第二十九章 圆（单元分层自测·能力提升卷）数学新教材人教版九年级上册

2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆周角定理可知，根据圆内接四边形对角互补即可求出的度数． 【详解】解：，， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 2．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，证明为等腰直角三角形．设，则，根据勾股定理求得的值，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ． 又， ， 为等腰直角三角形． 设，则， 根据题意得：， 即， 解得：，(不符合题意，舍去)， ∴． 3．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆周角定理求出圆心角的度数，再利用扇形面积公式计算即可． 【详解】解：，与分别是所对的圆周角和圆心角 的半径为 ． 4．将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据直角三角形斜边上的中线的性质推出点C在上，结合圆周角定理计算即可． 【详解】解：如图，连接、， 由题意，可知，，， ∴， ∴点C在上， ∴， ∴， ∴． 5．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由垂径定理，可得出的长；设圆心为O，连接，在中，可用半径表示出的长，进而可根据勾股定理求出圆形工件的半径． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴直线经过圆心，设圆心为 ，连接． 中，， 根据勾股定理得： ，即： ， 解得：； 故圆形工件的半径为 ， 6．新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 【答案】B 【分析】连接，交于，证明，根据角所对直角边等于斜边的一半得出，由即可得出点与点重合，进而得出结论． 【详解】解：由题意可得，点是的中点，连接，交于， ， ， ， 中，， A，B，C依次是的四等分点， ， ， ，即点与点重合． 7．如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分两种情况讨论，利用弧长公式求解即可． 【详解】解：如图：当弧是劣弧时，则弧长为； 当弧是优弧时，如图，则弧长为 ∴弧的长为或． 8．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意和正三角形的性质可得，此莱洛三角形为三段圆心角为，半径为的圆弧组成，利用弧长公式进行计算即可． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∴的长为， 同理，与的长都为， ∴此莱洛三角形的周长为． 9．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过作于，求得，根据含30度直角三角形的性质得到，根据三角形的面积公式得到，接着得到正十二边形的面积，最后根据圆的面积公式即可得到结论． 【详解】解：如图，是正十二边形的一条边，点是正十二边形的中心， 过作于，在正十二边形中，， ， ， 正十二边形的面积为：， ， ， 的近似值为3． 10．如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 【答案】D 【分析】先由、得，确定E在以B为圆心4为半径、F在以B为圆心1为半径的圆上；分别用圆上点到定点距离最值判断A、B、C选项均错；取小圆与交点G，由证明得，转化为，根据两点之间线段最短，D、E、G共线时取最小值斜边，故D正确． 【详解】解：点E和正方形在同一平面内，， 点E在以B为圆心，为半径的圆上，点F在以B为圆心，为半径的圆上， 如图1， ，， 当D，E，B三点共线时，取得最小值， 在中，， 的最小值为，故A错误； ，，， 当A，F，B三点共线时，取得最小值， 的最小值为，故B错误； 由题意可知， 当取得最大值时，即可取得最大值， 如图2， 当D，E，B三点共线时，取得最大值，最大值为， 的最大值为，故C错误； 如图3，点F所在的圆与交于点G，连接， ， 在与中， ， ， ， ， ， 当D，E，G三点共线时，有最小值，最小值为的长， 在中，， 的最小值为5，故D正确． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 【答案】 【分析】根据点到圆心的距离与半径的大小关系，判断点在内，点在圆内时，点到圆上各点的最大距离为半径与点到圆心距离的和． 【详解】解：的半径为，， ，即点在内， 点到上各点的最大距离为． 12．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 13．如图，是的直径，点A，D在⊙O上，且，若，则劣弧的长为______． 【答案】/ 【分析】连接，先由圆周角定理求解的度数，即可求解的度数，再由弧长公式求解． 【详解】解：连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴劣弧的长． 14．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 【答案】120 【分析】根据圆的周长公式求出圆锥的底面周长，根据弧长公式计算，得到答案． 【详解】解：设圆锥的侧面展开图的圆心角为n度， ∵圆锥的底面半径为， ∴圆锥的底面周长为，即圆锥的侧面展开图扇形的弧长为， 则， 解得：． 15．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 【答案】平方米 【分析】设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接，先证明，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据计算即可． 【详解】解：如图，设与的交点为D，过点D作，垂足为O，连接， ∵为直径， ∴，即， ∵三角形为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴米， ∴ 平方米． 答：阴影部分的面积为平方米． 16．已知的半径为，是的弦，点是上异于点的一点，若，则的大小为________． 【答案】或 【分析】先根据弧长公式求出所对的圆心角度数，再分点在优弧上和点在劣弧上两种情况，结合圆周角定理和圆内接四边形的性质求解即可． 【详解】解：设所对的圆心角为， 由弧长公式，将，代入得：， 解得，即所对的圆心角为， 分两种情况讨论：当点在优弧上时， 根据圆周角定理，， 当点在劣弧上时，根据圆内接四边形对角互补，得， 则的大小为或． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴； (2) 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，则可证明，再由垂径定理的推理即可证明； （2）连接，根据已知条件和勾股定理求出的长，进而求出的平方，再推出，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】（1）略 （2）解：如图所示，连接， ∵的半径为5， ∴， ∵， ∴， 由（1）得，则， ∴， ∴； ∵是的直径， ∴， ∴． 18．如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据为的直径，得出，根据，得出，则，根据同弧所对的圆周角相等得出，进而可得，即可证明； （2）连接，依题意，根据圆周角定理可得，根据三角形的外角的性质以及（1）的结论，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，连接． ∵是直径， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：如图，连接 ∵， ∴． ∵， ∴． 19．如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理，先由 求出对应的圆心角，再用 减去，直接算出． （2）延长构造直径，连接，得到直角三角形；由 和半径相等，推出，进而得；最后在 中，用勾股定理算出． 【详解】（1）解： ， ． ， ． （2）解：如图，延长交于点，连接． 是的直径， ． ， ． ， ， ， ， ， ， ． 20．如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 【答案】(1)证明：∵四边形是平行四边形 ∴ ∵四边形是的内接四边形 ∴ 又∵ ∴ 又∵ ∴ ∴； (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，根据圆内接四边形的性质可得，得出，根据等角对等边，即可得证； （2）过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形，根据为中点，得出，根据，求得，进而勾股定理求得，设，则，进而在，中，勾股定理分别表示出，根据建立方程，求得的值，进而求得的半径． 【详解】（1）略 （2）如图，过点作于点，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ∵为中点， ∴ 由（1）可得， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ 在中， ∴ 设，则 ∵， ∴， ∴ 在中，， 在中，, ∵ ∴ ∴ 解得： ∴，即的半径为． 21．如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)证明：是弧AB的中点， ， ， ， ， 在和 中， 由，， ． (2)四边形是菱形 证明：如图连接、 由圆的性质知 ，由D、E分别是、的中点，得， 由知， 在和中， 由， ， ， 同理可证， ， 综上可得 ，故四边形是菱形． 【分析】（1）由C是弧的中点得到，故可证明，从而；（2）通过中点及圆的性质可知四边形四条边都相等，而四条边都相等的四边形是菱形． 【详解】（1）略 （2）略 22．年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由垂径定理的推论即可得解； （2）由勾股定理可得的长，即可得到，从而可得是等腰直角三角形，即可得解； （3）连接，由垂径定理可得的长，证明，再由列式计算即可． 【详解】（1）解：是圆心，是弦的中点， ； （2）解：是半圆上的一点，且， ， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）解：如图，连接， 由（2）知，，， 是弦的中点，， ，， ． 23．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，由，，，可得，得出，即可得证； （2）连接，，由平分，可得，由可得，进而得出，从而得出是等腰直角三角形，可求出，最后由即可求出结果． 【详解】（1）证明：连接，，如图所示， ∵， 又，， ， ， 平分． （2）解：由（1）得平分， ∵ ， ， ， ， 连接，，如图所示， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ， ． 24．已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 如图1，在⊙中，点B、C位于直线异侧，，求得，若⊙的半径为5，． (1)求的长； (2)如图2，若P为圆内一点，且，，．求证：点P为该圆的圆心； (3)【拓展应用】如图3，在（2）的条件下，若，点C在⊙位于直线上方部分的圆弧上运动，点D在⊙上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接，过点A作，垂足为点M，可得的长，求出，可得的长，即得的长，即可得到结论； （2）延长交圆于点N，连接，则，可得，，得，得，即得结论； （3）过点B作的垂线交的延长线于点E，连接，延长交圆于点F，连接，可得是等腰直角三角形，得，证明，得．由，得．即得结论. 【详解】（1）解：如图，连接，过点A作，垂足为点M，则， ，， 是等腰直角三角形，则． ，， 是等腰直角三角形． ． 在中，， ． （2）证明：如图，延长交圆于点N，连接，则． ， ． ， ， ． ， ． 点P为该圆的圆心． （3）证明：如图，过点B作的垂线交的延长线于点E，连接，延长交圆于点F，连接， ， ，． 是等腰直角三角形， ． ，， ． 是直径， ． ． ． ． ． ． ． 必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求． 25．我们知道三角形三条高线的交点为三角形的垂心，请进行如下探索： (1)如图1，在中，为的直径，为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (2)如图2，在中，，均为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (3)如图3，在中，，，和交于点F，延长至点P，使，连接，，证明：A，P，B，C四点共圆． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）连接并延长交于点，连接，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理证明，再根据三角形垂心的定义判定即可； （2）连接并延长交于点，连接，由垂直平分线的性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理证明，再根据三角形垂心的定义判定即可； （3）连接并延长交于点M，先证明，再根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角证明即可． 【详解】（1）证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵点P与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点为的垂心； （2）证明：如图，连接并延长交于点，连接， ∵点P与点B关于对称， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴点为的垂心； （3）证明：如图，连接并延长交于点M， ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴A，P，B，C四点共圆． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.如图，点A,B,C,D在⊙0上，∠B0D=120°，则∠C的度数是() D A.60° B.110° C.120° D.100 2.如图，点C在以AB为直径的半圆O上，CD⊥AB于D,若∠A=22.5°，AB=16,则CD=() D B A.4V2 B8- C.&V2 D16 3.(2026广东中考真题)如图，⊙0的半径为1，点A,B,C在⊙0上，∠ACB=30°.则图中阴影部 分的面积为() A.6 c.a 4.将以点O为中心点的量角器与直角三角板ABC(其中∠BAC=30°)按如图所示方式摆放，量角器的0 1/9 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 氮刻度线与斜边1B重合，点D为斜边4B上一点，作射线CD交B于点五，若点五所对应的读数为 10° 则∠BDE的大小为() E B A.95° B.100° C.105 D.110° 5,在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工 件圆弧上任取两点 B,连接，作的垂直平分线C交4B于点D,交于点C,测出 AB=16cm,CD=4cm,则圆形工件的半径为() D A.14cm B.12cm C.10cm D.8cm 6.新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且MN是圆锥底面的直径，连接PM,PN,其中A,B,C依 次是PN的四等分点.沿PM将圆锥的侧面展开后得到图2（点M'是点M的对应点），测得该扇形的圆心 角为120°.若连接MM',则点A,B,C,N中能落在线段MM'上的是() 120 B M 图1 图2 A.点A B.点B C.点C D.点N 7.如图，四边形ABCD是边长为5的正方形，O为对角线BD上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正 2/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方形边MD于点E,交CD于点R交BD于点M若2BOF=1S0°，则Mm 的长为() O 7π5π A. 5π 7π 3 B.3 c.3或3 π D.3 8.如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形ABC的三个顶点A,B,C为 圆心，AB长为半径画弧得到的图形)·若AB=5,则此莱洛三角形的周长为() B 图1 图2 16π 15π A.6π B.3 C.5元 D.4 9.我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆 的方法来近似估算.指出“割之弥细，所失弥少.割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失 矣”，如图，⊙0的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计⊙0的面积，可求得π 的估计值是() B A A,3 B.35 C.3.14 D 3.142 3/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 10.如图，正方形ABCD的边长为4，点E和正方形ABCD在同一平面内，连接BE,点F是BE上一点， 已知BE=AB=4BF,连接CE,DE,AF,下列结论正确的是() D A. DE 的最小值为42-2 B.AF 的最小值为 V2+1 C.DE+A 的最大值为8-2V2 D.AF+DE 的最小值为5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.(25-26七年级下·山东潍坊期末)已知⊙0的半径为5cm,P是⊙0内一点，OP=3cm,则点P到 ⊙0 cm 上各点的最大距离是 12.如图，AB是⊙0O的直径，弦CD⊥AB于点E,CD=10,BE=2,则⊙0的半径OC= B 13.如图， BC是O0的直径，点4，D在O0上，且4B=BD,若BC=6∠4CB=20° CD 则劣弧 的长 为 D 14.已知圆锥的底面半径为2cm,母线长为6cm(如图)，则圆锥的侧面展开图的圆心角为一度. 419 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Be 15.如图，己知三角形ABC为等腰直角三角形，AC=BC=8米，以C为圆心，8米长为半径画弧，以BC 为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积 (结果保留π) 8米 8米 16.已知⊙0的半径为6，AC是⊙0的弦，点B是⊙0上异于点A.C的一点，若AC=4π，则∠ABC的大 小为 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分；第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17.如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC,连接OD交AC于点E. (1)求证：OD⊥AC: (2)若⊙O的半径为5，DE=2,求线段BD的长. 18.如图，AB为⊙O的直径，点D是弦AC延长线上一点，AC=CD,连接DB并延长，交⊙O于点E, 连接CE. 5/9 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B C (I)求证：CE=CD, ②)若征所对圆心角的度数为108”，求∠E的度数 19.如图，△ABC内接于⊙0，连接OA,OB,OC. B (1)若∠COB=100°，∠ACB=40°，求∠C0A的度数. (2)若AC∥OB,AB=5,0C=4,求BC的长. 20.如图，在ABCD中，过A,B,C三点的⊙O交AD于点E. E D O. (I)求证CE=CD； ②若点E为C中点，B=4,BC=6,求o0的半径. 21.如图，在⊙O中，C是弧AB的中点，CD⊥OA于点D,CE⊥OB于点E. 6/9 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：CD=CE: (2)若D、E分别是OA、OB的中点，连接AC、BC,判断四边形ACBO的形状，并说明理由. 22.2026年3月3日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合， 观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1，月全食的原理是月、地、日 运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太 阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”，小智在观看的过程 中在纸上画了如图2所示的图形，若⊙O的半径为2，A是弦CD的中点，B是半圆A上的一点，且 AB=2 O。 太阳 地球 图1 图2 (I)连接OA、OD,则OA与CD的位置关系是 (2)求∠AOD的度数： (3)求图中阴影部分的面积. 23.【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆 叫做这个三角形的“等弦圆”. D B 【问题解决】如图，⊙O是△ABC的“等弦圆”，AD,AE,FG是⊙O截得的三条弦. 719 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)求证：AO平分∠BAC (2)若LBAC=90°，FG=4,求图中阴影部分的面积. 为A 24,己知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，∠ 所对的圆周角。 B B 图1 图2 图3 【知识回顾】 如图1，在⊙0中，点B、C位于直线A0异侧，∠A0B+∠C=135°，求得∠C=45°，若⊙0的半径为 5,AC=8 (1)求BC的长： (2)如图2，若P为圆内一点，且∠APB<120°，PA=PB,∠APB=2∠C.求证：点P为该圆的圆心： (3)【拓展应用】如图3，在(2)的条件下，若∠APB=90°，点C在⊙P位于直线AP上方部分的圆弧上运 动，点D在⊙P上，满足9 CD=2CB-CA 的所有点D中，必有一个点的位置始终不变.请证明. 25.我们知道三角形三条高线的交点为三角形的垂心，请进行如下探索： A A D E 0 D D ⊙ B 图1 图2 图3 (1)如图1，在⊙O中，AB为⊙O的直径，CD为⊙O的弦，且AB⊥CD于点F,作点B关于CD的对称点 P,连接AC,AD,证明：点P为△ACD的垂心： (2)如图2，在⊙O中，AB,CD均为⊙O的弦，且AB⊥CD于点F,作点B关于CD的对称点P,连接AC, AD,证明：点P为△ACD的垂心： 8/9 命学科网·上好课 wWw.zx×k.com 上好每一堂课 3)如图3，在△ABC中，AD⊥BC,CE⊥AB,AD和CE交于点F,延长CE至点P,使EP=EF,连接 AP,BP,证明：A,P,B,C四点共圆. 919可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章圆·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分) 题号 1 2 3 4 8 10 答案 A A A B A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.8 9 12.4 B得 7π 14.120 15.(2x-24)平方米 16.60°或120° 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分：第21,22,23题，每题8分：第24,25题，每题12分： 共9小题，共72分) 17. 【详解】(I)证明：，BD平分∠ABC, ∴.∠CBD=∠ABD. :⑦=D 又.OD是⊙0的半径， .0D1AC;3分 (2)解：如图所示，连接AD, 1/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .⊙0的半径为5， .0D=5, DE=2, ..OE=OD-DE=3. 由(1)得OD⊥AC,则∠OEA=∠DEA=90°， AE=JOA-OE2=4 .AD2=DE2+AE2=22+42=20: AB是⊙O的直径， .AB=2OD=10,∠ADB=90° :8D=VB2-4D=10-20=45.…6分 18. 【详解】(1)证明：如图，连接BC B ,AB是直径， .∠ACB=90°， .BC⊥AD 又，AC=CD」 ∴.BA=BD, ∴.∠A=∠D, 2/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠A=∠CED .∠CED=∠D, CE=CD.3分 (2)解：如图，连接OE E B ,∠A0E=108°， ∴.∠ACE=54°. ∠ACE=∠CED+∠D,LCED=∠D A∠CBD=)∠BCA=27r.6分 2 19. 【详解】(1)解：∠ACB=40°， ∴.∠AOB=2∠ACB=80° .∠COB=100°， ∠C0A=∠C0B-∠A0B=20°.3分 (2)解：如图，延长CO交⊙O于点D,连接BD, D 是 的直径， B .CD⊙O .∴.∠CBD=90 :OC=4,AB=5 ∴.CD=2OC=8 0A=0C, 3/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠OCA=∠OAC, :AC∥OB, ∴.∠OCA=∠DOB,∠OAC=∠AOB ∴.∠DOB=∠AOB .DB=AB=5, :BC=CD2 DB2 =82-52=39 .6分 20. 【详解】(I)证明：：四边形ABCD是平行四边形 ∴.∠B=∠D ,四边形ABCE是⊙O的内接四边形 ∴.∠B+∠AEC=180° 又，∠CED+∠AEC=180° ∴.∠B=∠CED 又：∠B=∠D ∴.∠CED=∠D .CE=CD:3分 (2)如图，过点C作CF⊥AD于点F,过点O作MW⊥BC于点N,交AD于点M,则四边形MNCF是 矩形， A EF D M 与 中点， ∴.AE=EC 由(1)可得CE=CD :四边形ABCD是平行四边形， 4/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .'CD=AB=4.AD=BC=6 ∴.AE=4 .DE=AD-AE=6-4=2 CF⊥AD :EF=FD=IDE=1 2 在RtACDF中，CF=VCD2-FD2=V4-P=VI5 MN=CF=V15 设OM=x,则ON=MW-0M=5-x .MN⊥BC,BC∥AD ∴.MN⊥AE,BN=NC=-3 ∴.AM=ME=2 在RtAMOE中，OE2=ME2+OM2 在RtANOC中，OC2=OW2+NC2, OE=OC .ME2+OM2=ON2+NC2 22+x2=(5-x+32 解，本子店 4V6 3,即o0的半径为3.6分 21」 【详解】(I)证明：C是弧AB的中点， .AC=BC 5/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DOC=∠EOC. :CD⊥OA,CE⊥OB .∠ODC=∠OEC=90°， ∴.在aODC和△OEC中， ∠DOC=∠EOC ∠ODC=∠OEC 由 OC=OC 'a0DC≌s0BC(AM':CD=CE·4分 (2)四边形ACBO是菱形 证明：如图连接AC、BC 由圆的性质知OA=OB=OC,由D、E分别是OA、OB的中点，得AD=OD,BE=OE, 由aODC≌aOEC知OD=OE, .在△ACD和aOCD中， AD=OD ∠ADC=∠ODC=90° 由 DC=DC ∴.△ACD≌AOCD(SAS) .AC=OC=OA. 同理可证△OCE≌ABCE, ∴.OC=BC=OB. 综上可得OA=OB=AC=BC，故四边形ACBO是菱形.8分 22. 【详解】(1)解：O是圆心，A是弦CD的中点， 6/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .OA⊥CD2分 (②解：B是半圆1上的一点，且4B=5 :.AD= 0A=VOD2-AD=22-(2=2, :.OA=AD, :∴△AOD是等腰直角三角形， ∠A0D=45°：5分 (3)解：如图，连接OC, 由(2)知， OA=AD=V2∠AOD=45° :A是弦CD的中点，OC=OD :.CD=2AD=22∠COD=2∠AOD=90° .S影=S半CD-(S扇形ocD-S.ocD） --022 3602 =π-（π-2） =2.8分 23. 【详解】(1)证明：连接OD,OE,如图所示， 7/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B AD=AE, 又OD=OE,OA=OA, ∴.△AOD≌△AOE(SSS) ∴.∠OAD=∠OAE. A0平分LBAC.3分 (2)解：由(1)得AO平分∠BAC, .'∠BAC=90 .∠OAE=5∠BAC=45°. 2 .OA=OE, ∠AE0=∠0AE=45°， .∠AOE=90°. 连接OF,OG,如图所示， D G .·AE=FG ..AE=FG ∴.∠FOG=∠AOE=90°， OF=OG ∴.△OFG是等腰直角三角形， 又FG=4 8/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :0r=2rG=2N2 2 w=5m5w=30r05-×a2=2m-4.8分 90 2 24. 【详解】(1)解：如图，连接AB,过点A作AM⊥BC,垂足为点M,则∠AMC=90°， C 0 M B :∠C=45°AC=8 AM-CM-5AC=4 ,∴△ACM是等腰直角三角形，则 2 :∠AOB=2∠C=90°，OA=OB, △AOB是等腰直角三角形。 .AB=20A=52 在R△MBM中，BM=VAB2-AM=3V2 .BC=CM+BM=42+32=72 .4分 (2)证明：如图，延长AP交圆于点N,连接BN,则∠C=∠N, ∠APB=2∠C .∠APB=2∠N :∠APB=∠N+∠PBN, 9/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠N=∠PBN, PN=PB」 :PA=PB, .PA=PB=PN. .点P为该圆的圆心.8分 (3)证明：如图，过点B作BC的垂线交CA的延长线于点E,连接AB,延长AP交圆于点F,连接 CF、FB, B.- :∠APB=90° ∠ACB=45°，BP⊥AF ∴△BCE是等腰直角三角形， ∴BE=BC BP⊥AF,PA=PF, ∴BA=BF :AF是直径， .∠ABF=90° .∴.∠EBC=∠ABF=90° ∴.∠EBA=∠CBF :∴△EBA≌ACBF(SAS) ..AE=CF CD=2CB-CA=CE-CA=AE .CD=CF 必有一个点D的位置始终不变，点F即为所求.12分 25 【详解】(1)证明：如图，连接CP并延长交AD于点E,连接BC, 10/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E F B :点P与点B关于CD对称， ∴FB=FP, ,CD⊥AB, .∠CFP=90°=∠CFB,CP=CB ∴.∠PCF=∠BCF, ,∠BCF=∠BAD」 .∠PCF=∠BAD, ∠CPF=∠APE, 180°-∠PCF-∠CPF=180°-∠BAD-∠APE, .∠PFC=∠PEA=90°， .CE⊥AD .AF⊥CD .点P为△ACD的垂心：4分 (2)证明：如图，连接CP并延长交AD于点E,连接BC, A E 0 P F 点P与点B关于CD对称， .FB=FP, .CD⊥AB, :.∠CFP=90°=∠CFB,CP=CB 11/12 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠PCF=∠BCF, .∠BCF=∠BAD, .∠PCF=∠BAD. .·∠CPF=∠APE, .180°-∠PCF-∠CPF=180°-∠BAD-∠APE, ∴.∠PFC=∠PEA=90° .CE⊥AD :AF⊥CD .点P为△ACD的垂心；8分 (3)证明：如图，连接BF并延长交AC于点M, E D AD⊥BC,CE⊥AB .BM⊥AC,∠BEC=90°， .∠BMA=90°，∠EBF+∠BFE=90°」 ∴.∠ABM+∠BAM=90°， ∴.∠BAM=∠BFE, EP=EF,BE⊥CP, .BP=BF, ∴.∠BFE=∠BPE, .∠BPC=∠BAC, .∴.A,P,B,C四点共圆.12分 12/12………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026-2027学年九年级上册数学单元自测 第二十九章 圆·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．如图，点，，，在上，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 2．如图，点在以为直径的半圆上，于，若，，则(     ) A． B． C． D． 3．（2026·广东·中考真题）如图，的半径为1，点，，在上，．则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 4．将以点O为中心点的量角器与直角三角板（其中）按如图所示方式摆放，量角器的0刻度线与斜边重合．点D为斜边上一点，作射线交于点E，若点E所对应的读数为，则的大小为（     ） A． B． C． D． 5．在数学综合与实践课上，同学们要测一个如图所示的残缺圆形工件的半径，小明的解决方案是：在工件圆弧上任取两点 ，连接，作的垂直平分线交于点，交于点，测出，，则圆形工件的半径为（     ） A． B． C． D． 6．新考法如图1，已知点P为圆锥的顶点，且是圆锥底面的直径，连接，，其中A，B，C依次是的四等分点．沿将圆锥的侧面展开后得到图2（点是点M的对应点），测得该扇形的圆心角为．若连接，则点A，B，C，N中能落在线段上的是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点N 7．如图，四边形是边长为5的正方形，O为对角线上一动点，以O为圆心，2为半径画弧交正方形边于点E，交于点F，交于点M．若，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 8．如图，某扫地机器人的设计理念来源于莱洛三角形（分别以等边三角形的三个顶点，，为圆心，长为半径画弧得到的图形）．若，则此莱洛三角形的周长为（     ） A． B． C． D． 9．我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算．指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．如图，的半径是4，运用“割圆术”，以圆内接正十二边形面积近似估计的面积，可求得的估计值是（  ） A． B． C． D． 10．如图，正方形的边长为4，点E和正方形在同一平面内，连接，点F是上一点，已知，连接，，，下列结论正确的是（     ） A．的最小值为 B．的最小值为 C．的最大值为 D．的最小值为5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．（25-26七年级下·山东潍坊·期末）已知的半径为，是内一点，，则点到上各点的最大距离是_________． 12．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 13．如图，是的直径，点A，D在⊙O上，且，若，则劣弧的长为______． 14．已知圆锥的底面半径为，母线长为（如图），则圆锥的侧面展开图的圆心角为______ 度． 15．如图，已知三角形为等腰直角三角形，米，以为圆心，8米长为半径画弧，以为直径作半圆，形成图形（阴影部分），此阴影部分的面积__________．（结果保留） 16．已知的半径为，是的弦，点是上异于点的一点，若，则的大小为________． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题，每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．如图，是的外接圆，是的直径，平分，连接交于点． (1)求证：； (2)若的半径为5，，求线段的长． 18．如图，为的直径，点D是弦延长线上一点，，连接并延长，交于点E，连接． (1)求证：； (2)若所对圆心角的度数为，求的度数． 19．如图，内接于，连接． (1)若，求的度数． (2)若，求的长． 20．如图，在中，过，，三点的交于点． (1)求证； (2)若点为中点，，，求的半径． 21．如图，在中，C是弧的中点，于点D，于点E． (1)求证：； (2)若D、E分别是、的中点，连接、，判断四边形的形状，并说明理由． 22．年月日的月全食恰逢中国农历正月十五元宵节，这是天文历法与天体运行的一次自然巧合，观赏时机非常难得，全国大部分地区都将看到“带食月出”的景象，如图1．月全食的原理是月、地、日运行至一条直线时，月球进入地球的本影，太阳投射在月球上的光完全被地球挡住，由于地球大气层对太阳光有折射和散射作用，其中波长最长的红光落在月面上最多，因而出现“红月亮”．小智在观看的过程中在纸上画了如图2所示的图形，若的半径为，是弦的中点，是半圆上的一点，且．      (1)连接、，则与的位置关系是________； (2)求的度数； (3)求图中阴影部分的面积． 23．【材料阅读】有一个圆分别和一个三角形的三条边各有两个交点，截得的三条弦相等，我们把这个圆叫做这个三角形的“等弦圆”． 【问题解决】如图，是的“等弦圆”，是截得的三条弦． (1)求证：平分． (2)若，，求图中阴影部分的面积． 24．已知：A、B为圆上两定点，点C在该圆上，为所对的圆周角． 【知识回顾】 如图1，在⊙中，点B、C位于直线异侧，，求得，若⊙的半径为5，． (1)求的长； (2)如图2，若P为圆内一点，且，，．求证：点P为该圆的圆心； (3)【拓展应用】如图3，在（2）的条件下，若，点C在⊙位于直线上方部分的圆弧上运动，点D在⊙上，满足的所有点D中，必有一个点的位置始终不变．请证明． 25．我们知道三角形三条高线的交点为三角形的垂心，请进行如下探索： (1)如图1，在中，为的直径，为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (2)如图2，在中，，均为的弦，且于点F，作点B关于的对称点P，连接，，证明：点P为的垂心； (3)如图3，在中，，，和交于点F，延长至点P，使，连接，，证明：A，P，B，C四点共圆． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $