学易金卷：九年级数学上学期期中模拟卷（湖南专用，新教材湘教版九上第1～3章：图形的相似+锐角的正弦、余弦、正切+一元二次方程）

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若为一元二次方程的一个根，则m的值为（     ） A．0 B．4 C． D．8 2．如图，在中，、分别是和上的点且，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 5．在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台处监测水位．如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程的一个实数根为，则另一实数根为（    ） A． B．1 C． D．2 7．如图，在中，D、F，E、G分别为，边的三等分点，连接，，交于点H．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 10．已知整式：，其中为自然数，，，，…，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．求值：________． 12．把方程化成的形式，则m的值是________． 13．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 14．如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为_______． 15．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______． 16．在梯形中，，，，，，点是四边形内部一动点． （1）如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，若，则点P到对角线的距离为_________． （2）如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分。 17．解方程： (1) (2) 18．如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 19．在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） 20．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 21．关于的方程． (1)求证：不论为何实数，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值． 22．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． (1)求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 23．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 24．数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 试题 第7页（共8页） 试题 第8页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 1、 选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若为一元二次方程的一个根，则m的值为（     ） A．0 B．4 C． D．8 2．如图，在中，、分别是和上的点且，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 3．已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 5．在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台处监测水位．如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 6．若关于x的一元二次方程的一个实数根为，则另一实数根为（    ） A． B．1 C． D．2 7．如图，在中，D、F，E、G分别为，边的三等分点，连接，，交于点H．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 9．如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 10．已知整式：，其中为自然数，，，，…，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 第Ⅱ卷 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．求值：________． 12．把方程化成的形式，则m的值是________． 13．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 14．如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为_______． 15．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______． 16．在梯形中，，，，，，点是四边形内部一动点． （1）如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，若，则点P到对角线的距离为_________． （2）如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是_________． 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分。 17．解方程： (1) (2) 18．如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 19．在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） 20．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 21．关于的方程． (1)求证：不论为何实数，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值． 22．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． (1)求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 23．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 24．数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 全解全析 （考试时间：120分钟，分值：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材湘教版九年级上册第1~3章。 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1．若为一元二次方程的一个根，则m的值为（     ） A．0 B．4 C． D．8 【答案】A 【详解】解：把代入，得， 解得． 2．如图，在中，、分别是和上的点且，若，，，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线分线段成比例定理，由可得，代入数值求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 3．已知三条线段的长分别为、、，则下列长度的线段中，不能与这三条线段构成成比例线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据比例性质：比例的内项之积与外项之积相等求解即可． 【详解】解：设第四条线段长为， 若四条线段构成成比例线段，则两线段的乘积等于另两线段的乘积，分三种情况： ，解得； ，解得； ，解得； 则长度为的线段无法与已知三条线段构成成比例线段． 4．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】A 【分析】注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，结合根的判别式联立求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴， 解得， ∵方程有两个不相等的实数根 ∴， 解得， 综上，且. 5．在贺州市遭遇大暴雨时，龟石水库的水位持续上涨，工作人员在水库岸边的直角三角形观测台处监测水位．如图，龟石水库堤坝横断面迎水坡的坡角为，，堤坝高，则迎水坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了锐角三角函数的定义，熟练掌握正弦函数的定义是解题的关键． 先明确题目中的直角三角形模型，已知角的正弦值和对边的长度，利用正弦函数的定义对边斜边来计算斜边的长度． 【详解】解：∵在中，，，， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 6．若关于x的一元二次方程的一个实数根为，则另一实数根为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【详解】解：设方程的另一实数根为，根据根与系数的关系，可知方程的两根之积为， ∵方程的一个根为， ∴， 解得． 7．如图，在中，D、F，E、G分别为，边的三等分点，连接，，交于点H．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由三等分点得到线段比例，利用两边成比例且夹角相等证明，推出；再证，得到，设，根据列方程求解． 【详解】解：D、F、E、G分别为，的三等分点， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， 设，则，， 由，得， ， ． 8．如图，正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，点，，在轴上，若，则点的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：正方形与正方形是以原点为位似中心的位似图形，且相似比为，，， ，， ， ． ， ， ． 四边形为正方形， ， ． 四边形为正方形， ， ， 点的坐标为． 9．如图，正方形中，点，分别是边，上的两个动点，且正方形的周长是周长的倍．连接、分别与对角线交于点、，给出如下几个结论：①若，，则；②；③若，，则；④若，，则，其中正确结论的序号为（     ） A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】对于①，由题干条件容易得出，相加即可；对于②，延长至点，使得，利用“半角”模型与正方形的性质容易证明与，则，，由三角形外角的性质可得；对于③，作于点，连接，，容易证明与，则，，同理，，因此是直角三角形，使用勾股定理计算出即可；对于④，由③可得，，，则，推出，通过导角可得，解直角三角形可计算出． 【详解】解：对于①，正方形的周长是周长的倍， ，即， ， ，， ，故①正确； 对于②，如图，延长至点，使得， 由①可得， ， 四边形是正方形， ，，， ， 在和中， ， ， ，，， 在和中， ， ， ，，， ， ， ， 又，， ， ，故②正确； 对于③，如图，作于点，连接，， 由②可得，，， ， ， 在和中，， ， ， ， ， 在和中，， ， ，， 同理，， ，， ， 在中，，故③正确； 对于④，由③可得，，， ， 在中，， ， ，，且， ， ，即， ， ， ，即， ，故④错误； 综上，正确的结论为①②③， 故选：C． 10．已知整式：，其中为自然数，，，，…，，为正整数，且．下列说法： ①满足条件的所有整式中有且仅有1个单项式； ②当时，满足条件的所有整式的和为； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式共有2个． 其中正确的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】利用为正整数的条件，结合系数和为4的限制，分类讨论各系数的可能取值，逐一判断说法正误． 【详解】解：由题设知，为自然数，为正整数，且． ①判断：为正整数， 当时，至少含和两项，不可能为单项式． 当时，， 若为单项式，则，此时，即，仅1个，故①正确． ②判断：当时， 为正整数， ， ． 当时，，对应整式为． 当时，，正整数解为，对应整式为，，． 所有整式的和为， 与不符，故②错误． ③判断：二次三项式需满足且含3项， 为正整数， 项与项必存在， 需，即． 结合，，，得可能的组合： 时，，对应整式，； 时，，对应整式． 共3个二次三项式． 配方判断非负性：，，， 均为非负数，共3个，与“共有2个”不符，故③错误． 综上，正确的个数为1． 第Ⅱ卷 2、 填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11．求值：________． 【答案】 【分析】先代入特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算减法． 【详解】解：． 12．把方程化成的形式，则m的值是________． 【答案】3 【详解】解： ， ， ， ， ∴． 13．二胡是中国古老的民族拉弦乐器之一，音乐家发现，二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时，奏出来的音调最和谐、最悦耳．如图，一把二胡的琴弦长为．千斤线绑在点B处，则B点下方的琴弦长为________． 【答案】 【详解】解：二胡的千斤线绑在琴弦的黄金分割点处时， 即点B为黄金分割点， 设B点下方的琴弦长为， 且二胡的琴弦长为 则有， 解得， 故答案为：． 14．如果关于的一元二次方程有实数根，那么实数的取值范围为_______． 【答案】 【详解】解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴． 15．如图，是边长为1的等边三角形，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记为，取的中点，作，，得到四边形，它的面积记作，照此规律，则_______． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，等边三角形的性质和应用，找出规律，是解题的关键．首先由得出，根据相似三角形的性质得出，根据的面积求出，，求出，同理，，，…，根据规律可写出，再n将取2023，计算即可得答案． 【详解】解∶的中点，， ∴， ， ， ， ， 的面积是 ， 推理， ， 同理，，，…， （个） 故答案为∶． 16．在梯形中，，，，，，点是四边形内部一动点． （1）如图1，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，，若，则点P到对角线的距离为_________． （2）如图2，将点向右平移个单位长度，得到点（点仍在该四边形内）．，，将该四边形分成两部分，面积分别记作，．若存在点，，使得，则的取值范围是_________． 【答案】 / 【分析】（1）连接，过点作，分别交，于点，，求梯形的面积，可得三角形的面积，进而确定点的轨迹并算出点到的距离； （2）通过分析临界情况利用梯形面积公式根据题意列方程，求解即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：如图，在图1中连接，过点作，分别交，于点，， ∵在四边形中，，， ∴四边形是直角梯形， ∵，，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 当时， ， 在中， ， ∴点到的距离为. （2）解：如图，在图2中考虑临界情况，当点在上的点处，点在上的点处时，设， 若，则， 解得， ∴， 解得，（舍去）， ∴． 即的取值范围是. 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23-24题每题12分。 17．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 解得； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴或， 解得． 18．如图，在中，，，，点在的延长线上，，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，根据正弦的定义可求出的长，再利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，∵，， ∴， 在中，由勾股定理，得． 19．在的方格纸中，请按下列要求画出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中将绕点顺时针旋转，画出旋转得到的； (2)在图2中画出一个与相似的，且使得相似比不为1．（画出一个即可） 【答案】(1) 即为所求： ； (2) 即为所求： ． 【分析】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握相似变换旋转变换的性质． （1）根据要求作出图形； （2）根据直角边的比为2，构造相似三角形即可． 【详解】（1）略 （2）略 20．如下图． (1)判断与是否相似，并说明理由． (2)若，求的度数． 【答案】(1) 相似．理由如下： ， ． (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，证明是解题的关键． （1）根据三组对应边的比相等的两个三角形相似，即可证得； （2）由相似三角形的性质得出，即可得出答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1），得． 又， ． 21．关于的方程． (1)求证：不论为何实数，该方程总有两个实数根； (2)若该方程的一个根为，求的值． 【答案】(1) 证明：∵， ∴原方程总有两个实数根； (2) 【分析】（）求出的值，进而即可求证； （）把代入方程计算即可求解； 本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）略 （2）解：∵该方程的一个根为， ∴， 解得． 22．我校为增强学生们的实践能力，新颖社团对学生的学习效率与学习时间的关系进行了研究和调查，研究发现学习行为开始后学习效率逐渐升高，但长时间学习容易造成的疲劳使得学习效率达到高峰后逐渐下降，下表是社团研究团队记录的研究数据： 学习效率与学习时间统计表（备注：学习效率用0至1的数字表示） 学习时间（分钟） … … 学习效率 … … 记录学习效率时，每分钟为一个记录单元． (1)求分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率和的值； (2)研究发现，学习时间1小时，学习效率达到顶峰，1小时后学习效率逐渐下降，而且学习时间每增加分钟，学习效率值下降．若将学习时间（分钟）与学习效率值的乘积叫做学习效能． ①求学习时间为分钟的学习效能； ②恰逢我校调整每晚作业时间，规定作业时间不少于1个小时，试求当小明同学的学习效能为的时候，他当晚的作业时间是多少． 【答案】(1)平均增长率为， (2)①；②分钟 【分析】（1）设平均增长率为，利用增长率模型建立一元二次方程，求解出，再求出的值； （2）①先计算出分钟的学习效率，再乘以学习时间即可； ②设作业时间为分钟，先用的代数式表示出学习效率，再建立方程，求解并舍去不符合题意的根即可． 【详解】（1）解：设分钟到分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率为， 由题意可知，， 解得，（负值舍去）， ∴平均增长率为， ∴； （2）解：①， ， ∴学习时间为分钟的学习效能为； ②设作业时间为分钟， 由题意可知，学习效率为， ∴， 整理，得， 解得，， ∵， ∴． 答：小明同学当晚的作业时间是分钟． 23．如图，海上观察哨所B位于观察哨所A正北方向，距离为50海里，在某时刻，哨所A与哨所B同时发现一走私船，其位置C位于哨所A北偏东的方向上，位于哨所B南偏东的方向上． (1)求观察哨所A与走私船所在的位置C的距离； (2)若观察哨所A发现走私船从C处以24海里/小时的速度向正东方向逃窜，并立即派缉私艇沿北偏东的方向前去拦截，若缉私艇在D处恰好成功拦截，求缉私艇拦截走私船所用时间． （参考数据：，，，） 【答案】(1)，C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【分析】（1）先求出，再根据三角函数计算即可； （2）延长交于点M，由题意得，根据三角函数求出海里，海里，可知海里，进而可知缉私艇拦截走私船所用时间． 【详解】（1）解：在中，，， ， 在中，， （海里）， ，C的距离约为30海里； （2）解：延长交于点M，由题意得， 在中，（海里）， （海里）， 在中，， （海里）， （海里）， （小时）， 答：缉私艇所用时间是2小时． 24．数学课上，张老师在引导学生探究菱形与正方形性质的共同点时，根据菱形和正方形邻边都相等的性质，设计了以下问题． 【观察发现】 在菱形中，是菱形内一点，且，连接，延长交于点． （1）如图1，当时，的度数为 ． 【迁移探究】 （2）如图2，当时． ①判断与α的数量关系，并说明理由； ②当时，判断与的关系，并说明理由． 【结论应用】 （3）如图3，在边长为的正方形中，是正方形内一点，且，连接，延长交于点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接．当是等腰直角三角形时，直接写出的长． 【答案】（1）； （2）①； ②，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴三点共线， ∴， 由①，知， ∴， ∴； （3）BH或． 【分析】（1）根据四边形是菱形，得，，，，由，得到，所以，由此即可求解； （2）①根据菱形的性质，结合题意得到，在四边形中，，，，，即可求解； ②由菱形的性质得到，，则三点共线，，由①知，则，结合相似三角形的判即可求解； （3）根据题意得，分两种情况讨论：①当，时，，，，即，又，，设，则，，，列式求解；②当，时，同理可得，设，则，，列式求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∵， ∴，整理得，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①，理由如下： 在菱形中，， ∵， ∴， ∴， 在四边形中，，　 ∵， ∴， ∵， ∴，即； ② 略 （3）或， 同（2）①可得， ∵， ∴， 分两种情况讨论：①当，时，如题图3所示， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∵，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， 设，则，， ∵， ∴，即， ∴， ∴； ②当，时，如解图所示， 同理可得， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴是的中点， 设，则， ∴，即， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，正方形的性质，等边对等角的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理的综合运用，掌握以上知识，数形结合，分类讨论思想是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11._______________ 14. ________________ 12. ___________ 15. _______________ 13. _________________ 16.________________ 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 17.（6分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（6分） 19．（8分） 20．（8分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 21．（10分） 22．（10分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23．（12分） 24．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2026-2027学年七年级数学上学期期中模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1 4 5 6 8 10 A A B B C C B 二、填空题：本题6小题，每小题3分，共18分。 11.3-1 12.3 13.30(5- 5 4 14.m≥0 15.24047 16.5/0.8 0<m<V17 三、解答题：本题共8小题，共72分。其中：17-18每题6分，19-20题每题8分，21-22题每题10分，23- 24题每题12分。 17.1)5=0,5=4 2)x=25=3 【详解】(1)解：(-2y-4=0 :(x-2}=4 .x-2=2 解得5=05=4 (3分) (2)解：2x(x-3)=x-3 :2x(x-3)-(x-3)=0 :(x-32x-1)=0 .x-3=0或2x-1=0, 1 解得=25=3.(6分) 118 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 18.AC=10 【详解】解：在RADB中，咖B=D8 AB17,AB=17 AD=AB-sin B=8,(3分) 在Rt△ADC中，由勾股定理，得4C=VMD+CD2=V6+8=10.(6分) 19.【详解】(1) △AB'C即为所求： A A (4分) B C 图1 (2) △ACD即为所求： (8分) 图2 20.【详解】(1)相似.理由如下： 4B-25_5,BC-40_54C_205 AD-153'DE243'AE-123: AB BC AC AD DE AE AABC△ADE.(4分) (2)55° 解：由(1)，得△ABC∽aADE,∴∠BAC=∠DAE .·∠BAC=125, ∴.∠DAE=125, 又：∠EAC=70°， 218 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 :∠CAD=∠DAE-∠EAC=5S°.(8分) 21.详解1) 证明：：△=m-4(m-)小=m2-4m+4=(m-2}≥0 .原方程总有两个实数根；(5分) (2)m=-1 (2)解：，该方程的一个根为x=2, 22+2m+m-1=0, 解得m=-1.(10分) 22.(1)平均增长率为25%，m=0.8(2分) (2)①48；②100分钟 【详解】(1)解：设40分钟到60分钟这两个记录单元学习效率值的平均增长率为x, 0.64(1+x)2=1 由题意可知， x=0.25x2=-2.25 解 (负值舍去)， .平均增长率为0.25=25%， :m=064×1+0.2)=0.8:5分别 (2解：①1-000×0.2=1-04=0.6， 10 0.6×80=48 ∴学习时间为80分钟的学习效能为48； ②设作业时间为t分钟， 由题意可知，学习效率为1-t-60x0.2=2.2-0.02t, 10 :(2.2-0.02)t=20 整理，得t2-110t+1000=0, =1052=100 解得 3/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .1>60. .t=100 答：小明同学当晚的作业时间是100分钟.(10分) 23.(1)A,C的距离约为30海里 (2)缉私艇所用时间是2小时 【详解】(1)解：在△ABC中，~∠B=37°，∠BAC=53° .∠ACB=180°-37°-53°=90°， 在R△ABC中，cos∠BAC=4C AB· AC=AB:c0s53°≈50×？-=30（海里）》 ∴.A,C的距离约为30海里：(5分) (2)解：延长DC交AB于点M,由题意得CM⊥AB, B 37° D 53o 76 在R△MMC中，CM=AC-sn53P30x-24(海里). 5 AM=AC.cos53°≈30×=18（海里）， 在Rt△AMD中，tan76°≈4， .DM=M·tan76°≈18×4=72（海里）， :.CD=DM-CM=72-24=48(海里)， 242(小时)， 4 答：缉私艇所用时间是2小时，(12分) 24.(1)30° 1 (2)①∠BEF 2, 418 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (3)BH=V105 或 【详解】解：(1)四边形ABCD是菱形， .'AB=BC=CD=AD,ADIl BC. ∠BAD=60°，AE=AD, .∠ABC=120°，AD=AE=AB, ∴.∠ADE=∠AED,∠ABE=∠AEB, .∠DAE=180°-2∠AED,∠BAE=180°-2∠AEB, .∠DAE+∠BAE=∠BAD=60°， :.180°-2∠AED+180°-2∠AEB=60°，整理得， 360°-2（∠AED+∠AEB)=60° .∠AED+∠AEB=150°， ,∠BEF=180°-（∠AED+∠AEB)=30° 故答案为：30°；(3分) (2)①∠BEF=2“,理由如下： 1 在菱形ABCD中，AB=BC=CD=AD, .AE AD, .AE AD=AB, .∠ADE=∠AED,∠AEB=∠ABE, 在四边形ABED中，∠BAD+∠ADE+∠ABE+∠BED=36O°， .∠BAD=C,∠BED=∠AED+∠AEB=∠ADE+∠ABE .a+2∠BED=360°， .∠BED+∠BEF=180°， 1 ∴a+2080-∠BEP=360°，即∠BEF=2“: ②△BEFADCE，,理由如下： 在菱形ABCD中，AB‖CD,∠ABC=∠ADC, .∠EBF=∠CDE, 5/8 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 .∠ABE=∠ADE, AE=AD=AB, ∴.∠ABE=∠AEB=∠AED=∠ADE, ∴.∠BAE=∠DAE, .A,E,C三点共线， .∠DCE=LBAE=∠DAE=∠BAD 21 11BAD ①，知<BEF=2a=7 ∴.∠BEF=∠DCE, .△BEFADCE:(6分) 同(2)①可得∠BF=)∠BAD=45°， 2 …CH∥BE, ∴.∠EHC=∠BEF=45o 分两种情况讨论：①当∠ECH=90°，CE=CH时，如题图3所示， B .∠CEH=∠CHE=45°，∠ECH=∠DCB=90° .∠DCE=∠BCH, 又.DC=BC,CE=CH △DCE≌ABCH(SAS) .∠CDE=∠CBH, 在△CDE中，∠CDE+∠DEC+∠DCE=18O°， 618 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 在△CBE中，∠CBE+∠CEB+∠BCE=180° :∠DEC+∠CEB=∠DEC+∠CEF+∠BEF=180°+45°=225°，∠DCE+∠BCE=90°， ∴.∠CDE+∠CBE=180°+180°-225°-90°=45°， .∠CBH+∠CBE=45°，即∠EBH=45°， 又，∠BEF=45°， ∴.BH=EH, 设CE=x,则BH=V2CE=V2x.BE=V2EBM=2x .∠CEB=∠CEH+∠BEH=90°」 CE+BE2=BC,即+(2x=5 .x=v5 ,BH=EH=√2x=V10 ②当LCEH=90°，CE=HE时，如解图所示， D 同理可得∠EHB=90°，BH=EH. ·∠CEH=∠EHB=90°，EC=EH=HB :.CEll BH, ∴四边形CEBH是平行四边形， F是BC,EH的中点， 设EF=x,则CE=EH=2x, ÷+08-cr,即2+2-( 718 西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 5 x= 2, BH=CE-2EF-2x=5 综上所述， B的长为0或5 (12分) 8182026-2027学年九年级数学上学期期中模拟卷 答题卡 日 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 一==-■==。。==-一=-■-。===。=●一一=▣- 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准 考生禁填：缺考标记 ▣ 条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂 4.保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×][√][/] 一、单项选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1,A][B][C][D] 5.[A][B][C][D] 9.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 6.[A][B][C][D] 10.[A][B][C][D] 3.[A][B][C][D] 7.[A][B][C][D] 4.[A][B][C][D] 8.[A][B][c][D] 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18。 11 12 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本题共8小题，共72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步聚。 17.(6分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18.(6分) 19.(8分) B 图1 图2 20.(8分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效： 21.(10分) 22.(10分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 23.(12分) 24.（12分) D D C D D E E F B B A A B 图1 图2 图3 备用图 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！