有最大值，最大值是225， 答：这种双肩包的销售单价定为45元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是225元； （3）当时，， 解得，， ∵， ∴（不符合题意，舍）， 答：该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为40元． 28．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）廊桥是我国古老的文化遗产，某座抛物线形廊桥主桥洞的示意图如下图所示，已知抛物线对应的函数解析式为，为了保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为的点E、F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离的长． 【答案】这两盏灯的水平距离的长是． 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，令，即，求解得到点坐标，即可得出答案，掌握二次函数的应用是解题的关键． 【详解】解：令，即， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， 答：这两盏灯的水平距离的长是． 29．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米， (1)分别用含x的代数式表示与S； (2)若，求x的值； (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)9 (3)当时，S有最大值，最大值为． 【知识点】列代数式、图形问题(实际问题与二次函数)、一元一次不等式组的其他应用、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了列代数式，一元二次方程的实际应用，二次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列出对应的代数式，方程和函数关系式是解题的关键． （1）根据矩形的性质列式求出，再根据矩形面积公式求出S即可； （2）根据（2）所求得到方程，进而解方程并检验即可得到答案； （3）先求出，再求出x的取值范围，最后根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，， 则矩形菜园的面积为； （2）解：当时，由得， 解得，， ∵墙长为12米， ∴，则， ∴， 答：x值为9； （3）解：由题意，， ∴， ∵墙长为12米，篱笆长为33米， ∴， ∴， ∵， ∴当时，S有最大值，最大值为． 【考点6】二次函数综合（新定义/面积/周长）（第30-36题） · · 面积问题：用坐标差表示底和高，建立关于动点横坐标的二次函数 · · 周长最短问题：利用轴对称转化为两点之间线段最短 · · 新定义题：先读懂定义，再按定义列方程或函数关系 · · 平行四边形存在性：按对角线分类讨论，用对角线中点重合列方程 30．（22-23九年级下·重庆大渡口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】(1) (2)的最大值为， (3)或或；过程见解析 【知识点】特殊四边形(二次函数综合)、二次函数图象的平移、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）利用待定系数法求出b，c即可； （2）证明，可得，求出直线的解析式，设，则，，表示出，然后根据二次函数的性质求出最值即可； （3）根据平移的性质可得平移后抛物线解析式及点E、F坐标，设，，分情况讨论：①当为对角线时，②当为对角线时，③当为对角线时，分别根据对角线交点的横坐标相同列式计算即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与y轴交于点，抛物线的对称轴为， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线AB的解析式为， 设，则，， ∴， ∴当时，取得最大值，为，此时； （3）解：∵， ∴原抛物线的顶点坐标为， ∵平移后抛物线顶点的横坐标为， ∴抛物线沿水平方向向左平移5个单位， ∴平移后的抛物线的顶点坐标为，， ∴平移后的抛物线的解析式为， 当时，，即， 抛物线的对称轴为， ∴设，， 分情况讨论： ①当为对角线时， 则， 解得：，此时， ∴； ②当为对角线时， 则，即， 此时， ∴； ③当为对角线时， 则，即， 此时， ∴， 综上所述，点的坐标为：或或． 31．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的表达式； (3)如图②，点是第二象限内抛物线上一点，且的面积为时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【知识点】面积问题(二次函数综合)、求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）因为抛物线与轴交于点，与轴交于点，所以把和代入抛物线，解出值和值即可求抛物线的解析式； （2）设直线的表达式为，把和代入，列出方程组，解出值和值即可求直线的表达式； （3）过点作轴的平行线交于点，设点坐标为，则点的坐标为，，由的面积为建立关于的方程，解方程即可求解点的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于点，与轴交于点． ∴把和代入抛物线得 ，解得 ∴抛物线的解析式为： （2）解：设直线的表达式为， 把和代入，得， 解得， ∴直线的表达式为： （3）解：如图 ∵点是第二象限内抛物线上一点， ∴设点坐标为，且， 过点作轴的平行线交于点，则点的坐标为， ∴， 则有：． ∵的面积为， ∴， 整理得， 即， 解得，， 当时，， 当时，， ∴点的坐标为或． 32．（2026·河南开封·一模）新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】绝对值方程、其他问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（1）将代入得到关于m的方程求解即可；根据“相关二次函数”的定义写出的解析式即可； （2）先分别用t表示点P、点Q的坐标，再根据两点间距离为5列绝对值方程求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与轴交于点， ∴，即，解得：； ∴二次函数， ∴二次函数的“相关二次函数”为． （2）解：由（1）可得，， ∴当时，，， ∵点与点之间的距离为5， ∴，即，解得：或． 33．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 【答案】（1）②③，（2），没有其他倍动点 【知识点】根据二次函数的定义求参数、求一次函数解析式、求自变量的值或函数值 【分析】本题考查了倍动点函数的定义． （1）根据倍动点的定义，检查每个一次函数是否存在自变量t使得函数值等于，从而判断结论正误； （2）将给定的倍动点代入二次函数求出c，再解方程判断是否有其他倍动点即可． 【详解】解：（1）对于①：设存在t使得，解得，此时，， ∴倍动点为，但结论中给出的倍动点为，故①错误； 对于②：，对于任意t，当时，， ∴有无数个倍动点，故②正确； 对于③：当时，，， ∴是倍动点，故③正确， 故答案为：②③． （2）将代入，得，解得， 将代入，得， 令，则， 即，解得， ∴该函数没有其他倍动点． 34．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、线段周长问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查的是待定系数法求二次函数的解析式和最短路径问题，掌握待定系数法求解析式的一般步骤和轴对称的性质是解题的关键． （1）根据抛物线经过点，对称轴是直线列出方程组，解方程组求出、的值即可； （2）利用配方法，把抛物线解析式转化为顶点式即可； （3）因为点与点关于对称，根据轴对称的性质，连接与直线交于点，则点即为所求，求出直线与直线的交点即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 解得，， 抛物线的解析式为：； （2）解：， 所以顶点坐标为； （3）解：存在， 点与点关于直线对称， 连接与直线交于点，则点即为所求， 根据抛物线的对称性可知，点的坐标为， 与轴的交点为， 设直线的解析式为：， ， 解得，，， 直线的解析式为：， 则直线与直线的交点坐标为： 点的坐标为． 35．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接．求抛物线的函数表达式； 【答案】 【知识点】待定系数法求二次函数解析式 【分析】此题考查待定系数法求二次函数的解析式，根据题意得到点A，B的坐标，代入解析式求解即可 【详解】解： ，， ，， 将，代入，得： ， 解得：， 抛物线的函数表达式为； 36．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知正方形的边长为，面积为． (1)求与的函数关系式及的取值范围，并在网格中画出函数图象； (2)根据图象，直接写出当时正方形的边长； (3)根据图象，直接写出x为何值时，． 【答案】(1)，， 如图， (2) (3) 【知识点】列二次函数关系式、根据交点确定不等式的解集、已知二次函数的函数值求自变量的值、画y=ax²+bx+c的图象 【分析】本题考查了二次函数的应用，画二次函数的图象，求函数值以及自变量的取值范围； （1）根据正方形的面积等于边长的平方，列出函数关系式，写出自变量的取值范围，并画出函数图象，即可求解； （2）根据图象，令，解方程，结合自变量的取值范围取舍解，即可求解； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，，， 1 2 3 …… 1 4 9 …… （2）解：根据函数图象可得，当时，； （3）根据函数图象可得，当时，． 【考点7】反比例函数的图象、性质与实际应用（第37-41题） · · k>0在一、三象限，k<0在二、四象限；在每个象限内讨论增减性 · · 实际问题（压强、恒温、行程）中先判断是正比例还是反比例关系 · · 比较函数值大小：先看各点所在象限，再按增减性判断 37．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力与人的质量的关系图象如图1所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系图象如图2所示，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（   ） A．由图1，可知人对木板的压力与人的质量成正比 B．四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差 C．当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D．图2中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 【答案】B 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】本题考查了反比例函数的应用，由于压力一定时，压强和受力面积成反比，压力与质量成正比例，根据解析式逐一判断即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由图可得：人对木板的压力与人的质量的比值一定，所以人对木板的压力与人的质量成正比，故A正确，不符合题意； 由题意得：小明对木板的压强，小亮对木板的压强，则四边形的面积，也说明小明对木板的压力为，小亮对木板的压力，那么小明、小亮两人对木板的压力相差，故B错误，符合题意； 设 ∵经过点, ， 解得：， ， 当时，， 当时，， ∵木板面积为， ∴小明对木板的压强， 小亮对木板的压强， ， ∴当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大， ∴C正确，不符合题意； 小明和小亮的质量分别为和，那么小明对木板的压力小于小亮对木板的压力，由物理知识可得：，结合图2可得：在受力面积相同的情况下，小明对木板的压强小于小亮对木板的压强，所以图2中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系，D正确，不符合题意； 故选: B． 38．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，且点，均在反比例函数（k为常数，）的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了比较反比例函数值的大小．先由点求出反比例函数的解析式，再分别计算点和点的纵坐标，比较大小． 【详解】解：反比例函数的图象经过点， 代入得： ， ， 解析式为 ． 点，均在反比例函数的图象上 ∴， ∴ 故选：C． 39．（26-27九年级上·全国·单元复习）某热带鱼缸的恒温系统启动时，加热棒每分钟使水温上升，当水温升至时，系统停止加热，水温开始自然下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温下降至时，恒温系统再次自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．水温从加热到时，需要 B．水温不低于的时间为 C．水温从降至，所需时间为 D．水温下降过程中，y与x之间的函数解析式是 【答案】A 【知识点】实际问题与反比例函数 【分析】根据加热棒每分钟使水温上升，可判断A选项；求出水温下降过程中，y与x之间的函数解析式，可判断B，C，D选项． 【详解】解：∵加热棒每分钟使水温上升， ∴水温从加热到时，需要，故A选项正确； ∴点在反比例函数图象上， 设水温下降过程中，y与x之间的函数解析式是， 把代入得：， ∴水温下降过程中，y与x之间的函数解析式是，故D选项错误； 当时，， ∴水温从降至，所需时间为，故C选项错误； ∴水温不低于的时间为，故B选项错误； 40．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 41．（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【答案】一、三 【知识点】根据点在数轴的位置判断式子的正负、判断反比例函数图象所在象限 【分析】根据数轴上点的位置关系，判断出和的符号，进而确定的符号． 【详解】解：根据数轴上点的位置可知，， ， ， ， 靠近，意味着点到点的距离小于点到点的距离， 点到点的距离为， 点到点的距离为， ， ， 故函数的图象在第一、三象限． 【考点8】反比例函数的解析式与k的几何意义（第42-45题） · · 待定系数法：图象过一点(x₀,y₀)则k=x₀y₀ · · k的几何意义：过图象上点作坐标轴垂线，矩形面积=|k| · · 由面积求k时注意图象所在象限决定k的正负 42．（23-24九年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，是面积为4的等腰三角形，底边在轴上，若反比例函数图象过点，则该反比例函数的表达式为_____________．    【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握等腰三角形的性质是解答本题的关键． 作轴，根据条件可得，所以，依据图象在第四象限即可得到反比例函数解析式． 【详解】解：作轴，垂直为点，   是等腰三角形，底边在轴上，， ， ， 反比例函数图象在第四象限， ， 故反比例函数解析式为：， 故答案为：． 43．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，反比例函数的图象与直线分别交于点A，B，过点A，B分别作x轴的平行线，交y轴于点C，D，连接，，已知四边形的面积为10，则该反比例函数的解析式为___________． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】由反比例函数的对称性可知，则，再根据反比例函数k的几何意义可求得k的值，可求得答案． 【详解】解：∵A、B是两函数图象的交点， ∴A、B关于原点对称， ∵过点A，B分别作x轴的平行线，分别交y轴于点C，D， ∴， ∴， 又∵四边形的面积为10， ∴， ∵， ∴， ∵反比例函数的图象在二、四象限， ∴， ∴该反比例函数的解析式为． 44．（23-24八年级下·重庆·阶段检测）如图，点在双曲线的图像上，轴，垂足为A，若，则该反比例函数的表达式为 ____． 【答案】/ 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，反比例函数图象上点的坐标的特征，待定系数法，根据反比例函数的几何意义解答即可，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 【详解】解：∵点在双曲线的图像上，轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴该反比例函数的解析式为， 故答案为：． 45．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，求的值． 【答案】 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】先求出点A的坐标，然后表示出、的长度，根据，求出点C的横坐标，代入直线解析式求出纵坐标，用待定系数法求出即可． 【详解】解：∵直线与y轴交于点A， ∴，即， ∵， ∴， ∴点C的横坐标为， ∵点C在直线上， 将，代入，得 ∴点， ∴， 【考点9】反比例函数与几何综合（第46-49题） · · 设图象上点坐标为(x,)，结合几何性质（中点、等边三角形、矩形）列方程 · · 利用勾股定理、三角形中位线、矩形对角线等性质建立x的方程 · · 注意点所在象限决定坐标符号，多解时按实际取舍 46．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则（     ） A．12 B．15 C．30 D．10 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】由题意易得，根据勾股定理可得，然后由中点坐标公式可得，进而问题可求解． 【详解】解：∵，点C为的中点，， ∴， ∵点B的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴根据中点坐标公式可得，即， ∵反比例函数的图象经过点C． ∴． 47．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】反比例函数与几何综合、含30度角的直角三角形、等边三角形的性质 【分析】过中点D作轴，过点C作轴于点F，由等边三角形性质得，代入反比例函数得．设，则，代入解析式解得，即可得解． 【详解】解：如图，过点D作轴于点E，过点C作轴于点F， ∵是等边三角形，且轴， ∴， ∴， ∴， ∴由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 设，同理可得， 点C在反比例函数的图象上， ， 解得或（舍去）， ∴． 【点睛】本题以等边三角形与反比例函数结合为载体，通过作垂线转化几何性质求点坐标，利用反比例函数解析式建立方程求解，凸显了数形结合与方程思想的应用． 48．（2025·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为_____． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理，连接交于点D，先根据矩形的性质得点D是、的中点，，设，则，再得，，然后根据勾股定理得，即，解方程即可得解． 【详解】解：如图，连接交于点D， ∵四边形为矩形， ∴点D是、的中点，， 设，则， ∴， ∴， ∴，，， 在中，， ∴， 解得：或（舍去）， ∴， 故答案为：． 49．（26-27九年级上·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、因式分解的应用 【分析】根据建立等式，通过因式分解逐步求解即可． 【详解】解：由题意，，， ， ， 移项得，， ， ， ， ，且， ， ， ， 又，， ， ． 【考点10】一次函数与反比例函数综合（第50-52题） · · 联立两个函数解析式求交点坐标 · · 不等式解集看图象：一次函数在反比例函数上方（或下方）对应的x范围 · · 面积问题：以交点横坐标差为底、纵坐标为高求三角形面积 50．（24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 【答案】 【知识点】根据交点确定不等式的解集 【分析】观察函数图象，二次函数的图象不在一次函数的图象上方时自变量的取值范围，即为不等式的解集． 【详解】解：∵抛物线与直线的两个交点坐标分别为，, ∴由图象可得，不等式的解集是． 51．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测） 如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于两点． (1)求a， k的值； (2)结合图象，直接写出不等式 的解集． 【答案】(1)， (2)或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查一次函数和反比例函数，牢记一次函数和反比例函数的图象和性质、采用待定系数法求函数表达式的步骤是解题的关键． （1）根据一次函数 图象经过点，，将点代入 ，即可求出的值；再将点代入一次函数解析式，即可求出的； （2）先根据不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分的自变量的取值范围和两个函数图象交点处的自变量的值． 【详解】（1）解：∵一次函数 的图象经过点，可得：， ∴， ∵一次函数 的图象经过点， ∴， ∴； （2）解：由（1）知， 观察图象可知，不等式的解集为一次函数图象在反比例函数图象下方的部分的自变量的取值范围和两个函数图象交点处的自变量的值， ∴该不等式的解集为：或． 52．（2023·浙江金华·一模） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足． 【任务一】 ①利用材料二判断最适合描述、分别与x的函数关系的是（    ） A．、  B．、 C．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与x的函数关系式． 【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到） 【答案】[任务一]①B；②，；[任务二]超速；[任务三]限速： 【知识点】其他问题(一次函数的实际应用)、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一次函数与二次函数的应用，解题的关键是求函数的解析式； [任务一]①根据材料二分析判定即可；②，将，代入可求，将，代入可求； [任务二] ，代入与作比即可； [任务三]如果想所有类型的车停车距离均小于，则制动距离应取相同速度下的最高值，故刹车系数取，列式得，计算即可． 【详解】解：[任务一]①根据材料二发现，随着速度的增大，有减少趋势，越来越大，且非线性变化，B选项合适； 故选：B． ②设，将，代入得：， 解得：， ∴， 设，将，代入得， 解得：， 故； [任务二]超速，理由： ， 当时， ∴超速； [任务三]要求所有类型汽车急刹车停车距离至多，取最大刹车系数为， ∴， 列式得， 解得， 故应限速． 💯 课后巩固 复习建议 · · 每日坚持5道二次函数图象性质题，熟练a、b、c、Δ符号判断 · · 配方法要过关：能在3分钟内把任意y=ax²+bx+c化为顶点式 · · 反比例函数k的几何意义要画图标点，不要死记硬背 · · 实际应用题必须写清自变量取值范围，否则最值答案无效 · · 综合题先联立解析式求交点，再数形结合判断不等式与面积 【作业1】（24-25九年级上·天津河北·阶段检测）二次函数中的x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n … 当时，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中结论一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系．由抛物线经过，可得抛物线对称轴及c的值，从而可得a，b的关系，由可得抛物线开口向上，从而可得a，b，c的符号，进而判定①②③．由可得时，，将整理为，进而判断方程的解． 【详解】解：∵抛物线经过，， ∴抛物线对称轴为直线，， ∴， ∵时，， ∴抛物线开口向上，即， ∴， ∴，①错误． ∵抛物线对称轴为直线， ∴时，y随x增大而增大，②错误． 当时，， ∴③错误． 整理为， 当，时，，成立， 时，，成立， ∴的解是． ∴④正确． 故正确的为：④． 故选：B． 【作业2】（25-26九年级上·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，保持抛物线不动，若将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，由，由将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则相当于把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可，解题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【详解】解：由， ∵将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度， ∴相当于把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为， 故选：． 【作业3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象的对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据对称轴求出的值，然后求与在的范围内有交点问题，把方程的解转化为两个函数图象的交点的问题求解即可． 【详解】∵对称轴为直线，解得， ∴二次函数解析式为， ∵，，对称轴为 ∴抛物线开口向下， ∴当时， 当时，；当时，， ∴ ∴在时，， 则的解相当于与直线的交点， ∴， ∴． 【作业4】（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【答案】B 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、根据二次函数的对称性求函数值、二次函数图象与各项系数符号、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标以及与轴交点的位置，结合二次函数的性质逐一判断选项． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下，则. 顶点的坐标为， 对称轴为直线，即， ，即，故A错误； 设抛物线的解析式为 . 令，得，即抛物线与轴的交点坐标为. 由图象可知，抛物线与轴的交点在轴上方且在的下方， ， 解得，故B正确； 根据图象得：当时，取得最大值为：， 对任意实数，， ∴，故C错误； ∵对称轴为， ∴，， 当时，两点到对称轴的距离相等，，故D错误． 【作业5】（2024·甘肃·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数与一元二次方程的关系；理解函数与方程的联系是解题的关键．由图知，抛物线与轴交于点，代入求出m的值，再解方程即可． 【详解】解：由图知，抛物线与轴交于点， 将，代入，则， ， ∴原方程为 解得：或； 故选：B． 【作业6】（24-25九年级上·天津红桥·期末）若抛物线（m为常数）与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是______． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查了二次函数图象与x轴交点问题，解题关键是明确与x轴有两个不同的交点，，列出不等式求解即可． 【详解】解：抛物线（m为常数）与x轴有两个不同的交点，则， 解得，， 故答案为：． 【作业7】（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值为______． 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的两个核心条件是解题关键． 根据二次函数的定义，未知数的最高次数为，且二次项系数不为0，列方程求解． 【详解】解：∵ 是二次函数， ∴ 且， 由得， ∴ ， 由得， ∴ ． 故答案为：． 【作业8】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在某校“科技点亮未来”活动中，火箭模型弹射这一充满巧妙构思的作品吸引了同学们的目光，火箭模型从地面弹出．模型在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当火箭模型达到最高点时，其最大高度为__________米． 【答案】 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数)、y=ax²+bx+c的最值 【分析】求火箭模型的最大高度，即求二次函数的最大值，可通过配方得到顶点式，结合二次函数性质求解． 【详解】解：对函数关系式配方，得， ∵， ∴二次函数开口向下，顶点为最高点，的最大值为． 即最大高度为米． 【作业9】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【知识点】根据二次函数的定义求参数、根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题 【分析】已知函数为二次函数，因此二次项系数不为0，函数图像与轴有两个交点，因此判别式大于0，列出不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵函数为二次函数， ∴，即， ∵二次函数图像与轴有两个交点 ∴判别式， 其中，，， 代入得： 展开计算得： ， 令，即 解得． 综上，实数的取值范围是且． 【作业10】（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）若抛物线与坐标轴只有一个交点，则的取值范围是________． 【答案】 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、抛物线与x轴的交点问题、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】抛物线与轴一定有一个交点，要使抛物线与坐标轴总共只有一个交点，则抛物线与轴没有交点或顶点在原点，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，抛物线的对称轴为直线， 在中，当，， ∴抛物线与轴一定有一个交点， 又∵抛物线与坐标轴只有一个交点， ∴要么抛物线与轴没有交点，要么抛物线的顶点在原点， 又∵对称轴不为y轴， ∴抛物线的顶点不在原点， ∴抛物线与轴没有交点即一元二次方程没有实数根， ∴根的判别式， 整理得， 解得． 【作业11】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是________． 【答案】 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先确定二次函数的开口方向与对称轴，再比较各点到对称轴的距离，即可判断函数值大小． 【详解】解： ，， 函数的图象开口向下，对称轴为直线， 点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为． ∵， ∴． 【作业12】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知反比例函数 ，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 反比例函数，当时，图象分布在一、三象限，在每个分支中，y随x的增大而减小；当时，图象分布在二、四象限，在每个分支中，y随x的增大而增大．据此列不等式求解即可． 【详解】解：根据题意，反比例函数，在时，y随x的增大而减小， 该反比例函数图象分布在第一象限，，解得：． 故答案为：． 【作业13】（26-27九年级上·天津·阶段检测）如图要围一个矩形菜园，其中一边靠墙，墙长，其余的三边，，用篱笆围成，篱笆总长为，请问围成的菜园最大面积是否能达到，如果能请说明理由；如果不能，请求出菜园的最大面积． 【答案】菜园的面积不能达到．菜园的最大面积为． 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【详解】解：设，则， 由题意得，， 解得， 依题意，得： ， 解得：（不合题意，舍去）， ∴菜园的面积不能达到． 菜园的面积， ∵， ∴开口向下，对称轴为直线， ∵， ∴当时，菜园的面积最大，最大值为． 【作业14】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为 ，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【答案】(1) (2) 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意可知，，然后把分别代入抛物线对应的函数解析式解方程组即可； （2）先求出拱顶到x轴的距离，即顶点坐标的纵坐标，然后求出点的横坐标，代入表达式，求出纵坐标即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，． 把分别代入抛物线对应的函数解析式， 得， 解得， ∴抛物线对应的函数解析式为． （2）解：， ∴顶点坐标为， ∴拱顶到x轴的距离为． 由题意得， 将代入中， 解得， ， ∴除湿板与仓顶间的距离为． 【作业15】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点H，坐标原点O是线段的中点． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为 (2)24 【知识点】求反比例函数解析式、求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出反比例函数关系式，即可得出点C的坐标，再根据待定系数法求出一次函数关系式即可； （2）先将两个函数关系式联立求出点B的坐标，再以为底边，以点B的横坐标减去点A的横坐标为高求出面积即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； ∵点，且点O是线段的中点， ∴点C的坐标为， 将A，C两点的坐标代入中， 得， 解得， ． 故所求反比例函数和一次函数的表达式分别为、； （2）解：由， 解得或， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，求几何图形的面积等，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． 【作业16】（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）关于的二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求当时，的最大值与最小值的差； (3)一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标是，且，求函数的最大值． 【答案】(1)二次函数解析式为 (2)最大值和最小值的差为 (3)取最大值为4 【知识点】其他问题(二次函数综合)、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式 【分析】本题考查了待定系数法求解二次函数、二次函数的最大值与最小值、一次函数与二次函数的综合问题，解答本题的关键是正确求解出二次函数的系数，找出一次函数与二次函数的交点，并用二次函数的性质求出最值． （1）把点分别代入到函数解析式，列出二元一次方程组，即可得解； （2）根据（1）得到该二次函数的解析式，再依此判断该二次函数的开口方向和对称轴，再据此判断当时，y的最大值与最小值，即可得解； （3）首先根据一次函数的变形得到该一次函数恒经过的点，再根据该二次函数也经过该点，即可得出的值，进而得到关于的表达式，再根据二次函数的性质求出的最大值． 【详解】（1）解：把点分别代入到函数解析式得， ， 解得：， ∴二次函数解析式为； （2）解：由（1）可得， ∵， ∴二次函数的抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴在范围内，随着的增大而减小， ∴当时，y取最小值为，当时，y取最大值为21， ∴最大值和最小值的差为； （3）解：， 令，则， ∴该一次函数图像恒过点， 又∵二次函数的图像经过点， ∴一次函数的图像与二次函数的图像的一个交点是点， ∵， ∴， 又∵点二次函数的图象上，即， ∴ ∵， ∴当时，取最大值为4． 【作业17】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为5．过点作轴交反比例函数的图象于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握其性质并能正确求出反比例函数的解析式是解决此题的关键． （1）先由一次函数的图象过点，且点的纵坐标为5，，将代入，求出的值，得到点的坐标，再将点坐标代入，利用待定系数法即可求出反比例函数的表达式； （2）先由一次函数的图象与轴交于点，求出点的坐标为，再将代入，求出的值，那么，过作于，则，然后根据，将数值代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点，且点的纵坐标为5， ∴，解方程得，， ∴点的坐标为， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， ∴点的坐标为， ∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相同，是3， ∵点在反比例函数的图象上， ∴当时，，解得， ， 如图，过作于，则， ． 【作业18】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点在这个图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】由反比例函数值求自变量、求反比例函数解析式 【详解】（1）解：∵函数的图象经过点， ， ； （2）解：∵点在这个图象上， ， 即． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21章·二次函数与反比例函数·期中复习·培优讲义 （知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 掌握二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质，能根据图象判断a、b、c及判别式的符号 · 会用配方法将二次函数化为顶点式，求对称轴、顶点坐标与最值 · 理解二次函数与一元二次方程的关系，能由抛物线与x轴交点情况判断方程根的情况 · 掌握反比例函数y=的图象与性质，理解k的几何意义，能求反比例函数解析式 · 能解决二次函数的实际应用（最值问题）、反比例函数与几何综合、一次函数与反比例函数交点问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的概念与图象 一般地，形如y=ax²+bx+c（a≠0）的函数叫做二次函数，其中a为二次项系数、b为一次项系数、c为常数项 二次函数y=a(x-h)²+k的图象是抛物线，顶点为(h,k)，对称轴为直线x=h 当a>0时抛物线开口向上，当x=h时y有最小值k；当a<0时开口向下，当x=h时y有最大值k 抛物线平移规律：左加右减、上加下减（针对x和y整体） 概念辨析例题：若函数y=(m-2)xm^{2}-2+3x-1是关于x的二次函数，求m的值。 答案：m=-2 解析：由二次函数定义，未知数x的最高次数为2且二次项系数不为0：m2-2=2且m-2≠0，解得m=±2，又m≠2，故m=-2。 ☆ 2.二次函数y=ax²+bx+c的图象与性质 对称轴为直线x=-，顶点坐标为(-, ) a决定开口方向与大小：a>0向上，a<0向下；|a|越大开口越窄 a、b同号对称轴在y轴左侧，a、b异号对称轴在y轴右侧（左同右异） c为抛物线与y轴交点的纵坐标；判别式Δ=b2-4ac决定抛物线与x轴交点个数 概念辨析例题：已知二次函数y=ax²+bx+c的图象开口向下，对称轴在y轴左侧，且与y轴交于正半轴，判断a、b、c的符号。 答案：a<0，b<0，c>0 解析：开口向下→a<0；对称轴在y轴左侧→-<0，a<0故b<0；与y轴正半轴相交→c>0。 ☆ 3.二次函数与一元二次方程 抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标就是方程ax²+bx+c=0的根 Δ>0时抛物线与x轴有两个交点；Δ=0时有一个交点（顶点在x轴上）；Δ<0时无交点 利用抛物线的对称性可由一个交点横坐标求出另一个交点横坐标 不等式ax²+bx+c>0（或<0）的解集就是抛物线在x轴上方（或下方）对应的x取值范围 概念辨析例题：已知抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点(1,0)和点(3,0)，求b、c的值。 答案：b=-4，c=3 解析：由交点式y=(x-1)(x-3)=x²-4x+3，对比得b=-4，c=3；也可由对称轴x=2=-得b=-4，再代入(1,0)得c=3。 ☆ 4.反比例函数的图象、性质与综合应用 形如y=（k≠0）的函数叫反比例函数，自变量x≠0 k>0时图象在一、三象限，在每个象限内y随x增大而减小；k<0时在二、四象限，在每个象限内y随x增大而增大 k的几何意义：过图象上任一点作两坐标轴垂线，与坐标轴围成的矩形面积为|k| 一次函数与反比例函数图象交点问题：联立解析式求方程组的解，结合图象判断不等式解集 概念辨析例题：已知反比例函数y=的图象经过点(2,-3)，求k的值并判断图象所在象限。 答案：k=-6，图象在第二、四象限 解析：把(2,-3)代入y=得-3=，解得k=-6<0，故图象位于第二、四象限。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数定义 y=ax²+bx+c（a≠0） 二次项系数a不能为0 顶点式 y=a(x-h)²+k，顶点(h,k) 配方法：y=a(x+)2+ 对称轴 直线x=- a、b同号左、异号右 判别式Δ Δ=b2-4ac Δ>0两个交点、Δ=0一个、Δ<0无 反比例函数 y=（k≠0） x≠0；k的几何意义矩形面积=|k| 实际最值问题 设自变量x→列二次函数→配方求顶点 注意x的取值范围要符合实际意义 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与定义（第1-4题） · · 由二次函数定义列方程：最高次为2且二次项系数≠0，两者缺一不可 · · 含参数时务必检验二次项系数是否为0，防止漏解或增解 · · 结合开口方向（a>0向上，a<0向下）进一步缩小参数范围 1．（26-27九年级上·福建福州·阶段检测）若函数是二次函数，则m的值为_______． 2．（26-27九年级上·河北张家口·阶段检测）如果函数是关于的二次函数，那么的值是________． 3．（25-26九年级上·湖北武汉·阶段检测）已知：是二次函数，且当时，随的增大而减小，则的值为 ________ ． 4．（26-27九年级上·湖南长沙·阶段检测）若是二次函数，且开口向上，则的值为______． 【考点2】二次函数的图象与性质（第5-15题） · · 一看开口（a的符号）、二看对称轴（x=-）、三看与y轴交点（c的符号） · · 比较函数值大小：离对称轴越远，函数值越大（a<0时越小） · · 判断a、b、c、Δ符号结合图象：开口、对称轴位置、与y轴交点、与x轴交点个数 · · 含字母系数的结论题用特殊值法或数形结合逐一排除 5．（2026·江苏南通·中考真题）二次函数的部分图象如图所示，当时，的值可以是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知点，，都在抛物线上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 7．（26-27九年级上·河南安阳·阶段检测）已知二次函数（为常数），若点，，都在该函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 8．（2025·四川成都·二模）已知抛物线的图象及对称轴如图所示，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 9．（2026·广东广州·二模）已知抛物线与轴交于，两点，且．若点在该抛物线上，则下列判断正确的是（     ） A．当时， B．当时， C．当时，该抛物线的顶点到达最高处 D．该抛物线与没有交点 10．（26-27九年级上·湖北黄石·阶段检测）关于二次函数的图象与性质，下列说法错误的是（     ） A．开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时，y有最大值 11．（26-27九年级上·全国·课后作业）如图所示，从的图象上可看出当时，函数y的取值范围是（     ） A． B． C． D． 12．（24-25九年级上·浙江杭州·阶段检测）当时，二次函数的最小值为0，则___________． 13．（26-27九年级上·河北沧州·阶段检测）二次函数的图象如图所示，在平面直角坐标系中，点所在的象限是第___________象限． 14．（23-24九年级下·湖北武汉·期中）抛物线（a、b、c是常数且a≠0）经过、、三点，且，下列四个结论：①；②当时，y随x增大而减少；③一元二次方程有一个实数根；④不等式的解集是．其中正确的结论是________（填写序号）． 15．（25-26九年级上·安徽六安·期中）二次函数，的图象在同一平面直角坐标系下如图所示，则m的取值范围是________． 【考点3】抛物线与坐标轴的交点及一元二次方程（第16-19题） · · 与x轴交点横坐标即方程ax²+bx+c=0的根，由Δ判断交点个数 · · 利用抛物线对称性：两交点关于对称轴对称，已知一个可求另一个 · · 不等式解集看图象：x轴上方对应y>0，下方对应y<0 16．（23-24九年级上·陕西渭南·期中）二次函数（为常数）与轴的交点情况是（   ） A．有两个交点 B．有一个交点 C．没有交点 D．无法判断 17．（25-26九年级上·云南昆明·期末）若是抛物线与轴交点的横坐标，则代数式的值为_____． 18．（25-26九年级上·山东泰安·阶段检测）若抛物线与轴有两个不相同的交点，那么实数的取值范围为________ 19．（23-24九年级上·江苏南京·期中）如图是函数的部分图象，则该函数图象与轴负半轴的交点横坐标是___________． 【考点4】二次函数图象的平移（第20-23题） · · 平移规律：左加右减（针对x）、上加下减（针对y） · · 坐标系平移与图象平移相反：坐标系右移=图象左移 · · 平移不改变形状和开口方向，只改变顶点坐标 20．（26-27九年级上·全国·课后作业）将二次函数的图象向下平移个单位长度，使其经过点，则m的值为（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 21．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数（为常数）． （1）当时，该函数图象的顶点坐标为________； （2）若将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，则的值为________． 22．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，已知抛物线与轴相交于点，其对称轴与抛物线相交于点，与轴相交于点．平移该抛物线得到一条新抛物线，设新抛物线的顶点为．若新抛物线经过原点，且，新抛物线对应的函数表达式为_________． 23．（26-27九年级上·安徽安庆·阶段检测）已知抛物线，其对称轴交轴于点，将点向右平移1个单位得到点，点与点的横坐标相同，且点的纵坐标为，则点是抛物线的“派生点”，直线称为该抛物线的“派生直线”． (1)若抛物线的解析式为（为常数），求其派生直线的表达式； (2)已知抛物线的派生点为点，抛物线与其派生直线有两个交点，其中一个交点的横坐标为，求抛物线的解析式． 【考点5】二次函数的实际应用（第24-29题） · · 步骤：设自变量→列函数关系式→配方求顶点→结合x的实际范围求最值 · · 几何面积问题：用一个变量表示底和高，面积即为二次函数 · · 最值不一定在顶点取得，必须检验顶点横坐标是否在实际取值范围内 24．（23-24九年级上·山东德州·期中）如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，动点Q从点B开始沿边BC向点C以的速度移动，若P、Q两点分别从A、B两点同时出发，在运动过程中，的最大面积是（　　）    A． B． C． D． 25．（24-25九年级上·湖北十堰·期末）如图，以的速度将小球沿与地面成角的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系，则小球飞出 _____s时，达到最大高度． 26．（2025·江苏扬州·一模）如图，在等腰中，，动点E、F同时从点A出发，分别沿射线和射线的方向匀速运动，且速度相等，当点E停止运动时，点F也随之停止运动，连接，以为边向下作正方形，设点E运动的路程为，正方形和等腰重合部分的面积为y． (1)当时，_______；当时，_______； (2)求点E在整个运动过程中y的最大值． 27．（24-25九年级上·广东东莞·期中）友谊书店经销一种学生双肩包，已知这种双肩包的成本价为30元/个．调查发现，这种双肩包每天的销售量y（个）与单价x（元/个）有如下关系：（，x为整数）．设这种双肩包每天的销售利润为w元． (1)求出w与x之间的函数解析式； (2)这种双肩包的销售单价定为多少元/个时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？ (3)如果物价部门规定这种双肩包的销售单价不能高于45元/个，该商店销售这种双肩包每天要获得200元的销售利润，销售单价应定为多少元/个？ 28．（25-26九年级上·新疆喀什·期中）廊桥是我国古老的文化遗产，某座抛物线形廊桥主桥洞的示意图如下图所示，已知抛物线对应的函数解析式为，为了保护廊桥的安全，在该抛物线上距水面高为的点E、F处要安装两盏警示灯，求这两盏灯的水平距离的长． 29．（23-24九年级上·山东淄博·期中）如图1，用一段长为33米的篱笆围成一个一边靠墙并且中间有一道篱笆隔墙的矩形菜园，墙长为12米．设的长为x米，矩形菜园的面积为S平方米， (1)分别用含x的代数式表示与S； (2)若，求x的值； (3)如图2，若在分成的两个小矩形的正前方各开一个1.5米宽的门（无需篱笆），当x为何值时，S取最大值，最大值为多少？ 【考点6】二次函数综合（新定义/面积/周长）（第30-36题） · · 面积问题：用坐标差表示底和高，建立关于动点横坐标的二次函数 · · 周长最短问题：利用轴对称转化为两点之间线段最短 · · 新定义题：先读懂定义，再按定义列方程或函数关系 · · 平行四边形存在性：按对角线分类讨论，用对角线中点重合列方程 30．（22-23九年级下·重庆大渡口·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与y轴交于点，与x轴正半轴交于点B，连接，抛物线的对称轴为． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P是直线下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交于点C，过点P作y轴的平行线交于点G，交x轴于点D，求的最大值及此时点P的坐标； (3)在（2）中取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移，平移后抛物线顶点的横坐标为，点E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 31．（26-27九年级上·山东济南·阶段检测）如图①，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点．      (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的表达式； (3)如图②，点是第二象限内抛物线上一点，且的面积为时，求点的坐标． 32．（2026·河南开封·一模）新定义：我们把二次函数与二次函数（其中，且a，b，c均为常数）称之为“相关二次函数”．已知二次函数的图像与轴交于点．二次函数的“相关二次函数”为． (1)的值为___________，的解析式为___________； (2)当时，二次函数上的点与二次函数上的点之间的距离为5，求的值． 33．（25-26九年级上·江西宜春·阶段检测）【定义】对于函数，若存在自变量时，函数值，则称该函数为“倍动点函数”，点为该函数的一个倍动点． 探究1（一次函数） （1）判断下列结论正误，正确的是_____（填序号）； ①是“倍动点函数”，倍动点为； ②是“倍动点函数”，且有无数个倍动点； ③是“倍动点函数”，倍动点为． 探究2（二次函数） （2）若二次函数有一个倍动点为，求c的值；并判断该函数是否有其他倍动点，若有，求出这个点． 34．（25-26九年级上·山东聊城·阶段检测）如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线． (1)求抛物线的解析式； (2)利用配方法写出二次函数的顶点坐标； (3)点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 35．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C，，，直线l是抛物线的对称轴，在直线l右侧的抛物线上有一动点D，连接．求抛物线的函数表达式； 36．（25-26九年级上·安徽合肥·阶段检测）已知正方形的边长为，面积为． (1)求与的函数关系式及的取值范围，并在网格中画出函数图象； (2)根据图象，直接写出当时正方形的边长； (3)根据图象，直接写出x为何值时，． 1 2 3 …… 1 4 9 …… 【考点7】反比例函数的图象、性质与实际应用（第37-41题） · · k>0在一、三象限，k<0在二、四象限；在每个象限内讨论增减性 · · 实际问题（压强、恒温、行程）中先判断是正比例还是反比例关系 · · 比较函数值大小：先看各点所在象限，再按增减性判断 37．（25-26九年级上·河南濮阳·阶段检测）某科技小组进行野外考察时，利用压力一定时压强与接触面积成反比例关系，通过铺垫木板增大接触面积来达到减小压强的效果，顺利通过了一片烂泥湿地．已知人对木板的压力与人的质量的关系图象如图1所示，若小明和小亮的质量分别为和，且小明和小亮对木板的压强与木板面积的关系图象如图2所示，请你结合以上信息，判断下列说法中不正确的是（   ） A．由图1，可知人对木板的压力与人的质量成正比 B．四边形的面积为定值，表示小明、小亮两人对木板的压力相差 C．当木板面积为时，小亮对木板的压强比小明对木板的压强大 D．图2中图象表示的是小明对木板的压强与木板面积之间的函数关系 38．（25-26九年级上·陕西渭南·阶段检测）已知反比例函数（k为常数，）的图象经过点，且点，均在反比例函数（k为常数，）的图象上，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 39．（26-27九年级上·全国·单元复习）某热带鱼缸的恒温系统启动时，加热棒每分钟使水温上升，当水温升至时，系统停止加热，水温开始自然下降，此时水温与通电时间成反比例关系，当水温下降至时，恒温系统再次自动加热，若水温在时接通电源，水温y与通电时间x之间的关系如图所示，则下列说法正确的是（     ） A．水温从加热到时，需要 B．水温不低于的时间为 C．水温从降至，所需时间为 D．水温下降过程中，y与x之间的函数解析式是 40．（21-22八年级下·江苏盐城·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 41．（2026·河北石家庄·一模）如图，数轴上点A，M，B分别表示数a，，b（其中靠近b），那么反比例函数的图象在第______象限． 【考点8】反比例函数的解析式与k的几何意义（第42-45题） · · 待定系数法：图象过一点(x₀,y₀)则k=x₀y₀ · · k的几何意义：过图象上点作坐标轴垂线，矩形面积=|k| · · 由面积求k时注意图象所在象限决定k的正负 42．（23-24九年级下·陕西商洛·阶段检测）如图，是面积为4的等腰三角形，底边在轴上，若反比例函数图象过点，则该反比例函数的表达式为_____________．    43．（2026九年级上·全国·专题练习）如图，反比例函数的图象与直线分别交于点A，B，过点A，B分别作x轴的平行线，交y轴于点C，D，连接，，已知四边形的面积为10，则该反比例函数的解析式为___________． 44．（23-24八年级下·重庆·阶段检测）如图，点在双曲线的图像上，轴，垂足为A，若，则该反比例函数的表达式为 ____． 45．（26-27九年级上·北京西城·阶段检测）如图，直线与轴交于点，与反比例函数的图象交于点，过点作轴于点，，求的值． 【考点9】反比例函数与几何综合（第46-49题） · · 设图象上点坐标为(x,)，结合几何性质（中点、等边三角形、矩形）列方程 · · 利用勾股定理、三角形中位线、矩形对角线等性质建立x的方程 · · 注意点所在象限决定坐标符号，多解时按实际取舍 46．（2026·河北保定·三模）如图，在平面直角坐标系中，点A、B分别在x轴和y轴上，点C为的中点，反比例函数的图象经过点C．若点B的坐标为，，则（     ） A．12 B．15 C．30 D．10 47．（2026·安徽蚌埠·一模）如图，是边长为4的等边三角形，边在x轴正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过边的中点D，且与交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 48．（2025·广东清远·三模）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A，C分别在双曲线和上，点在轴上，则点的坐标为_____． 49．（26-27九年级上·四川·期中）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在函数和的图象上，若，且，则___________． 【考点10】一次函数与反比例函数综合（第50-52题） · · 联立两个函数解析式求交点坐标 · · 不等式解集看图象：一次函数在反比例函数上方（或下方）对应的x范围 · · 面积问题：以交点横坐标差为底、纵坐标为高求三角形面积 50．（24-25九年级上·全国·期中）如图，抛物线与直线的两个交点坐标分别为，，则不等式的解集是___________ ． 51．（24-25九年级上·福建厦门·阶段检测） 如图，一次函数 与反比例函数 的图象相交于两点． (1)求a， k的值； (2)结合图象，直接写出不等式 的解集． 52．（2023·浙江金华·一模） “道路千万条，安全第一条” 刹车系统是车辆行驶安全重要保障，某学习小组研究了刹车距离的影响因素 材料一 反应距离：驾驶员从开始意识危险到踩下刹车的这段时间内，机动车所行驶的距离． 制动距离：驾驶员从踩下刹车开始到汽车完全停止的这段时间内，机动车所行驶的距离． 材料二 汽车急刹车的停车距离为反应距离与制动距离之和，即．而反应距离、制动距离均与汽车行驶的速度有关．如图是学习小组利用电脑软件模拟出的相关实验数据． 材料三 经学习小组信息收集得知，汽车的急刹车距离还与汽车本身刹车系数有关，且满足，其中、、意义同材料二．并且不同类型汽车的刹车系数满足． 【任务一】 ①利用材料二判断最适合描述、分别与x的函数关系的是（    ） A．、  B．、 C．、 ②请你利用当，时的两组数据，计算、分别与x的函数关系式． 【任务二】在某条限速为的道路上，一辆轿车为避险采取急刹车．通过交警判断该车此次急刹车过程的制动距离为．请你利用任务一中的函数关系式，判断该车是否超速？ 【任务三】某条新建道路要求所有类型的汽车在急刹车时的停车距离至多，试问汽车在该条道路的行驶速度应该限速多少？（精确到） 💯 课后巩固 复习建议 · · 每日坚持5道二次函数图象性质题，熟练a、b、c、Δ符号判断 · · 配方法要过关：能在3分钟内把任意y=ax²+bx+c化为顶点式 · · 反比例函数k的几何意义要画图标点，不要死记硬背 · · 实际应用题必须写清自变量取值范围，否则最值答案无效 · · 综合题先联立解析式求交点，再数形结合判断不等式与面积 【作业1】（24-25九年级上·天津河北·阶段检测）二次函数中的x与y的部分对应值如表： x … 0 3 … y … n … 当时，以下结论：①；②当时，y的值随x值的增大而减小；③；④当时，关于的一元二次方程的解是，，其中结论一定正确的有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【作业2】（25-26九年级上·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，保持抛物线不动，若将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【作业3】（23-24九年级上·浙江杭州·期中）已知二次函数的图象的对称轴为．若关于的一元二次方程（为实数）在的范围内有解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【作业4】（2026·山东·中考真题）如图，点是抛物线（）的顶点．下列结论正确的是（     ） A． B． C．对任意实数，总成立 D．若点，在抛物线上，则 【作业5】（2024·甘肃·三模）已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（　　）    A．， B．， C．， D．， 【作业6】（24-25九年级上·天津红桥·期末）若抛物线（m为常数）与x轴有两个不同的交点，则m的取值范围是______． 【作业7】（25-26九年级上·安徽淮北·阶段检测）若是关于的二次函数，则的值为______． 【作业8】（26-27九年级上·辽宁葫芦岛·阶段检测）在某校“科技点亮未来”活动中，火箭模型弹射这一充满巧妙构思的作品吸引了同学们的目光，火箭模型从地面弹出．模型在空中的高度（米）与时间（秒）之间的函数关系式为．当火箭模型达到最高点时，其最大高度为__________米． 【作业9】（26-27九年级上·上海浦东新·阶段检测）二次函数的图像与轴有两个交点，则实数的取值范围是__________． 【作业10】（26-27九年级上·四川广安·阶段检测）若抛物线与坐标轴只有一个交点，则的取值范围是________． 【作业11】（26-27九年级上·福建龙岩·阶段检测）已知，，在函数的图象上，则，，的大小关系是________． 【作业12】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）已知反比例函数 ，当时，y随x的增大而减小，则k的取值范围是_____． 【作业13】（26-27九年级上·天津·阶段检测）如图要围一个矩形菜园，其中一边靠墙，墙长，其余的三边，，用篱笆围成，篱笆总长为，请问围成的菜园最大面积是否能达到，如果能请说明理由；如果不能，请求出菜园的最大面积． 【作业14】（26-27九年级上·全国·课后作业）如图，某粮仓的横截面由一段抛物线和矩形构成，其中．以地面所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系．已知抛物线对应的函数解析式为 ，为平行于地面的一张除湿板． (1)求抛物线对应的函数解析式； (2)若除湿板的长度为，求除湿板与仓顶间的距离． 【作业15】（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点H，坐标原点O是线段的中点． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 【作业16】（25-26九年级上·辽宁抚顺·阶段检测）关于的二次函数的图象经过点． (1)求二次函数的解析式； (2)求当时，的最大值与最小值的差； (3)一次函数的图象与二次函数的图象的交点坐标是，且，求函数的最大值． 【作业17】（24-25九年级上·山西吕梁·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，且点的纵坐标为5．过点作轴交反比例函数的图象于点C，连接． (1)求反比例函数的表达式． (2)求的面积． 【作业18】（26-27九年级上·全国·单元复习）已知反比例函数的图象经过点． (1)求的值； (2)若点在这个图象上，求的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $