8.6 双曲线及其性质（2大考点+8大题型）（讲义+精练）-2027届高考数学大一轮复习讲义之技巧精讲与题型全归纳（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义围绕双曲线定义、方程、几何性质等核心考点，按“课标要求—主干知识—核心题型—课时精练”逻辑架构，通过知识点梳理、方法技巧总结、真题典例精讲，帮助学生系统构建知识网络，突破离心率、焦点三角形等高频难点。 讲义采用题型分类突破与数学思维培养双轨策略，如离心率求解引导学生用方程法、定义法建立a,b,c关系，焦点三角形结合余弦定理与面积公式培养推理能力。设置分层变式训练和课时精练，即时巩固考点，助力学生高效提升解题能力，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

8.6 双曲线及其性质 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一：双曲线的定义 3 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 3 03 探究核心题型 6 题型一：双曲线的定义辨析及标准方程求解 6 题型二：双曲线方程成立的充要条件判定 9 题型三：双曲线焦点三角形的周长、面积及综合应用问题 11 题型四：双曲线上任意两点间距离的最值求解 16 题型五：双曲线上两条线段和与差的最值问题 20 题型六：双曲线离心率的求解及取值范围判定 22 题型七：双曲线的简单几何性质及应用问题 27 题型八：利用双曲线第一定义求解轨迹方程 33 04 课时精练 39 1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2、掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 3、了解双曲线的简单应用. 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 题型一：双曲线的定义辨析及标准方程求解 【典例1-1】（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】双曲线渐近线为，不妨设在渐近线上，即，如下图所示， 由，有，所以， ，所以，， 中，， 中，， 则有，得， 又，有，解得， 所以双曲线的方程为. 【典例1-2】（2026·云南曲靖·一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】抛物线即，焦点坐标为，则双曲线的上焦点为， 可设双曲线方程为，又双曲线的一条渐近线方程为， 所以，，解得， 所以双曲线的标准方程是. 【方法技巧与总结】 求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径： （1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程. （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程. 【变式1-1】（2026·天津东丽·一模）已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】设直线与横轴的交点为， 根据双曲线的对称性，设双曲线的一条渐近线方程为， 在直角中，设设， 因为， 即，于是， 因为的面积为， 所以， ， 所以由， 所以双曲线的方程为. 【变式1-2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为， 所以设双曲线方程为：，其中， 因为，所以， 所以双曲线方程为：. 【变式1-3】（2026·辽宁沈阳·二模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：设以直线为渐近线的双曲线的方程为， 又双曲线过点，所以， 所以双曲线为. 题型二：双曲线方程成立的充要条件判定 【典例2-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【解析】若对数函数存在，则底数且； 若表示双曲线，则，即， 综上，若两者均存在，则或. 而2在上述区间内， 所以是对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件. 【典例2-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【答案】A 【解析】由于为第二象限角，故， 则方程即为方程，则其表示焦点在x轴上的双曲线， 故选：A． 【方法技巧与总结】 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【变式2-1】（2026·上海奉贤·一模）曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（    ） A．曲线不可能是直线 B．当，时，曲线是椭圆 C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D．曲线是抛物线 【答案】C 【解析】A．当时，，所以为两条直线，A选项错误； B．因为，所以曲线是半径为的圆，故B错误； C．因为，，所以曲线是双曲线，则，则渐近线，故C正确； D．因为曲线，、不同时为0， 当时， 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是点； 当时，曲线是点； 当时，曲线是两条相交直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时，曲线是直线； 当时， 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是椭圆； 当时，曲线是圆； 当时，曲线是双曲线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 当时，曲线不存在； 当时，曲线是直线； 所以曲线不能是抛物线，故D错误； 故选：C. 【变式2-2】（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【解析】由题意得：，解得或. 【变式2-3】（2026·高三·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】方程表示焦点在轴上的双曲线，，解得. 题型三：双曲线焦点三角形的周长、面积及综合应用问题 【典例3-1】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知F为双曲线的右焦点，A为左顶点，P为C上的点，且P位于第一象限，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】易知， 由可得直线的斜率为，其直线方程为， 如下图所示： 联立直线与双曲线方程可得， 整理可得， 解得或(舍)， 所以点的横坐标为，又点位于第一象限，所以； 则， 所以，即， 所以， 因此在中，，即. 【典例3-2】（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【解析】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 【方法技巧与总结】 对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用. 【变式3-1】（2026·高三·湖北黄冈·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线右支交于两点，直线分别交轴于两点，若的周长为24，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C． D． 【答案】D 【解析】双曲线的左、右焦点分别为， 因为，所以， 又在双曲线上，则，解得， 设，所以， 由题意可得，分别为的中点， 如图：因为的周长为24，所以的周长为48， 则， 由双曲线的定义可得，即， 可得，整理得：，所以， 可得，， 则可设，其中， 所以， 由于，所以， 故当，即时，的最大值为. 故选：D. 【变式3-2】（2026·河南安阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如图，，根据双曲线的定义，得，因为 ，所以，故 三点共线. 因为，所以，所以， 又，所以是等边三角形，所以. 在中，由余弦定理得， 整理得，故离心率 . 【变式3-3】（2026·江西上饶·二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为（   ） A．24 B．25 C．48 D．49 【答案】A 【解析】根据题意，，， 因为在轴上，所以， 所以 ，解得， 设两内切圆半径分别为，，与圆分别相切于点，，， 由切线长定理得 而，两式相加得， 所以T是双曲线的右顶点），轴，所以的横坐标为a，同理可求得的横坐标为a， 则， 设直线的倾斜角为，则， 在，中有， 同理可得， 设， 所以， 显然，当，即，时， 的内切圆与的内切圆的面积之和取最小值， 此时面积为． 题型四：双曲线上任意两点间距离的最值求解 【典例4-1】（2026·高三·云南普洱·期末）已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】如图，作出符合题意的图形，作出双曲线的右焦点， 作垂直于渐近线，连接，可得， 由题意得，则， 由双曲线的定义得，则， 则，当且仅当共线时取等， 因为垂直于渐近线，所以垂直于渐近线， 由题意得渐近线方程为， 由点到直线的距离公式得， 则. 故答案为： 【典例4-2】若 为双曲线 的左焦点，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，则 的取值范围是_____ 【答案】 【解析】 由得，，， 则左焦点，右焦点， 因为题中给出为双曲线的左焦点， 则，， 又因为双曲线与过原点的直线都关于原点对称， 所以，又根据双曲线的定义得， 所以， 设，所以， 设， ，令得（）， 所以在单调递减，在单调递增， 所以，， 所以的取值范围为， 则的取值范围是. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化. 【变式4-1】设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】根据题意可得，， ，， 所以， 由双曲线性质可得，设，， 则， 设，， 设，， 因为，所以，， 所以，即， 所以函数 是上的增函数. 所以当时，取得最小值4， 即的最小值为4，此时点为右顶点. 故答案为：4. 【变式4-2】设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为______. 【答案】/ 【解析】由双曲线为，则，为双曲线右支上一点， 则，即 故， 当且仅当点、、三点共线，且点在点、之间时，等号成立， 由题意可得，又，则，即， 代入得，，化简得， 故或，由，故舍去， 则，即点，则. 故答案为：. 【变式4-3】已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】设，且，， 又， 又或， 所以 即的最小值为，当点为双曲线左顶点时取最小值. 故答案为：. 题型五：双曲线上两条线段和与差的最值问题 【典例5-1】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【答案】 【解析】由题可知双曲线的实半轴长，设左焦点为， 由双曲线定义，，得， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号． 【典例5-2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】双曲线的右焦点， 设的左焦点为，则， 因为是右支上一点，所以， 所以， 当三点共线（在之间）时取等号，故的最小值为. 故答案为： 【方法技巧与总结】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式5-1】已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【答案】 【解析】由题意可知双曲线的实半轴长，设右焦点为， 所以， ， 当且仅当、、三点共线且在点和点之间时取等号. 的最大值为 【变式5-2】点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为________． 【答案】 【解析】联立直线，的方程，故 若，则， 若，则，且，故， 可得交点的轨迹为圆心在，半径为2的圆（除去点）， 由双曲线的方程可得，，焦点，右焦点， 可得，所以， 当点在线段上时，最小，即最小， 所以， 当过与圆心的直线与圆的交点在和圆心之间时最小． 所以最小值为． 故答案为：. 【变式5-3】已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为______. 【答案】/ 【解析】设双曲线E：的右焦点为，则. 由双曲线定义可得，即. ， 当且仅当三点共线时，取得最大值. ∵点N是圆上的动点， ∴圆心设为，半径， . 故答案为：. 题型六：双曲线离心率的求解及取值范围判定 【典例6-1】（2026·贵州毕节·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线在第一象限内交于点P，若，则C的离心率为______. 【答案】 【解析】令双曲线的半焦距为，则，渐近线方程为， 依题意，点是圆与直线在第一象限内的交点，则点， ，， 而，由，得， 解得，因此，整理得，即， 所以双曲线C的离心率. 【典例6-2】（2026·四川广元·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 【答案】 【解析】∵，设的高为，则，可得，所以， ∵平分，可得， 则， 又因为，所以， 又中，由余弦定理得，则， 所以整理得， 故， 所以. 【方法技巧与总结】 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【变式6-1】已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为___________． 【答案】 【解析】 由双曲线定义可知：， 所以等腰三角形的内切圆切于点，可知为的中点， 又因为，所以， 设内切圆心为，则，即 所以，由内心性质可知：，则， 再由余弦定理可得：， 化简得：． 【变式6-2】（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【答案】/ 【解析】设椭圆的方程为，双曲线的方程为， 因为椭圆与双曲线的公共焦点，所以， 如图所示，连接，根据椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 因为，可得，设， 在中，由余弦定理得， 由椭圆的定义，可得， 可得， 所以，所以， 又由双曲线的定义，可得， 可得， 所以，所以， 所以，可得，即， 可得，所以， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，所以， 所以与的离心率之积的最小值为. 【变式6-3】（2026·湖北鄂州·模拟预测）类比圆的标准方程，我们很容易知道：在空间直角坐标系中，以坐标原点为球心，为半径的球面方程为：．现有一个底面半径为2，高为3的圆锥，以底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则圆锥侧面的方程为___________，现用一个与轴平行的平面截这个圆锥，截面与圆锥表面交线为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为___________． 【答案】 , / 【解析】已知圆锥底面半径为2，高为3，底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则顶点坐标为， 在平面上，圆锥的母线是连接和的直线，即， 绕轴旋转时，替换为，得到旋转面（圆锥侧面方程），， 即，整理得，. 用与轴平行的平面截圆锥，不妨取平面（为常数，且），代入圆锥方程， 可得，整理为双曲线标准形式， 而对于双曲线，这里，则， 故该双曲线的半焦距为， 于是，其离心率为. 【变式6-4】已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 【答案】 【解析】双曲线：（，）的两条渐近线的方程为和， 点到两条渐近线的距离之积为， 而恒成立，又因为的最小值为， 故只需，又点满足双曲线的方程， ，，即， 则的离心率，. 题型七：双曲线的简单几何性质及应用问题 【典例7-1】（多选题）（2026·重庆渝中·二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则双曲线的渐近线方程为 C．若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D．若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】对于A：由双曲线的定义可知，，. 令，则，又， 所以是等腰直角三角形， 又，所以， 则，，故A错误； 对于B：在中，， 由余弦定理得，， 整理得，所以，则，故渐近线方程为，故B正确； 对于C：若是钝角三角形，必有， 则在中，，又，所以，即， 解得，又， 所以，所以， 所以双曲线离心率的取值范围是，故C正确； 对于D：令直线，的倾斜角分别是，，，，，， 则，即，， 所以， 又，当且仅当时等号成立， 所以，所以，当，时取等号，故D正确． 【典例7-2】（多选题）（2026·河南开封·二模）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 【答案】ABD 【解析】双曲线：的渐近线方程为，即. 圆：的圆心为，半径为. 由题意得，圆心到渐近线的距离，即，所以. 对于A：，故A正确. 对于B：，所以渐近线方程为，故B正确. 对于C：，，因为，所以点的横坐标为， 代入双曲线方程，解得. 取，则，， 所以，故C错误. 对于D：若，则，，，，. 直线方程为，即. 圆心到直线的距离， 由垂径定理可得，，故D正确. 【方法技巧与总结】 处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混． 【变式7-1】（多选题）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（   ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D．若的周长为，则的离心率的取值范围是 【答案】AD 【解析】对于A项，设点的横坐标为，的焦距为，作，， 垂足分别为点，连接，则， 所以，， ， 又，所以，即， 所以，即，所以点到轴的距离为，故A项正确． 对于B项，由A项知，．又， 所以，所以，所以，所以， 则，所以C的渐近线方程为，故B项错误． 对于C项，因为，，所以， 解得，， 所以内切圆半径， 由A项知，即，则， 即，解得或（舍），所以C的离心率为，故C项错误． 对D项，由双曲线的定义可得，， 两式相加可得， 则的周长为，即， 又因为，所以，解得，所以，故D项正确． 【变式7-2】（多选题）（2026·河北沧州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 【答案】AB 【解析】由题可知，，，所以， 所以双曲线的离心率为，所以A选项正确； 由双曲线定义可知，不妨设，则， 所以因为，所以B选项正确； 对于C，由余弦定理得，故， 所以，所以C选项不正确； 对于D,设，，显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立的方程得， 则，， 所以， 解得或， 若的倾斜角为或，则,所以D选项不正确． 【变式7-3】（多选题）（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）已知，是双曲线：的左、右焦点，过的直线为，则（   ） A．若与左、右两支相交于、两点，则 B．当与仅有一个交点时，到的距离为8 C．若与左、右两支交于、两点，则的斜率的取值范围为 D．若与左、右两支相交于、两点，，则为定值12 【答案】BCD 【解析】双曲线 ，得 ，焦点 ， 对于A：若直线为轴，交双曲线左右两支于，此时，A错误； 对于B：在双曲线外部，过的直线与双曲线仅有一个交点时，只能是平行于渐近线的直线， 渐近线斜率为，则直线方程为，整理得， 到的距离，B正确； 对于C：若直线斜率存在，设，由，得， 若交左右两支于两点，需两根之积，即，得，即； 若直线斜率不存在，则，两个交点都在左支，不符合要求； 因此斜率范围为，C正确； 对于D：设，AB中点，直线斜率为， 由，得，整理得 即，所以， 整理得 由在双曲线上，可得，， 两式作差得，即 所以，即，解得 由，得，则，解得， 所以， 所以 ，即为定值，D正确. 题型八：利用双曲线第一定义求解轨迹方程 【典例8-1】（2026·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 【答案】 （且） （且） 【解析】因为等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，另一个端点为P， 所以， 故点P的轨迹是以M为圆心，10为半径的圆（且）， 故点P的轨迹方程为（且）. 因为线段的垂直平分线与直线交于点Q，所以. 又，，所以点A在圆外，线段的垂直平分线与直线的交点Q在线段的延长线或反向延长线上. 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，； 当点Q在线段的延长线上时，如下图所示. 此时，， 综上，，即动点Q到两个定点M与A的距离之差的绝对值为10. 又，所以点Q的轨迹是以点和为焦点的双曲线，其中，， 所以，，，所以双曲线方程为. 当点P为时，线段的垂直平分线的方程为，直线的方程为，直线与直线的交点为， 故动点Q的轨迹方程为（且）. 故答案为：（且）；（且）. 【典例8-2】（2026·高三·全国·三轮复习）已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______． 【答案】． 【分析】 通过动圆与已知圆的相切情况得出点满足的距离关系，再依据双曲线的定义确定点的轨迹方程. 【详解】 圆的圆心为，半径． 动圆M与圆相切有两种情况，即内切或外切，所以 所以点M在以，为焦点的双曲线上，可设双曲线方程为， 则，，所以，所以曲线C的方程是． 故答案为：. 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式8-1】一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【答案】 【分析】 求出已知圆的圆心和半径，再利用两圆外切建立等式求出轨迹方程. 【详解】 圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设动圆的圆心，半径为，依题意，， 则，因此动圆的圆心的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线下支， 实半轴长，半焦距，虚半轴长，方程为. 故答案为： 【变式8-2】过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为______． 【答案】（且） 【分析】 设P及切线方程，由直线与圆相切得出关于斜率k的方程，由判别式得出，再由斜率关系计算即可. 【详解】 设，则过点的切线方程为，即， 所以，得， 则是此方程的两根，，，即， 故，得，而要满足题意需P在圆外，则， 即曲线的方程为（且）． 故答案为：(且) 【变式8-3】（2026·广东·一模）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为_______________. 【答案】 【分析】 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系，求出直线的方程与直线的方程，联立求解即可. 【详解】 以所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系. 因为，所以 ， 所以 ，又因为 ， 所以 ，所以. 因为 ，所以直线的方程为 ①， 因为 ，所以直线的方程为 ②. 由①可得 ，代入②化简可得 ， 结合图象易知点可到达 ，但不可到达 ， 所以点的轨迹方程为 ， 故答案为： 【变式8-4】已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为______. 【答案】 【分析】 设，根据斜率得到，化简即可. 【详解】 设，由题意可知，， 整理可得动点的轨迹方程为. 故答案为：. 1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知双曲线，过左焦点作斜率为的直线，过右焦点作斜率为-3的直线，直线和的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意可得，，且， 则，得， 即交点坐标为， 又因为此点在双曲线的一条渐近线上， 所以只能是在上， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以离心率. 2．（2026·北京丰台·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，线段与轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】由题意得，即， 且，，解得， 则. 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图像，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.现将双曲线（）绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象.设的离心率为，则下列结论正确的是（    ） A． B．点是的一个顶点 C．的方程为 D． 【答案】D 【解析】对于A，“对勾函数”图象的渐近线为直线与轴， 因为旋转不改变双曲线实轴与渐近线的夹角，而双曲线的实轴与渐近线的夹角为， 所以对于双曲线有，由渐近线方程得. 所以双曲线的离心率，故A错误； 对于B、D，双曲线的两条渐近线为直线和， 所以双曲线的实轴方程为，联立方程，得， 故双曲线的两个顶点为， 双曲线的实轴长为，即，故D正确，B错误； 对于C，由，得，故双曲线的方程为，故C错误. 4．（2026·四川自贡·三模）已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【解析】双曲线的渐近线为且双曲线的焦半径参数满足 不妨取渐近线 左焦点为 设点关于直线的对称点为， 已知点关于直线的对称点坐标公式 把代入，得 再代入可得 所以 因为点在圆上，所以 由，上式化为 即整理得所以 再由得 因为 ，故 于是双曲线的离心率 5．（2026·河北衡水·模拟预测）已知双曲线与的渐近线重合，则与的实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题得，解得， 所以与的实轴长之比为. 6．（2026·河南·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．3 C．6 D．9 【答案】B 【解析】由双曲线，可得， 又渐近线方程为，所以， 所以双曲线的焦点到渐近线的距离为. 7．（2026·江西·三模）设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【解析】由双曲线，可得其渐近线方程为， 不妨设直线的方程为， 令，可得，即， 因为，可得， 可得，解得，所以的离心率为. 8．（2026·重庆渝中·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为分别为其左、右焦点，点为双曲线上一点，，则（    ） A．3 B．6 C．10 D．14 【答案】D 【解析】由双曲线得，. 渐近线得，可求. 由，得. 由双曲线定义得 ，代入 解得 或 . 若 ，则 ，此时点 在双曲线右支上. 而右支上的点到右焦点 的距离不小于 ，故 舍去. 因此 . 9．（多选题）（2026·四川成都·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的渐近线斜率为 B． C．的面积为 D．的最小值为 【答案】ACD 【解析】双曲线关于原点中心对称，且关于轴，轴轴对称， 因为关于轴对称，关于轴对称，关于原点对称，而与三点既不关于原点中心对称，也不关于轴，轴轴对称， 所以在双曲线上，不在双曲线上， 因为在双曲线上，则， 化简得，解得，（舍去）， 所以双曲线的方程为，因此，，， 对于A，渐近线方程为，斜率为，A正确； 对于B，，，， ，， 所以，B错误； 对于C，，，， 的直线方程为，， 到的距离， 所以的面积，C正确； 对于D，要使得取最小值，则点在双曲线的右支上， 根据双曲线定义得，即， 所以， 当三点共线且在之间时，最小， ， 所以最小值为，D正确． 10．（多选题）双曲线（），是坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线在第一象限内的一点，分别是的内心､重心，则下列说法正确的是（    ） A．的横坐标为 B．作于，则在圆上运动 C．的最大值为 D．若轴，且，则 【答案】ABD 【解析】 对于A，如图所示，由于是的内心，所以，解得，故A正确； 对于B，如图所示，延长交于，则， 所以，且为中点， 又是中点，所以. 所以在以为圆心，以为半径的圆上运动，故B正确； 对于C，设，则有， 设内切圆半径为，则 所以，则，即，故C错误； 对于D，，则 同理，则，故D正确. 11．（多选题）（2026·安徽合肥·模拟预测）球的体积公式可以利用微分法推导：先将半球用平行于底面(大圆面)的平面将其分成等高的部分，每一部分可近似看作圆柱，这些圆柱体积之和就作为半球体积的近似结果，当时，的极限即为半球的体积，从而得到球的体积公式．图中，为过圆柱的轴的截面，分别为圆柱上下底面圆周上的点，且的夹角为．若将直线绕转一周，可得双曲面(图2)，即过圆柱的轴的任一截面与双曲面的交线都为双曲线．设为的中点，在平面内以为原点，为轴建立如图1所示的平面直角坐标系，记圆柱高为，底面半径为，过作直线平面，交圆柱侧面于两点，过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，将双曲面与圆柱上下底面围成的封闭几何体记为．则下列说法错误的是（   ） 参考公式：． A．若，坐标平面中相应的双曲线的方程为 B．若，四面体体积的最小值为 C．若矩形周长为16，则的体积最大值为 D．若矩形周长为16，则的体积最大值为 【答案】ABD 【解析】对于A项，作垂直圆柱下底面于，作垂直圆柱上底面于， 连接得到正三棱柱， 则点到直线距离即为直线到平面距离， 又因为平面，则该距离即为等边三角形的高， 所以双曲线的实半轴为．易知双曲线过点， 所以双曲线方程为，故A项错误； 对于B项，设直线，双曲线， 设，联立， 得， 则， 则， 所以， 令，则， 因为在上单调递增， 所以，即，则， 则，当，即时取等号， ， 所以四面体体积最小值为，故B项错误； 对于CD项，则到直线间距离，即，过点， 所以双曲线方程为． 用平行于截面圆的平面对线段进行等分， 则几何体上半部分依次被分成等高的部分， 每一部分可以近似看成高均为的圆柱， 假设这些平行平面与双曲线第一象限部分从下往上依次交于， 则， 所以几何体上半部分从下往上第部分体积， 所以几何体的体积， 当时，， 由题意， 所以， 当且仅当时取等，所以几何体的体积最大值约为， 故C项正确，D项错误； 12．（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. 【答案】 【解析】设的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， 的平分线所在直线与轴交于点，， 则， 因为， 且， 所以， 又因为且，所以， 联立方程组，解得， 所以， 因为，所以，所以， 在直角中，因为，所以， 又因为，所以， 所以双曲线的离心率. 13．（2026·山东泰安·三模）已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______． 【答案】 【解析】因为，一条渐近线方程为，如图，作出符合题意的图形， 则，， 又，所以， 即，， 在中，， 在中， ， 所以. 14．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 【答案】 【解析】设双曲线E方程为， 则重心， 因为内心到的距离等于内切圆半径，故的纵坐标为. 由于，所以， 因为的面积， 代入得， 不妨设， 则有， 在中，由余弦定理得， 即， 因为，则， 当时，代入得; 当时，代入得(不成立，舍去). 15．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 【解析】（1）根据题意，，解得， 则， 所以双曲线的渐近线方程为； （2）设点到直线的距离为， 当直线轴时，， 根据等面积法得，解得； 当直线与轴不垂直时，设直线的方程为（显然）， 则直线的方程为，由，得， 所以①， 同理，由可求得②， 根据等面积法得，即， 即 ，即③， 将①②代入③得， 又点到直线的距离为定值， 所以，解得， 时，，即， 综上所述，时，点到直线的距离为定值． 16．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 【解析】（1）双曲线过点，渐近线方程为， ，解得； 的标准方程为. （2）（ⅰ），的左顶点； 直线过点，设直线方程为，，； ，联立方程得， ， 则，； 直线与的左支交于，两点，，； 即，解得； 综上所述，的值为. （ⅱ）直线过点，设直线的方程为，，，则； ，联立方程得， 则，得； ； 同理可求得，； ①当直线斜率存在时，如图所示： ,,三点共线，，即， 则，化简得; 令，即，即直线过定点; ②当直线斜率不存在时，如图所示： 此时，则，解得，； 直线的方程为，也过定点； 直线恒过定点. 17．（2026·湖北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，M为E上的动点，且M到两焦点的距离的差的绝对值为2． (1)求E的方程； (2)过点M作斜率为和的直线，分别与E交于点G、H，求的最小值； (3)过点的直线交E于A、B两点，过点的直线交E于C、D两点，与交于点P，且与的斜率之积为．证明：与面积的乘积为定值． 【解析】（1）根据题意，，又，所以，则， 所以双曲线方程为. （2）设，则， ， 直线的方程为， 由得：， 设点坐标为，则是上述方程的解， 所以，整理得， 直线的方程为， 由得：， 设点坐标为，则是上述方程的解， 所以，整理得， ，同理， ， 所以， 又，即， 所以， 因为，所以，时取等号， 所以； （3）由（1）得，设， 则，化简得， 所以在双曲线上， ， 直线（即）相交于点，则与互补（或是对顶角） 所以，设直线与的夹角是，则， 所以， 直线过，设直线的参数方程为，其中为参数，表示点到对应点的有向距离，设对应参数分别为， 把代入双曲线方程得， 化简得， 所以，， 在直线上，， ， 又满足，，， ， ， ， 所以， 同理可得， 所以， 直线的斜率为，直线的斜率为，， ， ， 所以. 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.6 双曲线及其性质 目录 01 课标要求 2 02 落实主干知识 3 知识点一：双曲线的定义 3 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 3 03 探究核心题型 6 题型一：双曲线的定义辨析及标准方程求解 6 题型二：双曲线方程成立的充要条件判定 7 题型三：双曲线焦点三角形的周长、面积及综合应用问题 8 题型四：双曲线上任意两点间距离的最值求解 9 题型五：双曲线上两条线段和与差的最值问题 9 题型六：双曲线离心率的求解及取值范围判定 10 题型七：双曲线的简单几何性质及应用问题 11 题型八：利用双曲线第一定义求解轨迹方程 13 04 课时精练 14 1、了解双曲线的定义、几何图形和标准方程. 2、掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率). 3、了解双曲线的简单应用. 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 题型一：双曲线的定义辨析及标准方程求解 【典例1-1】（2026·天津·一模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，O是坐标原点，过作双曲线的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2026·云南曲靖·一模）已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且一条渐近线方程为，则双曲线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 求双曲线的方程问题，一般有如下两种解决途径： （1）在已知方程类型的前提下，根据题目中的条件求出方程中的参数，，，即利用待定系数法求方程. （2）根据动点轨迹满足的条件，来确定动点的轨迹为双曲线，然后求解方程中的参数，即利用定义法求方程. 【变式1-1】（2026·天津东丽·一模）已知双曲线的右焦点为F，焦距为2c，过F的直线与双曲线的一条渐近线垂直且交于点A，FA的延长线与直线交于点B，的面积为，O为原点，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·北京丰台·一模）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（2026·辽宁沈阳·二模）若以直线为渐近线的双曲线经过点，则该双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：双曲线方程成立的充要条件判定 【典例2-1】（2026·上海杨浦·模拟预测）对数函数与双曲线均存在的一个充分不必要条件为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【典例2-2】（2026·云南昆明·模拟预测）已知为第二象限角，则方程表示的曲线为（    ）． A．焦点在x轴上的双曲线 B．焦点在y轴上的双曲线 C．焦点在x轴上的椭圆 D．焦点在y轴上的椭圆 【方法技巧与总结】 表示椭圆的充要条件为：； 表示双曲线方程的充要条件为：； 表示圆方程的充要条件为：. 【变式2-1】（2026·上海奉贤·一模）曲线的方程为（、不同时为0），则下列说法正确的是（    ） A．曲线不可能是直线 B．当，时，曲线是椭圆 C．若曲线是双曲线，则双曲线的渐近线与无关 D．曲线是抛物线 【变式2-2】（2026·四川遂宁·二模）已知方程表示双曲线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D．或 【变式2-3】（2026·高三·江西赣州·期中）设为实数，若方程表示焦点在轴上的双曲线，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型三：双曲线焦点三角形的周长、面积及综合应用问题 【典例3-1】（2026·重庆北碚·模拟预测）已知F为双曲线的右焦点，A为左顶点，P为C上的点，且P位于第一象限，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例3-2】（2026·四川·模拟预测）已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【方法技巧与总结】 对于题中涉及双曲线上点到双曲线两焦点距离问题常用定义，即，在焦点三角形面积问题中若已知角，则用，及余弦定理等知识；若未知角，则用. 【变式3-1】（2026·高三·湖北黄冈·期末）已知双曲线的左右焦点分别为，过且垂直于轴的直线与该双曲线右支交于两点，直线分别交轴于两点，若的周长为24，则的最大值为（    ） A．12 B．16 C． D． 【变式3-2】（2026·河南安阳·模拟预测）已知双曲线的左､右焦点分别为，点在的左支上，且，线段的中垂线与在第一象限内交于点为坐标原点，若的面积是的面积的4倍，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2026·江西上饶·二模）已知双曲线的左右焦点分别为、，过其右焦点的直线l与它的右支交于P、Q两点，与y轴相交于点A，的内切圆与边相切于点B，若，则当的内切圆（圆心为）与的内切圆（圆心为）的面积之和取最小值时，的面积为（   ） A．24 B．25 C．48 D．49 题型四：双曲线上任意两点间距离的最值求解 【典例4-1】（2026·高三·云南普洱·期末）已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________. 【典例4-2】若 为双曲线 的左焦点，过原点的直线 与双曲线 的左、右两支分别交于 、 两点，则 的取值范围是_____ 【方法技巧与总结】 利用几何意义进行转化. 【变式4-1】设双曲线的左焦点和右焦点分别是，点是右支上的一点，则的最小值为______． 【变式4-2】设，为双曲线的左右焦点，为双曲线右支上一点，点，当取最小值时，的值为______. 【变式4-3】已知双曲线：的左焦点为，且是双曲线上的一点，则的最小值为__________. 题型五：双曲线上两条线段和与差的最值问题 【典例5-1】（2026·云南保山·二模）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上任意一点，点的坐标为，则的最小值为________. 【典例5-2】（2026·河北沧州·模拟预测）已知是双曲线的右焦点，是右支上一点，若点，则的最小值为__________. 【方法技巧与总结】 在解析几何中，我们会遇到最值问题，这种问题，往往是考察我们定义．求解最值问题的过程中，如果发现动点在圆锥曲线上，要思考并用上圆锥曲线的定义，往往问题能迎刃而解． 【变式5-1】已知双曲线的左焦点为为双曲线右支上任意一点，点的坐标为（3,1），则的最大值为___________． 【变式5-2】点是双曲线的左焦点，动点A在双曲线右支上，直线：与直线：的交点为B，则的最小值为________． 【变式5-3】已知双曲线E：的左焦点为F，点M是E右支上的动点，点N是圆上的动点，则的最大值为______. 题型六：双曲线离心率的求解及取值范围判定 【典例6-1】（2026·贵州毕节·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，以坐标原点O为圆心，a为半径的圆与C的一条渐近线在第一象限内交于点P，若，则C的离心率为______. 【典例6-2】（2026·四川广元·三模）已知双曲线：的左、右焦点分别为，，是双曲线右支上一点，且，若的平分线与轴交于点，有，则双曲线的离心率为______. 【方法技巧与总结】 求离心率的本质就是探究之间的数量关系，知道中任意两者间的等式关系或不等关系便可求解出的值或其范围.具体方法为方程法、不等式法、定义法和坐标法. 【变式6-1】已知双曲线的左，右焦点分别为，过的直线与双曲线分别在第一、二象限交于两点，内切圆的半径为，若，则双曲线的离心率为___________． 【变式6-2】（2026·上海浦东新·三模）如图，、是椭圆与双曲线的公共焦点，点、是椭圆与双曲线的两个交点，其中在第一象限，在第三象限．若，则与的离心率之积的最小值为___________． 【变式6-3】（2026·湖北鄂州·模拟预测）类比圆的标准方程，我们很容易知道：在空间直角坐标系中，以坐标原点为球心，为半径的球面方程为：．现有一个底面半径为2，高为3的圆锥，以底面圆圆心为坐标原点，顶点在轴上，则圆锥侧面的方程为___________，现用一个与轴平行的平面截这个圆锥，截面与圆锥表面交线为双曲线的一部分，则该双曲线的离心率为___________． 【变式6-4】已知点在双曲线：（，）上，到两渐近线的距离为，，若恒成立，则的离心率的取值范围为______. 题型七：双曲线的简单几何性质及应用问题 【典例7-1】（多选题）（2026·重庆渝中·二模）已知双曲线：（，）的左、右焦点分别是，，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于，两点，，两点均在轴上方，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若，则双曲线的渐近线方程为 C．若是钝角三角形，则双曲线离心率的取值范围是 D．若是钝角三角形，直线，的斜率分别是，，则的最小值是 【典例7-2】（多选题）（2026·河南开封·二模）已知双曲线：的渐近线与圆：相切，记的左、右焦点分别为，，为上一点，且，与圆交于，两点，则（   ） A．的离心率为2 B．的渐近线方程为 C． D．若，则 【方法技巧与总结】 处理双曲线的问题的时候，如果需要画图，注意作图规范，结合图象分析，另外因为双曲线有两条渐近线，所以要分清楚，到底是点在双曲线上还是渐近线上，切勿搞混． 【变式7-1】（多选题）（2026·陕西咸阳·模拟预测）已知，分别是双曲线的左、右焦点，过右焦点的直线交的右支于两点，的内切圆圆心为，且该圆与轴相切于点，则下列说法正确的是（   ） A．点到轴的距离为 B．若，则的渐近线方程为 C．若，且轴恰好和的内切圆相切，则的离心率为 D．若的周长为，则的离心率的取值范围是 【变式7-2】（多选题）（2026·河北沧州·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为，，为上一动点，过点作直线交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A．的离心率为 B．的最小值为2 C．若，则的面积为6 D．若，则的倾斜角为或 【变式7-3】（多选题）（2026·高三·贵州遵义·阶段检测）已知，是双曲线：的左、右焦点，过的直线为，则（   ） A．若与左、右两支相交于、两点，则 B．当与仅有一个交点时，到的距离为8 C．若与左、右两支交于、两点，则的斜率的取值范围为 D．若与左、右两支相交于、两点，，则为定值12 题型八：利用双曲线第一定义求解轨迹方程 【典例8-1】（2026·河南·三模）已知等腰三角形的顶点为，底边的一个端点为，则另一个端点P的轨迹方程为______；又，线段的垂直平分线与直线交于点Q，则动点Q的轨迹方程为_____. 【典例8-2】（2026·高三·全国·三轮复习）已知以点M为圆心的动圆经过点，且与圆心为的圆相切，记点M的轨迹为曲线C，则曲线C的方程为______． 【方法技巧与总结】 常见考题中，会让我们利用圆锥曲线的定义求解点P的轨迹方程，这时候要注意把动点P和满足焦点标志的定点连起来做判断． 焦点往往有以下的特征：（1）关于坐标轴对称的点；（2）标记为F的点；（3）圆心；（4）题上提到的定点等等．当看到满足以上的标志的时候要想到曲线的定义，把曲线和满足焦点特征的点连起来结合曲线定义判断．注意：在求解轨迹方程的题中，要注意x和y的取值范围. 【变式8-1】一动圆与圆和都外切，则动圆的圆心的轨迹方程为___________. 【变式8-2】过曲线上一点作圆的两条切线，切点分别为，若，则曲线的方程为______． 【变式8-3】（2026·广东·一模）如图，在矩形中，分别是矩形四条边的中点，点在直线上，点在直线上，，直线与直线相交于点，则点的轨迹方程为_______________. 【变式8-4】已知点，，若动点满足，则动点的轨迹方程为______. 1．（2026·贵州安顺·模拟预测）已知双曲线，过左焦点作斜率为的直线，过右焦点作斜率为-3的直线，直线和的交点在双曲线的一条渐近线上，则双曲线的离心率为（    ） A．3 B． C． D． 2．（2026·北京丰台·二模）已知双曲线的左、右焦点分别为为双曲线右支上一点，线段与轴交于点，若（为坐标原点），，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C． D．2 3．（2026·陕西榆林·模拟预测）将双曲线绕其中心旋转一个合适的角度，可以得到一些熟悉的函数图像，比如“对勾函数”的图象能由某条双曲线绕原点旋转得到，其渐近线分别为直线与轴，其实轴和虚轴是两条渐近线的角平分线.现将双曲线（）绕原点旋转一个合适的角度，得到函数的图象.设的离心率为，则下列结论正确的是（    ） A． B．点是的一个顶点 C．的方程为 D． 4．（2026·四川自贡·三模）已知双曲线：（，），为的一条渐近线，若双曲线的左焦点关于直线的对称点在圆上，则双曲线的离心率为（   ） A．3 B．2 C． D． 5．（2026·河北衡水·模拟预测）已知双曲线与的渐近线重合，则与的实轴长之比为（   ） A． B． C． D． 6．（2026·河南·三模）已知双曲线的渐近线方程为，则双曲线的焦点到渐近线的距离为（   ） A． B．3 C．6 D．9 7．（2026·江西·三模）设双曲线的左焦点为，过作的一条渐近线的垂线，交轴于点，若，则的离心率为（    ） A．2 B． C． D． 8．（2026·重庆渝中·三模）已知双曲线的一条渐近线方程为分别为其左、右焦点，点为双曲线上一点，，则（    ） A．3 B．6 C．10 D．14 9．（多选题）（2026·四川成都·三模）已知双曲线的左､右焦点分别为，为双曲线上一点，若，，，中有且仅有个点在双曲线上，则（    ） A．双曲线的渐近线斜率为 B． C．的面积为 D．的最小值为 10．（多选题）双曲线（），是坐标原点，分别是双曲线的左右焦点，是双曲线在第一象限内的一点，分别是的内心､重心，则下列说法正确的是（    ） A．的横坐标为 B．作于，则在圆上运动 C．的最大值为 D．若轴，且，则 11．（多选题）（2026·安徽合肥·模拟预测）球的体积公式可以利用微分法推导：先将半球用平行于底面(大圆面)的平面将其分成等高的部分，每一部分可近似看作圆柱，这些圆柱体积之和就作为半球体积的近似结果，当时，的极限即为半球的体积，从而得到球的体积公式．图中，为过圆柱的轴的截面，分别为圆柱上下底面圆周上的点，且的夹角为．若将直线绕转一周，可得双曲面(图2)，即过圆柱的轴的任一截面与双曲面的交线都为双曲线．设为的中点，在平面内以为原点，为轴建立如图1所示的平面直角坐标系，记圆柱高为，底面半径为，过作直线平面，交圆柱侧面于两点，过双曲线的右焦点的直线与双曲线右支交于两点，将双曲面与圆柱上下底面围成的封闭几何体记为．则下列说法错误的是（   ） 参考公式：． A．若，坐标平面中相应的双曲线的方程为 B．若，四面体体积的最小值为 C．若矩形周长为16，则的体积最大值为 D．若矩形周长为16，则的体积最大值为 12．（2026·河北保定·模拟预测）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. 13．（2026·山东泰安·三模）已知双曲线的离心率为2，为C的两个焦点，过作C的一条渐近线的垂线，垂足为M，O为坐标原点，则_______． 14．（2026·福建泉州·模拟预测）已知，为双曲线的焦点，点在上，点，分别为的内心和重心.若，且，则的离心率为____________. 15．（2026·山东枣庄·三模）已知双曲线的实轴长为，且经过点. (1)求的渐近线方程； (2)设曲线，点，分别是，上的动点，且满足，若原点到直线的距离为定值，求的值. 16．（2026·安徽马鞍山·二模）已知双曲线过点，且渐近线方程为． (1)求的标准方程； (2)点的坐标为，过点的直线与的左支交于，两点，直线，分别与的右支交于，两点． （ⅰ）的左顶点为，记直线，的斜率分别为，，求； （ⅱ）证明：直线过定点． 17．（2026·湖北·三模）已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，离心率为2，M为E上的动点，且M到两焦点的距离的差的绝对值为2． (1)求E的方程； (2)过点M作斜率为和的直线，分别与E交于点G、H，求的最小值； (3)过点的直线交E于A、B两点，过点的直线交E于C、D两点，与交于点P，且与的斜率之积为．证明：与面积的乘积为定值． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $