2026-2027学年人教版九年级上学期期中自编模拟数学卷4（长沙地区适用）

2026-2027学年人教版九年级上学期期中自编模拟数学卷4（长沙地区适用） 时间：120分钟 总分：120分 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．实数的相反数是（     ） A． B．3 C． D． 2．下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 3．下列曲线中，表示是的函数的是（） A． B． C． D． 4．如图，直线，被直线所截．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．《九章算术》中记载：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（     ） A． B． C． D． 6．现要在一块三角形草坪上建一凉亭，要使凉亭到草坪三个顶点的距离相等，凉亭应选的位置是（    ） A．的三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三边的垂直平分线的交点 D．三条高所在直线的交点 7．下列说法中正确的是（） A．三点确定一个圆 B．过弦的中点的直径平分弦所对的两条弧 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．等弧所对的圆心角相等 8．已知商场所获得的利润y（元）与降价金额x（元）之间的关系是，则最多获利（     ） A．15元 B．400元 C．80元 D．1250元 9．如图，在矩形中，，，以点为中心，将顺时针旋转得到，点落在边上，连接，则的长为（     ） A．1 B．3 C． D． 10． 如图，在平面直角坐标系中，点是反比例函数上一个动点，过点作坐标轴的垂线，轴上的垂足为点，轴上的垂足为点，函数的图象与线段交于点，与线段交于点（，不重合），连接，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，将线段绕点逆时针旋转得到线段（点，分别是点，的对应点）．给出下面四个结论： 四边形的面积可能为； 可能是等边三角形； 点一定在反比例函数的图象上； 连接点、、、所得到的四边形不可能是平行四边形． 上述结论中，所有正确结论的序号是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若与是同类项，那么______． 12．若有意义，则的取值范围是__________． 13．已知m是方程的一个根，则代数式的值为__________． 14．圆锥的母线长为，底面圆的半径为，该圆锥侧面展开图的圆心角度数是__________． 15．如图，，分别与相切于，两点，，则________． 16．如图是二次函数图像的一部分，图像过点，对称轴为直线，给出以下五个结论：①；②；③； ④若，，，为函数图像上的两点，则． ⑤当，；其中正确的结论是（填写代表正确结论的序号）______． 三、解答题 17．计算：． 18．先化简，再求值：，再从不等式中选择一个适当的整数代入求值． 19．已知，并且与成反比例，与成正比例．当时，；当时，． (1)求关于的函数解析式； (2)当时，求的值． 20．在学校举办的 “劳动与科技” 实践周中，九年级（1）班的同学负责照料两块草莓试验田．其中甲组地块采用 “智能水肥一体化” 技术种植，乙组地块采用 “传统土壤” 方式种植．为了评估两种种植方式的效果，成熟期时，同学们从甲、乙两地块中各随机采摘了10颗草莓进行甜度检测（单位：Brix，数值越大越甜）． 【数据收集】 甲组（智能水肥）：11，13，13，12，14，13，12，13，15，14 乙组（传统土壤）：10，16，12，14，11，15，13，16，13，12 【数据整理】 同学们对数据进行了初步整理，并绘制了统计表和部分图表． 表：甲、乙两组草莓甜度统计分析表 组别 平均数 众数 中位数 方差 甲 13 a 13 乙 13 13 b 图：甲组数据的箱线图 （已知甲组数据的五数概括为：最小值11，下四分位数12，中位数13，上四分位数14，最大值15） 【问题解答】 (1)填空：请直接写出表格中a和b的值：_________， ； (2)绘图：请在答题卡相应位置画出乙组数据的箱线图，并在图的旁边标出最小值、最大值、下四分位数、上四分位数和中位数的数值； (3)决策应用：如果高端超市收购草莓的标准是 “甜度稳定且品质均匀”，你会向农户推荐哪种种植方式？请说明理由． 21．如图，在中，，垂足为，， (1)求的度数； (2)如果，求弦的长度． 22．如图，在四边形中，，对角线、交于点，平分，过点作交延长线于点，连接． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 23．某超市准备购进A、B两种品牌台灯，其中A品牌台灯每盏进价比B品牌台灯每盏进价贵30元，A品牌台灯每盏售价120元，B品牌台灯每盏售价80元．已知，用1040元购进的A品牌台灯的数量与用650元购进的B品牌台灯数量相同． (1)求A、B两种品牌台灯每盏的进价分别是多少元？ (2)该超市打算购进A、B两种品牌台灯共100盏，同时要求A、B两种品牌台灯的总利润不得少于3400元，不得多于3550元，问该超市有几种进货方案？ (3)在（2）的所有进货方案中，该超市决定对A品牌台灯进行降价促销，A品牌台灯每盏降价元，B品牌台灯售价不变，那么该超市如何进货才能获得最大利润？ 24．将函数图象上的点的横坐标与纵坐标都变换为原来的倍（为常数，，），得到新的函数图象，则称为的“倍位似图象”．例如：对于，求它的“3倍位似图象”的解析式．求法：不妨记上的任意点，则变换之前的点在的图象上，则：，即，所以的解析式为． (1)判断：下列三组函数图象，是否为的“2倍位似图象”？对的打“√”，错的打“×”； ①和（   ） ②和（   ） ③和（   ） (2)已知二次函数（，为常数），是的“倍位似图象”．若的顶点落在图象上，求的值； (3)在平面直角坐标系中，已知抛物线（，为常数），记的“倍位似图象”为抛物线．抛物线与轴交于，两点，顶点为点．抛物线与轴交于，两点，顶点为点，若，且，求线段的取值范围． 25．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于两点，与轴交于点，作直线． (1)求抛物线的解析式． (2)如图，点是线段上方的抛物线上一动点，过点作，交于，请问线段是否存在最大值？若存在，请求出最大值及此时点的坐标；若不存在请说明理由． (3)设点，点，将线段绕点顺时针旋转后得到线段，以，为边构造正方形． ①用含的式子表示点的坐标； ②当正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点时，请直接写出的值或取值范围． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B C B B C D D C D 1．B 【详解】解：的相反数为． 2．B 【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，错误； B、，正确； C、，错误； D、，错误； 故选：B． 3．C 【分析】根据函数的定义，对于自变量x的每一个值，因变量y都有唯一确定的值与之对应，据此解答即可． 【详解】解：观察图像可知，A、B、D选项中，均存在作垂直于x轴的直线与图形有两个交点的情况，即一个x值对应两个y值，不符合函数定义； C选项中，对于任意x值，作垂直于x轴的直线与图形只有一个交点，即y值唯一，符合函数定义． 4．B 【分析】由，利用“两直线平行，同位角相等”可求出的度数，再利用邻补角互补，即可求出的度数． 【详解】解：如图所示， ， ， 又， ． 5．B 【分析】设每只鸡平均重x千克，每只鸭平均重y千克，根据六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重，列出方程组即可． 【详解】解：根据“六鸡、七鸭共重24千克”可得， 根据“互换其中一只，恰好一样重”可得， 故可列方程组为． 6．C 【分析】将到三个顶点距离相等的条件转化为线段垂直平分线的问题求解． 【详解】解：∵到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上． ∴到三个顶点距离相等的点在三边的垂直平分线上． ∵三角形三边的垂直平分线交于一点． ∴该点即为凉亭的位置． 7．D 【详解】解：∵三点共线时无法确定一个圆，∴A错误． ∵未说明弦不是直径，过直径中点的直径不一定平分直径所对的两条弧，∴B错误． ∵未限定在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧不一定相等，∴C错误． ∵等弧所对的圆心角相等，∴D正确． 8．D 【分析】将二次函数配方为顶点式，结合开口方向求最大利润． 【详解】解：， ∵， ∴当时，的最大值为． 9．C 【分析】先利用旋转性质得到，在中求出，再算出，最后在中用勾股定理求． 【详解】解：由旋转的性质，可得． ∵四边形是矩形， ∴，，． 在中，，， 由勾股定理得： ． ∴． 在中，，， 由勾股定理得： ． 10．D 【分析】根据反比例函数的比例系数的几何意义即可判断；设，则，，，，然后通过距离公式求出，，即可判断；设，则，，过作轴于点，由旋转的性质，全等三角形的判定与性质即可判断；设，则，，同理得，，由，则若点、、、所得到的四边形是平行四边形，一定有，即，从而求得无实数根，即可判断． 【详解】解：∵点在图象上，轴上的垂足为点，轴上的垂足为点， ∴四边形的面积为， ∵点在图象上， ∴的面积为，的面积为， ∴四边形的面积为，故错误； 设，则，， ∴，， ∴，， 若，即， 解得（负值已舍去）， 此时，， ∴，， ∴， ∴不可能是等边三角形，故错误； 设，则，， 如图，过作轴于点， ∴， ∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，，即， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴点一定在反比例函数的图象上，故正确； 设，则，， ∴同理得，， ∵， ∴若点、、、所得到的四边形是平行四边形，一定有， 即， ∴， ∴无实数根， ∴连接点、、、所得到的四边形不可能是平行四边形，故正确， 综上可知：正确结论的序号是． 11． 【分析】根据同类项定义，相同字母的指数对应相等，列出等式求出和的值，再计算． 【详解】解：与是同类项， 相同字母的指数对应相等，可得，， 将代入，解得， ． 12．且 【详解】解：要使有意义，需同时满足两个条件： 根据零指数幂有意义的条件，可得底数不为，即，解得． 根据分式有意义的条件，可得分母不为，即． 因此的取值范围是且． 13．1 【分析】将代入方程，得到关于的等式，变形后即可得到所求代数式的值． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴将代入原方程得 ， 移项可得 ， 因此代数式的值为． 14． 【分析】设圆锥侧面展开图的圆心角为，根据扇形弧长等于圆锥底面周长列方程求解． 【详解】解：设该圆锥侧面展开图的圆心角为， 圆锥侧面展开图是扇形，扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长，扇形半径等于圆锥的母线长， 可得方程，解得． 15． 【分析】分别连接，先由圆的切线的性质求出的度数，再由圆周角定理求解． 【详解】解：分别连接， ∵，分别与相切于，两点， ∴， ∴， ∵, ∴， ∴． 【点睛】 16．②③⑤ 【分析】由抛物线开口方向、对称轴位置、与轴交点位置确定的符号及关系；由抛物线与轴交点个数判断；利用对称性求出另一交点坐标，结合时的函数值判断代数式符号；利用二次函数增减性或对称性比较函数值大小；根据图像在轴上方的部分确定不等式解集． 【详解】解：由图象可知，抛物线开口向下， ． 对称轴为直线， ，即． ， ． 抛物线与轴交点在轴上方， ， ， 结论①不一定成立，故①错误； 抛物线与轴有两个交点， ，故②正确； 抛物线过点，对称轴为直线， 抛物线与轴的另一个交点为. 当时，． ， ， ，即， ． ， ，即，故③正确； 对称轴为直线， 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为． ，且抛物线开口向下， ，故④错误； 抛物线与轴交点为和，且开口向下， 当时，，故⑤正确． 综上所述，正确的结论是②③⑤． 17． 【详解】解： 18．，选取代入，值为（答案不唯一，选取时值为） 【详解】解： ， ，，， ，，， 又， 可取的整数为，， 当时，原式； 当时，原式． 19．(1) (2) 【分析】（1）设，，于是得到，把已知分别代入，得到方程组，解答即可； （2）根据解析式，求函数值即可． 【详解】（1）解：设，，于是得到， 当时，；当时，， ， 解得， ． （2）解：， 当时，． 20．(1)； (2) (3)推荐甲组种植方式． 理由： 甲、乙两组草莓甜度的平均数均为13，说明两种种植方式下草莓的平均甜度相当． 甲组的方差为1.2，乙组的方差为3.4．甲组的方差明显小于乙组，说明甲组草莓的甜度数据波动更小，更稳定． 从箱线图也可以看出，甲组数据的分布更集中，而乙组数据分布较分散． 因此，甲组“智能水肥一体化”种植方式下的草莓甜度更稳定、品质更均匀，更符合高端超市的收购标准． 【分析】（1）根据众数和中位数的定义，直接从甲、乙两组数据中找出或计算得出． （2） 根据乙组数据，找出最小值、最大值、下四分位数、中位数和上四分位数，然后画出箱线图． （3） 通过比较甲、乙两组的平均数和方差，结合箱线图的特征，评估两种种植方式的甜度稳定性和品质均匀度． 【详解】（1）解：由题意可知， 在甲组数据中：11出现1次，12出现2次，13出现4次，14出现2次，15出现1次． 所以甲组的众数 ． 将乙组数据从小到大排列：10， 11， 12， 12， 13， 13， 14， 15， 16， 16 所以乙组的中位数． （2）解：将乙组数据从小到大排列：10， 11， 12， 12， 13， 13， 14， 15， 16， 16 由题意可知，乙组数据的最小值为10；最大值为16；中位数为13； 解法一：下四分位数（第一四分位）： ， 下四分位数（第一四分位）取第3个数，即12． 上四分位数（第三四分位）：， 上四分位数（第三四分位）取第8个数，即15． 解法二：下四分位数（第一四分位）为前个数据的中位数， 下四分位数（第一四分位）为； 上四分位数（第三四分位）为后个数据的中位数， 上四分位数（第三四分位）为． 乙组数据的箱线图：略 （3）略 21．(1) (2) 【分析】（1）连接，先得出，则，再根据圆周角定理求解即可； （2）先得出，再求出的长，由此即可得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵在中，，， ∴，， ∵， ∴在中，， ∴， ∴． 22．(1)证明：， ， 又平分， ， ， ， 又， ， 又， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴四边形是菱形． (2)面积为 【分析】（1）由等腰三角形的判定及性质，再结合平行线的性质得，由平行四边形的判定方法得四边形是平行四边形，再由菱形的判定方法即可得证； （2）由菱形的性质得，，由勾股定理得，设，在中，再由勾股定理得，求出，即可求解． 【详解】（1）证明：略． （2）解：∵四边形是菱形， ，， 又， ， 在中，， 设，则 在中，由勾股定理得 解得： ∴菱形面积． 23．(1)A、B两种品牌台灯的进价分别是80元/盏，50元/盏 (2)该超市有16种进货方案 (3)①当时，A品牌台灯55盏、B品牌台灯45盏；②当时，A品牌台灯数量在40至55的任意整数，利润均为3000元；③当时，A品牌台灯40盏、B品牌台灯60盏 【分析】（1）设A品牌台灯进价为x元/盏，根据：“1040元购进的A品牌台灯的数量元购进的B品牌台灯数量”相等关系，列方程求解可得； （2）设超市购进A品牌台灯a盏，根据：“、B品牌台灯的总利润”不等关系，列不等式组，可知数量范围，确定方案数； （3）令超市销售台灯所获总利润记作w，利用：总利润品牌台灯利润品牌台灯利润，列出函数关系式，结合函数增减性，分类讨论即可． 【详解】（1）解：设A品牌台灯进价为x元/盏，则B品牌台灯进价为元/盏， 根据题意得， 解得， 经检验是原分式方程的解且符合题意． 则A品牌台灯进价为80元/盏， B品牌台灯进价为(元/盏)， 答：A品牌台灯的进价是80元/盏，B品牌台灯的进价是50元/盏． （2）解：设超市购进A品牌台灯a盏，则购进B品牌台灯有盏，根据题意，有 ， 解得，． ∵a为整数， ∴该超市有16种进货方案． （3）解：令超市销售台灯所获总利润记作w，根据题意，得 ， ∵， ∴①当时，即，w随a的增大而增大， ∵， 故当时，所获总利润w最大， 即A品牌台灯55盏、B品牌台灯45盏； ②当时，； 故当A品牌台灯数量在40至55的任意整数，利润均为3000元； ③当时，即，w随a的增大而减小， ∵， 故当时，所获总利润w最大，即A品牌台灯40盏、B品牌台灯60盏． 24．(1)①；②√；③√ (2) (3)当时，；当时， 【分析】（1）根据新定义及题干中提供的方法即可对①②③进行判断； （2）按照题干中提供的方法求出的解析式，即可求得其顶点坐标，再把顶点坐标代入解析式中即可求解； （3）设M，N的横坐标分别为，利用根与系数的关系求得；求出的“倍位似图象”抛物线的解析式，同理可求得，由则可求得a的值；再求出两抛物线的顶点坐标，求得，根据b的范围求得的范围． 【详解】（1）解：①记上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 则不是的“2倍位似图象”； 故：； ②上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 则是的“2倍位似图象”； 故：√； ③上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 则是的“2倍位似图象”； 故：√； （2）解：设上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 而， ∴抛物线的顶点坐标为； 由题意得：， 整理得：； ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：设M，N的横坐标分别为，则是的两个实数根， ∴， ∴； 设上的任意点，则变换之前的点在的图象上， 则有，整理得：； 设两点的横坐标分别，同理得； ∵，且， ∴， 即； ∴， ∴， ∴ ； 当时，，， 当时，；当时，； ∴； 当时，，，， 当时，；当时，； ∴； 综上，当时，；当时，． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数与二次函数的图象与性质，一元二次方程根与系数的关系，抛物线在x轴上所截的线段长，新定义等知识；掌握三种函数的图象与性质是解题的关键． 25．(1) (2)存在；最大值为；此时 (3)①；②或或 【分析】（1）待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）先求出，得出，求出直线的解析式为，过点作轴，交于点．设，则，得出，证明为等腰直角三角形，得出，求出最大值即可； （3）①分两种情况：当时，点在点上方，当时，点在点下方，分别画出图形，求出结果即可； ②根据正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点，得出边与抛物线相交或顶点在抛物线上，得出边在点右侧，与抛物线相交，，再根据点在抛物线上，求出n的值，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于两点，将点，点的坐标分别代入得：， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：线段存在最大值；理由如下： ∵抛物线与轴交于点， 当时，得， ， ， ， ， ， ， 设直线的解析式为，将点的坐标代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为：， 如图1，过点作轴，交于点． 设，则， ， ， ， ， ， ∴为等腰直角三角形， ， ∴当时，有最大值，此时； （3）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线， ∴点D、E在抛物线的对称轴上； ①当时，点在点上方，如图3，图4， ， 由旋转得：， ，； 当时，点在点下方，如图5． 同理可得：， ， ∴不论为何值，点坐标为． ②∵正方形的边与二次函数在范围上的图象有且仅有一个公共点， ∴边与抛物线相交或顶点在抛物线上， 如图3，边在点右侧，与抛物线相交，，解得：； 如图4，点在抛物线上，∵四边形是正方形， ， ∵， ∴， 解得：（正值舍去）； 如图5，当时，点在抛物线上． ， 解得：（负值舍去）； 综上所述，的取值范围为或或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求一次函数解析式，求二次函数解析式，二次函数最值，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $