第二十九章 圆（复习课件）数学新教材人教版九年级上册

第二十九章 圆 复习课件 人教版·九年级数学上册（新教材） 复习内容导览 1 复习目标 2 重点难点 3 知识图谱 4 考点串讲 5 题型全解 6 针对训练 7 课堂总结 复习内容导览 单元复习目标 02 工具掌握 掌握垂径定理、圆心角弧弦关系、圆周角定理及其推论，会用弧长公式、扇形面积公式进行计算，会求圆锥侧面积和全面积。 01 理解圆的描述性定义和集合定义，能识别弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等概念，掌握点与圆的三种位置关系。 概念识别 深化理解 理解圆的轴对称性和旋转对称性，掌握三角形外心的性质，理解圆内接四边形对角互补，能综合运用定理进行几何证明与计算。 03 思想与应用 体会数形结合、转化与分类讨论思想，能解决赵州桥、管道展直、粮仓油毡等实际问题，会用反证法进行简单证明。 04 基础达标 能力提升 素养目标 3 单元重点难点 1.垂径定理与勾股定理结合的计算，能添加辅助线解决有关圆的实际问题。 2.圆周角定理的分类讨论证明，圆内接四边形性质的综合应用。 3.圆锥侧面展开图与扇形之间的对应关系，实际问题中几何模型的建立。 1.掌握垂径定理及其推论，能运用垂径定理进行弦长、半径、弦心距的计算。 2.掌握圆周角定理及其推论，能灵活运用圆心角、弧、弦、圆周角之间的关系进行证明和计算。 3.掌握弧长公式、扇形面积公式及圆锥侧面积公式，能正确进行相关计算。 重 点 难 点 4 知识图谱 圆 圆的有关概念 圆的有关性质 圆的有关计算 点与圆的位置关系 过三点的圆 圆的 对称性 同弧所对圆周角和圆心角的关系 圆的 轴对称性 圆的 旋转对称性 垂径定理 弧、弦、圆心角之间的关系 弧长 扇形面积 圆锥的侧面积和全面积 5 考点串讲 ——1：圆的有关概念 圆：在一个平面内，线段OP绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点P所形成的图形叫作圆。 其固定的端点O叫作圆心，线段OP叫作半径。 圆心为O，半径为r的圆可以看成平面内所有到定点O的 距离等于定长r的点的集合。 连接圆上任意两点的线段叫作弦，经过圆心的弦叫作直径。圆上任意两点间的部分叫作圆弧，简称弧。能够重合的两个圆叫作等圆。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫作等弧。 归纳总结 （1）圆是所有到定点距离等于定长的点的集合； （2）直径是最长的弦，是半径的2倍； （3）等弧必须在同圆或等圆中，且能够完全重合。 6 考点串讲 ——2：点与圆的位置关系、过三点的圆 归纳总结 （1）点与圆的位置关系由d与r的大小关系决定； （2）三点确定一个圆的前提：三点不在同一直线上； （3）外心到三角形三个顶点距离相等，是三边垂直平分线交点。 设⊙O的半径为r，任意一点P到圆心的距离OP=d，则有 点P在圆外⇔d>r； 点P在圆上⇔d=r； 点P在圆内⇔d<r。 不在同一条直线上的三个点确定一个圆。 经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫作三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边的垂直平分线的交点，叫作这个三角形的外心。 7 考点串讲 ——3：垂径定理 圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴． 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。 归纳总结 （1）垂径定理：垂直→平分弦+平分弧； （2）推论：平分弦（非直径）→垂直+平分弧； （3）计算时常作辅助线：过圆心作弦的垂线段，构造直角三角形用勾股定理。 8 考点串讲 ——4：圆心角、弧、弦之间的关系 在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等； 在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的优弧和劣弧分别相等。 归纳总结 （1）前提：必须在同圆或等圆中； （2）三组量知一推二：圆心角、弧、弦； （3）圆心角相等→弧相等→弦相等，可互相转化。 9 考点串讲 ——5：圆周角定理及其推论 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 推论：（1）同弧或等弧所对的圆周角相等。 （2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 （3）圆内接四边形的对角互补。 归纳总结 （1）圆周角=同弧所对圆心角的一半； （2）见直径想直角，见直角想直径； （3）圆内接四边形对角互补，外角等于内对角。 10 考点串讲 ——6：弧长和扇形面积 在半径为R的圆中， n°的圆心角所对的弧长为。 圆心角为n°的扇形面积是S扇形= ，也可以用弧长表示为S扇形=lR。 圆锥的侧面积为πrl，全面积为π(r+l)。 归纳总结 （1）弧长公式：l= ； （2）扇形面积两个公式，已知弧长用S=lR更简便； （3）圆锥侧面展开图是扇形，扇形半径=母线长，扇形弧长=底面圆周长。 11 题型全解 题型01 圆的有关概念辨析 例：下列说法正确的个数是（     ）． ①弦是直径；②半径相等的两个半圆是等弧；③长度相等的两条弧是等弧；④优弧一定大于劣弧． A． B． C． D． A 【解析】根据圆的基本概念：直径是过圆心的弦，但弦不一定是直径；半径相等的半圆属于等弧；只长度相等，半径不同的不是等弧；只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，逐一分析各项即可． 解：∵弦是连接圆上任意两点的线段，直径是经过圆心的特殊弦，∴弦不一定是直径，故①错误；∵半径相等的两个半圆能够完全重合，是等弧，∴②正确；∵长度相等，半径相同的是等弧， ∴只有长度相等的两条弧不一定是等弧，故③错误；∵只有在同圆或等圆中，优弧才一定大于劣弧，∴不在同圆或等圆中，优弧不一定大于劣弧，故④错误．综上所述，正确的说法有个． 12 题型全解 方法总结 方法 1：定义对照法 ①紧扣定义判断弦、直径、弧、半圆、优弧、劣弧； ②等弧必须满足同圆或等圆+能够重合； ③注意直径是特殊的弦，半圆是特殊的弧。 方法 2：排除筛选法 ①长度相等的弧不一定是等弧，先排除； ②经过圆心的线段才是直径，排除任意弦； ③结合图形逐一核对概念。 题型01 圆的有关概念辨析 题型全解 题型02 垂径定理的应用 例：如图，圆弧形桥拱的跨度米，拱高米，则拱桥的半径为（   ） A．3米 B．8米 C．10米 D．20米 C 【解析】设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，连接，则O、D、C三点共线，根据垂径定理得米，再由勾股定理得出方程，解方程即可． 解：设圆弧形桥拱的圆心是O，半径为r米，如图，连接，则O、D、C三点共线， ∵拱高为，∴， ∵米，∴米， 在中，根据勾股定理，得：， 即，解得：， 即拱桥的半径为10米． 14 题型全解 方法总结 方法 1：作弦心距法 ①过圆心作弦的垂线段（弦心距）； ②连接半径，构造直角三角形； ③用勾股定理：r²=d²+()²。 方法 2：方程求解法 ①设未知数（半径或弦心距）； ②根据垂径定理表示相关线段； ③利用勾股定理列方程求解。 题型02 垂径定理的应用 题型全解 题型03 圆心角、弧、弦关系应用 例：（1）如图，点，，，在上，． 求证：． 证明：∵点，，，在上，且， ∴， ∴， 即， ∴ ． 【解析】由点，，，在上，且弦，得弧，由 ，得，进而得到线段． 16 题型全解 题型03 圆心角、弧、弦关系应用 例：（2）如图，是的直径，点，是上的点，是等边三角形，是的中点．求证：． 证明：是等边三角形，， ． 是的中点，， BOD=COD=BOC=60°， ，． 【解析】本题考查了等边三角形的性质，圆心角定理．根据等边三角形的性质得到，则，根据圆心角定理得到，进而得到，即可证明． 17 题型全解 方法总结 方法 1：等量转化法 ①在同圆或等圆中，圆心角相等⇔弧相等⇔弦相等； ②找到所求角、弧、弦对应的已知等量； ③互相转化求解。 方法 2：等边三角形法 ①若圆心角为60°，连接两条半径和弦； ②则构成等边三角形； ③利用等边三角形性质求解边长。 题型03 圆心角、弧、弦关系应用 题型全解 题型04 圆周角定理及推论应用 例：如图，是的直径，弦于点E，G是上任意一点，连接，，． (1)求证：；(2)若，，求的长． 证明：(1)，是圆的直径， ，； （2）如图，连接，，， ∴， ∴，∴OE=OB-BE=5-1=4， ∵，∴， ∴． 【解析】（1）利用垂径定理可得，再利用圆周角定理即可解答；（2）连接，根据勾股定理求出，然后利用垂径定理求解． 19 题型全解 方法总结 方法 1：找同弧法 ①找到圆周角和圆心角所对的同一条弧； ②圆周角=圆心角的一半； ③同弧所对圆周角相等。 方法 2：见直径想直角法 ①题目中有直径，连接直径端点和圆上一点； ②构造直角三角形； ③利用勾股定理求解。 题型04 圆周角定理及推论应用 题型全解 题型05 弧长和扇形面积计算 例：如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，． (1)求劣弧的长；(2)求阴影部分的面积． 【解析】（1）首先根据等腰三角形性质求出，进而得到劣弧所对的圆心角的度数，再结合弧长公式（n为圆心角，r为半径）计算． 解：（1）OA=OD，， ，．， 的半径为4， 的长． 21 （2）如图，过点D作于点H． 在Rt中，，， ∴，则， ∴， ∴． 又∵， ∴，∴． 题型全解 题型05 弧长和扇形面积计算 例：如图，在中，，以为直径的交于点D，连接，已知，． (1)求劣弧的长；(2)求阴影部分的面积． 【解析】（2）观察图形可知，阴影部分的面积等于扇形的面积减去的面积，扇形面积利用公式（n为圆心角，r为半径）计算，三角形面积公式可通过辅助线作高进行计算． 22 题型全解 方法总结 方法 1：公式直接代入法 ①确定圆心角度数n和半径R； ②弧长用； ③扇形面积用S=或S= lR 。 方法 2：组合图形面积法 ①阴影面积=规则图形面积的和或差； ②拆分或补全为扇形、三角形、圆等基本图形； ③分别计算再相加减。 题型05 弧长和扇形面积计算 题型全解 题型06 圆锥侧面积计算 例：光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为cm、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？(2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【解析】（1）先分别求劣的长与劣的长，进而即可求解； 解：（1）由题意得，劣的长(cm)， 劣的长 (cm) ， ∴花边的长度为 (cm) ； 24 题型全解 题型06 圆锥侧面积计算 例：光明灯具厂生产一批台灯罩，如图的阴影部分为灯罩的侧面展开图．已知半径、分别为cm、，． (1)若要在灯罩的上下边缘镶上花边（花边的宽度忽略不计），需要多长的花边？(2)求灯罩的侧面积（接缝不计）．（以上计算结果保留） 【解析】(2)分别求出小扇形和小扇形的面积，进而即可求解． （2）由题意得， (cm2) ， (cm2) ， ∴ (cm2) ． 25 题型全解 方法总结 方法 1：对应关系法 ①圆锥母线长l=侧面展开图扇形半径； ②圆锥底面周长2πr=扇形弧长； ③侧面积S=πrl。 方法 2：逆推求解法 ①已知侧面积和底面半径，反求母线长； ②已知侧面展开图圆心角，反求底面半径； ③利用弧长=底面周长列方程。 题型06 圆锥侧面积计算 针对训练 1．（2026·山东东营）如图，A，B，C，D是上的四个点，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． B 【解析】设与交于点E,根据圆周角定理得出,根据垂径定理得出,最后根据三角形内角和定理得出结果即可. 解：设与交于点E，如图所示： ∵，，∴， ∵，为半径，∴， ∴， ∴． 解： 与分别是中所对的圆周角和圆心角， ，，， ， 平分，， ，是的直径，， ，． 针对训练 2．（2026·山东淄博）如图，是的直径，，是上的点，，平分，交于点，垂足为，则______． 【解析】利用圆周角定理求出的度数，结合等腰三角形性质求出，再根据角平分线定义求出，最后利用垂径定理推导，通过角的和差关系求解． 针对训练 3．（2026·四川自贡）“剪纸”是自贡“小三绝”之一．学校劳动实践课上，要求用半径为的圆形纸片剪出如图所示的图案，其内部4个小圆的半径都为，剪去空白部分，则剩下部分面积为_______ 2 【解析】根据题意，分别算出，，，4个空白半圆的面积为，结合图形即可求解． 解：根据题意，半径为的圆形纸片的面积为，内部4个小圆的半 径都为，则内部4个小圆的面积为，如图所示，根据剪纸中折叠 的性质得到，，垂足为点O，四边形是正方形，过点O作于 点E，圆心为点E，∴，则，∴ ，，4个空 白半圆的面积为，∴大圆内不规则的阴影部分的面积为 ：，∴在中，弓形的面积为 ，同理，大圆内4个花瓣的面积和为，∴阴影部分的面积为，即剪去空白部分，则剩下部分面积为 ． 针对训练 4．（2026·辽宁）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为．(1)求的度数；(2)若，求的长． 【解析】（1）根据直径所对的圆周角是直角得，根据等角对等边及三角形内角和得，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等可得答案； 解：（1）∵为的直径，∴， ∵， ∴ ， ∵在中，所对的圆周角为、， ∴； (2)如图，过点作于点,∵,∴ 由（1）知：，，∴， ， ∴，在和中， ，∴(AAS)，∴， ∴，在中，，即的长为． 针对训练 4．（2026·辽宁）如图，，，，是上的四个点，为的直径，且，连接，，，，过点作，垂足为．(1)求的度数；(2)若，求的长． 【解析】（2）如图，过点作于点,根据等角对等边推出，证明(AAS)得，然后根据勾股定理可得答案． 针对训练 5．（2026·甘肃兰州）问题情境：1975年，甘肃省博物馆文物工作队在甘肃省临夏回族自治州广河县齐家坪遗址发现了一面距今 四千多年的青铜镜，被誉为“中华第一镜”，它将我国铜镜 史提前到了齐家文化时期．圆形铜镜是我国古代铜镜最重 要的样式之一，其背面通常铸有各种几何的、艺术的花纹， 许多花纹的制作都涉及等分圆周的问题．如图1所示铜镜背 面的花纹制作就需要八等分圆周． (1)问题解决：如图2，小鑫研究发现我国东周到汉代一些出土实物上用“矩”（带直角的角尺）确定了圆心，她根据这个思路用带直角的尺子完成了四等分圆周． 针对训练 请你在图3中按以下步骤用带直角的尺子完成四等分圆周： ①作的任意直径； ②过点作的垂线，与相交于，两点，则点，，，将四等分．说明四等分圆周的依据： ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ ________________________________________________________________ 【解析】（1）①过点O作的任意直径；②过点作的垂线，与相交于，两点，此时，得到的圆心角, 根据相等的圆心角所对的弧相等,即可证明四等分. ，得到的圆心角，在中，相等的圆心角所对的弧相等，所以得到四段相等的圆弧，故点，，，将四等分． (1)①作的任意直径，如图：  ②过点作的垂线，与相交于，两点，四等分圆周如图所示： 针对训练 (2)拓展探究：小华在（1）的基础上深入思考，根据所学知识尽量减少误差，用无刻度的直尺和圆规在刚做的图3的基础上使圆周八等分，请你帮小华完成． 【解析】（2）根据（1）的解题思路,相等的圆心角所对的弧相等,所以只需要分别作第一问中四个圆心角的角平分线,形成八个相等的圆心角,得到八段相等的圆弧，即可使圆八等分．具体作法：分别以点B,D为圆心,大于长度为半径画弧,两弧交于点M,连接,交于点F,同理，分别以点A，D为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点N，连接，交于点H，再分别以点B，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点Q，连接，交于点G，最后分别以点A，C为圆心，大于长度为半径画弧，两弧交于点P，连接，交于点E，此时，八个圆心角大小相等，得到八段相等的圆弧，即完成八等分． (2)圆周八等分如图所示： 单元总结/易错复盘 ·核心性质 圆既是轴对称图形又是旋转对称图形；垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及所对弧；圆心角、弧、弦在同圆或等圆中知一推二；圆周角等于同弧所对圆心角的一半；直径所对圆周角为直角；圆内接四边形对角互补。 ·重要计算 弧长l= ；扇形面积S= =lR ；圆锥侧面积S侧=πrl，全面积S全=πr(r+l)。计算时常结合垂径定理和勾股定理。 ·答题注意事项 垂径定理应用时勿忘"平分的弦不是直径"这个条件；圆周角定理要强调"同弧"或"等弧"；圆锥问题注意区分母线长和圆锥的高；实际问题中先建立几何模型再计算。 35 人教版·九年级数学上册（新教材） 谢谢聆听 $