第2章 有理数 知识清单 2026-2027学年苏科版数学七年级上册

第2章　有理数　知识清单 依据苏科版《义务教育教科书·数学》七年级上册（2026年版新教材）编写，供复习备考使用。 一、章知识概览 【学习内容】本章共七节：2.1正数与负数；2.2数轴；2.3绝对值与相反数；2.4有理数的加法与减法；2.5有理数的乘法与除法；2.6有理数的乘方；2.7有理数的混合运算。本章在小学整数、分数认识与运算的基础上引入负数，把数的范围扩充到有理数，并系统学习有理数的概念、数轴表示与四则及乘方运算。 【考点地位】有理数是初中代数的基础，数轴、相反数、绝对值是贯穿后续学习的核心概念；有理数的运算是整式、方程运算的直接前提，在各类检测中以选择、填空、计算及实际应用题形式高频出现。 【学习目标】①会用正、负数表示具有相反意义的量，能对有理数进行分类；②理解数轴、相反数、绝对值的意义，会比较有理数的大小；③熟练掌握有理数加、减、乘、除、乘方的运算法则与运算律，会进行有理数的混合运算；④能用有理数及其运算解决简单的实际问题，体会数形结合思想。 【知识结构图】一章速查本章全貌，按“概念—表示—运算”三条线呈现。 知识线 核心内容 概念 正数、负数、0；整数（正整数、零、负整数）与分数（正分数、负分数）；有理数的分类 表示 数轴（原点、正方向、单位长度）；相反数；绝对值；有理数大小比较 运算 加法与减法；乘法与除法（倒数）；乘方（底数、指数、幂）；混合运算顺序；科学记数法 二、核心公式定理 【速查表】集中列出本章必须熟记的法则、性质与运算律，复习时逐条对照教材。 名称 定理·性质内容 说明与易错提示 相反数 只有符号不同的两个数互为相反数；0的相反数是0；-(-a)=a 相反数是成对出现的，0的相反数是它本身 绝对值 数轴上表示数a的点到原点的距离，记作|a|；正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，|0|=0；任意一个有理数的绝对值都是非负数 |a|≥0；绝对值等于a(a>0)的数有两个，是a和-a 有理数加法 同号两数相加，取相同符号，并把绝对值相加；异号两数相加，取绝对值较大加数的符号，并用较大绝对值减去较小绝对值；互为相反数相加得0；一个数同0相加仍得这个数 异号相加先定符号再算绝对值差，勿漏符号 有理数减法 减去一个数，等于加上这个数的相反数：a-b=a+(-b) 减法一律转化为加法，注意改变减数的符号 加法运算律 交换律a+b=b+a；结合律(a+b)+c=a+(b+c) 结合时优先把同号、相反数、凑整的数结合 有理数乘法 两数相乘，同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0 先定符号后定值；负因数个数决定积的符号 倒数 乘积为1的两个数互为倒数；0没有倒数 正数的倒数为正，负数的倒数为负；0无倒数 有理数除法 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数；同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0数都得0 0不能作除数 乘法运算律 交换律ab=ba；结合律(ab)c=a(bc)；分配律a(b+c)=ab+ac 分配律勿漏乘括号内任意一项，注意符号 乘方 求n个相同因数积的运算叫作乘方，结果叫作幂，记作aⁿ，a是底数，n是指数 正数的任何次幂为正；负数的奇次幂为负、偶次幂为正；0的正整数次幂为0 混合运算顺序 先乘方，再乘除，后加减；有括号先算括号内（先小括号、再中括号、后大括号） 同级运算从左到右；注意运算顺序不可跳步 三、考点知识梳理 （一）正数与负数（2.1） 【知识定位】在具体情境中认识具有相反意义的量，引入负数并认识有理数的分类。 【概念】像8848.86、4、+40000、1.7这样大于0的数是正数；像-80.97、-6、-10000、-0.6这样在正数前加上“-”号的数是负数。正整数、零、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数；整数和分数统称为有理数。有限小数与循环小数都可以看成分数。有理数也可分为正有理数、零和负有理数，正有理数和零属于非负数。 （二）数轴（2.2） 【知识定位】用数轴上的点直观表示有理数，是数形结合的起点。 【概念】规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴。任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示；在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大，即正数大于0，负数小于0，正数大于一切负数。 图1 数轴的三要素 （三）绝对值与相反数（2.3） 【知识定位】理解绝对值、相反数的几何意义与代数意义，会化简符号。 【概念】数轴上表示一个数的点到原点的距离叫作这个数的绝对值，数a的绝对值记作|a|。只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。互为相反数的两个数绝对值相等，即|-a|=|a|；一个数的相反数的相反数就是这个数本身，即-(-a)=a。 图2 互为相反数的两点关于原点对称 图3 绝对值表示数轴上的点到原点的距离 【代数意义】当a>0时，|a|=a；当a<0时，|a|=-a；当a=0时，|a|=0。正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。任意一个有理数的绝对值都是非负数。 （四）有理数的加法与减法（2.4） 【知识定位】掌握加减法法则，会运用加法运算律简便运算。 【法则】加法：同号两数相加取相同符号并把绝对值相加；异号两数相加取绝对值较大加数的符号，用较大绝对值减去较小绝对值；互为相反数相加得0；一个数加0仍得这个数。减法：减去一个数等于加上这个数的相反数，即a-b=a+(-b)。加法满足交换律、结合律，运算时可把同号、相反数或便于凑整的数先结合。 （五）有理数的乘法与除法（2.5） 【知识定位】掌握乘除法法则、倒数概念与乘法运算律。 【法则】乘法：两数相乘同号得正、异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得0。乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。除法：除以一个不等于0的数等于乘这个数的倒数；两数相除同号得正、异号得负，并把绝对值相除；0除以任何非0数都得0，0不能作除数。乘法满足交换律、结合律、分配律。 （六）有理数的乘方（2.6） 【知识定位】认识乘方与幂，掌握符号法则，会用科学记数法表示大数。 【概念】求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，乘方的结果叫作幂，记作aⁿ，其中a叫作底数，n叫作指数。正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，偶次幂是正数；0的正整数次幂是0。 （七）有理数的混合运算（2.7） 【知识定位】按正确顺序进行含加、减、乘、除、乘方的综合运算。 【顺序】先乘方，再乘除，后加减；同级运算从左到右依次进行；有括号先算括号内，先小括号、再中括号、后大括号。运算中灵活运用运算律可使计算简便。 四、重点知识记忆方法 【记忆口诀】①相反意义量：一对相反量，正负来上场，正负先约定，零是分界线。②绝对值：正数本身负相反，零的绝对值仍是零，绝对值永是非负数。③加法：同号相加号随原，绝对值加莫等闲；异号相加大减小，符号跟着大的跑；相反数相加恰为零。④减法：减正等于加负，减负等于加正。⑤乘法符号：偶个负因数积为正，奇个负因数积为负。⑥乘方：负奇得负负偶正，正数任何次幂正。 【对比记忆】相关易混概念对比如下表。 易混点 区别与联系 相反数 vs 倒数 相反数和为0，成对符号相反；倒数积为1，0无倒数；二者互不相同 -a² vs (-a)² -a²表示a²的相反数，先乘方再取负；(-a)²表示a的偶次幂，底数是-a；二者符号结果可能不同 a的绝对值 正数|a|=a，负数|a|=-a，|a|=0仅当a=0；勿把负数绝对值写成负数 减法符号 a-b=b-a错误；减法变加法时只改变减数符号，被减数不变 【易混对比】相反数只改变符号、两数之和为0，倒数两数之积为1且0没有倒数，二者互不相同；-a²先乘方再取负号，(-a)²底数是-a、结果非负，二者符号结果可能不同，不可混为一谈。 五、解题方法总结 题型一：有理数分类与概念辨析 【解题方法】先把各数化简，再按整数、分数或正、负、零归类；概念辨析题紧扣定义逐项排除，注意0的特殊性。 【数学思想】分类讨论思想，分类标准统一、不重不漏。 题型二：数轴与绝对值化简 【解题方法】先由数轴判断各数正负及绝对值大小，再按绝对值代数意义去绝对值符号，最后合并。 【数学思想】数形结合思想，借数轴位置判断符号。 题型三：有理数混合运算 【解题方法】先观察能否用运算律简便，再按“乘方→乘除→加减”顺序逐步计算，每步先定符号再定值。 【数学思想】转化思想，把减法转化为加法、除法转化为乘法。 六、易错点清单 【清单】逐条对照教材与常见易错情形，复习时先自查再对照下表。 易错点 正确做法 异号相加误把绝对值相加 异号相加取大绝对值符号，用大绝对值减小绝对值 -3²与(-3)²混淆 -3²=-9，(-3)²=9；注意底数是否含负号 0的倒数误写为0 0没有倒数，倒数只对非0数定义 除法误用分配律 分配律只适用于乘法，除法不能直接套用 绝对值写成负数 |a|≥0，负数绝对值是它的相反数（正数） 混合运算顺序颠倒 先乘方再乘除后加减，括号优先，勿跳步 七、高频考点速记 ①相反意义的量用正负数表示，0既不是正数也不是负数。 ②数轴三要素（原点、正方向、单位长度）与用点表示有理数。 ③相反数、绝对值的意义与化简，|a|≥0。 ④有理数四则及乘方的符号法则，先定符号再定值。 ⑤加法、乘法运算律用于简便运算。 ⑥混合运算顺序：先乘方、再乘除、后加减，括号优先。 ⑦借助数轴比较大小，绝对值分类讨论。 八、学情自测 （一）选择题 1．2020的倒数是（ ） A．-2020 B． C． D．2020 2．下面每组中的两个数互为相反数的是（ ） A．-(-5)和5 B．-2.5和-(-2.5) C．|8|和-(-8) D．和 3．下列说法中，正确的是（ ） A．两个有理数的和一定大于每个加数 B．3与互为倒数 C．0没有倒数也没有相反数 D．绝对值最小的数是0 4．计算(-3)+(-9)的结果是（ ） A．-12 B．-6 C．+6 D．12 5．已知|x|=3，|y|=2，且xy<0，则x+y等于（ ） A．5或-5 B．1或-1 C．5或1 D．-5或-1 6．下列说法正确的是（ ） A．-a一定是负数 B．|a|一定是正数 C．|a|一定不是负数 D．-|a|一定是负数 7．如图，数轴上的点A、B分别对应有理数a、b，下列结论正确的是（ ） A．a>b B．|a|>|b| C．-a<b D．a+b<0 8．已知|x|=2，|y|=3，则|x+y|的值为（ ） A．5 B．-5 C．5或1 D．以上都不对 9．4的倒数为（ ） A． B．2 C．1 D．-4 10．下列各式中正确的是（ ） A．-|-5|=5 B．-(-5)=-5 C．|-5|=-5 D．-(-5)=5 11．检测A、B、C、D四个元件质量，超过标准记正、不足记负，结果分别为-1.2、-2.3、+0.9、-0.8（克），其中最接近标准质量的元件是（ ） A．-1.2 B．-2.3 C．+0.9 D．-0.8 12．有理数a、b在数轴上，a在原点左侧、b在原点右侧，则下列结论正确的是（ ） A．a>0 B．ab>0 C．a<b D．b<0 13．下列说法中正确的是（ ） A．正整数、负整数统称为整数 B．正分数和负分数统称为分数 C．零既可以是正整数也可以是负整数 D．一个有理数不是正数就是负数 14．数轴上点A表示的数是-3，将点A平移7个单位长度得到点B，则点B表示的数是（ ） A．4 B．-4或10 C．-10 D．4或-10 （二）填空题 15．若将顺时针旋转60°记为-60°，则逆时针旋转45°可记为________。 16．小明家冰箱冷冻室温度是-2℃，冷藏室温度是5℃，则冷藏室比冷冻室高________℃。 （三）解答题 17．一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，记录如下（单位：米）：+5，-3，+10，-8，-6，+12，-10。(1)守门员最后是否回到了球门线的位置？(2)在练习过程中，守门员离开球门线最远距离是多少米？(3)守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？ 九、参考答案 （一）选择题 1．【答案】C 解题步骤： ①乘积为1的两个数互为倒数；②2020×=1，故2020的倒数是。 【知识点睛】倒数只对非0数定义，求整数的倒数把分子分母颠倒即可，注意符号不变。 2．【答案】B 解题步骤： ①A中-(-5)=5，与5相等；B中-(-2.5)=2.5，与-2.5只有符号不同，互为相反数；C中|8|=8，-(-8)=8，相等；D中5⁴与4⁵既不相等也非相反。 【知识点睛】判断相反数先化简符号，只有符号不同、绝对值相等的两数才互为相反数。 3．【答案】D 解题步骤： A错，加上负加数和可能变小；B错，3与互为倒数，与不是；C错，0的相反数是0；D对，绝对值最小的数是0。 【知识点睛】0没有倒数，但0有相反数（本身），概念辨析要逐项回到定义。 4．【答案】A 解题步骤： ①同号两数相加取相同符号；②(-3)+(-9)=-(3+9)=-12。 【知识点睛】同号相加先定符号为负，再把绝对值相加。 5．【答案】B 解题步骤： ①|x|=3则x=±3，|y|=2则y=±2；②xy<0说明x、y异号；③当x=3、y=-2时x+y=1，当x=-3、y=2时x+y=-1。 【知识点睛】由绝对值与乘积符号分类讨论，异号两数配对后求和，不要遗漏另一种情况。 6．【答案】C 解题步骤： A错，a为负时-a为正；B错，a=0时|a|=0非正数；C对，|a|≥0一定不是负数；D错，a=0时-|a|=0。 【知识点睛】绝对值具有非负性，|a|≥0，注意0使多个结论同时不成立。 7．【答案】C 解题步骤： ①a<0，b>0，|b|>|a|；②-a>0且-a=|a|<|b|=b，故-a<b；A、B、D均与位置关系矛盾。 【知识点睛】先由数轴定正负，再比较-a与b，借助|b|>|a|判断。 8．【答案】C 解题步骤： ①x=±2，y=±3；②四种配对和为5、-1、1、-5；③|x+y|只取非负值，为5或1。 【知识点睛】先求和再取绝对值，绝对值把正负结果统一为非负值。 9．【答案】A 解题步骤： 乘积为1的两数互为倒数，4×=1，故4的倒数为。 【知识点睛】求整数的倒数把分子分母颠倒，4的倒数是四分之一。 10．【答案】D 解题步骤： A中-|-5|=-5≠5；B中-(-5)=5≠-5；C中|-5|=5≠-5；D中-(-5)=5正确。 【知识点睛】先化简多重符号与绝对值，再逐项判断等式是否成立。 11．【答案】D 解题步骤： 各数绝对值分别为1.2、2.3、0.9、0.8，|-0.8|最小，故-0.8最接近标准质量。 【知识点睛】偏离标准的远近看绝对值大小，绝对值越小越接近标准。 12．【答案】C 解题步骤： a在原点左侧故a<0，b在右侧故b>0；负数总小于正数，故a<b；A、B、D均错。 【知识点睛】由数轴定正负位置，负在左、正在右，故负数小于正数。 13．【答案】B 解题步骤： A错，整数还需含0；B对，正分数和负分数统称为分数；C错，零既非正整数也非负整数；D错，0既非正也非负。 【知识点睛】整数含正整数、零、负整数；分数含正分数、负分数；0单独归类。 14．【答案】D 解题步骤： 向右平移7：-3+7=4；向左平移7：-3-7=-10，故点B表示4或-10。 【知识点睛】平移分左右两种方向，向右加、向左减，分别计算再合并。 （二）填空题 15．【答案】+45° 解题步骤： 顺时针与逆时针是相反意义的量，顺时针记负，逆时针对应记正，故记为+45°。 【知识点睛】相反意义的量按事先约定的正负号表示，方向相反符号相反。 16．【答案】7 解题步骤： 5-(-2)=5+2=7，故冷藏室比冷冻室高7℃。 【知识点睛】温差=高温-低温，减去负数等于加上它的相反数。 （三）解答题 17．【答案】(1)回到球门线；(2)12米；(3)54米 解题步骤： (1)5-3+10-8-6+12-10=0，故最后回到球门线位置。 (2)逐段累计距离依次为5,2,12,4,-2,10,0，离开球门线最远距离为12米。 (3)共跑距离=|5|+|-3|+|10|+|-8|+|-6|+|12|+|-10|=5+3+10+8+6+12+10=54米。 【知识点睛】是否回位看代数和是否为0；最远距离看累计位移的绝对值最大；总路程看各段绝对值之和。 学科网（北京）股份有限公司 $