7.3 直线、平面平行的判定与性质（8大题型归纳）讲义-2027届高三数学一轮复习（新高考专用）

7.3 直线、平面平行的判定与性质 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、直线和平面平行 3 知识点二、两个平面平行 3 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 16 题型一：平行关系的判断 16 题型二：利用中位线证明线面平行 18 题型三：利用平行四边形证明线面平行 20 题型四：利用面面平行证明线面平行 24 题型五：线面平行性质的应用 28 题型六：证明面面平行 32 题型七：面面平行性质的应用 37 题型八：平行关系的综合应用 41 05 课后拓展精练 47 知识点一、直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点二、两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 1．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【解析】解法一：由题意，在正方体中， A项， ，，∴四边形是平行四边形，∴，A正确； B项，由几何知识得，，， ，平面，平面， ∴平面，故B正确； C项， ∵，平面，平面，∴平面， 由几何知识得，，，∴四边形是平行四边形， ∴， ∵平面，平面，∴平面， ∵，，∴平面平面，C正确； D项， 假设平面平面，则交线为，此时有， ∴平面， ∵平面，∴， 连接，， 由几何知识得，，则，故 在中，由几何知识得，， ∴三角形为等边三角形，，矛盾， 故D错误. 解法二：以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 设，则，，，，，，，， 可得，，，， 对于A：因为，可得，故A正确； 对于B：根据正方体的性质可知平面    ，故B正确； 对于C：设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 设平面的法向量为，则， 设，可得，可得； 因为，所以平面平面，故C正确； 对于D：由题意可知：平面的一个法向量， 因为，可知平面与平面不垂直，故D错误. 2．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 【答案】A 【解析】 连，在正方体中， M是的中点，所以为中点， 又N是的中点，所以， 平面平面， 所以平面. 因为不垂直，所以不垂直 则不垂直平面，所以选项B,D不正确； 在正方体中，， 平面，所以， ，所以平面， 平面，所以， 且直线是异面直线， 所以选项C错误，选项A正确. 故选：A. 3．（2020·上海·高考真题）在棱长为10的正方体. 中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】如图由条件可知直线交线段于点，连接，过点作的平行线，必与相交，那么也与平面相交. 故选：D. 4．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 【答案】BD 【解析】法一：对于A，在正三棱柱中，平面， 又平面，则，则， 因为是正三角形，为中点，则，则 又， 所以， 则不成立，故A错误； 对于B，因为在正三棱柱中，平面， 又平面，则， 因为是正三角形，为中点，则，， 又平面， 所以平面，故B正确； 对于D，因为在正三棱柱中， 又平面平面，所以平面，故D正确； 对于C，因为在正三棱柱中，， 假设，则，这与矛盾， 所以不成立，故C错误； 故选：BD. 法二：如图，建立空间直角坐标系，设该正三棱柱的底边为，高为， 则， 对于A，， 则， 则不成立，故A错误； 对于BD，， 设平面的法向量为， 则，得，令，则， 所以，， 则平面，平面，故BD正确； 对于C，， 则，显然不成立，故C错误； 故选：BD. 5．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 【解析】（1）由题知，，即轴截面是等边三角形，故， 底面周长为，则侧面积为：; （2）由题知，则根据中位线性质，， 又平面，平面，则平面 由于，底面圆半径是，则，又，则， 又，则为等边三角形，则， 于是且，则四边形是平行四边形，故， 又平面，平面，故平面. 又平面， 根据面面平行的判定，于是平面平面， 又，则平面，则平面 6．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 【解析】（1） 由题意得，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面； （2）取的中点，连接，，因为，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又，故是等腰三角形，同理是等腰三角形， 可得， 又，所以，故. 又平面，所以平面， 易知. 在中，， 所以. 设点到平面的距离为，由， 得，得， 故点到平面的距离为. 7．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 【解析】（1） 连接，设，则，，， 则， 解得，则为的中点，由分别为的中点， 于是，即， 则四边形为平行四边形， ，又平面平面， 所以平面. （2）过作垂直的延长线交于点， 因为是中点，所以， 在中，， 所以， 因为， 所以，又，平面， 所以平面，又平面， 所以，又，平面， 所以平面， 即三棱锥的高为， 因为，所以， 所以， 又， 所以. 8．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 【解析】（1）证明：如图所示： 分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面，所以平面， 同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面，所以平面． （2）[方法一]：分割法一 如图所示： 分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍． 因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积 ． [方法二]：分割法二 如图所示： 连接AC,BD,交于O，连接OE,OF,OG,OH.则该几何体的体积等于四棱锥O-EFGH的体积加上三棱锥A-OEH的倍,再加上三棱锥E-OAB的四倍．容易求得，OE=OF=OG=OH=8,取EH的中点P，连接AP,OP.则EH垂直平面APO.由图可知，三角形APO,四棱锥O-EFGH与三棱锥E-OAB的高均为EM的长.所以该几何体的体积 题型一：平行关系的判断 【典例1-1】已知两条不同直线，两个不同平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．在空间中，如果，且，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A：空间中垂直于同一条直线的两条直线，可能平行、相交或者异面，故A错误； 对于B：等角定理要求方向相同才平行；两角相等，一组边平行，另一组边可以不平行，故B错误； 对于C：两个平行平面内的直线，可能平行，也可能异面，故C错误； 对于D：如果两个平面平行，一个平面内的任意一条直线都和另一个平面平行，这是面面平行的性质，故D正确. 【典例1-2】已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【解析】 如图所示的正方体， A选项，平面平面，，平面，但和不平行，所以A选项错误； B选项，平面，，但和平面不平行，所以B选项错误； C选项，，，但和不平行，所以C选项错误； D选项，平面，平面，平面平面，所以D选项正确. 【变式1-1】已知直线，和平面，若，，则（   ） A． B． C．与相交 D．或 【答案】D 【解析】，，则可能有，若，则， 故或. 【变式1-2】设直线，平面，下列条件能得出的有（    ） ①，且；②，且；③，且；④，且. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【答案】A 【解析】因为当且仅当相交时，才能推得， 条件①中不一定相交，所以①错误； 条件②中是两条平行直线，肯定不相交，所以②错误； 条件③两个平面可能相交，如图： 所以③错误； 条件④是平面平行的判定定理的条件，所以④正确. 综上所述，能得出的条件有1个. 【变式1-3】（2026·高三·湖南岳阳·阶段检测）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【解析】选项A：平行于同一个平面的两条直线，位置关系可以是平行、相交或异面，并非一定平行，因此A错误. 选项B：两个平面内各存在一条互相平行的直线，无法推出两个平面平行， 比如两个相交平面，也能找到分别在两个平面内的平行直线，因此B错误. 选项C：根据垂直于同一条直线的两个不同平面互相平行，可知C正确. 选项D：若且，则或者，并非一定平行于平面，因此D错误. 【解题总结】 排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除． 题型二：利用中位线证明线面平行 【典例2-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点. 证明：平面； 【解析】连接，交于点，连接， 因为底面为矩形，所以点是的中点， 又点是的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面. 【典例2-2】如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，是的中点，. 证明：平面； 【解析】连接，交于点，连接，如图所示. 三棱柱的所有棱长均相等，四边形是菱形； ，是的中点； 是的中点，. ，，平面. 平面，平面. 【变式2-1】如图，在四棱锥 中，底面  是矩形，，平面 ，点 为棱 的中点. 证明：直线  平面 ； 【解析】如图，连接，取交点为，连接. 因底面是矩形，则是中点，又是中点，则. 又平面，平面，则平面 ； 【变式2-2】如图，在正方体中，分别是、的中点． 求证：平面； 【解析】如图所示，连接， 因为分别为的中点，所以， 又平面，平面，所以 平面. 【变式2-3】如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. 求证：平面； 【解析】证明：连接交于，连接， 则为中点，又为中点，所以， 又平面，平面，所以平面. 【解题总结】 利用三角形中位线找线线平行. 题型三：利用平行四边形证明线面平行 【典例3-1】如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． 证明：平面； 【解析】如图所示，连接． 因为、分别是棱、的中点，所以， 因为，，所以， 所以四边形是平行四边形，则． 因为平面，平面， 所以平面． 【典例3-2】如图，将边长为2的正方形沿对角线折叠，使得平面与平面所成二面角为直角，点E和点C在平面的同侧，且满足平面，且． 求证：直线与平面平行； 【解析】取的中点，连接、，如图， 依题意，在中，，则， 而平面与平面所成二面角为直角，即平面平面， 又平面平面，平面， 于是得平面，且， 因平面，且，则有，且， 从而得四边形为平行四边形，， 又平面，平面， 则平面 【变式3-1】（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，为正三角形，E为的中点，，，． 证明：平面； 【解析】 取的中点F，连接，， 又E为的中点，则，， 因为，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以 ， 又平面，平面，所以平面． 【变式3-2】（2026·高三·安徽马鞍山·阶段检测）如图，在四面体中，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． 求证：平面； 【解析】作交于，作交于， 平面，平面，，， ，，； 又，，， 则四边形为平行四边形，， 且平面，平面，平面． 【变式3-3】如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且为的中点. 证明：平面； 【解析】取中点，连接，. 因为为的中点，为中点，所以且， 又，，，， 所以有且.所以四边形为平行四边形. 则，又平面，平面，所以平面． 【解题总结】 利用平行四边形找线线平行. 题型四：利用面面平行证明线面平行 【典例4-1】（2026·高三·云南玉溪·阶段检测）如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，，. 证明：平面； 【解析】证法一：如图所示，取棱上一点，使得， 连接，因为，所以，所以，且， 又因为四边形为菱形，且，所以且， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面. 证法二：如图所示，取棱上一点，使得，连接， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为，所以， 因为四边形为菱形，所以，， 所以，且，所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 【典例4-2】如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． (1)记平面平面，证明：； (2)若点在侧棱上且，求证：平面． 【解析】（1）证明：在正四棱锥中，，平面，平面， 则平面，而平面，平面平面， 所以. （2）证明：连接交于，连接，则为中点， 取中点，又，则， 连接，在中，有， 由平面PAC，平面PAC，得平面PAC， 而，则， 所以，平面，平面，则平面， 又，平面，因此平面平面， 又平面，所以平面． 【变式4-1】如图，在正方体中，分别是棱，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面. 【解析】（1）连接，因为分别是棱的中点，所以， 又因为，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，所以，，，四点共面； （2）连接，可得，又因为， 所以，所以四边形为平行四边形，， 又因为平面，平面，所以平面， 因为分别是棱，的中点， 所以，得， 又因为平面，平面，所以平面， 且，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面. 【变式4-2】如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角为． 证明：平面； 【解析】设，则，， 由为中点，得，由，，得是平行四边形， 则，即，由平面，平面，得平面， 由，平面，平面，得平面， 又，，平面，因此平面平面， 又平面，所以平面． 【变式4-3】如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且． (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． 【解析】（1）因为底面，平面， 所以， 又，即， 且，平面， 所以 平面， 过作，交于点，由平面可知平面， 的长度即为点到平面的距离， 因为是中点，，所以是的中位线， 因此， 即点到平面的距离为； （2）过点作，交于点，连接， 因为是的中点，， 由平行线分线段成比例得，即是的中点， 又是中点，因此，即； 结合已知，得，因此， 在中可得，因为，平面，平面，故平面； 因为，平面，平面，故平面， 又，且平面， 由面面平行判定定理得：平面平面， 因为平面， 因此平面. 【解题总结】 本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 题型五：线面平行性质的应用 【典例5-1】如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． 若平面，求的值； 【解析】连接与交于点N，连接，因为平面，且平面平面， 平面，所以，则，又因为，所以， 则，所以的值为． 【典例5-2】（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，平面与平面的交线为. 求证：； 【解析】证明：因为底面为正方形， 所以， 因为平面，平面， 所以平面， 因为平面与平面的交线为，平面， 所以； 【变式5-1】已知正方体的棱长，、分别为棱、CD的中点，与交于点．    (1)过作正方体的截面，使得平面（保留作图痕迹，说明作图方法）； (2)求该截面多边形的周长． 【解析】（1） 取对角线上靠近的三等分点，连接，再取中点，连接并延长交于于点，连接，平面即为截面，满足平面. 因为且，所以四边形为平行四边形，， 同时，分别为中点，所以，， 因为平面，平面，所以平面. （2）由作图方法可知，，, 因为，故，， 又，，， 所以周长. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点E在线段上，且．    (1)证明：平面 (2)设平面平面，证明： (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）因为平面，平面，所以， 因为底面为矩形，所以，，所以平面. （2）因为底面为矩形，所以，因为平面， 平面，所以平面， 又因为平面，平面平面，所以. （3）过作，交于点，过作交于点， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面，， 所以平面平面，又因为平面，所以平面， 因为平面，又平面，所以， 所以，又，则， 由，，所以， 因为，，所以， 所以点为线段上靠近的四等分点，即. 【变式5-3】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且． 设是棱上一点，且平面，求的值； 【解析】连接与交于点，连接， 因为四边形是正方形 所以是的中点． 平面，平面平面，平面, 由线面平行性质定理得． 所以是的中点，即． 【解题总结】 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 题型六：证明面面平行 【典例6-1】如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： (1)直线与直线异面； (2)平面平面. 【解析】（1）由直线平面， 又平面， 所以直线与直线异面； （2）由，得，在正方体中，且， 所以且，所以四边形为平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面， 又且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面. 【典例6-2】在四棱柱中，，且，，分别为，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面． 【解析】（1） 以 ，， 为空间一组基底. 由 且 ，得 因为为的中点，所以， 又为 的中点，所以 于是， 而， 所以，即， 又平面，平面， 由线面平行的判定定理知 平面 ； （2）因为， 又， 所以，即， 又平面，平面，故平面， 因为，且 ，平面， 由面面平行的判定定理知平面平面. 【变式6-1】在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面． 【解析】（1）连接，交于点，连接. ∵ 四边形为正方形， ∴ 为的中点. 又∵ 为的中点， ∴ 为的中位线，∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. （2）∵ 为的中点，为的中点，在正方体中，且， ∴ 且，即且. 又∵ 且， ∴ 且，四边形为平行四边形， ∴ . ∵ 平面，平面， ∴ 平面. 由(1)可知平面，且平面. ∵ ，均在平面内； ∴ 平面平面. 【变式6-2】如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． (1)求证：平面； (2)试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 【解析】（1）证明：连接， 正方体底面是正方形，是底面中心， 故是中点，是中点， 是的中位线，， 又平面，平面， 由线面平行判定定理得平面． （2）取中点，连接，是中点，是中点， 故是中位线，， 平面，平面， 平面． 由（1）知，平面， 平面平面， 故平面平面， 故是线段的中点． 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点.求证：平面平面PAB. 【解析】在PAD中，、分别是PD、AD的中点， 所以，因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为四边形ABCD是直角梯形，且，所以， 又，是AD的中点，所以，， 所以四边形ABCF是矩形，所以， 因为平面PAB，平面PAB，所以平面PAB， 因为，平面CEF，平面CEF， 所以平面平面PAB； 【解题总结】 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 题型七：面面平行性质的应用 【典例7-1】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 【解析】（1）证明：因为在梯形中，， 又面，面， ∴面，因为面，面面，所以， 因为平面，平面，所以平面； (2)为中点时，平面． 证明：连接，，因为，分别为，的中点， 所以，因为平面，平面， 所以平面， 取的中点，连接，， 则，则，且， 所以四边形为平行四边形，则， 因为平面，平面， 所以平面，，、平面， 所以平面平面， 因为是上的动点，平面，所以平面. 【典例7-2】在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且    (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，求证：直线，，相交于同一点． 【解析】（1）证明：如图1所示，连接， 空间四边形中，当时，， 即、分别是、的中点， 又、分别是、的中点， 所以且，且， 所以且． 即四边形是平行四边形． （2）如图2所示，连接，，AC， 空间四边形中，、分别是、的中点， 则且． 又，则且． 即且， 则与交于一点，记为， 平面，在平面内， 同理在平面内，且平面平面， ∴点在直线上， ∴直线，，相交于一点． 【变式7-1】在正方体中，点分别在上，且，，判断与的位置关系． 【解析】连接并延长，交于点，易得， 所以，所以为中点， 连接并延长，交于点，易得， 所以，所以为中点，所以，重合， 所以，所以. 【变式7-2】如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点在线段上，且. (1)设平面平面，证明：； (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）证明: 因为四边形为矩形，所以， 因为平面，平面，所以平面， 又平面，平面平面，所以； (2)存在，且，证明如下： 过作，交于点，过作交于点， 因为，平面，平面，所以平面， 因为，，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 又平面，，所以平面平面， 又因为平面，所以平面， 因为平面，又平面，所以， 所以，又，则， 由，，所以 因为，， 所以， 所以点M为线段上靠近C的四等分点，即. 【变式7-3】如图空间四边形，E、F、G、H分别为、、、的中点且，试判断四边形的形状，并给予证明. 【解析】菱形，证明： 因为，分别是空间四边形的边，的中点， 所以线段是的中位线，所以且， 同理可得且， 即，，所以四边形为平行四边形， 又同理可得且，且，所以， 故平行四边形为菱形； 【解题总结】 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 题型八：平行关系的综合应用 【典例8-1】如图，已知正方形的边长为6，点，分别在边，上，，现将沿线段折起到位置，使得． (1)求五棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）连接，设，连接． 因为四边形是正方形，， 所以是的中点，且，， 从而有，，又，平面， 所以平面，且平面． 从而平面平面． 过点作垂直于且与相交于点， 则平面． 因为正方形的边长为6，， 故，， 所以， 所以，则， 所以五棱锥的体积． （2）线段上存在点，使得平面，此时．证明如下： 连接，，，，且易知过点． 当时，又，所以． 又平面，平面，所以平面． 又，平面，平面， 所以平面． 又，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面． 【典例8-2】如图所示，一平面四边形与空间四边形对角线都平行，且交空间四边形边分别于． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)若，求平行四边形的周长． 【解析】（1） 证明：依题意，平面，平面平面，面， 所以. （2）证明：由（1）知，同理，则，同理， 所以四边形为平行四边形. （3）由为上一点，令，由，得， 则，同理， 所以的周长为. 【变式8-1】如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【解析】（1） 证明：连接，，，则为中点， 又为的中点，所以， 在正方体中，，所以， 又平面，平面，所以平面. （2）设交于点，连接并延长交的延长线于， 平面，平面，平面平面， ，又，所以四边形为平行四边形， 则，又，所以， 又，所以， ，， 所以,因,则可得. 【变式8-2】如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. (1)若中点为，求的面积； (2)若平面，求线段长度的最小值. 【解析】（1）连接、、， ， ，同理， 是正方形对角线AC中点， ，且， ， 即，则， . （2）取中点，连接，，， 易得，故四边形是平行四边形， ，又 平面 平面， 平面，同理， 平面 平面， 平面 ，且都在面内， 故平面平面， 则点必在上，且当时，长度最小， ， 由等面积法得：，解得， 故的最小长度为. 【变式8-3】如图，在四棱柱中，已知平面平面，且. (1)求证: (2)若为棱上的一点，且平面，求线段的长度 【解析】（1）证明如下： 在四边形中，因为，，所以， 又平面平面， 且平面平面， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以. （2）因为∥平面， 平面，平面平面， 所以， 所以为的中点， 【解题总结】 证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 1．已知l,m是两条互异的直线，,是两个互异的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 【答案】A 【解析】选项B，仅当垂直于与的交线时，错误． 选项C，若且，则或，错误． 选项D，若且，则或，错误． 2．设，是两个平面，，是两条直线，且，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】由且，又，所以， 由，，所以或，或， 所以且， 所以是且的必要不充分条件. 3．（2026·高三·北京朝阳·开学考试）如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再将容器以 为轴顺时针旋转，给出以下四个命题： ①有水的部分始终是棱柱； ②水面所在四边形 为矩形且面积不变； ③棱 始终与水面平行； ④当点 在棱 上且点 在棱 上（均不含端点）时， 不是定值. 则正确命题的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【解析】①有水部分的几何体，有两个面都垂直于，这两个面始终平行，若在棱上，由面面平行的性质知，//，而//，并且始终与水面平行，即有//，所以////EH，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱； 若点在棱上， EH //，因此该几何体有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，即该几何体是棱柱，①正确； ②水面是矩形，长度固定，但另一边会随旋转角度改变，因此矩形面积会变化，②错误； ③长方体中；平行于水面，不在水面平面内，由线面平行判定定理，水面，③正确； ④当点在棱上且点在棱上(均不含端点)时，有水部分的棱柱的底面为三角形，而水的体积不变，高不变，则底面面积不变， 即是定值， ④错误. 综上，①③正确，共个. 4．如图所示，在正方体中，下列与平面平行的直线是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A，因为，与平面相交于点，所以与平面相交，A错误; 对于B，与平面相交于点的中点，B错误; 对于C，与平面相交于点点，C错误; 对于D，平面，平面．平面． 5．已知直线平行于平面，则下列说法正确的是（    ） A．与内任意直线平行 B．与内任意直线相交 C．与内任意直线异面 D．与内部分直线平行 【答案】D 【解析】若直线与平面平行，则直线与平面内的直线无公共点， 即直线与平面内的直线平行或异面， 对于A，D，与内部分直线平行，故A错误；D正确； 对于B，与内任意直线不相交，故B错误； 对于C，与内部分直线异面，故C错误． 6．如图，正四棱锥的所有棱长均为，M为棱的中点，N为棱上一动点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接交于点，再连接，如图所示： 则点为的中点，得为的中位线，得， 而平面，平面，得平面， 连接，因为在正四棱锥中，所以平面， 则 则． 7．已知三棱锥，点M为棱的中点，点P在线段上，且，点Q为棱上一点，且平面，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 如图所示，作中点，连接， 所以的交点为的重心，所以， 因为平面，平面，平面平面， 所以，所以，所以； 可知，所以与不共线，没有固定的长度关系. 8．在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，若平面，则三棱锥与三棱柱的体积之比为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】连接，交于点，连接， 由平面，平面，平面平面， 所以，所以， 又，是棱的中点，所以， 所以，所以， 所以， 所以， 所以，， 又， 所以. 9．（多选题）如图，在棱长均为的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B．过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形，且面积等于 C．若为棱上的动点，则的最小值为 D．三棱锥与四棱锥的体积之比为 【答案】AD 【解析】选项A：在中，为的中点，为的中点，所以为的中位线，则， 又因为平面，平面，所以平面，故A正确； 选项B：因为，分别为，的中点，所以且， 又底面为正方形，所以，则， 故四点共面，截面为四边形， 因为且，所以截面为梯形， 在边长为2的正中，为中点，则，，同理， 所以截面为等腰梯形， 梯形的高， 截面面积，故B错误； 选项C：将与沿展开到同一平面，当，，三点共线时，取得最小值，即为线段的长度， 因为侧面均为边长为2的等边三角形，所以，展开后， 在中，由余弦定理得， 所以，即最小值为，故C错误； 选项D：， 因为，分别为，的中点，所以， 设到平面的距离为，因为为中点，在平面上，所以到平面的距离， 所以， 又， 所以，故D正确． 10．（多选题）如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（    ） A． B．直线与平面平行 C．点和到下底面的距离相等 D．直线 【答案】AC 【解析】对于A，根据棱柱的定义可知，故A正确； 对于B，由于为正六边形，则直线与相交，所以直线与平面不平行，故B错误； 对于C，由于棱柱的上下两个底面互相平行，点和都在上底面，故点和到下底面的距离相等，故C正确； 对于D，由于，而直线与不垂直，故D错误. 11．（多选题）已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D．直线MN与直线异面 【答案】AC 【解析】对于A，连接，由正方体的性质知：平面， 因为分别是，的中点，则， 故平面，因为平面，所以，故A正确； 对于B，若不是异面直线，则共面，此时确定的平面,则平面与正方体的上下两个底面的交线分别为，由于正方体的上下底面互相平行，根据面面平行的性质可知:,这显然不合理，故为异面直线，故B错误； 对于C，由A项得，平面，平面， 所以平面，故C正确； 对于D，平面， 平面,所以MN与直线相交，不是异面直线，故D错误. 12．如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 【答案】 【解析】取，，，的中点分别为，，，， 连接，，，，，，， 因为，分别为，的中点， 所以，同理可得， 因为，， 所以四边形是平行四边形，可得， 所以，同理可证，， 所以，，，，，共面， 因为，面，面， 所以平面， 若平面，则点在平面内， 又因为点在上底面（含边界）， 所以点在面与面的交线上， 所以点在线段上，则点轨迹长度为. 13．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍（chú méng）”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，，，M是DE的中点，N是AB上的点.若平面BCF，则______．    【答案】/ 【解析】过M作，MP为梯形EFCD中位线，，连接BP， ，，，则M，N，B，P四点共面， 平面BCF，∴平面平面，平面，，又，∴四边形为平行四边形， ，. ． 14．如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 【答案】 【解析】如图，设，连接，因为四棱锥为正四棱锥，则为的中点， 因为平面，又平面，平面平面， 所以，则为中点，所以， 又，则，所以，则. 15．（2026·江苏南通·一模）如图，在正三棱柱中，为线段上一点． (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若，为线段上一点，且． 是否存在点，使得平面．若存在，求；若不存在，请说明理由； 【解析】（1）连结交于点，连结． 因为为正三棱柱， 所以四边形为平行四边形，所以． 因为为线段的中点， 所以． 在中，，， 所以． 因为平面，平面， 所以平面 （2）存在点，当时，平面 在平行四边形中，，， 所以． 在中，， 所以． 因为平面，平面， 所以平面． 16．（用空间向量方法解答不给分）如图是一个棱长为2的正方体被平面截去一部分后，剩余的立体图形，E是的中点． (1)证明：A、C、、四点共面； (2)证明：平面平面； (3)过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积． 【解析】（1）因为原几何体是正方体，所以，所以与共面，故四点共面. （2）因为，，所以四边形为平行四边形， 所以， 因为平面，平面，所以平面， 又，，所以四边形为平行四边形，故， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面， 所以平面平面. （3）如图，取的中点，连接， 因为是的中点，所以， 又，，所以四边形是平行四边形，故， 所以， 所以过点的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形为四边形， 正方体棱长为2，故，， 又，，与不平行， 所以四边形为等腰梯形， 的高为， 所以等腰梯形的面积为. 17．如图，在正方体，中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证： (1)证明；F，G，H，B四点共面； (2)平面平面﹔ (3)若正方体棱长为1，过A，E，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 【解析】（1）连接BH，∵FG为的中位线， ∴，∴F，G，H，B四点共面； （2）由（1）知，， ∵平面，平面，∴平面； ∵，平面，平面，∴平面， ∵，EF、EG都在面EFG内，∴平面平面 （3）取的中点N，连接，，∴，， 取的中点M，连接，，∴，， ∴截面为平行四边形，且， 所以截面的面积为． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.3 直线、平面平行的判定与性质 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、直线和平面平行 3 知识点二、两个平面平行 3 03 真题回顾 5 04 经典题型归纳总结 8 题型一：平行关系的判断 8 题型二：利用中位线证明线面平行 8 题型三：利用平行四边形证明线面平行 10 题型四：利用面面平行证明线面平行 12 题型五：线面平行性质的应用 14 题型六：证明面面平行 17 题型七：面面平行性质的应用 19 题型八：平行关系的综合应用 21 05 课后拓展精练 24 知识点一、直线和平面平行 1、定义 直线与平面没有公共点，则称此直线与平面平行，记作∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥线线∥面 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行（简记为“线线平行线面平行 面∥面线∥面 如果两个平面平行，那么在一个平面内的所有直线都平行于另一个平面 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 线∥面线∥线 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 知识点二、两个平面平行 1、定义 没有公共点的两个平面叫作平行平面，用符号表示为：对于平面和，若，则∥ 2、判定方法（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理线∥面面∥面 如果一个平面内有两条相交的直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行（简记为“线面平行面面平行 线面面∥面 如果两个平面同垂直于一条直线，那么这两个平面平行 ∥ 3、性质定理（文字语言、图形语言、符号语言） 文字语言 图形语言 符号语言 面//面 线//面 如果两个平面平行，那么在一个平面中的所有直线都平行于另外一个平面 性质定理 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 面//面 线面 如果两个平面中有一个垂直于一条直线，那么另一个平面也垂直于这条直线 1．（2026·天津·高考真题）正方体中，错误的是（     ） A． B．平面 C．平面平面 D．平面平面 2．（2021·浙江·高考真题）如图已知正方体，M，N分别是，的中点，则（    ） A．直线与直线垂直，直线平面 B．直线与直线平行，直线平面 C．直线与直线相交，直线平面 D．直线与直线异面，直线平面 3．（2020·上海·高考真题）在棱长为10的正方体. 中，为左侧面上一点，已知点到的距离为3，点到的距离为2，则过点且与平行的直线交正方体于、两点，则点所在的平面是（    ） A． B． C． D． 4．（多选题）（2025·全国一卷·高考真题）在正三棱柱中，D为BC的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．平面 5．（2025·上海·高考真题）如图，P是圆锥的顶点，O是底面圆心，AB是底面直径，且．    (1)若直线PA与圆锥底面的所成角为，求圆锥的侧面积； (2)已知Q是母线PA的中点，点C、D在底面圆周上，且弧AC的长为，．设点M在线段OC上，证明：直线平面PBD． 6．（2024·全国甲卷·高考真题）如图，，，，,为的中点. (1)证明：平面； (2)求点到的距离. 7．（2023·全国乙卷·高考真题）如图，在三棱锥中，，，，，的中点分别为，点在上，． (1)求证：//平面； (2)若，求三棱锥的体积． 8．（2022·全国甲卷·高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直． (1)证明：平面； (2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）． 题型一：平行关系的判断 【典例1-1】已知两条不同直线，两个不同平面，下列命题中正确的是（   ） A．若，则 B．在空间中，如果，且，则 C．若，则 D．若，则 【典例1-2】已知直线l、m、n与平面、，下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-1】已知直线，和平面，若，，则（   ） A． B． C．与相交 D．或 【变式1-2】设直线，平面，下列条件能得出的有（    ） ①，且；②，且；③，且；④，且. A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 【变式1-3】（2026·高三·湖南岳阳·阶段检测）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题中正确的是（     ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，则 【解题总结】 排除法：画一个正方体，在正方体内部或表面找线或面进行排除． 题型二：利用中位线证明线面平行 【典例2-1】如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，是的中点. 证明：平面； 【典例2-2】如图，三棱柱的所有棱长均相等，平面平面，是的中点，. 证明：平面； 【变式2-1】如图，在四棱锥 中，底面  是矩形，，平面 ，点 为棱 的中点. 证明：直线  平面 ； 【变式2-2】如图，在正方体中，分别是、的中点． 求证：平面； 【变式2-3】如图，在三棱柱中，，，为中点，四边形为正方形. 求证：平面； 【解题总结】 利用三角形中位线找线线平行. 题型三：利用平行四边形证明线面平行 【典例3-1】如图，在四棱锥中，，，平面，，、分别是棱、的中点． 证明：平面； 【典例3-2】如图，将边长为2的正方形沿对角线折叠，使得平面与平面所成二面角为直角，点E和点C在平面的同侧，且满足平面，且． 求证：直线与平面平行； 【变式3-1】（2026·高三·陕西榆林·阶段检测）如图，在四棱锥中，平面平面，为正三角形，E为的中点，，，． 证明：平面； 【变式3-2】（2026·高三·安徽马鞍山·阶段检测）如图，在四面体中，，平面，是的中点，是的中点，点在线段上，且． 求证：平面； 【变式3-3】如图，在四棱锥中，平面平面，底面是直角梯形，，，且为的中点. 证明：平面； 【解题总结】 利用平行四边形找线线平行. 题型四：利用面面平行证明线面平行 【典例4-1】（2026·高三·云南玉溪·阶段检测）如图所示，四边形是菱形，为等边三角形，且，，. 证明：平面； 【典例4-2】如图，正四棱锥中，，点在侧棱上且． (1)记平面平面，证明：； (2)若点在侧棱上且，求证：平面． 【变式4-1】如图，在正方体中，分别是棱，的中点． (1)求证：，，，四点共面； (2)求证：平面. 【变式4-2】如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得平面与平面所成的二面角为． 证明：平面； 【变式4-3】如图，在三棱锥中，，底面，，M是的中点，N是的中点，点Q在线段上，且． (1)求点到平面距离； (2)求证：平面． 【解题总结】 本法原理：已知平面平面，则平面里的任意直线均与平面平行 题型五：线面平行性质的应用 【典例5-1】如图，在四棱锥中，平面底面，是边长为4的等边三角形，，，，是棱上的点，且，． 若平面，求的值； 【典例5-2】（2026·高三·黑龙江哈尔滨·阶段检测）图，在四棱锥中，平面，底面为正方形，平面与平面的交线为. 求证：； 【变式5-1】已知正方体的棱长，、分别为棱、CD的中点，与交于点．    (1)过作正方体的截面，使得平面（保留作图痕迹，说明作图方法）； (2)求该截面多边形的周长． 【变式5-2】如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，点E在线段上，且．    (1)证明：平面 (2)设平面平面，证明： (3)线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由． 【变式5-3】如图，四棱锥的底面是正方形，平面，且． 设是棱上一点，且平面，求的值； 【解题总结】 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 题型六：证明面面平行 【典例6-1】如图，在边长为3的正方体中，点，分别在，上，，求证： (1)直线与直线异面； (2)平面平面. 【典例6-2】在四棱柱中，，且，，分别为，的中点． (1)求证：直线平面； (2)求证：平面平面． 【变式6-1】在正方体中，E为的中点． (1)求证：平面AEC； (2)取中点F，求证：平面平面． 【变式6-2】如图，在正方体中，是底面的中心，点是的中点． (1)求证：平面； (2)试在上找一点，使得平面平面，并给出你的证明． 【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，且，，平面ABCD，、分别是PD、AD的中点.求证：平面平面PAB. 【解题总结】 常用证明面面平行的方法是在一个平面内找到两条相交直线与另一个平面分别平行或找一条直线同时垂直于这两个平面．证明面面平行关键是找到两组相交直线分别平行． 题型七：面面平行性质的应用 【典例7-1】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点． (1)求证：平面； (2)若是线段上一动点，点是线段的中点，是否有平面？证明你的结论． 【典例7-2】在空间四边形中，，分别是，的中点，，分别是边，上的点，且    (1)如图1，若，求证：四边形是平行四边形； (2)如图2，若，求证：直线，，相交于同一点． 【变式7-1】在正方体中，点分别在上，且，，判断与的位置关系． 【变式7-2】如图，在四棱锥中，平面，底面为矩形，，；点在线段上，且. (1)设平面平面，证明：； (2)线段上是否存在点，使得平面？若存在，请证明，并求出的长；若不存在，请说明理由. 【变式7-3】如图空间四边形，E、F、G、H分别为、、、的中点且，试判断四边形的形状，并给予证明. 【解题总结】 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么他们的交线平行（简记为“面面平行线面平行”） 题型八：平行关系的综合应用 【典例8-1】如图，已知正方形的边长为6，点，分别在边，上，，现将沿线段折起到位置，使得． (1)求五棱锥的体积； (2)在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由． 【典例8-2】如图所示，一平面四边形与空间四边形对角线都平行，且交空间四边形边分别于． (1)求证：； (2)求证：四边形为平行四边形． (3)若，求平行四边形的周长． 【变式8-1】如图所示，在这个正方体中，棱长为2，E、F分别为所在棱的中点，点在棱上，且满足. (1)若，求证：平面； (2)若点在线段上，且满足平面，且的取值范围为，求的取值范围. 【变式8-2】如图，平行六面体的所有棱长均为2，底面为正方形，，点为的中点，点为的中点，动点在平面内. (1)若中点为，求的面积； (2)若平面，求线段长度的最小值. 【变式8-3】如图，在四棱柱中，已知平面平面，且. (1)求证: (2)若为棱上的一点，且平面，求线段的长度 【解题总结】 证明平行关系的常用方法 熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法． 1．已知l,m是两条互异的直线，,是两个互异的平面，则下列命题中正确的是（   ） A．若且，则 B．若且，则 C．若且，则 D．若且，则 2．设，是两个平面，，是两条直线，且，则“”是“且”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．（2026·高三·北京朝阳·开学考试）如图，透明塑料制成的长方体容器 内灌进一些水，固定容器底面一边 于地面上，再将容器以 为轴顺时针旋转，给出以下四个命题： ①有水的部分始终是棱柱； ②水面所在四边形 为矩形且面积不变； ③棱 始终与水面平行； ④当点 在棱 上且点 在棱 上（均不含端点）时， 不是定值. 则正确命题的个数为（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图所示，在正方体中，下列与平面平行的直线是（   ） A． B． C． D． 5．已知直线平行于平面，则下列说法正确的是（    ） A．与内任意直线平行 B．与内任意直线相交 C．与内任意直线异面 D．与内部分直线平行 6．如图，正四棱锥的所有棱长均为，M为棱的中点，N为棱上一动点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 7．已知三棱锥，点M为棱的中点，点P在线段上，且，点Q为棱上一点，且平面，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 8．在三棱柱中，是棱的中点，是棱上一点，若平面，则三棱锥与三棱柱的体积之比为（     ） A． B． C． D． 9．（多选题）如图，在棱长均为的正四棱锥中，为底面正方形的中心，，分别为侧棱，的中点，则下列结论正确的是（     ） A．平面 B．过，，三点的平面截四棱锥，截面是等腰梯形，且面积等于 C．若为棱上的动点，则的最小值为 D．三棱锥与四棱锥的体积之比为 10．（多选题）如图，在六棱柱中，底面为正六边形，则（    ） A． B．直线与平面平行 C．点和到下底面的距离相等 D．直线 11．（多选题）已知正方体，分别是，的中点，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．平面 D．直线MN与直线异面 12．如图，棱长为的正方体中，、分别为、的中点，点在上底面（含边界）上运动，若满足平面，则点的轨迹长度为_____________ 13．我国古代数学名著《九章算术》中记载的“刍甍（chú méng）”是指底面为矩形，顶部只有一条棱的五面体.如图，五面体ABCDEF是一个“刍甍”，，，M是DE的中点，N是AB上的点.若平面BCF，则______．    14．如图，在正四棱锥中，点在棱上运动，当平面时，______． 15．（2026·江苏南通·一模）如图，在正三棱柱中，为线段上一点． (1)若为线段的中点，证明：平面； (2)若，为线段上一点，且． 是否存在点，使得平面．若存在，求；若不存在，请说明理由； 16．（用空间向量方法解答不给分）如图是一个棱长为2的正方体被平面截去一部分后，剩余的立体图形，E是的中点． (1)证明：A、C、、四点共面； (2)证明：平面平面； (3)过点C，E，的平面与该多面体的表面相交，交线围成一个多边形，求该多边形的面积． 17．如图，在正方体，中，H是的中点，E，F，G分别是DC，BC，HC的中点．求证： (1)证明；F，G，H，B四点共面； (2)平面平面﹔ (3)若正方体棱长为1，过A，E，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $