专题一· 期中综合复习· 培优提高讲义（第21～22章） ·2026--2027学年沪科版九年级数学上册

专题一·期中综合复习·培优提高讲义 （第21~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能根据定义判断二次函数，会用顶点式研究 y=ax2+bx+c 的开口、对称轴与顶点坐标 · 掌握抛物线「左加右减、上加下减」的平移规律，会用待定系数法求二次函数解析式 · 理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系，能由图象判断 a、b、c 及 Δ 的符号 · 掌握反比例函数 y= 的图象、性质及 k 的几何意义，能解决与一次函数综合的交点问题 · 掌握相似三角形的判定定理与性质，能运用比例线段、位似解决计算与证明问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 一般式 y=ax2+bx+c（a≠0）；a 决定开口方向与大小，a>0 开口向上，a<0 开口向下 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) 顶点式 y=a(x-h)2+k 的顶点为 (h,k)；平移规律为「左加右减、上加下减」 增减性：a>0 时对称轴左侧 y 随 x 增大而减小、右侧增大；a<0 时相反 概念辨析例题：已知二次函数 y=x2-4x+3，求它的对称轴、顶点坐标及与 x 轴的交点坐标。 答案：对称轴为直线 x=2，顶点为 (2,-1)，与 x 轴交点为 (1,0) 和 (3,0)。 解析：由 x=-=2 得对称轴；代入得 y=22-8+3=-1，即顶点 (2,-1)。令 y=0，x2-4x+3=0，解得 x=1 或 x=3。 ☆ 2.二次函数与方程、不等式及实际应用 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 Δ=b2-4ac：Δ>0 两交点，Δ=0 一个交点（相切），Δ<0 无交点 由图象判断符号：a 看开口，b 与 a 的异号同号看对称轴位置，c 看与 y 轴交点 实际问题先建立二次函数模型，再由顶点或自变量取值范围求最值 概念辨析例题：若抛物线 y=x2-2x+m 与 x 轴只有一个交点，求 m 的值。 答案：m=1。 解析：与 x 轴只有一个交点即 Δ=0：(-2)2-4×1×m=0，解得 m=1。 ☆ 3.反比例函数的图象与性质 形如 y=（k≠0）；图象是双曲线，k>0 在一、三象限，k<0 在二、四象限 增减性：在每个象限内，k>0 时 y 随 x 增大而减小，k<0 时相反 k 的几何意义：图象上任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形的面积等于 |k| 求解析式用待定系数法，代入一个已知点即可求出 k 概念辨析例题：反比例函数 y= 的图象经过点 (2,-3)，求 k 及图象所在象限。 答案：k=-6，图象在第二、四象限。 解析：代入得 -3=，k=-6<0，故双曲线位于第二、四象限。 ☆ 4.相似三角形的判定与性质 判定：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例；平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 性质：对应角相等，对应边、对应高、对应中线、周长之比都等于相似比 面积比等于相似比的平方 位似图形是特殊的相似，对应点连线交于位似中心，坐标比等于相似比 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，较小三角形面积为 16，求较大三角形的面积。 答案：面积为 36。 解析：面积比等于相似比的平方，即 (2:3)2=4:9。设较大面积为 S，则 4:9=16:S，解得 S=36。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数一般式 y=ax2+bx+c（a≠0） a≠0 是前提，a 的符号定开口 顶点坐标 (-, ) 最值由顶点纵坐标确定 判别式 Δ=b2-4ac Δ 定抛物线与 x 轴交点个数 反比例函数 y=（k≠0） k 的几何意义为 |k|，面积不变 相似比 对应线段比=相似比 面积比=相似比的平方，勿直接用相似比 黄金分割 较长段:全长=≈0.618 是固定比值，与图形大小无关 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与图象性质（第1-11题） · 判定二次函数先看自变量最高次数为 2 且二次项系数 a≠0 · 求对称轴、顶点优先用 x=- 公式，或配方成顶点式 · 由图象判断 a、b、c 符号时结合开口、对称轴位置、与 y 轴交点 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列各式中表示二次函数（    ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴的右侧，该二次函数有（   ） A．最大值 B．最大值16 C．最小值的 D．最小值16 5．（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则的长是_____． 6．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如果是关于x的二次函数，则_______ 7．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的顶点到轴的距离为__________． 8．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 9．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有___________．（填写序号） 10．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 11．（24-25九年级上·江西上饶·阶段检测）（1）解方程：． （2）已知是关于x的二次函数，试判断其图象的开口方向． 【考点2】二次函数的图象平移与顶点式、待定系数法（第12-17题） · 平移口诀「左加右减针对 x，上加下减针对整式」 · 已知顶点用顶点式 y=a(x-h)2+k；已知三点用一般式列方程组 · 绕原点旋转或对称后，先求关键点坐标再定解析式 12．（2025九年级上·全国·专题练习）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A． B． C． D． 13．（24-25九年级上·广东湛江·期末）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．向右平移3个单位得到 D．抛物线的顶点坐标为 14．（2026·陕西西安·三模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 15．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 16．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 17．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．求的面积． 【考点3】二次函数与一元二次方程、不等式（第18-20题） · 抛物线与 x 轴交点横坐标即对应方程的实根 · 由 Δ 判交点个数；由图象比较函数值与 0 的大小得不等式解集 · 直线与抛物线交点个数转化为联立方程后 Δ 的符号 18．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数与轴只有一个交点，则________． 20．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．若直线与该图象恰有两个不同的交点，则m的值为____． 【考点4】二次函数的实际应用与综合（第21-24题） · 利润、面积最值问题先建立函数关系式并标注自变量取值范围 · 动点问题用时间或线段表示变量，再配方求最值 · 注意实际问题中顶点不一定在取值范围内，需用边界检验 21．（2026·河南平顶山·三模）电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 22．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边是围墙，且的长不能超过，其余三边，，用长的铁质栅栏．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为； ④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过． 其中，正确结论的是______．(只需填序号) 23．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 24．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … (1)求关于的函数表达式； (2)设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【考点5】反比例函数的图象与性质（第25-28题） · 由 k 的符号定象限，由点的坐标定 k 值 · 比较函数值大小先看是否在同一象限，不同象限的点符号相反 · k 的几何意义：矩形面积为 |k|，与点的位置无关 25．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值是（     ） A．0 B．0或1 C．0或2 D．4 26．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，点在双曲线的图象上，轴，垂足为，若，则的值为_____． 27．（2025·上海·二模）如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 28．（24-25九年级上·湖南常德·期中）若点，在双曲线上，则，的大小关系是______． 【考点6】反比例函数与一次函数、几何综合（第29-36题） · 交点问题联立两个函数解析式，解方程组 · 求三角形、四边形面积常以坐标轴或截线段为底高 · 结合相似或勾股建立线段比例关系，注意数形结合 29．（23-24九年级上·山西太原·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 30．（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 31．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，，则不等式的解集为________． 32．（2026·陕西延安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，且轴．若，则的值为________． 33．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是___________． 34．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 35．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 36．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 【考点7】比例线段与黄金分割（第37-39题） · 比例性质：若 a:b=c:d，则 ad=bc，注意等比性质的适用条件 · 黄金分割比为 ，较长段是较短段与全长的比例中项 · 二次根式乘除先化简再合并，注意分母有理化 37．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若线段，，则a和b的比例中项线段等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 38．（25-26九年级上·全国·周测）如图，线段，是线段AB的黄金分割点；是线段的黄金分割点；是线段的黄金分割点；……．以此类推，线段的长度是（   ） A． B． C． D． 39．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）成都熊猫基地观光瞭望塔因外形如破土春笋，被市民称为“笋子塔”，塔高约米．如图，将塔身看作线段（为塔底，为塔顶）．若观光层所在位置点恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为（     ）米． A． B． C． D． 【考点8】相似三角形的判定（第40-44题） · 优先找两角对应相等，再看边成比例且夹角相等 · 有平行线时直接用「A 型」「X 型」基本图判定 · 证明积式或比例式先转化为相似三角形的对应边 40．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 41．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 42．（25-26九年级上·广东·期中）如图，在四边形中，，，求证：． 43．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 44．（24-25九年级上·吉林长春·期末）将两块等腰直角三角板如图摆放在同一个平面内，请直接写出三对相似三角形，并且用“”连接． 【考点9】相似三角形的性质与综合应用（第45-56题） · 对应线段（高、中线、角平分线、周长）比等于相似比 · 面积比等于相似比的平方，审题时区分求线段还是求面积 · 遇中点、中位线时结合相似与勾股定理综合求解 45．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 46．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点，点分别是边上的动点，，连接．以下四个结论正确的是（    ）． ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时，；④四边形周长最小值为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 47．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为___． 48．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在中，，分别反向延长到D、E，若，则当_____时，． 49．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在中，若中线和中线相交于点，则的值是______． 50．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 51．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，，则的值为__________． 52．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，点分别在的边、上，且，，，若使与相似，则的长为______． 53．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是_______． 54．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为____________． 55．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，是的中点， (1)判断与的关系，并说明理由； (2)若，求的值． 56．（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在矩形中，若，求的长度． 【考点10】位似图形（第57-60题） · 位似是特殊相似，对应点连线交于位似中心 · 坐标系中以原点为位似中心时，坐标同时乘以相似比（注意同侧、异侧） · 网格中画位似图形先定关键点，再按比例取对应点 57．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，，的坐标； (2)直接写出与的面积比是__________． 58．（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）    (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点； (2)在图2中，以点O为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． 59．（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）已知是坐标原点，、的坐标分别为、． (1)画出绕点顺时针旋转°后得到； (2)在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； (3)在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 60．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正方形，按如图位置依次摆放，已知点，，，，在直线上，点的坐标为． (1)写出正方形的位似中心坐标 (2)求正方形四个顶点的坐标． 💯 课后巩固 复习建议 · 先按「概念—图象—性质—应用」四条线画思维导图，再逐点对照错题 · 二次函数题优先配方或套顶点公式，切忌硬算；反比例题先定 k 再看象限 · 做相似证明时先找等角，把比例式改写成相似三角形对应边 · 每天精练 3 道二次函数综合、2 道反比例综合、2 道相似证明，限时完成 · 错题按「符号判断、平移、交点、最值、相似」五类归档，考前重做一遍 【作业1】．（23-24九年级上·广西南宁·期中）下列函数属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【作业2】．（23-24九年级上·山东烟台·期中）将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【作业3】．（25-26九年级上·全国·寒假作业）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【作业4】．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，已知，补充下列条件仍不能判断与相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【作业5】．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知二次函数． 的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．此二次函数的最大值是 【作业6】．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）若关于的方程有3个不同的实数根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【作业7】．（25-26九年级上·福建福州·期中）若反比例函数的图象过点，则等于_______． 【作业8】．（25-26九年级上·河南周口·期中）若，且，则与的周长比为________ 【作业9】．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段检测）抛物线 的顶点坐标为______． 【作业10】．（26-27九年级上·全国·单元复习）经统计，某段高架桥上车辆的行驶速度随高架桥上每百米车的数量（辆）的变化而变化，其关系如图所示，当时，与成反比例函数关系，要使车速不低于，则高架桥上每百米车的数量（为整数）的取值范围是____． 【作业11】．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 【作业12】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【作业13】．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）如图，已知点是反比例函数图象上的一点，过点作轴，交轴于点，点在轴负半轴上，连接、交轴于点，若，则________． 【作业14】．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，，在轴上，延长交射线于点，以为边长作正方形；延长交射线于点，以为边长作正方形，分别连接，，，，得到， ， ，按照此规律继续下去，若，则的面积为___． 【作业15】．（2024·广东东莞·一模）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 【作业16】．（24-25九年级上·全国·期中）苦荞是自然界中甚少的药食两用作物．山西特产专卖店销售广灵苦荞，其进价为每千克80元，按每千克110元出售，平均每天可售出100千克．经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20千克．当每千克的售价为多少元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大？ 【作业17】．（24-25九年级上·全国·期末）（1）计算：． （2）如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【作业18】．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)将该抛物线左右平移，若平移一次后的抛物线经过原点，试写出平移方案． 【作业19】．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点H，坐标原点O是线段的中点． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 【作业20】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过，，三点． (1)求二次函数的解析式； (2)设点在二次函数的图象上，将绕点C按顺时针方向旋转至，使得射线与y轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线与线段交于点F．求证：； (3)是否存在点，使得点A、D、H构成的是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（画出草图，直接回答，不必说明理由） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题一·期中综合复习·培优提高讲义 （第21~22章）（知识梳理+典例+练习）·2026年沪科版九年级数学上册 参考答案与试题解析 📌 思维导图 🎯 课程目标 · 能根据定义判断二次函数，会用顶点式研究 y=ax2+bx+c 的开口、对称轴与顶点坐标 · 掌握抛物线「左加右减、上加下减」的平移规律，会用待定系数法求二次函数解析式 · 理解二次函数与一元二次方程、不等式的关系，能由图象判断 a、b、c 及 Δ 的符号 · 掌握反比例函数 y= 的图象、性质及 k 的几何意义，能解决与一次函数综合的交点问题 · 掌握相似三角形的判定定理与性质，能运用比例线段、位似解决计算与证明问题 📚 知识梳理 ☆ 1.二次函数的图象与性质 一般式 y=ax2+bx+c（a≠0）；a 决定开口方向与大小，a>0 开口向上，a<0 开口向下 对称轴为直线 x=-，顶点坐标为 (-, ) 顶点式 y=a(x-h)2+k 的顶点为 (h,k)；平移规律为「左加右减、上加下减」 增减性：a>0 时对称轴左侧 y 随 x 增大而减小、右侧增大；a<0 时相反 概念辨析例题：已知二次函数 y=x2-4x+3，求它的对称轴、顶点坐标及与 x 轴的交点坐标。 答案：对称轴为直线 x=2，顶点为 (2,-1)，与 x 轴交点为 (1,0) 和 (3,0)。 解析：由 x=-=2 得对称轴；代入得 y=22-8+3=-1，即顶点 (2,-1)。令 y=0，x2-4x+3=0，解得 x=1 或 x=3。 ☆ 2.二次函数与方程、不等式及实际应用 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴交点的横坐标即方程 ax2+bx+c=0 的根 Δ=b2-4ac：Δ>0 两交点，Δ=0 一个交点（相切），Δ<0 无交点 由图象判断符号：a 看开口，b 与 a 的异号同号看对称轴位置，c 看与 y 轴交点 实际问题先建立二次函数模型，再由顶点或自变量取值范围求最值 概念辨析例题：若抛物线 y=x2-2x+m 与 x 轴只有一个交点，求 m 的值。 答案：m=1。 解析：与 x 轴只有一个交点即 Δ=0：(-2)2-4×1×m=0，解得 m=1。 ☆ 3.反比例函数的图象与性质 形如 y=（k≠0）；图象是双曲线，k>0 在一、三象限，k<0 在二、四象限 增减性：在每个象限内，k>0 时 y 随 x 增大而减小，k<0 时相反 k 的几何意义：图象上任一点向两坐标轴作垂线，与坐标轴围成矩形的面积等于 |k| 求解析式用待定系数法，代入一个已知点即可求出 k 概念辨析例题：反比例函数 y= 的图象经过点 (2,-3)，求 k 及图象所在象限。 答案：k=-6，图象在第二、四象限。 解析：代入得 -3=，k=-6<0，故双曲线位于第二、四象限。 ☆ 4.相似三角形的判定与性质 判定：两角分别相等；两边成比例且夹角相等；三边成比例；平行于三角形一边的直线截得的三角形与原三角形相似 性质：对应角相等，对应边、对应高、对应中线、周长之比都等于相似比 面积比等于相似比的平方 位似图形是特殊的相似，对应点连线交于位似中心，坐标比等于相似比 概念辨析例题：两个相似三角形的相似比为 2:3，较小三角形面积为 16，求较大三角形的面积。 答案：面积为 36。 解析：面积比等于相似比的平方，即 (2:3)2=4:9。设较大面积为 S，则 4:9=16:S，解得 S=36。 📋 知识总结表 核心概念 定义/公式 注意事项 二次函数一般式 y=ax2+bx+c（a≠0） a≠0 是前提，a 的符号定开口 顶点坐标 (-, ) 最值由顶点纵坐标确定 判别式 Δ=b2-4ac Δ 定抛物线与 x 轴交点个数 反比例函数 y=（k≠0） k 的几何意义为 |k|，面积不变 相似比 对应线段比=相似比 面积比=相似比的平方，勿直接用相似比 黄金分割 较长段:全长=≈0.618 是固定比值，与图形大小无关 ⚠️ 核心考点 【考点1】二次函数的概念与图象性质（第1-11题） · 判定二次函数先看自变量最高次数为 2 且二次项系数 a≠0 · 求对称轴、顶点优先用 x=- 公式，或配方成顶点式 · 由图象判断 a、b、c 符号时结合开口、对称轴位置、与 y 轴交点 1．（23-24九年级上·重庆沙坪坝·期中）点，，都在函数的图象上，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】y=ax²的图象和性质 【分析】本题考查函数的性质．根据二次函数的对称性和增减性判断即可． 【详解】解：抛物线的对称轴为y轴 当时，y随x的增大而减小；当时，y随x的增大而增大 点关于抛物线的对称轴的对称点为 ∵ ∴ 故选：C． 2．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【知识点】求x轴与抛物线的截线长、y=ax²+bx+c的最值、y=ax²+bx+c的图象与性质、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 3．（23-24九年级上·安徽合肥·阶段检测）下列各式中表示二次函数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如（、、是常数，）的函数，叫做二次函数，熟练掌握二次函数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； B、，分母中含有字母，不是二次函数，故不符合题意； C、，是二次函数，故符合题意； D、，未知数的最高次数是1，不是二次函数，故不符合题意； 故选：C． 4．（24-25九年级上·陕西西安·期中）在平面直角坐标系中，二次函数（m为常数）的图象经过点，其对称轴在y轴的右侧，该二次函数有（   ） A．最大值 B．最大值16 C．最小值的 D．最小值16 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数的最值，根据二次函数为常数）的图象经过点，可以得到的值，然后根据对称轴在轴的右侧，可以确定的值，从而可以得到二次函数的解析式，再将函数解析式化为顶点式，即可得到该函数的最值． 【详解】解：二次函数为常数）的图象经过点， ， 解得或， 对称轴在轴的右侧，， ， ， 二次函数， 该函数的最小值为16， 故选：D． 5．（24-25九年级下·辽宁鞍山·阶段检测）如图，二次函数的图象与轴交于点、两点，与轴交于点，对称轴为直线，点的坐标为，则的长是_____． 【答案】4 【知识点】根据二次函数的对称性求函数值、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．观察图象得：二次函数的对称轴为直线，可得A、B两点关于直线对称，即可求解． 【详解】解：观察图象得：二次函数的对称轴为直线， ∵二次函数的图象与x轴交于A、B两点， ∴A、B两点关于直线对称， ∵点的坐标为， ∴． 故答案为：4 6．（23-24九年级上·宁夏吴忠·期中）如果是关于x的二次函数，则_______ 【答案】 【知识点】根据二次函数的定义求参数 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数，根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 7．（26-27九年级上·上海虹口·阶段检测）抛物线的顶点到轴的距离为__________． 【答案】 【知识点】求点到坐标轴的距离、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接得出顶点坐标，点到轴的距离为顶点纵坐标的绝对值，计算得结果． 【详解】解：∵抛物线的解析式为，是顶点式， ∴顶点坐标为， ∴顶点到轴的距离为． 8．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）如果抛物线开口朝下，则的取值范围是______． 【答案】 【知识点】求一元一次不等式的解集、y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的定义求参数 【分析】抛物线开口向下时，二次项系数小于0，据此列不等式求解即可。 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴二次项系数满足， 解得． 9．（23-24九年级上·山东烟台·期中）已知二次函数，图象的一部分如图所示，该函数图象经过点，对称轴为直线．对于下列结论：①；②；③；④（其中）；⑤若和均在该函数图象上，且，则．其中正确结论有___________．（填写序号） 【答案】②③④ 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质．根据抛物线与轴的一个交点以及其对称轴，求出抛物线与轴的另一个交点，利用待定系数法得到，再根据抛物线开口朝下，可得，进而可得，，即可得到③正确，①错误，根据抛物线与轴两个交点可以判断出②正确，根据，，，，可以得到，从而得到④正确；根据抛物线的对称性和增减性可以判断出⑤错误，问题得解． 【详解】解：抛物线的对称轴为直线，且抛物线与轴的一个交点坐标为， 抛物线与轴的另一个交点坐标为， 把，代入，可得： ， 解得， ，故③正确； 抛物线开口方向向下， ， ，， ，故①错误； 抛物线与轴两个交点， 当时，方程有两个不相等的实数根， ，故②正确； ，， ， 又，， ， 即（其中，故④正确； 抛物线的对称轴为直线，且抛物线开口朝下， 可知二次函数，在时，随的增大而减小， ， ，故⑤错误， 正确的有②③④，共3个， 故答案为：②③④． 10．（24-25九年级上·安徽蚌埠·阶段检测）若函数是二次函数． (1)求k的值． (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题考查了二次函数的定义，求函数值，根据二次函数定义求出k的值是解答本题的关键． （1）根据二次函数的定义列式求解即可； （2）把代入二次函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，，且， 解得：； （2）解：把代入得，， ∴当时，． 11．（24-25九年级上·江西上饶·阶段检测）（1）解方程：． （2）已知是关于x的二次函数，试判断其图象的开口方向． 【答案】（1），；（2）开口向上． 【知识点】y=ax²的图象和性质、因式分解法解一元二次方程、根据二次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程，二次函数的定义和性质，注意二次项系数不能为0． （1）观察方程发现用因式分解法解方程比较简单，按照因式分解的步骤解方程即可． （2）根据二次函数的定义和性质解题即可． 【详解】解：（1）， 移项整理得， 因式分解得， ∴，， 解得，； （2）∵是关于x的二次函数， ∴， 解得或， ∵， ∴， ∴． ∴函数解析式为， ∵， ∴其图象的开口向上． 【考点2】二次函数的图象平移与顶点式、待定系数法（第12-17题） · 平移口诀「左加右减针对 x，上加下减针对整式」 · 已知顶点用顶点式 y=a(x-h)2+k；已知三点用一般式列方程组 · 绕原点旋转或对称后，先求关键点坐标再定解析式 12．（2025九年级上·全国·专题练习）将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象的平移 【分析】此题考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减．按照“左加右减，上加下减”的规律进而求出即可． 【详解】解：二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度得到的二次函数解析式是即． 故选：D． 13．（24-25九年级上·广东湛江·期末）下列关于抛物线的说法，正确的是（   ） A．抛物线开口向上 B．抛物线的对称轴是直线 C．向右平移3个单位得到 D．抛物线的顶点坐标为 【答案】B 【知识点】二次函数图象的平移、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】本题考查二次函数图象及性质．根据题意结合二次函数的性质，逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：A．∵抛物线，，即开口向下，故该选项不正确，不符合题意； B．，对称轴是直线，故该选项正确，符合题意； C．向右平移3个单位得到，故该选项不正确，不符合题意； D．抛物线的顶点坐标为，故该选项不正确，不符合题意． 故选：B． 14．（2026·陕西西安·三模）已知一个二次函数的自变量与函数的几组对应值如表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（     ） A．函数图象开口向下 B．对称轴为直线 C．当时，函数值随的增大而减小 D．函数的最小值等于 【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、y=ax²+bx+c的最值、待定系数法求二次函数解析式、y=a（x-h）²+k的图象和性质 【分析】先选取表格中三个点代入解析式求出系数，得到顶点式后根据函数性质逐一判断选项即可． 【详解】解：选取表格中三组对应值，，代入， 得， 解得， ∴二次函数解析式为，配方得， 选项A：∵，∴抛物线开口向上，故A错误，该选项不符合题意； 选项B：对称轴为直线，故B错误，该选项不符合题意； 选项C：∵开口向上，对称轴为，∴当时，随的增大而增大，因此时，随的增大而增大，故C错误，该选项不符合题意； 选项D：∵抛物线开口向上，顶点纵坐标为，∴函数的最小值为，故D正确，该选项符合题意． 15．（26-27九年级上·上海金山·阶段检测）将二次函数的图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的二次函数图像的顶点坐标是______． 【答案】 【知识点】二次函数图象的平移 【详解】解： ， 原二次函数的顶点坐标为， 将图像向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度， 新二次函数的解析式为， 平移后二次函数的顶点坐标为． 16．（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）汽车刹车后，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”．刹车距离与刹车时的车速有以下关系式： (a，b为常数，且)，对某辆车测试如下：当车速为时，刹车距离为；当车速为时，刹车距离为．该车在限速的高速公路上行驶时出了事故，事后测得它的刹车距离为．问该车是否超速行驶？ 【答案】超速了 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用，求二次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，运用待定系数法进行求解二次函数的解析式，再把代入，把求出的与进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将代入 得 解得 ∴函数关系式为 将代入，则 整理得， 解得 (负值已舍去)， ∵， ∴超速． 17．（24-25九年级上·广东湛江·期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C．求的面积． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、求抛物线与y轴的交点坐标 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图像与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键． 分别求出点A、B、C的坐标，然后根据三角形面积公式计算即可． 【详解】令，则， 解得，，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， ∴， ∴． 【考点3】二次函数与一元二次方程、不等式（第18-20题） · 抛物线与 x 轴交点横坐标即对应方程的实根 · 由 Δ 判交点个数；由图象比较函数值与 0 的大小得不等式解集 · 直线与抛物线交点个数转化为联立方程后 Δ 的符号 18．（25-26九年级上·浙江杭州·开学考试）若二次函数的部分图象如图所示，关于的一元二次方程的一个解，则另一个解_____． 【答案】 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】本题考查了二次函数的对称性，二次函数与一元二次方程，由图象可得该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为，从而得出该二次函数与轴的另一个交点为，即可得出结果，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，该二次函数的对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴关于的一元二次方程的一个解，则另一个解， 故答案为：． 19．（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）二次函数与轴只有一个交点，则________． 【答案】 【知识点】抛物线与x轴的交点问题 【分析】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数与轴交点个数由决定：抛物线与轴有个交点；抛物线与轴有个交点；抛物线与轴没有交点．据此解答即可． 【详解】解：∵二次函数与轴只有一个交点， ∴， 解得：． 故答案为：． 20．（26-27九年级上·全国·单元测试）已知函数的图象如图所示．若直线与该图象恰有两个不同的交点，则m的值为____． 【答案】0或1 【知识点】抛物线与x轴的交点问题、从函数的图象获取信息、y=ax²+bx+c的图象与性质 【分析】由直线与该图象仅有两个交点，则直线与有一个交点，与有一个交点，即过抛物线的顶点或直线经过，从而可求解． 【详解】解：∵直线与该图象仅有两个交点， 则直线与有一个交点，过的顶点或直线经过， 当直线与有一个交点，过的顶点时， ∴， ∵， ∴顶点坐标为， ∴； 当直线经过时，， 综上，m的值为0或1． 【考点4】二次函数的实际应用与综合（第21-24题） · 利润、面积最值问题先建立函数关系式并标注自变量取值范围 · 动点问题用时间或线段表示变量，再配方求最值 · 注意实际问题中顶点不一定在取值范围内，需用边界检验 21．（2026·河南平顶山·三模）电暖气（如图1）可以通过旋钮开关调节电路的总电阻来控制电流的变化，从而实现功率的改变．在额定功率范围内，电暖气电路的电流I（单位：A）与实际功率P（单位：W）的二次函数图象如图2所示，下列结论中错误的是（   ） A．当时， B．P与I的函数关系式是 C．在额定功率范围内，P随I的增大而增大 D．I每增加，P的增加量相同 【答案】D 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据图像中提供的信息可以判断A；待定系数法求出函数解析式即可判断B；根据函数性质进行求解，即可判断C；根据函数性质进行求解． 【详解】解：由题图2可知，当时，，故选项A中结论正确，不符合题意； 根据题意，设P与I的函数关系式为（，），把点代入，得， ， ∴P与I的函数关系式是，故选项B中结论正确，不符合题意； 由题图2可知，在额定功率范围内，P随I的增大而增大，故选项C中结论正确，不符合题意； I每增加，P的增加量不相同，故选项D中结论错误，符合题意． 22．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，学校要在校园内建一个矩形的开心农场，其中一边是围墙，且的长不能超过，其余三边，，用长的铁质栅栏．有下列结论： ①的长可以为； ②当农场面积为时，满足条件的的长只有一个值； ③农场面积的最大值为； ④若把农场的形状改成半圆形，且直径一侧利用已有围墙，则农场的面积可以超过． 其中，正确结论的是______．(只需填序号) 【答案】②④/④② 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数)、与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，一元一次方程的应用，一元二次方程的应用；设边长为 则边长为长为，当时，解方程即可判断①；根据菜园面积为，列出一元二次方程，解方程，即可判断②；设矩形菜园的面积为，根据题意列出二次函数关系式，根据二次函数的性质，结合的取值范围即可判断③，根据题意设沿方向栅栏延伸米，则，解方程得出的值，进而求得最大面积，即可判断④． 【详解】解：设边长为 则边长为长为， 当时，， 解得， 的长不能超过， ， 故①不正确． 菜园面积为， ． 解得：． 又， ． 满足条件的的长只有一个值，故②正确． 由题意，设矩形菜园的面积为， 根据题意得： ，， 当时，有最大值，最大值为不可能为． 故③不正确． 直径一侧是围墙，当直径取最大值时，半圆的弧长为， 设沿方向栅栏延伸米，则 ． 农场的最大面积为． 农场的面积可以超过 故④正确． 故答案为：②④． 23．（26-27九年级上·内蒙古巴彦淖尔·阶段检测）如图，在中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为． (1)填空： ， ；（用含t的代数式表示） (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，．理由如下： ， 由（2）可知：， 故当时， . 【知识点】列代数式、用勾股定理解三角形、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】（1）根据题意列出和的代数式即可． （2）根据题意得出，再利用勾股定理得出，最后解方程即可得出答案． （3）根据，得出关于t的一元二次函数，利用二次函数的图象和性质求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：∵当点Q运动到点C时，两点停止运动且， ∴， ∵， ∴在中，， 即， 解得：（不合题意，舍去）或， 故当时，的长度等于． （3）略； 24．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段检测）因为“圣诞节”的到来，各个花店的鲜花礼品都进入销售旺季，某花店以每束20元的价格购进一种鲜花礼品，经过市场调查发现，该鲜花礼品每天的销售数量（束）与销售单价（元/束）之间满足一次函数关系，部分数据如下表： 销售单价（元/束） … 30 35 40 … 每天销售数量（束） … 140 130 120 … (1)求关于的函数表达式； (2)设销售这种鲜花礼品每天获利（元），当鲜花礼品每天的销售数量不低于100束时，销售单价为多少元时，每天获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元 【知识点】求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查一次函数、二次函数的应用，关键是根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式． （1）设y与x之间的函数关系式为，然后用待定系数法求函数解析式，即可解答； （2）根据总利润=单个利润×总数量列出函数解析式，然后由函数的性质以及自变量的取值范围求出函数最值． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 则， 解得， ∴； （2）解：∵鲜花礼品每天的销售数量不低于100束， ∴， ∴， 根据题意，得 ， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，w随x的增大而增大， 又， ∴当时，w有最大值为， 即销售单价为50元时，每天获利最大，最大利润是3000元． 【考点5】反比例函数的图象与性质（第25-28题） · 由 k 的符号定象限，由点的坐标定 k 值 · 比较函数值大小先看是否在同一象限，不同象限的点符号相反 · k 的几何意义：矩形面积为 |k|，与点的位置无关 25．（26-27九年级上·江苏苏州·阶段检测）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的值是（     ） A．0 B．0或1 C．0或2 D．4 【答案】A 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、因式分解法解一元二次方程、根据反比例函数的定义求参数 【分析】根据反比例函数的定义可得k的值，再由函数图象位于第二、四象限，即可求解． 【详解】解：∵函数为反比例函数， ∴，且， 解得：或， 又∵函数图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴． 26．（23-24九年级上·辽宁大连·期末）如图，点在双曲线的图象上，轴，垂足为，若，则的值为_____． 【答案】 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】本题主要考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：设点A的坐标为， ∵点A在第一象限， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 27．（2025·上海·二模）如果反比例函数（k是常数）的图像经过点，，那么和的大小关系是：______．填“>”、“=”或“<”） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握和运用反比例函数的性质是解决本题的关键． 根据反比例函数的性质即可判定． 【详解】解：在反比例函数中， 随的增大而减小， ， ， 故答案为：． 28．（24-25九年级上·湖南常德·期中）若点，在双曲线上，则，的大小关系是______． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据时，在每一象限内，的值随着的增大而减小，据此即可求解，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴在每一象限内，的值随着的增大而减小， ∵， ∴， 故答案为：． 【考点6】反比例函数与一次函数、几何综合（第29-36题） · 交点问题联立两个函数解析式，解方程组 · 求三角形、四边形面积常以坐标轴或截线段为底高 · 结合相似或勾股建立线段比例关系，注意数形结合 29．（23-24九年级上·山西太原·阶段检测）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点，，则不等式的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断 【分析】本题主要考查利用函数图像解不等式，将函数值的大小关系转化为图像的上下关系即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴图像在的上方， ∴图像在交点A的左侧和y轴于点B之间， 即或． 故选：C． 30．（2024·四川德阳·三模）在同一直角坐标系中，一次函数与二次函数的大致图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】一次函数、二次函数图象综合判断 【分析】根据函数图象分布，确定字母范围，相同字母范围一致的即可． 本题考查了一次函数与二次函数图象的分布，熟练掌握图象分布特点是解题的关键． 【详解】A. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意； B. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      C. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即；不一致，不符合题意；      D. 根据一次函数图象分布，得即；根据二次函数图象分布，得即； 一致，符合题意， 故选D. 31．（23-24八年级下·四川遂宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象相交于点，，则不等式的解集为________． 【答案】/ 【知识点】一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象特征，函数图象在上面的y值总比函数图象在下面的y值大；反之，就越小；据此解答即可． 【详解】解：∵函数与反比例函数的图象相交于，两点，且， ∴时，函数的图象在反比例函数图象的上方，且， 故答案为：． 32．（2026·陕西延安·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点在反比例函数（）的图象上，点的坐标为，且轴．若，则的值为________． 【答案】 【知识点】反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】根据点的坐标利用勾股定理求出的长，由得到的长，根据轴确定点的纵坐标，结合确定点的横坐标，最后代入反比例函数解析式求解． 【详解】解：点的坐标为， ， ， ， ∵轴， 点的纵坐标为， 点在反比例函数的图象上， 点在第二象限， 点的横坐标为，且， 点的横坐标为， 点的坐标为， 将点代入得． 33．（26-27九年级上·山东日照·阶段检测）取直线上一点，①过点作轴的垂线，交于点；②过点作轴的垂线，交于点；如此循环进行下去．按照上面的操作，若点的坐标为，则点的坐标是___________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、点坐标规律探索、求一次函数自变量或函数值、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象上点的坐标特征及规律探究：先依次求出、、、，发现每个点为一个循环，再用余数确定所求点与哪个点重合． 【详解】解：， ①过作轴的垂线，交于； ②过作轴的垂线，交于； 同理，，与重合， ∴点的坐标个坐标一个循环， ∵， ∴与重合， ∴点的坐标是． 34．（2024·吉林·三模）如图，点B、是反比例函数图象上的两点，过点B的直线与x轴交于点A，轴，垂足为D，与交于点E，点B的横坐标为6． (1)求k、b的值； (2)求的面积． 【答案】(1)， (2)2 【知识点】一次函数与反比例函数的其他综合应用 【分析】本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式： （1）代入点C坐标求得反比例函数的关系式，再计算点B的坐标，将点B坐标代入一次函数解析式求解即可； （2）分别求出点A、D和E的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的关系式为； ∵点B的横坐标为6， ∴点B的纵坐标为4，即点， 将代入得：， 则； （2）解：∵，轴， ∴点， 由（1）可得，直线解析式为， 当时，，点， 当时，， ∴点E的坐标为， ∴． 35．（25-26八年级下·河南洛阳·期中）工匠制作某种金属工具要进行材料煅烧和锻造两个工序，即需要将材料煅烧到，然后停止煅烧进行锻造操作，经过时，材料温度降为．煅烧时温度与时间成一次函数关系；锻造时，温度与时间成反比例函数关系（如图）．已知该材料初始温度是． (1)求材料煅烧和锻造时与的函数关系式； (2)根据工艺要求，锻造过程中，当材料温度低于时，须停止操作，那么锻造的操作时间有多长？ 【答案】(1)材料加热时，与的函数关系式为；停止加热进行锻造时与的函数关系式为： (2) 【知识点】求一次函数解析式、实际问题与反比例函数、求反比例函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】考查了反比例函数和一次函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式． （1）根据题意，材料煅烧时，温度与时间成一次函数关系，煅烧结束时，温度与时间成反比例函数关系，将题中数据代入，用待定系数法可得两个函数的关系式； （2）把代入中，求解，进而得出答案即可． 【详解】（1）解：停止加热时，设， 由题意得， 解得：， 当时，， 解得， ∴点B的坐标为； 材料加热时，设， 由题意得， 解得． ∴材料加热时，与的函数关系式为：， 停止加热进行锻造时与的函数关系式为：． （2）解：把代入中， 得， ． 答：锻造的操作时间为． 36．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段检测）为预防流感，某学校对教室采用药熏消毒．已知药物燃烧阶段，室内每立方米空气中的含药量（单位：）与燃烧时间（单位：min）成正比例；燃烧后，与成反比例（如图所示）．现测得药物1燃烧完毕，此时教室内每立方米空气含药量为．根据以上信息解答下列问题： (1)分别求出药物燃烧时；药物燃烧后，关于的函数解析式，并直接写出自变量的取值范围； (2)研究表明，当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用，那么从药物燃烧完毕开始计时，至少需要经过多长时间，学生才可以返回教室？ 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少需要分钟后学生才能回教室 【知识点】求一次函数解析式、实际问题与反比例函数 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的实际应用； （1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，解出即可． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得   ∴药物燃烧后； （2）令，则，， 答：至少需要分钟后学生才能回教室． 【考点7】比例线段与黄金分割（第37-39题） · 比例性质：若 a:b=c:d，则 ad=bc，注意等比性质的适用条件 · 黄金分割比为 ，较长段是较短段与全长的比例中项 · 二次根式乘除先化简再合并，注意分母有理化 37．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）若线段，，则a和b的比例中项线段等于（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【知识点】比例的性质 【分析】本题考查了比例中项．熟练掌握比例中项是解题的关键． 根据比例中项的定义求解即可． 【详解】解：设比例中项线段为，， 依题意得，，即， 解得，或（舍去）， 故选：B． 38．（25-26九年级上·全国·周测）如图，线段，是线段AB的黄金分割点；是线段的黄金分割点；是线段的黄金分割点；……．以此类推，线段的长度是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】黄金分割 【分析】本题考查的是黄金分割的知识，理解黄金分割的概念是解决问题的关键． 根据黄金分割的定义得到，则，同理得到，，根据此规律得到．据此可得答案． 【详解】解：是线段AB的黄金分割点， ， 则． 同理，得，…． 以此类推，线段的长度是 故选：. 39．（26-27九年级上·四川成都·阶段检测）成都熊猫基地观光瞭望塔因外形如破土春笋，被市民称为“笋子塔”，塔高约米．如图，将塔身看作线段（为塔底，为塔顶）．若观光层所在位置点恰好是线段的黄金分割点，且，则的长为（     ）米． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】二次根式的乘法、黄金分割 【分析】直接利用黄金分割较长线段公式代入总长度计算． 【详解】解：∵点恰好是线段的黄金分割点，且， ∴， ∵（米） ∴， ∴． 【考点8】相似三角形的判定（第40-44题） · 优先找两角对应相等，再看边成比例且夹角相等 · 有平行线时直接用「A 型」「X 型」基本图判定 · 证明积式或比例式先转化为相似三角形的对应边 40．（2025·贵州贵阳·三模）如图，矩形中，点，分别是，边上的点，连接，，，若，则图中①，②，③，④四个三角形一定相似的是 A．①和② B．②和③ C．③和④ D．①和④ 【答案】C 【知识点】根据矩形的性质求线段长、相似三角形的判定综合 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的判定，余角定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 由垂直得出，然后利用直角三角形的性质和余角性质得出，然后得出即可得出结论． 【详解】解：如图所示， ∵， ， ， 在矩形中，， 又， ， 故选：C． 41．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，下列条件不能判定与相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可. 【详解】解：∵， ∴当时，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，根据两角对应相等，能判定与相似； 当，不能判定与相似； 当，根据两组对应边成比例，夹角相等，能判定与相似； 故只有C选项符合题意. 42．（25-26九年级上·广东·期中）如图，在四边形中，，，求证：． 【答案】 证明：， ，， ， ， ． 【知识点】利用两角对应相等判定相似 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 通过，，得到，即可求解． 【详解】略 43．（2024·湖北武汉·模拟预测）如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【答案】 证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 【知识点】根据旋转的性质求解、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 【详解】略 44．（24-25九年级上·吉林长春·期末）将两块等腰直角三角板如图摆放在同一个平面内，请直接写出三对相似三角形，并且用“”连接． 【答案】 【知识点】等腰三角形的性质和判定、相似三角形的判定综合 【分析】本题考查等腰直角三角形性质，相似判定及性质等． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 注：答案不唯一． 【考点9】相似三角形的性质与综合应用（第45-56题） · 对应线段（高、中线、角平分线、周长）比等于相似比 · 面积比等于相似比的平方，审题时区分求线段还是求面积 · 遇中点、中位线时结合相似与勾股定理综合求解 45．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求两个位似图形的相似比、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 故选：D． 46．（23-24九年级上·山东日照·期中）如图，已知菱形的边长为2，对角线相交于点，点分别是边上的动点，，连接．以下四个结论正确的是（    ）． ①是等边三角形；②的最小值是；③当最小时，；④四边形周长最小值为 A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【知识点】利用菱形的性质证明、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、等边三角形的判定和性质 【分析】①依据题意，利用菱形的性质及等边三角形的判定与性质，证出，然后证，得到，即可证出．②当最小值时，即的长为最小值，而当时，值最小，利用勾股定理求出，即可得到的值．③当最小时，点M、N分别为中点，利用三角形中位线定理得到，即可证明，得到，即可．④根据，可得四边形周长，从而得到当最小时，四边形周长最小，最后得到答案． 【详解】解：如图：在菱形中， ， ∵， 为等边三角形， ∴， 为等边三角形， 又∵， ∴， 在与中， ∵， ∴， ， 为等边三角形，故①正确； ∵， 当最小值时，即的长为最小值，而当时，值最小， ∵， ∴，即，故②正确； 当最小时，点M、N分别为中点， ∴， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴四边形周长， ∴当最小时，四边形周长最小，最小值为，故④正确； 故选：D． 【点睛】此题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定等相关内容，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 47．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段检测）如果两个相似多边形的面积比为，那么它们的周长比为___． 【答案】/ 【知识点】相似多边形的性质、利用相似三角形的性质求解 【分析】考查相似多边形的性质，相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方． 直接根据相似多边形周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似多边形面积的比为， ∴两个相似多边形相似比为， ∴两个相似多边形周长的比为． 故答案为：． 48．（24-25九年级上·上海徐汇·阶段检测）在中，，分别反向延长到D、E，若，则当_____时，． 【答案】/ 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，根据平行得到比例式是解决本题的关键．由可以得到，然后代入数据即可求出，故时，． 【详解】解：如图： ∵当 ∴时， ∴， ∴， ∴当时，， 故答案为：． 49．（23-24九年级上·上海长宁·期中）在中，若中线和中线相交于点，则的值是______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，三角形中位线的判定和性质，由中线和中线相交于点，得，，推出，得到，由此求出答案． 【详解】解：连接 ∵中线和中线相交于点， ∴是的中线， ∴，， ∴ ∴ ∴， ∴ 故答案为． 50．（25-26九年级上·广东广州·期末）如图，在中，点，分别在，上，，若，则__________． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．根据题意证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 51．（2024·吉林长春·一模）如图，在中，，分别与相交于点D、E，若，，则的值为__________． 【答案】 【知识点】由平行截线求相关线段的长或比值 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握该定理是解题的关键，根据，由平行线分线段成比例定理可得，将已知条件代入即可求解． 【详解】解：∵，，， ∴． 故答案为． 52．（25-26九年级上·黑龙江绥化·阶段检测）如图，点分别在的边、上，且，，，若使与相似，则的长为______． 【答案】或 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是在于分类讨论对应角的两种情况．分两种情况进行讨论：①对应，②对应，再利用相似三角形对应边成比例，列比例式求解． 【详解】解：①若对应时， ，即， 解得，； ②当对应时，，即， 解得，， 故答案为：或． 53．（23-24九年级上·上海徐汇·期末）如图，在中，，于D，如果和的面积比为，，那么的长是_______． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题主要考查三角形相似的判定和性质，熟练掌握三角形相似的判定和性质是解题的关键．证明，根据相似的性质求出即可得到答案． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ， ， 和的面积比为， ， ， ， ． 故答案为：． 54．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着→→的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当是直角三角形时，的值为____________． 【答案】或 【知识点】由平行判断成比例的线段、相似三角形的判定与性质综合、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题 【分析】先求出的长，再分①时，是的中位线，然后求出的长度，再分点在上和在上两种情况列出方程求解即可；②时，利用相似三角形的判定及性质求出，然后分点在上和在上两种情况列出方程求解即可． 【详解】解：∵为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ①时， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴是的中位线， ∴ （）， ∴点在→上时，（）， 点在→上时，点运动的路程为（）， ∴（舍去）； ②时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ 即 ∴（）， 点在→上时，（）， 点在→上时，点运动的路程为（）， （舍去）， 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，勾股定理，平行线分线段成比例，三角形的中位线定理，难点在于分情况讨论． 55．（24-25九年级上·江苏无锡·阶段检测）如图，是的直径，是的中点， (1)判断与的关系，并说明理由； (2)若，求的值． 【答案】(1) ，理由如下： ∵D是的中点，O是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴； (2) 【知识点】圆的基本概念辨析、用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、相似三角形的判定综合 【分析】（1）可证明是的中位线，得到，则可证明； （2）由三角形中位线定理得到，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵是的中位线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，勾股定理，相似三角形的判定，三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半是解题的关键． 56．（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，在矩形中，若，求的长度． 【答案】1 【知识点】利用矩形的性质求角度、由平行截线求相关线段的长或比值、用勾股定理解三角形 【分析】根据矩形的性质得到，，根据平行线分线段成比例定理得到，根据勾股定理求出的值，即可得到的长度． 【详解】解：∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【考点10】位似图形（第57-60题） · 位似是特殊相似，对应点连线交于位似中心 · 坐标系中以原点为位似中心时，坐标同时乘以相似比（注意同侧、异侧） · 网格中画位似图形先定关键点，再按比例取对应点 57．（23-24九年级上·广东深圳·期中）如图，在平面直角坐标系中，网格的每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，点A，B，C的坐标分别为，，．    (1)以原点O为位似中心在第三象限内画一个，使它与位似，且相似比为，并直接写出点，，的坐标； (2)直接写出与的面积比是__________． 【答案】(1) 如图，即为所求 点，，． (2) 【知识点】求位似图形的对应坐标、在坐标系中画位似图形、利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查作图位似变换，熟练掌握相似三角形的性质是解答本题的关键． （1）根据位似的性质作图，即可得出答案． （2）根据相似三角形的性质可得答案． 【详解】（1）略 （2）由题意可得，与相似，相似比为， 与的面积比是． 故答案为：． 58．（23-24九年级上·江苏常州·阶段检测）如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，且每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上，按要求完成如图画图．（要求仅用无刻度的直尺，且保留必要的画图痕迹）    (1)在图1中，以为边，画出，使，C为格点； (2)在图2中，以点O为位似中心，在网格中画出，使与位似，且位似比，点D、E为格点． 【答案】(1) 如图，即为所求作；    (2) 如图，即为所求作．    【知识点】在网格中画与已知三角形相似的三角形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质画出，满足，则满足； （2）根据位似图形的性质以及相似三角形的性质即可画出． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了作图-相似变换，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 59．（25-26九年级上·四川达州·阶段检测）已知是坐标原点，、的坐标分别为、． (1)画出绕点顺时针旋转°后得到； (2)在轴的左侧以为位似中心作的位似图形，使新图与原图相似比为； (3)在坐标平面内存在点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) 解：如图所示： (2) 解：如图所示： (3)或或 【知识点】画旋转图形、利用平行四边形的性质求解、在坐标系中画位似图形 【分析】本题考查了旋转作图，位似作图，平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）分别找出旋转后的点，然后依次连接，得，即可作答． （2）分别找出位似后的点，然后依次连接，得，即可作答． （3）根据平行四边形的性质，作出满足题意的点，然后读取它们的坐标，即可作答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：点如图所示： ∴以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点M的坐标为或或． 60．（23-24九年级上·全国·单元测试）如图，正方形，按如图位置依次摆放，已知点，，，，在直线上，点的坐标为． (1)写出正方形的位似中心坐标 (2)求正方形四个顶点的坐标． 【答案】(1) (2) 【知识点】求位似图形的对应坐标 【分析】本题主要考查位似变换、一次函数图象上点的坐标特点以及正方形的性质，解答本题的关键是正确得出各线段的长； （1）直接利用位似图形的性质可知，对应点连线的交点即为位似中心坐标点，据此即可得到答案； （2）利用一次函数图象上点的坐标特点和正方形的性质得出各线段的长，即可得到答案. 【详解】（1）解：如图所示，正方形的位似中心坐标为． （2）解：∵点，，，，在直线上，点的坐标为， ∴，则， ∴， 则， 故. 💯 课后巩固 复习建议 · 先按「概念—图象—性质—应用」四条线画思维导图，再逐点对照错题 · 二次函数题优先配方或套顶点公式，切忌硬算；反比例题先定 k 再看象限 · 做相似证明时先找等角，把比例式改写成相似三角形对应边 · 每天精练 3 道二次函数综合、2 道反比例综合、2 道相似证明，限时完成 · 错题按「符号判断、平移、交点、最值、相似」五类归档，考前重做一遍 【作业1】．（23-24九年级上·广西南宁·期中）下列函数属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数的识别 【分析】本题考查了二次函数的定义，关键是根据二次函数的定义条件：二次函数的定义条件是：a、b、c为常数，，自变量最高次数为2． 【详解】解：A、是一次函数，故不合题意； B、是二次函数，故符合题意； C、中未知数的最高次数为3，不是二次函数，故不合题意； D、是一次函数，故不合题意； 故选：B． 【作业2】．（23-24九年级上·山东烟台·期中）将抛物线绕原点旋转，则旋转后的抛物线表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式、求关于原点对称的点的坐标 【分析】题主要考查了根据二次函数的图象的变换求抛物线的解析式．根据关于原点对称的两点的横坐标纵坐标都互为相反数求出旋转后的顶点坐标，即可根据顶点式求解． 【详解】解：∵ ∴顶点坐标为，开口向上， 绕原点旋转，顶点坐标为，开口向下， ∴旋转后的抛物线解析式是． 故选：D． 【作业3】．（25-26九年级上·全国·寒假作业）如图，反比例函数在第一象限内的图象与矩形的两边相交于，两点，．若矩形的面积为8，则的值是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【知识点】反比例函数与几何综合、根据图形面积求比例系数（解析式）、根据矩形的性质求线段长 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，反比例函数图象上的点的坐标特征，矩形的性质．先表示，得到，，根据矩形的面积为8，得到，再由反比例函数的图象经过第一象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴点E的横坐标为6，点D的纵坐标为3， ∴点E的纵坐标为，点D的横坐标为， ∴， ∴，． ∵矩形的面积为8， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一象限， ∴， ∴． 故选：D． 【作业4】．（24-25九年级上·安徽亳州·阶段检测）如图，已知，补充下列条件仍不能判断与相似的是（    ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【知识点】选择或补充条件使两个三角形相似 【分析】本题考查三角形相似的判定，熟练掌握三角形相似的判定定理是解题关键．A选项：由角平分线的定义得出，即可由两角分别相等的两个三角形相似判定；B选项：可证，得出，即可由两角分别相等的两个三角形相似判定；C选项：不能证明与相似；D选项：可得出，即可由两个直角三角形的斜边与一条直角边对应成比例的两个三角形相似判定． 【详解】解：∵平分， ∴． ∵， ∴，故A选项不符合题意； ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴，故B选项不符合题意； 由，结合，不能证明与相似，故C选项符合题意； ∵， ∴， ∴，故D选项不符合题意． 故选C． 【作业5】．（25-26九年级上·湖北孝感·期中）如图，已知二次函数． 的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线．以下结论正确的是（     ） A． B． C． D．此二次函数的最大值是 【答案】D 【知识点】根据二次函数的图象判断式子符号、二次函数图象与各项系数符号、抛物线与x轴的交点问题、y=ax²+bx+c的最值 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的开口，对称轴，最值的计算是关键． 根据题意得到，由此判定各选项即可求解． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ∴， 二次函数对称轴直线为， ∴， 二次函数与轴交于正半轴， ∴， ∴，故A选项错误，不符合题意； ∴，故B选项错误，不符合题意； 的图象与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∴当时，， ∴当时，，故C选项错误，不符合题意； ∵对称轴直线为，图象开口向下， ∴当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，， ∴，则， ∴，故D选项正确，符合题意； 故选：D ． 【作业6】．（26-27九年级上·北京海淀·阶段检测）若关于的方程有3个不同的实数根，则的值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据二次函数图象确定相应方程根的情况 【分析】利用的特性，分析的取值范围，转化成二次函数与直线的交点情况，结合根的数量对应关系求解的值． 【详解】解：∵ ， ∴当时，，函数顶点为，过点， 当时， ，函数顶点为，过点， 下面分析与直线的交点情况， 如图所示， 当时，直线与二次函数有2个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数有3个交点，符合题意； 当时，直线与二次函数有4个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数有2个交点，不符合题意； 当时，直线与二次函数没有交点，不符合题意； ∴的值为2． 【作业7】．（25-26九年级上·福建福州·期中）若反比例函数的图象过点，则等于_______． 【答案】 【知识点】由反比例函数值求自变量 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，把点代入反比例函数解答即可，只需把所给点的坐标代入函数即可，比较简单． 【详解】解：把点代入反比例函数得：， ∴， 故答案为：． 【作业8】．（25-26九年级上·河南周口·期中）若，且，则与的周长比为________ 【答案】 【知识点】利用相似三角形的性质求解 【分析】本题考查了相似三角形的性质. 根据且，可得的周长与的周长的比为，求解即可． 【详解】解：∵且， ∴的周长与的周长的比为， 故答案为：． 【作业9】．（22-23九年级上·河南濮阳·阶段检测）抛物线 的顶点坐标为______． 【答案】 【知识点】把y=ax²+bx+c化成顶点式 【分析】将抛物线解析式化成顶点式进行求解． 【详解】解：， ∴顶点坐标为． 【作业10】．（26-27九年级上·全国·单元复习）经统计，某段高架桥上车辆的行驶速度随高架桥上每百米车的数量（辆）的变化而变化，其关系如图所示，当时，与成反比例函数关系，要使车速不低于，则高架桥上每百米车的数量（为整数）的取值范围是____． 【答案】 【知识点】实际问题与反比例函数、用一元一次不等式解决实际问题、求反比例函数解析式 【分析】先利用图象求出区间对应的反比例函数解析式，再结合车速不低于的约束，分区间推导每百米车辆数的合理取值范围． 【详解】解：设反比例函数的表达式为，将代入得，车速不低于，即，分两种情况讨论： ①由图可知，当时，，所有的整数都满足条件； ②由图可知，当时，，，即，所有的整数都满足条件． 综上所述，高架桥上每百米车的数量的取值范围是（为整数）． 【作业11】．（26-27九年级上·江苏常州·阶段检测）若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小、判断反比例函数的增减性 【分析】先判断反比例函数比例系数的正负，再利用反比例函数的性质比较纵坐标大小． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴， ∴该反比例函数的图象在第一、三象限，且在每个象限内随的增大而减小． ∵点的横坐标， ∴点在第三象限，得． ∵点的横坐标，点的横坐标， ∴，都在第一象限，得，． 又∵，且第一象限内随增大而减小， ∴． 综上，． 【作业12】．（25-26九年级上·江苏连云港·阶段检测）如图，是抛物线在第一象限上的点，过点分别向轴和轴引垂线，垂足分别为，则四边形周长的最大值为__________． 【答案】 【知识点】线段周长问题(二次函数综合) 【分析】本题考查了二次函数的最值及二次函数的图像上点的坐标特征，最后根据二次函数的性质求最值是解题的关键．设点P的坐标为，，根据四边形的周长得到：，再由二次函数的性质即可求得最大值． 【详解】解：设点P的坐标为，， 由题意可知：四边形的周长， ∴， 当时，C有最大值． 故答案为：． 【作业13】．（25-26九年级上·江西萍乡·期末）如图，已知点是反比例函数图象上的一点，过点作轴，交轴于点，点在轴负半轴上，连接、交轴于点，若，则________． 【答案】 【知识点】已知比例系数求特殊图形的面积、反比例函数与几何综合、相似三角形的判定与性质综合 【分析】本题考查反比例函数的几何意义、相似三角形的性质及三角形面积公式的应用．首先设点的坐标为，接着根据的线段比例关系，求出与的长度；再利用的平行关系，判定，通过相似三角形对应边成比例的性质求出的长度；最后以为底、为高，代入三角形面积公式计算出的面积． 【详解】解：设点的坐标为，则点的坐标为，． ， ， ． ， ， ，即，解得， ． 故答案为：． 【作业14】．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，，在轴上，延长交射线于点，以为边长作正方形；延长交射线于点，以为边长作正方形，分别连接，，，，得到， ， ，按照此规律继续下去，若，则的面积为___． 【答案】 【知识点】相似三角形的判定与性质综合、根据正方形的性质求线段长、在坐标系中求两个位似图形的相似比、周长比或面积比 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的判定和性质，正方形的性质，找出规律是解题的关键． 根据已知条件得到，求得，得到求得，得到，过作，根据等腰直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为， ， 轴，轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 过作于， ， 的面积， 同理， 的面积， 的面积 ， 的面积， 故答案为：． 【作业15】．（2024·广东东莞·一模）已知反比例函数图象经过． (1)求反比例函数解析式； (2)若点，是反比例函数图象上两点，试比较，大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】（1）用待定系数法求反比例函数的解析式； （2）根据反比例函数的增减性即可； 此题考查了反比例函数的图象及性质，熟练掌握待定系数法求反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】（1）∵反比例函数图象经过， ∴， ∴； （2）由（1）得：，反比例函数图象位于第一、三象限，在每一象限内，随的增大而减小， ∴反比例函数图象上两点，，， ∴． 【作业16】．（24-25九年级上·全国·期中）苦荞是自然界中甚少的药食两用作物．山西特产专卖店销售广灵苦荞，其进价为每千克80元，按每千克110元出售，平均每天可售出100千克．经市场调查发现，单价每降低2元，平均每天可多售出20千克．当每千克的售价为多少元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大？ 【答案】100元 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数应用，理解题意，确定利润的计算方法是解题的关键． 设每千克的售价为元，该专卖店销售广灵苦荞每天获利元，根据销售数量乘以每千克的利润，列出函数关系式，再根据二次函数最值求解即可． 【详解】解：设每千克的售价为元，该专卖店销售广灵苦荞每天获利元， 则． ， 当时，最大． 答：当每千克的售价为100元时，该专卖店销售广灵苦荞每天获利最大． 【作业17】．（24-25九年级上·全国·期末）（1）计算：． （2）如图，在四边形中，，，点在对角线上，连接，．求证：． 【答案】（1） （2）证明： ， ， ， ， ， 又 ， ． 【知识点】利用两角对应相等判定相似、负整数指数幂、零指数幂、等边对等角 【分析】本题考查了负指数幂，零指数幂，绝对值的运算，等腰三角形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定．熟练掌握并灵活运用以上知识点是解题的关键． （1）根据负指数幂，零指数幂，绝对值的运算法则，进行化简计算即可； （2）由可得出，由，可得出，进而可得，再由，即可证明． 【详解】（1）解： ． （2）略． 【作业18】．（24-25九年级上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，抛物线经过点． (1)求该抛物线的函数表达式． (2)将该抛物线左右平移，若平移一次后的抛物线经过原点，试写出平移方案． 【答案】(1) (2)向左平移个单位或个单位 【知识点】求抛物线与x轴的交点坐标、二次函数图象的平移、待定系数法求二次函数解析式 【分析】（）把点代入抛物线解析式求出的值即可求解； （）求出抛物线与轴的交点坐标即可求解； 本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求出二次函数与轴的交点坐标是解题的关键． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点， ∴， 解得， ∴该抛物线的函数表达式为； （2）解：当时，， 解得，， ∴抛物线与轴的交点坐标为和， ∴将该抛物线向左平移个单位或个单位，平移后的抛物线经过原点． 【作业19】．（24-25九年级上·湖南株洲·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、B两点，与x轴交于点C，过点A作轴于点H，坐标原点O是线段的中点． (1)求该反比例函数和一次函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数和一次函数的表达式分别为 (2)24 【知识点】求一次函数解析式、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式、一次函数与反比例函数的交点问题 【分析】（1）先求出反比例函数关系式，即可得出点C的坐标，再根据待定系数法求出一次函数关系式即可； （2）先将两个函数关系式联立求出点B的坐标，再以为底边，以点B的横坐标减去点A的横坐标为高求出面积即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； ∵点，且点O是线段的中点， ∴点C的坐标为， 将A，C两点的坐标代入中， 得， 解得， ． 故所求反比例函数和一次函数的表达式分别为、； （2）解：由， 解得或， ， ． 【点睛】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合问题，求反比例函数关系式，求一次函数关系式，求几何图形的面积等，理解用坐标差表示线段长是解题的关键． 【作业20】．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段检测）如图，已知二次函数的图象经过，，三点． (1)求二次函数的解析式； (2)设点在二次函数的图象上，将绕点C按顺时针方向旋转至，使得射线与y轴的正半轴交于点E，且经过点D，射线与线段交于点F．求证：； (3)是否存在点，使得点A、D、H构成的是直角三角形？若存在，有几个符合条件的点H？（画出草图，直接回答，不必说明理由） 【答案】(1)； (2) 解：过点C作于点轴于点， ， ， ， ， ∵将绕点按顺时针方向旋转至， ， 即， 又 ∵， ， ， ∵二次函数的解析式为， 当时，， ， 设直线，把代入得 ， ∴直线 ， ． (3)4个 【知识点】特殊三角形问题(二次函数综合)、待定系数法求二次函数解析式、全等三角形综合问题 【分析】本题考查二次函数的解析式求解以及几何图形的旋转与全等证明，解题的关键是利用待定系数法求二次函数解析式，通过作辅助线、证明三角形全等进行几何推导． （1）利用待定系数法，将、、三点坐标代入二次函数，解方程组求出、、的值，得到解析式． （2）先求出点坐标，再求出直线的解析式，确定点坐标，结合全等三角形的性质，得出，进而推导出． （3）根据题意画出符合条件的点H即可 【详解】（1）解：把代入， 得 ∴二次函数的解析式为； （2）略 （3）如图，有四个符合条件的H点，使得点A，D，H构成的是直角三角形； 过D作，交直线于点； 过A作，交直线于点； 以为直径画圆，交直线于； ∴存在4个符合条件的点H，使得点A，D，H构成的是直角三角形 1 学科网（北京）股份有限公司 $