练案8 第一章 1.4.1 第2课时空间中直线，平面的平行-【成才之路·练案】2026-2027学年高中数学选择性必修1同步新课程学习指导（人教A版）

所以AP是平面ABCD的法向量， (2)因为1AB1=√22+(-1)2+（-4)=/2T, 1A1=√42+22+02=25， AB.AD=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6, 所以cos(AB,Ad)= 6 2T×25V35 故im(店，动》= 32 SGANCD 1ABI.IADIsin(AB,AD>=86 15.x+2y+3z-5=0过点P(1,-1,2),法向量为v=(1,2,3) 的平面的方程为1(x-1)+2(y+1)+3(z-2)=0,即x+2y +3z-5=0. 16.【解析】以D为原点，DA,DC,DP 所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立 空间直角坐标系，如图所示， 设DA=2,则D(0,0,0),P(0,0,2) C(0,2,0),E(0,1,1),B(2,2,0), AL .P2=(2,2,-2),D2=(0,1,1), PB.D呢=2×0+2×1+(-2)×1=0， .PBLD成 设F(x,y,z),P序=P, (x,y,2-2)=A(2,2,-2), rx=2, y=2, z-2=-2λ， .F(2λ，2A,2-2A), .D7=(2λ，2入，2-2入). :PB.D=0,.4λ+4A-2(2-2λ)=0， A=写 F为线段PB的一个三等分点（靠近P点） 练案[8] 1.AB对于A,易知a=-,所以{/店，A正确：对于B,a -2b,所以l41∥L2,B正确；对于C、D,由于a与b不共线，所以 不能判断l1∥L2,C、D不正确， 2.AC因为a=(λ+1,0,2)，b=(6,2u-1,2λ)，l1∥l2,令a= b,则（入+1,0,2）=t(6,2μ-1,2入)=(6t,(2-1)t,2t),即 「入=2. 「入=-3， rA+1=6t, 1 1 0=(2μ-1)t,解得“=2'或u=2, 2=2λt, 1 t二2 t=-3 3.D因为a·u=-3+4-1=0,所以a⊥u.所以l∥或lCax 4.CD对于A,与直线平行的任意非零向量都是直线的方向向 量，A不正确；对于B,与平面垂直的直线的方向向量都是平 面的法向量，法向量方向不唯一，则平面的单位法向量也不唯 一，B不正确；对于C,两平面的法向量平行，即这两平面可以 垂直于同一直线，则两平面平行，C正确：对于D,若两直线平 2 行，则它们的方向向量平行，与已知两直线的方向向量不平行 矛盾，即两直线平行是错的，则两直线不平行，D正确。 5.Ba/B,a的法向量与B的法向量也互相平行.子 3 A-2入=6. 6.B根据题意建立空间直角坐标系如图， D B A 设正方体的棱长为2，则A(2,2,2),A（2,2,0),C(0,0,2), B(2,0,2),.M(2,1,1),N(1,1,2),.M=(-1,0,1).又平 面BB,CC的一个法向量为n=(0,1,0),.M·n=-1×0 +0×1+1×0=0,.M⊥n,又MWt平面BB,C,C,.MN ∥平面BB,CC. 7.平行AB=(0,1,-1),A元=(1,0，-1)，n·AB=(-1, -1,-1)·(0,1,-1)=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1) =0,n·A元=(-1，-1，-1)·(1,0，-1)=-1×1+0+ (-1)×(-1)=0,.n1AB,n1A元..n也为a的一个法向 量，又a与B不重合，∴a∥B 8(-品-) 由题意，知·b=0,即 la·c=0, 「-x+4y-=0，解得 、9 x=一52' 3x+y=0, y= 27 所以 a 521 9.【证明】证法一：如图，以D为原点，DA,DC,DD1所在直线 分别为x轴y轴、z轴建立空间直角坐标系， 1 A 设该正方体的棱长为1， 则D0,0,0,A(10,1),B(1,1,0),M(0,1,2）N(21, 小. 于是DA=(1,0,1),D2=(1,1,0), =(30)月 设平面ABD的法向量为n=(x,y,z), 「n·DA=x+z=0, ln·D2=x+y=0, 取x=1,则y=-1,2=-1, 所以平面ABD的一个法向量为n=(1,-1,-1). 又n=(分0,2)1，-1，-0=0， 6 所以M丞⊥n. 又MN丈平面A,BD, 所以MN∥平面ABD 证法二：爪=不-C成=c6-C元=分(0石- 0成=2m, 所以M∥DA, 又MN丈平面ABD,DA1C平面ABD, 所以MN∥平面A,BD. 证法三：-C0成=2c瓜-2d=i-4才 =宁（破+威-子（不店+威=诚应 即M可用A,B与D品线性表示， 故M与A,B,DB是共面向量， 又MW￠平面ABD,故MN∥平面A,BD. 10.【证明】建立如图所示的空间直角坐标系， D A 则D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,2),E(2,2,1),F(0,0,1), B1(2,2,2), 所以FC=(0,2,1),DA=(2,0,0),AE=(0,2,1),C1B= (2,0,0), 设n1=(1少1，之)是平面ADE的法向量， 则n1⊥DA,n1⊥A正 即m·=-24=0, 得0， n,·A证=2y,+a=0,a=-2y1 令z1=2,则y1=-1, 所以可取n1=(0,-1,2). 同理，设m2=(x2,2,a2)是平面B,C,F的法向量. 则n2⊥FC,2⊥CB, 即·=2+与0 得∫=0， m2·CB=2x2=0, la2=-2y2 令2=2，得y2=-1, 所以可取n2=(0,-1,2). 因为n1=2,即n1∥n2, 所以平面ADE∥平面B,C,F 11.C解法一：由题意得C(0,0,0),D(2,0,0),B(0,2,0), E(0,0,1),A(2,2,0),则D2=(-2,0,1),BD=(2, -2,0),设M(a,a,1),平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 则正0即-+=0令=2，则=1，y=1,所 即 1n·Bi=0,l2x-2y=0, 以n=(1,l,N2),又A7=(a-2,a-2,1),所以A.n=a -万+a-万+万=0，解得a-受即M(停号， 2 解法二：如图，设AC与BD相交于点O,连接OE,由AM∥平 面BDE,且AMC平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE, 得AM∥OE,又O是正方形ABCD对角线的交点，所以M为 线段EF的中点.在空间直角坐标系中，E(0,0,1),F(2, 巨，.由中点坐标公式知点业的坐标为（停竖） 12号如图，以4为原点，B,A0,4,所在直线分别为轴y 轴、z轴，建立空间直角坐标系.设AB=a,AP=b, B 则A(0,0,0),D(0,1,0.P(0,0,b),B1(a,0,1),E号，1， 0于是B=(a,0,1),=（,1,0）=(0,-1,b). 解法一：设平面BAE的法向量为n=（x,y,z),则 「n·AB=0,rax+z=0, n店0.得{台+y0取=2.得y-0=-2. .n=(2,-a,-2a)是平面B,AE的一个法向量.：DP∥平 面BAE,成.n=a-2ab=0,解得6=2，即AP=分 解法二DP∥平面BAE,.存在实数A4,使D=AAB+ u正，即(0，-1，b)=A(a,01)+u(号，1,0）=（Aa+受 「Aa+40=0, 2 4=-1, 6=A=即AP= 入=b, 13.3 2 如图所示，以A为坐标原点，AB,A⑦，A乎的方向分别为 x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系， 由题意可得P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0), 0(1,1,0),则F(1,0,1),E(0,1,1),所以F元=(1,2，-1)， F2=(-1,1,0),设平面EFC的法向量为n=(x,y,z),则 rn·F元= 0即+2-0令x=1,得1=(1,13.因为 n·庇=0，-x+y=0, 0G∥平面EFC,则n·0元=0，设G(0,0,a),0≤a≤2，则0元 =(-1,-1,a),所以-1-1+3a=0,解得a=子，所以 c(0.0,号)即46=号 14.【证明】如图，以D为原点，以DA,D元，D为方向向量建立 空间直角坐标系Dxyz, G 则有关点及向量的坐标为： P(0,0,2),C(0,2,0), G(1,2,0),E(0,1,1), F(0,0,1),A(2,0,0), A2=(-2,0,2),EF=(0,-1,0),E元=(1,1，-1). 设平面EFG的法向量为n=(x,y,z), ·脉0 「y=0, n.E元=0，lx+y-z=0, 6e1,1a-a,a :n·A2=1×(-2)+0×0+1×2=0, .nLAp. 又API平面EFG,.AP∥平面EFG. 15.(1)平行(2)2要(1)以n为原点，以A,C,Dm,所在 的直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，如图 所示， 0 C 则4,1,0，)，E(01,2）B(11,0 因为P,Q均在平面AB,CD内， 所以设P(a,b,1),Q(m,n,1), 所以a店=(-1,1.-）励=(a-1,6-1,),或=(m -1,n-1,1). 因为BP⊥A1E,BQ⊥A,E, B驴.A龙=-(a-)+(6-1)-2=0, 所以 时A店-(m-)+a-)-方=0， -248 1 [b-a=2 解得 1 n-m=2 P=(m-a,n-b,0)=(n-b,n-b,0), 因为B0=(-1,-1,0), 所以PQ与BD的位置关系是平行. (2)由(1)可知6-a=2 1 1AP1=√/(a-1)2+6 =a-12+(a+3)-√22-a+ 29 当。=时，可有最小位最小值为 【解析】如图所示，以D为原点，分别以DA,DC,DD,所在 直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q, 连接BQ,D1Q.设正方体的棱长为1， D ↑ B 则0（分分）(o.0,) A(1,0,0),B(1,1,0),D(0,0,1), 设Q(0,1,m)(0≤m≤1). 解法-：因为0成=（-之，-，2）， BD=(-1,-1,1), 所以O∥BD, 于是OP∥BD 又=(-10，)成=(-10，m, 当m分时，亦-成， 即AP∥BO,所以AP∥BQ, 又OP∩AP=P,BD∩BQ=B 所以平面PAO∥平面D,BQ, 故当Q为CC,的中点时，平面DBQ∥平面PAO. 解法=：0i=(行0 0-(分分2) 设平面PA0的法向量为n1=(x1,少1，乙1)， 则有n1⊥0，n11O, 1 2-2y=0, 因此 11 1 【-2x1-2+2=0, 取x1=1,则n1=(1,1,2) 又因为BD=(-1,-1,1),QD=(0,-1,1-m) 设平面D,BQ的法向量为n2=(x2,y2,2), 则有n2⊥BD1,n2⊥QD, 因此{为+名=0， l-y2+(1-m)z2=0, 取a2=1,则n2=(m,1-m,1). 要使平面D,BQ∥平面PAO,需满足n1∥n2, 这时0(01，) 故当Q为CC,的中点时，平面D,BQ∥平面PAO. 练案[9] 1.C直线l的方向向量为m,平面a的法向量为n,当m=（1, 2,0),n=(-2,-4,0)时满足n=-2m,故C正确.对于A、 B、D显然不存在向量共线的条件.故错误 2.Da1B,a1b,.a·b=-2-8-2k=0,k=-5. 3.B建立如图所示的空间直角坐标系 D Dxz.设正方体的棱长为1，则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), D(0,0,0),A1(1,0,1),C1(0,1,1), D A元=(-1,1,0)，B=(-1,-1,0) A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,-1).C2.B⑦=(-1)× 3+(-1)x(-分)+0x1=0cE1B0 4.B建立如图空间直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1， PA=a, 则B(1,0,0),E(7,1,0）P(0,0,a).设F(0,0),则B脉 (-1y0),成=（分l,-a因为F1PE,即.成 (-1)×7+y=0,解得y=7,即F(0,7,0)是AD的中 点，故折=1.故选B 5AD对于A,ab=1×2-1x1+2×(-分)=0，则a1b, 所以直线l与m垂直，故A是真命题：对于B,a·n=0,则a⊥ n,所以l∥a或lC,故B是假命题；对于C,1·2=6,所以 u1B不成立，故C是假命题；对于D,易得A正=(-1,1,1)， B元=(-1,1,0)，因为向量n=(1,u,t)是平面a的法向量，所 ge -2L 65,-11au/m2写-2a-5,6=-1 2 3 7(-2,2,1）设M(x,),则由已知，得成=A A(-1,1,0)=(-A,入，0).又Ai=(x,y,2-1),.x=-A, y=A,z=1..M(-,入，1).又c7.A2=0,Ci=(-A-1, 入-2,4)，AB=(-1,1,0),.(-A-1,A-2,4)·(-1,1,0) =0(A+1)+(A-2)=0,A=3M点坐标为(-分， 8.是如图，以A为坐标原点，平行于BC的直线为x轴，AC,AS 所在直线分别为y轴z轴建立空间直角坐标系， 则由AC=2,BC=√13，SB=√29，得B(-√13,2,0)，S(0,0, 23),C(0,2,0),S元=(0,2，-23)，C2=(-√3,0,0).因 为s元.CB=0,所以SC⊥BC. 9.【证明】以0为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系， 0 A B O E 则A(a,0,a),C(0,a,a). 设AE=BF=x, 则E(a,x,0),F(a-x,a,0). A市=(-x,a,-a), CE=(a,x-a,-a). Af.CE=(-x,a,-a)·(a,x-a,-a） =-ax+ax-a2+a2=0, .A7⊥C正，即AF⊥CE. 10.【证明】以D为坐标原点，DA的长为单位长，建立如图所 示的空间直角坐标系。 设E(a,0,0),其中a>0, 则C(2a,0,0),4(0,1,0),B(2a,1,0),P(0,0,1),Fa,7, )练案[8]第一章1.41.4.1[第2课时空间中直线、平面的平行] A组·基础巩固 7.已知平面内的三点A(0,0,1),B(0,1,0), 1.（多选)设a,b分别是不重合的直线1，l2的方 C(1,0,0),平面B的一个法向量为n=(-1, 向向量，则根据下列条件能判断1，∥12的是 -1,-1),且B与a不重合，则B与x的位置 关系是 ( A.a=(31,0),b=(-2,-4,0) 8.若a=(x,2y-1,4)是平面a的-个法向 B.a=(4,6,-2),b=(-2,-3,1) 量，且b=(-12,1)c=(3,7,-2)均与平 C.a=(5,0,2),b=(0,1,0) D.a=(（-2,-1,1),b=(4,-2,-8) 面a平行，则向量a= 2.(多选)直线1，山的方向向量分别为a,b,且9.在正方体ABCD-A,B,C,D,中，M,N分别是 a=(入+1,0,2)，b=(6,2μ-1,2入)，若1∥12， CC1,C,B,的中点.求证：MN∥平面ABD 则入的值为 A.2 C.-3 D.3 3.已知直线l的方向向量是a=(3,2,1),平面x 的法向量是u=（-1,2,-1),则1与的位 置关系是 A.l⊥ax B.l∥a C.1与相交但不垂直 D.l∥a或lcax 4.（多选)下列结论正确的是 A.直线的方向向量是唯一确定的 B.平面的单位法向量是唯一确定的 C.若两平面的法向量平行，则两平面平行 D.若两直线的方向向量不平行，则两直线不10.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的棱长为2，E, 平行 F分别是BB,DD1的中点，求证：平面ADE∥ 5.已知平面x的一个法向量是(2,3，-1)，平面 平面BC1F. B的一个法向量是(4，入，-2)，若α∥B,则入 的值是 ( k-9 B.6 C.-6 n号 6.如图，在正方体ABCD-AB,C,D1中，M,N分 别为A,B,AC的中点，则MN与平面BB,C,C 的位置关系是 ( D B A.相交 B.平行 C.垂直 D.不能确定 44 —139 B组·综合运用 沿CD折起，使得PD⊥平面ABCD.试用向量 11.如图所示，正方形ABCD与矩形ACEF所在 方法证明AP∥平面EFG. 平面互相垂直，AB=√2，AF=1,M在EF上， F 且AM∥平面BDE.则M点的坐标为( A.(1,1,1) 竖号川 12.如图，在长方体ABCD-ABC1D1中，A41= AD=1,E为CD的中点，点P在棱AA1上，且 C组·拓展提升 DP∥平面B,AE,则AP的长为 15.在棱长为1的正方体ABCD-AB,C,D1中，E 为CC的中点，P,Q是正方体表面上相异两 点，满足BP⊥AE,BQ⊥AE.若P,Q均在平 B 面ABCD1内，则 (1)PQ与BD的位置关系是 (2)1A,P1的最小值为 16.如图所示，在正方体ABCD-AB1C,D1中，O 为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q 13.如图，PA⊥平面ABCD,底面ABCD是正方 是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平 形，E,F分别为PD,PB的中点，点G在线段 面D1BQ∥平面PAO? AP上，AC与BD交于点O,PA=AB=2,若 C B OG∥平面EFC,则AG= 14.如图所示，在直角梯形ABCP中，AP∥BC,AP ⊥AB,AB=BC=2AP=2,D是AP的中点， E,F,G分别为PC,PD,CB的中点，将△PCD —140