期中复习压轴专题02 解答题分类训练（9种类型45道）（压轴题专项训练）数学新教材人教版八年级上册

画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题02解答分类训练 (新人教版八年级，9种类型45道) 范围：第十三章一第十五章 知识点一 与三角形的中线、角平分线、高有关的计算 1.如图，在平面直角坐标系中，己知 4a0,B的标是点C(0,共中a满足关系式 |a-8+Vc+4=0 (1)点A的坐标为 点C的坐标为 (2)求三角形ABC的面积： 因在y箱上是否存在点：使得Sx号，若存在，夹出点p的标：若不在在，清说明理白。 2.如图1，在平面直角坐标系中，点4(x0)、B心，0)，《、y满足+=0.点C在轴正半销上， 且OC=20A B AO BAO B 图1 图2 备用图 ()直接写出点A、B、C的坐标：A(一，—)，B(一，—)，C(— 1129 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)点P从B出发以1个单位长度/秒的速度沿x轴向左运动，设点P运动时间为t秒(>0)，求用含1的式子 表示线段PA的长度： 1 (3)如图2，在(2)的条件下，当点P在y轴右侧时，满足三角形APC的面积是三角形ABC面积的2，这 时过点P作y轴的平行线L,点Q是直线1上的一点.若三角形BC的面积为4，求点Q的坐标. 3.【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比， G 图1 图2 图3 SMACM=AM (I)如图1，△ABC的边AB上有一点M,请证明：SABCM BM CD 1 CE 1 (2)【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，AC=4,CB3,求△ABC的面积. (3)【迁移应用】如图3，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形 AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为5、6、7，试求四边形DHOG的面积. 4.综合探究 图1 图2 图3 图4 (①)【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比.如图1，点 SAAIML=BM M是△ABC的边BC上一点，试证明：S△MCM CM 2129 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 SABN (②)【知识应用】如图2，△ABC的边BC上有一点M,V为AM上任意一点，利用上述结论，猜想S4Cw与 B CM之间的关系，直接写出结论，不必证明. (3)【知识迁移】如图3，在△ABC中，D、F分别在边AB、AC上，且AD=2DB,CF=2AF.若△ABC 的面积为1，求四边形ADPF的面积. (4)【知识延伸】如图4，在△ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=2DB,BE=2EC, CF=2AF,连接AE、BF、CD,交点为P、Q、M,若△POM的面积为1，则△ABC的面积为 5.发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根 细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你 经过下面的探索过程能得到答案： 图1 图2 图3 图4 ①如图2，HD是△1BC的中线，△ABD与△MCD 等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： SMm(填之、<或)： ②如图3.。点C是8C的重心，则6D也是GC .GD 的中线，利用上述结论可得： S.GCD=S.Gm ,同理 S,da,=Sa,Saae=am.猪粗5a0、S,r之间的数量关系为？请说明理白 AG (3)如图3，点G为。ABC的重心，△ABC被三条中线分成六个小三角形，则AD (4)如图4，点D、E在△ABC的边AC、AB上，BD、CE交于G,G是△ABC的重心，BD=6, CE=4,BD⊥CE,直接写出四边形AEGD的面积. 知识点二 三角形的内角和与外角的有关计算 3/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6.已知：直线 %,A为直线上的一个定点，过点4的直线交2于点B,点C在线段BA的延长线上. D,B为直线上的两个动点，点D在点五的左侧，连接D,ME,满足∠ABD=∠DME.点M在上， 且在点B的左侧. /R /B D 图1 图2 ()如图1，若∠BAD=24°，∠AED=50°，直接写出∠ABM的度数； (2)射线AF为∠CAD的角平分线 ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明： ②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF=156°时，直接写出∠EAF的度数. 7.【初步认识】 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,若∠A=70°，则∠ABC+∠ACB=一： ∠BPC= 【继续探索】 (2)如图2，∠ABE,∠ACE的平分线BF,CF相交于点F,若∠A=70°，∠BEC=130°，求∠BFC的度数： 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB, 延长BP,NC交于点M.在△BMN中，有一个内角为30°，直接写出∠A的度数. 8.解答下列各题： (I)如图1，AB∥CD,利用平行线的性质，证明：∠S=∠C-∠B； 4/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 (2)问题迁移：如图2，在(1)的条件下，AB的下方两点E,F满足∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE 若∠F的2倍与∠E的差为24°，求∠ABE的度数. D 图2 3)问题拓展：如图3，在△COD中，∠COD=90°，将线段CD平移到AB,C的对应点为A,D的对应点 为B,连接AC交DO的延长线于点B,连接BD交CO的延长线于点F,点M在DC延长线上，连接EM, 3∠MEC+∠CE0=180°，点N在AB延长线上，点G在OF延长线上，∠NFG=2∠NFB,请直接写出 ∠EMC和∠BWF的数量关系· B F G D 图3 9.将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，己知PO∥MN,∠ACB=∠EDF=90, ∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°， 5129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D P E P E M B 图1 图2 图3 (1)若三角板如图1摆放时，则∠a=°，∠p= (2)现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PO上，如图2所示，作∠PEA和 ∠MBC的角平分线交于点H,求∠EHB的度数； (3)将(2)中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒5°的速度顺时针旋转至AB与直线AW首次重合的过程 中，当△ABC的BC边与△DEF的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值. 10.综合与实践 【问题情境】 如图是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1，弹弓的两边可看成 是平行的，即AB∥CD E M 图1 (I)如图1，ABIICD,E,F分别是AB,CD上的点，点M在AB,CD两平行线之间，∠AEM=50°， ∠CFM=20°，则∠EMF的度数为° 【猜想证明】 (2)在图2中，已知AB‖CD，,猜想∠APC与∠A,∠C之间的数量关系，并说明理由. 6/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A B 【深入探究】 C 图2 (③)①如图3，ABI‖CD,E,F分别是AB,CD上的点，点M在AB,CD两平行线之间，作∠AEM和 ∠CFM的平分线EP,FP,交于点P(交点P在两平行线AB,CD之间)，若∠EMF=Q°，则∠EPF的 度数为 。(用含的式子表示)， E A -B D 图3 ②如图+，BICD,APL PD:DN平分∠PC,若∠PN+号PB=∠APD,求∠AND的度数为 A B D 图4 E B >M -D ABICD .PH∥CD .∠EPH=∠AEP,∠FPH=∠CFP, ·LEPF=LEPH+∠FPH=∠AEP+∠CFP-2 ECM-(ZAEM+ZCFM) 由第(2)得：∠EMF+∠AEM+∠CFM=360°」 .∠AEM+∠CFM=360°-∠EMF=360°-a°， ÷(24BM+2cFM)-=2x(60-ar)-180-a. 7/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即<BPF=180- 2a: ②如图，设AN,PD交点为O,过N点作NE AB, AB//CD, .AB/ICD/INE. .∠ENA+∠NAB=180°，∠END=∠CDN, .AP⊥PD, .∠APD=90° ~ZPaN+∠PAB=∠APD. 2 ÷∠PaN+)∠PaB=90 设∠PAB=2x°，则∠PAW+x°=90°，即∠PAW=90°-x°， 故∠BAN=∠PAB+∠PAN=90°+x°， :∠DNE=∠AND+∠ANE,∠ENA+∠NAB=180°， ∠CDN=∠AND+180°-∠BAN=∠AND+180°-(90°+x)=∠AND+90°-x° .∠NOD=∠POA, .∠DNA+∠NDO=∠ADP+∠PAN,即∠NDO=∠ADP+∠PAN-∠DNA=180°-x-∠DNA, :DN平分∠PDC, .∠NDO=∠CDN, .∠AND+90°-x°=180°-x-∠DNA,即∠AND+90°=180°-∠DNA, ∴.∠AND=45o W--- 知识点三 全等三角形及其性质 11.已知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点E、H分别是AB、AC边上的点，连接EH, EH∥BC,连接ED,过D作DF⊥DE交EH的延长线于点F,交AC于点G,连接DH. 8/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H E H O (备用图) (1)若∠BDE=50°，则∠ADF=_: (2)若△HDG≌△HFG,试说明：∠EHD=2∠ADE: (3)若HC平分∠DHF,DH平分∠EDC,直接写出∠HGD与∠HED的数量关系. 12.在△ABC中，∠ABC=90°，AC=2BC=2a,点D是AC边上一点，DF∥BC交AB于点F, AE⊥AB交直线DF于点E. M 图1 图2 (I)如图1，当D为AC的中点时，证明：△ADE≌△BCA (2)如图2，若CM⊥AE于点M,当点D运动到某一位置时恰有AF=a,则EF,DF与CM之间有何数量 关系，并说明理由. AF (3)连接CF,当∠ACF=45o时，请求出BF的值. 13.在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC A D E B B 图1 图2 (1)【初步探究】 如图1，点D在△ABC内，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转9O°得线段AE,连接DE，,BD,CE 求证：BD=CE: (2)【深入探究】 9/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在图1中，延长BD交CE于点F,连接AF,猜想AF,BF,CF之间的数量关系，并证明； (3)【拓展延伸】 如图2，点D在△ABC外，且∠ADB=∠ACB,AC与BD交于点E,连接CD.将△ABE与△CDE的面积 分别记为与8.设5=8-5，D=”,求关于”的西数表达式 14.综合与探究 【问题情境】 如图①，在四边形ABCD中，ADI‖BC,∠A=90°，AB=BC=12cm,AD=10cm.动点P从点A出发， 以3cm/s的速度沿AB方向向点B匀速运动，连接BD,CP.设运动时间为t(单位；s), 图① 图② 图③ 【初步探究】 (I)如图①，若△ABD≌aBCP,求t的值， 【拓展延伸】 (2)如图②，当点P开始运动时，另一动点Q同时从点C出发，以aCm/s的速度沿CB方向向点B匀速运 动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动 ①在P,2运动的过程中，若△MDP与△B0 全等，请求出此时“和的值。 ②如图③，当点Q开始运动时，动点M同时从点D出发，以1.5cm/s的速度沿DA方向向点A运动，连接 CM,交D0于点E·连接AE:当MD-4AD时，Ss=S:诗直接写出t时n的值 15.[方法探索] (1)如图1，在等边△ABC中，点P在△ABC内，且PA=2,PC=4,∠APC=150°，求PB的长. 10/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图1 图2 图3 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△APB,连接PP',分别证明△AP'P和△BPP是特殊三角 形，从而得解.请在此思路提示下，求出PB的长.解：把△MPC绕着点A顺时针旋转60°得到△APB, 连接PP. 请完成解题过程： [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： (2)如图2，点P在等边△ABC外，且PA=4,PB=3,∠APB=120°，求AB的长： (3)如图3，在△ABC ∠BAC=90°，AB=AC=V10 中， ,P是△MBC外一点，连接PMPB、PC.已知 ∠APB=45°，PB=2.求PC的长. 知识点四 全等三角形的判定 16.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线I经过点C,过点A作AD⊥1，垂足为D,且 AD=3,过点B作BE⊥1，垂足为E,且BE=6. B G 图1 图2 (I)求证：△ADC≌△CEB: (2)如图2，延长AD至F,连接CF,过点C作CG⊥CF,且CG=CF,连接BG交直线I于点H,连接 EG,且EH=2. 11129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①求△BCG的面积： ②求AF的长度， 17.数学活动课上，李老师以“中点与中线”为主题设计了如下探究活动： 图1 图2 图3 【问题情境】 (I)如图1，在△ABC中，AC=9,BC=5,CD是AB边上的中线，延长CD至点E,使得DE=CD,连接 AE ①求证：△ADE≌△BDC: ②甲、乙、丙三位同学对中线CD的长度提出了各自的猜想： 甲：CD有可能等于7；乙：CD有可能等于2；丙：CD一定大于2，且小于7. 你认为正确的猜想有一（填“甲”“乙”“丙”） 【模型探究】 (2)如图2，OA=OB,OC=OD,∠AOC与∠BOD互补，连接AC、BD,E是AC的中点. 0求证：0E-0。 ②小慧发现：当∠AOC为钝角时，△OAC与△OBD虽然不全等，但它们的面积一定相等.她的说法对吗？ 请说明理由. 【问题拓展】 ③在2）的条件下，将△B0D沿若过点0的某一直线翻折，使得A0B=90°（如图3），延长B0交DB 的延长线于点F,OF=3,OE=4,则△AOC的面积是 18.【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图 1、图2)，即“一线三等角”模型. 12129 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Cp a 乐实黄实 B D 赵爽弦图 图 图2 图3 图4 备用图 (I)已知AC=CE,∠ABC=∠ACE=∠EDC=90°，请在图1或图2中选择一个模型进行证明△ABC≌aCDE 【模型应用】 (②)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=L,点D为射线CB上的一动点（点D不与点C重合），连接AD, 以AD为直角边，在AD的右侧作三角形ADE,使∠DAE=9O°，AD=AE,连接CE,交直线AB于点 H ①如图3，当点D在线段BC上时，求证：CH=EH: ②如图4，当点D在CB的延长线上时，若氵 黄5om=3S。m,请直接写出BD的长。 19.【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON.点A为OM上 一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证明△AOC≌△BOC,则AO=BO, AC=BC(即点C为AB的中点)· (①)【类比解答】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过 上述构造全等的办法，可求得∠DAE=」 【拓展延伸】 (2)如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，试 探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论。 N D E D B D 图1 图2 图3 图4 (3)如图4，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90,点D在线段BC上， ∠BDB-∠C,BE⊥DE,至足为 2 E,DE与AB相交于点F,线段BE与FD的数量关系为 (直接写出) 20.综合与探究 【问题背景】 13/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 H 4 D G 图1 图2 图3 ()如图1，直线l经过点A,∠BAC=90°，AB=AC,过点B,C分别向直线I作垂线，垂足分别为D,E, 求证：△ABD≌△CAE; 【变式探究】 (2)如图2，点A,D,E在直线I上，若∠CEA=∠BAC=∠ADB,AB=AC,求证：DE=BD+CE: 【拓展应用】 (3)如图3所示，在RIABAD和RIACAE中，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE, 作BC边上的高AG,延长GA交DE于点H,若AH=5,，AG=12,请直接写出△DAE的面积. 知识点五 角平分线 2L.在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连接CF,DE⊥CF于E,连接AD交CF于点M B A D E (I)求证：FE=CE: (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC: (3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF, 22.在△ABC与△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE=90°. 14/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B G E 扣 A 图1 图2 图3 (I)如图1，A,C,D三点共线，连接BD,CE,延长CE交BD于点F,则CE与BD的数量关系为；位置 关系为_ (②)如图2，A,C,D不共线时，连接BD,CE交于点F,试探究CE,BD的关系 (3)如图3，在(2)条件下连接AF,AF延长线交BE于点G,若∠ADB=a,试用a的表达式表示∠EAG 23.综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成 在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”· 小明进行了如下操作： 如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE. E D 图1 图2 图3 【问题发现】 (I)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线BD、CE存在某种数量关系.其探究过程如下： 请你帮助小明完善以下推理过程， 解：：∠BAC=∠DAE ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, 15129 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAD=① 在△ABD和△ACE中， (AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴.BD=②_ (2)如图2，在图1的基础上，△ABC不动，将△ADE绕着点A逆时针旋转至点B,点D、点E在一条直线 上，BE交AC于点O.小明发现△ABD与△ACE依然全等.当∠BAC=∠DAE=C时，求∠BEC. 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长CE至点F,如图3.判断∠AED与∠AEF的数量关系，并说明理由. 24.如图1，己知AP平分∠MAN,定点C在射线AP上，CF⊥AM于点F,CE⊥AW于点E,AF=8. D E B 图1 图2 图3 (1)求AE的长 (2)如图2，当点D在射线AM上，点B在射线AN上，且CB与AN不垂直，∠CDA+∠CBA=I80°其它条件 不变，求出AD与AB之间的数量关系. (3)如图3，当点D在射线AM的反向延长线上时，∠CDA=∠CBA,其它条件不变，则(2)中的结论是否 仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出AB与AD新的数量关系式 25.在△ABC中， B 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) 16/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)如图(1)，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P.若∠A=60°，求∠BPC的度数.若∠A=n°，则 ∠BPC= (2)如图(2)，在△ABC中的外角平分线相交于点2.∠A=nm°，求∠BQC的度数. (3)如图(4)，△ABC中的内角平分线相交于点P,外角平分线相交于点，延长线段BP、QC交于点E, △BQE中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数. 知识点六 轴对称及其性质 26.若∠a和B均为大于0°小于180°的角，且 a-∠A=60,则称∠“和B互为“伙件角”.根据这 个约定，解答下列问题： A F.D B' D 3 D 图1 图2 图3 (1)若∠α和∠B互为“伙伴角”，当∠a=130°时，求∠B的度数： (2②)如图1，O为直线AB上一点，∠AOC=∠EOD=90°，∠A0E=60°，则∠D0E的“伙伴角”是 (3)①如图2，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B,若 ∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数： ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着PF对折（点F在线段AD上）使点C落在线段PE上的 点C处，线段PB落在∠EPF内部.若∠I与∠4互为“伙伴角”，求∠BPF的度数. 27.综合与实践课上，同学们探究长方形纸片的折叠问题。 如图1，已知长方形纸片ABCD,点M在边AB上（不与A,B重合），点N在边BC上（不与B,C重 合)，将长方形纸片ABCD沿直线MN折叠，使顶点B落在点B处，点B在长方形内部， 17/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D D B B M A B M 图1 图2 备用图 【图形感知】 (1)图1中，∠BMW ∠B'MN(填“>=”或“<”)； 【作图探究】 (2)在图1中边AD上确定一点G(不与A,D重合)，使得纸片沿着MG折叠后，点A的对应点A'刚好落在 射线MB'上，请用无刻度直尺和圆规作出该点G;(不写作法，保留作图痕迹) 【计算探究】 (3)如图2，若点F是图1中边AD上一动点（不与A,D重合），连接FM,将纸片沿着FM折叠，点A的 对应点为A,点落在长方形ABCD内部，若∠BMN=36°，∠B'MA=I0°，求∠FMB的度数. 28.综合实践： E B 图1 图2 图3 ()如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等：反过来，等角所对的边 也相等.如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在△ABC中，如果AB>AC,则∠C ∠B(填写“>”“<”或“=”)： ②验证：可以通过作 图形，构造 将不等关系转化为】 关系，运用角 的性质来进行证明.（填写正确答案的选项即可） A.全等三角形： B.对称； C.等腰三角形： D.相等； E.从特殊到一般」 (2)如图2，在△ABC中，AB>BC,BP平分∠ABC交AC于点D,连接AP,CP.判断AB-BC与 PC-PA的大小关系，并证明： DE 4 BD (3)如图3，在A4BC中，∠A=60,AABC的角平分线B那，CE交于点D,若CD7,请求出CD的值， 18/29 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 并写出解答过程. 29.我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后， 对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 图1 图2 图3 图4 (I)【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点卫，若∠A=48°，则∠P= (2)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P,过 点B作BH⊥AP于点H,若∠ACB=78°，则∠PBH=. 3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合. 若∠BPC=110°，则∠1+∠2为多少度？ (④【拓展提升】如图4，在四边形BCDE中，EB∥CD,点F在直线ED上运动（点F不与E,D两点重 合)，连接BF,CF,∠EBF、∠DCF的角平分线交于点G,若∠EBF=a,∠DCF=B,试探究∠G和 a B ,之间的数量关系 30.折纸中的数学（题中所有角都是指小于180°的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片ABCD的边AD上 找到一个异于A,D的点E,连接BE,CE,将纸片分别沿BE,CE折叠，点A落在点F处，点D落在点 G处. E (1) (2) (3) (4) ()【问题初探】如图(1)，若点F在线段EG上，直接写出∠BEC=; 19/29 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)【问题再探】如图(2)、(3)，当E,F,G三点不共线时，若 ∠BEC=B(B≠O) 请在图(2)、 (3)中选取一个，求出∠FEG的度数（用含B的代数式表示）； (3)【问题深探】如图(4)，在边AB上取一点M,连接EM,将纸片沿EM折叠，点A落在点H处，当点 M在边AB上移动到使∠BEG=2∠BEH时，若∠AEB=4O°，直接写出∠AEM和∠MEC的数量关系. 知识点七 线段垂直平分线 31.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC」 N A G B M 图1 图2 a如图1，△BC的外角∠4CF的平分线CP与BP交于点P,求证：∠P-)A 2 (2)如图2，AC的垂直平分线交BP于点O,交AC于点G,过点Q作QM⊥BC于点M,QN⊥BA,交BA 的延长线于点N,若BC=9,BN=7,求AN的长， 32.解决问题 D G B E E D B 图1 图2 图3 (I)如图1，己知在△ABC中，∠ABC=90°，BC=12Cm.把△ABC向下平移至△DEF后，AD=5Cm, GC=4cm.请求出图中阴影部分的面积。 (2)如图2，△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AD=5,BD=2,求BC的长. 20/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图3，己知AB=AC,BD=CD,DE垂直AB的延长线于点E,DF垂直AC的延长线于点F.求证： DE=DF 33.【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、 “中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和 所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法 称为“倍长中线法”.此方法在解决几何问题中有着广泛的应用. 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (I)如图1，在△ABC中，AB=5,AC=9,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.经过合作 交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,可以判定△ADC≌aEDB,从而 得到AC=EB=9,这样就能把线段AB,AC,2AD集中在△ABE中，再利用三角形的三边关系，即可求 出中线AD的取值范围， 请你直接写出AD的取值范围： (2)如图2，∠ABD=∠ECD=∠ADE=90°，点D为BC的中点，AB=10,CE=22,求AE: (3)如图3，在△ABD和△ACE中，∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE.连接DE,BC,点F是 BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G.请猜想DE和AF的数量关系并说明理由. D D 图1 图2 图3 34.(1)阅读理解：如图O,在△ABC中，若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围，解决此 问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,这样就把AB、AC2AD集中在△ABE中， 利用三角形三边的关系即可判断AE的取值范围是 则中线AD的取值范围是 (2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，过点D作DE⊥DF于点D,DE交AB于点 E,DF交AC于点F,连接EF,求证BE+CF>EF. (3)问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=160°，以C为顶点作∠ECF=80°，角 21/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的两边分别交AB,AD于E、F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明. E 图① 图② 图③ 35.材料1：三角形三个内角的和等于180°，利用它我们可以推出结论，三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和.例如：图1，∠ACD是△ABC的一个外角，则有∠ACD=∠A+∠B 材料2：折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何图形运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何图形 D 图1 冬图2 图3 D 图4 图5 (I)如图2，已知△ABC,点D是边BC上一点，点E是边AC上一点，将△CDE沿直线DE折叠，使得点C 的对应点F落在△ABC内部，则∠C、∠EFD之间的数量关系为： (2)如图3，已知△ABC,点D是边BC上一点，点E是边AC上一点，将△CDE沿直线DE折叠，使得点C 的对应点F落在边AC上（点F不与点C重合），请用无刻度直尺和圆规画出折痕DE(保留作图痕迹， 不用说明理由)： (3)如图4，在△ABC中，∠BAC=100°，∠B:∠C=2:6,在边BC上有一点D从B向C运动，运动到点C 处停止，把△ACD沿直线AD翻折，点C的对应点为M,若点M在△ABC的内部（不包含△ABC的边）： ①求∠CAD的取值范围： ②直接写出∠BDM与∠BAM之间的数量关系为： (④如图5，己知△ABC,∠BAC=70°，∠ACB=80°，∠ABC=30°，第一次沿过A的直线折叠△ABC,使 C落在AB上的I处，得到折痕AH,再展平纸片；第二次再沿过C,I的直线折叠△BCI,得到△JIC, 22/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 JC交AB于K,求∠AKC的度数. 知识点八 等腰三角形 36.如图1，在△ABC中，AB=AC,点D是边AB上一个动点（不与点A、B重合），连接DC,将线段 DC绕点D逆时针旋转得到线段DE,使∠CDE=2LB B 图1 图2 (1)若LBAC=90°，∠ACD=25°，求∠ADE的度数. (②)若∠BAC=100°，∠ADE=x,∠BCD=y.求y与x的数量关系. (3)连接BE,F是BE中点，连接AF,DF,如图2，求∠AFD的度数， 37.在△ABC中，AB=AC,点E在BC上，点H在AC上，连接AE和BH交于点F,∠ABH=∠CAE. H 图1 图2 图3 (I)如图1，求证：∠AFB=2∠ACB, (2)如图2，连接FC,若FC平分∠EFH,求证：AH=CH: (3)如图3，在(2)的条件下，点D在BH的延长线上，连接CD,∠ACD+3∠EFC=180°时，若 AE+DF=14,BH+AF=16,求HF的长， 38.新定义：至少有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“邻等对补四边形”· 23/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Y450 30° 45o 30 45 D30° ■ 45 30° ■ ① ② ③ ④ 图1 D B 图2 图3 【概念辨析】 (1)用三角板拼出如图1所示的4个四边形，其中是“邻等对补四边形”的有_（填序号）： 【问题探究】 (2)如图2，四边形ABCD是“邻等对补四边形”，AB=AD,连结AC,求证：AC平分∠BCD: 【拓展应用】 (3)如图3，在Rt△ABC中，∠B=90°，∠C=30°，分别在边BC、AC上取点M、N,使四边形ABMN是 邻等对补四边形，求∠AMN的度数. 39.如图，△ABC为等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC,点D为平面内一点，连接CD. M D 图1 图2 图3 (I)如图1.当点D在边AB上运动时，过点C在CD右侧作CD⊥CE,且CD=CE,连接BE,求证： △CAD≌△CBE. (2)如图2，当点D在△ACB内部，且AD⊥CD,以CD为直角边，在CD右侧作等腰直角三角形CDE.且 ∠DCE=9O°.延长ED交AB于F,证明：F为线段AB的中点： (3)如图3，若点D为AB中点，连接CD,过点B作AC的平行线BM,E为BM上一动点，以CE为直角边， FG 在线段CE左侧作CF⊥CE,CF=CE,CF交AB于G,连接DF,AF,当线段DF最短时，求CG的值. 24129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 40.在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线MN经过点C,AD⊥MN于D,BE⊥MN于E. 图 图2 图3 D 图4 图5 【发现问题】： 当直线MN绕点C旋转到图I的位置时，易证△ADC≌△CEB; (I)当直线MN绕点C旋转到图2的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系？ (2)如图3，在锐角△ABC中，AB=1.分别以A、B为直角顶点，向△ABC外作等腰直角三角形ACE和等 腰直角三角形BCF,再分别过点E、F作边AB所在直线的垂线，垂足为M,N.则线段EM和线段FN 长度之和等于 【问题探究】： (3)如图4，△AB0和aCDO均为等腰直角三角形，试比较△BOC和△AOD的面积的大小，写出理由. 【结论应用】： (④)以四边形ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，如图5，连接EF、GH、W、KL.若四边形 ABCD的面积为8，则图中阴影部分四个三角形的面积和为 知识点九 等边三角形 41.△ABC是等边三角形，点D为射线AB上一点，连接CD,将线段CD绕点C顺时针旋转120°至CE, ∠DCE=I20°，CD=CE 25/29 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B 图1 图2 备用图 ()【初步探究】如图1，过点E作EF‖AB交边AC于点F,求证：BD=CF: (2)【迁移应用】如图2，若AB=4,点D为边AB中点，连接BE交边AC于点G,求CG的长： AB AG (③)【拓展延伸】当点D在AB的延长线上时，连接BE与射线C4交于点G,若Bk(k≠)，求CG的 值（用含k的代数式表示）. 42.已知△ABC中，∠BAC=Q,点D在BC上，连接AD 图1 图2 图3 (I)设a=120°，AD平分∠BAC,点E在射线AD上，连接BE, ①如图1，若AB=BE,试说明BE∥AC: ②如图2，若∠EBC=60°，试说明AE=AB+AC; (2)如图3，若a=90°，AB=AC,作点C关于射线AD的对称点C,连接BC并延长交射线AD于点F, 连接CF,若CF=3,△ACF的面积为7，求BF的长. 43.数学活动课上，老师带领同学们以三角形为背景，探究线段及角之间的关系。 已知△ABC为等边三角形，点D为射线BC上一动点（点D不与点B,点C重合）·以AD为边向右侧作 等边△ADE,连接CE. 26129 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 图2 (I)如图1，点D在边BC上，试说明：△ABD≌△ACE: 【类比探究】 (2)如图2，若点D在边BC的延长线上，随着动点D的运动位置不同，猜想∠CAD与∠CED之间的数量关 系并进行证明： 【拓展应用】 (3)点D为射线BC上的动点（点D不与点B,点C重合），在点D运动的过程中，请直接写出线段BC, DC,CE之间的数量关系， 44.综合与实践.情境：△ABC是等边三角形，点D是直线AC上一点（不与A,C重合），点E在BC射 线上（不与B,C重合），且AD=CE,连接DE “兴趣小组”提出的问题是：探究BD与DE的数量关系. 图1 图2 图3 特例探究： (I)从特殊到一般是研究几何的一般思路，如图1，当点D在边AC的中点时，请你直接写出线段BD与DE 的数量关系； 数学思考： (2)如图2，当点D是边AC上任意一点时（不是中点），同学们讨论发现结论依然成立，可以通过作平行 线构造全等来证明.请你证明： 类比延伸： (3)进一步猜想：当点D在CA或AC的延长线上时，仍存在使得线段BD与DE的数量关系与第(I)问结 论相同的情况，请你任意选择一种在图3画出并证明. 27129 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (4)如图，点M在等边△ABC的边BC上，∠AMN=60°，MN与等边三角形外角平分线CN所在的直线相交 于点N,过N作D⊥BC于D,请写出CM,CA,CD的数量关系并证明. M 45.根据题意解答下列问题： (①)【问题初探】在数学活动课上，朱老师给出如下问题：如图，在△ABC中，AB=AC,点D在△ABC外， 连接AD、BD、CD,且∠BDC=∠BAC,过点A作AE⊥BD于点E,请直接写出BE、CD、DE之间的 数量关系 小马同学的解题思路如下：如图l,在BD上截取BF=CD,连接AF,通过证明△ABF≌△ACD,进而得 到BE、CD、DE之间的数量关系为 图1 (②)【类比分析】为了帮助学生更好地感悟转化思想，朱老师提出下面的问题，请你解答.如图2，△ABC 为等边三角形，△ABD是等腰直角三角形，其中AB=BD,∠ABD=9O°，BE是AD边上的中线，连接CD 交BE于点F,请探究CF、DF、BF之间的数量关系，并说明理由； B 图2 3)【学以致用】如图3，在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，点D在AB边上，过点B作BE⊥CD交 CD的延长线于点E,延长EB至点F,连接CF,使∠BCF=∠ABE,连接AF交CD于点G,若BE=8, CE=22,求△EGF的面积. 28/29 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 图3 29129画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期中复习压轴专题02解答分类训练 (新人教版八年级，9种类型45道) 范围：第十三章一第十五章 知识点一 与三角形的中线、角平分线、高有关的计算 1.如图，在平面直角坐标系中，己知 4a0,的坐标是a0,点Ce0,共中aC关系式 |a-8+Vc+4=0 (1)点A的坐标为 点C的坐标为 (2)求三角形ABC的面积： 因在y箱上是否存在点：使得Sx号8，若存在，夹出点p的标：若不在在，清说明理白。 【答案】8,0)(4,0) (2)36 P(0,12)P(0,-12) (3)存在， 或 【分析】(I)利用非负数的性质求出4C的值即可求解： (2)利用三角形的面积公式计算即可： (3)设点P的坐标为 (0,m ,利用三角形面积公式求出m的值即可求解： 本题考查了非负数的性质，坐标与图形，熟练掌握知识点是解题的关键。 1/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：a-8+ve+4=0 .a-8=0,c+4=0, ∴a=8,c=-4, ÷80)C(-4,0) (8,0)（-4,0) 故答案为： (2)解：：4(8,0)C(4,0) AC=8-（-4)=12 B46) .S1c=)×12x6=36 2 (3)解：存在，理由如下： 设点P的坐标为 0,m）aOP=m ,则 C(-4,0) .0C=4, 2 S.POC=, 31 *4xm=2 1 .2 ×36 3 解得m=±12， P0,12)tP0,-12) 或 即存在P0,12]减P0-12,使得3x号S. 2.如图1，在平面直角坐标系中， 点4x,0)、B(0,y满足++3-0.点C在轴正半辅上， 且0C=20A, 2/137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C B B AO B 图1 图2 备用图 ()直接写出点A、B、C的坐标：A(一，)，B(一， ),C( (②)点P从B出发以1个单位长度秒的速度沿x轴向左运动，设点P运动时间为1秒(>0)，求用含t的式子 表示线段PA的长度； (3)如图2，在(2)的条件下，当点P在y轴右侧时，满足三角形APC的面积是三角形ABC面积的2，这 时过点P作y轴的平行线L,点Q是直线1上的一点.若三角形BC卫的面积为4，求点Q的坐标. 【答案】(1)-1,0：3,00,2 (2)0<t<4时，PA=4-1:t≥4时，PA=1-4 【分析】(1)根据算术平方根和绝对值的非负性求解即可： (2)可得点P表示的数为3-1，再分类讨论求解即可： (3)分两种情况讨论，利用割补法求解即可. 【详解】(4山)解：r++3=0.x+0-3≥0 x+1=0,y-3=0 解得x=-l,y=3, ÷1(-0)B3,0) ∴.0A=1 :点C在y轴正半轴上，且OC=2OA 3/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0C=2.C(0,2) AB=3-(-1)=4 (2)解： 点P表示的数为3-1 :0<1<4时 PA=3-t-（-1)=4-t 24时， PA=-1-(3-)=t-4 (3)解：，三角形APC与三角形ABC共高OC, ∴当三角形APC的面积是三角形ABC面积的2时，AB=2AP=4, AP=2, 而1(-以0) :P0) :过点P作y轴的平行线1，点Q是直线1上的一点 设0g) ①当点Q在BC上方时，过点Q作QT1y轴于点T, T中 B -S倍形00s-SAaD-SaI=SAcD 0+31-1x-2)-x2x3=4。 解得1=4， :0,4) 当点Q在BC下方时， 4/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 8>5ao6-小水x2=2 ∴.点Q在x轴下方， S.roe+o=.co （-0x1+-)x3-+x3-0x2=4, 4 解得=一3， 综上： 3.【数学经验】三角形的中线能将三角形分成面积相等的两部分 【经验发展】面积比和线段比的联系：如果两个三角形的高相同，则它们的面积比等于对应底边的比. 图1 图2 图3 S△Meu=AM (I)如图1，△ABC的边AB上有一点M,请证明：S△CWBM CD 1 CE 1 (2)【结论应用】如图2，△CDE的面积为1，AC=4,CB3,求△ABC的面积. (3)【迁移应用】如图3，四边形ABCD中，E、F、G、H依次是各边的中点，O是形内一点，若四边形 AEOH、四边形BFOE、四边形CGOF的面积分别为5、6、7，试求四边形DHOG的面积. 【答案】（①）见解析 (2)12 3)6 5/137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(I)过点C作CH上AB于点H.结合三角形的面积公式证明即可； (2)连接AE,由AC=4CD,得出△ACE的面积为4，再结合BC=3CE,计算即可得出结果： (3)连接04OB,0C,0D.先证明 .u.m S.oc 5.om0-.S.w5.ow 结 S形mH+S动形CG0e=不边形D0G+代边影oE,，计算即可得出结果. 【详解】(I)证明：过点C作CH⊥AB于点H. M 图1 1 S.cM-7AM-CH.S.c- 1 AM.CH 2 AM :SABCM -BM.CH BM: (2)解：连接AE. B 图2 CD1 “△CDE的面积为1，AC=4, ∴△ACE的面积为4， CE 1 CB3' ∴.△ABC的面积=4×3=12： (3)解：连接OA,OB,OC,OD 6/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G E、F、G、H依次是各边中点， ·.△AOE和△BOE等底等高， SOAE =SORE SAOBF=SAOCF S.ODG=SOCG S.ODH=S.OAM 同理可证， S四边形ABOH+S四边形CGOF=S四边形DHOG+S四边形FOE S四边形BOH=5S边形OE=6S网边形CGOF=7 5+7=6+S四边形DH0G S四边形DHOG=6 4.综合探究 M B M B M E 图1 图2 图3 图4 ()【基础知识】我们知道：如果两个三角形的高相同，那么它们的面积比等于对应底边的比.如图1，点 SAARM=BM M是△ABC的边BC上一点，试证明：SAACM CM SARN (2)【知识应用】如图2，△ABC的边BC上有一点M,N为AM上任意一点，利用上述结论，猜想S4cw与 7/137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BM CM之间的关系，直接写出结论，不必证明. (3)【知识迁移】如图3，在△ABC中，D、F分别在边AB、AC上，且AD=2DB,CF=2AF.若△ABC 的面积为1，求四边形ADPF的面积. (4)【知识延伸】如图4，在△ABC中，D、E、F分别在边AB、BC、CA上，且AD=2DB,BE=2EC, CF=2AF,连接AE、BF、CD,交点为P、Q、M,若△POM的面积为1，则△ABC的面积为 【答案】(1)见解析 S.ABN BM (2)S.CN CM (3)7 (4)7 【分析14过点A作H⊥BC于五，根据三角形的面积公式得出SmBM:仙，SmCM,A, SAB 代入S,AC 「求解即可得证： (2)利用(1)的结论求解即可： S.ADE =AD (3)连接AP,设S,m=a,SP=b,SC=c,由(1)知：S.ADF BD,结合AD=2DB,得出 m=2Sm=20,同法可求S.am=2Sm=2b,Sam=2Sam,Sam=2m,即 2a+b+2b=2(a+c) c+2b=2(a+2a+b),求出c=6ab=4a,则可得出Sm=6a,:S=21a=1,求出a=2i,即可 求解： ，CO,设5m=mSw=n (4连接MP.CO ，由(3)可求出 边形ADr=6m=S,S.e=6S0r=6n ,则可 得出m三”，同法可求 S.=S=m,根据(1)的结论可求出 S.ADP =2S.BDP =2m S.CoF =2S.AOF =2m BP=S.AME3 S.8CL BP 3 S0=2S.cE,则S,Am=4m,进而得出FPSM4,则SeFP4,求出S.r=8m,S.e2=l2m, 8137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.n=8m,结合又S0u=1,得出1+6m-m=8m求出m=3,则S=m+6m=3,最后再利用(1)中结 论求解即可. 【详解】(I)证明：过点A作AH⊥BC于H, M 则w=2BM:AH,S,Cw= 2 2CM.AH 1 BM.AH S.ARM=2 BM :S.Acu M-AH 1 CM S△ABM=BMS=ANS4O=4N (2)解：由(I)知SAACM CM,SwMN,S,CMN, 4SmN4n成m,5. AN AN .ANMN.BM :.S.ACN AN+MIN S.ACM S.ACMCM: AN (3)解：连接MP,设5m=a,Sm=bS=c S.ADE AD 由(1)知：S。PBD, AD=2DB, ∴.SAr=2SBDp=2a 9/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 同法可求S.cr=2SMr=2b, AD=2DB,CF=2AF. SAACD=2SABCD S.CW=2S.F 2a+b+2b=2(a+c)c+2b=2(a+2a+b) 即 ∴2c=3b,c=6a, ∴b=4a S四边形ADPr=2a+b=6a ..S.c=a+2a+b+2b+c=2la=1, 1 .a= 21: :边形r=6x1=2 217: 4解：连接4P,C0设8m=m,8w=n。 B 由(3)可求出 Sg边形HDr=6m=S.cPS.Ae=6S.4or=6n 、Sm=m+6m=n+6n ∴.m=n, 同法可求ScBw=Sr=m, .AD=2BD, 'S.ADP =2S.BDP =2m, '.S.ur =m+6m-m-2m=4m BP_S.aw=m+2m=3 ∴FPS,r4m4, 10/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 S.NcL.=BP3 S.Fcp FP 4, ..S.cer =8m, .CF=2AF, S.cor =2S.40F =2m S.wc0 =6m+8m-2m=12m ..BE=2CE, S.WEQ=2S.COE .S.mo= 2 -×12m=8m +1 S.rou =1 又 .1+6m-m=8m, 1 m=3, 又m=m+6m= 7 3, CF =2AF, .AC=3AF ∴.SaBc=3SA=7 5.发现与探究：三角形三条中线的交点叫三角形的重心.如图1，如果取一块均匀的三角形纸板，用一根 细线绳从重心O处将三角形提起来，纸板就会处于水平状态.关于三角形的重心还有哪些性质呢？希望你 经过下面的探索过程能得到答案： 图1 图2 图3 图4 ①如图2，D是△MBC的中线，△MBD与△AC 等底等高，可以得到它们面积的大小关系为： SABD 11/137 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sm(填之、<或)； ②如图3，点G是△ABC的重心，则GD也是△GBC 的中线，利用上述结论可得： S,c0=S,6m,同理 S,=Soa,Sas=Sam。猪想8a、S,之同的数量关系为？请说明理由 AG (3)如图3，点G为。4BC的重心，△ABC被三条中线分成六个小三角形，则AD (④)如图4，点D、E在△ABC的边AC、AB上，BD、CE交于G,G是△ABC的重心，BD=6, CE=4,BD⊥CE,直接写出四边形AEGD的面积. 【答案】(I)= 回5=S。,见解折 2 3)3 6 (④3 【分析】(1)根据三角形面积等于底乘高的一半，即可得出结论： (2)根据三角形的中线等分三角形的面积求解即可： ®设8=SnS8=y片SS2求y=2得到xy=zSc,国 6 AG_S△MBG 由AD SAABD 求解即可： (4)运用以上两题的方法，根据三角形的面积一2×底×高，先求出ABGC的面积进而求出四边形的面积 即可 【详解】(1)解：AD是△ABC的中线，△ABD与△ACD等底等高， .S48D=SACD (2)解： SABc=SaG,理由如下 12/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GD,AD△GBC,△ABC 是 的中线 SAGBD=SAGCD SAABD=SAACD .SAABD-SAGBD=SAACD-SAGCD S.ABG =SACG SAGBF=SAGAF SAGAE=SAGCE 1 1 .SAG= SABFG=SAGEC (3)解：设 SGCD=SGBD=X,SAGBF=SMAGF=y SAGAE=SAGCE=Z SAARD SAACD .2y+x=2z+x, :.y=2, :S。MB=S.Cs ∴.2x+z=2y+z, ∴x=y 1 x=y=z=3S,4, 3 2x+2y+2z=SAABC 1 ..x=y=2=ISMANC 6 AGS.AWG=_ 2y2x2 .AD S.mD 2y+x 3x 3 (4)解G是△ABC的重心， 13/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 BG CG 2 ∴由(3)可得，BDCE3 BD=6,CE=4, .BG-4.CG-8 ,BD⊥CE, .Sc=2 G.CG-1x4x8-16 33 SABC=3SRGC=16 由(3)可得 BG CG 2 BD CE3 BG CG ·DGGE 2 25c8 ÷由(2可得S.m=S= , 、四边形BGD=16 881616 3333· 知识点二 三角形的内角和与外角的有关计算 6.已知：直线 ,A为直线上的一个定点，过点A的直线交5于点8，点C在线段BA的延长线上 D,B为直线上的两个动点，点D在点E的左侧，连接4D,ME,满足∠ABD=∠DAE.点M在上， 且在点B的左侧. M/B D M/B D 图1 图2 (1)如图1，若∠BAD=24°，∠AED=50°，直接写出∠ABM的度数： (2)射线AF为∠CAD的角平分线. 14/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①如图2，当点D在点B右侧时，用等式表示∠EAF与∠ABD之间的数量关系，并证明； ②当点D与点B不重合，且∠ABM+∠EAF=I56°时，直接写出∠EAF的度数， 【答案】(1)124° (2)①∠ABD=2∠EAF,理由： h2s :.∠CAN=∠ABD,∠NAE=∠AED 又：AF平分∠CAD ：.∠DAF=LCAF=5∠CAD ,∠DAE=∠AED=∠NAE, &D4E=∠NME=DAE+∠NME)-=2DaN, &∠EAF=∠DAF-∠DAE=)∠CAD-)∠DAN=∠CAN=∠ABD 2 2 2 即∠ABD=2∠EAF. M /B D E ②∠EAF=24°或∠EAF=112° 【分析】(1)由平行线的性质可得到：∠DEA=∠EAN,∠MBA=∠BA,再利用角的等量代换换算即 可： (2)①根据平行线的性质得出∠CAW=∠ABD,∠NAE=∠AED,根据角平分线定义得出 ∠DMF=∠CAF=∠CMD,求出∠DME=∠N4E=DME+∠NME)=DMN,最后根据角度间数量关 2 系，得出答案即可； ②分三种情况讨论：当点D在点B右侧时，当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，当D、E均在B点左 侧时，运用角的等量代换推导即可. 4∥12 【详解】(1)解： 15/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠ABM=∠BAN,∠NAE=∠AED=50°， ∠BAD=24°，∠DAE=∠AED=50° ·.∠ABM=∠BAW=∠BAD+∠DAE+∠NAE=24°+50°+50°=124°. C M/B D (2)①略 ②当点D在点B右侧时，如图31所示， M/B D E 图3-1 此时有∠EAF= 2<ABD :∠ABM+∠EAF=156°， ∠ABM+ ∠ABD=156° 2 又：∠ABM+∠ABD=180°， ∠ABD=180°-156°=24° .2 ∴.∠EAF=24°： 当点D在点B左侧，点E在点B右侧时，如图32所示： C A N M D BE 图3-2 16/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :AF平分∠CAD, :∠Dr-CD, i2L .∠AED=∠NAE,∠CAN=∠ABE, :∠DAE=∠AED=∠NAE, :∠DE=DME+∠NM)-=DN, ∴.∠EAF=∠DAF+∠DAE =CaD+☑DMN) =2x(360°-∠CaN) 1 =180°-1∠CAN 2 =1w-48E。 ,∠ABE+∠ABM=180°. ∠B4F=-180-080-∠ABM)=90e+3ABM, 又，∠EAF+∠ABM=156°， ∠B1F=90+56°-∠B1F)=168-2Bir. .∠EAF=112°： 当D、E均在B点左侧时，如图3-3所示： A B M /D E 12 图3-3 此时<DAE=)∠DaN,∠DaF=)∠CAD. 2 17/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠EAF=∠DAE+∠DAF =∠DAN+∠CAD 2 2 (DANCD) -号6-cN) =1800-1∠C4N =1s0-0s0-∠BN) =180-l80P-∠ABM） =90°+∠ABM, 2 又：∠EAF+∠ABM=156°， ∠EMF=90+5056-∠B4F)=168-BMF, .∠EAF=112° 综上所述：∠EAF=24°或∠EAF=112°. 7.【初步认识】 B 图1 图2 图3 ()如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,若∠A=70°，则∠ABC+∠ACB=」 ∠BPC=-: 【继续探索】 (②)如图2，∠ABE,∠ACE的平分线BF,CF相交于点F,若∠A=70°，∠BEC=130°，求∠BFC的度数： 【拓展应用】 (3)如图3，在△ABC中，BP平分∠ABC,CP平分∠ACB,BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB, 18/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 延长BP,NC交于点M.在aBMN中，有一个内角为30°，直接写出∠A的度数. 【答案】(1)110°，125°： 2)100°： (3)60°或120° 【分析】(1)根据三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB=110°，根据角平分线的定义得到 ∠PBC+∠PCB=55°，根据三角形内角和定理可知∠BPC=125°： (2)根据三角形内角和定理求出∠EBC+∠ECB=180°-∠BEC=50°，进而求出 ∠EBA+∠ECA=180°-（∠EBC+∠ECB)-∠A=60° ，根据角平分线的定义得到 ∠BF+∠BCF=(∠BBA+∠BC）=30,根据三角形内角和定理计算即时： (3)根据角平分线的定义求出∠MBN=90°，可知30°只能是∠M或∠BNM,根据三角形外角的性质得到 ∠EBC+∠FCB=180°+∠A,根据角平分线的定义求出∠NBC+∠NCB=90°+2∠A,根据三角形内角和定 2 里求出<M=0-A,则W4,分情识时论即可， 【详解】(1)解：：∠A=70° .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=180°-70°=110°， :BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, &∠PaC+∠PB=Bc+∠AC周=5. ∠BPC=180°-（∠PBC+∠PCB)=125° (2)解：如图，连接BC, .∠BEC=130° 191137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠EBC+∠ECB=180°-∠BEC=50°， ∠A=70° ∠EBA+∠ECA=180°-（∠EBC+∠ECB)-∠A=60° :∠ABE,∠ACE的平分线BF,CF相交于点F, :∠BF+∠BCF=(∠BA+∠BC=30°， ∠BFC=180°-(LEBC+∠ECB)-(∠EBF+∠ECF)=100° (3)解：：BP平分∠ABC,BN平分外角∠EBC,∠ABC+∠EBC=180°， :∠PBN-)ABC+2∠BC=0,即∠MBN=90e, 因此30°只能是∠M或∠BWM. 根据三角形外角的性质得到∠EBC+∠FCB=∠A+∠ACB+∠A+∠ABC=I80°+∠A, :BN平分外角∠EBC,CN平分外角∠FCB, :.∠NBC+∠NCB=90°+三∠A 2 &∠BNC=180-(Nnc+∠NB)=0-A,即<BNM=90r-<A, &∠M=180-∠MBN-∠BNM=A, 分情况讨论： 若∠M=30°，则2A=30°，解得∠4=60°： 若∠BMM=30,则90- A=30°，解得A=120°： 综上所述，∠A的度数为60°或120° 8.解答下列各题： (I)如图1，AB∥CD,利用平行线的性质，证明：∠S=∠C-∠B; 201137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图1 (2)问题迁移：如图2，在(1)的条件下，AB的下方两点E,F满足∠EBF=2∠ABF,CF平分∠DCE 若∠F的2倍与∠E的差为24°，求∠ABE的度数. D 图2 3)问题拓展：如图3，在△COD中，∠COD=90°，将线段CD平移到AB,C的对应点为A,D的对应点 为B,连接AC交DO的延长线于点B,连接BD交CO的延长线于点F,点M在DC延长线上，连接EM, 3∠MEC+∠CE0=180°，点N在AB延长线上，点G在OF延长线上，∠NFG=2∠NFB,请直接写出 ∠EMC和∠BNF的数量关系· B G 图3 【答案】(I)证明：如图：设SCAB相交于O,过O作OE‖SB 21/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠S=∠EOC,∠B=∠EOB, :.∠BOC=∠EOC+LEOB=∠S+∠B, AB∥CD, .∠C=∠BOC .∠C=∠S+∠B,即∠S=LC-∠B (②)72° (3)∠BNF-∠EMC=30° 【分析】(1)如图：设SC、AB相交于O,过O作OE‖SB,利用平行线的性质以及角的和差可得 ∠BOC=∠EOC+∠EOB=∠S+∠B,再利用平行线的性质可得∠C=∠BOC,易得∠C=∠S+∠B,进而证 明结论： (2)设∠ABF=a,则∠EBF=2a,∠ABE=3a;设∠DCF=b,则∠DCE=2b,利用(I)的结论可得 ∠E=2b-3a;∠F=b-a,再根据∠E和∠F的关系求得a的值，进而求得∠ABE的度数： (3)如图：在OE延长线上取Q,易得∠QEC=3∠MEC;设∠MEC=m,则∠QEC=3m,设 ∠NFB=m∠NFG=2n,利用平行线的性质、三角形外角的性质可得3m=90°+3n,即m-n=30°；再利 用用平行线的性质、三角形外角的性质可得∠EMC=∠ACD-m,∠BNF=∠ABD-n,然后作差即可解答. 【详解】(1)略 (2)解：CF平分∠DCE, ∴.LDCE=2LDCF, 设∠ABF=a,则∠EBF=2a,∠ABE=3a:设∠DCF=b,则∠DCE=2b, 由(1)结论可知：∠E=∠DCE-∠ABE=2b-3a:∠F=∠DCF-∠ABF=b-a, ,∠F的2倍与∠E的差为24°， 221137 西学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷2zF-∠E=24,即26-a)-(2h-3a)=24 ，解得：a=24° ∴.∠ABE=3a=72° (3)解：结论：∠BNF-∠EMC=30° 如图：在OE延长线上取Q, ,3∠MEC+∠CEO=180°，∠QEC+∠CEO=180° .∠QEC=3∠MEC, 设∠MEC=m,则∠QEC=3m,设∠NFB=m∠NFG=2n, ,线段CD平移到AB,C的对应点为A,D的对应点为B, AC∥BD, ∴.∠ACO=∠BFG=3n. :∠QEC=∠EC0+∠E0C=3n+90° ∴.3m=90°+3n. ∴m-n=30°， :AC BD,CDI‖AB ∠ACD+∠A=180,∠ABD+∠A=180°， .∠ACD=∠ABD, '∠EMC=∠ACD-∠MEC=∠ACD-m,∠BNF=∠ABD-∠BFN=∠ABD-n, ∠BNF-∠EMC=(∠ABD-n)-(∠ACD-m)=-n+m=m-n=30° 9.将一副三角板中的两块直角三角板如图1放置，己知PO∥MN,∠ACB=∠EDF=90°， ∠ABC=∠BAC=45°，∠DFE=30°，∠DEF=60°」 23/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D P E P E M B 图1 图2 图3 (1)若三角板如图1摆放时，则∠a=°，∠p=」 (2)现固定△ABC位置不变，将△DEF沿AC方向平移至点E正好落在PO上，如图2所示，作∠PEA和 ∠MBC的角平分线交于点H,求∠EHB的度数； (3)将(2)中的△DEF固定，在△ABC绕点A以每秒5°的速度顺时针旋转至AB与直线AN首次重合的过程 中，当△ABC的BC边与△DEF的一条边平行时，所需的时长为t秒，请求出符合条件t的值. 【答案】(1)15,150 (2)135° (3)6或18或24 【分析】(I)过点E作射线EG∥MN,则P巴I‖EG,先求出∠GEA的度数，则可得∠DEG的度数，再根 据平行线的性质可得∠α的度数；根据邻补角的定义可得∠P的度数： (2)过点H作HR‖MN,分别求出∠EHR,∠BHR的度数即可： (3)分三种情况：①BC∥DE,②BC∥EF,③BCI DF,分别求出旋转角的度数，再除以旋转速度即 可 【详解】(1)解：如图1，过点E作射线EG∥MN, P D Q E MB A 图1 ∴.∠GEA=∠CAB=45° 24/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DEF=60°， .∠DEG=60°-45°=15°， :PO∥MN,EG∥MW, ..POll EG, :∠a=∠DEG=l5° :∠DFE=30°， :∠B=180°-30°=150° (2)解：如图2，过点H作HR II MN, D P E M B A N 图2 :Pe∥MN, :.HR∥P2,∠PEA=180°-∠CAB=135°， :EH平分∠PEA, &∠PEH=)∠PEA=67.50 2 ∴∠EHR=∠PEH=67.5°， .∠CBA=45°， ∴.∠MBC=180°-∠CBA=135° HB平分∠MBC, :∠MBH-)∠MBc=67.5 2 又HR‖MN, .∠BHR=∠MBH=67.5°， ∴.∠EHB=∠EHR+∠BHR=135° (3)解：①如图3，当BC∥DE时，设BC与EF交于点K, 25/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M A N 图3 .∠CKA=∠DEF=60°， ,∠ACB=90° .∠CAK=90°-∠CKA=30°， ∠CAB=45° .∠BAK=∠CAB-∠CAK=15°， :∠MAK=45° .∠MAB=∠MAK-∠BAK=30°， ./s ∠MAB 50 =6(秒)： ②如图4，当BC∥EF时， D P E 0 M 图4 .∠EAC=180°-∠ACB=90°， EAC-18(秒)： 5° ③如图5，当BC DF时，延长BC交MN于点S,延长CB交PO于点W, 261137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 w O H B M N 图5 .·Pg∥MN ·.∠0EA=∠MAE=45°，∠QWS=∠WSM. .∠QHF=∠QEA+∠DFE=45°+30°=75° ·BCI DF 、∠0mS=∠0HF=75°， .∠WSA=75°， ∠ABC=45°， .∠MAB=∠WSA+∠ABC=120°， ∠MAB 50 =24(秒)； 综上，t的值为6或18或24 10.综合与实践 【问题情境】 如图是一种网红弹弓的实物图，在两头系上皮筋，拉动皮筋可形成平面示意图如图1，弹弓的两边可看成 是平行的，即AB‖CD F 图1 (I)如图1，ABI‖CD,E,F分别是AB,CD上的点，点M在AB,CD两平行线之间，∠AEM=50°， ∠CFM=20°，则∠EMF的度数为°. 【猜想证明】 27/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)在图2中，己知AB‖CD,猜想∠APC与∠A,∠C之间的数量关系，并说明理由. A B 【深入探究】 图2 (3)O如图3，ABICD,E,F分别是AB,CD上的点，点M在AB,CD两平行线之间，作∠AEM和 ∠CFM的平分线EP,FP,交于点P(交点P在两平行线AB,CD之间)，若∠EMF=Q°，则∠EPF的 度数为 。(用含Q的式子表示)· E A D 图3 ②如图4，ABCD,APLPD:DN平分∠PDC,若∠PN+号PMB=∠APD,求∠AND的度数为 D 图4 【答案】(1)70 (2)解：∠APC+∠A+∠C=360°，理由如下： 如图，作P№/CD,则∠C+∠QPC=180°， P∥CD,AB∥CD, .PQ∥AB .∠A+∠QPA=180° :.∠QPA+∠OPC+∠A+∠C=360°， ∴.∠APC+∠A+∠C=360° 281137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3) ①180°、1 ②45° 【分析】(I)过M点作MNAB,利用两直线平行内错角相等以及角度的和差关系即可得到 ∠EMF=∠EMN+∠FMN,进而可求解： (2)作P∥CD,则∠C+∠QPC=180°，∠A+∠QPA=180°，进而可求解： 1 (3)①过点P作PH∥AB,先根据平行线性质以及角平分线性质得到∠EPF=(∠AEM+∠CFM),再通 过(2)的结论可得到∠EMF+∠AEM+∠CFM=360°，进而可求解；②设AN,PD交点为O,过N点作 NE‖AB,设∠PAB=2x°，则∠PAN+x°=90°，即∠PAN=90°-x°，通过平行线性质以及角度和差关 系可得到∠CDN=∠AND+90°-r°，∠NOD=180°-x-∠DNA,再根据角平分线性质可得∠ND0=∠CDN 进而可求解. 【详解】(I)解：如图，过M点作MN∥AB, AB//CD. 、.ABIICDII MN, :.∠AEM=∠EMN=50°，∠CFM=∠FMN=20°， .∠EMF=∠EMN+∠FMN=70°， E A -B M------W -D (2)略 (3)解：①，EP、FP分别是∠AEM和∠CFM的平分线， 29/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AEP- 号AM,∠OT-CRM,过点P作pH∥AB:奥图： 2 B H >M D ABICD .PH∥CD. ∴.∠EPH=∠AEP,∠FPH=∠CFP ÷ZBr=ZBPH+∠FH=∠AE+LCFPAEM+cM-MEM+2Q). 由第(2)得：∠EMF+∠AEM+LCFM=360°， .∠AEM+∠CFM=360°-∠EMF=360°-a°， ECPM)(3) 20 即∠EPF=180°-1 ②如图，设AN,PD交点为O,过N点作NE‖AB, ABI/CD .ABlICDIINE, .∠ENA+∠NAB=180°，∠END=∠CDN, AP⊥PD, .∠APD=90°， 、∠PAN+)ZPAB=∠APD :∠PAN+)∠PAB=90 2 设∠PAB=2x°，则∠PAN+x°=90°，即∠PAN=90°-x°， 故∠BAN=∠PAB+∠PAW=90°+x°， :∠DNE=∠AWND+∠ANE,∠ENA+∠NAB=I8O° ∠CDN=∠AWD+180°-∠BAW=∠AND+180°-(90°+x)=∠AND+90°-x .∠NOD=∠POA, 30/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠DNA+∠NDO=∠ADP+∠PAN,即∠NDO=∠ADP+∠PAN-∠DNA=18O°-x-∠DNA, .DN平分∠PDC, .∠NDO=∠CDW. ∴.∠AND+90°-x°=180°-x-∠DNA,即∠AND+90°=180°-∠DNA, ∴.∠AWD=450 N- A D 知识点三 全等三角形及其性质 1L.己知：如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D,点E、H分别是AB、AC边上的点，连接EH, EH∥BC,连接ED,过D作DF⊥DE交EH的延长线于点F,交AC于点G,连接DH, G D (备用图) (若∠BDE=50°，则∠ADF=_°： (2)若△HDG≌△HFG,试说明：∠EHD=2∠ADE; (3)若HC平分∠DHF,DH平分∠EDC,直接写出∠HGD与∠HED的数量关系， 【答案】(1)50 (2)见解析 ③)∠DGH+3∠DBH=135 4 【分析】(1)根据垂线的定义可得∠BDE+∠ADE=90°，∠ADE+∠ADF=90°，则可得到 ∠ADF=∠BDE=50°： (2)由全等三角形的性质得到∠HDF=∠HFD,由平行线的性质得到∠EHD=∠CDH,∠CDF=∠HFD 则可证明∠EHD=2∠HFD,同理可证明∠ADE=∠CDF,则∠ADE=∠HFD,据此可满足 ∠EHD=2∠ADE: 31/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)设∠HED=x,则∠F=90°-x,由平行线的性质得到∠EDC=180°-∠HED=180°-x, ∠CDF=∠F=90°-x,由角平分线的定义得到∠CDH=90°- ,则可求出∠DF=2x, ∠DH=90+2,进而得到∠DHG=45°+4，再根据∠HDF+∠DHG+∠HGD=180°，可得结论。 【详解】(1)解：：AD⊥BC,DF⊥DE, ∴∠ADB=90°，∠EDF=90°， .∠BDE+∠ADE=90°，∠ADE+∠ADF=90°， ∠ADF=∠BDE=50°： (2)解：.△HDG2△HFG. ∴.∠HDF=∠HFD, EHI∥BC. .∠EHD=∠CDH,∠CDF=∠HFD ∴.∠CDH=∠HDF+∠CDF=∠HDF+∠HFD=2∠HFD, ∴.∠EHD=2∠HFD, 同理可证明∠ADE=∠CDF, ∴.∠ADE=∠HFD, ,∠EHD=2∠ADE: (3)解：设∠HED=x, ED⊥DF, ∴.∠EDF=90°. ∠F=180°-∠HED-∠EDF=90°-x, .EH II BC :.∠EDC=180°-∠HED=180°-x,∠CDF=∠F=90°-x, :DH平分∠EDC, &∠CDH=)∠EDC=90°- 21 2x, :∠HDF=∠CDH-∠CDF=2x, 321137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠DHF=180°-∠F-∠HDF=90+2, 1 :HC平分∠DHF, 1 R∠DHG=7ZDHF=45+9 4 ,∠HDF+∠DHG+∠HGD=180°， 1 1 2x+45°+ 4x+∠HGD=180. ∠HGD+ 4=1350 &∠DGH+3∠DBH=1350 12.在△ABC中，∠ABC=90°，AC=2BC=2a,点D是AC边上点，DF∥BC交AB于点F, AE⊥AB交直线DF于点E. 4 M B B 图1 图2 (I)如图1，当D为AC的中点时，证明：△ADE≌△BCA, (2)如图2，若CM⊥AE于点M,当点D运动到某一位置时恰有AF=a,则EF,DF与CM之间有何数量 关系，并说明理由 AF (3)连接CF,当∠4CF=45o时，请求出BF的值. 【答案】(1) 证明：点D是AC的中点， ∴.AC=2AD AC=2BC, :AD=BC, :AE⊥AB, .∠EAF=90°， 33/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∠BAC+∠EAD=90°， DF∥BC. .∠ADF=∠ACB=90°， ∠ADE=∠ACB=90°， .∠E+∠EAD=90°， ∴.∠E=∠BAC, ∴.△ADE≌△BCA(AAS) EF=CM+DF, 理由如下： 由(1)得：∠E=∠BAC,∠EAF=∠ACB=90°， .AF=BC=a, ∴.△AEF≌△CAB(AAS) .AE=AC, CM⊥AE, .∠AMC=90°， ∴.∠AMC=∠ADE=90°. ∠DAE=∠CAM, ,.△ADE≌△AMC(AAS). ..CM=DE .EF=DE+DF, ∴.EF=CM+DF 部=2 AF 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练 掌握有关基础知识。 (1)由∠EAF=90°推出∠BAC+∠EAD=90°，由∠ADE=∠ACB=90°推出∠E+∠EAD=90°，从而 ∠E=∠BAC,进而得出结论 (2)可证明△ADE≌△AMC,从而推击CM=DE:进而得到EF=CM+DF. AF AO (3)作AQ∥BC,交CF的延长线于点O,可证得△AFQ∽△BFC,从而BFBC,可证得 34/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠Q=∠ACF=45°，进一步得出结果. 【详解】(1)略 (2)略 (3)如图： 作A0∥BC,交CF的延长线于点Q, ∴.∠Q=∠BCF,△AFQn△BFC. AF AO BFBC· :∠ACF=45°，∠ACB=90°， ∠BCF=45°. ∴.∠0=45° ∠Q=∠ACF, ..AO=AC=2a. ,AF_20=2 BF a 13.在△ABC中，LBAC=90°，AB=AC, B B 图1 图2 (1)【初步探究】 如图1，点D在△ABC内，连接AD,将线段AD绕点A逆时针旋转9O°得线段AE,连接DE,BD,CE 求证：BD=CE; (2)【深入探究】 35/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在图1中，延长BD交CE于点F,连接AF,猜想AF,BF,CF之间的数量关系，并证明： (3)【拓展延伸】 如图2，点D在△ABC外，且∠ADB=∠ACB,AC与BD交于点E,连接CD.将△ABE与△CDE的面积 分别记为9与.设5=8-，4D=,求”关于”的面数表达式 【答案】(1)见详解 ②BF=CF+V2A ,证明见详解 【分析】本题考查了图形旋转的性质、等腰直角三角形的判定和性质、全等三角形的判定与性质、勾股定 理，图形面积的转化等知识点。 (I)根据等腰三角形的性质和图形旋转的性质得到△BAD≌△CAE,继而得证结论. (2)延长BD交CE于点F,连接AF,过点A作AG⊥AF交BF于点G,通过证明△BAG≌△CAF,得到 AGAF GF=2AF BF=BG+GF 为等腰直角三角形，继而得到 ，根据 ,得证结论 (3)过点A作AF⊥AD交BD于点F,通过证明△FAD为等腰直角三角形，得到AF=AD=n,通过证 明ABAF2△CAD:得证S=Sm即S= 【详解】(1)解：由旋转可知AD=AE,∠DAE=90°， :AB=AC,∠BAC=90°」 ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC=90° ∴.∠BAD=∠CAE, 在△BAD和△CAE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴△BAD≌ACAE(SAS) .:.BD=CE 36/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)解：BF=CF+√2AF,证明如下， 如图，延长BD交CE于点F,连接AF,过点A作AG⊥AF交BF于点G, G B 则∠GAF=90°， 由(I)可知△BAD≌△CAE, ∠ABD=∠ACE, :∠BAG+∠GAC=∠CAF+∠GAC=90°， ∴.∠BAG=∠CAF, 在△BAG和aCAF中， ∠ABG=∠ACF AB=AC ∠BAG=∠CAF' .△BAG≌ACAF(ASA) :.AG=AF,BG=CF. :△GAF为等腰直角三角形， .GF=VAG+AF2=√2AF BF=BG+GF, ∴.BF=CF+V2AF (3)解：过点A作AF⊥AD交BD于点F, A E CAB=AC,∠BAC=90° 37/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴∠ACB=45°， .∠ADB=∠ACB=45°， AF⊥AD, .∠FAD=90°， .∠AFD=∠ADB=45°， :∴△FAD为等腰直角三角形， .AF=AD=n :∠BAF+∠FAC=∠CAD+∠FAC=90°， ∴.∠BAF=∠CAD. ∴.在△BAF和△CAD中， AB=AC ∠BAF=∠CAD AF=AD ∴.△BAF≌△CAD(SAS) .S.MAF=S.CAD S.CAD=SCDE+S4DE=S2+SADE SMABE=S1 .S-S4BF =S1-S2-SMADE=SMAFE .S=S-S2=SMAFE+S.ADE=SAFD :AFAD为等腰直角三角形， :.S.wo-1AF.AD= 1 2 .S=n2 2 14.综合与探究 【问题情境】 381137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 如图①，在四边形ABCD中，AD川BC,∠A=90°，AB=BC=12cm,AD=10cm,动点P从点A出发， 以3cm/s的速度沿AB方向向点B匀速运动，连接BD,CP.设运动时间为t(单位；s), 图① 图② 图③ 【初步探究】 (I)如图①，若△ABD≌aBCP,求t的值. 【拓展延伸】 (2)如图②，当点P开始运动时，另一动点O同时从点C出发，以aCm/s的速度沿CB方向向点B匀速运 动，其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动， ①在P,P运动的过程中，若△1DP与△B0 与 全等，请求出此时“和的值。 ②如图③，当点Q开始运动时，动点M同时从点D出发，以1.5cm/s的速度沿DA方向向点A运动，连接 CM:交D0于点E:连接：当D-D时，S=Sm,请直接写出t时n的维 【案141-：2.04=2：a=1度-号，a=15:@6 【分析】本题考查了全等三角形的性质 () 根据全等三角形的性质可知BP=D=10cm,所以MP=2cm,根据3=2即可求出运动的时间： (②)D当△MDP与△BQP全等时，有两种情况，一种情况是△1DP心aB0P,即4P=BP,另=种情况是 △ADP≌△BPQ AD=BP ,即1 时.根据对应相等的线段的长度求出运动时间的值，再根据运动的时间和路 程求出a即可； ②根据三角形的面积公式，可得：AD=C9=10cm,可以求出MD的长度，即点M的运动路程，根据点 M的运动路程和速度求出运动时间t,根据运动的时间t和点Q运动的路程CQ的长度求出a值即可. 【详解】(I)解：△ABD≌aBCP ∴.BP=AD=10cm. 39/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AP=AB-BP=12-10=2cm, 2 (2)①解：若△ADP≌aBOP, .AP=BP,AD=BO=10cm. :AB=12cm, ∴AP=BP=6cm, 1=6=2s 3 C9=BC-BQ=12-10=2cm, 2a=12-10. a=1, 若△ADP≌aBPg, .AD=BP=10cm,BO=AP=AB-BP=12-10=2cm, 2 1=33, .CQ=BC-BQ=12-2=10cm, 2 a=10, .a=l5; 2 综上所述：1=2a=1或=5，a=15: ②解：如下图所示，连接A0,过点A作AG⊥D卫于G,过点C作CH⊥D0于H, D H C.·MD=-AD AD=10cm 40/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷MD=2cm 25 1=538 SADE=SACDE DEA _LDE-CH, ∴.AG=CH, DO-AG=DOCH 2 ∴.SADe=Sacp0 :AD-AB=1OC-AB 2 ∴.AD=CQ=10cm」 5 1=3, 5 .5a=10 3 .a=6 15.[方法探索] (1)如图1，在等边△ABC中，点P在△ABC内，且PA=2,PC=4,∠APC=150°，求PB的长. B C B 图1 图2 图3 小敏在解决这个问题时，想到了以下思路： 如图1，把△APC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B,连接PP',分别证明△AP'P和△BPP是特殊三角 形，从而得解.请在此思路提示下，求出PB的长.解：把△MPC绕着点A顺时针旋转60°得到△AP'B, 连接PP. 41/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 请完成解题过程： [方法应用] 请借鉴上述利用旋转构图的方法，解决下面问题： (2)如图2，点P在等边△ABC外，且PA=4,PB=3,∠APB=120°，求AB的长； (3)如图3，在△MBC中， ∠BAC=90°，AB=AC=V1 ,P是△MBC外一点，连接P以PBPC.已知 ∠APB=45°，PB=2.求PC的长. 【答案】(1) BP=25,2MB=37,3)C=20 【分析】(1)由旋转的性质可得AP=AP'=2,PC=BP'=4,∠PAP=60°，由等边三角形的性质可得 ∠AP'P=60°，AP=AP'=PP'=2 △BPP ，再证明 是直角三角形，再用勾股定理即可解解决问题： (2)连接PC,把aPAC绕着点A顺时针旋转60°得到△PAB,可得AP=P'A=4,∠PAP=60°，由等边三 角形的性质可得P'P=AP=4,再证明B、P、P三点共线.可得PB=BP+PP=3+4=7,最后由勾股定 理求解即可： (3)将△APC绕点A顺时针旋转90°得到△ABP',连接PP,P'A,P'B,过B点做BM⊥AP于M点，在 Ri△MMB中，4M=√AB-BM=i0-2=22,可得AP=PM+MM=3W5,由旋转的性质可得 AP=AP'=3V2,∠PAP'=90 ,则∠PPA=∠PPA=45°，在R△PMP中，PP=AP+AP=6,最后再 求解可得结果。 【详解】(1)：△AP'B由△AC旋转60°得到， B C∴.AP=AP'=2,PC=BP=4,∠PAP=60° .△PAP为等边三角形， ∴∠APP=60,AP=AP'=PP'=2 421137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AP'B=∠APC=150°， .∠BP'P=∠AP'B-∠AP'P=150°-60°=90°， 在Rt△BPP中，由勾股定理可得： BP=VBP2+PP2=42+22=25 (2)如图，连接PC,把△PAC绕着点A顺时针旋转60°得到△PAB, L- C.AP=PA=4,∠P'AP=60 .△PAP为等边三角形， :.P'P=AP=4: :∠APB=120° ∴∠BPP=180°，即B、PP三点共线. ∴.PB=BP+PP=3+4=7, 作MLPB于则PW-Pnx4=2 在RtAMP中，根据勾股定理可得：4M=VP-PM=V军-2=25 BM=BP'-PM=7-2=5, 在Rt△AMB中，根据勾股定理可得： AB=VAM2+BM2=52+2=V37, (3)将△MPC绕点A顺时针旋转9O°得到△ABP',连接PP,过B点做BM⊥AP于M点， 43/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 M ∠APB=45°，BM⊥AP,PB=2 ..PM=BM=2 AB=10 在R△MMB中，AM=VAB2-BM7=V10-2=2V2 ..AP=PM+AM=32 由旋转的性质可得， .AP=AP'=3√2，∠PAP=90° 则∠PP'A=∠PPA=45° 在Rt△PAP中，PP=VAP+AP=6】 ∠P'PA=45°，∠APB=45°. ∠P'PB=90°， 在Rt△PPB中， P'B=P'P2+PB2 =210 △APC≌△AP'B, ∴.PC=P'B=210 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质及勾 股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，由旋转的性质解决问题， 44/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点四 全等三角形的判定 16.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,直线I经过点C,过点A作AD11,垂足为D,且 AD=3,过点B作BE⊥I,垂足为E,且BE=6 图1 图2 (I)求证：△ADC≌△CEB: (②)如图2，延长AD至F,连接CF,过点C作CG⊥CF,且CG=CF,连接BG交直线I于点H,连接 EG,且EH=2. ①求△BCG的面积： ②求AF的长度， 【答案】()证明：：AD⊥L,BE⊥1， .∠ADC=∠CEB=∠ACB=90°， :∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90°， ∴.∠DAC=∠ECB, 在△ADC和△CEB中， '∠ADC=∠CEB ∠DAC=∠ECB AC=CB △ADC≌ACEB(AAS) (2)①30，②10 【分析】(I)先推导△ADC和△CEB的角的关系，再结合AC=BC,利用全等三角形AAS来证明全等： (2)①先证明CH=5,过点G作GM1I于M,证明 CDF≌aGMC(AAS ,可得CD=GM=6,进一步 利用割补法可得答案： 45/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②证明 BEH≌aGMH(AS）,可得EH=M州，结合CM=DF,CH=5,进一步可得答案， 【详解】(1)略 (2)解：①△ADC2△CEB, .AD=CE=3,CD=BE=6. ,EH=2, .CH=5, 过点G作GM⊥1于M, G 图2 CG⊥CF,AD⊥I, ∴.∠CDF=∠CMG=90°，∠CFD+∠DCF=∠DCF+∠MCG=90°， .∠CFD=∠MCG. CF=CG. ACDF≌aGMC(AAS) :.CD=GM=6, 1 ÷△BCG的面积为：S.c=S.am+S.cm=2×5x6+ 二×5×6=30 ②：GM⊥I,BE⊥1， ∠BEH=∠GMH=90°，GM∥BE, .∠EBH=∠MGH, ..BE=GM=6. △BEH≌AGMH(ASA) .'EH =MH, ,aCDF≌aGMC, 461137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ..CM=DF, CH=5, ·.AF=AD+DF=CE+CM=CH-EH+CH+EH=2CH=2×5=10 17.数学活动课上，李老师以“中点与中线”为主题设计了如下探究活动： 图1 图2 图3 【问题情境】 (I)如图1，在△ABC中，AC=9,BC=5,CD是AB边上的中线，延长CD至点E,使得DE=CD,连接 AE ①求证：△ADE≌△BDC; ②甲、乙、丙三位同学对中线CD的长度提出了各自的猜想： 甲：CD有可能等于7；乙：CD有可能等于2；丙：CD一定大于2，且小于7. 你认为正确的猜想有一（填“甲”“乙”“丙”） 【模型探究】 (2)如图2，OA=OB,OC=OD,∠AOC与∠BOD互补，连接AC、BD,E是AC的中点. O求证：OE=)BD, 2 ②小慧发现：当∠AOC为钝角时，△OAC与△OBD虽然不全等，但它们的面积一定相等.她的说法对吗？ 请说明理由， 【问题拓展】 ③在2)的条件下，将△B0D沿者过点0的某一直线翻折，使得∠40B=90°（如图3），延长B0交DB 的延长线于点F,OF=3,OE=4,则△AOC的面积是 【答案】(I)①延长CD至点E,使得DE=CD,连接AE,如图， 47/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E ,D是AB的中点， .AD=BD, AD=BD ∠BDC=∠EDA 在 和 中， △ADE ABDC DE=CD △ADE≌ABDC(SAS) ②丙： ① OE F OE=EF (2)延长到，使得 ，连接 D B :E是AC的中点， ..AE=CE. 在△AOE和△CFE中， AE=CE ∠AEO=∠CEF OE=FE △AOE≌aCFE(SAS) ∴.CF=OA=OB,∠AOE=∠CFE, ∴.AO∥CF, 48/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠OCF+∠AOC=180°， :∠AOC+∠BOD=180°， ·.LOCF=∠BOD. 在aOCF和aOBD中： OC=OD ∠OCF=∠BOD CF=OB △OCF≌aOBD(SAS) ..OF=BD, ②小慧的说法正确， 过点C作CH⊥直线OA,垂足为H;过点D作DG⊥直线OB,垂足为G,如图， 0 :∠COH=180°-∠AOC=∠BOD 在△OCH和aODG中： ∠OHC=∠OGD=90° ∠COH=∠DOG OC=OD △OCH≌AODG(AAS) ..CH=DG, :.S.oc= 4-CH-OB-DG=S.ow (3)12. 49/137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】 (0①延长CD至点E,使得DB=CD,连接AE,通过，SMS”证明△MD≌△BDC即可： ②由AMD2AB0C得C=E=5,CD=ED=CE,即CE=2CD,然后由三角形三边关系即可求解 (2)①延长OE到F,使得OE=EF,连接CF,证明 △AOE≌aCFE(SAS)aOCF≌aOBD(SAS) ,再由全 等三角形的性质即可求解： ②过点C作CH直线O1,手足为H,过点D作DGL直线OB,垂足为S,证明△0CH≌，ODG(AMS) 则CH=DG:所以Sae20A.CI-0B.DG=Sam, (B)延长OE到P,使得OE=EP=4,连接AD,同②)理知△1BP心CE0,△B0D20MP,所以 Sw=S,cm,S0=S0,∠D=∠P,∠COE=∠P,BD=0P=8,然后证明∠F=90°，即OF1DF 所以.-BDxOF=-Sc,从而求解. 2 【详解】(1)解：①略： ②，△ADE≌△BDC, BC=AE=5:CD=ED=CECE=20 2 在△ACE中，AC-AE<CE<AC+AE, 9-5<CE<9+5,即4<CE<14, .CE =2CD, 4<2CD<14. .2<CD<7, ∴丙的猜想正确，甲、乙的错误， 故答案为：丙； (2)解：①略： ②略： 501137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：如图3，延长OE到P,使得OE=EP=4,连接AP, E B 图3 ∴OP=8, 理知△AEP≌aCEO.△BOD2AOAP S.m=S.co.Son=S.or,∠D=∠P,∠COE=∠P.BD=OP=8 ∴∠COE=∠D. S.40C=S40E+S.COE=S40:+S4EP=SO4P=S.OBD ,∠AOC与∠BOD互补， ∴.∠AOC+∠BOD=180°. ,∠AOC+∠BOD+∠COD+∠AOB=360°，∠AOB=90°， .∠C0D=90°， ∴.∠COE+∠DOF=90°. .∠D+∠DOF=90°， .∠D+∠DOF+∠F=180°， ∴∠F=90°，即OF⊥DF, '..S.mOD=BDxOF=x8x3=12 2 S.A0C=SOBD=12 故答案为：12， 18.【模型探究】 某兴趣小组从汉代数学家赵爽的弦图（由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图 1、图2)，即“一线三等角”模型. 51/137 面学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Cp a 实黄实 B D 赵爽弦图 图 图2 图3 图4 备用图 (I)已知AC=CE,∠ABC=∠ACE=∠EDC=90°，请在图1或图2中选择一个模型进行证明△ABC≌aCDE, 【模型应用】 (2)在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=1,点D为射线CB上的一动点（点D不与点C重合），连接AD, 以AD为直角边，在AD的右侧作三角形ADE,使∠DAE=9O°，AD=AE,连接CE,交直线AB于点 H. ①如图3，当点D在线段BC上时，求证：CH=EH: ②如图4，当点D在CB的延长线上时，若氵 若S4m=3。m,请直接写出BD的长。 【答案】()证明：选择图1： ,∠ACE=90°， .∠ECD+∠ACB=90°， ,∠CDE=90°. ∴.∠ECD+∠CED=90°， ∴.∠ACB=∠CED, 在△ABC与△CDE中， I∠ABC=∠CDE ∠ACB=∠CED AC=CE ·△ABC≌ACDE(AAS): 选择图2：，∠ACE=∠CDE=90°. :.∠ECD+∠ACB=90°，∠ECD+∠CED=90°， .∠ACB=∠CED, 在△ABC与△CDE中， 521137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠ABC=∠CDE ∠ACB=∠CED AC=CE ·.△ABC≌△CDE(AAS): (2)①证明：过点E作EF⊥AB交AB于点F,如图： A E ∠ABC=∠DAE=90°， 、∠BAD+∠BAE=90°，∠BAE+∠AEF=90°， ∴.∠BAD=∠AEF, 在△ABD与△EFA中， ∠BAD=∠AEF ∠ABD=∠EFA=90° AD=AE △EAF≌△ADB(AAS) .EF =AB=1, ..AB=BC=1, .EF BC=1. .∠AFE=∠ABC=90°， EF∥BC, ∴.∠FEC=∠BCE, △EHF≌ACHB(AAS) ∴.EH=CH: ②0号成5 531137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)由∠ECD+∠ACB=90°，∠ECD+∠CED=90°，得∠ACB=∠CED,利用AAS即可证明 △ABC≌aCDE: (②D过点B作EF1AB交AB于点刀，证明△EM②aMDB(AAS),再证明 △EHF≌aCHB(AAS) 即可 得出结论：②过点B作EF⊥AB交BA的延长线于点F,由①得△EAF≌aADB,得到EF=AB=l,AF=BD: 根据己知求出CD=3AH；设AF=BD=x;分为当点H在线段AB上时，当点H在线段AB反向延长线上 时，两种情况讨论即可。 【详解】(1)略 (2)①略 ②过点E作EF⊥AB交BA的延长线于点F, 由①得△EAF≌AADB, .EF AB=1,AF =BD: SAACD=3SAAME CD.AB=3x %2 AH.EF .CD=3AH: 设AF=BD=x: 当点H在线段AB上时，如图， F.J---------- CD ..EF AB,AB=BC=1, ∴EF=BC=1: ,∠EFH=∠ABC=90°，∠FHE=∠BHC, △EFH≌ACBH(AAS) 54/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴BH=FH; .BF AB+AF =1+x, :.BH-FH=TBF-1x AH-AB-BH=-x 2 2 CD=BC+BD=1+x,CD=3AH, 1-x :1+x=3 2， 1 解得：x= 5 D 当点H在线段AB反向延长线上时，如图， 同理设BD=AF=x, ! MI O △EFH≌ACBH(AAS) 同理得： ∴BH=FH: ÷BF=B+A=1+x,M=M=F=1生，4H=M-ABx= 2， 2: CD=BC+BD=1+x,CD=3AH, :1+x=3xx-l 2 解得：x=5, .BD=5 综上，BD= 5或5 19.【问题情境】利用角平分线构造全等三角形是常用的方法，如图1，OP平分∠MON,点A为OM上 一点，过点A作AC⊥OP,垂足为C,延长AC交ON于点B,可证明△AOC≌△BOC,则AO=BO, 55/137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AC=BC(即点C为AB的中点)· (I)【类比解答】如图2，在△ABC中，CD平分∠ACB,AE⊥CD于E,若∠EAC=63°，∠B=37°，通过 上述构造全等的办法，可求得∠DAE= 【拓展延伸】 (2)如图3，△ABC中，AB=AC,∠BAC=9O°，CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足E在CD的延长线上，试 探究BE和CD的数量关系，并证明你的结论， N、B E D M A B B D 图1 图2 图3 图4 1 ③)如图4，AMBC中，AB=AC,∠BMC=90,点D在线段BC上，∠BDB-2∠C,BE1DE,垂足为 2 E,DE与AB相交于点F.线段BE与FD的数量关系为， (直接写出) 【答案】(1)26 (2)解：BE=,CD 理由如下： 如图，延长BE与CA交于点F, ,BE⊥CD .∠BED=90°， :∠BAC=90°， .∠BED=∠BAC,∠BAF=90° 又：∠BDE=∠ADC. .∠EBD=∠ACD,即∠ABF=∠ACD, 又：∠BAF=∠CAD=90°，AB=AC, 56/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 △ABF≌AACD(ASA) ∴BF=CD, 由问题情境可知：△BCE≌△FCE, :.BE-FE-1BF 2 'BE=CD 1 2； s切 【分析】(I)延长AE交BC于点F,由问题情境可知：△FCE≌aACE,得到∠EFC=∠EAC=63°，再利 用三角形外角的性质即可求解： (2)延长BE与CA交于点F，,利用ASA证明△ABF≌△ACD,得到BF=CD,由问题情境可知： ABCE≌AFCE,则有BE=FE=2BF,即可得出结论： (3)过点D作DG∥AC,交BE的延长线于点G,交AB于点H,同理(2)中的方法可证 △HBG2HDF,得到BG=FPD:由问愿情境可知：BDE2GDE,则有BE=GE=BG,即可得出结论 2 【详解】(I)解：延长AE交BC于点F, D 由问题情境可知：△FCE≌△ACE, .∠EFC=∠EAC=63°， ·'∠EFC=∠B+∠DAE ∠DAE=∠EFC-∠B=63°-37°=26°： (2)略 1 (3)解：BE=)FD,理由如下， 如图，过点D作DG∥AC,交BE的延长线于点G,交AB于点H, 57/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 G DG∥AC, :.∠GDB=∠C,∠BHD=∠BAC=90°， 、、∠DB=2 ∠EDB= ∠GDB 2 .∠EDB=∠EDG, 同理(2)中的方法可得△HBG≌aHDF, ∴.BG=FD 由问题情境可知：△BDE≌△GDE, :BE-GE-1BG 21 .BE-IFD 2 20.综合与探究 【问题背景】 D B D G 图1 图2 图3 (I)如图1，直线I经过点A,∠BAC=90°，AB=AC,过点B,C分别向直线I作垂线，垂足分别为D,E, 求证：△ABD≌△CAE: 【变式探究】 (②)如图2，点A,D,E在直线I上，若∠CEA=∠BAC=∠ADB,AB=AC,求证：DE=BD+CE: 【拓展应用】 (3)如图3所示，在RIABAD和RIACAE中，∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE,连接BC,DE, 58/137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 作BC边上的高AG,延长GA交DE于点H.若AH=5,AG=12,请直接写出△DAE的面积. 【答案】(1)证明：：BD⊥直线I,CE⊥直线I, ∴∠BDA=∠AEC=90° ∴.∠DAB+∠DBA=90°. ,∠BAC=90°， ∴.∠DAB+∠EAC=90° .∠DBA=∠EAC. ∠BDA=∠AEC ∠DBA=∠EAC 在 和 中， △ABD ACAE AB=AC ∴.△ABD≌△CAE(AAS) (②)证明：，∠EAB是△ABD的外角， .∠EAB=∠ADB+∠DBA ∴.LEAC+∠BAC=LADB+∠DBA ∠ADB=∠BAC, ∴.∠EAC=∠DBA. ∠EAC=∠DBA ∠CEA=∠ADB 交 和 中， △EAC ADBA AC=AB ∴，△EAC≌aDBA(AAS)· .'.CE=AD,AE=BD .DE=AE+AD=BD+CE (3)60 【分析】(I)根据题意得出∠ABD=∠CAE，,利用全等三角形的判定即可证明三角形全等： (2)根据等量代换及三角形内角和定理得出∠AEC=∠ADB,∠ACE=∠BAD,由全等三角形的判定和性 质即可证明： (3)过点D作DM上AH交AH的延长线于点M,过点E作BN上AH于点N,证明 ABG≌△DAM(AAS) △AGC≌aENA,由此可得DM=EN=AG,再根据分割法求出面积即可. 【详解】(1)略 59/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)略 (3)解：过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M,过点E作EN L AH于点N,如图所示： AG⊥BC, ∴.∠AGB=∠M=90°. ∴.∠ABG+∠BAG=90° ,∠BAD=90° .∠BAG+∠DAM=90° ∴.∠ABG=∠DAM ∠AGB=∠M ∠ABG=∠DAM 在 和 中， △ABG △DAM AB=AD △ABG≌△DAM(AAS) .'DM=AG. 同理可证明：△AGC≌△ENA, .EN=AG ∴.DM=EN=AG S.o.+m 方H-DM+分HN AHx DM =AHAG =5×12 =60, ∴.△DAE的面积为60. M 只H A G 图3 60/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 知识点五 角平分线 21.在四边形ABDC中，点F在边AB上，DF=CD,连接CF,DE⊥CF于E,连接AD交CF于点M, B D M E (①)求证：FE=CE (2)若∠B=90°，∠AFD+∠ACD=180°，求证：∠DAB=∠DAC: (3)在(2)的条件下，若AC=6BF,ME=1,求MF. 【答案】(I)证明：DF=CD,DE⊥CF, :FE=CE: (2)证明：作DW⊥AC于点N, B D NC.∠DNC=∠DBF=90° .∠AFD+∠ACD=180°，∠AFD+∠BFD=180° .∠BFD=∠DCN, DF =CD ∴.△DBF≌aDNC(AAS) :.DB=DN, DN⊥AC,∠B=90° .AD平分∠BAC, ∠DAB=∠DAC: (3)MF=4 61/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【分析】(1)根据等腰三角形性质证明结论即可： (2)作DN1AC于点N,证明 DBF≌DNC(AAS),得出DB=DN,进而得出4D平分∠BAC,即可得 出结论： AF FM (3)作MP⊥AB于点P,作MQ⊥AC于点O,证明AC=CM,证明△ADB2△ADN(AAS)得出AN=AB, AF 2 FM 得出AC3CM,设FM=2k,CM=3k,求出FE=CE=2.5k,结合ME=1,求出k值即可求出结论 【详解】(1)略 (2)略 (3)解：作MP⊥AB于点P,作Mg⊥AC于点Q, B D :AD平分∠BAC, ∴.MP=Mg 1 AF.MP 2 AF SAMC AC.MO AC, S.AME FM 同理：S。AMC CM· AF FM AC CM △DBF≌△DNC(AAS) 由(2)知， :.BF=NC, .AC=6BF, ∴AC=6NC 621137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AN =SNC,AN_5 4c6, :∠DAB=∠DAC,LB=LAND=90°，AD=AD ∴.△ADB≌△ADN(AAS) .AN=AB=5NC,AF=AB-BF=5NC-NC=4NC, AF 42 FM AC 6 3 CM, 设FM=2k,CM=3k 则CF=5k, ∴.FE=CE=2.5k ∴.ME=EF-FM=2.5k-2k=0.5k=1, k=2, .MF=2k=4 22.在△ABC与△ADE中，AB=AC，AD=AE,∠BAC=∠DAE=90° B B B G E E A D 图1 图2 图3 (①)如图1，A,C,D三点共线，连接BD,CE,延长CE交BD于点F,则CE与BD的数量关系为：位置 关系为_ (2)如图2，A,C,D不共线时，连接BD,CE交于点F,试探究CE,BD的关系. (3)如图3，在(2)条件下连接AF,AF延长线交BE于点G,若∠ADB=a,试用a的表达式表示∠EAG 【答案】(I)CE=BD.CE⊥BD (2)CE=BD.CE⊥BD 3)45°-a 【分析】(1)证明 BADCAE(SAS) 推出CE=BD,∠ABD=∠ACE,再利用三角形内角和定理求得 63/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠BFE=∠CAE=90°，即可得到CE=BD,CE⊥BD: BAD≌ACAE(SAS) (2)同(1)证明 即可得到CE=BD,CE⊥BD (3)①过点A作BD和CE的垂线，垂足分别为M和N,证明AF是∠DFC的角平分线，再利用三角形内 角和定理求解即可. 【详解】(1)解：：∠BAC=∠DAE=90°， .∠BAD=∠CAE=90° ..AB=AC,AD=AE. △BAD≌△CAE(SAS) ∴.CE=BD,∠ABD=∠ACE. ,∠FEB=∠AEC, .∠BFE=∠CAE=90°， ∴CE⊥BD (2)解：设CE与AB交于点H, B ,∠BAC=∠DAE=90°. .∠BAD=90°+∠EAB=∠CAE. ..AD=AE,AB=AC, △BAD≌△CAE(SAS) ∠ABD=∠ACE,CE=BD :∠FHB=∠AHC, .∠BFH=∠CAB=90°. .CE⊥BD 故CE=BD,CE⊥BD, 64/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)解：过点A作BD和CE的垂线，垂足分别为M和N, G 由(2)知CE=BD,△BAD≌△CAE, .SABAD SACAE CE:AN-DM .'AM AN, .AF是∠DFC的角平分线， CE⊥BD, .∠DFC=90°. .∠DFA=45° .∠ADB=a, ·.∠DAF=180°-45°-a=135°-aw, :∠DAE=90° ∴.∠EAG=135°-a-90°=45°-a. 23.综合与探究 问题情境： 小明在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成. 在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形.它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”. 小明进行了如下操作： 如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,连接BD、CE. 65/137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 图1 图2 图3 【问题发现】 (I)小明发现图1就是手拉手模型，拉手线BD、CE存在某种数量关系.其探究过程如下： 请你帮助小明完善以下推理过程， 解：：∠BAC=∠DAE ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, .∠BAD=① 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴△ABD≌△ACE(SAS) ∴.BD=②_ (2)如图2，在图1的基础上，△ABC不动，将△ADE绕着点A逆时针旋转至点B,点D、点E在一条直线 上，BE交AC于点O.小明发现△ABD与△ACE依然全等.当∠BAC=∠DAE=a时，求∠BEC. 【拓展探究】 (3)在图2的基础上，延长CE至点F,如图3.判断∠AED与∠AEF的数量关系，并说明理由. 【答案】(I)①∠CAE:②CE (2)∠BEC=a (3)∠AED=∠AEF,理由见解析 【分析】()根据角的和差关系结合全等三角形的性质，作答即可： (2)根据全等三角形的性质结合三角形的内角和定理即可得出结果： (3)过点A作AM⊥CE于点M,作AN⊥BD于点N,证明AN=AM,得到AE平分∠DEF即可 66/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：：∠BAC=∠DAE ∴.∠BAD+∠DAC=∠CAE+∠DAC, ∴.∠BAD=∠CAE 在△ABD和△ACE中， AB=AC ∠BAD=∠CAE AD=AE ∴.△ABD≌△ACE(SAS) .BD=CE (2)解：由(1)可知△ABD≌△ACE ∴.∠ABD=∠ACE, :∠AOB=∠EOC且∠BAC=a 在△AOB与△EOC中 ∠BAC+∠ABD+∠AOB=180°，∠BEC+∠ACE+∠EOC=180° ∠BEC=LBAC=a: (3)解：∠AED=∠AEF 理由：如图，过点A作AM⊥CE于点M,作AW⊥BD于点N M D 由(I)可知∴.△ABD≌△ACE,且BD=CE, S.ABD=S.ACE DAN 5c CE:AM. 671137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ÷BDaN=CEM, 2 .AM=AN, 又：AM⊥CE,AN⊥BD ∴.AE平分∠DEF ∴.∠AED=∠AEF 24.如图1，己知AP平分∠MAN,定点C在射线AP上，CF⊥AM于点F,CE⊥AW于点E,AF=8. M B N B N o 图1 图2 图3 (1)求AE的长 (2)如图2，当点D在射线AM上，点B在射线AN上，且CB与AN不垂直，∠CDA+∠CBA=180°其它条件 不变，求出AD与AB之间的数量关系， (3)如图3，当点D在射线M的反向延长线上时，∠CDA=∠CBA,其它条件不变，则(2)中的结论是否 仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请直接写出AB与AD新的数量关系式 【答案】(I)AE=8 (2)AD+AB=16 (3)不成立，新的结论是：AB-AD=16 【分析】(I)根据AP平分∠MAN得∠EAC=∠FAC,根据CF⊥AM于点F,CE⊥AN于点E得 ∠CEA=∠CFA=90°，由此依据“AAS”判定△AEC≌△AFC,再根据全等三角形的性质即可得出结论： (2)过点C作CE⊥AN于点B,CF⊥AM于点F,证明△AEC≌△AFC得AF=AE=8,CF=CE,证 明∠CDF=∠CBA,进而依据“AAS”判定△CDF≌aCBE得DF=BE,继而得AD=AF+DF=8-BE, AB=AE+BE=8+BE,据此即可得出答案： (3)过点C作CK⊥AT于点K,CT⊥AK于点T,依题意得AK=8,证明△ATC和△AKC全等得 AT=AK=8,CT=CK,再证明△CTD和△AKB全等得DT=BK=AD+AT=AD+8,进而得 AB=AK+BK=16+AD,据此即可得出答案， 【详解】(1)解：证明：AP平分∠MAW, ∴.∠EAC=∠FAC, 68/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,CE⊥AN,CF⊥AM ∴∠CEA=∠CFA=90° 在△AEC和△AFC中， ∠CEA=∠CFA ∠CAE=∠CAF AC=AC △AEC≌△AFC(AAS) ∴AE=AF, AF=8, .AE=8: (2)解：过点C作CE⊥AN于点E,CF⊥AM于点F,如图2所示： D A EB N 图2 .∠CFD=∠CEB=90°， 依题意得：AE=8, ,AC平分∠MAN, ∴.CF=CE, 在Rt△AFC和RtAAEC中， CF=CE AC=AC, RtAAFCS≌RtAAEC(HL) ∴AF=AE=8 ,∠CDF+∠CDA=180°，∠CDA+∠CBA=180°， .∠CDF=LCBA, 在△CDF和△CBE中， 691137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠DAC=∠BAC ∠CDA=∠CBA AC=AC △CDF≌aCBE(AAS) .DF=BE, .AD=AF-DF=8-BE,AB=AE+BE=8+BE. ...AD+AB=16: (3)解：不成立，新的结论是：AB-AD=16,理由如下： 过点C作CK⊥AT于点K,CT⊥AK于点T,如图3所示： D B N 图3 ∠CTD=∠CKB=90°， 依题意得：AK=8, △ATC≌AAKC(AAS) 同理可证明： .AT=AK=8,CT=CK, 在△CTD和△AKB中， [∠CTD=∠CKB ∠CDA=∠CBA CT=CK ACTD≌△AKB(AAS) ∴.DT=BK, .DT=AD+AT=AD+8. .BK=AD+8. ..AB=AK+BK=8+8+AD=16+AD. ..AB-AD=16 70/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 25.在△ABC中， B 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) ()如图(1)，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点P.若∠A=60°，求∠BPC的度数.若∠A=n°，则 ∠BPC= (2)如图(2)，在△ABC中的外角平分线相交于点.∠A=n°，求∠BQC的度数. (3)如图(4)，△ABC中的内角平分线相交于点P,外角平分线相交于点卫，延长线段BP、QC交于点E, △B0E中，存在一个内角等于另一个内角的2倍，求∠A的度数. 【答案】a0当LA=60时，∠BPC=120°，当∠A=mP时，∠BPC=90+? (②∠A=n°时，∠B0C=90°- 2 (3)∠A的度数为60°，90°或120° 【分析】(1)根据角平分线性质以及三角形内角和定理计算即可： (2)根据三角形内角和定理、外角和定理及角平分线性质求解即可； (3)根据(1)、(2)题的结论，进行分类讨论，列出方程求解即可： 【详解】(1)解：：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB, ∠ABP=∠PBC-∠ABC,∠ACP=∠PCB=∠ACB 2 :∠ABC+∠ACB+∠A=180°， :.2∠PBC+2∠PCB+∠A=180°， .∠PBC+∠PCB=180,4=90-∠A 2 2 ∠PBC+∠PCB+∠BPC=18O°， &∠BPC=180-(2PBc+∠PcB)=90+A, 71/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 当∠A=60时，∠Brc=90+A=120 当∠4=nP时，则∠BPC=90°+)∠A=90+ 2 (2)解：：∠ABC+∠ACB+∠A=180°， ∴.∠ABC+∠ACB=180°-∠A, :∠DBC=180°-∠ABC,∠FCB=180°-∠ACB, ∠DBC+∠FCB=360°-∠ABC-∠ACB=360°-（∠ABC+∠ACB)=180°+∠A ,OB平分LDBC,QC平分∠FCB, &<QBC=∠QBD=∠DBC,∠BCQ=∠0cF=PCB, 208c+Bc0-(D8c+20)-080+A=90+A 20c=18wr-∠0c-∠8cQ=1Iw-(0o+号4-0r-A 当∠A=n°时，则∠B0C=90°- 2· 3解：由山、2用∠BC=90w+A,0cw-a, :BO、BE分别为△ABC的外角平分线和内角平分线， ·∠EB0=90° ①当∠EB0=2∠B0C时， wr-20-4 解得∠A=90°， ②当∠BQC=2∠E时， :∠BQC+∠E=90° 解得∠BQC=60°， 片90°-号4=60° 2 得∠A=60°： 721137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ③当∠EB0=2∠E时， 、∠EB0=2∠E=90°， .∠E=45°， 、.∠B0C=180°-∠EB0-∠E=45°， :90-34=45, 2 解得∠A=90°： ④当∠E=2∠B0C时， :∠BQC+∠E=90°. .∠BQC=30° 0-=30 .∠A=120°； 综上，∠A的度数为60°，90°或120° 【点睛】图1为“双内角平分线模型”，结论为∠BPC=90+ 2,图2为“双外角平分线模型”，结论为 ∠B0C=90°- 2,两个模型的结论都可以由三角形的内角和定理或三角形的外角的性质)和角平分线的定 义得出. 知识点六 轴对称及其性质 26.若∠a和29均为大于0°小于180° 的角，且 上a-∠月=60°，则称∠a和互为“伙件角”.根据这 个约定，解答下列问题： A E D 2 3 3K4 B B 图1 图2 图3 73/137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (1)若∠α和∠B互为“伙伴角”，当∠a=130°时，求∠B的度数； (2)如图1，O为直线AB上一点，∠A0C=∠E0D=90°，∠AOE=60°，则∠D0E的“伙伴角”是 (3)①如图2，将一长方形纸片沿着EP对折（点P在线段BC上，点E在线段AB上）使点B落在点B',若 ∠1与∠2互为“伙伴角”，求∠3的度数； ②如图3，在图1的基础上，再将长方形纸片沿着PF对折（点F在线段AD上）使点C落在线段PE上的 点C'处，线段PB落在∠EPF内部.若∠I与∠4互为“伙伴角”，求∠BPF的度数. 【答案】(1)∠p=70° (2)∠BOD或∠COE或∠AOD 3)①40°或80°：②100° 【分析】(1)按照“伙伴角”的定义，建立方程求解即可： (2)根据角的和差关系以及新定义进行判断即可： (3)①按照“伙伴角”的定义可得∠1-∠2=60°或∠1-∠2=-60°，再建立方程解答即可：②按照“伙伴 角”的定义可得∠1=∠4-60°，再结合折叠的性质，平角的定义建立方程解答即可： 【详解】(1)解：：∠a和∠B互为“伙伴角”，当∠α=130°时， :1∠a-∠A=60°n130°-∠A=60 ,即 :.130°-∠B=60°或130°-∠B=60°， 解得：∠B=70°或∠B=190°（不符合题意舍去）， ∴∠B=70 (2)解：如图， 60h ○ B ~两个角差的绝对值为60°， 则此两个角互为“伙伴角”， 而∠D0E=90°. ·设其伙伴角为x, 74/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 |∠DOE-∠x=60° 则x=150°或∠x=30°， 由图知∠BOD=∠COE=30°，∠AOD=150°， ·.∠AOE的伙伴角是∠BOD或∠COE或∠AOD (3)①，∠1与∠2互为“伙伴角”， :124-2=60 ∴∠1-∠2=60°或∠1-∠2=60°， 当∠1-∠2=60°时，则∠2=∠1-60° 由对折可得∠1=∠3，而∠1+∠2+∠3=180°， .∠3+∠3-60°+∠3=180°， 解得：∠3=80°， 当∠1-∠2=60°时，则∠2=∠1+60°， 同理可得：∠3+∠3+60°+∠3=180°， ∠3=40°， 综上所述，∠3的值为40°或80°： ②由对折可得：∠1=∠3，∠4=∠EPF=∠1+∠BPF, :点E、C”、P在同一直线上，且∠1与∠4互为“伙伴角”， ∴∠1<∠4，∠4-∠1=60°， .∠1=∠4-60° ∠BPC=180°， .2∠4+∠3=180°. .2∠4+∠4-60°=180°. 解得：∠4=80°， .∠1=∠3=80°-60°=20°， ∴.∠BPF=20°+80°=100°」 27.综合与实践课上，同学们探究长方形纸片的折叠问题. 如图1，已知长方形纸片ABCD,点M在边AB上（不与A,B重合），点N在边BC上（不与B,C重 合).将长方形纸片ABCD沿直线MN折叠，使顶点B落在点B处，点B在长方形内部. 75/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D D B B M A B M R 图1 图2 备用图 【图形感知】 (1)图1中，∠BMW ∠B'MN(填“>=”或“<”)； 【作图探究】 (2)在图1中边AD上确定一点G(不与A,D重合)，使得纸片沿着MG折叠后，点A的对应点A'刚好落在 射线MB'上，请用无刻度直尺和圆规作出该点G;(不写作法，保留作图痕迹) 【计算探究】 (3)如图2，若点F是图1中边AD上一动点（不与A,D重合），连接FM,将纸片沿着FM折叠，点A的 对应点为X,点A落在长方形ABCD内部，若∠BMN=36°，∠B'MA=10°，求∠FMB的度数. 【答案】(1)月 D B (2)G B (3)∠FMB'=49°或59° 【分析】(1)由折叠性质直接得到对应角相等， (2)利用折叠性质MA=MA',先以M为圆心、MA为半径作弧确定射线MB上的点A',再作∠AMA的 平分线交AD于点G即可. (3)根据折叠性质得到角相等关系，结合平角定义，对点A在射线MB上的两种位置(MA在MB左侧 或右侧)分别列方程求解 【详解】(I)解：长方形纸片ABCD沿直线MN折叠，顶点B落在点B处， ·.∠BMN=∠B'MW: (2)解：如图，点G即为所求。 ~纸片沿着MG折叠后点A的对应点A'落在射线MB上， :.MA=MA', 76/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.以点M为圆心、MA为半径作弧，交射线MB于点A', 再作∠AMA'的平分线，交边AD于点G, 则点G即为所求作的点： (3)解：：长方形ABCD沿直线MN折叠，顶点B落在点B处， .∠B'MN=∠BMN=36°， .∠BMB'=72°， :长方形ABCD沿直线FM折叠，顶点A落在点A处， ∴.∠AMF=∠AMF, ∠AMB=180°， 当MA'在MB'的左侧时， ∠BMN+∠B'MN+∠B'MA+∠MF+∠AMF=18O°. 即36°+36°+10°+2∠AMF=180°， ∴.∠AMF=49° ∴.∠FMB'=∠FMA'+∠A'MB'=49°+10°=59° 当MA在MB'的右侧时， ∠BMN+∠B'MN+∠A'MF+∠AMF-∠B'MA'=18O° 即36°+36°+2∠AMF-10°=180°， ∴.∠AMF=59° ∴.∠FMB'=∠FMA'-∠A'MB'=59°-10°=49°」 综上所述：∠FMB=49°或59° D D B B M M 图2 备用图 28.综合实践： 77/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F B 图1 图2 图3 (1)如图1，学习了等腰三角形，我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等：反过来，等角所对的边 也相等.如果在一个三角形中，两个角不等，那么它们所对的边有什么大小关系呢？ ①猜想：在△ABC中，如果AB>AC,则∠C ∠B(填写“>”“<”或“=”)； ②验证：可以通过作 图形，构造 将不等关系转化为」 关系，运用角 的性质来进行证明.（填写正确答案的选项即可） A.全等三角形： B.对称： C.等腰三角形： D.相等： E.从特殊到一般」 (②)如图2，在△ABC中，AB>BC,BP平分∠ABC交AC于点D,连接A,CP.判断AB-BC与 PC-PA的大小关系，并证明： DE 4 BD 3)如图3，在A4BC中，∠A=60°，△4BC的角平分线BR,CE交于点D,若CD7,请求出CD的值， 并写出解答过程， 【答案】(I)①>；②B,C,D (2)解：AB-BC>PC-PA,理由如下： 如图，延长BC到点G,使GB=AB,连接PG,则AB-BC=GB-BC=CG, B C G 图2 CG>PC-PG, ∴.AB-BC>PC-PG, :BP平分∠ABC, ∴.∠PBG=∠PBA, 在△PBG和△PBA中， 781137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 GB=AB ∠PBG=∠PBA PB=PB △PBG≌APBA(SAS) ..PG=PA :AB-BC>PC-PA; (3)解：如图，在BC上截取BL=BE,连接DL,作I⊥DB于点L,J⊥DC于点J, E D B L 图3 ,∠A=60°，△ABC的角平分线BF,CE交于点D, ∠ABF=∠CBF= ∠ABC,∠ACE=∠BCE=∠ACB, ∴∠BDE=∠CBF+∠BCE=(∠ABC+∠ACB)-80-∠A)=60, .∴.∠BDC=180°-∠BDE=120° 在△BDL和△BDE中， BL=BE ∠LBD=∠EBD BD=BD ∴△BDL≌△BDE(SAS) .SBDM=S.RDE'∠BDL=∠BDE=6O° .∠CDL=180°-∠BDL=60° :∠BDL=∠CDL=60°， S.DL=DE4 S.aDC CD7 79/137 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Sm=4 S.nDC 7 .=4 SBDC S.CDL= 7 S.BDC S.BDL S.CDL.3 S.mc 3, ,∠BDL=∠CDL,LI⊥DB于点I,LJ⊥DC于点J, .LI=LJ Sm-2 D-LI4 SACDL CD.LJ 3, 2 BD 4 … CD 3 BD 4 CD的值为3. 【分析】本题重点考查等腰三角形的性质、三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角、三角形的 三边关系、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等知识，正确作出所需要的辅助线是解题的关键。 (1)①根据题意，进行猜测结果； ②根据等腰三角形的性质和三角形的外角定理进行验证即可： (2)延长BC到点G,使GB=AB,连接PG,则AB-BC=GB-BC=CG,根据三角形的三边关系得出 AB-BC>PC-PG,证明△PBG≌△PBA,得出对应边相等，然后等量代换即可； (3)在BC上截取BL=BE,连接DL,根据三角形的内角和定理及角平分线的性质得出∠BDC=120°， S.DL4 证明△BDL≌△BDE,得出对应边和对应角相等，根据三角形边和面积的关系得出S,cm3,作山⊥DB于 点，LW上DC于点J,根据角平分线的性质定理得出/=W,然后根据三角形面积和边的关系即可求解。 【详解】(I)解：①如图，作∠BAC的角平分线AE交BC于点E,作△ABE与ADE关于AE所在直线对 称，点B的对应点是D, 80/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AE平分∠BAC,AB=AD ∴，△ABE与ADE关于AE所在直线对称， ∠B=∠D ,∠ACB是△DCE的一个外角， .∠ACB>∠D .∠ACB>∠B, 故有如果AB>AC,则∠ACB>∠B: ②由①的求解思路可知可以通过作对称图形，构造等腰三角形，将不等关系转化为相等关系，运用角的性 质来进行证明， 故答案为：B,C,D: (2)略 (3)略 9.我们曾经研究过三角形双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题，小明在研究完上面的问题后， 对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： 图1 图2 图3 图4 ()【问题再现】如图1，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点卫，若∠A=48°，则∠P= (②)【问题推广】如图2，在△ABC中，∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点卫，过 点B作BH⊥AP于点H,若∠ACB=78°，则∠PBH=°. (3)如图3，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P,将△ABC沿DE折叠使得点A与点P重合. 81/137 画学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 若∠BPC=110°，则∠I+∠2为多少度？ (④【拓展提升】如图4，在四边形BCDE中，EB∥CD,点F在直线ED上运动（点F不与E,D两点重 合)，连接BF,CF,∠EBF、∠DCF的角平分线交于点G,若LEBF=&,∠DCF=P,试探究∠G和 a B 之间的数量关系。 【答案】(1)114 (2)51° (3)80° (4)/G=B-a 2或∠G=+B 2或∠G=C-B 2 【分析】(1)根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可： (2先由角平分线的定义得到∠PBM=MBC∠P1M=B1C,再由三角形外角的性质得到 ∠P=39°，根据三角形内角和定理推出∠PBH=90°-∠P=51°， (3)由角平分线的定义得出∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB,由三角形内角和定理得出 ∠PBC+∠PCB=180°-110°=70°，求出∠A,再得出∠AED+∠ADE=140°，由折叠的性质可得 ∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE, 进而可求出2∠AED+2∠ADE=280°，由平角的定义得出∠I+∠AEP=180°，∠2+∠ADP=180°，进而可求出 ∠1+∠2 (4)分点F在点E左侧，点F在D、E之间，点F在点D右侧三种情况讨论求解即可. 【详解】(1)解：∠A=48°， ∠ABC+∠ACB=180°-∠A=132°， ∠ABC、∠ACB的角平分线交于点P, ∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB, .2∠PBC+2∠PCB=132°， ∴.∠PBC+∠PCB=66°. .∠P=180°-（∠PBC+∠PCB)=114°： (2)解：∠BAC的角平分线与△ABC的外角∠CBM的角平分线交于点P, ∠PBM=∠MBC,∠PAM=∠BAC 2 ∠ACB=78 82/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 PMRC-C(ABC-ZBAC)CB ∴.∠BHP=90° ∠PBH=90°-∠P=51° (3)解：：BP平分∠ABC,CP平分∠ACB :.∠ABC=2∠PBC,∠ACB=2∠PCB(角平分线的定义)， ∠PBC+∠PCB=180°-110°=70°， ∴.2∠PBC+2∠PCB=140° .∠ABC+∠ACB=140°， .∠A=180°-140°=40° ∴.∠AED+∠ADE=140° 由折叠的性质可得∠AED=∠PED,∠ADE=∠PDE, ∴.2∠AED+2∠ADE=280°， ∠I+∠AEP=180°，∠2+∠ADP=180°， ∴∠1+∠2=360°-280°=80° (4)解：①当点F在点E左侧时，如图所示， G :BE∥CD,.LCBE+∠BCD=180°」 ,BG平分∠EBF,CG平分∠DCF, &∠BG=Br-0,<or-号F-9 ·∠EBC+∠FCB=180°-∠DCF=180°-B, :.∠G=180°-∠GBC-∠GCB=180°-∠GBE-∠EBC-∠FCB-∠GCF=B-& 2· 83/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ②当F在D、E之间时，如图所示： G 同理可翔∠FBG=EBF=0.∠cCF-DCF-A, ∠FBC+∠FCB=180°-∠DCF-∠EBF=180°-a-B :∠G=180°-∠GBC-∠GCB=180°-∠GBF-∠FBC-∠FCB-∠GCF=x+里 2 ③当点F在D点右侧时，如图所示： G 同理可得∠G=180°-∠GBC-∠GCB=180°-∠GBF-∠FBC-∠DCB-∠GCD=a- 2· 家上所达，F在8左御<-”兰，P在D间4G2 2:F在D右侧<G=aE 2· 30.折纸中的数学（题中所有角都是指小于180°的角） 【问题情境】动手折叠若干张长方形纸片来研究折纸的过程中角的变化，在长方形纸片ABCD的边AD上 找到一个异于A,D的点E,连接BE,CE,将纸片分别沿BE,CE折叠，点A落在点F处，点D落在点 G处. 84/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A (1) (2) (3) (4) (①)【问题初探】如图(1)，若点F在线段EG上，直接写出∠BEC=_: ⊙【问向题再探】如图(2)、⊙)，当A,卫，G=点不共线时，若∠B5C=B(B≠0 ,请在图(2)、 (3)中选取一个，求出∠FEG的度数（用含B的代数式表示）： (3)【问题深探】如图(4)，在边AB上取一点M,连接EM,将纸片沿EM折叠，点A落在点H处，当点 M在边AB上移动到使∠BEG=2∠BEH时，若∠AEB=4O°，直接写出∠AEM和∠MEC的数量关系. 【答案】(1)90 (2)选择图(2)：∠FEG=2B-180°：选择图(3)∠FEG=180°-2p (3)∠MEC-∠AEM=70°或∠MEC+3∠AEM=150° 【分析】(I)根据折叠可得：∠AEB=∠FEB,∠DEC=∠GEC,再根据 ∠AEB+∠FEB+∠DEC+∠GEC=180°，即可得出答案： (2)设∠AEB=∠FEB=x,∠DEC=∠GEC=y,根据图形中角度关系求出x+y=180°-P,根据 ∠FEG=∠BEC-(∠FEB+∠GEC) 求出结果即可； (3)分两种情况讨论：当EH在EB下方时，当EH在EB上方时，分别画出图形，进行求解即可 【详解】(1)解：根据折叠可得：∠AEB=∠FEB,∠DEC=∠GEC, :∠AEB+∠FEB+∠DEC+∠GEC=18O°， &∠BBc=∠FPEB+ZGBc-x180P=90e, (2)解：选图(2)，由折叠可知：∠AEB=∠FEB,∠DEC=∠GEC, 设LAEB=∠FEB=x,∠DEC=∠GEC=y, ,∠AEB+∠BEC+∠DEC=180°， 85/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∴.∠AEB+∠DEC=180°-∠BEC,即x+y=180°-∠BEC. .LBEC=B, .x+y=180°-B, ∠FEG=∠BEC-(∠FEB+∠GEC) =∠BEC-(x+y) =B-(180°-B) =B-180°+B =2B-180° 选图(3)，由折叠可知∠AEB=∠FEB,∠DEC=∠GEC, 设∠AEB=∠FEB=x,∠DEC=∠GEC=y, .∠AEB+∠BEC+∠DEC=180° ∴.∠AEB+∠DEC=180°-∠BEC, 即x+y=180°-∠BEC=180°-B. .∠FEG=∠FEB+∠GEC-∠BEC =x+y-∠BEC =180°-B-B =180°-2B (3)解：如图，当EH在EB下方时， G 由折叠可知：∠AEM=∠HEM,∠DEC=∠GEC, 设∠AEM=∠HEM=x,则∠AEH=2x, 86/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :.∠BEH=∠AEH-∠AEB=2x-40°， :∠BEG=2LBEH=4x-80°， :.∠DEG=180°-∠AEB-∠BEG =180°-40°-(4x-80°) =140°-4x+80° =220°-4x, &∠DEC=)∠DEG=110°-2x, .∠MEC=180°-∠AEM-∠DEC =180°-x-(110°-2x) =180°-x-110°+2x =x+70°， ∴.∠MEC-∠AEM=x+70°-x=70°： 如图，当EH在EB上方时， A B G 由折叠可知：∠AEM-∠HEM,∠DEC=∠GEC, 设∠AEM=∠HEM=x,则∠AEH=2x, ∴.∠BEH=∠AEB-∠AEH=40°-2x, ∠BEG=2∠BEH=80°-4x. :.∠DEG=180°-∠AEB-∠BEG =180°-40°-(80°-4x) =140°-80°+4x =60°+4x, .∠DEC7∠DEG=30°+2x .∠MEC=180°-∠AEM-∠DEC 87/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =180°-x-(30°+2x) =180°-x-30°-2x =150°-3x, .∠MEC+3∠AEM=150°-3x+3x=150°： 综上，∠MEC-∠AEM=70°或∠MEC+3∠AEM=150° 知识点七 线段垂直平分线 31.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC. N y P -F B M C 图1 图2 图1，AMBC的外角∠ACF的平分线CP与B交于点P.求证：∠P=A, (2)如图2，AC的垂直平分线交BP于点Q,交AC于点G,过点Q作OM⊥BC于点M,N⊥BA,交BA 的延长线于点N,若BC=9,BN=7,求AW的长. 【答案】(I)BP平分∠ABC,与△ABC的外角平分线CP交于点P, .∠PBC=- ∠ABC, ZPCF-LACF :∠ACF是△ABC的一个外角， .∠ACF=∠ABC+∠A, .∠A=∠ACF-∠ABC, :∠PCF是△PBC的一个外角， ∠PCF=∠PBC+∠P, 88/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 &∠P=∠PCF-∠PBc-24CF-∠ABC)-A, (2)2 【分析】(1)利用三角形外角性质和角平分线定义进行角度推导，首先根据角平分线得出∠PBC和 ∠PCF与∠ABC∠ACF的倍数关系：然后分别对△ABC和△PBC运用外角定理（外角等于不相邻两内角 和)，建立等量关系，通过代换消元即可证得∠P=A。 2 (2)作辅助线构建全等模型：先由角平分线性质得QM=QN,再由垂直平分线性质得QA=QC,进而证 明RtAQANS≌RtAQCM得到AW=MC;同时证明RtABONS≌Rt△BOM得到BN=BM,最后结合已知线段长 度通过简单的线段和差计算求出结果， 【详解】(1)略 (2)如图，连接04QC, N P Q :BP平分∠ABC,QM⊥BC,QN⊥BA. 、.OM=QW ,AC的垂直平分线交BP于点Q, ..OA=OC. 在Rt△OAN和RtAQCM中， ON=OM QA=0C, RtAOANS≌RtAOCM(HL) 89/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .AN=MC, 在Rt△BON和Rt△BOM中， ON=OM BO=BO RtABON≌RtABOM(HL) :.BN=BM, :BC=9,BN=7, .'MC=BC-BM=BC-BN=9-7=2. .AW的长为2 32.解决问题 A D G B C E D B 图1 图2 图3 (I)如图1，己知在△ABC中，∠ABC=90°，BC=12Cm.把△ABC向下平移至△DEF后，AD=5Cm, GC=4cm.请求出图中阴影部分的面积。 (2)如图2，△ABC中，DE是边AC的垂直平分线，AD=5,BD=2,求BC的长. (3)如图3，己知AB=AC,BD=CD,DE垂直AB的延长线于点E,DF垂直AC的延长线于点F.求证： DE=DF. 【答案】(1)50cm2 (2)7 (3)证明：如图，连接AD 90/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 E B 在△ABD和△ACD中， AB=AC, BD=CD, AD=AD, ∴.△ABD≌△ACD(SSS) ∴.∠BAD=∠CAD 又：DE⊥AE,DF⊥AF, ..DE=DF 【分析】（山根据平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得4B=DB,S=.c 然后求出 BG,再求出梯形BGEF的面积即为阴影部分的面积。 (2)根据垂直平分线的性质可得AD=CD=5,进而根据BC=BD+CD即可求解. (3)连接AD,证明△ABD≌aACD,得到∠BAD=∠CAD,再利用角平分线的性质得到DE=DF. 【详解】(I)解：把△ABC向下平移至△DEF, .BC=EF =12cm,AD=BE =5cm, ..GC=4cm, ∴.BG=12-4=8cm. “阴影部分面积梯形BGEF =(8+12)×5÷2=50cm2 的面积， (2):DE垂直平分 .AD=CD=5. ∴.BC=BD+CD=2+5=7 (3)略 33.【阅读理解】中线是三角形中的重要线段之一.在利用中线解决几何问题时，当条件中出现“中点”、 91/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 “中线”等条件时，可以考虑作辅助线，即把中线延长一倍，通过构造全等三角形，把分散的已知条件和 所要求的结论集中到同一个三角形中，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题，这种作辅助线的方法 称为“倍长中线法”.此方法在解决几何问题中有着广泛的应用， 【解决问题】某数学学习小组拟采用上述方法解决以下问题： (I)如图1，在△ABC中，AB=5,AC=9,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围.经过合作 交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E,使DE=AD,连接BE,可以判定△ADC≌△EDB,从而 得到AC=EB=9.这样就能把线段AB,AC，2AD集中在△ABE中，再利用三角形的三边关系，即可求 出中线AD的取值范围. 请你直接写出AD的取值范围： (2)如图2，∠ABD=∠ECD=∠ADE=90°，点D为BC的中点，AB=10,CE=22,求AE: 3)如图3，在△ABD和△ACE中，∠DAB=∠CAE=90°，AB=AD,AC=AE.连接DE,BC,点F是 BC的中点，连接FA并延长，与DE相交于点G.请猜想DE和AF的数量关系并说明理由， E B D B F 图1 图2 图3 【答案】(I)2<AD<7 (2)32 3) 解：DE=2AF: 理由如下：延长AF至点H,使FH=AF,连接BH,如图： D F是BC的中点， ..BF=CF, 92/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 在△BFH和△CFA中， BF=CF ∠BFH=∠CFA FH=FA △BFH≌ACFA(SAS) ∠ACF=∠HBF,HB=AC, .AC=AE .HIB=AC=AE. ..ACI/BH, .∠HBA+∠CAB=180° :∠DAB=∠CAE=90°， .∠DAE+∠CAB=180°， ∴.∠DAE=∠ABH, 在△ABH和△DAE中， DA=BA ∠DAE=∠ABH AE=BH △ABH≌△DAE(SAS) :'DE AH=2AF: 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，平行线的判定和性质，三角形三边 关系，同角的补角相等，等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键： (1)根据三角形三边关系进行作答，即可求解： (②)如图2，延长ED交4B的延长线于A,根据中点得BD=CD,证得 BDH≌aCDE(ASA) ，求得 AH=32,证得AD为线段EH的垂直平分线，然后即可求解： (3)延长AF至点H,使FH=AF,连接BH,先证得 BFH≌ACFA(SAS ,得∠ACF=∠HBF HB=AC,再根据平行线的性质证得∠D45=∠ABH,再证 △ABH≌△DAE(SAS) 然后即可求解： 93/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：在△ABE中，AC=9,AB=5, .9-5<AE=2AD<9+5, .4<2AD<14, .2<AD<7: 故答案为：2<AD<7: (2)解：如图2，延长ED交AB的延长线于H, D HY 图2 :∠ABD=∠ECD=∠ADE=90°， ∴.∠HBD=∠ECD=90°. :点D是BC的中点， .BD =CD, 在△BDH和△CDE中， ∠HBD=∠ECD=90° BD=CD ∠BDH=∠CDE △BDH≌ACDE(ASA) .BH=CE=22,DH=DE, ∴.AH=AB+BH=10+22=32. ∠ADE=90°， ∴.AD⊥EH, .DH=DE, .AD为线段EH的垂直平分线， .AE=AH=32: 94/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)略 34.(1)阅读理解：如图O,在△ABC中，若AB=5,AC=3,求BC边上的中线AD的取值范围.解决此 问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,这样就把AB、AC2AD集中在△ABE中， 利用三角形三边的关系即可判断AE的取值范围是 则中线AD的取值范围是 (2)问题解决：如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，过点D作DE⊥DF于点D,DE交AB于点 E,DF交AC于点F,连接EF,求证BE+CF>EF. (3)问题拓展： 如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=160°，以C为顶点作∠ECF=80°，角 的两边分别交AB,AD于E、F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证明. E 图① 图② 图③ 【答案】(1)2<AE<8: 1<AD<4(2)证明：如图②，延长FD至G,使FD=DG,连接BG、EG, F G B 图② ,·CD=BD、∠CDF=∠3DG FD=DG, ACFD≌AGBD(SAS) ..BG=FC, :ED⊥FD、FD=DG, 95/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .FE=EG. 在△EBG中，EB+BG>EG,即BE+CF>EF: (3)BE+DF=EF,理由如下： 如图③，延长AB至H使BH=DF,连接CH, 图③ ,∠ABC+∠D=180°，∠ABC+∠CBH=180°， ∴.∠D=∠CBH, ·CD=CB、BH=DF, △CBH≌△CDF(SAS) .CH=CF、∠BCH=∠DCF. .∠BCD=120°、∠ECF=60°， .∠DCF+∠ECB=60°， ∴.∠ECH=60°=∠ECF, ,FC=CH、EC=EC, △FCE≌AHCE(SAS) .EH=EF, ∴.BE+BH=EH, .'BE+DF EF. 【分析】(I)由“SAS”可证△ADC≌aEDB,可得AC=BE=3,由三角形的三边关系可求解： (2)由“SAS”可证△CFD≌aGBD,可得BG=FC,由线段垂直平分线的性质可得FE=EG,在△EBG 中，EB+BG>EG,即BE+CF>EF (3)由“SAS”可证ACBH≌aCDF,可得CH=CF、∠BCH=∠DCF,由“SAS”可证△FCE≌aHCE, 可得EF=EH,即可求解. 96/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(I)解：如图①，延长AD到点E使DE=AD,再连接BE, :AD=DE、∠ADC=∠EDB、CD=BD, ∴.△ADC≌AEDB(SAS) ∴.AC=BE=3, AB-BE<AE<AB+BE, 2<AE<8, .2<2AD<8, .1<AD<4, 故答案为：2<AE<8,1<AD<4: (2)略 (3)略 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定及性质，三角形中线的定义，线段垂直平分线的性质，三角形 三边关系，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键， 35.材料1：三角形三个内角的和等于180°，利用它我们可以推出结论，三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和.例如：图1，∠ACD是△ABC的一个外角，则有∠ACD=∠A+∠B 材料2：折纸与数学有着密切的联系，我们可以将几何图形运用到折纸中，也可以利用折纸研究几何图形 D B 图1 图2 图3 D 图4 图5 (I)如图2，已知△ABC,点D是边BC上一点，点E是边AC上一点，将△CDE沿直线DE折叠，使得点C 的对应点F落在△ABC内部，则∠C、∠EFD之间的数量关系为： (2)如图3，已知△ABC,点D是边BC上一点，点E是边AC上一点，将△CDE沿直线DE折叠，使得点C 的对应点F落在边AC上（点F不与点C重合），请用无刻度直尺和圆规画出折痕DE(保留作图痕迹， 不用说明理由)； 97/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)如图4，在△ABC中，∠BAC=100°，∠B:∠C=2:6,在边BC上有一点D从B向C运动，运动到点C 处停止，把△ACD沿直线AD翻折，点C的对应点为M,若点M在△ABC的内部（不包含△ABC的边）； ①求∠CAD的取值范围； ②直接写出∠BDM与∠BAM之间的数量关系为： (④如图5，已知△ABC,∠BAC=70°，∠ACB=80°，∠ABC=30°，第一次沿过A的直线折叠△ABC,使 C落在AB上的I处，得到折痕AH,再展平纸片；第二次再沿过C,I的直线折叠△BCI,得到△IC, JC交AB于K,求∠AKC的度数. 【答案】(I)∠C=∠EFD (2)见解析 (3)①30°<∠CAD<50°②∠BDM+∠BAM=40° (480° 【分析】(I)由折叠可知，△CDE≌△FDE,∠C=∠EFD: (2)以D为圆心，CD的长度为半径画弧，交AC于点F,分别以F,C为圆心，大于二分之一CF的长为 半径画弧，两弧交于一点，连接这点和点D,交AC于点E: (3)设∠B=2x,则∠C=6x,由∠BAC=100°得，∠B=20°，∠C=60°，①由M不落在AB上得 ∠CAD<50° 由M不落在BC上每∠CMD>30 ∠BAM=y ②设 ,利用三角形内角和以及角度关系推出 ∠BDM=40°-y,故∠BDM+∠BAM=40°： (4)∠BAC=70°，∠ACB=80°，∠ABC=30°，由第-次折叠可得，∠ACI=55°，∠CAH=35°，从而 ∠BCI=25°，由第二次折叠可得：∠JCI=∠BCI=25°，从而∠BCK=50°，在△BKC中，∠AKC是外角， ∠AKC=∠ABC+∠BCK=80° 【详解】(1)解：由折叠知，∠C=∠EFD: (2)解：如图所示： B 图3 (3)解：在△ABC中，∠BAC=100°，∠B:∠C=2:6. 设∠B=2x,则∠C=6x, 98/137 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠B+∠C+LBAC=180°， ∴2x+6x+100°=180°，解得x=10°， .∠B=20°，∠C=60°， ①由折叠知，∠CAD=∠MAD,∠BAC=100°， :点M在△ABC的内部（不包含△ABC的边）， M不落在AB上：此时<C1D<BAC=50: M不落在BC上：当M在BC上时，∠AMD=∠C=60°， .∠MAC=60°， 2CMD2∠MAC=30 :M不在BC上， ∠CAD>30°， 综上，30°<∠CAD<50°： ②设∠BAM=y,则∠MAC=100°-y, :△ADC翻折到△MDC, :.∠MAD=∠CAD=∠M4C=50°-y 2 2， 在△ADB中， ∠08=I0-∠B-∠BD=10-B-(2Bw+2MiD-I80-2w-+(30- 即∠ADB=110°- 2 ABM中，∠DM=1s0-∠AD-∠MD=180-60-(50-, 在 即∠ADM=70°+' 2 w=D8-0w-0-}o+-0-y, .∠BDM+∠BAM=40°： (4)解：由折叠知：AC=AI,∠CAH=∠BAH, :∠BAC=70°，∠ACB=80°，∠ABC=30° 99/137 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠AC=∠Ac=80-∠B4C)=5S.∠CaH=∠BMH=BaC=3° ∴.∠BCI=∠ACB-∠ACI=80°-55°=25° 由折叠知：∠JC1=∠BC1=25° ∴.∠BCK=∠BCI+∠JCI=25°+25°=50°， 在△BKC中，∠AKC是外角， ∠AKC=∠ABC+∠BCK=30°+50°=80° 知识点八 等腰三角形 36.如图1，在△ABC中，AB=AC,点D是边AB上一个动点（不与点A、B重合），连接DC,将线段 DC绕点D逆时针旋转得到线段DE,使∠CDE=2∠B, 图1 图2 (I)若∠BAC=90°，∠ACD=25°，求∠ADE的度数. (2②)若∠BAC=I00°，∠ADE=x,∠BCD=y.求y与x的数量关系. (3)连接BE,F是BE中点，连接AF,DF,如图2，求∠AFD的度数. 【答案】(1)25 +y=40° (2) (3)90° 【分析】(1)由∠BAC=90°、AB=AC得LB=∠ACB=45°，故∠CDE=2∠B=90°.由∠ACD=25°得 ∠BCD=20°，三角形的外角定理得∠ADC=65°，从而∠ADE=∠CDE-∠ADC=25° (2)同理∠B=∠ACB=40°，∠CDE=80°.由∠ADE=x得∠ADC=80°-x:由三角形的外角定理 ∠ADC=∠B+∠BCD=40°+y,联立得x+y=40°， (3)延长BA至H使DH=AB,延长AF至G使GF=AF.通过三组SAS全等(aHDE≌aACD、 △BGF≌aEAF、△BGD≌△AEH)推出DG=AD,再由FG=AF得DF⊥AG,故∠AFD=90°.其中 100/137